第十章 离散时间系统及卷积

10.1 离散时间系统

1 、离散系统的概念 离散时间系统是指输入及输出信号均是离散信号的系统。

系统输入 si(n) 输出 so(n)

2 、离散系统的互联系统 1输入 系统 2 输出

a. 系统的级联

系统 1输入系统 2

输出

b. 系统的并联系统 1输入系统 3

输出系统 2系统 4

c. 系统的混联

3 、离散时间系统的模型离 散 时 间 系 统 输 入 输 出 之 间 的 关 系 可 以 采

用 一 些 数 学 模 型 来 描 述 ， 如 差 分 方 程 ， 以 及 其 他

各 种 方 式 。

例 如 ：

)()1()( 0010 nsbnsbnsb inn

10.2 离散时间系统的分类

1 、线性系统设 某 系 统 对 输 入 )(),( 21 nfnf ， 有 输 出 )(),( 21 nsns

则 该 系 统 对 输 入 )()( 2211 nfCnfC ，

有 输 出 )()( 2211 nsCnsC ， 则 该 系 统 为 线 性 系 统 。

2 、时不变系统设 某 系 统 对 输 入 )(nf ， 有 输 出 )(ns

则 该 系 统 对 输 入 )( 0Nnf ，

有 输 出 )( 0Nns ，

则 该 系 统 为 时 不 变 系 统 。

3 、因果系统如 果 某 系 统 在 0n 时 刻 的 输 出 )( 0ns 仅 于 0n 时 刻 前 的 输 入

0)( nnnf 有 关 ，

而 与 0n 时 刻 以 后 的 输 入 0)( nnnf 无 关 ，

则 该 系 统 为 因 果 系 统 。

4 、稳定系统 对有界输入信号的响应还是有界信号的系统是稳定系统。 或者说，如果输入信号的幅度限制在某个范围之内，则输出信号的幅度也限制在某个范围之内。

10.3 离散时间系统的描述

1 、系统函数 对应连续时间系统中的 h(t) ，离散时间系统中有 h(n) 。

2 、系统函数的物理含义冲激响应函数：

指冲激信号 )(n 经过系统的响应。

换句话说，系统函数 )(nh 就是输入信号为 )(n 时离散

时间系统的输出信号。

3 、从系统函数到卷积系统 h(n)

n

(n)n

k

knkfnf )()()(

T

f(n)

系统h(n)f(0)

t

于是输入信号 f(n) 的输出就等于一系列 h(n) （经过加权和移位）的叠加

k

knhkfns )()()(

T

f(t)

h(n-1)f(1)

t

h(n-k)f(k)

t

…

s(t)

k

knhkfns )()()(就 是 离 散 卷 积 公 式

将 它 与 连 续 的 卷 积 公 式 对 比

dthfts )()()(

二 者 之 间 是 统 一 的

于是，借助系统函数 - 即冲激响应函数，我们就在系统的输入信号与输出信号之间建立了一种明确的数学关系，这种数学关系就是卷积关系。

4 、卷积的性质及一类特殊的卷积卷积具有如下重要性质： 交换率： s (n)h(n)= h(n) s (n) 分配率： s (n)[h1(n)+h2(n)]= s(n) h1 (n)+ s(t) h2 (n)

5 、一类特殊的卷积对 ： )()( 0nnnh

有 ：

)()()()()()( 00 nnsnknksknhksns ik

ik

io

，

可 见 输 入 信 号 经 过 一 个 冲 激 响 应 为 )( 0nn 的 系 统 ，

相 当 于 做 平 移 。

特 殊 的 ： )()()( nsnns ii

h(n)=(n) 的系统又被称为恒等系统

10.4 离散互联系统的冲激响应

1 、级联系统系统 1输入 系统 2 输出h1(n)

h2(n) 系统 h(n)

此种情况下，系统的冲激响应函数：h(n)=h1(n)h2(n)

2 、并联系统h1(n)h2(n)

系统 h(n)此种情况下，系统的冲激响应函数：h(n)=h1(n)+h2(n)

系统 1输入系统 2

输出

3 、混联系统

此种情况下，系统的冲激响应函数：h(t)={[h1(t)h2(t)]+ h3(t)} h4(t)

系统 h(t)

系统 1输入系统 3

输出系统 2系统 4h1(t) h2(t)

h3(t)h4(t)

10.5 卷积的频域性质

1 、时域与频域的关系 时域卷积等价于频域乘积，即如 果 ： )()()( nhnfns

则 ： )()()( HFS

其 中 ， )(),(),( HFS 分 别 为

)(),(),( nhnfns 系统冲激响应函数输入信号输出信号

的 离 散 付 里 叶 变 换

于是，我们在系统冲激响应函数、输入信号、输出信号之间建立了联系，这种联系不仅体现在时域中，而且体现在频域中。 基于这些联系，我们可以分析和解决很多问题

1 ）级联系统系统 1输入 系统 2 输出h1(n)

h2(n) 系统 h(n)

此种情况下，系统的冲激响应函数：h(n)=h1(n)h2(n)H()=H1()·H2()

2 ）并联系统h1(n)h2(n)

系统 h(n)此种情况下，系统的冲激响应函数：h(n)=h1(n)+h2(n) H()=H1()+H2()

系统 1输入系统 2

输出

3 ）混联系统

此种情况下，系统的冲激响应函数：h(n)={[h1(n)h2(n)]+ h3(n)} h4(n)H()={H1()·H2()+H3()} ·H4()

系统 h(n)

系统 1输入系统 3

输出系统 2系统 4h1(n) h2(n)

h3(n)h4(n)

2 、输出信号的求解设 输 入 信 号 为 )( ns i ， 系 统 的 冲 激 响 应 为 )( nh ， 输 出 信

号 为 )( ns o

利 用 时 域 法 可 以 求 解 输 出 信 号 ：

k

iio knhksnhnsns )()()()()(

利 用 频 域 法 也 可 以 求 解 输 出 信 号 ：

)()()( HSS io ， 再 做 反 付 里 叶 变 换

2

0)(

21)( deSns nj

oo

应当注意的是，有些情况下，采用时域法求解较为容易，而有些情况下，采用频域法较为方便。

举例：输 入 信 号 为 ： )1(3)(2)( nnns i

冲 激 响 应 为 ： )2(1)1(2)(1)( nnnnh

输 出 为 ： )1(3)(2)()()(1

00

nhnhknhksnsk

i

)3(3)2(6)1(3)2(2)1(4)(2

nnnnnn

)3(3)2(8)1(7)(2 nnnn

si(n)

h(n)n

n

si(0) si(1)

si(0) 引起的输出 =2h(n)

si(1) 引起的输出 =3h(n-1)n

n总的输出 =2h(n)+3h(n-1)

n

2 3

1 2 1

24

2

36

3

2

78

3

3 、时域卷积等价与频域乘积的物理意义 从广义上看，任何一个系统 h(n) ，都可以看成是一个滤波器。因为它们均实现了一定的频率选择性。 解释同连续时间系统

10.6 系统冲激响应函数的求解

对差分方程， y 为输出信号， x 为输入信号：

M

rr

N

kk rnxaknyb

00

)()( ，有：

jrM

rr

N

k

jkk eXaeYb

00

)()( ，所以

N

k

jkk

jrM

rr

eb

ea

XYH

0

0

)()()(

得到 H() 之后可以通过逆离散付里叶变换反解出系统冲激响应函数 h(n) 。

10.7 DFT 和圆周卷积

1 、园周移位 x(n) ， n=0,1,2,…N-1 的信号的圆周移位又写成 <x(n-k)>N 具体方法如下图。

n

X(n)

n

<X(n-1)>N

n

<X(n-2)>N

3 3 3

n

<X(n-3)>N

3 n

<X(n-4)>N

3

2 、园周卷积 我们知道，前面介绍求解输出信号时可以采用频域法，即对输入 x(n) ，系统 h(n) ，求解输出 y(n) 时，可以先求 Y()=X()H() ，再反变换回去得 y(n) ，不过，反变换涉及积分，不太方便计算机处理。 问题，有没有其他的办法在频域也离散化，即根据 Y(k) 来求解 y(n) ？？？

回答：有，而且实际的处理中，结合 FFT ， IFFT ，就是用这种方法来处理的。 我们知道： 对 x(n) ， h(n) ， n[0,N) ，其周期拓展后的信号的离散付里叶变换 (DFT) 为 X(k) ， H(k) ， k[0,N) 。 假设 Y(k)=X(k)·H(k) 。 那么问题是， Y(k) 做逆离散付里叶变换 (IDFT)得到的 y(n) 是什么？？

我 们 知 道 ：

1

0

2

)()(N

n

Nnkj

enxkX

，

1

0

2

)()(N

n

Nnkj

enhkH

，

1

0

21

0

2

)()(1)(1)(N

k

NnkjN

k

Nnkj

ekHkXN

ekYN

ny

1

0

1

0

221

0

21

0

2

)()(1)()(1 N

m

N

k

Nnkj

NmkjN

k

NnkjN

m

Nmkj

eekHmxN

ekHemxN

由

1

0

1

0

22

)(1)()(N

m

N

k

Nnkj

Nmkj

eekHN

mxny

而 对

1

0

22

])([1 N

k

Nnkj

Nmkj

eekHN

， 看 中 括 号 内 的 部 分 ， 是 对 )( kH

做 了 一 个 频 域 频 移 ， 相 当 于 时 域 延 迟 ， 但 要 注 意 ， )( kH

对 应 的 时 域 信 号 是 )( nh 的 周 期 延 拓 信 号 )(~ nh ， 所 以 ：

)(~])([1

0

22

mnheekHN

k

Nnkj

Nmkj

。

于是

1

0

1

0

1

0

22

)(~)(

)(1)()(

N

m

N

m

N

k

Nnkj

Nmkj

mnhmx

eekHN

mxny

这已经是卷积的形式，但它与普通卷积不同，主要在于

后一项是 )(~ mnh 而不是 )( mnh 。

下面我们来看 )(~ mnh 在 [0， N -1 ]上是什么形式

举例来看：h(n)

n3

n3

)(~ nh

… …

n3

)1(~nh

… …

n3

)1(~nh

在 [0,N-1] 内 = 圆周移位<h(n-1)>N

n3

)2(~nh

…

n3

)2(~nh

在 [0,N-1] 内 = 圆周移位<h(n-2)>N

n3

)(~

mnh

…

n3

)(~

mnh

… …

在 [0,N-1] 内 = 圆周移位<h(n-m)>N

可 见 ：

1

0

)()()(N

mNmnhmxny

这 种 卷 积 被 称 为 园 周 卷 积 ， 可 见 得 到 的 )( ny 是 )( nx

与 )( nh 的 园 周 卷 积 。

表 示 为 ： )()()( nhnxny

下 面 的 问 题 是 ： 园 周 卷 积 与 正 常 离 散 卷 积 相 同 吗 ？ ？

回答，如不做特殊处理，园卷积与正常卷积不同，在做特殊处理之后，可以相同。 问题：一个 K点的 h(n) 和一个 L 点的 x(n) 正常卷积可以得到一个多少点的 y(n) ？？ 回答： K+L-1 点。

例如：h(n)=[1,2,3,4

]

n3

x(n)=[1,2,2,1]

n3

h(0-m)

m3

x(m)

m3

正 常 卷 积 ：

1

)0()()0(

mhmxym

即 上 下 两 图 中 对 应

点 相 乘 后 相 加

同理：h(1-m)

m3

x(m)

m3

正 常 卷 积 ：

4

)1()()1(

mhmxym

即 上 下 两 图 中 对 应

点 相 乘 后 相 加

继续移动，最终正常卷积得到的y(n)=[1,4,9,15,16,11,4] 共 7 点 下面看园周卷积

园周卷积：<h(0-m)>N

m3

x(m)

m3

园 周 卷 积 ：

17

)0()()0('3

0

Nm

mhmxy

即 上 下 两 图 中 对 应 点 相 乘 后 相

加

解释： <h(0-m)>N 是怎样得来的：h(m)

m3

h(-m)

m3

周期延拓m3

取 0~N-1点m

<h(0-m)>N

3

有了 <h(0-m)>N ，自然求解 <h(n-m)>N 就方便了，实际上就是不断地向右做园周移位

园周卷积：<h(1-m)>N

m3

x(m)

m3

园 周 卷 积 ：

15

)1()()1('3

0

Nm

mhmxy

即 上 下 两 图 中 对 应 点 相 乘 后 相

加

依次有： y’(n)=[17,15,13,15] 。显然同前面的 y(n) 不同。 问题，如何处理才能使 y’(n)=y(n)?? 回答：将K点的 x(n) ， L 点的 h(n) 通过补 0 分别展成 K+L-1 点的序列，再做园周卷积即可。

还用上例：h(n)=[1,2,3,4,0,0,0]

n7

x(n)=[1,2,2,1, 0,0,0]

n7• • •

• • • 补 0 展长后的序列

展长后的园周卷积：<h(0-m)>N

m7

x(m)

m7

园 周 卷 积 ：

1

)0()()0('7

0

Nm

mhmxy

即 上 下 两 图 中 对 应 点 相 乘 后 相

加

• •

• • •

•

注： <h(0-m)>N 的获取仍采用前面介绍过的方法

展长后的园周卷积：<h(1-m)>N

m7

x(m)

m7

园 周 卷 积 ：

4

)1()()1('7

0

Nm

mhmxy

即 上 下 两 图 中 对 应 点 相 乘 后 相

加

• •

• • •

•

依次可得 y’(n)=[1,4,9,15,16,11,4]=y(n) 上述方法的频域实现是：第一步，将K点的 x(n) 和 L点的 h(n) 展成 K+L-1点的序列。第二步，分别做展长后的序列的离散付里叶变换 X(k) 和 H(k)第三步，将 X(k) 和 H(k) 相乘得 Y(k)第四步，将 Y(k) 做反离散付里叶变换得 y(n) 即可。

需要说明的是，展长序列的长度只要大于 K+L-1 即可。故在实际使用中，往往选择一个长度（ 2M ），该值是大于 K+L-1 的且最贴近K+L-1 的 2 的整数次幂，当然也可以选其他的 2 的整数次幂，只要大于 K+L-1 即可，但这样做会使运算量大增，所以谁也不这样用。 于是可以利用 FFT 和 IFFT 完成上述步骤。具体描述如下。

第一步，将K点的 x(n) 和 L 点的 h(n) 展成大于 K+L-1 点且最贴近的 2M长序列。第二步，分别做展长后的序列的 FFT 变换得 X(k) 和 H(k)第三步，将 X(k) 和 H(k) 相乘得 Y(k)第四步，将 Y(k) 做 IFFT 变换得 y(n) 即可。

10.8 总结

这一章，我们介绍了离散时间系统的概念，及性质：线性、移不变、因果、稳定 介绍了离散系统函数，及离散冲激响应函数，并从离散输出输入的关系引出离散卷积的概念，并介绍了离散卷积的性质。 然后就离散输入输出之间的关系问题在时域和频域分别进行了讨论，即在时域内，输出信号是输入信号与冲激响应的卷积，在频域内，输出信号的频谱是输入信号的频谱与冲激响应信号频谱的乘积。

从以上的内容可以得出两种求解输出信号的方法，即时域卷积法，和频域乘积后再做付里叶反变换的求解方法，这里要注意的是，离散反付里叶变换的积分限是一个周期，即 0 到 2 。 我们还介绍了系统的互联方式，以及互联后的系统冲激响应及其频谱的求解方法。 我们还介绍了根据差分方程求解系统冲激响应的方法