数学のかた ち
DESCRIPTION
数学のかた ち. 共 線 問題 と共点問題. Masashi Sanae. テー マ. メネラウスの定理、チェバの定理から 共線問題と共点問題について考える. 共線・・・点が同一 直線 上に存在 共点・・・直線が 1 点で交わる. 内容. メネラウスの定理 メネラウス の定理とその証明 メネラウス の定理の応用 チェバ の定理とその証明 メネラウスの定理、チェバの定理の逆 メネラウス の定理の逆 チェバ の定理の逆 メネラウス の定理の逆と共線問題 チェバ の定理の逆と三角形の五心 チェバの 定理の逆の応用 メネラウス の定理の拡張 - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
数学のかたち
共線問題と共点問題
Masashi Sanae1
テーマ
メネラウスの定理、チェバの定理から共線問題と共点問題について考える
2
共線・・・点が同一直線上に存在共点・・・直線が 1 点で交わる
内容I. メネラウスの定理
1. メネラウスの定理とその証明2. メネラウスの定理の応用3. チェバの定理とその証明
II. メネラウスの定理、チェバの定理の逆1. メネラウスの定理の逆2. チェバの定理の逆3. メネラウスの定理の逆と共線問題4. チェバの定理の逆と三角形の五心5. チェバの定理の逆の応用
III. メネラウスの定理の拡張1. 多角形におけるメネラウスの定理2. 多角形におけるチェバの定理3. 空間におけるメネラウスの定理
3
メネラウスの定理とその証明
4
Ⅰ メネラウスの定理
メネラウスの定理3 点 P, Q, R をそれぞれ△ ABC の 3 辺 BC, CA, AB の内分点、またはたは外分点とする。3 点 P, Q, R が同一直線上にあるとき、
が成り立つ。
5
BP CQ AR1
PC QA RB
デモ
6
A
B C
P
R
Q
A
B C
R
Q
P
メネラウスの定理のパターン
証明１ 線分の相似比を用いる
7
AR BP CQ
RB PC QA AS
BP 1
A
B C
P
R
Q
S A
B C
P
R
Q
S
PC
AS
BP
PC
【問１】 補助線を変えて証明
8
(1) (2)A
B C
P
R
Q
B‘
A‘
C‘
A
B C
B‘
C‘
A‘P
R
Q
証明２ 面積比を用いる
9
A
B C
1S 2S
3S
P
R
Q
AR BP CQ
RB PC QA 3
1 2
S
S S
12
3
S
S1 2
2
S S
S
メネラウスの定理の応用
10
Ⅰ メネラウスの定理
例題１（メネラウスの定理の応用）
11
OP OQ OR
PA QB RC
O
A BC
PR Q
例題１ 解答△OAC と直線 PB
12
OP AB CR1
PA BC RO
O
A BC
PR Q
△OBC と直線 AQ
OQ BA CR1
QB AC RO
O
A BC
PR Q
例題１ 解答△OAC と直線 PB
13
OP AB CR1
PA BC RO
△OBC と直線 AQ
OQ BA CR1
QB AC RO
OP OQ
PA QB
BC RO AC RO
AB CR BA CR
OR CB AC
RC AB AB
OR AB
RC AB
OR
RC
【問２】
14D
E
F
P
Q
R
A
B Cm
m
m
n
n
n
2 2 2ABC : PQR : ( )m mn n m n △ △
【問２】 方針
15
PQR ABC - ( AB+ QBC+ RCA)△ △ △ P △ △
△PAB を求めることで、 AP ： PD がわかる。A
B C
E
F
P
Q
R
m
m
m
n
n
n
D
【問２】 方針
16
△ADC と直線 BE にメネラウスの定理を用いる。
A
B C
E
F
P
Q
R
m
m
m
n
n
n
D
チェバの定理とその証明
17
Ⅰ メネラウスの定理
チェバの定理3 点 P, Q, R をそれぞれ△ ABC の 3 辺 BC, CA, AB の内分点、またはたは外分点とする。3 直線 AP, BQ, CR が一点で交わるとき、
が成り立つ。
18
BP CQ AR1
PC QA RB
デモ
19
O
B CP
Q RA
O
B CP
Q R
A
O
B CP
QR
A
O
B CP
Q
RA
【問３】 チェバの定理のパターン
デモ
A
B CP
R Q
O
【問４】 証明①相似比による証明
20
A
B CP
RQ
O
ST
A
B CP
RQ
O
STA
B CP
RQ
O
ST
【問４】 証明②面積比による証明
A
B CP
RQ
O
1S
2S3S
証明③メネラウスの定理を利用△ABP と直線 RC
22
BC PO AR1
CP OA RB
△OBC と直線 AQ
AO PB CQ1
OP BC QA
A
B CP
R Q
O
A
B CP
R Q
O
証明③メネラウスの定理を利用△ABP と直線 RC
23
BC PO AR1
CP OA RB
△OBC と直線 AQ
AO PB CQ1
OP BC QA
BC PO AR AO PB CQ
CP OA RB OP BC QA
BP CQ AR
PC QA RB 1
メネラウスの定理の逆
24
Ⅱ メネラウスの定理、チェバの定理の逆
メネラウスの定理（再掲）3 点 P, Q, R をそれぞれ△ ABC の 3 辺 BC, CA, AB の内分点、またはたは外分点とする。3 点 P, Q, R が同一直線上にあるとき、
が成り立つ。
25
BP CQ AR1
PC QA PB
メネラウスの定理の逆3 点 P, Q, R をそれぞれ△ ABC の 3 辺 BC, CA, AB の内分点、またはたは外分点とする。
が成り立つならば、 3 点 P, Q, R は同一直線上にある。
26
BP CQ AR1
PC QA PB
メネラウスの定理の逆はなりたたない
（反例）
27
A
B CP
R Q
メネラウスの定理の逆（修正版）
3 点 P, Q, R をそれぞれ△ ABC の 3 辺 BC, CA, AB の内分点、またはたは外分点とする。内分点が偶数個、外分点が奇数個で、かつ、
が成り立つならば、 3 点 P, Q, R は同一直線上にある。
28
BP CQ AR1
PC QA PB
メネラウスの定理の逆の証明Q, R が辺の内分点で、直線 RQ と BQ の交点を P’ とするとき、
条件より、
29
BP' CQ AR1
P'C QA RB
BP CQ AR1
PC QA RB
A
B C
P’
P
R
QBP BP'
PC P'C∴ P P'∴
チェバの定理の逆
30
Ⅱ メネラウスの定理、チェバの定理の逆
チェバの定理（再掲）3 点 P, Q, R をそれぞれ△ ABC の 3 辺 BC, CA, AB の内分点、またはたは外分点とする。3 直線 AP, BQ, CR が一点で交わるとき、
が成り立つ。
31
BP CQ AR1
PC QA RB
チェバの定理の逆3 点 P, Q, R をそれぞれ△ ABC の 3 辺 BC, CA, AB の内分点、またはたは外分点とする。
が成り立つならば、 3 直線 AP, BQ, CR は一点で交わる。
32
BP CQ AR1
PC QA RB
チェバの定理の逆もなりたたない
（反例）
33
A
B C
P’
R
Q
チェバの定理の逆（修正版）3 点 P, Q, R をそれぞれ△ ABC の 3 辺 BC, CA, AB の内分点、またはたは外分点とする。内分点が奇数個、外分点が偶数個で、かつ、
が成り立つならば、 3 直線 AP, BQ, CR は一点で交わる。
34
BP CQ AR1
PC QA RB
修正版もなりたたない（反例）
35
B CP
A
Q R
チェバの定理の逆（再修正版）3 点 P, Q, R をそれぞれ△ ABC の 3 辺 BC, CA, AB の内分点、またはたは外分点とする。内分点が奇数個、外分点が偶数個で、かつ、
が成り立つならば、 3 直線 AP, BQ, CR は一点で交わるか、またはすべて平行である。
36
BP CQ AR1
PC QA RB
チェバの定理の逆の証明P, Q が辺の内分点で、直線 AP と BQ の交点を O 、 CO と AB の交点を R’ とするとき、
条件より、
37
BP CQ AR'1
PC QA R'B
BP CQ AR1
PC QA RB
AR AR'
RB R'B∴ R R'∴
A
B CP
R‘R Q
O
メネラウスの定理の逆と共線問題
38
Ⅱ メネラウスの定理、チェバの定理の逆
シムソンの定理
39
△ABC の外接円の任意の点 D から、 3 直線 BC, CA, AB に下ろした垂線の足をそれぞれ、 P, Q, R とする。このとき、この 3 点は同一直線上にある。
A
D
B CP
R
Q デモ
シムソンの定理の証明 （方針）
40
△ABC と 3 点 P, Q, R において、
が成り立つことをいえばよい。（メネラウスの定理の逆）
BP CQ AR1
PC QA RB
A
D
B CP
R
Q
シムソンの定理の証明
41
BP CQ AR
PC QA RB
A
D
B CP
R
Q
α β
A
D
B CP
R
Q
α
γ
β
β
DBcos
DCcos
DCcos( )
DAcos
A
D
B CP
R
Q
α
γ
γ α+γ
α
β
DAcos
DBcos( )
1
ニュートンの定理
42
四角形 ABCD の対辺 AB, CD の延長線の交点を E 、 AD, BC の延長線の交点を F とする。AC, BD, EF の中点をそれぞれ P, Q, R とするとき、この 3 点は同一直線上にある。
A
D
B CF
E
P
R
Q
デモ
ニュートンの定理の証明 （方針）
43
BC の 中 点 を G 、 GP と CE の 交 点 を H 、 GQ と BE との交点を I とする。3 点 H, I, R がそれぞれ CE, BE, FE の中点であるから、 3 点は同一直線上。△GHI と 3 点 P, Q, R において、
が成り立つことをいえばよい。（メネラウスの定理の逆）
GP HR IQ1
PH RI QG A
D
B CG
H
P
R
Q
F
E
I
ニュートンの定理の証明
44
GP HR IQ
PH RI QG
BA
AE
FC
FB
ED
DC 1
A
D
B CG
H
F
E
P
R
Q
A
D
B CG
H
F
E
I
P
R
Q
A
D
B CG
H
F
E
P
R
Q
△EBC と 3 点 P, Q, R において、BA ED CF
1AE DC FB
A
D
B CG
H
F
E
I
P
R
Q
デザルグの定理
45
△ABC と △ A’B’C’ において、直線 AA’, BB’, CC’ が 1 点 O で交わっている。直線 AB と A’B’ 、 BC と B’C’ 、 CA と C’A’ の交点をそれぞれ P, Q, R とするとき、この 3 点は同一直線上にある。
A
A‘
B
B‘
C
C‘
O
P
R
Q デモ
デザルグの定理の証明 （方針）
46
△ABC と 3 点 P, Q, R において、
が成り立つことをいえばよい。（メネラウスの定理の逆）
AP BQ CR1
PB QC RA
A
A‘
B
B‘
C
C‘
O
P
R
Q
デザルグの定理の証明△OAB と直線 PB’
AP BB' OA'1
PB B'O AA'
△OBC と直線 QB’
BQ CC' OB'1
QC C'O BB'
△OCA と直線 C’R
CR AA' OC'1
RA A'O C'C
A
A‘
B
B‘
C
C‘
O
P
R
Q
A
A‘
B
B‘
C
C‘
O
P
R
Q
A
A‘
B
B‘
C
C‘
O
P
R
Q
デザルグの定理の証明△OAB と直線 PB’
AP BB' OA'1
PB B'O AA'
△OBC と直線 QB’
BQ CC' OB'1
QC C'O BB'
△OCA と直線 C’RC
CR AA' OC'1
RA A'O C'C
AP BB' OA'
PB B'O AA'
BQ CC' OB'
QC C'O BB' CR AA' OC'
RA A'O C'C
AP BQ CR
PB QC RA 1
パップスの定理
49
2 直線上の 3 点をそれぞれ、 A, B, C, A’, B’, C’ とする。線分 AB’ と A’B 、 BC’ と B’ C 、 AC’ と A’C の交点をそれぞれ P, Q, R とするとき、この 3 点は一直線上にある。
A
A‘
B
B‘
C
C‘
PR Q
デモ
【問５】 証明 （方針）
50
直線 AB’ と BC’ との交点を D 、 A’C と AB’ ， BC’ との交点をそれぞれ E, F とする。△DEF と 3 点 P, Q, R において、
が成り立つことをいえばよい。（メネラウスの定理の逆）
DP ER FQ1
PE RF QD
A
A‘
B
B‘
C
C‘
D
F
E
PR Q
パスカルの定理
51
円に内接する六角形 ABCDEF において、AB と DE 、 BC と EF 、 CD と FA のそれぞれの交点を P, Q, R とすると、この 3 点は一直線上にある。 A
B
CD
F
E
PR
Qデモ
【問６】 証明 （方針）
52
直線 AB と CD 、 AB と EF ， CD と EF の交点をそれぞれの交点を L, M, N とする。△LMN と 3 点 P, Q, R において、
が成り立つことをいえばよい。（メネラウスの定理の逆）
LP ME NR1
PM EN RL
A
B
CD
F
E
N
L
M
P RQ
チェバの定理の逆と三角形の五心
53
Ⅱ メネラウスの定理、チェバの定理の逆
重心
54
三角形の中線は 1 点で交わる。
A
B C
重心の証明
チェバの定理の逆より、 3 直線は1 点で交わる。
BP CQ AR
PC QA RB
△ABP と直線 RC
AR BC PG1
RB CP GA
A
B CP
R Q
BP CQ AR
BP CQ AR 1
A
B C
G
P
R Q
PG RB CP 1
GA AR BC 2
垂心
56
三角形の 3 頂点から対辺に下ろした垂線は 1点で交わる。
A
B C
垂心の証明
チェバの定理の逆より、 3 直線は 1 点で交わる。
BP ABcos B
PC ACcos C
1
CQ BCcosC
QA ABcos A
AR ACcos A
RB BCcos B
BP CQ AR
PC QA RB
ABcos B
ACcos C BCcosC
ABcos A
ACcos A
BCcos B
A
B CP
R
Q
外心
58
三角形の 3 辺の垂直 2 等分線は 1 点で交わる。
A
B C
外心の証明
A
B CP
R Q
BC, CA, AB の中点を P, Q, R とすると、 BC // RQ, CA // PR, AB // QP
BC, CA, AB の垂直 2 等分線は、 RQ, PR, QP に対しても垂直。よって、△ ABC の垂直 2等分線の交点は△ PQR の垂心に一致する。垂心はすでに証明済み。
【問７】（１） 内心
60
三角形の 3 頂角の 2 等分線は 1 点で交わる。
A
B C
【問７】（１） 方針
61
頂角 A, B, C の 2 等分線と対辺との交点を P, Q, R とする。角の二等分線の性質を用いて、
をいう。（チェバの定理の逆）
A
B CP
RQ
BP CQ AR1
PC QA RB
【問７】（２） 傍心
62
三角形の 1 頂角の内角と、他の外角の 2 等分線は 1 点で交わる。 A
B C
【問７】（２） 方針
63
頂角 A の内角、 B, C の外角の 2 等分線と対辺との交点を P, Q, R とする。角の二等分線の性質を用いて、
をいう。（チェバの定理の逆）
BP CQ AR1
PC QA RB
A
B CP
R
Q
チェバの定理の逆の応用
64
Ⅱ メネラウスの定理、チェバの定理の逆
例題２（ジェルゴンヌ点）
65
A
B CP
RQ
△ABC の内接円と辺 BC, CA, AB との接点を P, Q, R とすると、 3 直線 AP, BQ, CR は1 点で交わる。
デモ
例題２ 方針
66
円外の 1 点から円に引いた接線の長さが等しいことを利用して、
をいう。（チェバの定理の逆）
BP CQ AR1
PC QA RB
A
B CP
RQ
例題２ 解答BP = BR, CP = CQ, AQ = AR より、
67
BP CQ AR
PC QA RB
BP CQ AR
CQ AR BP 1
チェバの定理の逆より、AP, BQ, CR は 1 点で交わる。
A
B CP
RQ
【問８】 （ナーゲル点）
68
△ABC の傍接円と辺 BC, CA, AB との接点を P, Q, R とすると、 3 直線 AP, BQ, CR は 1 点で交わる。
A
B C
QR
P
デモ
【問８】 方針
69
円外の 1 点から円に引いた接線の長さが等しいことを利用して、
をいう。（チェバの定理の逆）
BP CQ AR1
PC QA RB A
B CST
P
【問８】 方針
70
BC = a, CA = b, AB = c, 2s=a + b + c とおく。AS+AS AS+AT
AS=2 2
A
B CST
P
(AB+BS)+(AC+CP)
2
(AB+BP)+(AC+CP)
2
AB+BC+CA
2s
BP BS AS- AB s c
多角形におけるメネラウスの定理
71
Ⅲ メネラウスの定理の拡張
多角形におけるメネラウスの定理
72
n 角形のどの頂点も通らない直線が、直線 AkAk+1 （ k=1, 2, 3, ・・・ , n ， An+1=A1 ）と交わる点を Pk とするとき、
が成立する。
3 31 1 2 2
11 2 2 3 3 4 1 1
A P A P A PA P A P1
P A P A P A P A P A
nn n k k
kn n k k
An
A1
A2 A3
A4
A5P1Pn
P2
P
73
A1
A2
P1
P2
P3
P4
A3
A4
A1
A2
P1
P2
P3
P5
P4
A3
A4
A5
A1
A2
P1
P2
P3P4
A3
A4
3 31 1 2 2 4 4
1 2 2 3 3 4 4 1
A PA P A P A P1
P A P A P A P A
3 3 5 51 1 2 2 4 4
1 2 2 3 3 4 4 5 5 1
A P A PA P A P A P1
P A P A P A P A P A
多角形におけるパターン
デモ
証明１ 線分の相似比を用いる
74
An
A1
A2 A3
A4
A5
B 4
B 3
B 2B 1
P1Pn
P2
1 1 1 1
1 2 2 2
A P A B
P A A B 2 2 2 2
2 3 3 3
A P A B
P A A B
1 1 1
A P A B
P A A Bk k k k
k k k k
3 31 1 2 2
1 2 2 3 3 1 1
A P A PA P A P
P A P A P A P An n
n n
3 31 1 2 2
2 2 3 3 4 4 1 1
A B A BA B A B
A B A B A B A Bn n
n n
1
An
A1
A2 A3
A4
A5
B 4
B 3
B 2B 1
P1Pn
P2
P3
P4
証明２ 帰納法を用いる
75
n 角形の辺 AnAn+1 に△ AnAn+1A1 を作り、 AnAn+1, An+1A1 と直線との交点を P’, Pn+1 とする。三角形では明らか。 n 角形で次の関係が成り立つとする。
△AnAn+1A1 と直線において、
3 31 1 2 2
1 2 2 3 3 1 1
A P A PA P A P1
P A P A P A P An n
n n
1 1 1
1 1 1
A P A P ' A P1
P A P 'A P An n n n
n n n n
AnAn+1
A1
Pn
P‘
P
証明２ 帰納法を用いる
76
2 式をかけると、
P’ を Pn におきかえると、 n + 1 角形でも成立。
3 3 1 1 1 11 1 2 2
1 2 2 3 3 1 1 1 1 1
A P A P A A PA P A P1
P A P A P A P
P '
PA 'A P An n n n n
n n n n
3 3 1 1 1 11 1 2 2
1 2 2 3 3 1 1 1 1 1
A P A P A A PA P A P1
P A P A P A P A A P A
P
Pn n n n n
n n n n
n
n
An
An+1
A1
Pn
P‘
P
多角形におけるチェバの定理
77
Ⅲ メネラウスの定理の拡張
多角形におけるチェバの定理
78
2n+1 角形の辺または延長上にない平面上の 1 点 Oに対して、直線 AkO と A n+k mod 2n+1 A n+k+1 mod 2n+1
（ k=1, 2, ・・・ ,2n+1 ， A2n+2=A1 ）と交わる点を Pk とすると、
が成立する。
2 11 1 2 2 3 3 2 1
11 2 2 3 3 4 2 1 1 1
A P A P A P A P A P1
P A P A P A P A P A
nn n n n n n k k
kn n n n n k n k
P1
Pn+1 Pn
Pn+2
Pn+3
Pn+4
P2
A2n+1
An+2
An+3
An+1
A1
A2
A3
O
79
3 1 5 3 2 54 2 1 4
1 4 2 5 3 1 4 2 5 3
A P A P A PA P A P1
P A P A P A P A P A
考え方対辺が存在する奇数多角形においてのみ拡張される。
P5
A1
A2
P1
P2
P3
P4
A3
A4
A5
P1
P2
P3
P5
P6
P7
P4 A7
A6
A1
A2
A3 A4
A5
2n 3n
5 2 6 3 7 4 1 5 2 6 3 74 1
1 5 2 6 3 7 4 1 5 2 6 3 7 4
A P A P A P A P A P A PA P1
P A P A P A P A P A P A P A
2 2(A A )n n
デモ
証明 面積比を用いる
80
P1
Pn+1 Pn
Pn+2
Pn+3
Pn+4
P2
A2n+1
An+2
An+3
An+1
A1
A2
A3
S 1
S 2
1 1
A P S
P A Sn k k n k
k n k n k
△AkAn+kO = Sm とおくと、
1 1 2 2 3 3 2 1
1 2 2 3 3 4 2 1 1
A P A P A P A P
P A P A P A P An n n n n
n n n n n
1 2 3 1
2 3 4 1
S S S S Sn n n n n
n n n n nS S S S S
1
2 2 1(A A )n
空間におけるメネラウスの定理
81
Ⅲ メネラウスの定理の拡張
空間におけるメネラウスの定理
82
空間内の四面体 ABCD の辺 AB, BC, CD, DA またはその延長が平面 π と交わる点をそれぞれ P, Q, R, S とすると、
が成立する。
AP BQ CR DS1
PB QC RD SA
π
A
P
Q
R
S
B
C
D
デモ
証明
83
直線 AC と平面 π との交点を U とする。
AP BQ CU1
PB QC UA AU CR DS
1UC RD SA
π
A
P
Q
R
S
B
C
D
U
△ABC と直線 PQ △ACD と直線 SR
π
A
P
Q
R
S
B
C
D
U
証明
84
直線 AC と平面 π との交点を U とする。△ABC と直線 PQ △ACD と直線 SR
AP BQ CU AU CR DS
PB QC UA UC RD SA
AP BQ CR DS
PB QC RD SA 1
AU CR DS1
UC RD SA
AP BQ CU1
PB QC UA
頂点の巡る順
85
直線 BD と平面 π との交点を T とする。
AP BT DS1
PB TD SA
BQ CR DT1
QC RD TB
△ABD と直線 PS △BCD と直線 QR
π
A
P
Q
R
S
B
C
D
Tπ
A
P
Q
R
S
B
C
D
T
証明
86
AP BT DS BQ CR DT
PB TD SA QC RD TB 1
直線 BD と平面 π との交点を T とする。△ABD と直線 PS △BCD と直線 QR
AP BT DS1
PB TD SA
BQ CR DT1
QC RD TB
AP BQ CR DS
PB QC RD SA