从理解到行动：

数学“四基”教学的若干思考

江苏省中小学教学研究室董林伟

一

“双基”教学——中国数学教育的传统

“ 双基”的提出

“双基”从 1953 年提出，到 1956 年写出之后，一直成为中国中小学数学教育的核心。

1963 年教育部颁布的《中学数学教学大纲》首次明确提出“双基”教学的要求——“数学教学应当加强基本知识和基本技能的教学”。

“双基”的一般理解：概念记忆与命题理解、证明技能与运算技能。

外国人眼中看……

Fundamentally ， they are getting the basics right ， particularly in math and sciences. We need to do same. Their kids are often aheag of ours.

——Bill Powell.Five Things the U.S.Can Learn from China [J].Time,World,2009,20:50-57

从根本上看，中国的中小学教育做的是稳扎稳打的基础性工作，特别是数学和科学。这方面，中国的孩子已经走到了美国的前头，我们也应该这么做。

—— 美国前驻中国公使威廉 . 麦克希尔语。总统奥巴马访华前《时代周刊》 2009 年 11 月 23 日建议向中国学习 5 件事：充满活力、重视教育、赡养老人、多多储蓄、放眼未来

国外华人认为……

做数学，要做得很熟练，要多做，要反复地做，要做很长时间，你就明白其中的奥妙，你就可以创新了。灵感完全是苦功的结果，要不灵感不会来……

——前美国数学研究所所长、著名数学家陈省身

国内专家认为……

华东师大张奠宙先生对数学 “双基”教学的目标的概括 :

快速、准确地进行数的四则运算，并掌握算法； 快速、准确地进行式的运算，并掌握规则； 准确记忆必要的数学定义和公式，并用来解决基本问题； 逻辑地、形式地表述数学概念，并能注意到分类、数学命题的逻辑准确性；

解题过程要求符合严格的逻辑推理规则，并能够清晰、形式化地表达； 熟悉结题的套路，记住一些最基本的结题方法，并能够模仿迁移。

（范良火等《华人如何学习数学》 江苏教育出版社 2005 年）

中国“双基” 教学的特点

1 、明晰“双基”要求，落实教学目标

《大纲》明确了颇具可操作性的“了解、理解、掌握、灵活运用”四个层级目标；

使用带有各种具体特征的行为动词对目标的具体含义做了详细的诠释，从而使各层级的目标要求的实现切实可行。

如“了解”层级描述的具体的行为动词有叙述、复述、默写、记住、知道、识别、解释、改写等。

具体来说，如复述有关数学知识的定义、定义、定理、法则、性质、公式；指出、认识具体数学符号，图形的直接意义；正确默写有关数学公式、法则；记住重要的常用数学符号；等等。

《义务教育数学课程标准》（ 2011 年版）的完善

用了两类行为动词表述教学目标：

一类是描述结果目标的行为动词，包括“了解、理解、掌握、运用”等术语，

另一类是描述过程目标的行为动词，包括“经历、体验、探索”等术语。

在标准中，还使用了一些词，表述与上述术语同等水平的要求程度。这些词与上述术语之间的关系。如：

了解 ——知道，初步认识； 理解——认识，会； 掌握——能； 运用——证明；

经历——感受，尝试； 体验——体会

行为动词的基本含义

了解——从具体实例中知道或举例说明对象的有关特征；根据对象的特征，从具体情境中辨认或者举例说明对象。

理解——描述对象的特征和由来，阐述此对象与相关对象之间的区别和联系。

掌握——在理解的基础上，把对象用于新的情境。 运用——综合使用已掌握的对象，选择或创造适当的方法解决问题。

经历——在特定的数学活动中，获得一些感性认识。体验：参与特定的数学活动，主动认识或验证对象的特征，获得一些经验。

探索——独立或与他人合作参与特定的数学活动，理解或提出问题，寻求解决问题的思路，发现对象的特征及其与相关对象的区别和联系，获得一定的理性认识。

例如：关于“有理数”教学目标部分的叙述

（ 1 ）理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，能比较有理数的大小。

（ 2 ）借助数轴理解相反数和绝对值的意义，掌握求有理数的相反数与绝对值的方法，知道｜ a ｜的含义（这里 a表示有理数）。

（ 3 ）理解乘方的意义，掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算（以三步以内为主）。

（ 4 ）理解有理数的运算律，能运用运算律简化运算。 （ 5 ）能运用有理数的运算解决简单的问题。

2 、崇尚启发式教学，重视新知引入

不愤不启，不悱不发，举一隅而不以三隅反，则不复也。 ( 不到他努力想弄明白却弄不明白的程度不要开导他，不到他心里明白却说不出来的程度

不要启发他。如果他不能举一反三，就不要再反复给他讲例子了。 ) —— 中国古代教育思想家孔子

启发式教学是中国数学课堂教学典型的方法。启发式教学作为中国传统教学思想的瑰宝，有着悠久的历史渊源。 《学记》中的“道而弗牵，牵而弗达，达而弗抑”。精辟地概括了这一教学思想的本质，可以说，启发式教学是教师在讲解时永远应该弘扬的。

( 要引导学生而不要牵着学生走，要鼓励学生而不要压抑他们，要指导学生学习门径，而不是代替学生作出结论。 )

—— （张奠宙“双基”教学论纲，数学教学 2004 （ 2 ））

启发式教学的理解

启发式教学是指教师从学生已有的数学知识、经验、思维水平出发，力求创设“愤悱”的数学教学情境，以形成认知和情感的不平衡态势，从而启迪学生主动、积极思维，引导学生学会思考，时学生的数学思维得以发展，数学知识、经验和能力得以生长，并从中领悟数学本质，达到生成教学目标。

—— （韩龙淑等《数学启发式教学的基本特征》，《数学教育学报》 2009 ， 18 （ 6 ））

启发式教学符合人的认知规律，与现代认知心理学、建构主义学习理论基本一致。

体现之一：旧知引入新知

古人云：温故而知新。引入新课是数学教师实施启发式教学中最为精心设计的部分。

注重由旧知引入新知，使学生由旧之中产生困惑或新情境，形成河激发认识新知、发现新知的欲望和行动，经历知识的发生、发展的过程。

案例：函数概念的引入

从学生已有的知识基础出发，先复习初中学过的函数定义： 师：我们在初中学过函数，请同学们回忆一下，我们学过哪些函数？ 生：正比例函数 y=kx(k≠0) 反比例函数 y= (k≠0) 一次函数 y=kx+b(k≠0) 二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0) 师：那么什么叫函数呢 ?(让学生回忆 ) 初中学过的函数定义：在某变化过程中，有两个变量 x ， y ，如

果对于 x 在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则， y 都有唯一确定的值和它对应，那么 y 就是 x 的函数， x 叫自变量， x的取值范围叫做函数的定义域，和 x 的值对应的 y 的值叫做函数值，函数值的集合叫做值域 .

师：我们分析这个定义，可以看出，函数是运动变化中的两个变量之间的一种制约关系，自变量 x 在自己的取值范围内取定一个值， y 就由这种制约关系确定出唯一一个与 x 对应的函数值。

体现之二——注重问题与提示

问题是数学的心脏，也是展开启发式教学的内在动因，是从未知到已知，从静态到动态的转换器，规定着教学的方向和特点。

问题的质量无疑也直接影响着启发的效能，决定着教学的成败。

提示与问题有着密切的联系。学生对问题的思考、探索活动免不了会遇到障碍与困惑，这就需要教师启发引导。启发引导的主要方式就是提示（语）。

提示语的使用方式和使用时机是启发式教学的关键，也是中国教师的一项教学基本功。

案例：垂线

（ 1 ）你能画出已知直线的垂线吗？ 这样的垂线能画多少条？ （ 2 ）过点 P ，你能画出已知直线的垂线吗？ 这样的垂线能画多少条？

总结垂线的画法即“一靠、二过、三画、四标”。总结得出垂线的性质，并对“有且只有”作简单解释“存在唯一”。此性质还可简单的说成：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

教师提问：图 3 与哪一张图是类似的？

（ 3 ）如果身边没有直角三角尺，你还能利用其它工具或材料过一点画已知直线的垂线吗？

A B

P

A B

P

A B

3 、渗透思想方法，发展思维能力

受人以鱼，不如授之以渔。 —— 中国古训

“ 学过的数学知识一段时间不用，很快就会忘掉，但是数学的精神、思维方法、研究方法和着眼点却随时随地地发挥作用，相伴终生。”

—— （日本数学家米山国藏）

完善的思想方法犹如北极星，使人们找到正确的道路。 ——G.波利亚

2 0 世纪 60 年代提出发展学生的逻辑推理能力、空间想象能力和运算能力等三大能力，信奉“数学是思维的体操”，强调在良好的双基基础上发展学生的思维能力。主要抓手就是在教学过程中渗透数学思想方法。

中学“数学教学目标”中的“关于数学思想和方法”的表述及发生的变化：

1952 年《中学数学教学大纲》首次提出要求学生掌握“数学的思想”；

1978 年《全日制十年制学校中学数学教学大纲（试行草案）》中提出“把集合、对应等思想适当地渗透到教材中去。这样，有利于加深理解有关教材，同时也为进一步学习做好准备。”

1986 年《全日制十年制学校中学数学教学大纲》中改为“适当渗透集合、对应等数学思想。”

中学“数学教学目标”中的“关于数学思想和方法”的表述及发生的变化：

1992 年《九年制义务教育全日制初级中学数学教学大纲（试用）》“教学目的”规定“初中数学的基础知识主要是初中代数、几何中的概念、法则、性质、公式、定理以及油漆内容所反映出来的数学思想和方法”。第 2 版中有首次提出“数学的内容、思想、方法和语言已经成为现代文化的重要组成部分”。

2000 年《全日制高级中学数学教学大纲（试行修订版）》“教学目的”也规定“高中数学的基础知识主要是概念、法则、性质、公式、定理以及由其内容所反映出来的数学思想和方法”。

2001 年《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》及 2005 年《普通高中数学课程标准（实验稿）》也分别体现出了要求学生获得“数学思想和方法”。

教学特点

中国教师具有提炼数学思想方法的教学意识，习惯于结合数学思想方法进行概念理解、推理证明、解决问题，并善于对思想方法进行总结和反思。具体来说，思想方法的渗透的三个层次：

宏观层面上的一般性数学思想——如分析综合、抽象概括、联想类比等；

中观层面上的稍显具体的数学思想——如形数结合、分类讨论、特殊化与一般化、化归、函数、方程、几何变化、等价转化、逐步逼近等；

微观层面上的具体解题方法——换元法、待定系数法、十字相乘法、配方法等。

不难看出，无论哪个层面上的数学思想方法所涉及的数学活动都是以数学思维活动为主的。

4 、突出师班互动，强化变式训练

大班课堂下的师班互动

班级授课制下的课堂教学是一个以人际互动为中心的社会过程。互动形式表现为师个、师组和师班等三种形式。

中国当前教学班级的人数较多（少则 50人，多则 60-70人），为避免大班环境下的的“满堂灌”、“一言堂”等呆板、低效的教学行为，形成了“提出问题——启发思考——全班讨论——回答问题——准确表达”等师生交替互动的课堂教学模式，实现了师生之间用数学语言进行交流、和谐对接，最后达成共识的活动过程，这是一个具有中国特色的创造。

—— （张奠宙，关于中国数学教育的传统，人民教育 2010 （ 2 ））。

变式训练 中国教师信奉：趁热打铁，熟能生巧，拳不离手，曲不离口。 新知识建立后，为了深层次理解新知识的意义而进行的巩固训练是中国数学双基教学最为突出的特色。概念、命题、公式、法则的理解与应用基本上是以各种层次的题目反复训练达到的。解题教学中的变式训练是中国数学教师最擅长的教学活动之一。

解题的训练是从不同角度、不同侧面、不同背景出发变更数学问题的条件、结论及呈现形式，使数学问题的非本质特征发生某些变化而本质特征保持不变。这样的变式训练能够使得学生在解题时的思维过程具有合适的梯度，逐步增加创造性因素。有时还可以将一道题进行适当的引伸和变化，为学生提供尝试发展的阶梯。

变式题的组合从不同的角度更换阶梯的技能和方法，有利于学生概括各种解题技能。正是在这样的教学活动中学生学会了解题，发展了自己的数学思维能力。

二

从“双基”走向“四基”的基本理解

核心：创新人才的培养

要创新人才培养模式。“要遵循教育规律和人才成长规律，深化教育教学改革，创新教育教学方法，探索多种培养方式，形成各类人才辈出、拔尖创新人才不断涌现的局面。”

提出三个“注重”：注重学思结合、注重知行统一、注重因材施教。

—— 《国家中长期教育改革和发展规划纲要》（ 2

010－ 2020 年）

中国的传统数学教育重视知识的传授和技能的训练，因此中国的孩子掌握基础知识和基本技能非常扎实。也正是这种过于重视“双基”教学，中国的数学教育常常陷入死记硬背、题海战术、提术战术，一定程度上加重了学生的学业负担，阻滞了学生的个性潜能和创造力的发展。

因此，重新审视和发展“双基”成为当今中国数学教育的新的目标和任务。

我们缺少了创造性的东西，如根据情况“预测结果”的能力；根据结果“探究成因”的能力。

——史宁中教授

1、目标：从“一维”到“三维”

——关注“人的教育”

过往的数学教育目标中的主要问题

双基的内涵不深，仅限于数和形的最基础知识；

把能力的培养局限于三大能力，几乎没有考虑现代社会公民所必须的数学应用意识、推理能力、统计观念等数学素养，运用数学思想和方法解决问题的能力；

促进学生终身可持续发展的情感态度与价值观只字未提。

进入 21世纪，中国基础教育数学课程首次确立了知识与技能、过程与方法、情感态度和价值观的“三维目标” 。

特点之一：将“情感与态度”作为重要目标

以往的数学课程把数学作为一个筛子，过多起到的是选择与淘汰的作用，过分注重数学学科自身体系的完整和学生对“双基”的理解掌握，在很大程度上忽视了学生情感态度的培养，其结果导致一批又一批的学生对数学丧失信心，从而对学习丧失兴趣，学生带着不健全的人格走向社会，这样的心态甚至影响着他们一生的发展。

将情感与态度作为数学教育的一个目标，其目的就在于明确了情感与态度对人的一生发展所具有的深远意义，以此来促进学生主动运用数学解决问题的动力和能力。

特点之二：“三维目标” 具有内在的统一性

整体性——“知识和技能”维度的目标立足于让学生学会，“过程和方法”维度的目标立足于让学生会学，“情感、态度和价值观”维度的目标立足于让学生乐学，任何割裂 “三维目标”的教学都不能促进学生的全面发展。

交融性——三个维度“我中有你、你中有我” ： 知识与技能目标是其他目标落实的载体，知识与技能的学习必须以有利于其他目标的实现为前提；

过程与方法的重视能够为学习注入原创力； 情感态度的关注能够为学习注入催化剂。

2、内涵：从“双基”走向“四基”

——关注“过程的教育”

《标准》改造了传统的“双基”教学，并将数学思想和活动经验作为学生数学学习的重要内容和目标要求，从而形成了新的 “四基”教学目标，为发展学生的创新思维和能力提供了理论依据和有效的途径与方法。

“ 四基”的相互关系

在数学学习过程中，“双基”与基本活动经验是相互依存、相互促进的，也是可以相互转化的，在二者的不断融合、多次的实际应用中，通过反思提炼而形成的一种具有奠基作用和普遍指导意义的知识经验便是数学基本思想．由此，我们可以给出数学“四基”的如下关系结构：

数学基础知识、基本技能、基本活动经验与基本思想既是数学学习活动的核心内容与主要目标，也是学生数学素养最为重要的组成部分，它们共同构筑了学生的数学知识结构。

数学活动

基础知识基本技能

基本思想

基本活动经验

形式化的结果 情境化的过程

演绎 归纳

形式化

经验化

基点 1 ：“知识” 是创新的重要基础

关于知识，心理学认为有两种： 显性的知识和隐形知识。 克林顿的科学教育顾问根据 这一观点建立了一个冰山模型。

浮在水面上的尖尖看作是明确的知识（显性知识），解决 “什么是什么”和“为什么是这样”，主要是一些事实的知识和原理的知识，可以写在书上，是可以言传的。

还有一类在海平面之下你没有看到的叫默会知识（隐性知识）。默会知识解决两个问题：你怎么想的，你怎么做的。默会知识不能用语言来传播，是只能意会、领悟。一个人的创新能力要靠领悟力，理解力。

默会知识有两个特征：一是成于个人经验，具有个体性，所以现在要强调学生主动地、自主地学习；二是嵌入于实践活动，贯穿于做的过程、实践的过程和研究的过程。默会知识具有很强的情景性，离开了上述过程把它提取出来，它就不存在了。

中国的传统的“双基”教学主要解决明确知识的学习问题，要培养高素质的、能想能做的人才，需要关注海平面以下支撑知识冰山的那一块默会知识的学习。

基点 2 ：“经验”是 “过程性知识”

“双基”的学习需要有一个意义建构的过程，此过程是以原有经验为基础的，又是从操作性的经验开始的，并且所建构的意义最终是以经验的形态储存学生的大脑当中的。

正如著名教育家陶行知所作的关于人获得知识过程的嫁接树枝的比喻：“我们要有自己的经验做根，以这经验所发生的知识做枝，然后别人的知识才能接得上去，别人的知识方才成为我们知识的一个有机体部分”。

从知识的角度来看，“双基”是一种理性的、形式化的结果性知识，而经验则是一种感性的、情景化的过程性知识，它们各强调了数学知识的一个侧面，前者形成的是一种知识系统，而后者形成的是一种经验系统，二者的有机结合才能形成完整的数学知识结构．

基点 3 ：数学思想方法是知识之“魂”

教育心理学家布鲁纳认为： “不论我们选教什么学科，务必使学生理解该学科的基本结

构”、 “强调结构和原理的学习，能够缩小“高级” 知识和“初级”知识之间的间隙”。

“学习基本结构就是学习实物是怎样相互联系的”。

对数学教育而言，这里的基本结构在一定意义上就是指数学的思想方法。

数学思想方法与具体的数学知识属于上下位关系：当学生了解一些数学思想方法后再学习相关的知识，就属于下位学习。而心理学家认为下为学习的知识具有足够的稳定性，有利于固着新知识。

数学知识都是循序渐进的，但思想方法是不变的。有了数学思想方法，数学知识便不再是孤立的、零散的东西。苏联数学教育心理学家弗利德曼认为：思想和方法组成数学教学的全部内容的核心。

2001 年义务教育课程标准指出：通过数学教育，使学生能够获得“适应未来社会和进一步发展所必须的数学知识（包括数学事实、数学活动经验）以及基本的数学思想方法和必要的应用技能”。

2003 年普通高中数学课程标准中也把体会数学基础知识和基本技能“所隐含的数学思想方法”作为课程目标的第一条内容。

如果把知识看作是一颗颗珍珠，那么数学思想方法就是将这些珍珠变成美丽项链的那根“红线”。

措施 1 ：改造明确知识

在继承传统双基合理成分的同时：

摒弃繁杂的计算、人为技巧化的难题和机械记忆的负担；

增加适应信息化时代发展需要的算法内容，把统计与概率、向量、导数、数据处理、数学建模、使用现代信息技术学习数学作为新的基础知识和基本技能。

措施 2 ：经历过程，获得基本活动经验

在数学学习中，要使学生真正理解数学知识，感悟数学的理性精神，形成创新能力，就应该让学生积累丰富而有效的数学活动经验。这些经验包括：

检索、抽取数学信息的经验； 选择和运用已有知识的经验、建立数学模型的经验； 应用数学符号进行表达的经验，抽象化、形式化的经验； 选择不同数学模型的经验，预测结论的经验； 对有关结论进行证明的经验，调整、加工、完善数学模型的

经验； 对所得结果进行解释和说明的经验，巩固、记忆、应用所得

知识的经验； ……等等． 这些经验的最基本的成分是演绎活动经验与归纳活动经验，我们称之为数学基本活动经验．

措施 2 ：经历过程，获得基本活动经验

我很有幸能够在两个具有不同文化背景国度里学习和工作，我在中国学到了演绎能力，我在美国学到了归纳能力。

——杨振宁先生《我的生平》

由于在我国的数学教学中过分强调“演绎活动”而削弱甚至忽视了“归纳活动”，因此，基本活动经验更加强调关于归纳活动的经验．加强归纳活动经验，可以帮助学生思考经验积累，问题提出的经验的积累，创新性活动的积累。

措施 3 ：淡化“技巧”，强化“基本思想” 中国传统的数学教育比较注重指向实践层面上的具体的数学思想和方法，如形数结合思想、函数思想、换元法、待定系数法、数学归纳法等，因此成为以“解题基础训练”见长的中国数学教学的常规行为，而且比较富有成效。但是如果学习数学仅拘泥于具体的思想方法和解题技巧，就不能更高层次上认识、理解数学，也就难以掌握数学研究、甚至科学研究的一般方法。数学思想方法应该是带有普遍意义的、对数学知识和方法本质概括的、更为上位的一般思想。

史宁中教授认为，“基本思想”要与换元法、递归法、配方法等具体的数学方法区别。每一个具体的方法可能是重要的，但不具有一般性，作为一种思想掌握是不必要的，经过一段时间，学生很可能就忘却了。这里所说的思想，是希望学生领会之后能够终生受益的那种思想方法。他认为归纳思想与演绎思想在众多的数学思想中起着奠基性、引领性作用，是最上位的思想，这应当是整个数学教学的主线。如“化归思想”，在探索化归的方向、发现问题的结论、寻找解决问题的途径时，主要运用的是归纳思想；在链接“中间问题”、整理和表述化归结果时，则需运用演绎思想，而且化归的主要策略——“一般化”与“特殊化”本身就是归纳思想与演绎思想的具体体现．从形成过程来看，演绎思想主要是在“双基”的形式化训练中练就的，而归纳思想则主要是在“基本活动经验”的不断积累中逐步孕育的．归纳思想与演绎思想是数学思想体系的两翼，二者的协同发展，才能使数学知识健康、和谐地成长为学生的智慧．

知识在本质上是一种结果，可以是经验的结果，也可以是思考的结果。智慧并不表现在经验的结果上，也不表现在思考的结果上，而表现在经验的过程，表现在思考的过程。数学教育应该是“过程的教育”。

——史宁中教授

“过程的教育”不是指在授课时要讲解、或者让学生经历知识产生的过程，甚至不是指知识的呈现方式，而是探究的过程、思考的过程、抽象的过程、预测的过程、推理的过程、反思的过程，从而引导学生自己去感悟、去体会，帮助学生积累经验，最终掌握数学的思想和方法。

3、教学 :从“主导”走向“主体”

——关注“主体的教育”

十九世纪欧洲一个教育家将教师分为四等

第一等“平庸的教师”——平庸的教师是叙述，书上一句话，我重复叙述一句话；

第二等“好的教师”——是讲解，能够讲，看懂了书上的，用自己的话讲出来；

第三等“优秀的教师”——是示范，处处做样子给学生看，学生可以自己做一点；

第四等“伟大的教师”——是启发，启发学生，让学生自己来学习。

心理学认定教学的三个水平

经过二十世纪的充分研究，六十年代之后，严格地从理论意义上进行了分析，教跟学是三个水平。第一个水平叫记忆，第二个水平叫解释性的理解，第三个水平学生通过探索来理解。如果通俗地说，就是记忆水平、解释水平和探索水平。

记忆水平——要学生记住一些事实，记住一些操作的程序。 解释水平——很多老师都用的，老师讲清楚，讲正确，讲得有启发性，学生学会了，这是它的基本特点；

探究水平——要让学生投入进去，自己来探索，加强他的自主性。

“双基”发展为“四基”，必须改造传统的教学，让学生有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程，在继续促进学生理解数学的基础知识、训练学生掌握数学的基本技能的基础上，启发学生领会数学的基本思想、帮助学生积累数学的基本活动经验。

因此，教学活动中，学生是主体，基本思想是主线，活动是形式。

（ 1 ）“主体”与“主导”的关系

学生是学习的主体。学生获得知识，可以通过接受学习，也可以通过自主探索等方式，但必须建立在自己的思考的基础上；学生应用知识并逐步形成技能，离不开自己的实践；学生在获得知识技能的过程中，只有亲身参与教学活动，才能在过程与方法、情感态度价值观方面得到发展。

教师是教学活动的主导者。教师作为组织者，应在准确把握教学内容和学生实际情况的基础上，确定合理的教学目标，设计好教学方案；教师作为引导者，应选择恰当的教学方式，设计合理的问题情境，因势利导，引导学生积极思考；教师作为合作者，应以平等、尊重的态度与学生共同参与、共同探索、共同分享教学活动成果。

学生的主体地位的真正落实，依赖于教师主导作用的有效发挥。而有效发挥教师的主导作用的标志，是学生能够真正成为学习的主体。

启发式教学是实现学生主体地位与教师主导作用的有效途径。教师富有启发性的讲授；创设情境、设计问题，引导学生自主探索、合作交流；组织学生操作实验、观察现象、提出猜想、推理论证等，都能有效地启发学生的思考，使学生成为学习的主体，逐步学会学习。

（ 2 ）“预设”与“生成”的关系

教学方案是教师对教学过程的“预设”，教学方案的形成依赖于教师对教材的理解、钻研和再创造。理解和钻研教材，应以本标准为依据，把握好教材的编写意图和教学内容的教育价值；对教材的再创造，集中表现在：能根据所教班级学生的实际情况，选择贴切的教学素材和教学流程，准确地体现基本理念和内容标准规定的要求。

教学方案是教师对教学过程的“预设”，但实际的教学过程却是一个动态生成的过程。在这个过程中，往往会“生成”一些新的教学资源、教学问题，需要教师能够及时把握，因势利导，适时调整预案。

如果老师怕“节外生枝”，期望并牵引学生按自己的预设做出回答，那学生只是扮演了配合老师完成教案的角色，让“死”的教案支配和限制了“活”的学生，遏止了学生在课堂上的思想和生命的活力，只会使课堂变得机械、刻板与程式化。老师应随着教学活动的展开，注意及时为生成“变奏”，老师、学生的思想与探究的问题本身不断碰撞，创新的火花不断迸发，新的学习需求、认识和体验不断加深。在这样动态生成的课堂中，学生才能体验到生命活力的涌动。

（ 3 ）“全体”与“个体”的关系

教学活动应努力使全体学生达到课程目标的基本要求，同时要关注学生的个体差异，促进每个学生在原有基础上的发展。然而，由于学生的学科基础、认知水平、生活背景等的不同，从而导致不同的学生有不同的思维方式和解决问题的策略。因此，教学活动要关注学生的个体差异，采取因材施教、人尽其才的教育措施，鼓励与提倡解决问题策略的多样化；恰当评价学生在解决问题过程中所表现出的不同水平；情境问题的设计、教学过程的展开、练习的安排等要尽可能地让所有学生都能主动参与，提出各自解决问题的策略，引导学生通过与他人的交流感受他人的思维方法和思维过程。同时，通过向他人表达自己的思维过程，有助于反思与完善自我认知方式，从而达到个性发展的目的。

在教学活动中对学有困难的学生给予必要的关注与帮助，鼓励他们积极参与，给予适时的指导，增强学习的信心与能力。只有关注个体差异的教学，才是真正面向全体学生的教学。

如果在我国中小学数学教育中，一方面保持“数学双基教学”合理的内核，一方面添加“基本思想”和“基本活动经验”，出现既有“演绎能力”又有“归纳能力”的培养模式，就必将会出现“外国没有的我们有、外国有的我们也有”的局面，那一天，我们就能自豪地说，我国的基础教育领先于世界。

三

实现数学“四基”教学的应然行动

行动之一

注重情境与问题的有机融合——引发主动学习，促进数学思考

情境的英文是 Context ，它的意思是上下文、前后有关联的东西。“情境”有别于“情景”，情景”的“景”是具体、直观和吸引人的，而“情境”的“境”是指构成和蕴涵在情景中的那些相互交织的因素及其相互之间的关系，是一种以激发学生问题意识为价值取向的刺激性的数据材料和背景信息。

学生的学习活动是以已有的知识和经验为基础的主动建构的过程，而一个适合的数学问题情境，可以沟通学生已有经验和所学数学内容，启迪学生从中发现问题、生成问题并进行自主进行探究。

从本质上讲，产生学习的根本原因是“问题”，没有问题也就难以诱发和激起求知欲，感觉不到问题的存在，学生也就不会去深入思考。

因此，情境创设应强调其问题导向性和衍生性，让问题成为学习的动力、起点和贯穿学习过程中的主线，把学习过程看作是发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程，激发学生强烈的学习愿望，从而注意力高度集中并积极主动地投入学习，培养学生勇于探索、创造和追求真理的科学精神。

（ 1 ）数学情境应具有问题导向性。

教师应把需要解决的问题有意识地、巧妙地寓于符合学生实际的知识基础和背景材料之中，诱发好奇心和求知欲，从而使学生的注意、记忆、思维凝聚在一起，以达到心智活动的最佳状态。教师在设计问题情境时，

一是要考虑希望学生提出什么问题？学生能否提出这些问题？要创设适合学生认知水平、接近学生数学学习的“最近发展区”的数学情境才能更好地激发学生的数学学习兴趣和激情。

二是要考虑到情境对问题的指向性与暗示性，以有利于诱发学生提出与教学内容密切相关的数学问题而不是杂乱无章、与教学内容不一致甚至毫不相干的问题。

案例：三角形的外角和等于 3600

教师可以设计以下的问题情境引导学生开展实验活动， 引发数学思考并主动获得结论：

假设你站在三角形的一个顶点 A 处，你的视线为 CA 延长线的方向，开始逆时针旋转。

第一次旋转后，使你的视线方向为 AB。你旋转了什么样的一个角？这个角与 A角是什么关系？

在第一次旋转的基础上进行第二次旋转，使你的视线与 BC方向平行。你旋转了什么样的一个角？这个角与 B角是什么关系？

在第二次旋转的基础上进行第三次旋转，使你的视线回到 CA 延长线的方向。你旋转了什么样的一个角？这个角与 C角是什么关系？

经历三次旋转后，你发现了什么现象？你能得到什么结论？ 学生经历实验活动后，不难发现自己正好转了一周，三次旋转的角度恰

好是角 A、 B、 C的一个外角，于是可以得到三角形外角和等于 3600的结论。

借助于上述类似的方法，学生也容易得到多边形外角和等于 3600的结论。

B

C A

（ 2 ）好的数学情境应有问题的衍生性。

即借助这个情境能够产生一连串、环环相扣、由浅入深的问题，促使学生在发现问题、提出问题和解决问题的过程中，提高学生的问题意识和创新能力。在利用数学问题情境时，

教师要考虑如何引导学生提出数学问题？ 怎样处理学生提出的问题？ 怎样促使学生自己解决其中的关键问题？ 在师生的互动交流、持续的追问中不断生成、解决新的问题，

从而促进学生进行思维联想、对知识进行重组与改造，帮助学生对知识的建构。

案例——“探索三角形全等条件

我们知道，如果两个三角形全等，那么他们的对应边相等，对应角相等。反过来，两个三角形需要具备什么条件，即它们有多少条边或角相等时就全等呢？

当两个三角形只有 1组边或角相等时，它们全等吗？ 当两个三角形只有 2组边或角相等时，它们全等吗？ 当两个三角形只有 3组边或角相等时，它们全等吗？

注意：此处为什么从只有 1组、 2组、 3组开始设问，而不从 6组、 5组、四组开

始设问呢？

案例：猜想与证明

由教师提出问题： （ 1）任意一个正方形，是否存在另一个正方形，使得它的周长和面积都是已知正方形周长和面积的 2倍？

（ 2）你能得出新的问题吗？

经小组讨论，还可以形成新的问题： （ 3）任意一个矩形，是否存在另一个矩形，使得它的周长和面积都是已知矩形周长和面积的 2倍？

（ 4）任意一个矩形，是否存在另一个矩形，使得它的周长和面积都是已知矩形周长和面积的一半？

行动之二

适度展开知识的形成过程——感悟数学思想，积累活动经验

学生学习数学，不仅要学习数学的思维结果，更要学习数学思维的方式方法，发展数学能力。思维方式的习得及能力的形成是一个缓慢的过程，它不是学生“懂”了，也不是学生“会”了，而是学生自己“悟”出了道理、规律和思考方法等，这种“悟”只有在数学学习活动的过程中才能获得。

数学教学必须给学生提供探索交流的空间，组织、引导学生“经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，并把活动经验的积累、数学思想的感悟有机地融合在这样的“过程”之中。

这里的“过程”，不是指在授课时要讲解、或者让学生经历知识产生的过程，甚至不是指知识的呈现方式，而是探究的过程、思考的过程、抽象的过程、预测的过程、推理的过程、反思的过程，引导学生自己去感悟、去体会，从而帮助学生积累经验，最终掌握数学的思想和方法。

数学知识的形成以及逐渐完善的过程中往往蕴涵着一定的数学思想。在教学活动中教师应选择适当的形式和素材组织学生进行自主探索，适度地展开过程。

如在展开有理数加法、乘法法则规定的过程中，引导学生感受分类、归纳等基本思想；

再用有理数近似地估计一元二次方程根的过程中，引导学生感受“逼近”的思想；

在“选举环保小卫士”的活动过程，引导学生经历“收集数据、处理数据、做出决策”统计的全过程，感受统计思想等等。

如“零指数幂”的意义是一种“规定”，但教学中不能单纯地要求学生记住这个“规定”，并进行相应的操练，而应根据学生已有的生活与经验基础，设计适合探究活动的问题，较为充分地展开“过程”，引导学生感悟这种“规定”的合理性及归纳的思想。

“零指数幂”的意义—— 是一种规定 ，不是“证明”，要确保学生正确地获得知识。

不能仅仅要求学生记住“规定”并操练 ，应当引导学生感受“规定”的合理性，这就需要展开过程： 首先，通过计算 ，假如运用幂的运算性质 ， 表示什么意义呢？ 这时，一方面数学面临一个挑战；另一方面学生从情感上和理性上都能接受 的结论（提出猜想）。 然后，质疑这个猜想是否合理？并通过多种途径引导学生感受猜想的合理性： （ 1 ） 1 个细胞分裂 1次变 2 个，分裂 2次变 4 个，分裂 3次变 8 个，……那么， 1 个细胞没有分裂时为几个？

0 1( 0)a a

3 32 2 1 3 3 3 3 02 2 2 2 02

02 1

（ 2 ）观察数轴上表示… 16 、 8 、 4 、 2的点的位置的变化，有什么规律？

0 1 2 4 8 16 （ 3 ）观察下列式子中“幂”与“指数”

的变化，有什么规律？

在学生感受 合理性的基础上，作出的规定。

4

3

2

1

(?)

2 16

2 8

2 4

2 2

2 1

02 1 0 1( 0)a a

进而，验证“规定”与原有的“幂的运算性质”是相容、和谐的。比如，计算 ：

根据零指数幂意义的规定 ，

运用幂的运算性质 。 这样，学生学习“零指数幂”将经历如下的过程：面对挑战┄提出猜想（“规定”）┄说明猜想的合理性┄做出“规定”┄验证这种“规定”与原有知识体系的和谐性┄数学得到进一步发展 .

这样设计“零指数幂”的教学过程，能较为充分地体现数学自身发展的轨迹，有助于学生感受数学如何在自身的矛盾运动中，不断地得到发展 . 。经历了这样的探索过程，学生就能借助学习“零指数幂”所获得的数学活动经验，科学地研究其他相关的数学问题。

5 0a a5 0 5 51a a a a

5 0 5 0 5a a a a

行动之三

充分发挥合情与演绎的互补——优化思维过程，培养创新能力

《标准》提出应将推理能力的发展应贯穿在整个数学学习过程中。推理能力的形成和提高需要一个长期的、循序渐进的过程，教师在教学过程中，应采取多样化的学习活动和思考方法，充分发挥合情推理与演绎推理的各自优势，逐步培养学生创新的意识和能力。

（ 1）注重合情推理过程，培养学生的创新意识

合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推测某些结果的推理方式。

合情推理带有猜想、发现的特性，镶嵌着明显的个性化特征，因此在解决问题的过程中，有助于探索解决问题的思路、发现结论。

合情推理有助于发展学生的思维与创新能力。

一是借助数学知识的形成过程。

数学概念的形成过程，几乎都经历了数学家漫长的创造过程，其思考问题的方法和其中包含的数学思想，往往具有很高的数学教育教学价值。虽然我们不可能被逐个形成过程照搬给学生，但若能择其要领，浓缩精华地将数学家发现的思维过程暴露给学生，无疑能帮助学生学会“数学地思考”。

如“有理数的加法交换律和结合律”的学习，可以采用在几何图形中填数字的验证方法进行归纳。让学生任意更换黑板上△和○中的数字，并进行计算，发现引进负数后加法交换律和结合律仍成立。这种方法渗透了任意性与普遍性的辩证关系，通过不完全归纳得到结论．直观性强且易于操作．通过心算、观察、比较及更改数字等活动，学生很容易认同加法“交换律”和“结合律”的合理性．

创设适当的教学情境，使学生经历由特殊的等腰直角三角形提出猜想，用“勾三股四”的直角三角形去验证猜想，然后将问题一般化再证明直角三角形三边关系，归纳勾股定理

通过使用直角三角形模具完成拼图过程，让学生体会应用图形“割补拼接”面积不变的特点来验证直角三角形三边数量关系的猜想，培养学生由数到形再由形到数的数学思想以及转化的能力．在实验拼图探究的过程中发展学生的空间想象力和合情推理能力 .

R

Q

P

AC

B

案例：勾股定理

二是借助问题解决的思路与过程

许多数学问题解决思路的产生都是一个合情推理的过程，都是观察、归纳、类比、猜想、联想、直觉、灵感等合情推理手段的综合运用，它为培养学生的合情推理能力提供了取之不尽的原材料。

如在证明“等腰三角形的边上的一点到该三角形两腰的距离的和是定值”时，可以借助特殊化的方式（如点在底边的端点或中点）先确定定值，再通过底边上的点的移动过程发现将两个距离转化为一腰上的高的方法，从而找到证明的思路。

A

B CP

E F

B C

F

A

问题 1：三角形 ABC中， AB＝ AC， P是底边上一点， PF⊥AC， PE⊥AB。则 PE＋ PF＝常数。

问题 2 ：当动点在等腰三角形底边所在直线（底边之外）上运动时，其动点到两腰的距离之间有何关系？

A

B C

D

E

F

P

此时，△ ABP 的面积－ △ ACP 的面积　　　＝ △ ABC 的面积因此，很自然地得到： PE－ PF＝常量。

问题 3 ：当动点在三角形内部运动时，动点到三边的距离之间是否有一定的等量关系？

△ABC 的面积＝△ PAB 的面积＋△ PBC 的面积＋△ PCA 的面积

PFAC2

1PGBC

2

1PEAB

2

1CDAB

2

1 ＋＋＝

A

B C

D

EF

P

G

如果△ ABC是等边三角形，则可得

PE＋ PF＋ PG

＝ CD＝常量。

可以继续探究，得到如下结果： 如图 2 ，△ ABC 中，三边 AB ， BC ，

AC 上的高分别为 h1 ， h2 ， h3 。 P 是形内任一点， P 到三边 AB ， BC ， AC 的距离分别为 d1 ， d2 ， d3 。求证：

+ + =1 。1

1

h

d

2

2

h

d

3

3

h

d

问题 4 ：当动点在等边三角形外运动时，又能得到什么结论？（ PD－ PE－ PF＝常量）

A

BC

D

PE

F

三是借助数学实验等实践活动

数学实验是学生通过观察、操作、试验等实践活动来进行数学学习的一种形式，是学生从自己的“数学现实”出发，通过自己动手、动脑，用观察、模仿、实验、猜想等手段获得经验，主动建构并发展自己的数学认知结构的活动过程。数学规律的抽象性通常都有某种“直观”的想法为背景。数学实验可以再现这种“直观”，让学生自己动手实验，自己去发现数学规律。

例如可以下列通过折纸活动，发现三角形的“内心、外心、重心”： 让每一个学生准备一块三角形纸片，过 A作一折叠使 AB落在 AC上，得折痕 AD，则 AD平分∠ BAC。

同样方法得出折痕 BE、 CF。 这样，学生就直观地发现：三角形三个角的一部分线交于一点（这点即为三角形的内心）。

进而进一步证明结论的成立，发现三角形内心的性质。 类似地，可以折出三角形的外心、重心，进一步启发学生，还可折出三

角形垂心。　

案例：比较线段长短

可以设计如下的一组问题供学生活动和思考：

（ 1 ）如何比较两名同学的身高 ? （ 2 ）（在黑板上提供两条长度不等的线段）你能

确定那条线段更长？

通过活动让学生感受到比较高矮或长短时要注意在同一个起点上进行比较，并且由此为比较线段的长短积累活动经验 .

（ 2）合情推理与演绎推理相结合，优化学生的思维过程

教师应该设计适当的学习活动，引导学生通过观察、尝试、估算、归纳、类比、画图等活动发现一些规律，猜测某些结论，发展合情推理能力；通过实例使学生逐步意识到，结论的正确性需要演绎推理的确认，可以根据学生的年龄特征提出不同程度的要求。应把证明作为探索活动的自然延续和必要发展，使学生知道合情推理与演绎推理是相辅相成的两种推理形式。

尽管合情推理不是凭空想象，而是建立在观察、实验、分析、归纳、类比等基础上的，但不象演绎推理那样严谨，合情推理的结论不一定正确。适当地结合演绎推理，也有助于学生产生对合情推理的兴趣和自信，进一步发展合情推理能力。

案例：过圆外一点所画的圆的两条切线的长相等。

（ 1 ）在透明纸上画出如图的图：设 PA ， PB 是⊙的两条切线， A ， B 是切点。

（ 2 ）让学生操作：沿直线将图形对折，启发学生思考，或者组织学生交流。学生可以发现：

PA=PB ，∠ APO= BAO ∠ 。 （ 3 ）发现利用全等三角形进行证明方法。 （ 4 ）证明。 这是通过实例发现图形性质的过程。启发学生由特殊到

一般，通过合情推理推测出切线长定理的结论。

例如，在学习 （ ）时，可以先单纯采用归纳的形式：

， ， 猜想：一般情况下 ， ， 然后借助形式运算：

最后采用理论论证方式： ， 。 尽管合情推理不是凭空想象，而是建立在观察、实验、分析、归纳、类比等基础上的，但不象演绎推理那样严谨，合情推理的结论不一定正确。适当地结合演绎推理，也有助于学生产生对合情推理的兴趣和自信，进一步发展合情推理能力。

nmnm aaa Nnmnm ,,

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∴