第三章 方程

一、方程的历史发展及其科学价值

二、方程的定义

三、一元方程的同解性

四、几种常见方程的变形

五、解方程的常用方法

一、方程的历史发展及其科学价值

㈠方程发展简史

公元前 1700 年时期古埃及数学著作《兰德纸草书》记载：一个量，加上它的，等于 19，求这个量。另一部古埃及数学著作《柏林纸草书 6619 》上有一个题目是“将一个面积为 100 的大正方形分为两个小正方形，一个边长是另一个的”。古巴比伦泥板书上也有类似的数学问题：“两数互为倒数，二者之差是7，求这两个数”。

欧几里得《几何原本》中则有很多问题还要用到解二次方程。

中国古代数学著作《九章算术》中有“方程”章，包含了很多关于方程的问题。“今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗。问上、中、下禾实一秉各几何？”《九章算术》没有表示未知数的符号，而是用算筹将 的系数和常数项排列成一个（长）方阵，这就是“方程”之一名称的来源。

希腊数学家丢番图《算术》中，讨论了一次方程、二次方程和个别三次方程，还讨论了大量的不定方程。印度数学家阿耶波多在《阿耶波多历数书》中给出了二次方程的求解方法。婆罗摩笈多在公元 628 年完成的《婆罗摩笈多修正体系》一书中，也给出了一般二次方程的求根公式。

zyx ,,

花拉子米的《代数学》一开头就指出：下列的问题，都是由根、平方与数这三样东西组成的。该书给出了六种类型一、二次方程，分六章来叙述。

13 世纪的中国，在求高次方程数值解，以及解高次联立方程上有重大贡献。 1247 年，秦九昭给出了一般高次方程的数值解法。李冶创立的“天元术”（ 1248 年）和朱世杰使用的“四元术”（ 1303 年）能够求解一大类的高次联立方程。

16世纪最伟大的数学成就是发现了三次方程和四次方程的求根公式。1515年，费罗用代数方法求解三次方程 nmxx 3 。1535年塔塔利亚宣布自己发现了形如 nmxx 23 的三次方程代数解法。1545年，卡尔丹在《大衍术》中给出了三次方程和四次方程的解法。三次方程 )0,(3 qpqpxx 的解法，实质是考虑

恒等式 333 )(3 babaabba ，若选取 ba, ，使得

qbapab 33,3 ，不难解出 3

32

3

32

322,

322

pqqb

pqqa ，于

是得到 ba 就是所求的 x，后人称之为卡尔丹公式。

人们开始讨论一般的五次方程的解法。欧拉和拉格朗日进行了尝试，但是都以失败告终。 19世纪鲁菲尼和阿贝尔都证明了一般的五次或五次以上的方程的根不可能用方程系数的根式表出。

㈡方程在中学数学中的地位和作用

高中阶段对方程学习有较高的要求，重点在于领会方程和函数之间的密切关系以及代数方程与几何图形之间的密切关系。具体包含以下几方面：函数与方程，直线与方程，圆与方程，圆锥曲线与方程，二阶矩阵与二元一次方程组、一阶线性差分方程、参数方程等等。

二、方程的定义

㈠方程的几种定义

目前中学数学教科书中通用的方程定义是：含有未知数的等式。但是，形如 121,1cossin 2222 xxxxx

之类的等式难以界定。

给出一个可以取代的定义：

方程是为了求未知数，在未知数和已知数之间建立的一种等式关系。好处在于

①它揭示了方程这一数学思想方法的目标：为了求未知数；②陈述了“已知数”的存在，解方程需要充分利用已知数和未知数之间的关系；③方程的本质是“关系”，而且是一个等式关系。

在高等数学中方程的定义：

形如 nn xxxgxxxf ,,,,,, 2121 的等式叫做方程，其中 nn xxxgxxxf ,,,,,,, 2121 是在它们定义域的交集内研究的两个解析式，且至少有一个不是常函数。

㈡方程的分类

无理方程

分式方程

高次方程二次方程一次方程

整式方程有理方程

代数方程

反三角方程三角方程对数方程指数方程

超越方程

方程

三、一元方程的同解性

定义 1 如果方程⑴ xgxf 11 的任何一个解都是方程⑵

xgxf 22 的解，并且方程⑵的任何一个解也都是

方程⑴的解，那么方程⑴和⑵称为同解方程。

两个无解方程认为是同解方程。

定理 1 如果函数 )(xA 对于方程 )()( xgxf 的定义域M中的数都有意义，那么方程⑴ )()( xgxf 与方程⑵

)()()()( xAxgxAxf 同解。

证

设 Mx 1 ，且有 )()( 11 xgxf ，从而有

)()()()( 1111 xAxgxAxf ，即方程 )()( xgxf 的每一个

解都是方程 )()()()( xAxgxAxf 的解。

如果 )()()()( 1111 xAxgxAxf ，由)()()()()()( 111111 xAxAxgxAxAxf ，

可得 )()( 11 xgxf ，即方程 )()()()( xAxgxAxf 的

每一个解也都是方程 )()( xgxf 的解

这两个方程是同解方程。

定理 2 如果函数 )(xA 对于方程 )()( xgxf 的定义域M

中的数都有意义，并且不等于零，那么方程⑴ )()( xgxf 与方程⑵ )()()()( xgxAxfxA 同解。

定理 3 如果 )()()( 21 xfxfxfxF k ，那么方程 0xF 的解集等于下列各个方程：

0)(,,0)(,0)( 21 xfxfxf k

的解集的并集，其中每一个解都属于这 k个方程的定义域的交集。

定 理 4 如 果 )()(),()( 2121 xgxgxfxf ， 方 程 ⑴)()( 11 xgxf 与方程⑵ )()( 22 xgxf 的定义域都是数集M ，

那么方程⑴与方程⑵同解。

四、几种常见方程的变形⒈方程 )()( xgxf nn 是方程 )()( xgxf 的结果；正整数 n是

对函数 )(),( xgxf 施行乘方运算的指数。可能产生增根，如44 5312 xx

⒉方程 )()( xgxf 是方程 nn xgxf )()( 的结果，不小于 2的整

数 n是对函数 )(),( xgxf 施行开方运算的根指数（ n为偶数时，0)(,0)( xgxf ）

⒊如果 )(),( 21 xgxg 不等于 0，那么方程 )(

)(

)(

)(

2

2

1

1

xg

xf

xg

xf 是方程

)(

)(

)(

)(

2

2

1

1

xf

xg

xf

xg 的结果。

⒋如果对于定义域中的数 )()( 11 xgxf ，且 )()( 22 xgxf ，那

么方程 )()(

)()(

)()(

)()(

22

22

11

11

xgxf

xgxf

xgxf

xgxf

是方程 )(

)(

)(

)(

2

2

1

1

xg

xf

xg

xf 的结果。

⒌方程 xgxf 是方程 xgxf lglg 的结果。

⒍方程 xgxf 是方程 xgxf sinsin 的结果。

五、解方程的常用方法㈠换元法

例 1 解方程 6)1)(43(76 2 xxx

令 yx 2

73

)2

1(

3

11,

2

143,276 yxyxyx则

18)2

1)(

2

1(2 2 yyy

即 0184 24 yy

解之得 2

1,

4

9 22 yy 。所以得到如下四个解

iyiyyy 2,2,2

3,

2

34321

换回原来变量得到原方程的解

ixixxx3

2

6

7,

3

2

6

7,

3

5,

3

24321

对于形如 0, 22 xaxf 或 0, 22 axxf 或 0, 22 axxf

的方程，可以引入三角代换使方程化为较简单的三角方程来求解。关键是使根号内的部分可以成为完全平方式，以便去掉根号。

形如 0)()( cxfbxfa mn

m 的方程，可令 m xfy )( ，将方程化为关于 y的整式方程。

形如 0)(

)(

)(

)(2

c

xg

xfb

xg

xfa 或 0

)(

)(

)(

)(

b

xf

xgc

xg

xfa 的分式方

程，可令 )(

)(

xg

xfu ，化为一个整式方程 02 cbuau 。

1 解方程 01256895612 234 xxxx

解：将方程表示为 08956)1(12 234 xxxx

因为 0x ，将方程两端乘以 2

1

x ，得

089)1

(56)1

(122

2 x

xx

x

设 yx

x 1，则 2

1 22

2 yx

x ，从而有

08956)2(12 2 yy

由此得 2

5y 或 6

13y 。

由 2

51

xx 或 6

131

xx 解得

3

2,

2

3,

2

1,2x

㈡引入参数法

例 2 已知实数 uzyx ,,, 满足 x

u

u

z

z

y

y

x ，求 uzyx

uzyx

的值。

解法一

令 kx

u

u

z

z

y

y

x ，则 .,,, kxukuzkzykyx 所以

)( uzyxkuzyx

故

0)1( kuzyx

于是 0 uzyx 或 1k

若 0 uzyx ，则 0uzyx

uzyx

若 1k ，则 uzyx ，所以 2uzyx

uzyx

解法二

令 kx

u

u

z

z

y

y

x ，则 xkukzkkyx 432 ，

所以 14 k ， 1k

若 1k ，则 22

4

x

x

uzyx

uzyx

若 1k ，则 02

0

kuzyx

uzyx

㈢二项方程和三项方程的解法

形如 0 Ax n 的方程叫做二项方程，解此方程就是求 A的 n次方根。

定理 如果 )sin(cos irc ，那么二项方程 0 cx n 的根是

1,,2,1,0),2

sin2

(cos

nkn

ki

n

krn

。

例 3 解方程 0325 x

解： )sin(cos325 ix

所以 )4,3,2,1,0)(5

2sin

5

2(cos2

k

ki

kx

形如 02 qpxx nn 的方程叫做三项方程，特别当 2n时，得方程 024 qpxx ，称为双二次方程。

例 4 解方程 034 36 xx

解

设 yx 3 ，有

0342 yy

解得 3,1 21 yy ，再分别解方程 13 x 和 33 x ，可得原方程的解为

236

35

34

2321 )

2

31(3,

2

313,3,)

2

31(,

2

31,1

ix

ixx

ix

ixx

㈣因式分解法

例 5 解方程 0323124 xx

解

)176)(196(

)16()18(

)11236()32436(32312

22

222

2244

xxxx

xx

xxxxxx

所以原方程同解与方程 0)176)(196( 22 xxxx

故方程的解为 ixixixix 223,223,103,103 4321

㈤图像法例 6 确定方程 22 2 xx 的实数解的个数。

由于原方程与方程 22 2 xx 同解，所以可设

2,2 2 xyy x ，在同一坐标系内做出两个函数的图像，

由图像不难看出：两个函数的图像有两个交点 BA, ，所以原方程有两个实根。 1.8

1.6

1.4

1.2

1

0.8

0.6

0.4

0.2

-0.2

-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5

g x = -x2+2

1

2

f x = 2-x

A

B

㈥待定系数法

例 7 解方程 0144 234 xxxx

解：用待定系数法，令 1yx ，代入所给方程并化简得

0325 24 yyy ①设 ))((325 2224 mkyylkyyyyy ，则

041310 246 kkk

0)49)(1( 242 kkk

取 ,1k 得 3,1 ml ，因此方程①可写成0)3)(1( 22 yyyy

解得 2

131,

2

51

yy

换回原来变量，得

2

133,

2

511

xyx

⒈解方程 1

1

)4(2

9

)1(2

1

xxx

x

⒉解方程 5462 xx

⒊解方程 4)43(log)2(log 22 xx

⒋解方程 42log xxx

⒌解方程 21lg1lg31lg 2 xxx

⒍解方程 2cos2sin xx

⒎解方程 062512256 234 xxxx 8．解方程组

560

20

0

444

222

zyx

zyx

zyx

整式方程

在解方程时，我们除了根据上述定理或结论将方程进行（同解或非同解的）变形外，还常常将方程变换成另一方程，使它们的根之间有某种确定的关系，通过求变换后的方程的解，确定原方程的根。对于整式方程，常用的方程变换有以下三种：

（ 1）差根变换

定理 1 方程 f(y+h)=0 的各根分别等于方程 f(x)=0 的各根减去 h.

证明 设αi(i=1,2,…,n)是 n次方程 f(x)=0 的根 ,则f(αi)=0. 因为 f[(αi-h)+h]=0, 所以 αi-h是 n次方程 f(y+h)=0 的根 .

依代数基本定理 ,方程 f(y+h)=0 在复数域上有且仅有 n 亇根 (重根按重数计算 ), 所以 f(y+h)=0 的各根分别等于方程 f(x)=0 的各根减去 h.

定理 1叫做方程的差根变形定理 .

例 1 求一个方程 ,使它的各根分别等于巳知方程 x4-6x3+7x2+6x-2=0 的各根减去 2.

解 所求方程应为

(y+2)4-6(y+2)3+7(y+2)2+6(y+2)-2=0 ,

展开(或利用综合除法), 所求方程为

y4+2y3-5y2-6y+6=0 .

一般地，设对方程（1）作差根变换 后所得方程(2)的标

准形式为

根据方程的根与系数的关系有

.

若令 ，则所得方程（3）的 项的系数为零

（ 2）倍根变换

定理 2 方程 f(y/k)=0(k≠0)的各根分别等于方程 f(x)=0 的各根的 k 倍 .

证明 设αi(i=1,2,…,n)是 n次方程 f(x)=0 的根 ,则 f(αi)=0. 因为 f[(kαi)/k]=0, 所以 kαi是 n次方程 f(y/k)=0 的根 .

由于 f(y/k)=0 有且只有 n个根 , 所以 f(y/k)=0(k≠0)的各根分别等于方程 f(x)=0 的各根的 k 倍 .

定理 2叫做方程的倍根变形定理 .

例 2 求一个方程 ,使它的各根分别是巳知方程 x4-3x3+5x2-x-10=0 各根的 (1)3倍； (2)1/3倍 .

解 根据定理 2,所求方程为

(1) (x/3)4-3(x/3)3+5(x/3)2-(x/3)-10=0 ,

即 x4-9x3+45x2-27x-810=0 .

(2) (3x)4-3(3x)3+5(3x)2-(3x)-10=0 ,

即 81x4-81x3+45x2-3x-10=0 .

定理 3 如果方程 f(x)=0 常数项不为零 ,那末方程 f(1/y)=0 的各根分别等于方程 f(x)=0 的各根的倒数 .

（ 3）倒根变换

证明 α设 i(i=1,2,… ,n)是 n 次方程 f(x)=0 的根,且 an≠ 0,则f(α i)=0,α i≠ 0,因为 f(1/α i

-1)=0, α所以 i-1 =1/α i 是方程

f(1/y)=0的根.因为用 yn乘 f(1/y)=0的两边得到和它同解的 n

次方程,而 n次方程有且只有 n个根,所以 f(1/y)=0的各根分别等于方程 f(x)=0的各根的倒数.

定理 3叫做方程的倒根变形定理 .

例 3 求一个方程 ,使它的各根分别是巳知方程

x4-3x3+5x2-x-10=0 各根的倒数 .

解 根据定理 3,所求方程为

(1/x)4-3(1/x)3+5(1/x)2-(1/x)-10=0 .

即 10x4+x3-5x2+3x-1=0 .

一元三次、四次以及高次方程

㈠一元三次方程的解法

设实系数一元三次方程为 3 2 0( )ax bx cx d a o

可以化为 3 2 0b c d

x x xa a a

取a

byx

3 ，整理得到

0)327

2()

3(

2

323 d

a

bc

a

byc

a

bay ①

两端除以 a得到

03 qpyy ②

其中 )327

2(

1),

3(

12

32

da

bc

a

b

aqc

a

b

ap

。

作变换 vuy ，代入方程②，整理得到

0))(3(33 vupuvqvu

要求 03 puv ，则变为

0

0333 qvu

puv

解得， 2742,

2742

323

323 pqq

vpqq

u

从而1

2312

3

32

1

12

3123

32

1

,,2742

,,2742

vvvvpqq

v

uuuupqq

u

其中

2

31,

2

31 2 ii

例 解三次方程 016

27

4

27

4

27 23 xxx

解：作变换 4

9

134

27

3

yy

a

byx ，代入方程，整理得到

03 qpyy ，其中

32

297

16

27

134

27

4

27

1274

272)

327

2(

1,

16

135

4

27

134

27)

3(

13

2

32

2

d

a

bc

a

b

aqc

a

b

ap

再做变换 zy4

3 ，并整理得到 022153 zz

利用求根公式可以得到

32

33,3

2

33,

4

3321 xxx

费拉里 (Ferrari L.,1522~1565)出身贫苦，少年时代曾作为卡当的仆人。卡当的数学研究引起了他对数学的热爱，当其数学才能被卡当发现后，卡当就收他作了学生。 费拉里代替卡当与塔塔利亚辩论并比赛时，风华正茂，他不仅掌握了一元三次方程的解法，而且掌握了一元四次方程的解法，因而在辩论与比赛中取得了胜利，并由此当上了波伦亚大学的数学教授。 一元四次方程的求解方法，是受一元三次方程求解方法的启发而得到的。一元三次方程是在进行了巧妙的换元之后，把问题归结成了一元二次方程从而得解的。于是，如果能够巧妙地把一元四次方程转化为一元三次方程或一元二次方程，就可以利用已知的公式求解了。

㈡一元四次方程的解法

方程两边同时除以最高次项的系数可得

(1)

移项可得

(2)

两边同时加上 ，可将（2）式左边配成完全平方，方程成为

(3)

在（3）式两边同时加上 可得

(4)

为了使（4）式右边关于 x的二次三项式也能变成一个完全平方式，只需使它的判别式变成 0，即

(5)

费拉里发现的上述解法的创造性及巧妙之处在于：

第一次配方得到（ 3）式后引进参数 y，并再次配方把（ 3）式的左边配成含有参数 y的完全平方，即得到（ 4）式，再利用（ 5）式使（ 4）的右边也成为完全平方，从而把一个一元四次方程的求解问题化成了一个一元三次方程及两个一元二次方程的求解问题。

例：解方程： 4 3 22 5 10 3 0x x x x

1.已知方程 3 23 6 2 0x x x 的三个根是 1 2 3, ,x x x

求一个三次方程，使它的根是

31 2

2 3 1 3 1 2 1 2 3

, ,2 2 2

xx x

x x x x x x x x x

2.已知方程 3 214 13 18 9 0x x x 的三个根成等差数列，

解这个方程。

3.解三次方程 0111262 23 xxx