План лекции.План лекции.План лекции.План лекции.1.1. Метод наименьших квадратов.Метод наименьших квадратов.

2.2. Дифференциальные уравнения.Дифференциальные уравнения.

1. Метод наименьших квадратов.

В естествознании, в частности в физических и биологических науках, основным методом исследования являются наблюдения, опыты эксперименты. В связи с этим возникает необходимость в нахождении эмпирических формул, составленных на основании опыта и наблюдения. Одним из лучших методов получения таких формул является метод наименьших квадратов, который является эффективным приложением теории экстремумов функции нескольких переменных.

Итак, пусть дана таблица измерений в некотором опыте, связывающая переменные величины X и Y .

… … …

… … …

ixiy

1x 2x nx

1y 2y nyЗначения ix и iyбудем считать также, как декартовые

координаты точек на координатной плоскости XOY .Требуется найти аналитическую зависимость )(xy

наилучшим образом отображающую опытную зависимость.Выберем “подходящую” функцию , где а,b… - параметры, так, чтобы соответствующие кривые

для различных a, b, … проходили вблизи точекиз опыта . Найдём такой единственный набор значений параметров, чтобы соответствующая кривая распола- галась ближе всех других к точкам из опыта , т.е. чтобы ошибки выбора формулы - отклонения значений Yi из опыта

,...),,( baxy

);( ii yx

,

);( ii yx

,

от соответствующих значений из Формулы были наименьшими по абсолютной

величине. Для этого составляется сумма ,

где суммируются квадраты указанных ошибок выбора формулы.

Тогда ошибки выбора будет наименьшими (по абсолютной величине), если наименьшей будет сумма S .

Следовательно, нужно решить задачу на экстремум функции S (a, b, …): найти минимум функции нескольких переменных a, b, … .

)( ii xy

n

iii baxybaS

1

2,...)),,((,...),(

Согласно необходимому условию экстремума должна выполнятся следующая система :

Решение этой системы даст те значения параметров a, b, … , при которых функция

будет наилучшей. (Можно доказать, что необходимое условие экстремума при решении таких задач будет и достаточным).

...

...

0

0

b

Sa

S

(*)

,...),,( baxy

Пример.Дана таблица измерений. 1 3 5 7

1 2 3 6Найти подходящую эмпирическую формулу

Нанесем на координатную плоскость XOY точки

Все точки лежат вблизи некоторой прямой.

i

i

y

x

)(xy

);( ii yx из опыта:

1 3 5 712

3

6y

x

Найдем наилучшую из таких прямых, т.е. найдем линейную зависимость , наиболее точно описывающую опытную зависимость.

Для такой зависимости система (*) имеет вид:

В нашем случае n=4 и система(**) перепишется :

baxx )(

n

i

n

iii

n

i

n

i

n

iiiii

bnxay

xbxaxy

1 1

1 1 1

2

0

0(**)

4

1

4

1

4

1

4

1

4

1

2

04

0

i iii

i i iiiii

bxay

xbxaxy

(***)

Для решения этой системы составим следующую расширенную таблицу и заполним пустые клетки:

1 3 5 7 16

1 2 3 6 12

1 9 25 49 84

1 6 15 42 64

Найденные суммы подставляем в систему (***):

ii

i

i

i

yx

x

y

x

2

4

1i

4

1

4

1

2

4

1

4

1

64421561

84492591

126321

167531

iii

ii

ii

ii

yx

x

y

x

043

042116

4|:041612

4|:0168464

ba

ba

ba

ba

5

45

1

43

0)43(42116

a

b

ab

aa

Найденные значения коэффициентов а и b

подставляем в уравнение линейной функции:

По двум точкам строим эту

прямую на координатной

плоскости , данной выше:

5

1

5

4)( xx

x -1 4

y -1 3

1

1 4 5 7

2

3

6

-1-1

5

1

5

4 xy

-точки из опыта

-точки для построения прямой

y

x

-прямая )(x

Нетрудно видеть, что ошибки выбора формулы достаточно малы (могут быть порядка ошибок измерения).

2. Дифференциальные уравнения.

Рассмотрим физическую задачу: найти закон прямолинейного движения, при котором в каждый момент времени путь в 2 раза больше скорости движения.

Путь S(f) – путь, пройденный к моменту t V(f)- скорость движения

, тогда S=2S’

Решение этого дифференциального уравнения, в которое входит производная, дает искомый закон движения S(t) .

Определение.Уравнение, связывающее независимую

переменную, функцию и ее производные или дифференциалы различных порядков, называются обыкновенным дифференциальным уравнением.

* Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, входящей в уравнение.

Sinxdx

yd

yCosxSinxy

2

2

1' -первого порядка

-второго порядка

xyyy '3''2''' -третьего порядка и т.д.

*Решением дифференциального уравнения называется функция , удовлетворяющая этому уравнению.

Нахождение этого решения называется интегрированием дифференциального уравнения.

*Если решение уравнения получено в неявном виде

, то оно называется интегралом уравнения.

*Задача Коши. Задача Коши для уравнения

ставится таким образом: среди всех решений уравнения (1)

)(xyy

0),( yx

),...,',,( )1()( nn yyyxfy (1)

найти решение , удовлетворяющее системе следующих условий:

)(xyy

)1(00

)1(

00

00

)(

.................

.................

')('

,)(

nn yxy

yxy

yxy

(2)

где)1(

0'00 ,...,, nyyy - заданные числа

Эти условия (2) называются начальными условиями, а соответствующее решение y = y(x) - частным решением уравнения (1).

,

*Общее решение уравнения (1)- это решение в виде ),...,,,( 21 nCCCxy зависящее от n

произвольных постоянных nCCC ,...,, 21

Частные решения уравнения (1) также могут быть получены из общего решения при некоторых числовых значениях констант

nCCC ,...,, 21

Пример.

1.Показать что функция xSiny 2 есть решение уравнения 04'' yy

Найдем y’’:

xSinxCosy

xCosxSiny

24)'22(''

22)'2('

Подставляем y’’ и y в уравнение:

,0002424 xSinxSin т.е. функция xSiny 2

является решением исходного дифференциального уравнения. 2.Общий интеграл дифференциального уравнения0' yyx имеет вид cyx 22

(*)

Найти его частный интеграл, удовлетворяющий начальному условию 4)3( y

Найдем значение С, соответствующее искомому частному интегралу, подставив в общий интеграл (*) заданные начальные условия.

У нас

254)3(

4

3

22

CC

y

x, тогда

, (с – const)

Подставляем найденное С в (*):

2522 yx

Это и есть искомый частный интеграл.

1.Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными.

Такие уравнения имеют вид:

0)()()()( 2211 dyyNxMdxyNxM

Характерной чертой этих уравнений является то, что множители, стоящие перед dx и dy , зависят только от одной переменной.

Для решения уравнения разделим переменные x и y

по своим слагаемым , для чего поделим обе части уравнения на произведение

:0)()( 21 xMyN

0)(

)(

)(

)(

0)()(

)()(

)()(

)()(

1

2

2

1

21

22

21

11

dyyN

yNdx

xM

xM

dyxMyN

yNxMdx

xMyN

yNxM

Переменные разделены. Общий интеграл получим почленным интегрированием левой и правой частей уравнения:

CdyyN

yNdx

xM

xM

)(

)(

)(

)(

1

2

2

1