Урок на тему:Урок на тему:

Теорема ФалесаТеорема Фалеса

Автор: Дятченко Татьяна Автор: Дятченко Татьяна ЮрьевнаЮрьевна

Учитель математики ГОУ СОШ Учитель математики ГОУ СОШ № 15№ 15

Цель и задача урокаЦель и задача урока

• ЦельЦель данного урока знакомство с данного урока знакомство с жизнедеятельностью философа и мыслителя Фалеса и жизнедеятельностью философа и мыслителя Фалеса и его теоремой; развитие «геометрического зрения», его теоремой; развитие «геометрического зрения», расширение кругозора в плане знакомства с историей расширение кругозора в плане знакомства с историей развития математики.развития математики.

• ЗадачиЗадачи:: - продемонстрировать возможности применения - продемонстрировать возможности применения

теоремы Фалеса в различных геометрических задачахтеоремы Фалеса в различных геометрических задачах - расширить представления о сферах применения - расширить представления о сферах применения

полученных математических знаний;полученных математических знаний; - познакомиться с историческими сведениями об ученом - познакомиться с историческими сведениями об ученом

Фалесе, о развитии математических знаний и их Фалесе, о развитии математических знаний и их примененияхприменениях

ФалесФалес

ФалесФалес из Милета - первый из Милета - первый древнегреческий древнегреческий мыслитель. По-видимому, мыслитель. По-видимому, он жил в 640-546 годах до он жил в 640-546 годах до н.э. Он первый применил н.э. Он первый применил доказательство теорем и доказательство теорем и ввел их в обиход ввел их в обиход математики. Основатель математики. Основатель милетской школы. милетской школы. Считался первым из Семи Считался первым из Семи мудрецов Греции. мудрецов Греции.

Фалес считается родоначальником античной и, Фалес считается родоначальником античной и, как следствие, европейской философии и как следствие, европейской философии и науки. Считался первым из Семи мудрецов науки. Считался первым из Семи мудрецов Греции.Греции.

Важнейшей заслугой Фалеса в области Важнейшей заслугой Фалеса в области математики должно быть перенесенное им из математики должно быть перенесенное им из Египта в Грецию первых начал теоретической Египта в Грецию первых начал теоретической элементарной геометрии. Эвдем, по элементарной геометрии. Эвдем, по свидетельству Прокла, приписывает Фалесу свидетельству Прокла, приписывает Фалесу открытие следующих геометрических открытие следующих геометрических предложений:предложений:

▪ ▪ Вертикальные углы равны. Вертикальные углы равны. ▪ ▪ Углы при основании равнобедренного Углы при основании равнобедренного

треугольника равны. треугольника равны. ▪ ▪ Треугольник определяется стороной и Треугольник определяется стороной и

прилежащими к ней двумя углами. прилежащими к ней двумя углами. ▪ ▪ Диаметр делит круг на две равные части. Диаметр делит круг на две равные части.

Теорема Теорема ФалесаФалеса

Если параллельные прямые, пересекающие Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне отрезки и на другой его стороне

С1

О

B2

C2A3

A1

A2

B1

B3

Доказательство:Доказательство: Пусть АПусть А33ОВОВ33 – заданный угол, а А – заданный угол, а А11ВВ11, А, А22ВВ22,  и ,  и

АА33ВВ33– попарно параллельные прямые и – попарно параллельные прямые и АА11АА22=А=А22АА33. Докажем, что . Докажем, что ВВ11ВВ22=В=В22ВВ33. Проведем . Проведем через точку Вчерез точку В22 прямую С прямую С11СС22 параллельную параллельную прямой Апрямой А11АА33. По лемме  А. По лемме  А11АА22 =С =С11ВВ22, А, А22АА33 = В = В22СС22  и   и с учетом условия теоремы Сс учетом условия теоремы С11ВВ22 = В = В22СС22. Кроме . Кроме того, того, ВВ11СС11ВВ22 = = ВВ22СС22ВВ333– как внутренние 3– как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых накрест лежащие при параллельных прямых АА11ВВ11, А, А33ВВ33  и секущей С  и секущей С11СС22 , а , а ВВ11ВВ22СС11 = = СС22ВВ22ВВ33 как вертикальные. По второму признаку как вертикальные. По второму признаку равенства треугольников равенства треугольников ВВ11СС11ВВ22 = = ВВ33СС22ВВ22. . Отсюда ВОтсюда В11ВВ22 = В = В22ВВ33. Теорема доказана.. Теорема доказана.

Теорема ФалесаТеорема Фалеса

Если на одной из двух прямых отложить Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между отсекут на второй прямой равные между собой отрезки.собой отрезки.

A1

A2

A3

B1

B2

B3

l1 l2

B4A4

Доказательство:Доказательство:

Пусть на прямой Пусть на прямой l l 11 отложены равные отрезки отложены равные отрезки AA11AA22, , AA22AA33, А, А33АА44 и через их концы проведены и через их концы проведены параллельные прямые, которые пересекают параллельные прямые, которые пересекают прямую прямую ll 22 в точках в точках BB11, , BB22, , BB33, В, В44 как рисунке 4. как рисунке 4. Требуется доказать, что отрезки Требуется доказать, что отрезки BB11BB22, , BB22BB33, , ВВ33ВВ44 равны друг другу. Докажем, что равны друг другу. Докажем, что BB11BB22==BB22BB33..

Рассмотрим случай, когда прямые Рассмотрим случай, когда прямые ll 11 и и l l 22 параллельны. Тогда параллельны. Тогда AA11AA22==BB11BB22 и и AA22AA33==BB22BB33 как как противоположные стороны параллелограммов противоположные стороны параллелограммов AA11BB11BB22AA22 и и AA22BB22BB33AA33. Так как . Так как AA11AA22= = AA22AA33, то и , то и BB11BB22==BB22BB33. Теорема доказана.. Теорема доказана.

Применение теоремы Применение теоремы Фалеса Фалеса к решению задач к решению задач

Средняя линия треугольникаСредняя линия треугольника Средняя линия треугольника, соединяющая Средняя линия треугольника, соединяющая

середины двух данных сторон, параллельна середины двух данных сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине.третьей стороне и равна ее половине.

A BF

D

C

E

Доказательство:Доказательство:

Пусть отрезок Пусть отрезок DEDE – средняя линия в – средняя линия в треугольнике треугольнике ABCABC, т.е. , т.е. AEAE =  = ECEC, , CDCD =  = BDBD. . Проведем через точку Проведем через точку DD прямую прямую aa, , параллельную стороне параллельную стороне ABAB. По теореме Фалеса . По теореме Фалеса прямая прямая aa пересекает сторону пересекает сторону ACAC в ее в ее середине и, следовательно, содержит середине и, следовательно, содержит среднюю линию среднюю линию DEDE. Значит, средняя линия . Значит, средняя линия DEDE параллельна стороне параллельна стороне ABAB. Проведем среднюю . Проведем среднюю линию линию DFDF. Она параллельна стороне . Она параллельна стороне ACAC. Тогда . Тогда по лемме  отрезок по лемме  отрезок EDED равен отрезку равен отрезку AFAF и и равен половине отрезка равен половине отрезка ABAB. Теорема . Теорема доказана. доказана.

Задача 1Задача 1

Дан треугольник АВС. На стороне ВС взята Дан треугольник АВС. На стороне ВС взята точка Р так, что ВР=РС, а на стороне АС взята точка Р так, что ВР=РС, а на стороне АС взята точка точка QQ такая , что А такая , что АQQ : : QQС = 5 : 3. Найдите С = 5 : 3. Найдите отношение АО : ОР, если точка О – точка отношение АО : ОР, если точка О – точка пересечения прямых АР и Впересечения прямых АР и ВQQ. .

A

B

O

Q C

P

D

ba c

Решение:Решение:

Проведем прямые параллельные ВПроведем прямые параллельные ВQQ через точки через точки А, Р и С. Точка А, Р и С. Точка DD – это точка пересечения прямых – это точка пересечения прямых АР и с.АР и с.

По теореме Фалеса параллельные прямые ВПо теореме Фалеса параллельные прямые ВQQ, , bb и и cc, которые отсекают равные отрезки ВР и РС, , которые отсекают равные отрезки ВР и РС, отсекают равные отрезки ОР и Ротсекают равные отрезки ОР и РDD на прямой А на прямой АDD. .

По теореме Фалеса параллельные прямые По теореме Фалеса параллельные прямые aa, , BQBQ и и с, которые отсекают на прямой АС отрезки в с, которые отсекают на прямой АС отрезки в соотношении 5 : 3, отсекают и на прямой Асоотношении 5 : 3, отсекают и на прямой АDD отрезки в соотношении 5 : 3.отрезки в соотношении 5 : 3.

То есть То есть AQ : QC= 5:3AQ : QC= 5:3 и и AO : OD = 5:3, AO : OD = 5:3, а отрезок а отрезок ODOD=2=2OPOP. Следовательно, . Следовательно, AO : OP = 10:3AO : OP = 10:3..

ОтветОтвет: 10 : 3.: 10 : 3.

Задача 2Задача 2

Разделите отрезок АВ при помощи циркуля и Разделите отрезок АВ при помощи циркуля и линейки на линейки на nn равных частей. равных частей.

A

X

BB1 B2 B3

A1

A2

A3

Решение:Решение:

Проведем луч Проведем луч AXAX, не лежащий на прямой , не лежащий на прямой ABAB, и , и на нем от точки на нем от точки AA отложим последовательно отложим последовательно nn равных отрезков ААравных отрезков АА11, А, А11АА22, …,А, …,Аnn-1-1AAnn , т.е. на , т.е. на столько равных отрезков, на сколько равных столько равных отрезков, на сколько равных частей нужно разделить данный отрезок частей нужно разделить данный отрезок ABAB. . Проведем прямую Проведем прямую AAnnBB (точка А (точка Аnn – конец – конец последнего отрезка) и построим прямые, последнего отрезка) и построим прямые, проходящие через точки проходящие через точки AA11, , AA22,…, ,…, AAnn-1-1 и и параллельные прямые прямой параллельные прямые прямой AnBAnB. Эти . Эти прямые пересекают отрезок прямые пересекают отрезок ABAB в точках в точках BB11, , BB22, , …, …, BBnn-1-1, которые по теореме Фалеса делят , которые по теореме Фалеса делят отрезок отрезок ABAB на на nn равных частей. равных частей.

Задача 3Задача 3

Разделите данный отрезок АВ на два отрезка Разделите данный отрезок АВ на два отрезка АХ и ХВ, пропорциональные данным отрезкам АХ и ХВ, пропорциональные данным отрезкам PP11QQ11 и и PP22QQ22..

A X B

C

D

M

P2

P1

Q2

Q1

Решение:Решение:

Проведем какой-нибудь луч АМ, не Проведем какой-нибудь луч АМ, не лежащий на прямой АВ, и на этом луче лежащий на прямой АВ, и на этом луче отложим последовательно отрезки АС и отложим последовательно отрезки АС и CDCD, равные отрезкам , равные отрезкам PP11QQ11 и и PP22QQ22. Затем . Затем проведем прямую проведем прямую BDBD и прямую, и прямую, проходящую через точку С параллельно проходящую через точку С параллельно прямой прямой BDBD. Она по теореме Фалеса . Она по теореме Фалеса пересечет отрезок АВ пересечет отрезок АВ

в искомой точке Х.в искомой точке Х.

Заключение:Заключение:

В представленной работе рассмотрена В представленной работе рассмотрена теорема величайшего математика – теорема величайшего математика – ученого – мыслителя Фалеса, задачи, в ученого – мыслителя Фалеса, задачи, в решении которых применяется решении которых применяется различные варианты этой теоремы.различные варианты этой теоремы.

Решение геометрических задач Решение геометрических задач различными способами является различными способами является исследовательской частью данного исследовательской частью данного урока и дает возможность сравнить урока и дает возможность сравнить разные способы решения и разные способы решения и проанализировать их появление. проанализировать их появление.