Алгебра логики

Полнота системы функций. Нормальные формы.

Полные системы функций

Система функций является полой, если любая логическая функция может быть записана с помощью этих связок. Примеры:

1. - составляет сигнатуру алгебры логики

2. - используется в микроэлектронике3. - позволяет представить булевы функции в виде

полиномов (Полиномы Жегалкина)

Система функций «и-не»

Отрицание:

Конъюнкция:

Дизъюнкция:

Полиномы Жегалкина

Полином, где в качестве сложения используется , в качестве умножения , а все коэффициенты берутся из множества

Пример:

Критерий Поста

Система связок полна тогда и только тогда, когда она не содержится целиком в одном из классов:• монотонные функции

}

• функции, сохраняющие нуль

• функции, сохраняющие единицу

• линейные функции

• самодвойственные функции

Элементарная конъюнкция

Элементарная конъюнкция – конъюнкция переменных и/или их отрицаний.

Пример:

Элементарная дизъюнкция

Элементарная дизъюнкция –дизъюнкция переменных и/или их отрицаний.

Пример:

Конъюнктивная и дизъюнктивная нормальные формы

КНФ: конъюнкция элементарных дизъюнкцийПример:

ДНФ: дизъюнкция элементарных конъюнкцийПример:

Алгоритм построения КНФ/ДНФ

1. Перейти в сигнатуру алгебры логики (2. Преобразовать отрицания, оставив их только над

элементарными переменными (закон Де-Моргана)

3. Для ДНФ: Раскрыть скобкиДля КНФ: Воспользоваться дистрибутивным законом так, что бы дизъюнкции выполнялись раньше конъюнкций

Обозначение

Свойства:1. тогда и только тогда, если .2. тогда и только тогда, если 3. тогда и только тогда, если

Разложение функций по переменным

Всякую логическую функцию можно представить в виде:

где 1 ≤ k ≤ n

Пример разложения

Следствие 1.

Разложение по k-ой переменной:

Следствие 2.

Разложение по всем переменным:

Следствие: всякая логическая функция представима в сигнатуре алгебры логики.

Совершенные нормальные формы

Совершенная ДНФ: ДНФ, содержащая только полные и правильные конъюнкцииПример:

Совершенная КНФ: КНФ, содержащая только полные и правильные дизъюнкцииПример:

Построение СДНФ

Построить ДНФ:1. Перейти в сигнатуру алгебры логики (2. Преобразовать отрицания, оставив их только над

элементарными переменными3. Раскрыть скобкиПреобразовать ДНФ в СДНФ:4. Удалить повторяющиеся ЭК (оставив только одну)5. Сделать все ЭК правильными6. Сделать все ЭК полными7. Повторить шаги 3 и 4

Удаление повторяющихся ЭК

Если в формуле несколько одинаковых ЭК, то оставляем только одну

Преобразование ЭК в правильные

1. Если в ЭК переменная входит со своим отрицанием, удаляем эту ЭК из формулы

2. Если в ЭК переменная входит несколько раз, удаляем повторяющиеся переменные

Преобразование ЭК в полные

Если в ЭК не входит некоторая переменная, то дописываем к ней дизъюнкцию этой переменной с её отрицанием :

Построение СКНФ

Построить КНФ:1. Перейти в сигнатуру алгебры логики (2. Преобразовать отрицания, оставив их только над

элементарными переменными3. Применить дистрибутивный закон, что бы все

дизъюнкции выполнялись раньше конъюнкцийПреобразовать КНФ в СКНФ:4. Удалить повторяющиеся ЭД (оставив только одну)5. Сделать все ЭД правильными6. Сделать все ЭД полными7. Повторить шаги 3 и 4

Преобразование ЭД в полные

Если в ЭД не входит некоторая переменная, то дописываем к ней конъюнкцию этой переменной с её отрицанием :

Построение СДНФ по таблицe истинности

x y z F0 0 0 10 0 1 00 1 0 00 1 1 11 0 0 01 0 1 11 1 0 11 1 1 0

:СДНФ

Построение СКНФ по таблицe истинности

x y z F0 0 0 10 0 1 00 1 0 00 1 1 11 0 0 01 0 1 11 1 0 11 1 1 0

:СКНФ

С использованием принципа двойственности

Возьмём СДНФ для

Применим отрицание:

Получили СКНФ для