Консультационный центр по подготовке выпускников к...

Консультационный центр по подготовке

выпускников к Государственной

(итоговой) аттестации

Консультационный центр по подготовке

выпускников к Государственной

(итоговой) аттестации

МАУ ЗАТО Северск «Ресурсный центр образования»

Консультационный центр по подготовке выпускников к Государственной (итоговой) аттестации

С2С2



В прямоугольном параллелепипеде В прямоугольном параллелепипеде ABCDAABCDA11BB11CC11DD11 найдите угол между найдите угол между

прямой Bпрямой BCC11 и плоскостью и плоскостью AA11BCBC, если AA, если AA11 = 12, AB = 6, = 12, AB = 6, BCBC == 5 5. .

D

A

D1

B1

66

NN

пр

оекц

ия

пр

оекц

ия

нак

ло

нн

аян

акл

он

ная

5555

1313

5566

Угол между наклонной и плоскостью – это Угол между наклонной и плоскостью – это угол между наклонной и её проекцией на угол между наклонной и её проекцией на эту плоскость. эту плоскость.

.13

;13

;169

;125

;

:

1

1

21

2221

21

221

1

BC

BC

BC

BC

CCCBBC

BCCИз

.56

;56

;180

;126

;

:

1

1

21

2221

21

211

21

11

CD

CD

CD

CD

CCCDCD

CCDИз

B

C

С1С1

А1А1



В прямоугольном параллелепипеде В прямоугольном параллелепипеде ABCDAABCDA11BB11CC11DD11 найдите угол между прямой найдите угол между прямой

BBCC11 и плоскостью и плоскостью AA11BCBC, если AA, если AA11 = 12, AB = 6, = 12, AB = 6, BCBC == 5 5. .

Найдем Найдем CC11NN, выразив два раза площадь , выразив два раза площадь

треугольника треугольника DCCDCC11..

36

;6122

1

;2

1

1

1

1 11

DСС

DСС

DСС

S

S

DСCСS

D

A B

C

A1

D1

B1

1212

66

NN

пр

оекц

ия

пр

оекц

ия

нак

ло

нн

аян

акл

он

ная

5555

1212

1313

5566

CC11

CC

DD11

1212

66NN

5566

36 56

;2

1111NССDSDСС

5

12

;56

72

;5672

2/;562

136

1

1

1

1

NС

NС

NС

NС

D

A B

C

A1

D1 C1

B1

1212

66

NN

пр

оекц

ия

пр

оекц

ия

нак

ло

нн

аян

акл

он

ная

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 найдите угол между прямой BC1 и плоскостью A1BC, если AA1 = 12, AB = 6, BC = 5.

5555

1212

1313

55

1212

135

12sin

;13

1

5

12sin

;1

13:5

12sin

;135

12

sin

:1

BNCИз

.5

5

.65

512sin

;sin 1

BC

NC

.65

512arcsin



Возможны другие решения. Например, решение задачи с использованием векторов или метода координат.

Замечание: Замечание: искомый угол можно записать, используя другие искомый угол можно записать, используя другие

аркфункции: аркфункции:

606000

С2.С2. В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC известны ребра:

AB = , SC=2 . Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой MN, где M – середина ребра AS, а N – делит ребро BC в отношении 1:2.

С

A

B

S

3

3

- искомый угол

1) Из АВD:060sinABAD

2

33AD

2

3AD

Можем найти его из МKN. Но надо найти два элемента из этого треугольника.

10

102

10

NN1 часть1 часть

2 части2 частиD

K

MM

606000

С

A

B

S

3

102

10



K

MM

2

3AD 2. Построим высоту SO. Точка О – точка

пересечения биссектрис, медиан и высот правильного треугольника. Применим свойство медиан:

1

2

ОD

АО

3. По теореме Фалеса: 1

1

KО

АKОDKОАK

Две прямые перпендикулярные к плоскости (АВС) параллельны: MKII SO. М – середина SА, значит и точка K – середина АО

O

4) Найдем AK:2

1

3

1

2

3AK

5) Найдем KD: 13

2

2

3KD

2

1

1

K

606000

С

A

B

S

3

102

10



MM

O1

2233

6

3

3

3

2

3DNK D

N6

3

1

12

13

6

31

2

2

KN

6) Из МАK по теореме Пифагора найдем MK:

2

2

2

110

MK

4

39

??

Из KDN:

4

39

12

13

7) Из МKN найдем тангенс искомого угла

12

13:

4

39tg =3=3

3arctgтогда

2

1

3333

В правильной шестиугольной пирамиде SАВСDEF, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите угол между прямыми SF и BM, где М – середина ребра SC.

AA

CC

DDEE

FF

SS

11

2222

112211

.4

1cos

;2:2

1cos

;cos

C

C

SC

CKC

SCKИз

.2

3

;2

3

;2

3

;2

12

;4

111211

;cos2

2

2

222

222

BM

BM

BM

BM

BM

CCMBCCMBCBM

косинусовтеоремепоBCMИз

OO

11

BB

1122

MO – средняя линия треугольника SFC.

MO = SF

11

КК BB

EE DD

CC

AA

FF

OORR66 = a = a1111

MM

3322

34

23cos

;2

32:2

3cos

;2

3cos

2

32

;cos2

321

2

31

;cos12

321

2

31

;cos2

2

2

2

222

OMBMOMBMBО

AA

CC

DDEE

FF

SS

11

2222

11

OO

11

BB

11

11

MM

3322

11

O

M

B11

3322 3

3

Рассмотрим треугольник OBM. Чтобы найти угол М, составим теорему косинусов для стороны ОВ.

4

6cos

4

6arccos: Ответ

Длины всех ребер правильной четырехугольной пирамиды PABCD c вершиной P равны между собой. Найдите угол между прямой BM иплоскостью BDP, если точка M ― середина бокового ребра пирамиды AP.

OO

PP

CC

AA BB11

11

11

DD

Если не дано ребро, то можно обозначить его буквой или взять за «1»Если не дано ребро, то можно обозначить его буквой или взять за «1»

Угол между наклонной и плоскостью равен углу между наклонной и ее проекцией. Очевидно, что плоскости АРС и DPB перпендикулярны. РО – линия пересечения плоскостей. Опустим перпендикуляр из точки М на РО.

KK

наклонная

наклоннаяп

роекци

я

проекци

я

MM

21

21

BM BK

B B M ?

.2

;2

;2

;11

;

:

2

222

222

AC

AC

AC

AC

BCABAC

ABCИз

.2

2AOТогда22

22

.4

2, МКАОРлиниясредняяМК

2244

Тогда по теореме Фалеса: если АМ=МР, то PK=KO. Значит, отрезок МК средняя линия АРО.

MK PO AO PO MK II AO

OO

PP

CC

AA BB11

11

11

DD

KK

21

21

2222

.2

3

;4

3

;4

11

;2

11

;

:

2

22

2

222

ВМ

ВМ

ВМ

ВМ

ВМАМАВ

АВМИз

32

2sin

;3

2

4

2sin

;2

3:

4

2sin

;sin

:

BM

MK

KMВИз

3322

МК перпендикуляр к плоскости DBP, значит, МК будет перпендикулярен к любой прямой, лежащей в этой плоскости.

MK DBP MK KB

MM

;3

3

;6

6sin

;6

6arcsin

2244

BBAA

DD CC

CC11

AA11

DD11

FF

1). Построим сечение призмы плоскостью D1MK.

1212

2121

88MM

BB11

KK88

2). MK, т.к. точки M и K лежат в одной плоскости. MD1, точки лежат в одной плоскости.

3). Строим KF II MD1, т.к. эти отрезки сечения лежат в параллельных гранях.

4). FD1, т.к. точки лежат в одной грани.

5) Через точку А надо построить плоскость, перпендикулярную плоскости D1MK. Затем

мы опустим перпендикуляр на линию пересечения этих плоскостей .

В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 со стороной основания 12 и высотой 21 на ребре АА1 взята точка М так, что АМ=8. На ребре ВВ1 взята точка К так, что В1К=8. Найдите расстояние от точки А1 до плоскости D1MK

D1L является наклонной к плоскости ABB1.

BBAA

DD CC

CC11

AA11

DD11

FF

LL

1212

2121

88MM

BB11

KK88

6) Построим линейный угол двугранного угла A1MKD1

(MK – ребро двугранного угла)

7) D1L MK,н-ян-я

п-рп-р

D1A1 – перпендикуляр к плоскости ABB1

п-яп-я

A1L – проекция отрезка D1L на плоскость ABB1.Применим теорему о трех перпендикулярах.

D1L MKн-ян-я

Т Т ПТ Т ПA1L MKп-яп-я

D1LA1 – линейный угол двугранного угла A1MKD1Попробуем сделать чертеж более наглядным. Опрокинем призму на грань ABB1A1


NN

BB

AA

CC

CC11

AA11

DD11

1212

BB11

88MM

DD

2121

1212

KK88

1). Построим сечение призмы плоскостью D1MK.

2). MK, т.к. точки M и K лежат в одной плоскости. MD1, точки лежат в одной плоскости.

3). Строим KF II MD1, т.к. эти отрезки сечения лежат в параллельных гранях.

FF

4). FD1, т.к. точки лежат в одной грани.


5) Через точку А надо построить плоскость , перпендикулярную плоскости D1MK. Затем мы опустим

перпендикуляр на линию пересечения этих плоскостей .

D1L является наклонной к плоскости ABB1.

BB

AA

CC

CC11

AA11

DD11

LL1212

BB11

н-ян-я

п-рп-р

п-яп-я

88MM

DD

2121

1212

KK88

FF

6) Построим линейный угол двугранного угла A1MKD1

(MK – ребро двугранного угла)

7) D1L MK,

D1A1 – перпендикуляр к плоскости ABB1

A1L – проекция отрезка D1L на плоскость ABB1.Применим теорему о трех перпендикулярах.

D1L MKн-ян-я

Т Т ПТ Т ПA1L MKп-яп-я

D1LA1 – линейный угол двугранного угла A1MKD1


NN

Плоскость линейного угла (Плоскость линейного угла (AA11LDLD11) )

перпендикулярна каждой грани перпендикулярна каждой грани двугранного угла:двугранного угла:

Строим перпендикуляр из точки А Строим перпендикуляр из точки А на на DD11L L в плоскости Ав плоскости А11LDLD11..

AA11LDLD11 ABABСС11,, AA11LDLD11 DD11MKDMKD

Из KZM, по теореме Пифагора:KM2 = KZ2 + ZM2;

KM2 = 122 + 52;KM2 = 169;

KM = 13.

BB

AA

CCCC11

AA11

DD11

LL1212

B1

88MM

DD

1313

1212

KK88

FF1212

1212

MM

KK88

AA11

BB11

1212

1313 2121

LL

ZZ 55

12121313

88

KZM = A1LM, по гипотенузе и острому углу.

KZ = A1L = 12,

1122

??

??1122

Из A1D1L: ;1

11

LA

DAtg ;

12

12tg .1tg

.450


NN

;2

212

;122

2

;45sin

:

1

1

1

10

1

NA

NA

LA

NA

NLAИз

261 NA

26: 1 NAОтвет



С2С2Используемые ресурсы:Используемые ресурсы:

•Смирнов В.А., Семенов А.А., Ященко И.В. ЕГЭ-2013. Смирнов В.А., Семенов А.А., Ященко И.В. ЕГЭ-2013. Математика. Задача С2. Геометрия. Стереометрия. Математика. Задача С2. Геометрия. Стереометрия. Рабочая тетрадь. Издательство МЦНИО. 2013г.;Рабочая тетрадь. Издательство МЦНИО. 2013г.;•Тексты задач Стат Град и ЕГЭ- сайт Александра Ларина. Тексты задач Стат Град и ЕГЭ- сайт Александра Ларина. http://alexlarin/net/ege11.html•Сайт ЕГЭ-тренер, видеоуроки Ольги Себедаш. Сайт ЕГЭ-тренер, видеоуроки Ольги Себедаш. http://wwwwww..egetreneregetrener..ruru//view zadachi=C2view zadachi=C2

http://alexlarin/net/ege11.html









http://www.egetrener.ru/view

http://www.egetrener.ru/view

Консультационный центр по подготовке выпускников к...

Documents