第二讲 数列极限一、数列极限的概念

二、数列极限的性质

三、数列极限的运算

四、数列极限存在的条件

一、数列极限的概念

（一）极限的实质（二）数列极限的定义（三）对数列极限定义的理解（四）数列极限按定义的验证

（二）数列极限的定义 设 为数列， a 为定数，若对

任给的正数 ，总存在正整数 N ，使得当 n>N 时，总有 则称数列 收敛于 a 。实数 a 称为数列 的极限，并记作

或

na

na a

lim nna a

( )na a n

na na

数列 没有极限，则称 不收敛或发散。

na na

返回

（三）对数列极限定义的理解

3 na a） 的多样性。

1 ） 的绝对任意性和相对固定性。

2 N） 的相应性（和不唯一性）。

4 n N） 是大于 的所有自然数。

5

, ,

n

n

a a

N n a a） 是数列 的极限，是五个量，

， ， 中唯一不变的常数。

6 ）一切有穷数列、无界数列无极限，故极限是处理无限问题的的一种新的运算。

7 ）几何意义。 8 ）数列极限的等价定义：

0 U

a

n

n

若在（a, ）之外数列 a

至多只有有限项，则称数列 a

收敛于极限。

例题

1 1 2 2

lim lim ,

, , , , , ,

lim

n n nn n

n n n

nn

x y a z

z x y x y x y

z a

例1 设 作数列 如下

：

证明：

b

b

n n n

n n

例2 设 a 为给定的数列， 为对 a 增加、

减少或改变有限项之后得到的数列,

证明：a 与 同时收敛或发散，且收敛时

两数列极限相等。

返回

（四）数列极限按定义的验证

验证步骤： 1 >0 ( ) 给

n2 a < , N ( N)a 由不等式 找 找 3

n确定a是 a 的极限。

例题11 1 1

1 1 , , , ( 1) ,3 4

n

n

1例 证明，- 极限是零。2

2

2

32 lim 3

3n

n

n

例 证明

证明

证明

2

2

2 13

3 2 4 3n

n nx

n n

例 证明数列 的极限是 。

证明

课堂练习1 1 1

1.1 2 2 3 ( 1)

1

n

n

xn n

x

n

设

按定义验证：l i m

2. lim( 1 ) 0n

n n

验证：

返回

二、数列极限的性质（收敛数列的性质）

（一）唯一性：

na若数列 收敛，则它只有一个极限。

n na a

Mn

若数列 收敛，则 为有界数列，

即存在M>0,使对一切n，有 a 。

（二）有界性：

（三）保号性：/

/

/ /

lim 0( 0), (0, )

( ( ,0)),

( ) .

nn

n

a a a a

a a N N

a a a

n

若 或 则对任何

或 存在正整数 ，使得当n> 时，

有a 或（四）保不等式性：

0

0 lim lim .

n

n n n nn n

b N

N a b a b

n 设 a 与 均为收敛数列，若存在正数 ，

使得当n 时，有 ，则

（五）子列的收敛性

a

n

n

数列 a 收敛于a的充分必要条件是：

a 的任何非平凡子列都收敛于

（六）迫敛性：

0 0

,

lim

n

n

nn

b c

N n N c b

c c a

n n

n n

n

设收敛数列 a 都以a为极限，数列

满足：存在正数 ，当 时，有a

则数列 收敛，且

例题

课堂练习

例题 2

1+n例1 求 的极限。

n

n例2 求数列 n 的极限。

1 2lim max( )n n nnkn

k

a a a

1 2 k

1 2 k

例3 设a , a , a是 个正数，证明：

a , a , a

返回

课堂练习

2 2 2

1 1 11. lim( ) 0

( 1) (2 )n n n n

证明：

2 2 2

1 1 12. lim( ) 1

1 2n n n n n

证明

返回

11 1 11 1 , , , ( 1) ,

3 4n

n

1例 证明，- 极限是零。

21 1

0 0 , 0

1 1

1

10

1( 1) 0

n

n

an n

nn

N n N

n

n

n

证： ，因 要使

只需 即可，即

取 ＝ ，当 时

成立

l i m

返回

2

2

32 lim 3

3n

n

n

例 证明

2

2 2

1

1

2

2

2

2

3 9 90 3 ( 3)

3 3

9 9 9, .

max 3, ,

33

3

3lim 3

3n

nn

n n n

n Nn

N N n N

n

n

n

n

证： ，因

要使 只需 即可取

取 当 时，有

即 返回

2

2

2 13

3 2 4 3n

n nx

n n

例 证明数列 的极限是 。

2

2 2 2

1 1

2 1 5 10 6 30,

3 2 4 3 3(3 2 4) 8 4

1 3 32 x , ,

3 4 4

3 1max 2, ,

4 3

1lim

3

n

nn

n n n n

n n n n n n

n nn

N N N n N x

x

n

证： 因

此不等式当 成立，要使 只需 即

取 ＝ ，取 ＝ 当 时，必有

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