2.7 偏导数与全微分让我们先回放一下关于二元函数的定义及有关于二元函数的一些简单知识：

一、二元函数的概念1. 二元函数的定义

　设有三个变量 x , y 和 z ,

如果当变量 x , y 在一定范围内任意取定一对数值时 . 变量 z 按照一定的规律 f , 总有确定的数值与它们对应， 则称 z 是 x , y 的二元函数， 记为

定义 1

,),( yxfz

*

自变量 x 、 y

的取值范围称为函数的定义域 .

其中 x, y 称为自变量，z 称为因变量．

二元函数在点 ( x0 , y0) 所取得的函数值记为 ).,( , 00),( 000

0 yxfzzyxyy

xx 或

　　二元函数的定义域有时是由一条或几条曲线所围成的区域，用 D 表示 .

2. 二元函数的定义域

　　　　　　　　　　　　围成区域的曲线称为区域的边界，不包括边界的区域称为开区域 .　 连同边界在内的区域称闭区域，　 如果一个区域可以被包含在一个以原点为圆心，适当长为半径圆内，则称此区域为有界区域 .

关于二元函数定义可以由下列图形结合理解 :( , ), ( , ) ,z f x y x y D D . 是函数的定义域

二元函数的图形是空间的曲面 S, 二元函数的定义域是 xoy 面上的点集

x

z

yo

D

S

例：求下列函数的定义域，并画出区域：2(1) ( , ) ln( 2 1)z f x y y x

ln( )(2) ( , )

x yz f x y

x y

x

y

o

2 2 1y x

y x

y x

y

o

常用到的一些平面区域 :

a bc

d

x

:a x b

Dc y d

D

( 矩形区域 )

y kx b

y kx b

y kx b ( 半平面区域 )

a bx

y :a x b

Dy

( 带形区域 )

2 2 20 0( ) ( )x x y y r

( 圆域 )

2 2 2 20 0( ) ( )r x x y y R

( 圆环域 )

y x

2y x

D

（两曲线所围区域）

2

0 1:

xD

x y x

2

0 1:

yD

y x y

=

称为函数 z 对 x 的偏增量，

2.7 偏导数和全微分2.7 偏导数和全微分１．偏导数的定义定义

，，

内有定义在设函数

)

,( ),(

0

00

x

xxyyyxfz

则增量),(),( 0000 -Δ yxfyxxf

记为 xz ，

如果当 时，0 x 比值 的极限存在，x

zx

即.),(),( 0000 yxfyxxfzx

,, )(Δ 000 xxxx

则称此极限值 为函数 z = f (x , y) 在点 (x0 , y0) 处对 x 的偏导数，记作

,

00

yyxxx

z

,

00

yyxx

fx

,

0

0yyxxxz

,),( 00 yxf x或

即

),( 00 yxf x

x

zx

x

0

lim

.),(),(

lim 0000

0 x

yxfyxxfx

同样， z = f (x , y) 在点 (x0 , y0) 处对 y 的偏

导数定义为

.),(),(

limlim 0000

00 y

yxfyyxf

y

zy

y

y

-

记作

,

0

0yyxxy

z

,

0

0yyxx

fy

0

0yyxxyz

或 ),,( 00 yxf y

其中 称为函数 z 对 y 的偏增量 .),(),( 0000 yxfyyxfzy

如果 f (x , y) 在区域 D 内每一点 (x , y) 处对 x 的偏导数都存在，那么这个偏导数是 x , y 的函数， 此函数称为函数 z = f ( x , y ) 对自变量 x 的偏导函数，记作

,x

z

),,( yxfx

xz ).,( yxf x或

可以定义函数 z = f (x , y) 对自变量 y 的偏导 函数，类似地，

记作

,y

z

),,( yxfy

yz ).,( yxf y或

在不致混淆的情况下， 偏导函数也称偏导数 .

2. 偏导数的求法

求 对自变量 ( 或 ) 的偏导数时 , 只须将另一自变量 ( 或 ) 看作常数 , 直接利用一元函数求导公式和四则运算法则进行计算 .

),( yxfz xy

yx

例 1 设函数 3 2 4( , ) 2 3 ,f x y x x y y

求 ( , ),xf x y ( , ),yf x y (1,1),xf (1, 1),yf

解：

xyxyyxxyxf xx 43)32(),( 2423 32423 122)32(),( yxyyxxyxf yy

111413)1,1( 2 xf

14)1(1212)1,1( 32 yf

例 2 设函数 求),ln()( 2222 yxyxz x

z

y

z

解：xx yxyxyxyx

x

z]))[ln(()ln()( 22222222

2 2 2 2 2 22 2

12 ln( ) ( ) ( )xx x y x y x y

x y

2 22 ln( ) 2x x y x

2 22 [ln( ) 1]x x y

类似可得22

2222 2)()ln(2

yx

yyxyxy

y

z

2 22 [ln( ) 1]y x y

定义 2.8 二阶偏导数定义 2.8 二阶偏导数函数 z = f ( x , y ) 的两个偏导数

),,( yxfx

zx

),,( yxfy

zy

一般说来仍然是 x , y 的函数， 如果这两个函数关于 x , y 的偏导数也存在， 则称它们的偏导数是 f (x , y) 的二阶偏导数 .

依照对变量的不同求导次序，　　　　　　　　　　　　　　　二阶偏导数有四个：（用符号表示如下）

x

z

xx

z

x2

2

x

z

),( yxf xx ;xxz

x

z

yx

z

y yx

z

2

),( yxf xy ;xyz

y

z

xy

z

x xy

z

2

),( yxf yx ;yxz

y

z

yy

z

y2

2

y

z

),( yxf yy .yyz

其中 及 称为二阶混合偏导数 .),( yxf xy ),( yxf yx

类似的，可以定义三阶、四阶、… 、 n 阶偏导数，

二阶及二阶以上的偏导数称为高阶偏导数，

),(

,),(

yxf y

yxf x而

称为函数 f ( x , y ) 的一阶偏导数 .

注：当两个二阶导数连续时，它们是相等的 即 ),( yxf xy ( , )yxf x y

例 3 ,arctanx

yz 设 试求

yx

z

2

xy

z

2

， .

解22

1

1

x

y

xyx

z

,

22 yx

y

x

xyy

z 1

1

12

,22 yx

x

22

2

yx

y

yyx

z

222

22

)(

)20()()()1(

yx

yyyx

,)( 222

22

yx

xy

22

2

yx

x

xxy

z

222

22

)(

)02()(1

yx

xxyx

,)( 222

22

yx

xy

.22

xy

z

yx

z

验证了

请同学们自己计算： ,xxz ,yyz

;)(

2222 yx

xyz xx

;)(

2222 yx

xyz yy

2.7.2 全微分与一元函数的微分 类似 , 具备一定条件的二 元函数的全增量 也有相应地简单近似公式 , 即全微分，

dxxfxdf )(')( ),(),( 0000 yxfyyxxfz

记为： dz ，即 dz

这时， 也称函数 z = f (x , y) 在点 (x0 , y0) 处可微 .

定义 如果二元函数 z = f (x , y) 在点 (x0 , y0) 处的两个偏导数存在且连续，称

为函数 z = f (x , y) 在点 (x0 , y0) 的全微分，可以

z zx y

x y

z zx y

x y

　　如果函数 z = f (x , y) 在区域 D 内每一点都可微，则称函数 z = f (x , y) 在区域 D 内可微 .

一般地 , 记 , 则 的全微分可写成

dyydxx , ),( yxfz

dz dyy

zdxx

z

例 1 求函数 在点 (2 , 1) 处当 x

yz 0.01 ,x

0.01y 时的全增量与全微分 .

解 全增量

1 0.01 10.00248 .

2 0.01 2

y y yz

x x x

因为

），（ 12x

z

)1,2(2x

y

4

1 ,25.0

所以全微分

yy

zx

x

zz

)1,2()1,2(

d

0.25 0.01 0.5 0.01 0.00250 .

)1,2(y

z

)1,2(

1

x .5.0

2

1

关于 2.7.3 二元复合函数的微分法2.7.4 二元函数的无条件极值

同学们可以自己有兴趣阅读