３囚人問題は図による問題表象寺尾敦（青山学院大学）　　　伊藤朋

子

なぜ難しいのか構築支援の効果（日本学術振興会・早稲田大学）

目的• ３囚人問題の解決援助を行い，高い正答率を達成することで，３囚人問題の難しさがどこにあるのかを明らかにする．–支援の効果あり＝解決の難所–高い正答率を達成した先行研究なし．–ベイズの定理を学習後に３囚人問題に取り組む．先行研究での参加者のほとんどはベイズの定理を知らない．

（変形）３囚人問題• ３人の囚人Ａ，Ｂ，Ｃがいて，１人が釈放され，２人が処刑される．

• それぞれの釈放確率は， 1/4， 1/4， 1/2．

• 誰が処刑されるか知っている看守に対し，囚人Ａが，「ＢとＣのうち，処刑される１人の名前を教えてくれないか」と頼む．

• 看守は「Ｂは処刑される」と答えた．• Ａの釈放される確率はいくらか？

３囚人問題の難しさ• 多くの先行研究で，正解者はほとんどいない．–さらに，正解をきいても納得できない．

• ベイズの定理を学習し，「ベイズ型くじびき課題」への正答率が上がった後（ 54.4%）でも，３囚人問題での正答率は０％だった．（ 2009年の教育心理学会に報告した実験での，未発表データ）

ベイズ型くじ引き課題くじびき遊びをします．くじ袋の中には，白箱と黒箱がひとつずつ入っています．白箱の中には赤いボール２個と青いボール１個，黒箱の中には赤いボール１個と青いボール１個が入っています．箱もボールもそれぞれ同形同大で，触っただけでは区別できません．袋の中の箱もその中のボールもよく混ぜてから，袋の中を見ないで手を入れ，まず箱をひとつ選び，さらに，選んだ箱の中から，箱の中を見ないで手を入れボール（くじ）をひとつ選びます．取り出したボールが赤なら当たりで，青ならはずれです．

赤赤青 赤赤

赤赤青

方法• 参加者：青山学院大学社会情報学部での１年生必修科目「統計入門」の受講者 57名 .

方法• 手続き：確率についての授業を２週にわたって実施．

学習（加法定理・乗法定

理）テスト

学習（ベイズの定理） テスト

第１週

第２週

くじびき

くじびき

３囚人（１）３囚人（２）

問題演習

問題演習

方法• 授業で学習した樹形図あるいはルーレット図を描いて，課題解決を試みた．–くじびき：樹形図 50名，ルーレット図 7名–３囚人：樹形図 54名，ルーレット図 3名

• ３囚人問題への１回目のトライでは未完成の図，２回目は完全な図（＋説明）が提示された．

• 授業資料参照可．３囚人問題ではくじびき課題の正解を参照することが許された．

方法• 樹形図（未完成）

Ａ釈放

Ｂ釈放

Ｃ釈放

4

1

4

1

2

1

方法• 樹形図（完成）

Ａ釈放

Ｂ釈放

Ｃ釈放

4

1

4

1

2

1

「Ｂは処刑される」と言う

「Ｂは処刑される」と言う

「Ｃは処刑される」と言う

「Ｃは処刑される」と言う

2

1

2

1

１

１

2

1

4

1

2

1

4

1

14

1

12

1

方法• ルーレット図（未完成）

P{C 釈放 }=2

1

P{A 釈放 }=4

1

P{B 釈放 }=4

1

方法• ルーレット図（完成）

P{C 釈放 }=2

1

P{A 釈放 }=4

1

P{B 釈放 }=4

1

P{C 釈放 and 「 Bは処刑される」と言う }

=1

2

1

P{A 釈放 and 「 Bは処刑される」と言う }

=2

1

4

1

２つの課題での成績３囚人＋完全な図

合計正答 誤答

くじ引き

正答 24 18 42

誤答 9 6 15

合計 33 24 57

３囚人問題でのパフォーマンス• １回目のチャレンジ（不完全な図提示）–３名が正しい樹形図を作成–３囚人問題への正解者なし．

• ２回目のチャレンジ（完全な図提示）– 33名（ 58%）が正解．–くじ引き課題に失敗しても，３囚人問題を解決できているのは，（くじ引き課題への解答後に）くじ引き課題の正解が提示されたため？

結論• ベイズの定理を学習し，正しい表象形成の支援を受ければ，高い確率で３囚人問題に正解することができる．–正答率は 58％．先行研究および出発点データでの（ほぼ）０％の正答率に比べれば，非常に高い．

• 尤度の表象を形成することが難しい．–ベイズの定理を使用するスキルがあっても（くじ引き課題に正答できても），完全な図なしでは３囚人問題は困難．