第四章 插补，刀具补偿与速度控制

第一节 插补原理与程序设计

一 . 插补及其算法

插补的任务就是在一段零件轮廓的起点和终点之间，计算出若干个中间点的坐标值。

直线和圆弧是构成工件轮廓的基本线条，大多数 CNC 系统都具有直线和圆弧的插补功能。高档 CNC 系统还具有抛物线、螺旋线等插补功能。

插补算法归纳为两类：脉冲增量插补算法和数字增量插补算法。

脉冲增量插补算法

该插补为行程标量插补，常用于开环系统。每次插补结束产生一个行程增量，以脉冲的方式输出。一个脉冲所产生的坐标轴移动量叫做脉冲当量，通常用 表示。普通精度机床 ，较精密机床取 。

mm01.0 mm 5.01 或

数字增量插补算法

该插补为时间标量插补，分两步进行。首先计算出插补周期内各坐标轴的增量值，称为粗插补；然后再跟据采样得到的实际位置增量计算跟随误差，得到速度指令输出给伺服驱动系统，称为精插补。适用于闭环或半闭环系统。

数字增量插补算法中，粗插补由软件完成，精插补可以由软件，也可以由硬件完成。

精插补由硬件完成：如日本 FANUC 公司的 FANUC － 3 、 6 ，见图 4 － 1

粗、精插补由软件完成：如美国 Allen-Bradley(A-B 公司 ) 的9/260 ，见图 4 － 2

二 . 脉冲增量插补（一）逐点比较法 1 直线插补算法 如图 4 － 3 ，若点 P 正好位于直线 OA 上，则：

0, eiiee

e

i

i YXYXX

Y

X

Y

0, eiiee

e

i

i YXYXX

Y

X

Y

若点 P 位于直线上方，则：

若点 P 位于直线下方，则：

0, eiiee

e

i

i YXYXX

Y

X

Y

eiie YXYXF

定义偏差函数（偏差判别式）：

结论： F=0, 加工点 P 落在直线 OA 上 F>0, 加工点 P 落在直线 OA 上方 F<0, 加工点 P 落在直线 OA 下方

11 ii XX

若 F>= 0, 下一步应该向 +X 方向走，则：eeeiieeiieii YFYYXYXYXYXF 1,1

11 ii YY

若 F<0, 下一步应该向 +Y 方向走，则：eeeiieeiieii XFXYXYXYXYXF 11,

逐点比较法直线插补，每进一步需要四个节拍： 1 ，偏差判别； 2 ，坐标进给； 3 ， 偏差计算； 4 ， 终点判别

插补结束

插补开始

偏差判别

坐标进给

偏差计算

终点判别Y

N

以上第一象限的结论适用于其他象限，具体进给脉冲分配方向及沿哪个轴分配。其规律如下

2 直线插补程序设计 需要进行的计算： （ 1 ）向 X 坐标发送脉冲后新偏差值：

)(,1 eeii YFYFF

eii XFF 1, （ 2 ）向 Y 坐标发送脉冲后新偏差值：

（ 3 ）向 X 坐标发送脉冲后终点判别： 1eX

（ 4 ）向 Y 坐标发送脉冲后终点判别： 1eY

插补前将坐标数据符号与数据本体分离，用数据本体进行插补计算，由数据符号确定坐标进给方向。

插补工作寄存器：FR ：偏差函数寄存器LR ： X 坐标偏差函数递推项寄存器，存放（－ Ye ）MR ： Y 坐标偏差函数递推项寄存器，存放 XeLC ： X 坐标终点判别寄存器，存放 X 坐标应输出的脉冲总数MC ： Y 坐标终点判别寄存器，存放 Y 坐标应输出的脉冲总数RL ： X 坐标进给方向寄存器，存放 X 坐标数据的符号RM ： Y 坐标进给方向寄存器，存放 Y 坐标数据的符号 标志单元FLAG0 ：进给坐标标志， X—“0” ； Y—“1” FLAG1 ：坐标交换标志，坐标交换—“ 1” ；不坐标交换—“ 0” FLAGL ： X 坐标插补完成标志，未完成—“ 0” ； 完成—“ 1” FLAGM ： Y 坐标插补完成标志，未完成—“ 0” ； 完成—“ 1”

向 Y 坐标正方向走一步后

3 逐点比较法圆弧插补算法 偏差函数

12)()1( 20

20

22,1 iiiii XFYXYXF

)()()( 20

20

22222 YXYXRYXF iiii

加工点在圆弧外测， F>0;加工点在圆弧上， F=0;加工点在圆弧内测， F<0;

对于第一象限逆圆弧，当 F>=0 时向 X 坐标负方向走一步，当 F<0 时向 Y 坐标正方向走一步。

向 X 坐标负方向走一步后偏差计算

121 20

20

221 iiii,i YF)YX()Y(XF

终点判别：（ 1 ），采用终点坐标与加工点坐标相比较的方法进行

Y

O XA(X0,Y0)

RRi

P(Xi,Yj) B(Xe,Ye) F<0 F>0

F=0

,XX ei 0 X 坐标到达终点； ,YY ei 0 Y 坐标到达终点；（ 2 ）， X,Y 坐标应走总步数 Xe NXX 0 Ye NYY 0

，

沿 X 坐标走一步， ,N X 1 沿 Y 坐标走一步， ,NY 1 均到 0 时到达终点。

各象限插补规律如图， NR 为逆圆弧， SR 为顺圆弧， F>=0 及 F<0 为判据

插补工作寄存器：FR ：偏差函数寄存器LR ： X 坐标偏差函数递推项寄存器MR ： Y 坐标偏差函数递推项寄存器LC ： X 坐标终点判别寄存器， 存放 X 坐标应输出的脉冲总数MC ： Y 坐标终点判别寄存器， 存放 Y 坐标应输出的脉冲总数RL ： X 坐标进给方向寄存器，存放 X 坐标数据的符号RM ： Y 坐标进给方向寄存器，存放 Y 坐标数据的符号

标志单元

FLAG0 ：进给坐标标志， X—“0” ； Y—“1” FLAG1 ：坐标交换标志，坐标交换—“ 1” ；不坐标交换—“ 0” FLAGL ： X 坐标插补完成标志，未完成—“ 0” ； 完成—“ 1” FLAGM ： Y 坐标插补完成标志，未完成—“ 0” ； 完成—“ 1”

4 圆弧插补程序设计

（ 1 ）一个象限圆弧插补程序设计

对于圆弧插补，偏差函数递推增量为变量：

12LR i iX 12MR ii Y

沿 X 坐标负方向走一步后有： 2)12(1)1(2LR 1-i ii XX

2)12(1)1(2MR 1 iii YY沿 Y 坐标正方向走一步后有：

每走一步，先将LR 或 MR 寄存器中的数加 2

LR 或 MR 寄存器初值： )12(1)1(2LR 0010 XX 121)1(2MR 010 iYY

LC 或 MC 寄存器应分别预置 和 0XX e 0YYe

（ 2 ）圆弧插补的自动过象限程序设计

自动过象限程序包括象限边界处理，过象限判别及数据处理等

象限边界处理：判别数值“ 0” 的符号。对于逆时针圆弧（ G03 ）其规律（ G02 则相反）为：

如果 X0 为“ 0” ，那么 X0 的符号与 Y0 的符号相反如果 Xe 为“ 0” ，那么 Xe 的符号与 Ye 的符号相反 如果 Y0 为“ 0” ，那么 Y0 的符号与 X0 的符号相反

如果 Ye 为“ 0” ，那么 Ye 的符号与 Xe 的符号相反

过象限判据

5 逐点比较法的进给速度

为脉冲当量（ mm/ 脉冲）

设发向 X,Y 坐标脉冲的频率分别为

YX ff , 则沿 X,Y 坐标的进给速度分别为

,60,60 YYXX fVfV

合成进给速度为2222 60 YXYX ffVVV

当沿某坐标进给时，其脉冲频率为 ，进给速度达到最大值

)(60 yxC ffV

)( yx ff

)/(/ 22yxYXC ffffVV

可见进给速度的变化范围为（ 0 － 0.707 ） Vc, 最高进给速度与最低进给速度之比为 1 ： 1.414

（二）数字积分法

优点：数字积分器具有运算速度快，脉冲分配均匀，易于实现空间直线的插补，能够插补出各种平面函数曲线。缺点：速度调节不够方便，插补精度需要采取一定措施才能满足。

1 ，数字积分插补基本原理

若取 为最小基本单位“ 1” ，则有矩形公式

累加求和运算可用数字积分来实现。

1

00

)(n

ii tXdttfS

t

1

0

n

iiXS

2 ，数字积分直线插补

动点沿 X,Y 坐标移动的速度为 Vx ， Vy, 移动的微小增量为

,, tVYtVX yx

动点沿 OA 匀速移动， V ， Vx ， Vy, 均为常数。

KY

V

X

V

OA

V

e

Y

e

X

,, tKYtVYtKXtVX eyex

m

ie

m

ie tKYYtKXX

11

)(,)(

直线积分插补近似表达式

设经过 m 次累加， X,Y 到达终点，则有

m

ieeeee

m

ie YKmYtKYYXKmXtKXX

11

)(,)(

则 m ＝ 1/K

关于 K 的取值，主要考虑每次的增量 不大于 1 ，以保证每次的进给脉冲不超过 1 个YX ,

3 ，数字积分圆弧插补

由图中相似三角形得：

iX YR

VV

i iY X

R

VV

i

移动的微小增量为

tKYtYR

VX iii tKXtX

R

VY iii

第一象限逆圆弧积分插补近似表达式

m

ii

m

ii

m

ii

m

ii tKXYYtKYXX

1111

,

与直线插补数字积分器的差别： （ 1 ）对于圆弧插补， X 坐标被积函数寄存器存的是 Y坐标数据， Y 坐标被积函数寄存器存的是 X 坐标数据。 （ 2 ）直线插补时被积函数寄存器存的是终点坐标值，为常量；而圆弧插补时存的是动点坐标值，为变量。 （ 3 ）圆弧插补时，起点处 X,Y 坐标的被积函数寄存器分别存入起点坐标值 Y0,X0 ， Y 坐标方向发进给脉冲时， X 被积函数寄存器内容加 1 ， X 坐标方向发进给脉冲时， Y 被积函数寄存器内容减 1 （第一象限逆圆弧）

4 ，数字积分插补的终点判别

直线插补终点判别： 不论被积函数有多大，对于 n 位寄存器，必须累加 2n 次才能到达终点圆弧插补终点判别： 用两个终点判别计数器累计两个坐标的进给脉冲数，也可以用一个终点判别计数器累计两个坐标进给脉冲总数。

5 ，硬件数字积分插补的合成进给速度当 X ， Y 坐标分量为小于 2n － 1 的 X ， Y 值时， X 坐标方向的平均进给比率为 X/ 2n,Y 坐标方向的平均进给比率为 Y/ 2n, 其合成的轮廓进给比率为 ，从而合成的轮廓进给速度为 n

YX

2

22

ngng

Lf

YXfV

260

260

22

弧插补时为圆弧半径时为直线段的长度，圆程序段行程，直线插补

脉冲源输出脉冲的频率

:

:

L

f g

6 ，左移规格化处理

7 ，插补精度的提高

左移规格化处理的结果使寄存器中的数值变化范围变小，可能的最小数为

可能的最大数为

由此得到的合成速度的最小值和最大值分别为

1221min 20)2( nnL

nnnL 22)12()12(2/122

max

)60(5.02

260

1

min gn

n

g ffV

)60(414.12

2260max gn

n

g ffV

8 ，用软件实现数字积分插补

三 数字增量插补

在闭环和半闭环位置采样控制系统中，主要包括三项内容：插补，反馈采样及控制。其中插补是选择合适的插补周期，计算出插补周期内各坐标轴的移动增量（粗插补），将移动增量转化为跟随误差和速度指令将是反馈采样及控制的任务（精插补），这就是所谓的数字增量插补。

（一）插补周期的选择 图中最大半径误差 与步距角 的关系

T: 插补周期； F ：刀具移动速度

插补周期与误差，圆弧半径和速度有关。在误差和圆弧半径给定时插补周期短对于获得高的加工速度有利；在插补周期及圆弧半径给定时，为保证加工精度，必须对加工速度限制。

Re

R

TFReTFL

R

L

RRe

R

R

8

)(

8,,,1

384!4

)(

]}!4

)(

!2

)(1[1{)

2cos1(

22442

42

22

（二）直线插补算法

1 直线插补算法原理

刀具沿直线移动的速度为 F ，设插补周期为 T ，则插补周期的进给步长为 直线段长度：

X ， Y 轴的位移增量分别为

插补第 i 点的动点坐标为

FTL 22ee YXL

YX ,

ee

ee

KYYKXX

KL

L

L

L

Y

Y

L

L

X

X

,

,,

eiiii

eiiii

YL

LYYYY

XL

LXXXX

11

11

2 实用直线插补算法

数字增量插补算法分两步：插补准备，插补计算

（ 1 ）进给率数法 （ 2 ）方向余弦法 1

（ 3 ）方向余弦法 2 （ 4 ）直接函数法

（ 5 ）一次计算法

LLK /插补准备：

,,

,

11 iiiiii

eiei

YYYXXX

KYYKXX

插补计算：

LYLX ee /cos,/cos 插补准备：

,,

cos,cos

11 iiiiii

ii

YYYXXX

LYLX

插补计算：

LLXX ei /插补准备：

,,

/

11 iiiiii

eeii

YYYXXX

XYXY

插补计算：

,, 11 iiiiii YYYXXX 插补计算：

LYLX ee /cos,/cos 插补准备：

11

1

,

cos,cos

,

iiiiii

iiii

ii

YYYXXX

LYLX

LLL

插补计算：

LLYYLLXX eiei /,/ 插补准备：

（三）圆弧插补算法

1 ，直接函数法

2 ，扩展 DDA 插补算法

第二节 刀具半径补偿

一，刀具补偿的基本概念刀具补偿包括刀具半径补偿和长度补偿。

由于刀具半径的存在，零件轮廓轨迹与刀具中心轨迹不重合，为了加工出符合图纸要求的零件轮廓，必须进行刀具半径偏移。加工外轮廓时应向外偏移一个刀具半径，加工内轮廓时应向轮廓内偏移一个刀具半径，这种偏移叫做刀具半径补偿。

刀具半径补偿的执行过程分为 3 阶段 :

(1) 刀具半径补偿建立。只能在 G00 或 G01 的程序段进行。(2) 刀具半径补偿进行。(3) 刀具半径补偿注销。用 G40 撤销补偿，只能在 G00 或 G01 的程序段进行

刀具半径补偿只能在指定的二维平面内进行。用 G17 指定 XY 平面，用 G18 指定 ZX 平面用G19 指定 YZ 平面，

二， B 功能刀具半径补偿计算

( 一 ) 直线插补的 B 刀具半径补偿计算

( 二 ) 圆弧插补的 B 刀具半径补偿计算

二， B 功能刀具半径补偿计算

( 一 ) 直线插补的 B 刀具半径补偿计算

( 二 ) 圆弧插补的 B 刀具半径补偿计算

三， C 功能刀具半径补偿计算

( 一 )C 刀具半径补偿功能的实现

( 二 ) 程序段间的转接

（ 1 ）直线与直线转接；（ 2 ）直线与圆弧转接；

（ 3 ）圆弧与直线转接；（ 4 ）圆弧与圆弧转接；

(三 )转接矢量的计算

（ 1 ）刀具半径矢量的计算

（ 2 ）转接交点矢量的计算

图 4 － 35 G41 直线接圆弧插入型转接 图 4 － 36 G41 圆弧接直线插入型转接

图 4 － 37 G41 圆弧接圆弧插入型转接 图 4 － 38 G41 直线接圆弧伸长型转接

( 四 ) 常用的典型转接交点矢量计算公式

图 4 － 39 G41 圆弧接直线伸长型转接 图 4 － 40 G41 圆弧接圆弧伸长型转接

图 4 － 41 G41 圆弧接直线缩短型转接 图 4 － 42 G41 圆弧接圆弧缩短型转接

第三节 进给速度和加减速控制一 开环 CNC 系统的进给速度及加减速控制通过控制输出脉冲频率来控制进给速度，常用方法：（ 1 ）程序计时法（软件延时法）（ 2 ）时钟中断法

图 4 － 43 加减速控制流程图

二 闭环（半闭环） CNC 系统的加减速控制一般通过软件实现。分为前加减速控制，后加减速控制

图 4 － 44 加减速控制（ a ）前加减速控制 （ b ）后加减速控

制

图 4 － 45 加速处理的原理框图

（一）前加减速控制1. 稳定速度和瞬时速度

稳定速度1000*60

KTFf s

等给倍率，快速进给倍率速度系数，包括切削进）插补周期（

）的快速速率（速度指令或由参数设定

:

:

min/:

K

msT

mmF

瞬时速度是指系统在每个插补周期的进给量，用 表示。当系统处于稳定进给状态时，

当系统处于加速状态时， 当系统处于加速状态时，

if

si ff si ff si ff

2. 线性加减速处理 当机床起动，停止或在切削加工过程中改变进给速度时，自动进行线性加减速处理。加减速速率分为快速进给和切削进给两种，均作为机床参数预先设置好。 系统加速到 F所需时间为 t ，则加（减）速度为

加速处理：每加速一次的瞬时速度为

])/([1067.1 22 msmt

Fa

aTff ii 1

图 4 － 46 减速处理的原理框图

减速处理

图 4 － 48 圆弧插补终点判别（ a ） 圆心角小于 180 ；（ b ） 圆心角大于 1

80

图 4 － 47 直线插补终点判别

终点判别处理： (1) 直线插补时刀具中心到程序段终点距离（ Si ）的计算

(2) 圆弧插补时 Si 的计算

cosie

i

XXS

coscosie

i

YYMPS

图 4 － 49 终点判别处理原理图

图 4 － 50 直线加减速控制

（二）后加减速控制 1. 直线加减速控制算法 加速过程：当输入速度 Vc 与输出速度之差 Vi － 1 大于 KL 时，将使输出速度增加 KL 速度上升的斜率为

加速过渡过程：当输入速度 Vc 大于 Vi － 1 ，但差值小于 KL 时，

匀速过程： ，不一定等于 Vc

减速过渡过程：当输入速度 Vc小于 V i － 1且差值小于 KL 时，

减速过程：当输入速度 Vc小于 V i － 1且差值小于 KL 时，将使输出速度减小 KL 速度下降的斜率为

t

KLK

ci VV

Ci VV

1 ii VV

t

KLK

图 4 － 51 指数加减速控制 图 4 － 52 指数加减速控制原理图

2. 指数加减速控制算法 在将起动或停止时的速度突变成随时间按指数规律上升或下降。