Моделирование регулярных и хаотических режимов в

небесно-механических задачах (на примере модели Хилла)

Н. БатхинаВГИ ВолГУ

Цель работы

• Разработать пакет прикладных программ для комплексного исследования небесно-механических задач, использующий современные методы компьютерного моделирования гамильтоновых динамических систем.

• Средствами пакета провести изучение основных регулярных и хаотических структур конкретной небесно-механической модели: плоской круговой модели Хилла.

Высокоточная арифметикаQD и ARPRES

Процедуры регуляризацииLIBREG

Алгебраические выраженияGiNaC

Численное интегрирование ОДУTAYLOR

Матричные и численные алгоритмы, вычисление матриц монодромии

NUMMETHODS

Библиотеки низкого уровня

Вспомогательные программы и модули

ООБД FASTDB или STL

Программа визуализации данныхGNUPlot

Программы верхнего уровня

Построение отображения ПуанкареPOINCAREMAP

Построение траекторийORBIT

Продолжение неподвижных точек отображенияDERPAR

Продолжение семейств периодических решенийCONTPER

Исследование хаотических режимов:Каскады бифуркацийCASCADEПоказатели ЛяпуноваLYAPUNOVРасщепление сепаратрисSEPSPLIT

СТРУКТУРА ПРОГРАММНОГО КОМПЛЕКСА

Особенности алгоритмов

• Большой объем вычислений и числовых данных

• Изменение точности вычислений в процессе работы

• Наличие особенностей в уравнениях движения и ударных периодических решений

Большой объем вычислений и числовых данных

• Необходимо распараллеливание вычислительного процесса

• Необходима организация хранения больших объемов числовых данных различной точности и эффективного доступа к ним

Изменение точности вычислений в процессе работы

• Наличие явлений динамического хаоса (каскадов кратного увеличения периода, расщепления сепаратрис) требует применение библиотек высокоточной арифметики и эффективных алгоритмов численного интегрирования систем ОДУ

Наличие особенностей в уравнениях движения

• Применение процедур регуляризации как уравнений движения, так и сопутствующих ему. Используются идеи М.Л. Лидова о применении производящих функций к одновременной регуляризации канонических уравнений и уравнений в вариациях.

Ключевые алгоритмы комплекса

• Поиск и продолжение семейств периодических решений и неподвижных точек отображения

• Исследование каскадов кратного увеличения периода

• Исследование явления расщепления инвариантных многообразий (сепаратрис)

Методы поиска и продолжения семейств периодических решений

• Условие периодичности для фазовых потоков:

• Условие продолжения:• Матрица перехода в

сопутствующий базис (ортогональная и симплектическая) и условие продолжения в новом базисе:

• вектор касательный к семейству

• поправка к периоду

0 0,x T x x

0 0y T dTJ H x

3 4 1 2

4 3 2 1

1 2 3 4

2 1 4 3

H H H H

H H H HA

H H H H

H H H H

1 0N E y H dTa

4

2i i

i

b d a

5 2 /dT d c H

Метод Келлера (продолжение по длине дуги)

• Периодическое решение однозначно задается вектором

• вектор невязок • схема продолжения

,X x T

( ) (0)F X x T x

( )

( ) ( 1) ( 1)

0

,

i

i i i

F X

X X X s

Продолжение семейств периодических решений

• Алгоритм продолжения периодического решения является предикторно-корректорным методом продолжения по длине дуги семейства в пространстве параметров с адаптивным выбором шага смещения Δs.

• Определяются дополнительные параметры – минимальный и максимальный шаги Δsmin Δsmax

агрессивность смены шага a и максимальное число итераций Nmax.

Алгоритм использует только информацию, содержащуюся в матрице монодромии, и позволяет эффективно преодолевать бифуркационные точки за счет применения высокоточной арифметики.

Использование процедуры регуляризации позволяет продолжать ударные семейства.

Существуют специализированные варианты алгоритма продолжения для симметричных периодических решений.

Метод продолжения неподвижных точек отображений• отображение,

индуцированное фазовым потоком

• условие периодичности

2 2, :P z

* *, ,kP z z k

1( 1) ( ) ( ) ( ) ( ), ,i i k i k i i

zz z D P z E P z z

• уточнение неподвижной точки

• продолжение периодического решения по параметру

1* *, ,k k

zz D P z E D P z

Исследование каскадов кратного увеличения периода

Наличие каскадов удвоения периода есть свидетельство резкого усложнения структуры фазового пространства. Каскады характеризуются набором универсальных скейлинговых констант: δ – постоянная Фейгенбаума, α и β – масштабные константы. Для их вычисления необходимо в процессе продолжения периодического решения определять последовательно бифуркационные значения параметра продолжения С

1

2 1

lim k k

kk k

C C

C C

1 , 1,1k k kC C C C k

Обороты C δ С∞ α

2 4,2714280077   4,267936410486  

4 4,2683367730   4,267927068619  

8 4,2679740472 8,5222362 4,267927695895 -3,3126

16 4,2679330107 8,8391134 4,267927693987 -4,1835

32 4,2679283036 8,7179600 4,267927694096 -3,9855

64 4,2679277640 8,7226550 4,267927694096 -4,0255

128 4,2679277021 8,7210468 4,267927694096 -4,0163

256 4,2679276950 8,7213171 4,267927694096 -4,0185

512 4,2679276942 8,7210975   -4,0180

Характеристика каскада удвоения периода 1-2-4-8-16-32-64-128-256-512

Расщепление сепаратрис

• Алгоритм основан на представлении сепаратрисы в окрестности неподвижной точки отображения в виде ряда по степеням параметра

, ,

0

u s u s kk

k

z z

1 2

1 2 1 2

1 2 1

1 2 1 2 31 2 1 2 3

0 0

, ,, 1 0 1

222 , , , ,, 2 0 2 0 1, 1,

, 1

2 32 23 , , , , ,, 3 0 3 0 2, 2, 0 1,

, 1 , , 1

,

,

1

2

1

6

u s u su s

u s u s u s u su s j j

j j j j

u s u s u s u s uu s j j j

j j j j jj j j j j

z P z

z P z z

Pz P z z z z z

z z

P Pz P z z z z z z z

z z z z z

2 3

, ,1, 1,

s u s u sj jz z

• Для вычисления коэффициентов разложения необходимо решить рекуррентную систему линейных уравнений, содержащих производные отображения P высоких порядков

Для вычисления производных отображения Пуанкаре применяется дискретный аналог уравнения в вариациях, с помощью которого строятся интерполяционные многочлены Чебышева, обеспечивающие равномерную аппроксимацию на интервале, простую оценку погрешности аппроксимации.

Для интенсификации вычислений может использоваться параллельный компьютинг. Узлы прямоугольной сетки рассматриваются как независимые начальные условия задачи Коши и последняя решается численным интегрированием на подчиненных узлах кластера. Головной процесс, собрав результаты счета, выполняет итерационный шаг и т.д. Таким образом, параллелизм затрагивает только самую трудоемкую часть алгоритма.

В качестве количественных характеристик расщепления использовались гомоклинический инвариант и площадь луночки. Из-за экспоненциальной малости эффекта необходимо применение высокоразрядной арифметики

0.12 0.16 0.2 0.24lg(lambda)

- 1 2

- 8

- 4

0

lg(ï ë î ù àä ü ë óí î ÷êè )lg(ãî ì î êë è í è ÷åñêè é è í â àðè àí ò)

Блок-схема работы

программы

Технологические особенности программного комплекса

• Использование высокоточной арифметики

• Эффективный алгоритм интегрирования систем ОДУ методом Тейлора

• Применение параллельного компьютинга

• Использование Open Source проектов для переносимости комплекса

Высокоточная арифметика• Библиотека qd, реализующая арифметику

вещественных чисел с плавающей точкой с 106 и/или 212 значащими битами (30 или 61 значащая десятичная цифра) в виде классов dd_real и qd_real.

• Библиотека arpres, реализующая вычисления на произвольной разрядной сетке (классы mp_real, mp_complex).

• Каждая из библиотек реализована на C++, имеет интерфейс для C и FORTRAN. Благодаря перегрузке основных арифметических операций, операций сравнения и вычисления элементарных функций библиотеки могут быть использованы в вычислительных алгоритмах без какого-либо изменения последних.

• Доступны в исходных текстах по адресу http://www.nersc.gov/~dhbailey/mpdist/mpdist.html

Интегрирования систем ОДУ методом Тейлора

• Для получения эффективной процедуры численного интегрирования систем ОДУ используется свободно распространяемая утилита Taylor. Она генерирует по формальному описанию системы набор процедур на языке C, реализующих одношаговый метод Тейлора с автоматическим выбором шага и порядка.

Особенности утилиты Taylor• Использование алгоритма автоматического вычисления

коэффициентов Тейлора • Поддержка библиотек высокоточной арифметики• Применение адаптивных методов определения шага

интегрирования и порядка разложения с учетом локальной погрешности и затрат на вычисление коэффициентов

• Доступна в исходных текстах http://www.maia.ub.es/~angel/taylor/

- положительная константа

– радиус сходимости

-локальная погрешность

- порядок разложения

mMj

m

mp

Сравнение с другими интеграторами

Параллельный компьютинг

• Для интенсификации вычислений используются кластерные вычисления. Распараллеливание применяется при построении отображения Пуанкаре для большого числа точек и для вычисления производных отображения на сетке.

• Кластерные вычисления реализованы средствами MPI (только на платформе Linux)

Результаты тестирования параллельного алгоритма на гетерогенном кластере

• Приведенный рейтинг узлов в гетерогенном кластере• 1. Pentium IV (Celeron) 1,7 Ghz, 256 Mb ram – 1.00• 2. Atlhon 2.4 Ghz, 512 Mb ram – 2.64• 3. Pentium III (Celeron) 900 Mhz, 256 Mb ram – 1.42• 4. Pentium IV (Celeron) 1,7 Ghz, 256 Mb ram – 1.01

Технология Open Source

• Комплекс поставляется в исходных текстах и использует только Open Source проекты для сборки и эксплуатации: gcc, g++, gmake, gdb, gnuplot

• Комплекс апробирован на задаче Хилла, эксплуатировался на компьютерах с операционной системой Linux (ASPLinux 7.3, 9.2) и Windows (пакет Cygwin)

• Модульная структура комплекса позволяет наращивать его функциональность

Общая схема работы с комплексом• Пользователь определяет набор вспомогательных

процедур: вычисление функции Гамильтона задачи в физических и регулярных переменных, дает описание системы канонических и вариационных уравнений для утилиты Taylor.

• С помощью сценариев сборки для утилиты make последовательно генерируются тексты процедур интегрирования систем ОДУ задачи (утилита Taylor) для разных классов высокоточной арифметики.

• Затем происходит компиляция исходных текстов программ комплекса, использующих эти процедуры.

• Пользователь последовательно использует программы и средства визуализации рядов данных (gnuplot)

Применение

• Данный комплекс может быть применен к комплексному исследованию небесно-механических задач, автономных гамильтоновых систем

• С его помощью были получены новые семейства периодических решений и изучены сценарии перехода к динамическому хаосу в плоской задаче Хилла

Плоская задача Хилла

• Уравнения движения в равномерно вращающейся системе координат

• Интеграл Якоби• Гамильтониан

3

3

2 3 /

2 /

x y x x r

y x y r

2 2 23 2/C x r x y

2 2 2 2 21 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 1 2 2 2

1 2

1 3 1 1( , , , )

2 2 2H q q p p p p q p q p q q q

q q

Регуляризация

Регуляризация Леви-Чивитта

1 1 2 1 1 1 2 1

2 2 1 2 2 2 1 2

2,

q Q Q Q p Q Q P

q Q Q Q p Q Q Pr

Гамильтониан в регулярных переменных

2 2 2 2 2 2 2 2 4 4

1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2

12 2 8 2 2 4

2H C Q Q P P Q Q PQ P Q Q Q Q Q

Симметрии

Канонические уравнения задачи Хилла инвариантны относительно преобразований

1 1 2 1 2 1 2 1 2

2 1 2 1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

: ( , , , , ) ( , , , , )

: ( , , , , ) ( , , , , )

: ( , , , , ) ( , , , , )

t q q p p t q q p p

t q q p p t q q p p

t q q p p t q q p p

Вычисление матрицы монодромии M для симметричных периодических решений

• Симметрия 1

1 1 1( / 2) ( / 2), 1, 1, 1,1TM G JY T G JY T G diag

• Симметрия 2

2 2 2( / 2) ( / 2), 1,1,1, 1TM G JY T G JY T G diag

• Симметрия 1 2

2

1 2( / 4) ( / 4)TM G JY T G JY T • J – симплектическая единица

Основные семейства периодических орбит

• a и с – либрационные (ляпуновские) орбиты (неусточивые)

• f – обратнооборотные спутниковые (хилловские) орбиты (устойчивые)

• g, g’ – прямооборотные спутниковые (Хилловские) орбиты

Орбиты и индекс устойчивости семейства a

Орбиты и индекс устойчивости семейства f

Орбиты и индекс устойчивости семейства g

Орбиты и индекс устойчивости семейства g’

Характеристики семейств a, c, f, g, g’

Результаты исследования семейств п.р. второго рода

• Ветвление семейств от двоякосимметричной орбиты с соизмеримостью p/q, где либо p, либо q четное, происходит с потерей одной из симметрий

• Ветвление семейств от двоякосимметричной орбиты с соизмеримостью p/q, где p и q нечетные, происходит с сохранением симметрий

Орбиты семейства f_r(1/9)

Индекс устойчивости семейства fr(1/9)

Индексы устойчивости семейств с соизмеримостями (1/4), (1/5)

Орбиты семейств fr(1/4)Σ1 и fr(1/4)Σ2

Неустойчивая ветвьУстойчивая ветвь

Орбиты семейства fr(1/5)Σ1Σ2

Неустойчивая ветвь Устойчивая ветвь

Характеристики некоторых семейств, ветвящихся от f

Орбиты семейств fl(1/4)Σ1 и fl(1/4)Σ2

Структура сечения Пуанкаре в окрестности семейства g’

Индекс устойчивости семейства g’(1/4)

Продолжение

Меандровые кривые

Индекс устойчивости семейства g’(2/7)

Транскритическая бифуркация

Индекс устойчивости семейства g’(3/11)

Глобальная динамика• Задача Хилла имеет две неустойчивые коллинеарные точки

либрации. При C>34/3 точки либрации отсутствуют, а кривая нулевой скорости разделяет фазовое пространство на две несвязные области финитного и инфинитного движения. При C<34/3 точки либрации существуют, области финитного и инфинитного движения становятся связными.