第三章微分方程方法建模

Mathematical Modeling 2008


第三章微分方程方法建模

3.1 微分方程建模

3.2 草地水量模型

3.3 传染病模型

3.4 食饵 - 捕食者模型



微分方程模型属于动态模型描述所研究对象特征随时间 ( 空间 ) 的演变过程分析所研究对象特征的变化规律预报所研究对象特征的未来性态研究控制所研究对象特征的手段

根据函数及其变化率 ( 导数 ) 之间的关系确定函数

微分方程建模方法

根据建模目的和问题分析作出简化假设按照内在规律 ( 模式 ) 或用类比法建立微分方程



3.1.1 人的体重3.1.2 常微分方程建模基本准则



3.1.1 人的体重 3.1.1 人的体重

某人的食量是 10467 （焦 / 天），其中5038 （焦 / 天）用于基本的新陈代谢 ( 即自动消耗 ) 。在健身训练中，他所消耗的热量大约是 69 （焦 / 公斤 · 天）乘以他的体重 ( 公斤 ) 。假设以脂肪形式贮藏的热量 100 ％的有效，而 1 公斤脂肪含热量 41868 焦。

问题研究此人的体重随时间变化的规律


问题分析体重 w

时间 t函数 w(t), 连续可微

找到体重 w(t) 满足的微分方程即可求出函数 w(t)

“变化率” “导数”

微元法

3.1.1 人的体重 3.1.1 人的体重


由题意可知 , “ 每天”体重变化应满足下面描述

输出＝进行健身训练时的消耗

进一步分析

体重的变化＝输入－输出输入＝扣除基本的新陈代谢之后的净重量吸收

体重的变化 / 天＝净吸收量 / 天－运动消耗 / 天

导数意义的陈述

净吸收量 / 天＝ 10467(焦 /天 )－ 5038(焦 /天 )＝ 5429(焦 /天 )

运动消耗 / 天＝ 69焦 (/ 公斤 ·天 )×w(t)( 公斤 )

3.1.1 人的体重 3.1.1 人的体重


体重的变化 / 天＝ ( ) ( )w t t w t

t

( 公斤 /天 )

/w t （公斤 / 天）

将两单位换算成统一形式：

焦天公斤天

焦公斤/

/ ＝41868 /

连续函数 w(t) 的瞬时关系满足下面关系式模型建立

＝

3.1.1 人的体重 3.1.1 人的体重


由上述分析，体重 w(t) 满足下面关系式

(5429 / 69 /

/41868 /

w w

t

（焦天）（焦天）

公斤天）焦公斤

两边的物理单位量纲一致，令

0t d 1300 16

d 10000

w w

t

0(0)w w

模型建立

0limt

3.1.1 人的体重 3.1.1 人的体重


分离变量法

d ( ) d

1300 16 ( ) 10000

w t t

w t

0 到 t 积分

tw

tw

10000

16

)0(161300

)(161300ln

1300 16 ( ) 1300 16 (0) exp( 16 /10000)w t w t

)(161300 tw )10000/16exp()161300( 0 tw

01300 161300( ) ( ) exp( 16 /10000)

16 16

ww t t

3.1.1 人的体重 3.1.1 人的体重

模型求解

d( 16 ( )) 16d

1300 16 ( ) 10000

w t t

w t


由上述表达可知，随着时间的变化，人的体重最终

趋于一种平稳的值 ( )1300

16公斤

( ) ( )1300

81.2516

w 平稳公斤公斤

模型解释

,t 即

3.1.1 人的体重 3.1.1 人的体重


常微分方程建模应符合下面基本准则：

模式：模式：找出问题遵循的模式，大致可按下面两种方法： 1 ）利用熟悉的力学、数学、物理、化学等学科中的规律，对某些实际问题直接列出微分方程； 2 ）模拟近似法，在生物、经济等学科中，许多现象所满足的规律并不清楚，而且现象也相当复杂，但都可以遵循下面的模式改变率＝净变化率＝输入率－输出率改变率＝净变化率＝输入率－输出率

翻译：翻译：将研究的对象翻译成为时间变量的连续函数；转化：转化：在实际问题中 , 有许多表示导数的常用词，如“速率” , “ 增长率” ( 在生物学、人口学问题研究中 ), “ 衰变率” ( 在放射性问题中 ) 及“边际” ( 在经济学中 ) 等；

3.1.2 常微分方程建模基本准则 3.1.2 常微分方程建模基本准则


建立瞬时表达式建立瞬时表达式：微分方程是一个在任何时刻都必须正确的瞬时表达式。由此根据寻找到问题所遵循的模式，建立起在自变量时段上的函数 x(t) 的增长量 t x 表达式

0t 即得到的表达式 t

x

d

d

确定条件确定条件：这些条件是关于系统在某一特定时刻或边界上的信息，它们独立于微分方程而成立，用于确定有关的常数，为了完整、充分地给出问题陈述，应将这些给定的条件和微分方程一起给出。

单位：单位：在建模中应注意每一项应采用同样的物理单位；

常微分方程建模应符合下面基本准则：

3.1.2 常微分方程建模基本准则 3.1.2 常微分方程建模基本准则



草地网球比赛常因下雨而被迫中断，只有草坪的最上层充分干以后，才能够继续比赛。雨停之后，部分雨水直接渗入地下，部分蒸发到空气中去。一些机械装置可以用来加速干燥过程，但为避免损伤草皮，最好让草地自然地变干，能否建立一个数学模型描述这一干燥过程 .

问题


草地开始是干的，突然开始下雨，雨大约持续 c小时 , 雨在草地中聚积了 h厘米高的水 ;

需要建立模型求出 Q(t) ，并能预测下雨后多长时间 t1 ，使 Q(t1)=0 。

问题陈述3.2 草地水量模型

由此可将研究对象视为草地积单位面积的水量 Q, 它是时间 t 的函数 .

雨停后，通过渗入、蒸发使草地的积水减少，最终自然变干，恢复比赛。


2．渗透率、蒸发率与草地的水量成正比，不考虑空气中的湿度与温度；

3．降雨速度为常数。

模型假设1．开始时草地是干的 , 下雨时只考虑渗透排水 ,雨停后水是通过渗透 ,蒸发排除的 , 其它因素不考虑。



问题分析若草地是干的，即 Q(0)=0 。

草地积了 h厘米高的水量

流出量 (渗透、蒸发过程 )

由此本模型应遵循下面的模式模式：

草地积水量的改变量＝流入量－流出量（ 1 ）

r米 /秒降雨速度持续 c小时下雨时

开始时

停雨后水的流入量（降雨过程）流出量（渗透过程）

草地水量的改变

草地水量的改变



草地积水量的改变量＝ ( )Q t A

流入量－流出量＝ ( ) , 0( ) ( ) ,rA t aQ t A t t caQ t A t bQ t A t t c

0t d ( ) ( ) , 0( ) ( ) ,d

(0) 0

Q t r aQ t t caQ t bQ t t ct

Q

模型建立A （平方米） : 草地的面积a 单位时间内单位水量的渗透量

单位时间内单位水量的蒸发量b

,t t t 时间内 (1) 式各量的描述 :

(2)



数值计算：不妨假设降雨半小时 , 即 c=1800秒 , 此时草地积水深 h=0.018米 , 降雨速度在半小时

5/ 10 /r h c 米秒

为方便直接给出 a=0.001/秒 , b=0.0005/秒 , 将所取数值代入 (2) 式整理方程，得

5 3

3 4

d 10 10 ( ) , 0 180010 ( ) 5 10 ( ) , 1800d

Q Q t tQ t Q t tt

若给出有关草地进水足够信息，就可由若给出有关草地进水足够信息，就可由 (2)(2) 式求出式求出 QQ((tt)) ；；模型求解

参数参数 a, b 可以通过参数辨识方法得到。可以通过参数辨识方法得到。注



0 1800 t 时

0)0(

)(1010d

d 35

Q

tQt

Q

0.001( ) 0.01(1 ) 0 1800tQ t e t

00835.0)1800( Q

模型求解



1800 t 时

00835.0)1800(

)()10510(d

d 43

Q

tQt

Q

0.0015( ) 0.124 1800 (3)tQ t e t

模型求解

（ 3 ）式能预测雨停后草地中水是如何随时间变化

减少的



但在实际比赛中一般要求水量降至最高水量值的 10％就认为草地足够干，也就是说只要达到 Q(t1)=10% Q (1800) 即可。即在雨停后 t1-1800 时即可恢复比赛。令t1

满足 (3) 式，得 10.00150.0835 10% 0.124 te

1 3334t 秒雨停后还要等 1534秒 (约 25分 )才能恢复比赛 .若水量降到最大值 5%, 需要大约 33 分钟可以恢复比赛。

模型求解本问题是确定比赛何时才能恢复，即 t1 为何值时使得 Q(t1)=0 。而由 (3) 式可知 , 当 t 趋于无穷大时 ,Q(t)趋于零，所以这样的 t1 是不存在的。



3.3 传染病模型

模型 1 ( 简单模型 )

模型 2 (SI模型 )

模型 3 （ SIS模型）模型 4 （ SIR模型）



问题描述传染病的传播过程

分析受感染人数的变化规律

预报传染病高潮到来的时刻

预防传染病蔓延的手段

按照传播过程的一般规律，用机理分析方法建立模型

3.3 传染病模型



已感染人数 (病人 ) i(t)

每个病人每天有效接触 ( 足以使人致病 ) 人数为

模型 1(简单模型 )

假设

ttititti )()()(

若有效接触的是病人，则不能使病人数增加

必须区分已感染者 (病人 ) 和未感染者 ( 健康人 )

建模

0)0( ii

idt

di

it

teiti 0)(

?



sidt

di

1)()( tits

模型 2(SI 模型 ) 区分已感染者 (病人 ) 和未感染者 ( 健康

人 )假设 1 ）总人数 N 不变，病人和健康人的比例分别为 )(),( tsti

2 ）每个病人每天有效接触人数为 , 且使接触的健康人致病

建模 ttNitstittiN )()]([)]()([

0)0(

)1(

ii

iidt

di

~ 日接触率

SI 模型



tei

ti

1

11

1)(

0

0)0(

)1(

ii

iidt

di 模型 2

1/2

tm

i

i0

1

0 t

1

1ln

0

1

itm

tm~传染病高潮到来时刻

(日接触率 ) tm

1 it

Logistic 模型

病人可以治愈！

?t=tm, di/dt 最大



模型 3 （ SIS 模型）传染病无免疫性——病人治愈成为健康人，健康人可再次被感染

增加假设

SIS 模型

3 ）病人每天治愈的比例为 ~日治愈率ttNittitNstittiN )()()()]()([ 建模

/

~ 日接触率

1/ ~感染期

~ 一个感染期内每个病人的有效接触人数，称为接触数。

0)0(

)1(

ii

iiidt

di



1,0

1,1

1)(

i

)]1

1([

iidt

di模型 3

i0

i0

接触数 =1 ~ 阈值

/

1 )(ti

形曲线增长按Sti )( 感染期内有效接触感染的健康者人数不超过病人数小0

1

i

1-1/

i0

iiidt

di )1(

模型 2(SI 模型 ) 如何看作模型 3(SIS 模型 ) 的特例

i

di/dt

0 1

>1

0 t

i >1

1-1/

i

0 t

1

di/dt < 0



模型 4 (SIR 模型 ) 传染病有免疫性——病人治愈

后即移出感染系统，称移出者SIR 模型

假设 1 ）总人数 N 不变，病人、健康人和移出者的比例分别为 )(),(),( trtsti2 ）病人的日接触率 , 日治愈率 ,

接触数 = / 建模 1)()()( trtits

需建立的两个方程)(),(),( trtsti



ttNittitNstittiN )()()()]()([ 模型 4 SIR 模

型

很小）通常 000 )0((1 rrsi

无法求出

的解析解)(),( tsti

在相平面上

研究解的性质

is ~

ttitNststtsN )()()]()([

00 )0(,)0( ssii

sidt

ds

isidt

di



00

11

ii

sds

di

ss

0

00 ln1

)()(s

ssissi

模型 4

00 )0(,)0( ssii

sidt

ds

isidt

di

/消去 dt

SIR 模型

}1,0,0),{( isisisD

相轨线的定义域)(si

相轨线

1

1s

i

0

D在 D 内作相轨线的图形，进行分析

)(si



s

i

1

0 1

D

模型 4 SIR 模型

相轨线及其分析)(si

00 )0(,)0( ssii

sidt

ds

isidt

di

00

11

ii

sds

di

ss

0

00 ln1

)()(s

ssissi

0ln1

000

s

ssiss

满足

miis ,/1

传染病蔓延

传染病不蔓延

s(t) 单调减相轨线的方向0, it

P1

s0/1

im

s

P1: s0>1/σ i(t)先升后降至 0

P2: s0<1/σ i(t) 单调降至 0

1/σ~阈值

P3

P4

P2

S0



ss

ss

0

0 lnln

模型 4 SIR 模型

预防传染病蔓延的手段

(日接触率 ) 卫生水平

(日治愈率 ) 医疗水平

传染病不蔓延的条件—— s0<1/

的估计

0ln1

0

00 s

ssis

0i忽略

• 降低 s0 提高 r0 1000 ris

• 提高阈值 1/

降低 (=/)

,

群体免疫



模型 4 SIR 模型

被传染人数的估计

0ln1

0

00 s

ssis

记被传染人数比例 ssx 0

0)2

11(

200

s

x

sx

0)1ln(1

0

s

xx

)1

(2 00 ssx

2x

x<<s0

i

0 s /1

P1

0s s

i0 0, s0

1

小 , s0 1

提高阈值 1/σ降低被传染人数比例 x

s0 - 1/ =



模型验证20世纪初在印度孟买发生的—次瘟疫中几乎所有病人都死亡了。公共卫生部门记录了每天移出者（死亡）的人数，即有了 dr/dt 的实际数据， KerMack 等人用这组数据把模型所预测的结果与实际传染病的资料进行比较。根据前面的 SIR 模型：和1)()()( trtits

d ( ) d ( )( ) ( ), ( )

d d

s t r tN Ns t i t N Ni t

t t

有： d ( )( )

dr

s ts t

于是：

)(0)( trests ( )

0

d ( )(1 ( ) ) (*)

dr tr t

r t s et

/ 这里，



当时，取（ * ）式右端的 Taylor展开的前三项，在r0=0初始值下求解，得到：

1/r

020

1( ) ( 1) th( )

2

tr t s

s

其中： 2

002

02 2)1( iss 0 1

ths

2

2 20

d ( )

d 2 ch ( )2

r ttt s

带回（ * ）式，即有：

然后确定 s0 等参数，画出 r（ t ）的图形，实际数据在图中用圆点表示，可以看出，理论曲线与实际数据吻合得相当不错。



3.4 被捕食者 - 捕食者模型

• 种群甲靠丰富的天然资源生存，种群乙靠捕食甲为生，形成食饵 -捕食者系统，如食用鱼和鲨鱼，美洲兔和山猫，害虫和益虫。

• 模型的历史背景——一次世界大战期间地中海渔业的捕捞量下降 ( 食用鱼和鲨鱼同时捕捞 ) ，但是其中鲨鱼的比例却增加，为什么？



食饵（甲）数量 x(t), 捕食者（乙）数量 y(t)

甲独立生存的增长率 r rxx 乙使甲的增长率减小，减小量与 y 成正比

xayrtx )()(

乙独立生存的死亡率 d dyy

甲使乙的死亡率减小，减小量与 x 成正比

ybxdty )()(

方程 (1),(2) 无解析解

食饵 - 捕食者模型(Volterra)

a ~ 捕食者掠取食饵能力

b ~ 食饵供养捕食者能力

)1(axyrx

)2(bxydy



t x(t) y(t)

0 20.0000 4.0000

0.1000 21.2406 3.9651

0.2000 22.5649 3.9405

0.3000 23.9763 3.9269

… … …

5.1000 9.6162 16.7235

5.2000

9.0173 16.2064

… … …

9.5000 18.4750 4.0447

9.6000 19.6136 3.9968

9.7000 20.8311 3.9587

用数学软件 MATLAB 求微分方程数值解

x~y 平面上的相轨线



计算结果（数值，图形）

x(t), y(t) 是周期函数，相图 (x,y) 是封闭曲线

xayrtx )()( ybxdty )()(

观察，猜测

x(t), y(t) 的周期约为 9.6

xmax 65.5, xmin 6, ymax 20.5, ymin 3.9

用数值积分可算出 x(t), y(t) 一周期的平均值：x(t) 的平均值约为 25, y(t) 的平均值约为 10 。

食饵 - 捕食者模型(Volterra)



)(

)(

bxdy

ayrx

dy

dx

dyy

ayrdx

x

bxd

消去dt

1lnln cayyrbxxd

ybxdty

xayrtx

)()(

)()(

ceyex ayrbxd ))((

分析第一象限的相轨线行为

c 由初始条件确定取指数



x0

fm

f(x)

x0

g(y)

gm

y0 y0arygyggg m /,)(,0)()0( 00

,0)()0( ff

cygxf )()(

ceyex ayrbxd ))((

在相平面上讨论相轨线的图形

相轨线

)(xf )(yg

bdxfxf m /,)( 00

mmgfc 时无相轨线以下设 mmgfc



y2

y1

xQ3

Q4

q

y1 y2x1x2

p

y

y0

xx0

P

0 x1 x2

Q1 Q2

Q1(x1,y0),Q2(x2,y0)

Q3(x,y1), Q4(x,y2)

mmgfc 00 , yyxx 相轨线退化为 P点

mmgfc 0yy 令 mfpxf )(mpgc 设

存在 x1<x0<x2, 使f(x1)=f(x2)=p

mgyg )(

],[ 21 xxx考察 pxf )(

存在 y1<y0<y2,使g(y1)=g(y2)=q

mpgygxf )()( mgqyg )(

内任意点是 ],[ 21 xxx 相轨线是封闭曲线族

xQ3

Q4f(x)

xx0

fm

0

g(y)

gm

y0 y0

cygxf )()(相轨线



相轨线是封闭曲线 x(t), y(t) 是周期函数 (周期记 T)

求 x(t), y(t) 在一周期的平均值 yx, ybxdty )()(

)(1

)( dy

y

btx

T

dttxT

x0

)(1

xayrtx )()(

arybdxyxP /,/:),( 0000 轨线中心 00 , yyxx

bdx /

ary /

用相轨线分析点附近情形

)/,/( arbdP

T

dtdy

y

bT 0

)(11

))0(ln)(ln

(1

b

dT

b

yTy

T



0 20 40 60 80 100 1200

5

10

15

20

25

30

00 yx ，

00 yx ，0

0

y

x

0

0

y

x

0P•

T2

T3

T4 T1

P

0 2 4 6 8 10 120

20

40

60

80

100

120

x(t)

y(t)

T1 T2 T3 T4

x(t) 的“相位”领先 y(t)

xayrtx )()(

ybxdty )()(

)()(:1 tytxT

)()(:2 tytxT

)()(:3 tytxT

)()(:4 tytxT

模型解释 )/,/( arbdP

),( 000 yxP 初值相轨线的方向



模型解释

r ~ 食饵增长率

d ~ 捕食者死亡率

b ~ 食饵供养捕食者能力

a

ry 捕食者

数量

b

dx 食饵

数量

0 20 40 60 80 100 1200

5

10

15

20

25

30

P

)/,/( arbdP

r/a

d/ba ~ 捕食者掠取食饵能力捕食者数量与 r 成正比 , 与 a 成反比

食饵数量与 d 成正比 , 与 b 成反比



模型解释

一次大战期间地中海渔业的捕捞量下降，但是其中鲨鱼的比例却在增加，为什么？

rr-1, dd+1捕捞

战时捕捞 rr-2, dd+2 , 2 < 1

yyxx 11 ,

•),( 111 yxP•

),( 222 yxP

•),( yxP

x

y

食饵 ( 鱼 ) 减少，捕食者 ( 鲨鱼 ) 增加

自然环境 arybdx /,/ ),( yxP

1212 , yyxx

1PP

21 PP

还表明：对害虫 ( 食饵 )—益虫 ( 捕食者 )系统，使用灭两种虫的杀虫剂 , 会使害虫增加，益虫减少。

1PP



食饵 - 捕食者模型 (Volterra) 的缺点与改进

2

21111 1)(N

xxrtx

1

12222 1)(N

xxrtx

2

21

1

1111 1)(

N

x

N

xxrtx

2

2

1

12222 1)(

N

x

N

xxrtx

xayrtx )()( ybxdty )()( Volterra 模型

改写

多数食饵—捕食者系统观察不到周期震荡 ,而是趋向某个平衡状态 ,即存在稳定平衡点

加 Logistic项

可以证明，在给定条件下，此模型一定有稳定平衡点。

具体可参考第七章中关于方程稳定性的相关内容。

第三章 微分方程方法建模

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第三章微分方程方法建模