第六章 第六章

电容元件和电感元件 电容元件和电感元件

第六章 电容元件和电感元件第六章 电容元件和电感元件

1.—4. 电容元件

5.—6. 电感元件

第二篇 动态电路的时域分析第二篇 动态电路的时域分析

第六章 电容元件和电感元件第六章 电容元件和电感元件

1.—4. 电容元件

5.—6. 电感元件

7. 电路的对偶性（参看教材）

§6-1—§6-4 电容元件 一 . 电容元件

1. 电容器：能聚集电荷，贮存电能的器件 2. 电容元件：理想电容器。只贮存电场能 量，无损耗。

3. 特性曲线：在任一时刻，电容贮存的电荷 q 和其端电压 u 的关系在 q-u 平面上的一条曲线所决定。电容是电荷和电压相约束的元件。

i c

+ u - 电路符号

u

q

u

q

线性电容 非线性电容

4. 线性非时变电容 : 其特性曲线是过原点的直线，且不随时间而改变。

二 . 电容元件的伏安关系1. 微分关系

(1) . i(t) 与电容电压的变化率成正比，而与电容两端电压值无关。(2) . i(t) 为有限值，则 du/dt 为有限值，就是说电容电压 u(t)不能跃变。

线性非时变电容

u

q

o q(t)=Cu(t)

C=q(t)/u(t) 电容单位：法拉 (F)

Ci

+ u -关联参考方向

dq dcudt

dui(t)=dt

= = Cdt

dui(t)= C

dt 关联参考方向

dti(t)= Cdu 非关联参考方向-

2. 积分关系

特殊情况可以跃变

理想电压源要提供无限大的电流

dui(t)=Cdt

u(t)=C1 t

i()d

u(t)=C1 t

i()d

=C1 t0

i()dC1 t

i()dt0

Us Uc(t)

c

C1 t

i( )dt0

=u(t0)

u(t0) 电电电电电电电

C1 t

i()d0

u(0)u(t)=

电电 t0=0

电容上电压取决于从 到 t 所有时刻的电流值。电容电压有“记忆”电流的作用，电容是“记忆”元件，又称惯性元件 .

三 . 电容的功率与贮能

1. 电容的功率

P(t)=u(t)i(t)

     关联参考方向 P>0 吸收功率； P<0 放出功率

NCu(t)

u( t0 )=U

N u(t)U

u1(t)

u1( t0 )=0

（ 1 ）电容贮能与当时的电压值有关，而与电流无关。

（ 2 ）电容电压不能跃变实质上是贮能不能跃变的反映。

（（ 33 ）电容的储能本质，使电）电容的储能本质，使电容电压具有记忆性质容电压具有记忆性质 ..

2. 电容的贮能

p(t)=dwdt

w(t)=t P()d

电电 u( )=0 wC(t)=12 Cu2(t)

电电 t0 t 电电电电电电电电

wc(t)=12

2(t)

Cu 12

2 (t0)Cu

=u(t)

udu C

t duduC d=

tuid=

12

2(t)

Cu 12

2Cu= ( )=t

udt C

例 1 求电容电流 ic 、功率 pc 和贮能 wc

解： 分段求解

100

100

0 t(ms)

u(v)

0< t< 0.25ms u(t)=4×105t V

ic(t)=Cdudt = 10-6 ×4 ×105 = 0.4A

wc(t)= 21

CuC2(t) =

1

2 ×10-6 × (4 ×105 t )2

= 8 ×10 4 t 2 J

p(t)=uc ×ic= 4 ×10 5t ×0.4=1.6 ×105t W

u(t)

i( t )

C=10-6F

0.25< t< 0.75ms

ic(t)=10 -6×(-4 ×105)= - 0.4 A

p(t)=(-4x10 5t +200)x(-0.4)

wc(t)=12

Cuc2(t)

=8 ×104 t 2-80t+2 ×10-2 J

1

2= ××(-4 × 105 t+200)2

0.75< t< 1.25ms

u(t)=4×105 t - 4 ×102 V

ic(t)= 0.4 A

P(t)=(4×105 t-400) × 0.4

=8 ×104 t 2-160t+8 ×10–2 J

wc(t)=12

10-6× (4 ×105 t-400)2

u(t)= - 4 × 105t+200 V

=1.6 ×10 5t-80 W =1.6 ×105 t -160 W

100

0 t(ms)

u(v)

-100

0.4

0 t(ms)

iC(A)

-0.4

40

0 t(ms)

pc(w)

-40

5×10

0 t(ms)

wC(J)

3

例 2 求电容电压uC(t), 并绘波形图。

解 :

2

0 1 2

iC(A)

-2

t(s)is(t)

C=2FuC(t)

uC( 0 )=01< t< 2s0< t< 1s

is(t)= 2A is(t)= -2A uC(1)=1 V

C1 t

i()d0

uc(0)uc(t)= t21 i(- )d

1uc(1)uc(t)=

21 t

2d0

= =21 × 2t = t v =1+

21 (-

2)

t

1=-t+2v

t >2s ic(t)=0

uC(2)=0 uC(t)=0

0 t(s)

u(v)

§6-5—§6-§6-5—§6-6 6 电感元件电感元件 一 . 电感元件1. 电感器：用导线绕制的线圈，贮存磁场能量的器件。

2. 电感元件：理想电感器，只贮存磁场能量，无损耗。 3. 特性曲线：在任一时刻，流过的电流 i 与磁链之间的关系由平面上的一条曲线决定。 4. 线性非时变电感：

其特性曲线是过原点的直线，且不随时间变化。 i

非线性电感

oi

线性电感

o

(t)=Li(t)

二 . 电感的伏安关系 1. 微分关系

(1)(1) 电感电压电感电压 uu(t)(t) 与电感电流与电感电流 i(t)(t) 的变化率成正比，与电流的变化率成正比，与电流值无关。值无关。（（ 22 ）电感电压）电感电压 uu(t)(t) 为有限值，则为有限值，则 ddii/d/dtt 为有限值，也就是为有限值，也就是说电感电流不能跃变。说电感电流不能跃变。

2. 积分关系

电感元件也是一种“记忆”元件，电感电流有记忆电压的作用。

i

+ u -

L电电电电电电

u(t)=ddt=Ldi/dt 电电电电电电

u(t)=-Ldi/dt 电电电电电电电

i(t)=t u()d1

L

i(t)=t u()d1

L

=t0 u()d1

L+

t u()d1L t0

i(t)=t u()d1

Li (t0)+ t0

i (t0) 成为电感电流的初始值，如果 t0=0 i(t)=t u()d1

Li (0)+ 0

NLu(t)

i( t0 )=i

i( t )

N u(t)i1(t)

i1( t0 )=0

i( t )

IL

三 . 电感的功率与贮能1. 电感的功率 P (t )=u (t )i (t )

关联参考方向 P>0 吸收功率； P<0 放出功率

2. 电感的贮能

电感贮能与电流平方成正比，而与电压无关，电感电流不能跃变实质上是能量不能跃变的反映。

四 . 电路的状态

电容元件和电感元件都是贮能元件，在分析动态电路时除了给出电路的结构、参数和激励还要给出初始时刻的贮能状况，否则就求不出解答。

W(t)=12 Li

(t)

电路状态： 电路中贮能元件的贮能状况叫电路的状态。我们把某时刻的电感电流和电容电压称为该时刻电路的状态。

初始状态：初始时刻 t0 时的 iL(t0) 、 uC(t0) 称为电路的初始状态。

开关闭合后，电路中是否有电流取决于电容的贮能。

uC(t) c R

电路的状态变量 电路的状态变量 uuC C ((tt)) 、、 iiL L ((tt)) 。。

小 结 电容元件 电容元件 电感元件电感元件

i

+ u -

L iC

+ u -

C

q(t)=Cu(t) ψ(t)=LiL(t)

ic(t)= Cduc(t)

dt

diLuL(t)= L dt

iL(t)=t uL(x )dx1

LiL(t0)+ t0

WC(t)=12 CuC

2(t)

WL(t)=12 LiL

2(t)

P(t)=uL(t)×iL(t) P(t)=uc(t)×ic(t)

C t0

1 t ic(x)dxuC(t)=uC(t0) +

电流为有限值，电压不能跃变电流为有限值，电压不能跃变 电压为有限值，电流不能跃变电压为有限值，电流不能跃变

§6-§6-7 7 电路的对偶性（参看教材）电路的对偶性（参看教材）

例 已知： R=5Ω    L=2H ; （ 1 ）写出 uab 与 ubc 的表示式，并绘波形图； （ 2 ）求 t=2.5 秒时，各元件功率； （ 3 ）求 t=2.5 秒时，电感贮能。 解：（ 1 ）0 < t < 1s i(t)=5t A

uab(t)=Ri=5×5t=25t V

ubc(t)=Ldidt =2×5=10V

1< t< 3s i(t)= -5t+10A

uab(t)=5×(-5t+10)=-25t+50V

ducubc= dt2 (-5t+10)=-10V

b

i

c

LR

a

0 t(s)

i(A)

5

-5

3< t< 4s i(t)= 5t-20A

uab(2.5)=5×(5t-20)=25t-100 V ubc=ddt2 (5t20 ） =10 V

0 t(s)

i(A)

5

-5

0 t(s)

uab(V)

25

-25

10

0 t(s)

ubc( Ｖ)

-10

(2)

0 t(s)

i(A)

5

-5

0 t(s)

uab(V)

25

-25

t = 2.5 秒时

i (2.5)=-5 ×(2.5)+10=-2.5 A

uab(2.5)=-25 ×(2.5)+50= -12.5V

pR(2.5)=-12.5 ×(-2.5)=31.25 W

pL(2.5)=-10 ×(-2.5)=25 W

pi(2.5)=-(-12.5-10) ×(-2.5)=-56.25 W

ubc(2.5)= -10V

wL(2.5)= 12Li (-2.5)2

12 ×2 ×(-2.5)2=6.25 J

10

0 t(s)

uab( Ｖ)

-10

(2)