第四章 陣列的基本操作與運算

本章學習目標 • 認識陣列裡元素的結構• 學習多維陣列的建立• 學習編修矩陣的內容• 學習基本的矩陣數學運算

1

2

向量元素的操作 (1/2) >> v1=[6 7 8 9]v1 = 6 7 8 9

>> 2*v1+1ans = 13 15 17 19

>> v1(2)ans = 7

>> v1([2,4])ans = 7 9

>> v1([2 4])ans = 7 9

>> v1(:)ans = 6 7 8 9

>> v1([2])ans = 7

>> v1(3)=0v1 = 6 7 0 9

>> v1(5)??? Index exceeds matrix dimensions.

3

向量元素的操作 (2/2)

>> v1(7)=12v1 = 6 7 0 9 0 0 12

>> v1(3:5)=1v1 = 6 7 1 1 1 0 12

>> v1(end)ans = 12

>> v1(end-1)ans = 0

>> v1(1:2:end)ans = 6 1 1 12

>> v1(end:-1:1)ans = 12 0 1 1 1 7 6

>> v1(6)=[]v1 = 6 7 1 1 1 12

>> v1(5:end)=[]v1 = 6 7 1 1

4

矩陣元素的操作 (1/2) >> M=[1 2 3 4;5 6 7 8;9 10 11 12]M = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

>> M(2,3)ans = 7

>> M(3,[1 2 3])ans = 9 10 11

>> M(3,1:3)ans = 9 10 11

>> M(3,:)ans = 9 10 11 12

>> M(end,3)ans = 11

>> M(1:2,4)ans = 4 8

>> M(:,2:3)ans = 2 3 6 7 10 11

>> M(end,2:3)ans = 10 11

5

矩陣元素的操作 (2/2)

>> M(2,3)=99M = 1 2 3 4 5 6 99 8 9 10 11 12

>> M(end,:)=[]M = 1 2 3 4 5 6 99 8

>> M(:,[2,4])=[]M = 1 3 5 99

>> M(1,2)=[]Subscripted assignment dimension

mismatch.

>> M=[M,[4;7]]M = 1 3 4 5 99 7

>> M=[[8,9,10];M]M = 8 9 10 1 3 4 5 99 7

>> M(3:-1:1,:)ans = 5 99 7 1 3 4 8 9 10

>> M(2,:)=0M = 8 9 10 0 0 0 5 99 7

6

矩陣的索引值之結構 • Matlab 的矩陣是利用「以行為主」的結構來儲存• 每一個陣列可以看成是由數個行向量串接而成• 存取矩陣的元素時，可以使用一維或二維索引值來存取

7

> M([4 6;8 9])ans = 6 4 9 3

>> M(:)ans = 3 7 0 6 4 4 4 9 3 3 8 1

矩陣的索引值的範例>> M=[3 6 4 3;7 4 9 8;0 4 3 1]M = 3 6 4 3 7 4 9 8 0 4 3 1

>> M(2,3)ans = 9

>> M(8)ans = 9

>> M(4:7)ans = 6 4 4 4

>> M([5;7;9])ans = 4 4 3

矩陣元陣的提取

8

9

>> M([1,3],[1,3,4])ans = 3 4 3 0 3 1

>> M(2:3,1:2)ans = 7 4 0 4

>> M(4:6)=0M = 3 0 4 3 7 0 9 8 0 0 3 1

>> M(2:3,2:4)=1M = 3 0 4 3 7 1 1 1 0 1 1 1

>> M([4,8,12])=[]M = 3 7 0 1 1 4 1 3 1

矩陣元陣提取的範例

10

對於一個m n 的矩陣 M而言，二維索引值 ( , )i j 和一維索引值 k之間的關係可用下面的公式來表示：

( ) ( ( 1) )M k M i j m

例如，若陣列 M 的維度為 3 4 ，則第二列第三行的元素 M(2,3)，換成以一維的索引值來表示時，可換算得

( ) (2 (3 1) 3) (8)M k M M

11

一維與二維索引值的轉換

>> ind=sub2ind([3,4],2,3)ind = 8

>> [row,col]=ind2sub([3,4],8)row = 2col = 3

>> [row,col]=ind2sub([3,4],[8,4,12])row = 2 1 3col = 3 2 4

>> ind=sub2ind([3,4],row,col)ind = 8 4 12

12

多維陣列 • 陣列的維度多於二維，稱為多維陣列• 三維陣來必須以列、行與頁三個維度來描述

建立三維陣列的範例

13

>> A(:,:,1)=[1 2 3 4;5 6 7 8;9 10 11 12]

A = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

>> A(:,:,2)=[7 4 2 1;6 1 5 2;3 1 4 5]A(:,:,1) = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12A(:,:,2) = 7 4 2 1 6 1 5 2 3 1 4 5

>> size(A)ans = 3 4 2

>> ndims(A)ans = 3

>> numel(A)ans = 24

>> A(11:14)ans = 8 12 7 6

>> A(1,3,2)ans = 2

14

常用的陣列建立函數

15

>> zeros(3)ans = 0 0 0 0 0 0 0 0 0

>> zeros(2,3)ans = 0 0 0 0 0 0

>> ones(3,2)ans = 1 1 1 1 1 1

>> eye(4)ans = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1

>> eye(3,4)ans = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0

>> diag([1 2 3])ans = 1 0 0 0 2 0 0 0 3

>> magic(3)ans = 8 1 6 3 5 7 4 9 2

>> magic(4)ans = 16 2 3 13 5 11 10 8 9 7 6 12 4 14 15 1

陣列建立函數使用範例

16

建立亂數陣列

17

>> randi(9,[2,5])ans = 2 4 2 3 2 5 8 4 7 8

>> randi([0,1],[1,6])ans = 0 1 1 1 0 0

>> rand()ans = 0.9501

>> rand(3)ans = 0.2311 0.8913 0.0185 0.6068 0.7621 0.8214 0.4860 0.4565 0.4447

>> rng(999)

>> R=randi(9,[1,8])R = 8 5 2 6 1 3 4 5

>> rng(999)

>> randi(9,[1,2])ans = 8 5

>> randi(9,[1,1])ans = 2

>> randi(9,[1,3])ans = 6 1 3

亂數陣列的使用範例

測試亂數分佈的情況

18

>> A=randn(1,10000);

>> hist(A,-4:0.2:4)

>> B=randi([1,24],[1,10000]);

>> hist(B,1:24)

陣列元素的提取

19

20

>> A=magic(4)A = 16 2 3 13 5 11 10 8 9 7 6 12 4 14 15 1

>> diag(A)ans = 16 11 6 1

>> diag(A,-1)'ans = 5 7 15

>> diag(A,2)ans = 3 8

>> triu(A,1)ans = 0 2 3 13 0 0 10 8 0 0 0 12 0 0 0 0

>> tril(A,-2)ans = 0 0 0 0 0 0 0 0 9 0 0 0 4 14 0 0

元素的提取的範例

21

陣列元素的重排

22

重排陣列元素的範例>> A=magic(3)A = 8 1 6 3 5 7 4 9 2

>> fliplr(A)ans = 6 1 8 7 5 3 2 9 4

>> flipdim(A,2)ans = 6 1 8 7 5 3 2 9 4

>> reshape(A,1,9)ans = 8 3 4 1 5 9 6 7 2

>> reshape(A,2,4)Error using reshapeTo RESHAPE the number of elements must not change.

>> repmat(A,2,2)ans = 8 1 6 8 1 6 3 5 7 3 5 7 4 9 2 4 9 2 8 1 6 8 1 6 3 5 7 3 5 7 4 9 2 4 9 2

>> repmat(9,[3,4,2])ans(:,:,1) = 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9ans(:,:,2) = 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9

23

陣列的合併

>> A=[1 2 3;3 4 5]A = 1 2 3 3 4 5

>> B=2*AB = 2 4 6 6 8 10

>> [A,B]ans = 1 2 3 2 4 6 3 4 5 6 8 10

>> [A;B]ans = 1 2 3 3 4 5 2 4 6 6 8 10

24

>> cat(1,A,B)ans = 1 2 3 3 4 5 2 4 6 6 8 10

>> cat(2,A,B)ans = 1 2 3 2 4 6 3 4 5 6 8 10

>> cat(2,A,A,B)ans = 1 2 3 1 2 3 2 4 6 3 4 5 3 4 5 6 8 10

>> cat(3,A,B)ans(:,:,1) = 1 2 3 3 4 5ans(:,:,2) = 2 4 6 6 8 10

>> cat(4,A,B)ans(:,:,1,1) = 1 2 3 3 4 5ans(:,:,1,2) = 2 4 6 6 8 10

cat() 的使用範例

25

基本的矩陣運算

26

>> A=[2 4;3 1]A = 2 4 3 1

>> B=[3 2;4 6]B = 3 2 4 6

>> A+3ans = 5 7 6 4

>> A+Bans = 5 6 7 7

>> [2,3]*Aans = 13 11

>> A*[2,3]Error using * Inner matrix dimensions must agree.

>> A*[1;5]ans = 22 8

>> A*Bans = 22 28 13 12

>> A'ans = 2 3 4 1

矩陣運算的範例 (1/2)

27

>> inv(A)ans = -0.1000 0.4000 0.3000 -0.2000

>> det(A)ans = -10

>> M=expm(A)M = 84.8655 84.7302 63.5476 63.6830

>> logm(M)ans = 2.0000 4.0000 3.0000 1.0000

>> Z=sqrtm(A)ans = 1.2778+0.6061i 1.2778-0.8081i 0.9583-0.6061i 0.9583+0.8081i

>> Z^2ans = 2.0000+0.0000i 4.0000+0.0000i 3.0000-0.0000i 1.0000+0.0000i

>> real(Z^2)ans = 2.0000 4.0000 3.0000 1.0000

>> A^0.5ans = 1.2778+0.6061i 1.2778-0.8081i 0.9583-0.6061i 0.9583+0.8081i

>> A^-1ans = -0.1000 0.4000 0.3000 -0.2000

矩陣運算的範例 (2/2)

矩陣的左除與右除• 左除「 \ 」與右除「 / 」運算子，可分別用

AX=B與 XA=B 來計算：

28

表 3.5.2 矩陣的數學運算

指令 說 明

A\B A左除 B，此運算相當於把 A的反矩陣乘以 B，也就是 1A B

B/A B右除 A，此運算相當於把 B乘上 A的反矩陣，也就是 1BA

3-29

例如，設

AX B , 3 4

1 2A

,

10

4B

若要求解向量 X ，則

1 1 2 10 2

0.5 1.5 4 1X A B

上式可以寫上 X=inv(A)*B ，或用 A 來左除 B ，

即>> A\B

3-30

XA B3 4

1 2A

10 14B

1 1 210 14 3 1

0.5 1.5X BA

右除是用在另外的一種情況，例如，設

則

>> B/A

上式可以寫上 X=B*inv(A) ，或用 B 右除 A ，即

31

陣列元素對元素的運算

>> A=[2 4;3 1]A = 2 4 3 1

>> B=[3 2;4 6]B = 3 2 4 6

>> A*Bans = 22 28 13 12

>> A.*Bans = 6 8 12 6

>> A^3ans = 68 76 57 49

>> A.^3ans = 8 64 27 1

32

在Matlab裡，矩陣 A乘上 B可以寫成 A*B。例如，設

2 4 3 2, ;

3 1 4 6A B

則

2 4 3 2 2 3 4 4 2 2 4 6 22 28

*3 1 4 6 3 3 1 4 3 2 1 6 13 12

A B

如果是希望陣列 A內的元素乘上陣列 B內相對應的位置，也就是計算

2 4 3 2 2 3 4 2 6 8.*

3 1 4 6 3 4 1 6 12 6A B

則可以利用Matlab所提供的 "元素對元素"的計算指令

Exercises(1/2)

• Please rearrange

m to be and

• Please solve:

33

160015621561

804241

4021

m

140

15611600

m

16001201

4001

m

Exercises(2/2)

• 計算 函數值： ,

, 500 筆資料 ，並利用 PLOTS

標籤簡單繪製其圖形。

34

xx

xxy

cos)sin( 2

35

1510 x