第五节　隐函数及参数方程的求 导方法、高阶导数第五节　隐函数及参数方程的求 导方法、高阶导数一、隐函数的微分法一、隐函数的微分法二、由参数方程所确定的函数的微分法二、由参数方程所确定的函数的微分法

第三模块　函数的微分学第三模块　函数的微分学

三、对数微分法三、对数微分法四、高阶导数四、高阶导数

一、隐函数的微分法一、隐函数的微分法　　例 1 设方程 x2 + y2 = R2(R 为常数 ) 确定函数 y = y(x) ，　 .

d

d

x

y求

解 在方程两边求微分，d(x2 + y2 ) = dR2 ，

即 2xdx + 2ydy = 0.

由此，当 y 0 时解得

，y

x

x

y

d

d

或 .y

xyx

例 2 设方程 y + x – exy = 0 确定了函数 y = y(x) ，.xy求

解 方程两边求微分，得d(y + x – exy) = d0 ，

即 dy + dx - dexy = 0 ，dy + dx – exy(xdy + ydx ) = 0.

当 1 - xexy 0 时，解得

，xy

xy

x

y

x

y

e1

1e

d

d

即 .e1

1exy

xy

x x

yy

　　例 3 求曲线 x2 + y4 = 17 在 x = 4 处对应于曲线上的点的切线方程 .

解 方程两边求微分，得2xdx + 4y3dy = 0 ，

得).0(

2d

d3

yy

x

x

y

　　 即对应于 x = 4 有两个纵坐标，这就是说曲线上有两个点 P1(4, 1) 和 P2(4, - 1).

将 x = 4 代入方程，得 y = 1.

　　在 P1 处的切线斜率 y|(4,1)= - 2 ，

y – 1 = - 2(x - 4) 即 y + 2x – 9 = 0

在点 P2 处的切线方程为

y + 1 = 2(x - 4) ，即 y - 2x + 9 = 0

在 P2 处切线的斜

率 y|(4, - 1) = 2. 所以，在点 P1 处的切线方程为

补证反三角函数的导数公式：设 y = arcsin x ，则 x = sin y ，两边对 x 求微分，得

dx = cos ydy ，

.cos

1

yy

时，因为22

y≤ ≤ cos y 取正号，

.1sin1cos 22 xyy 所以

.1

1)(arcsin

2xx

二、由参数方程所确定的 函数的微分法二、由参数方程所确定的 函数的微分法参数方程，它的一般形式为

. )(

)(It

tfy

tx区间

，，

对方程 ② 两边求微分，得

①②

dy = f (t)dt ，同样对方程 ① 两边求微分，得

dx = (t)dt ，

③

④

得④③

,d)(

d)(

d

d

tt

ttf

x

y

即

.)(

)(

t

tfyx

例 4 　 设 参 数 方程

tby

tax

sin

cos ， 　 ( 椭圆方程 ) 确定了函数 y = y

(x) ， .d

d

x

y求

解 dx = - a sin tdt ，

dy = bcos tdt ，所以

.cotdsin

dcos

d

dt

a

b

tta

ttb

x

y

3

t解 与　 对应的曲线上的点为 ,

2

1,

2

3

3

aaP

dy = asin t dt ，

dx = a(1 – cos t)dt ，

　　例 5 　求摆线 (a 为常数 ) 在对应

于 　 时曲线上点的切线方程 .

)cos1(

)sin(

tay

ttax ，

3

t

点 P 处的切线方程为

. 2

3

33

2

1

aaxay

所以

. 3d

d,

cos1

sin

d

d

3

π

tx

y

t

t

x

y

例 6 设炮弹与地平线成 角，初速为 v 射出，如果不计空气阻力，以发射点为原点， 地平线为 x

轴，过原点垂直 x 轴方向上的直线为 y 轴 ( 如图 ).由物理学知道它的运动方程为

.2

1sin

,cos2

0

0

gttvy

tvx

求 (1) 炮弹在时刻 t 时的速度大小与方向， 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (2) 如果中弹点与以射点同在一水平线上，求炮弹的射程 .

y

O x

中弹点

解 (1) 炮弹的水平方向速度为

.cosd

d0 v

t

xvx

炮弹的垂直方向速度为

，gtvt

yv y sin

d

d0

y

O x

中弹点Vx

Vy

所以，在 t 时炮弹速度的大小为

，220

20

22 sin2|| tggtvvvvv yx

它的位置是在 t 时所对应的点处的切线上，且沿炮弹的前进方向，其斜率为

(2) 令 y = 0 ，得中弹点所对应的时刻 ，g

vt

sin2 00

.2sin20

0

g

vx

t所以射程

.cos

sin

d

d

0

0

v

gtv

x

y

三、对数微分法三、对数微分法

解　两边取对数，得

， )]2ln()1ln()1ln(2[3

1ln xxxy

两边求微分，

x

xx

xx

xy

yd

2

1d

1

1d

1

12

3

1d

1

例 7 设 .,)2)(1(

)1( 2

yxx

xy

求3

所以

.2

1

1

1

1

2

3

1

d

d

xxxy

x

yy

.2

1

1

1

1

2

)2)(1(

)1(

3

13

2

xxxxx

x

例 8 　设 y = (tan x)x ，求 y .

解　 lny = xln(tan x) = x(lnsin x - lncos x)

xxxxxxyy

d)coslnsin(ln)coslnsin(lndd1

， d)coslnsin(lndcos

sind

sin

cosxxxx

x

xxx

x

xx

所以

x

xxxxxy

x

yy

cos

sinlntancot

d

d

).tanlntancot()(tan xxxxxx x

四、函数的高阶导数四、函数的高阶导数如果可以对函数 f(x) 的导函数 f (x) 再求导，

所得到的一个新函数，称为函数 y = f(x) 的二阶导数，

.d

d2

2

x

y记作 f (x) 或 y 或　　　　　　　　　　　如对二阶导数再求导，则

称三阶导数， .d

d3

3

x

y记作 f (x) 或 　四阶或四阶以上导数

记为 y(4) ， y(5) ， · · · ， y(n) ,d

d4

4

x

y,

d

dn

n

x

y或 · · · ，　　　 　　而把 f

(x) 称为 f (x) 的一阶导数 .

例 9 　设 y = ex ，求 y(n).

y = ex ， y = ex ， · · · ， y(n) = ex .解

　　例 10 　设 y = ln(1 + x) . 求 y(0) ， y(0) ， y(0) ， · · · ， y(n)(0).

，x

y

1

1解

，21 )1)(1(])1[( xxy

；1)0( y

；1)0( y

，3)1)(2)(1( xy

；!2)2()1()0( y

,)1)(3)(2)(1( 4)4( xy

；!3)1()3)(2)(1()0( 3)4( y

,)1)](1([)3)(2)(1()( nn xny

)]1([)2)(1()0()( ny n

)!.1()1( 1 nn

例 11 　设 y = sin x ， .d

dn

n

x

y求

解 ， 2

sincosd

d

xxx

y

， 2

2sin2

cosd

d2

2

xxx

y

， 2

3sin2

2cosd

d3

3

xxx

y

.

2sin

d

d

n

xx

yn

n

五、 高阶偏导数五、 高阶偏导数函数 z = f ( x , y ) 的两个偏导数

),,( yxfx

zx

),,( yxfy

zy

一般说来仍然是 x , y 的函数， 如果这两个函数关于 x , y 的偏导数也存在， 则称它们的偏导数是 f (x , y) 的二阶偏导数 .

依照对变量的不同求导次序，　　　　　　　　　　　　　　　二阶偏导数有四个：

x

z

xx

z

x2

2

x

z

),( yxf xx ;xxz

x

z

yx

z

y yx

z

2

),( yxf xy ;xyz

y

z

xy

z

x xy

z

2

),( yxf yx ;yxz

y

z

yy

z

y2

2

y

z

),( yxf yy .yyz

其中 及 称为二阶混合偏导数 .),( yxf xy ),( yxf yx

类似的，可以定义三阶、四阶、… 、 n 阶偏导数，

二阶及二阶以上的偏导数称为高阶偏导数，

),(

,),(

yxf y

yxf x而

称为函数 f ( x , y ) 的一阶偏导数 .

例 12

求函数 的所有二阶偏导数 .yxxyz sin2

解 ,sin2 yxyx

z

因为 ,cos2 yxxy

z

所以 2

2

x

z

)sin2( yxyx

,sin2 y

yx

z

2

)sin2( yxyy

,cos21 yx

2

2

y

z

)cos( 2 yxxy

,sin2 yx

xy

z

2

)cos( 2 yxxx

.cos21 yx

本例中 ，yx

z

2

xy

z

2

= 这不是偶然的， 有下述

定理：

定理 如果函数 z = f (x , y) 在区域 D 上两个二

阶混合偏导数 、 连续，yx

z

2

xy

z

2

则在区域 D 上

有

.22

xy

z

yx

z

即当二阶混合偏导数在区域 D 上连续时， 求导结果与求导次序无关， 证明从略 .　　　　　　　　　　　　　这个定理也适用于三元及三元以上的函数 .

例 13 ,arctanx

yz 设 试求

yx

z

2

xy

z

2

， .

解22

1

1

x

y

xyx

z

,

22 yx

y

x

xyy

z 1

1

12

,22 yx

x

22

2

yx

y

yyx

z

222

22

)(

)20()()()1(

yx

yyyx

,)( 222

22

yx

xy

22

2

yx

x

xxy

z

222

22

)(

)02()(1

yx

xxyx

,)( 222

22

yx

xy

.22

xy

z

yx

z

验证了

例 14

,e xyzu 设 .3

zyx

u

求

解 因为 ,e xyzyzx

u

)e(2

xyzyzyyx

u

)e( xyzy

yz

]ee[ xzyz xyzxyz

,e)1( xyzxyzz

所以

yx

u

zzyx

u 23

]e)1([ xyzxyzzz

xyzxyz e)1( xyzxyz e

xyxyzz xyz e)1(

.e)31( 222 xyzzyxxyz