第五章 机械中的摩擦及机械效率

§5—1 概述§5—2移动副中的摩擦§5—3螺旋副中的摩擦§5—4转动副中的摩擦§5—5机械效率和自锁条件

§5—1 概述 1 ．摩擦： 机械工作时，两运动副元素间既有相对运动又有

相 互作用，故必存在 摩擦。 1 ）摩擦的不利方面： ① 消耗能量，降低效率。 ② 产生热量，温度↑→零件热胀 . 油润滑作用↓→妨碍机

械 正常工作 . ③ 使运动副元素磨损 . 2 ）摩擦的有利方面： 如带传动、螺栓联接等都是靠摩擦正常工作的。  2 ．研究摩擦的目的： 在设计机械时，尽量发挥摩擦的有利方面，克服或减小摩擦 不利方面

§5—2 移动副中的摩擦一．  平面摩擦： ① 滑块 2 与平面 1 组成移动副 ② 滑块 2 受外力 F 作用， F 可分解 成垂直于平面 1 的分力 Fy 和水 平分力 Fx ，∠（ F ， Fy ） =λ

1 ．移动副中的总反力 R12 ： 1 ）法向反力 N12 ： 平面 1 对滑块 2 的法向反力 N12 与 Fy 互为反作用力： N12 = -Fy

2 ）摩擦力 F12 ： ① 大小： F12 = fN12 = fFy

② 方向： F12 总是阻碍 2 相对 1 运动的，故必与 V21 反向 3）总反力 R12 ： R12 = N12 + F12

2 ．摩擦角 ψ ： 1 ）定义： ∠（ N12,R12 ） = ψ

2) R12 的方向： 总与 V21 成 90°+ψ 角，即∠（ R12,V21 ） =

90°+ψ. 3 ．自 锁： ∵ N12 = Fy

∴ Fx/ F12 = Fy tgλ/ N12 tgψ = tgλ/ tgψ

1 ） λ>ψ: Fx > F12 ，滑块 2 加速滑动 2 ） λ=ψ: Fx = F12 ，滑块 2 维持原运动状态（等速运动或静止） 3 ） λ<ψ: Fx < F12 ，无论 F 多大，都不能使 2 运动，这种现象叫自 锁。 二．楔形面摩擦 楔块 2 与 V 形槽 1 组成移动副 楔角 2θ ， V 形槽二侧面对 2 的 法向反力各为 N12/2

按垂直方向的力平衡条件有：

N12 12N2 2

Fy

θ θ

12

5-2图

yFN

θsin2

2 12yFN

θsin

112

∴ 1对 2的摩擦力 F12为： yvy FfF

ffNF

θsin1212

1 ．当量摩擦系数 fv ： fv= f/sinθ

2 ．当量摩擦角 ψv ： ψv =arctgfv= arctg(f/sinθ)

3 ．讨论： ∵ sinθ< 1 ∴ fv > f ，也就是说，楔面摩擦总大于平面摩擦，所以在需要

增加摩擦力的场合可用楔面摩擦。

三．斜面摩擦：

滑块 2 与倾斜 λ 角的斜面 1 组成移动副，滑块 2 受到铅垂力 Q ，水

平力 F 和 1 对 2 的总反力 R12 作用 1 ．正行程： 滑块 2 沿斜面等速上升，驱动力 F 可求出如下： ∵ 对 2 R12 + Q + F = 0

∴ F = Q·tg(λ+ψ) 2 ．反行程： 滑块 2 沿斜面等速下降。见图 b ，此时 R12 偏于

法线 另一侧， ψ 变号 F = Q·tg(λ-ψ) 1 ） λ>ψ 时， F > 0 是维持 2 等速下滑所需施加的阻力。 2 ） λ=ψ 时， F = 0 表示维持 2 等速下滑时无需施加任何水

平 压力 3 ） λ<ψ 时， F < 0 表示要使 2 等速下滑必须施加一水平拉

力

例 5—2 ．（见 P.58. ） 已知 Q.ψ.ψ1.λ 等 , 求 1 ）克服 Q 所需的水平推力 F. 2）防止在 Q作用下自行松脱所要施加的保持力 F′

解 :1 ）求 F: a. 按∠ (Rij,Vji) = 90°+ψ ，定出 R31 等的作用方向如图 .

b. 平衡条件 : 对 1: F + R31 + R21= 0

对 2: R12 + R32 + Q = 0

c. 图解如图 5-4b

)ψ90sin()]ψψλ(90sin[ 1

12

1

RQ

F/sin(λ+ψ+ψ1)=R21/sin( 90°-ψ1)

联解得 : F = Qtg(λ+ψ+ψ1)

2) 求 F′: 此时 Q 为驱动力 ,V13 等相对速度变向， R31 等反 力位于法线另一侧， ψ 和 ψ1 前的符号改变 . 于是 F′= Qtg(λ-ψ-ψ1)

§5—3 螺旋副中的摩擦为简便起见 , 通常将螺杆看作斜面 , 螺母看作滑块 , 于是螺旋副中的摩擦便成了斜 面摩擦 .一．矩形螺旋

1 ．正行程 : 螺母在作用于中径园柱面内的外力矩 M 作用下克服轴向力 Q 面拧紧。拧紧所需的外力矩 M 为 : M = F r2 = r2 Q tg(λ+ψ)

λ— 螺纹的螺旋升角 ψ— 摩擦角 2 ．反行程： 螺母在轴向载荷 Q 作用下而放松。此时相当于滑块沿斜面 下滑。维持等到速下滑的水平力 F = Q tg(λ-ψ) M = r2 F = r2 Q tg(λ-ψ)

1 ） λ>ψ 时， M > 0 表示需施加一外力矩 M 才能防止螺旋自 动松脱 2 ） λ<ψ 时， M < 0 表示需施加一外力矩 M 才能拧松螺旋。 即此时螺旋是自锁的。 3 ） λ=ψ 时， M = 0 这是自锁的临界情况。

二．三角形螺旋：三角形螺旋相当于楔面摩擦，由右图可见： N·cosβ = Q N = Q/cosβ令： fv = f/ cosβ

ψ1 = arctg fv

则 1 ．正行程（拧紧螺旋） M = r2 Q tg(λ+ψ2)

2 ．反行程（拧松螺旋） M = r2 Q tg(λ-ψ2)

§5—4 转动副中的摩擦 转动副一般由轴和轴承相配合组成 轴 颈：轴上与轴承的配合部分。 径向轴颈：承受径向载荷的轴颈。 止推轴颈：承受轴向载荷的轴颈

一．径向轴颈摩擦： 半径为 r 的轴颈２在径向力Ｑ和转矩Ｍ的 作用下在轴承１中等角速转动。在接触点 Ｂ，１对２作用有法向力 N12 和摩擦力 F12

１．总反力 R12 ： R12 = N12 + F12

１）大小和方向： 对２， ΣF = 0 得： R12 = -Q 即与 Q 等值反向 ２）作用线位置： 对２， Σ Ｍ o = 0 得： R12ρ= M ρ= M/R12 = M/Q

即： R12 对 O 的矩总与 ω21 反向，且作用线总与摩擦园（见下述）相切

２．摩擦园 １）摩擦园半径 ρ ：由于等速运动时， R12 总与 N12 成摩擦角ψ ，所以 ρ= r sinψ≈ r tgψ = rf 式中， r — 轴颈半径， f — 摩擦系数 ２）摩擦园： 以轴颈中心 O 为园心， ρ 为半径的园。 ３．讨论： 径向力Ｑ与转矩Ｍ可合成为一个合力Ｑ′，其作用线位置有以下三种情况： １）Ｑ′的作用线与摩擦园相切： R12 与Ｑ′等值、反向、共 线，轴颈２等速转动 ２）Ｑ′的作用线与摩擦园相割： R12＝－Ｑ′ , 但Ｑ′对于 O

的矩总小于 R12 的矩，故不能驱使２转动。 ３） ′ ′Ｑ的作用线与摩擦园相分离：Ｑ对 O的矩总大于 R12的矩，２加速转

例５－４ (P.62.) 已知机构及驱动力Ｆ 3 等，求平衡力 F1

解： 1. 作机构图，并以 A.B.C 为园心 ,ρ= fr 为半径作摩擦园 . 2. 定 R21 R23 的作用线 : 1) 杆 2 为二力压杆 . R23 .↘ R21↖

2)V3 向左时 , ACB↓. ABC↓.∠ ∠ 即 ω23 为 ccw. ω21 为 cw.

3)R23 对 C 的矩应与 ω32 反向 . 故 R23切于摩擦园下方 .

R21仿此 3. 求 R23 .R43: 对 3 F3 + R23 + R43 = 0

三力平衡必汇交 ( 于 G), 由此定出 R43 的作用点位置 . 图解如图 4. 求 F1 .R41: 对 1 R21 + F1 + R41 = 0

1 ）由上式可见， R41 总体方向↓ 2 ）三力交汇 定出 R41 作用线，图解如图 3 ） R41 对 A 的矩与 ω14 反向

二．止推轴颈摩擦： 止推轴颈 2 在轴向 力 Q及转矩 M 作用 下，在止推面 1 上 等速转动。经研究， 1 对 2 的摩擦力矩 Mf 可定出如下 :

1 ．非跑合止推轴颈： 非跑合止推轴颈指运转初期的轴颈。 此时，接触面可认为是平面，而压强 P=const ，于是 ρ处宽 dρ的微环上的微摩擦 力矩 dMf 为： dMf =ρdF =ρ(fdN)=ρfpds = 2πfpρ2dρ

式中 P = Q/π(r22-r1

2) 

2

1

2

1

r

r

r

rv2

122

31

322

21

22

ff fQrrr

rrfQ

3

2ρdρ

)rr(π

Qf2dMM ∴

其中： rv = 2(r2

3-r13)/3(r2

2-r12) ─── 当量摩擦半径

2 ．跑合止推轴颈： 轴颈跑合时，因接触面外圈相对速度大，磨损增加，压强p 减小；内圈则反之。 最终可认为压强 p 与位置半径 ρ 的乘积为常数，即： P pρ= 常数  按此 : 2

1

2

1

2

1

r

r

r

r

r

r12 )ρp)(rr(π2ρd)ρp(π2ρdρπ2ppdsQ

2

1

2

1

)ρ)((πρρ)ρ(π2 21

22

r

r

r

rff prrfdpfdMM

以上二式 消去 pρ= 常数 得： Mf = 1/2 fQ(r2+r1) = fQ rv

rv = (r2+r1)/2 ───跑合止推轴颈的当量摩擦半径。

§5—5 机械效率和自锁条件 机械工作时，总受到驱动力、工作阻力、有害阻力的作用。 输入功Wd ，输入功率 Pd : 驱动力所作的功或功率。 输出功Wr ，输出功率 Pr ： 工作阻力所作的功或功率。 损失功Wf ，损失功率 Pf ： 有害阻力所作的功或功率。 损失系数 ζ ： ζ= Wf/Wd = Pf/Pd

机械效率 η ： η= Wr/Wd = Pr/Pd = 1-ζ

( W∵ d = Wr + Wf )

Q F

vvQ F

f

5-10图

F

Q

d

r

FV

VQ

P

Pη

一、力（力矩）表示的 η:

图示起重装置在驱动力 F 作用下起吊

重物 Q,其效率 η 为 :

F

Q

d

r

FV

VQ

P

Pη

1 ．理想机械： 不存在摩擦的机械，即 η=1 的机械 Fo ： 理想机械克服工作阻力 Q 所需的驱动力。 显然： Fo ＜ F

Qo ： 在 F 作用下理想机械能克服的工作阻力。 显然 Qo ＞ Q

2 ．力表示的 η ： ∵ η= QVQ/FoVF = QoVQ/FVF = 1

∴ VQ/VF = Fo/Q = F/Qo

o

o

F

Q

Q

Q

F

F

FV

QVη

∴

3．力矩表示的 η ： 若将上述的力换成相应的矩，应有

ro

r

d

do

M

M

M

Mη

二． η 表示的自锁条件： ∵ 自锁是无论驱动力多大，都不能使机械运动的现象。其 实质是驱动力作的功总小于或等于最大摩擦力所作的功 ，即 Wd- Wf≤0

∴自锁时： η≤0 三．螺旋传动的效率 η ： 1 ．正行程： 此时，拧紧力矩 M 是驱动力矩，为： M = Qr2tg(λ+ψv)理想拧紧力矩 Mo ： Mo = Qr2tgλ

η= Mo/M = tgλ/tg(λ+ψv)

2 ．反行程： 此时，防松力矩 M 阻力矩： M = Qr2tg(λ-

ψv) 为 理想阻力 Mo ： Mo = Qr2tgλ

η= M/ Mo= tg(λ-ψv)/tgλ

例 5-8 ． 求例 5-2 （ P.58. ）正常工作时的 η及反行程的自锁条件。解 1. 正常工作时的 η ： 正常工作时，驱动力 F ： F = Qtg(λ+ψ+ψ1)

理 驱 Fo ： Fo = Q tg(λ)

η= Fo/F = tgλ/tg(λ+ψ+ψ1)

2. 反行程自锁条件： 此时 Q 是驱动力， F′ 是阻力 理想阻力 Fo′: Fo′= Qtgλ

η= F′/Fo′= tg((λ-ψ-ψ1)/tgλ≤0

即 λ≤ψ+ψ1

已知： 1 、 2 间无摩擦， 2 、 3 间的摩擦系数 为 f ，和长度 e 、 b 求：为使 2 不自锁， b应多长解： 在 F 作用下， 2 将逆时针偏转，从而与 3 压紧于 B 、 C 两点，同时有向上运动趋势。 ∴R32′ ， R32″ ，如图 设 Q 是 2 上的工作阻力，则 ΣFx = 0 R32′cosψ= R32″cosψ

即： R32′= R32″

ΣFy = 0 F – Q -2R32′sinψ= 0

ΣMc = 0 F e - R32′cosψ b = 0

例 5-9 （ P.67. ）

解得： 2R32′sinψ= F - Q

R32′cosψ= F e/b

∴ 2tgψ = 2f = b(F – Q)/Fe F = Qb/(b – 2ef) 理驱 Fo: 令 f = 0 Fo = Q

η = Fo/F = (b – 2ef)/b 构件 2 要不自锁，必须 η＞ 0 ， 即 b＞ 2ef