第十章 曲线积分与曲面积分第十章 曲线积分与曲面积分

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1. 曲线积分与曲面积分

2. 各种积分之间的联系

3. 场论初步

一、主要内容一、主要内容

曲线积分

曲线积分

曲面积分

曲面积分

对面积的曲面积分对面积的曲面积分

对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分

对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分

对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分

定义定义

计算计算

定义定义

计算计算

联系联系

联系联系

1. 1. 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分

曲 线 积 分对弧长的曲线积分 对坐标的曲线积分

定义

n

iiiiL

sfdsyxf1

0),(lim),(

L

dyyxQdxyxP ),(),(

]),(),([lim1

0iii

n

iiii yQxP

联系 dsQPQdyPdx

LL)coscos(

计

算

dtf

dsyxfL

22],[

),(

三代一定 )(

dtQP

QdyPdxL

]),(),([

二代一定 ( 与方向有关 )

与路径无关的四个等价命题

条件

在单连通开区域 D 上 ),(),,( yxQyxP 具有

连续的一阶偏导数 ,则以下四个命题成立 .

L

QdyPdxD 与路径无关内在)1(

C

DCQdyPdx 闭曲线,0)2(

QdyPdxduyxUD 使内存在在 ),()3(

xQ

yP

D

,)4( 内在

等

价

命

题

曲 面 积 分对面积的曲面积分 对坐标的曲面积分

定义

n

iiiii sfdszyxf

10

),,(lim),,(

xyi

n

iiii SRdxdyzyxR )(),,(lim),,(

10

联系

RdxdyQdzdxPdydz

计

算 一代 , 二换 , 三投 ( 与侧无关)

一代 , 二投 , 三定向 ( 与侧有关 )

dSRQP )coscoscos(

dszyxf ),,(

xyD

yx dxdyzzyxzyxf 221)],(,,[

dxdyzyxR ),,(

xyD

dxdyyxzyxR )],(,,[

定积分曲线积分

重积分曲面积分

计算

计算计算

Green 公式Stokes 公式

Guass 公式

2. 2. 各种积分之间的联系各种积分之间的联系

点函数)(,)(lim)(1

0MfMfdMf

n

ii

.)()(

,],[1

b

adxxfdMf

baR

时上区间当

.),()(

,2

D

dyxfdMf

DR

时上区域当

积分概念的联系积分概念的联系

定积分

二重积分

dVzyxfdMf

R

),,()(

,3

时上区域当

.),,()(

,3

dszyxfdMf

R

时上空间曲线当

.),,()(

,3

S

dSzyxfdMf

SR

时上曲面当曲面积分

曲线积分

三重积分

.),()(

,2

LdsyxfdMf

LR

时上平面曲线当曲线积分

计算上的联系计算上的联系

)(,]),([),()(

)(

2

1

面元素 ddxdyyxfdyxfb

a

xy

xyD

)(,),,(),,()(

)(

),(

),(

2

1

2

1

体元素dVdzzyxfdydxdVzyxfb

a

xy

xy

yxz

yxz

b

aLdsdxyxyxfdsyxf ))((,1)](,[),( 2 曲线元素

b

aLdxdxxyxfdxyxf ))((,)](,[),( 投影线元素

xyD

yx dxdyzzyxzyxfdszyxf 221)],(,,[),,(

xyD

dxdyyxzyxfdxdyzyxR )],(,,[),,(

其中

dsRQP

dxdyRQdzdxPdydz

)coscoscos(

dsQPQdyPdxL

)coscos(

))(( 曲面元素ds

))(( 投影面元素dxdy

理论上的联系理论上的联系

1. 定积分与不定积分的联系

))()(()()()( xfxFaFbFdxxfb

a

牛顿 --莱布尼茨公式

2. 二重积分与曲线积分的联系

)()( 的正向沿LQdyPdxdxdyyP

xQ

LD

格林公式

三重积分与曲面积分的联系

RdxdyQdzdxPdydzdvzR

yQ

xP

)(

高斯公式曲面积分与曲线积分的联系

dxdyy

P

x

Qdzdx

x

R

z

Pdydz

z

Q

y

R)()()(

RdzQdyPdx 斯托克斯公式

D

LdxdykArotsdA )(

D

LdxdyAdivdsnA

)(

GreenGreen 公式公式 ,,GuassGuass 公式公式 ,,StokesStokes 公式之间的公式之间的关系关系

dSnArotdSA )(

RQPzyx

dxdydzdxdydz

RdzQdyPdx

dvAdivdsnA

)(

dvzR

yQ

xP

RdxdyQdzdxPdydz

)(

D

Ldxdy

yP

xQ

QdyPdx )(

D

Ldxdy

yQ

xP

PdyQdx )(或

推广 推广

为平面向量场)(MA

为空间向量场)(MA

梯度 kzu

jyu

ixu

gradu

通量

旋度

环流量zR

yQ

xP

Adiv

RdxdyQdzdxPdydz

kyP

xQ

jxR

zP

izQ

yR

Arot

)()()(

RdzQdyPdx

散度

3. 3. 场论初步场论初步

二、典型例题二、典型例题

ttytx ),(),(

对弧长的曲线积分的计算方法练习对弧长的曲线积分的计算方法练习解法：化为参变量的定积分计算

解题步骤：

（ 1 ）画出积分路径的图形；

（ 2 ）把路径 L 的参数式子写出来：

（ 3 ）将 ds 写成参变量的微分式，代入并计算：

dtttttfdsyxf

L)()()](),([),( 22

注意：参数大的作为上限 β ，小的作为下限 α

. 1. 22 L

dsyx计算例 ).0( : 22 aaxyxL

解

.sin2

,cos22 :

ay

aaxL

.20

L

dsyx 22

daaaaa

2

02222 )cos

2()sin

2()sin

2()cos

22(

daa

2

0

2)cos1(2

2

da2

0

2

2cos

2

dada

22

0

2 )

2cos(

2

2cos

2.2 2a

o x

y

a

a/2

形的边界。轴在第一象限中所围图及

直线由圆周计算例

x

xyayxLdseL

yx ,:,.2 22222

解：

L

yx dse22

B

O A(a,0) X

Y

aa

2

2,

2

2

axyOA 0,0:

OA

yx dse22

BO

yx

AB

yx

OA

yx dsedsedse22

^

2222

dxea x

01 ae

B

O A X

Y

aa

2

2,

2

2

,4

0,sin,cos:^

ttaytaxAB

^

22

AB

yx dse

,2

20,: axxyBO

BO

yx dse22

aa

BO

yx aeedse4

1222

故：

dtaea 4

0

aae

4

dxea x 2

2

0

2 2 1 ae

. 3 xyzds例

),0,20( ),00,0( . : ，，折线 AooABC.)4,2,3( ),0,2,3( CB

o

x

y

z

A

B

C

2

3

4

解 xyzds

BCABoA

xyzdsxyzdsxyzds

oA：

过点 o (0, 0, 0) ，平行于 y 轴，

}.0,1,0{ s取

方程： ,

0

0

z

ty

x

.20 t

.0oAxyzds

AB ： 过点 A (0, 2, 0) ，平行于 x 轴， }.0,0,1{ s取

.0oAxyzds

AB ：过点 A (0, 2, 0) ，平行于 x 轴， }.0,0,1{ s取

o

x

y

z

A

B

C

2

3

4

方程：

.0

,2

z

y

tx

.30 t

.0ABxyzds

BC ：过点 B (3, 2, 0) ，平行于 z 轴， }.1,0,0{ s取

方程：,2

3

tz

y

x

.40 t

.001 22 dtdds

.0oAxyzds

.0ABxyzds

BC ：过点 B (3, 2, 0) ，平行于 z 轴， }.1,0,0{ s取

方程：

4

023 tdtxyzds

BC.48

xyzds BCABoA

xyzdsxyzdsxyzds

于是，

.484800

o

x

y

z

A

B

C

2

3

4,2

3

tz

y

x

.40 t

.001 22 dtdds

对坐标的曲线积分的计算方法：对坐标的曲线积分的计算方法：四种四种解法 1 ：化为参数的定积分求解

dttttQtttPQdyPdxL

)}()](),([)()](),([{

. , tt 终点起点

).(),(

:tytx

L（ 1

）

（ 2 ）

（ 3）

则，终点为起点为 .)(: baxxyL

.)}( )](,[)](,[{ dxxxxQxxPQdyPdxb

aL

则，终点为起点为 .)(: dcyyxL

.]}),([)(]),([{ dyyyQyyyPQdyPdxd

cL

解法 2 ：利用格林公式求解

.)(

LD

QdyPdxdxdyyP

xQ

注意：

（ 1 ） P （ x ， y ）、 Q （ x ， y ）在闭域 D 上一阶偏导数的连续性；

（ 2 ）曲线 L 是封闭的，并且是取正向。

解法 3 ： L 不闭合，则补充边 L’ 使 L+L’ 闭合，在再用格林公式

'' LLLL

QdyPdxQdyPdxQdyPdx

'' LLL

QdyPdxy

P

x

Q

解法 4 ：利用与路径无关条件求解

1

0

1

0

11

00

),(),( 10

),(

),(

y

y

x

x

yxB

yxAdyyxQdxyxPQdyPdx

y

P

x

Q

则

若

.)2( 1 2 L

dyxyx例

. )0,( 1 )0,( :2

2

2

2的弧段到沿从 aB

b

y

axaAL

解

.sin

,cos :

tby

taxL .BA

o x

y

aa

b

AB.0 : t

. cos dttbdy

L dyxyx )2( 2 0

22 cos)cossin2cos( dttbttabta

0

22 coscos dtttba

0

22 sin )sin1( tdtba

.34 2ab

0

22 sincos2 dtttab

0

22 cos cos2 tdtab

. 2 L

ydxxdy例

. 132

: 域的正向边界所围轴，轴， DyxyxL

o x

y

2

3

A

B

D

解 . , xQyP

P ， Q 在 D 上具有一阶连续偏导数。

.1 ,1

xQ

yP

由格林公式，有

dxdyyP

xQ

ydxxdyD

L )(

dxdyD 2 .632

。）的曲线，）到（，点（

为由其中计算例

xy

LdyyxdxxyxIL

2sin1100

,)()2(3 422

解,2x

y

P

xx

Q2

,2),( 2 xyxyxP ,),( 42 yxyxQ

,x

Q

y

P

与路径无关所以 L

dyyxdxxyxI )42()22(

Y

XO 2

1

1

A

B

选择路径 OBA ，则

LdyyxdxxyxI )()2( 422

1

0

41

0

2 1 dxydxx15

23

.)cos()sin( 4 L

xx dymxyedxmyye例

. )0,0( )cos1()sin( )2,( : 的弧段到沿从 o

tayttaxaaAL

o x

y

a

a2 A

解 .cos ,sin mxyeQmyyeP xx

P ， Q 在全平面一阶连续偏导数。

,cos myeyP x

.cos myexQ x

，即xQ

yP

且全平面是单连通域。

因此，曲线积分与路径无关。

Bo x

y

a

a2 A,cos mye

yP x

.cos myexQ x

，即xQ

yP

且全平面是单连通域。

因此，曲线积分与路径无关。

取一简单路径： AB + Bo ..02: , : ayaxAB .0: ,0 : axyBO

L

xx dymxyedxmyye )cos()sin(

0

)cos()sin( B

xxAB

dymxyedxmyye

0)cos(0

2

aa dyamye .2sin2

2 aeam a

.)()( 5 L

dyyxdxyx例

. : 222 上半圆周，逆时针方向ayxL

o x

y

aa

a. , yxQyxP

P ， Q 在全平面一阶连续偏导数。

,1

yP .1

xQ

解

补上直线段 AB ， L 与 AB 所围为 D 。

A BD

在 D 域上应用格林公式。

dxdyxQ

yPdyyxdxyx

DABL

)()()(

dxdyD2 .2

a

补上直线段 AB ， L 与 AB 所围为 D 。在 D 域上应用格林公式。

dxdyy

P

x

Qdyyxdxyx

DABL

)()()(

dxdyD2 .2

a

.: ,0 : aaxyAB

AB

dyyxdxyx )()( a

adxx )0(

.0dy

.0

L

dyyxdxyx )()(

ABLdyyxdxyx )()(

ABdyyxdxyx )()(

.2 a

o x

y

aa

a

A BD

的正方向。

：为沿椭圆其中

计算曲线积分例

1

,I

6

2

2

2

2

2222

b

y

a

x

Ldyyx

yxdx

yx

yx

L

22 yx

yx

yy

P

解 2222 ),(,),(yx

yxyxQ

yx

yxyxP

Y

XO-a a

b

-b

,2

222

22

22yx

xxyy

yx

yx

xx

Q

L

在 L 包围的椭圆区域内作顺时针方向的小圆周 L1：

)20(,sin,cos yrx

,2

222

22

yx

xxyy

L1

所以，

dxdyx

Q

y

Pdy

yx

yxdx

yx

yx

DLL

1

2222 )(1

.0 Y

XO-a a

b

-b

D1

L

在 D1 域上应用格林公式，有

Ldy

yx

yxdx

yx

yx2222

1

2222Ldy

yx

yxdx

yx

yx

dr

r

rrr

r

rr

2

0 22 cossincos

sinsincos

2

0d 2

1

2222Ldy

yx

yxdx

yx

yx

L1

对面积的曲面积分的计算法

解题步骤：

1 、画出曲面∑的草图；

2 、由曲面∑的方程，写出其去曲面微分 ds

dsyxzz 则若 ),,( ;1 22 dxdyzz yx

dsxzyy 则若 ),,( ;1 22 dzdxyy xz

dszyxx 则若 ),,( ;1 22 dydzxx zy

3 、计算在投影面上的二重积分；

解法：化为投影域上的二重积分的计算

面上方的部分。在为抛物面其中

计算曲面积分例

xOyyxz

dSyx

)(2

,)(.1

22

22

解： z

x

yO

∑ 在 xOy 面上的投影域为：

dxdyzzdS yx221

222 yx

yzxz yx 2',2'

dxdyyx 22 441

20,20 r投影域在极坐标下可表示为：

z

x

yO

所以，

Dxy

dxdyyxyx 2222 441)(

rdrrrd 2

0

222

041

)41(8

141)141(

4

12 22

0

22 rdrr

0

2)41(

3

2)41(

5

2

162

322

52

rr

dSyx )( 22

30

149

。为球面其中

计算曲面积分例

azzyx

dSzyx

2

,)(.2

222

222

解：z

x

yO

a

∑2

∑1

如图所示，记上半球面为∑ 1

记下半球面为∑ 2

则 ∑ =∑1+∑2

∑1 的方程为： 222 yxaaz

,'222 yxa

xzx

222'

yxa

yz y

221 yx zzdS ,222

dxdyyxa

a

∑1 在 xOy 面上的投影域为：

222 ayx

ar 0,20 投影域在极坐标下可表示为： z

x

yO

a

∑2

∑1

1

222 )( dSzyx

Dxy

dxdyyxa

ayxaaa

222

2222

Dxy

dxdyyxa

yxaaa

222

22222

ardr

ra

raada

0 22

222

0

22

46 a

同理，可得

2

222 )( dSzyx 42 a

故

dSzyx )( 222 46 a 42 a 48 a

轴的转动惯量。对于的均匀半求壳求面密度为例

z

zazyx )0(.3 22220

解：z

x

yO222 yxaz

,'222 yxa

xzx

222

'yxa

yz y

221 yx zzdS ,222

dxdyyxa

a

半球壳的方程为：

z

x

yO

dSyxI z

022 )(

此半球壳在 xOy 面上的投影域为：

222 ayx

ar 0,20 在极坐标系下可表示为：

故，所求转动惯量为：

dxdyyxa

ayx

Dxy222

220 )(

a

rdrra

ard

0 22

22

00

arad

ra

raada

0

22

22

2222

00 )()(

2

1

aradraraaa

0

222

1222

1222

0 )()()(

0)(

3

2)(2 2

3222

1222

0

araraaa

403

4a

对坐标的曲面积分的计算法解法有三种：1 、通过投影化为二重积分

RdxdyQdzdxPdydzI

Dyz

dydzzyzyxP ,),,(

Dzx

dzdxzxzyxQ ),,(, Dxy

dxdyyxzyxR ),(,,

”；” “，否则取“积分前取为锐角，则上式第一个，轴的夹角与的法向量若

xnxn

^

”；” “，否则取“积分前取为锐角，则上式第二个，轴的夹角与的法向量若

ynyn

^

”；” “，否则取“积分前取为锐角，则上式第三个，轴的夹角与的法向量若

znzn

^

2 、利用两类曲面积分之间的联系

dxdyRQdzdxPdydz

dydzRQP )cos

cos

cos

cos(

dzdxRQP )cos

cos

cos

cos(

dSRQP )coscoscos(

dSRQP

cos)cos

cos

cos

cos(

dxdyRQP )cos

cos

cos

cos(

3 、利用高斯公式

RdxdyQdzdxPdydzI

（ 1 ）曲面∑闭合，且 P 、 Q 、 R 在闭曲面∑所围成的空间区域 Ω中有连续的一阶偏导数，则

取外侧。其中

,dxdydzz

R

y

Q

x

P

（ 2 ）若曲面∑不闭合，且 P 、 Q 、 R 比较复杂， P、 Q 、 R 在∑ + ∑* （ ∑ + ∑* 闭合）所构成的空间区域 Ω中有连续的一阶偏导数，则

**

I

*

例 1 计算 ,

yzdxdyxydzdxzxdydz 其中 是圆柱面

在第一卦限中 122 yx

解

10 z 的部分的前侧 .

1

x

y

z

o1

1

zxdydz )1( 计算

. 1 2 前侧： yx

面投影，得向将曲面 yoz

.10 ,10 : zyDyz

yzD

前侧

zxdydzzxdydz yzD

dydzyyz 1 2

dyyzdz 11

021

0 .8

1

x

y

z

o1

1

xydzdx )2( 计算

. 1 2 右侧： xy

面投影，得向将曲面 xoz

.10 ,10 : zxDxz

右侧

xydzdxxydzdx xzD

dzdxxx 1 2

dxxxdz 11

021

0 .31

xzD

例例 1-21-2

1

x

y

z

o1

1

yzdxdy )3( 计算

面，轴或垂直于平行于 xoyz

.0

yzdxdy因此，

于是，

yzdxdyxydzdxzxdydz

yzdxdyxydzdxzxdydz .31

8

例 2 计算 ,

yzdzdxxydydzxzdxdy 其中 是平面

在第一卦限内的上侧 。1 zyx

解1}1{1 ，，的法向量为 n

方法一，化为投影域上的二重积分

因为取∑的上侧，所以

03

1coscoscos

yzdzdxxydydzxzdxdy

Dxy

dxdyyxx )1( Dyz

ydydzzy )1( Dzx

dzdxxz )1(

Dxy

dxdyyxx )1(3

1

x

y

z

o1

1Dxy

面投影，得向将平面 Oy x

.10 ,10 : xyxDxy

yzdzdxxydydzxzdxdy

Dxy

dxdyyxx )1( Dyz

ydydzzy )1( Dzx

dzdxxz )1(

Dxy

dxdyyxx )1(3

从而

yzdzdxxydydzxzdxdy

Dxy

dxdyyxx )1(3

x

dyyxxdx1

0

1

0)1(3

8

1

1

x

y

z

o1

1Dxy

1}1{1 ，，的法向量为 n

方法二，利用两类面积分的联系

因为取∑的上侧，所以

03

1coscoscos

yzdzdxxydydzxzdxdy

dSyzxyxz coscoscos

dSyzxyxz

coscos

cos

cos

cos

dxdyyzxyxz

Dxy

dxdyyxyxyyxx )1()1(

x

dyyxyxyyxxdx1

0

1

0)1()1(

8

1

1

x

y

z

o1

1Dxy

方法三，利用高斯公式

yzdzdxxydydzxzdxdy

321

)( dvzyx

1

x

y

z

o1

1Dxy

补充∑ 1 ： x=0 取后侧

∑2:y=0 取左侧∑3:z=0 取下侧，使其与∑构成封闭外向曲面。

321321

∑1

∑3

∑2

如图所示， ∑ 1 ： x=0 ∴ 011

xydydzxzdxdy

又 ∑ 1 和 zOx 面垂直 ∴ 01

yzdzdx

从而 01

yzdzdxxydydzxzdxdy

1

x

y

z

o1

1Dxy

∑1

∑3

∑2

如图所示， ∑ 1 ： x=0 ∴ 011

xydydzxzdxdy

又 ∑ 1 和 zOx 面垂直 ∴ 01

yzdzdx

从而 01

yzdzdxxydydzxzdxdy

yzdzdxxydydzxzdxdy

321

)( dvzyx

同理可得 02

yzdzdxxydydzxzdxdy

03

yzdzdxxydydzxzdxdy

所以，

yzdzdxxydydzxzdxdy 000)(

dvzyx

yxx

dzzyxdydx1

0

1

0

1

0 8

1

例 3 计算曲面积分,2 2

dxdyzyzdzdxxzdydzI 其中 是由曲面

解

2222 2 yxzyxz 与 所围立体的表面外侧。

dxdydzz

R

y

Q

x

PI

dxdydzzzz

22

dxdydzz

2

221

0

2

0

r

rzdzrdrd

2sincos2

2

0

34

0

drrd

z

x

y1

例 4 计算曲面积分

yzdxdydzdxyxdydzyI 4)1(2)18(2

,

其中是由曲线 )31(0

1

yx

yz 绕 y轴旋转一周

所成的曲面,它的法向量与 y轴正向的夹角恒大于2

.

解

221

0

1

xzy

yx

yz

轴旋转面方程为绕

( 如图所示 )

例例 4-14-1

x

y

z

o 1 3

2

*

补充∑ * ： y=3 取右侧则∑ * 与∑构成封闭外向闭曲面

* *

I

x

y

z

o 1 3

2

*

dxdydzzR

yQ

xP

)(*

dxdydzyyy )4418(

dv

xzDxz

dydxdz3

1 22

3

1

2

0

2

0 2rdyrdrd

例例 4-24-2

2

0

3 )2(2 drrr ,2

* *

2

*

2 )31(20)1(20 dzdxdzdxy ,32

)32(2 I故 .34

又 ∵∑ * ： y=3 和面 yOz 、 xOy 都垂直 ∴

04)18(**

yzdxdyxdydzy

三、巩固练习三、巩固练习

一 、 选 择 题 :

1、 设 L 为2

30,0 yxx , 则 L

ds4 的 值 为 ( ) .

( A) 04 x ， ( B) ,6 ( C) 06 x .2、 设 L 为 直 线 0yy 上 从 点 ),0( 0yA 到 点 ),3( 0yB 的

有 向 直 线 段 , 则 Ldy2 =( ) .

( A) 6; ( B) 06 y ; ( C) 0.

3、 若 L 是 上 半 椭 圆

,sin

,cos

tby

tax取 顺 时 针 方 向 , 则

L

xdyydx 的 值 为 ( ) .

( A) 0; ( B) ab2

; ( C) ab .

4 、 设 ),(,),( yxQyxP 在 单 连 通 区 域 D 内 有 一 阶 连 续 偏 导 数 , 则 在 D 内 与

LQdyPdx 路 径 无 关 的 条 件

Dyxy

P

x

Q

),(, 是 ( ) .

( A ) 充 分 条 件 ; ( B ) 必 要 条 件 ; ( C ) 充 要 条 件 .5 、 设 为 球 面 1222 zyx , 1 为 其 上 半 球 面 , 则 ( ) 式 正 确 .

( A )

1

2 zdszds ;

( B )

1

2 zdxdyzdxdy ;

( C )

1

22 2 dxdyzdxdyz .

6、若为 )(2 22 yxz 在 xoy面上方部分的曲面 , 则

ds等于( ).

(A) r

rdrrd0

22

041

;(B)

2

0

22

041 rdrrd

;

(C) 2

0

22

041 rdrrd

.

7、若为球面 2222 Rzyx 的外侧,则

zdxdyyx 22 等于( ).

(A) xyD

dxdyyxRyx 22222 ;

(B) 2 xyD

dxdyyxRyx 22222 ; (C) 0 .

8、曲面积分

dxdyz 2 在数值上等于( ).

(A) 向量 iz 2 穿过曲面的流量； (B) 面密度为 2z 的曲面的质量； (C) 向量 kz 2 穿过曲面的流量 . 9、设是球面 2222 Rzyx 的外侧, xyD 是xoy面

上的圆域 222 Ryx , 下述等式正确的是( ).

(A) xyD

dxdyyxRyxzdsyx 2222222 ；

(B) xyD

dxdyyxdxdyyx )()( 2222 ；

(C) xyD

dxdyyxRzdxdy 2222 .

10、若是空间区域的外表面,下述计算中运用奥-高 公式正确的是( ). (A)

外侧

dxdyyzdydzx )2(2

=

dxdydzx )22( ；

(B)

外侧

zdxdyydzdxxdydzyzx 23 2)(

= dxdydzxx )123( 22 ；

(C)

内侧

dxdyyzdydzx )2(2

=

dxdydzx )12( .

二、计算下列各题:

1、求zds,其中为曲线

,

,sin

,cos

tz

tty

ttx

)0( 0tt ；

2、求 L

xx dyyedxyye )2cos()2sin( ,其中L为上

半圆周 222)( ayax , 0y ,沿逆时针方向 . 三、计算下列各题:

1、求 222 zyx

ds 其中是界于平面 Hzz 及0

之间的圆柱面 222 Ryx ；

2、 求

dxdyyxdzdxxzdydzzy )()()( 222 ，

其中为锥面 )0(22 hzyxz 的外侧；

3、

3222 )( zyx

zdxdyydzdxxdydz其 中 为 曲 面

9)1(

16)2(

51

22

yxz)0( z 的上侧 .

四、证明:22 yx

ydyxdx

在整个xoy平面除去 y的负半轴及

原点的开区域 G 内是某个二元函数的全微分,并 求出一个这样的二元函数 .

五、求均匀曲面 222 yxaz 的重心的坐标 .

六、求向量 kzjyixA 通过区域 : ,10 x 10,10 zy 的边界曲面流向外侧的通量 .

七、流体在空间流动,流体的密度 处处相同( 1 ), 已知流速函数 kzyjyxixzV 222 ,求流体在单 位时间内流过曲面 zzyx 2: 222 的流量(流 向外侧)和沿曲线 :L zzyx 2222 , 1z 的环流量(从z轴正向看去逆时针方向) .

测验题答案

一、1、B； 2、C； 3、C； 4、C； 5、B； 6、C； 7、B； 8、C； 9、C； 10、B.

二、1、3

22)2( 2

320 t

； 2、 2a .

三、1、RH

arctan2 ； 2、 4

4h

； 3、0.

四、 )ln(21

),( 22 yxyxu .

五、 )2

,0,0(a

. 六、3.

七、 0,1532 .

谢谢使用，再见！谢谢使用，再见！

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