《《数学》数学》 (( 人教版人教版 .. 八年级 上册 八年级 上册 ))

开发区职中　梁小君开发区职中　梁小君

复习回顾：复习回顾：1 、多项式的乘法法则是什么？ 用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加再把所得的积相加 ..

n)b)(m(a anam bnbm

22 、 平方差公式：、 平方差公式： (a+b)(a+b)(a(a−−b)=ab)=a22-b-b22结构特征： 左边是左边是 两个二项式的乘积两个二项式的乘积 , ,

即两数和与这两数差的积即两数和与这两数差的积 ..右边是右边是 两数的平方差两数的平方差 ..(a+b)(a+b)••(a+b)=(a+b)= ？？

SS 财财 =(a+b)=(a+b)22

abab

aa22

bb22

阿凡提土地：阿凡提土地：

我拿三块我拿三块土地和你土地和你换吧换吧 !!aa

aa

bb

bb

财主土地：财主土地：

SS 阿阿=a=a22+ab+b+ab+b22

aa

aa

bb

bb

aa22

abab bb22

财主土地财主土地阿凡提土地阿凡提土地

aa22 abab bb22财主财主多多 abab

=a=a22+ab+b+ab+b22++abab

初识 完全平方公式

公式公式 11 :: (a+b)(a+b)22 =a =a22+2ab+b+2ab+b22

SS 财财 = S= S 阿阿 ++

abab财主土地面积财主土地面积 ::

((aa++bb))2 2 ==推证推证 ((aa++bb)) ((aa++bb)) == aa22++aabb++ aabb++bb22

== aa22++22aabb++ bb22;;

小颖写出了如下的算式小颖写出了如下的算式 ::(a(a−−bb))22== [a[a++((−−bb)])]22

她是怎么想的她是怎么想的?? 你能继续做下去吗你能继续做下去吗 ??

？？？？？？((aa−−bb))22== [[aa++((−−bb)])]22

22aabb== aa22 −− bb22++22 )( )( 2aa -b-b -b-b

公式公式 22 :: (a-b)(a-b)22 =a =a22-2ab+b-2ab+b22

((aa++bb))22==aa 22++22aabb++bb2 2 ;; ((aa--bb))22==

公式的特点

完全平方公式：((aa±±bb))2 2 = = aa22±±22aabb++bb2 2

即：两个数的和（或差）的平方，等于它们即：两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的的平方和，加上（或减去）它们的积的 22 倍。倍。☞☞ 左边是二项式的平方，右边是一个

二次三项式；☞☞ 三项式中两项为两数的平方和；☞☞ 另一项是两数积的 2 倍，

且与左边二项式中间的符号相同。首平方，末平方，首末两倍中间放

(1) (p+1)2 =p2+2p+1 (2) (x-3)2 =x2-6x+9

(3) (m+2)2 =m2+4m+4 (4) (1 － m)2 =1-2m+m2

11 、口答，看谁的反应快！、口答，看谁的反应快！

公式：公式： ((aa±±bb))2 2 = = aa22±±22aabb++bb2 2

22 、判断：、判断：(1)(x+y)2=x2 +y2 错错 (x +y)2 =x2+2xy +y2

(2)(x -y)2 =x2 -y2 错错 (x -y)2 =x2 -2xy +y2

理解与体验理解与体验 例例 1 1 利用完全平方公式计算：利用完全平方公式计算： (1)(1) (2(2xx++1)1)22 ； ； (2)(2) (4 (4mm−−nn))22

(a+b)(a+b)22 = a = a2 2 + 2ab + b+ 2ab + b22

(2(2xx++1)1)22 = = ( )( )2 2 ++2 2 • • ( )( )++( )( ) 22 22xx 22x x • • 11 11

解解 :: （（ 11 ））

(2(2xx++1)1)22 = = (2(2xx))2 2 ++2 2 •• (2x)(2x) • • 1 1 + + 11 22

44xx22 ++ 44xx ++ 11==注意注意 公式中的字母公式中的字母 aa ，， bb 可以表示数，单项式和多项式。可以表示数，单项式和多项式。

理解与体验理解与体验 例例 1 1 利用完全平方公式计算：利用完全平方公式计算： (1)(1) (2(2xx++1)1)22 ； ； (2)(2) (4 (4mm−−nn))22

注意注意先把要计算的式子与完全平方公式对照先把要计算的式子与完全平方公式对照 , ,

明确哪个是 明确哪个是 aa , , 哪个是哪个是 b.b.

(2)(2) ((44mm−−nn))22 == ((4m4m))22 −−2 2 •• ((4m4m) ) ••nn++nn22

== 16m16m22 −8mn + n −8mn + n22

(1) (1) (2(2xx++1)1)22 = = (2(2xx))2 2 ++2 2 ••(( 2x)2x) • • 1 1 + + 11 22

44xx22 ++ 44xx ++ 11==解：解：

即：记清公式、代准数式、准确计算。即：记清公式、代准数式、准确计算。

随堂练习随堂练习我来做一做我来做一做

计算：巩固公式并正确应用计算：巩固公式并正确应用 (1)(1)(y(y −5−5))2 2 ;; (2) (2) ( -2( -2+ a+ a))22 ;;

(3)(3) ;21)2n(

(4) (4) (2(2b- ab- a))2 2 ..31

(1)(1)(y(y −5−5))22 (2) (2) (-2+a)(-2+a)22

1n4n112

n2)2n(

222

2

n (3) (3) ( ( + 1+ 1))22

=y=y22 -2 -2 ••y y ••5+55+522

= y= y22 -10y +25 -10y +25

=(-2)=(-2)22 +2×(-2) +2×(-2)••a+aa+a22

= = 4 -4a +a4 -4a +a22

解：解：

31

(4) (4) ( 2b( 2b - - a a ))22

22

22

a91ab3

44b

a)31(a)3

1((2b)2(2b)

变一变 试一试试一试

（ 1 ） 1022 （ 2 ） 992

例 2 、运用完全平方公式计算：变一变，你还会做吗？变一变，你还会做吗？

解： (1) 1022= ( 100+2)2

=1002+2×100×2+22=10404

(2) 992 =(100 － 1)2

=1002 － 2×100×1+12=9801

11 、填空：、填空： ⑴⑴(x+____)(x+____)22= x= x22+ ______+36 + ______+36 ；； ⑵ ⑵ (_________)(_________)2 2 = 9a= 9a22―______+16b―______+16b22 ；； ⑶⑶(_____+2 )(_____+2 )22=_____+ 4p+4 ;=_____+ 4p+4 ; ⑷⑷ (a(a －－ _____ )_____ )22=a=a2 2 －－ a+ _____a+ _____

22 、已知 、已知 (a-b)(a-b)22=25=25 ，， ab=3ab=3 ，求，求 aa22+b+b22 的值。的值。

4b3a 24ab

21

再试试再试试

答案：答案： 3131

活用公式活用公式 66 12x12x

pp pp22 解析解析解析解析

41

分析：分析：由公式 由公式 (a(a －－ b)b)22 =a =a22 －－ 2ab+b2ab+b22 ，可，可得得aa22+b+b22= (a= (a －－ b)b)22+2ab =25+2×3=31+2ab =25+2×3=31

**““ 我们刚学习的完全平方公式我们刚学习的完全平方公式 :(:(aa++bb))22 = a= a22+ 2ab +b+ 2ab +b22 ，你的，你的同桌不明白这个公式是什么意思，你将同桌不明白这个公式是什么意思，你将如何如何向她解释？可以在向她解释？可以在解释时使用图片或图形。解释时使用图片或图形。”” ** 在解题过程中要准确确定在解题过程中要准确确定 aa 和和 bb 、对照公式原形的两边、对照公式原形的两边 , , 做做到不丢项、不弄错符号、到不丢项、不弄错符号、 22abab 时不少乘时不少乘 22 ；首项、末项；首项、末项被平方被平方时要注意添括号时要注意添括号 , , 是运用完全平方公式进行多项式乘法的关键是运用完全平方公式进行多项式乘法的关键。。** 有时需要进行变形，使变形后的式子符合应用完全平方公式的有时需要进行变形，使变形后的式子符合应用完全平方公式的条件，即为“两数和条件，即为“两数和 (( 或差或差 )) 的平方”，然后应用公式计算。的平方”，然后应用公式计算。

2 2 22 ×× ++ 22（ ）（ ） 22 = =

试一试试一试 ::

11 、 计算：、 计算： (-n-1)(-n-1)22

22 、、计算： 计算： (a+b+c)(a+b+c)22

33 、、已知 已知 4x4x22+mx+25+mx+25 是一个完全平方式，是一个完全平方式， 则则 m=_______m=_______

P156:2P156:2 、、 33 、、 44 阅读阅读 P157P157 “ “ 阅读与思考”阅读与思考” 作业作业

开拓新视野 你会更聪明

⑶⑶(_____+2 )(_____+2 )22== __ + 4p + 4 __ + 4p + 4 = __+ 2= __+ 2••pp••2+ 22+ 222

(a+b)(a+b)22 = a = a2 2 + 2ab + b+ 2ab + b22

解析解析

∴∴可得：可得： (p+2)(p+2)22=p=p22+4p+4 +4p+4

⑷ ⑷ (a(a －－ ___ )___ )2 2 == aa22 －－ a + a + ______ (a(a －－ b)b)22 = a = a2 2 －－ 2ab + b2ab + b22

解析解析

∴∴可得：可得： (a(a －－ ))22=a=a22 －－ a+ a+ 21

41

=a=a22 － － 22••aa•• + __+ ____ 2

1=a=a22 － － 11••a+ ___a+ ___

一号题二号题

三号题四号题

圣诞老人的礼物在下列四个金蛋中 , 你只要正确回答他的问题 , 你就能得到他的礼物 .

下列等式是否成立下列等式是否成立 ? ? 说明理由．说明理由．(1)(1)((44aa+1)+1)22=(1−4=(1−4aa))22 ；； (2) ((2) (44aa−1)−1)22=(4=(4aa+1)+1)22 ；；(3) (4(3) (4aa−1)(1−4−1)(1−4aa))＝＝ (4(4aa−1)(4−1)(4aa−1)−1)＝＝ (4(4aa−1)−1)22 ；；(4) (4(4) (4aa−1)(−1)(1−41−4aa)) ＝＝ (4(4aa−1)(4−1)(4aa+1).+1).

成立成立成立成立

不成立．不成立．不成立．不成立．

1 号题：

填空题：（ 1 ） (-3x+4y)2=_____________．（ 2）（ -2a-b） 2=____________．（ 3） x2-4xy+________=（ x-2y） 2．（ 4） a2+b2=（ a+b） 2+_________．（ 5 ） a2+______+9b2= （ a+3b） 2

14

12

2 号题：9x2-24xy+16y2 4a2+4ab+b2

4y2 （ -2ab)

3ab

选择题 （ 1）如果 x2+mx+4是一个完全平方公式，那么m 的值是（ ） A． 4 B． -4 C．±4 D．±8 （ 2）将正方形的边长由 acm增加 6cm，

则正方形的面积增加了（ ） A． 36cm2 B． 12acm2

C．（ 36+12a） cm2 D．以上都不对

3 号题：c

c

思考题：已知：

求： 和 的值31

xx

22 1

xx 21 )

xx(

4 号题：