第二章静电场中导体和电介质

主要内容

1. 静电场中导体的性质

2. 静电场中电介质的性质

3. 电容器的性质

4. 电场能量

§2.1 静电场中的导体

1. 导体的静电平衡条件

2. 电荷分布

3. 导体壳（腔内无带电体的情形）

4. 导体壳（腔内有带电体的情形）

2.1.1 导体的静电平衡条件 当一带电体系中的电荷静止不动，从而电场

分布不随时间变化时，则该带电体系达到了静电平衡。

均匀导体的静电平衡条件就是其体内场强处为 0 。

从导体静电平衡条件还可导出以下推论： （ 1 ）导体是个等位体，导体表面是个等位

面。 （ 2 ）导体以外靠近其表面地方的场强处处

与表面垂直。

2.1.2 电荷分布 （ 1 ）体内无电荷 在达到静电平衡时，到体内部处处没有未抵

消的静电荷（即电荷得体密度 ρe= 0 ） , 电荷只分布在导体的表面。

（ 2 ）面电荷密度与场强的关系 在静电平衡状态下，导体表面之外附近空间

的场强 E 与该处导体表面面电荷密度 σe 有如下关系： E=σe/ε0

（ 3 ）表面曲率的影响 尖端放电

孤立导体表面附近的场强分布同教材中式（ 2.1 ），即尖端的附近场强大，平坦的地方次之，凹进的地方最弱。当导体尖端附近的电场特别强时，就会导致尖端放电。

2.1.3 导体壳（腔内无带电体的情形）（ 1 ）基本性质 当导体壳内没有其它带电体时，在静电平

衡下，（ⅰ）导体壳的内表面上处处没有电荷，电荷只能分布在外表面；（ⅱ）空腔内没有电场，或者说，空腔内的电位处处相等。

（ 2 ）法拉第圆筒 如教材中图 2-10 所示，圆筒 C 即为法拉

第圆筒，它能把带电体上的全部电荷转移到圆筒 C 的外表面上去。

（ 3 ）库仑平方反比率的精确验证 用实验方法来研究导体内部是否确实没有

电荷，可以比库仑扭秤实验远为精确的验证平方反比律。

卡文迪许的验证实验装置见教材中图 2-11 。实验时，先使连接在一起的球 1 和壳 3 带电，然后将导线抽出，将球壳 3 的两半分开并移去，再用静电计检验球 1 上的电荷。反复实验结果表明球 1 上总没有电荷。

2.1.4 导体壳（腔内有带电体的情形） （ 1 ）基本性质 当导体壳腔内有其它带电体时，在静电平

衡状态下，导体壳的内表面所带电荷与腔内电荷的代数和为 0 。

（ 2 ）静电屏蔽 导体壳的表面“保护”了它所包围的区域，

使之不受导体壳外表面上的电荷或外界电场的影响，这种现象称为静电屏蔽。

静电屏蔽现象在实际中有重要的应用。

§2.2 电容和电容器

1. 孤立导体的电容

2. 电容器及其电容

3. 电容器的并联、串联

4. 电容器储能（电能）

2.2.1 孤立导体的电容 所谓“孤立”导体，是说在这个导体的附近

没有其它导体和带电体。 设想使一个孤立导体带电 q ，它将具有一

定的电位 U, 定义： C=q/U, 称之为该孤立导体的电容。 它的物理意义是使导体每升高单位电位所需的电量。

电容的单位叫做法拉，简称法，用 F表示：1F=106 μF =1012 pF

2.2.2 电容器及其电容 如教材中图 2-21 所示的这种由导体壳 B

和其腔体内的导体 A组成的导体系，叫做电容器 , 其电容 CAB=qA/(UA-UB)。组成电容器的两导体叫做电容器的极板。

电容器在实际中（主要在交流电路、电子电路中）有着广泛的应用。

以下推导几种不同类型电容器电容公式的（在下面的计算中暂不考虑绝缘介质，即认为极板间是空气或真空）：

（ 1 ） 平行板电容器 平行板电容器由两块彼此靠得很近的平行金属极板组成。设两极板A、 B的面积为 S , 带电量分别为±q , 则电荷的面密度分别为

±σe =±q/S 根据式（ 2.1 ），场强为 E = σe/ε0 ， 电位差为

根据电容的定义

0

Be

AB A

dU Edl Ed

S

0

AB

SqC

U d

(2) 同心球形电容器 同心球形电容器由两个同心球形导体 A、 B组成。设同心球形导体 A、 B所带电荷分别为±q ，其半径分别为 RA和 RB（ RA<RB），由

高斯定理可知 则 A、 B之间的电位差

同心球形电容器的电容

20

1

4

qE

r

20 0 0

1 1 1( )

4 4 4

B

A

B RB A

AB A RB A A B

R Rq q qU Edl dr

r R R R R

04 A B

AB B A

R RqC

U R R

（ 3 ） 同轴柱形电容器 同轴柱形电容器由两个同轴柱形导体 A、 B组成。设两个同轴柱形导体 A、 B半径分别为 RA和 RB（ RA<RB），长度为 L。当 L≥RB -RA利用高斯定理可知，

其中 λ是每个电极在单位长度内电荷的绝对值。两柱形电极A、 B间的电位差为

同轴柱形电容器电容为

02E

r

0 0

1 12 2 ln

B

A

B

A

RBR

AB r RA R

U E dL dr

B0

A

R2 L/ ln

RC

由上可知，计算电容的步骤是： （ⅰ） 设电容器两极上分别带电荷±q ，

计算电容两极间的场强分布，从而计算出两极板间的电位差 UAB来；

（ⅱ）所得的 UAB必然与 q成正比，利用电容的定义 C=q/UAB求出电容，它一定与 q 无关，完全由电容器本身的性质（如几何形状、尺寸等）所决定。

2.2.3 电容器的并联、串联 （ 1 ） 并联 电容器并联时，总电容等于个电容器电容之

和。

(2) 串联 电容器串联后，总电容的倒数是各电容器电

容的到数之和

1 2 nC C C C

1 2

1 1 1 1nC C C C

2.2.4 电容器储能（电能） 设每一极板上所带电荷量的绝对值为 Q, 两极板间的电压为 U, 则电容器储存的电能

从这个意义上说，电容 C也是电容器储能本领大小的标志。

2 21 1 12 2 2Q

e CW CU QU

§2.3 电介质

1. 电介质的极化2.极化的微观机制3.极化强度矢量 P4.退极化场5. 电介质的极化规律 极化率6. 电位移矢量与有介质时的高斯定 介电常数7. 电介质材料的新应用

2.3.1 电介质的极化 电介质就是绝缘介质，它们是不导电的。

把电介质插入电场后，由于同号电荷相斥，异号电荷相吸的结果，介质表面上会出现如教材中图 2-33 所示正负电荷，这种现象叫电介质的极化，它表面出现的这种电荷叫极化电荷。

2.3.2 极化的微观机制 电介质可以分为两类： （ 1 ）无极分子： 当外电场不存在时，电

介质分子的正负电荷“重心”是重合的。

（ 2 ）有极分子： 当外电场不存在时，电介质分子的正负电荷“重心”不重合。

有极分子中等量的正负电荷“重心”互相错开形成的电偶极矩叫做分子的固有极矩。

（ 1 ） 无极分子的位移极化 在外加电场作用下，无极分子原本重合的正负电荷“重心”错开了，形成了一个电偶极子，分子电偶极矩的方向沿外电场方向。这种在外电场作用下产生的电偶极矩称为感生电矩。

在外电场的作用下电介质出现极化电荷的现象，就是电介质的极化。

在外场作用下，主要是电子位移，因而无极分子的极化机制通常称为电子位移极化。

（ 2 ）有极分子的取向极化 在外电场作用下，由于绝大多数分子电矩的

方向都不同程度的指向右方，所以教材图2-35中左端出现了未被抵消的负束缚电荷，右端出现正的束缚电荷，这种极化机制称为取向极化。

2.3.3 极化强度矢量 P（ 1 ）定义

它是量度电介质极化状态（包含极化的程度和极化的方向）的物理量。

它的单位是库仑 /米 2 。 如果在电介质中各点的极化强度矢量大小和方向都相同，则称该极化是均匀的；否则极化是不均匀的。

P

VP 分子

（ 2 ）极化电荷的分布与极化强度矢量的关系

以位移极化为模型，设想介质极化时，每个分子中的正电“重心”相对负电“重心”有个位移 l。用 q 代表分子中正、负电荷的数量，则分子电矩P 分子=ql。设单位体积内有

n个分子，则极化强度矢量 P=np 分子=nql。

取任意闭合面 S,根据电荷守恒定律， P通过整个闭合面 S的通量应等于S面内净余的极化电荷∑ q′的负值 ，即

这个公式表达了极化强度矢量 P与极化电荷分布的一个普遍关系。

( )

'S

dS q 内S（ ）

P

可以证明，如果介质时均匀的，其体内不会出

现净余的束缚电荷，即极化电荷的体密度 。 在电介质的表面上，极化电荷的面密度为 这里P·n=Pn=Pcosθ 是 P沿介质表面外法

线 n方向的投影。

' 0e

'' cosdqe ndS P P n P

2.3.4 退极化场 在有点介质存在时，根据场强叠加原理，空

间任意一点的场强 E 是外电场 E0 和极化电荷的电场 E′的矢量和：

E = E0 + E′

极化电荷在介质内部的附加场 E′总是起着减弱极化的作用，故叫做退极化场。退极化场的大小与电介质的几何形状有着密切的关系。

2.3.5电介质的极化规律 极化率 对于大多数常见的各向同性的电介质， P

与 ε0E 方向相同，数量上成正比关系： P=χeε0E 比例常数 χe叫做极化率，它与场强 E 无关，

与电介质的种类有关，是介质材料的属性。

2.3.6 电位移矢量与有介质时的高斯定理 介电常数 在有电介质存在时，高斯定理仍然成立，但应注意

计算总电场的电通量时应计及高斯面给所包含的自由电荷 q 和极化电 荷 q ′:

又有：

将前式乘以 ε0 ，与后式相加，消去极化电荷∑ q′，

0

10

( )

( ')ss

E dS q q 内

( )

'ss

P dS q 内

0 0

( )

( )ss

E P dS q 内

现引入一个辅助性的物理量 D，它的定义为： D =ε0E + P D叫做电位移矢量，或电感应强度矢量，则

此外，由 P=χeε0E ， D =ε0E + P 可推出： D= （ 1+χe ） ε0E= εε0E

其中比例系数 ε = 1+χe ，叫做电介质的介 电常数，或相对介电常数。

0( )( )

qSS

D dS 内

2.3.7 电介质材料的新应用 电介质可以是气态、液态或固态，品种繁多，分布广泛。固态电介质具有电致伸缩、压电性、热释电性、铁电性等许多可供技术应用的物理特性。

1.高介陶瓷的新应用： 高介陶瓷与其它电介质材料相比，具有一

个非常突出的性能，就是具有高介电常数。它比有机聚合物要高上千倍，有的甚至上万倍。因此人们一般用它们来做电容器，例如，高介电容器、微波介电陶瓷、反铁电储能电容器

2.压电性的应用： 压电应用是各类耦合应用中最广泛的，利用压电原理的应用大体可分成静态（包括准静态）和动态（从次声频到超高频微声）两大类。

利用压电静态原理的器件有：压电点火、引燃、引爆器件；压电开关；压电微位移器；应力分布测试仪等。

利用压电动态原理的器件有：压电水声换能器；压电扬声器；超声清洗器；压电滤波器等。

3.热释电的应用： 热释电效应的应用主要包括红外探测和热电

量转换两个方面。 红外探测方面的应用主要有：入侵报警器；火警传感器；辐射计。

热电量转换方面的应用主要有：铁电 -顺电相变换能；铁电 - 反铁电相变换能；反铁电 -顺电相变换能；铁电 -铁电相变换能。

4.铁电高功率脉冲电源 铁电高功率脉冲电源又常被称为冲击波爆电换能器，是铁电体所特有的应用。

5.铁电薄膜存储器 铁电薄膜的应用主要有：高容量 DRAM器

件；电荷耦合的红外探测器（ CCDS)；铁电场效应晶体管；铁电薄膜压电器件。

§2.4 电场的能量和能量密度

电容器的储能公式为： 上式中 Q0 为极板上的自由电荷，它与电位移的关

系是 Q0 =σeoS=DS ； U 是电压，它与场强的关系是 U=Ed。代入上式，得

单位体积内电能，即电能密度ω e 为 在真空中， ε = 1 ，则

0

1

2eW QU

1 1

2 2eW DESd DEV

20

1 1

2 2e

eW DE EV

20

1

2eE

当电场不均匀时，总电能We 是电能密度ω e

的体积分：

在真空中上式化为：

20

2 2e e

EDEW dV dV dV

20

2 2e e

EDEW dV dV dV

小 结一 . 静电场中的导体 1. 均匀导体静电平衡条件： E=0 2. 导体静电平衡性质： ①电场： E 内 =0 E 表面 =σ /ε0 ②电位：导体是等位体，表面是等位面 ③电荷：内部无电荷，电荷只分布在外 表面 曲率大 σe 大， E 大；反之，相反

3. 导体壳（腔内不带电）： ①内表面无电荷，电荷只分布在外表面 ②腔内无电场，电位相等 4. 导体壳（腔内带电）： 内表面的电荷与腔内电荷代数和为 0 5. 静电屏蔽： 导体壳保护它所包围区域，使之不受导 体壳外表面电荷或外界电场势能影响

二 . 电容器及其电容 1. 电容（ C=q/U ） ①平行板： ②同心球形： ③同轴柱形：

0SCd

04 A B

B A

R RC

R R

0

12C ln A

B

RAB R

2. 电容器串、并联 ①串联：

②并联：

3. 储能

1 2

1 1 1 1nC C C C

1 2 nC C C C

2 21 1 12 2 2Q

e CW CU QU

三 . 静电场中的电介质 1. 电介质极化 外电场作用时，电介质将产生正负电荷 2. 电介质分类 ①无极分子：外场不存在，正负中心重合 ②有极分子：外场不存在，正负中心不重合，且∑ q =0

3.极化方式 ① 位移极化 ② 取向极化 4.极化宏观效果 ①

②在介质某些地方有极化电荷

③ 在介质内部产生退极化场 E = E0 + E′

P

VP 分子P =0 电矩

( )

'S

dS q 内S（ ）

P e' P cos

5.极化规律 对均匀介质 P=χeε0E 6. 介质中的高斯定理 对均匀介质 D= （ 1+χe ） ε0E= εε0E 7. 比较 P、 E 、 D

0( )( )

qSS

D dS 内

( )

'S

dS q 内S（ ）

P

0( )( )

qSS

D dS 内

D =ε0E + P

0(S)

qEdS=

四 . 电场能量 1. 能量密度

2. 静电能

1

2eDE

e eW dV