第八章 运输及配送路线的优化

交通运输是社会正常运行的重要基础，也是国民经济正常发展的基础。因此，运输是物流系统中的关键功能环节，运输子系统的规划与决策也是物流系统规划与决策的关键。它涉及了运输方式选择和运输线路优化两大方面的问题。

本章主要内容

运输方式的选择 物资运输调配决策 单一车辆配送路线的优化 多车辆配送路线的优化

第一节 运输方式的选择 运输方式选择的原则

安全性原则——首要的原则

及时性原则准确性原则

经济性原则——主要原则

当同时存在多种运输方式可供选择的情况下，就需要进行选优抉择。通常根据各种运输方式的经济特性和服务特征来选择合适的运输方式，即主要依据运输成本、运输速度、可靠性、安全性等指标进行判断和选择。

第一节 运输方式的选择

运输方式选择的定性分析法

货物运输的六大方式： 　　根据运输工具的不同，可分为： 水路、公路、铁路、航空、管道和多式联运等运输形式。

在各种运输方式中，如何选择适当的运输方式是物流合理化的重要问题。可以选择一种运输方式也可以选择使用联运的方式。

运输方式的选择，需要根据运输环境、运输服务的目标要求，采取定性分析与定量分析的方法进行考虑。

定性分析法主要是依据完成运输任务可用的各种运输方式的运营特点及主要功能、货物的特性以及货主的要求等因素对运输方式进行直观选择的方法。

第一节 运输方式的选择1. 单一运输方式的选择

单一运输方式的选择，就是选择一种运输方式提供运输服务。公路、铁路、水路、航空和管道五种基本运输方式各有自身的优点与不足，可以根据五种基本运输方式的优势、特点，结合运输需求进行恰当的选择。

一般要考虑的因素是：• 运费的高低• 运输时间的长短• 频度——运、配送次数• 运输能力——运量的大小• 货物的安全性——运输途中的破损或污染等• 到货时间的准确性

运输方式 铁路运输 公路运输 航空运输 水路运输

运输速度 较快 较快 快 慢

运输距离 长 较短 长 较长

可靠性 高 较高 高 较低

运输量 较大 较小 小 大

灵活程度 较高 高 较低 低

自然条件影响 少 较少 较多 多

适运货物 大宗货物 量少、日用品、短途 急用、高附加值物品 大宗货物

各种运输方式的比较

第一节 运输方式的选择2. 多式联运的选择

多式联运的选择，就是选择两种以上的运输方式联合起来提供运输服务。在实际运输中，一般只有铁路与公路联运、公路或铁路与水路联运、航空与公路联运得到较为广泛的应用。

铁路与公路联运，即公铁联运，又称为驮背运输，是指在铁路平板车上载运卡车拖车进行的长距离运输。 公路或铁路与水路联运，又称为鱼背运输，是指将卡车拖车、火车车厢或集装箱转载驳船上或大型船舶上进行的长距离运输。鱼背运输最大的优势是运量大、运费低，所以在国际多式联运中被广泛采用。

航空与公路联运也是被广泛采用的运输方式，这种将航空运输快捷、公路运输灵活方便的多种优势融合在一起提供的运输服务，能以最快的方式实现长距离“门到门”的货物运输。

第一节 运输方式的选择 运输方式选择的定量分析法

运输方式选择的定量方法有综合评价法、总成本分析法、考虑竞争因素的方法等多种方法，应用时可根据实际情况选择其中的一种进行定量分析。

运输费用

运输方式

保管费用曲线

运输费用曲线

运输费用+保管费用=总费用曲线

水路 铁路 公路 航空

运输方式与运输费用的关系

主要介绍总成本分析法

总成本分析法 以年总成本最低为原则来选择合适的运输方式

的分析方法。

其中： 运输成本 = 运输量 × 运费率（单位运价）

总成本 = 运输成本 +库存成本

库存成本运输库存成本 = 运输量 × 单位存货成本 × 运输时间存储库存成本 = 平均存货量 × 单位存货成本

总成本分析法实例

运输方式 运输费率 R(元/件) 运输时间 T（天） 年运送批次（次） 平均存货量 Q/2

铁路 0.1 21 10 100000

驮背 0.15 14 20 50000× 0.93

公路 0.2 5 20 50000× 0.84

航空 1.4 2 40 25000× 0.81

表 8-1 各种运输方式的基本参数

例 8-1 某公司欲将产品从坐落位置 A 的工厂运往坐落位置 B 的公司自有的仓库，年运量 D 为 70万件，每件产品的价格 C 为 30元，每年的存货成本 I 为产品价格的 30％。公司希望选择使总成本最小的运输方式。据估计，运输时间每减少一天，平均库存水平可以减少 1％。各种运输服务的有关参数如表 8-1 所示，试确定最优的运输方式。

成本类型 铁路运输 驮背运输 公路运输 航空运输

运输成本 70000 105000 140000 980000

在途成本 362466 241644 86301 34521

工厂存货 900000 418500 378000 182250

仓库存货 903000 420593 380520 190755

总成本 2235466 1185737 984821 1387526

表 8-2 各种运输方式的成本计算结果

经过比较可知，总成本最低的是公路运输方式，其次是驮背运输方式。

按照总成本最低的原则，应该选择公路运输方式。

应用实例

例 8-2 某制造商分别向两个供应商购买了 4000个配件，每个配件单价150元。目前这 4000个配件是由两个供应商平均提供的，如供应商缩短运达时间，则可以多得到交易份额，每缩短一天，可从总交易量中多得 5% 的份额，即 200个配件。供应商从每个配件可赚得占配件价格（不包括运输费用） 20% 的利润。于是，供应商 A 考虑如果将运输方式从铁路转到卡车运输或航空运输可能会增加利润。各种运输方式的运费率和运达时间如下表所示：

运输方式 运费率 (元/件) 运达时间（天）

铁路 2.25 7

卡车 5.50 4

航空 10.00 2

试问：供应商 A该如何决策？

求解：

显然，供应商A 只能根据他可能获得的潜在利润来对运输方式进行选择决策。

下表 8-3所示是供应商A 使用不同的运输方式可能获得的预期利润。

运输方式 配件销售量/件 毛利/元 运输成本/元 净利润/元

铁路 2000 60000 4500 55500

卡车 2600 78000 14300 63700

航空 3000 90000 30000 60000

如果制造商对能提供更好运输服务的供应商给予更多份额的交易的承诺实现，则供应商 A 应当选择卡车运输。当然，与此同时供应商 A 还要密切注意供应商B 可能做出的竞争反应行为。

第二节 物资运输调配决策

一、多起讫点的直达运输

物资运输调配决策是指在多个供应地和多个需求地之间如何合理调配物资，以实现在满足需求前提下的总运输成本最低的目的。

这类决策根据起讫点之间是否存在中间转运分两种情况进行讨论

产销平衡的运输问题

产销不平衡的运输问题分为

其解法是：表上作业法

运输问题实例

练习：

有三个产地 ，生产同一种物品，使用者为 ，各产地到各使用者的单位运价见下表所示。这三个使用者的需求量分别为 10、 4和 6个单位。由于销售需要和客观条件的限制，产地 至少要发出6个单位的产品，它最多只能生产11个单位的产品； 必须发出7个单位的产品； 至少要发出4个单位的产品。根据上述条件用表上作业法求该运输问题的最优运输方案。

321 AAA 和，

321 BBB 和，

1A2A

3A

B1 B2 B3

A1 3 5 4

A2 2 6 7

A3 4 3 5

使 用 者 产

地

各产地到各使用者的单位运价表：

二、存在中间转运的物资调配 这类问题又称为“转运问题”

（一）问题描述

Xkij

a1

af

t1

t2

tm

b1

b2

bn

供应地 中转站 需求地

Ckij

二、存在中间转运的物资调配

（二）数学模型

nj

mifkXX

njbX

miXX

mitX

fkaX

ts

XCXCZ

ijki

m

ijij

n

jij

f

kki

f

kiki

m

ikki

f

k

m

i

n

jijij

m

ikiki

,...,2,1

;,...,2,1;,...,2,10,0

,...,2,1

,...,2,1

,...,2,1

,...,2,1

.

min

1

11

1

1

1 1 11

二、存在中间转运的物资调配

思路 :将转运问题化为无转运问题 , 再用表上作业法求解 1. 首先根据具体问题求出最大可能中转量 Q 2.纯转运站可视为输出量和输入量均为 Q 的一个产地和销地

3.兼中转站的产地 Ai视为一个输入量 Q 的销地及一个输出量为 ai+Q 的产地

4.兼中转站的销地 Bj视为一个输入量 bj+Q 的销地及一个输出量为 Q 的产地

（三）求解方法

转运问题输入、输出、中转量图示

AiQ ai+Q

Bjbj+Q Q

ZQ Q

转运问题：在原运输问题上增加若干转运站。运输方式有：产地 转运站、转运站 销地、产地 产地、产地 销地、销地 转运站、销地 产地等。

转运问题实例

例 8-3 某公司有两个工厂生产变压器。一个工厂在 A市，另一个工厂在B市，它们每天的生产能力分别为 150 和 200 。变压器通过汽车运到需求点C市和 D市。 C市和 D市的需求量均为 130 。公司还需要两个中间转运站E市和 F市进行整合运输，各点间单位运输费用如下表所示。试确定从工厂到需求点的最优路线。项目 A B E F C D

A 0 13 4 6 12 14

B 13 0 7 6 13 12

E 4 7 0 3 8 8

F 6 6 3 0 7 8

C 12 13 8 7 0 17

D 14 12 8 8 17 0

项目 A B E F C D 虚拟 供应量

A 0 13 4 6 12 14 0 500

B 13 0 7 6 13 12 0 550

E 4 7 0 3 8 8 0 350

F 6 6 3 0 7 8 0 350

C 12 13 8 7 0 17 0 350

D 14 12 8 8 17 0 0 350

需求量 350 350 350 350 480 480 90

求解：该问题可分为两个阶段求解：

（ 2）根据转运问题的性质，确定 A、 B产地的供应量分别为 500（ 150+350）、 550（ 200+350）； E、 F中转地的中转量都是 350； C、D需求地的需求量均为 480（ 130+350）。

（ 3）建立新的产销平衡表如下：

第二阶段：运用求解产销平衡的运输问题的表上作业法求解。

（ 1）经分析可知，该问题的最大可能中转量为 350。

第一阶段：将实际的转运问题转化为标准的运输问题。

例 8-4 腾飞电子仪器公司在大连和广州有两个分厂生产同一种仪器，大连分厂每月生产 450台，广州分厂每月生产 600台。该公司在上海和天津有两个销售公司负责对南京、济南、南昌、青岛四个城市的仪器供应。另外因为大连距离青岛较近，公司同意大连分厂向青岛直接供货，运输费用如下图，单位是百元。问应该如何调运仪器，可使总运输费用最低？

1- 广州、 2 - 大连、 3 - 上海、 4 - 天津、 5 - 南京、 6 - 济南、 7 - 南昌、 8 - 青岛

解：设 xij 为从 i 到 j 的运输量，可得到如下列运输问题模型：

数学模型： Min f = 2x13+ 3x14+ 3x23+ x24+ 4x28 + 2x35+ 6x36+ 3x37+ 6x38+ 4x45+ 4x46+ 6x47+ 5x48

s.t. x13+ x14 ≤ 600 (广州分厂供应量限制） x23+ x24+ x28 ≤ 450 (大连分厂供应量限制） x13+ x23 = x35 + x36+ x37 + x38 （上海销售公司，转运站） x14+ x24 = x45 + x46+ x47 + x48 （天津销售公司，转运站） x35+ x45 = 200 （南京的销量） x36+ x46 = 150 （济南的销量） x37+ x47 = 350 （南昌的销量） x38+ x48 + x28 = 300 （青岛的销量） xij ≥ 0 , i,j = 1,2,3,4,5,6,7,8

用“管理运筹学”软件求得结果： x13 = 550 x14 = 0 ； x23 = 0 x24 = 150 x28 = 300 ； x35 = 200 x36 = 0 x37 = 350 x38 = 0 ； x45 = 0 x46 = 150 x47 = 0 x48 = 0 。

例 8-5 某公司有 A1 、 A2 、 A3三个分厂生产某种物质，分别供应 B1 、 B2 、B3 、 B4四个地区的销售公司销售。有关数据如下表所示。试求总费用为最少的调运方案。

B1 B2 B3 B4 产量 A1 3 11 3 10 7 A2 1 9 2 8 4 A3 7 4 10 5 9 销量 3 6 5 6 20

假设： 1. 每个分厂的物资不一定直接发运到销地，可以从其中几个产地集中 一起运； 2. 运往各销地的物资可以先运给其中几个销地，再转运给其他销地； 3. 除产销地之外，还有几个中转站，在产地之间、销地之间或在产地与销地之间转运。

A1 A2 A3 T1 T2 T3 T4 B1 B2 B3 B4 A1 1 3 2 1 4 3 3 11 3 10 A2 1 --- 3 5 --- 2 1 9 2 8 A3 3 --- 1 --- 2 3 7 4 10 5 T1 2 3 1 1 3 2 2 8 4 6 T2 1 5 --- 1 1 1 4 5 2 7 T3 4 --- 2 3 1 2 1 8 2 4 T4 3 2 3 2 1 2 1 --- 2 6 B1 3 1 7 2 4 1 1 1 4 2 B2 11 9 4 8 5 8 --- 1 2 1 B3 3 2 10 4 2 2 2 4 2 3 B4 10 8 5 6 7 4 6 2 1 3

各产地、销地和中转地之间的运价如下表：

解： Step1:把此转运问题转化为一般运输问题： 1.把所有产地、销地、转运站都同时看作产地和销地； 2. 运输表中不可能运输处的运费取作M ，自身对自身的运费为 0； 3.产量及销量可定为：中转站：产销量均为 20 ，产地：原产量 +20 ，销地：销量 +20 。 20 为最

大可能中转量； 扩大的运输问题产销平衡表：

A1 A2 A3 T1 T2 T3 T4 B1 B2 B3 B4 产量 A1 0 1 3 2 1 4 3 3 11 3 10 27 A2 1 0 M 3 5 M 2 1 9 2 8 24 A3 3 M 0 1 M 2 3 7 4 10 5 29 T1 2 3 1 0 1 3 2 2 8 4 6 20 T2 1 5 M 1 0 1 1 4 5 2 7 20 T3 4 M 2 3 1 0 2 1 8 2 4 20 T4 3 2 3 2 1 2 0 1 M 2 6 20 B1 3 1 7 2 4 1 1 0 1 4 2 20 B2 11 9 4 8 5 8 M 1 0 2 1 20 B3 3 2 10 4 2 2 2 4 2 0 3 20 B4 10 8 5 6 7 4 6 2 1 3 0 20 销量 20 20 20 20 20 20 20 23 26 25 26

Step2: 运用表上作业法求解

第三节 单一车辆配送路线的优化

主要是指对单一运输车辆从起点到终点间的最短行车路线进行优化。

优化的目标可以是行车时间最短、距离最短或运输费用最小，一般统称为最短路径问题。单一车辆的配送路线优化可分为两种类型：起讫点不同的单一路线优化和起讫点重合的单一路线优化。

一、起讫点不同的单一路线优化主要方法有：动态规划法、 Dijkstra 法、逐次逼近法等不同的求解方法。本节主要介绍动态规划法。

动态规划 (Dynamic Programming)

动态规划动态规划（（ DPDP））是运筹学的一个分支，是解决是运筹学的一个分支，是解决多阶段多阶段决策决策过程最优化的一种数学方法过程最优化的一种数学方法。。

由美国数学家贝尔曼（由美国数学家贝尔曼（ BallmanBallman ）等人在）等人在 2020 世纪世纪 5050年年代提出。他们针对多阶段决策问题的特点，提出了解决这类代提出。他们针对多阶段决策问题的特点，提出了解决这类问题的“最优化原理”，并成功地解决了生产管理 、 工程问题的“最优化原理”，并成功地解决了生产管理 、 工程技术等方面的许多实际问题。技术等方面的许多实际问题。

学习动态规划就要首先了解多阶段决策问题学习动态规划就要首先了解多阶段决策问题

动态规划是求解某类问题的一种方法，是考察问题的动态规划是求解某类问题的一种方法，是考察问题的一种途径，但不是一种特殊算法。一种途径，但不是一种特殊算法。

多阶段决策问题和我们前面遇到的决策问题不同，它是和时间有关的。与时间有关的活动过程称为动态过程，其优化方法称为动态规划。而与时间无关的活动过程称为静态过程，相应的的优化方法称为静态规划。

多阶段决策问题

所谓多阶段决策问题是：把一个问题看作是一个前后关联具有链状结构的多阶段过程，也称为序贯决策过程。如下图所示： 决策 决策 决策

状态 状态 状态 状态 状态

1 2 n

1.最短路径问题：给定一个交通网络图如下，其中两点之间的数字表示距离（或运费），试求从A点到 G点的最短距离（总运输费用最小）。

1 2 3 4 5 6

A

B1

B2

C1

C2

C3

C4

D1

D2

D3

E1

E2

E3

F1

F2

G

5

3

1

36

8

7

6

3

6

8

5

3

3

8 4

2

2

21

3

3

3

5

2

5

66

4

3

2 、机器负荷的分配问题

设有某种机器可以在高、低两种不同的负荷下进行生产。若在高负荷下进行生产时，产品的产量 g和投入生产的机器数量 x 的关系为 g=g(x) ，这时，机器的年完好率为 a; 若在低负荷下进行生产时，产品的产量 h 和投入生产的机器数量 x 的关系为 h=h(x) ，相应的机器年完好率为 b 。假设开始生产时完好的机器数量为 Q ，要求制订一个五年的生产计划，合理分配机器负荷，使总收益达到最高。

3 、资源分配问题

设有数量为 a 的资源，计划分配给 n 个项目。设 xi ( i=1, 2, ..., n) 为分配给第 i 个项目的资源量， gi ( xi ) 为第 i 个项目得到数量为 xi 的资源后可提供的收益，问如何分配资源 a ，可使总收益为最高？

nix

ax

xgf

i

n

ii

n

iii

,...,2,1,0

)(max

1

1

4、背包问题 有一个徒步旅行者，其可携带物品重量的限度为 A 公斤，设有 n 种物品可供他选择装入包中。已知每种物品的重量及使用价值（作用），问此人应如何选择携带的物品，才能使所起作用（使用价值）最大？

物品 1 2 … j … n

重量（公斤 /件）

a1 a2 … aj … an

每件使用价值 c1 c2 … cj … cn

)..2.1( 10

max

1

1

njx

Axa

xcZ

j

n

jjj

n

jjj

或

否则

件物品当携带第令

0

1 jx j

件物品的情况携带第

表示旅行者设决策变量

j

x j

动态规划的基本概念（ 1）阶段（ stage） 阶段变量 i 、阶段数 n（ 2）状态（ State） 状态变量 si 、可达状态集合 Si

最短路问题中，各个阶段结点就是状态机器负荷分配问题中，各阶段的完好机器数是状态物资分配问题中，分配给前 i 个项目的物资量是状态

（ 3）决策（ decision） 决策变量 xi(si) 、允许决策集合 Di

(si) 机器负荷分配问题中，分配高（低）负荷下的机器数最短路问题中，走哪条路物资分配问题中，分配给每个项目的物资量

（ 4）策略（ Policy）各阶段的决策组成的一个决策序列称为一个策略，记为：

nxxxp ,,, 21

从阶段 i开始的过程，称为 i 子过程，它包含阶段 i ，阶段 i+1 ，…，阶段 n 。 i 子过程的决策序列称为 i 子策略，记为 1,,2,1,,, 1 nixxxp niii

（ 5）状态转移方程 由某一阶段的一个状态到下一阶段的另一状态的演变称为状态转移。描述状态转移规律的方程称为状态转移方程。记为 si+1 = gi (si , xi) ， gi 称为状态转移函数。6.阶段指标、指标函数、最优指标函数

阶段指标 ( 阶段收益 ) ，衡量每一阶段决策优劣的数量指标。

动态规划的基本方程

逆序解法： 1,,1,)(),()( 1

*1

* nnisfxsvoptsf iiiix

iii

fn+1 ( sn+1 ) = 0

nisfxsvoptsf iiiix

iii

,,2,1)(),()( 1*

1*

f0 ( s0 ) = 0

顺序解法：

动态规划的求解步骤（ 1 ）确定问题的阶段 ;（ 2 ）确定状态变量

用 Si 表示第 i 阶段的状态变量及其值（ 3）确定决策变量

用 xi 表示第 i 阶段的决策变量，并以 xi* 表示该阶

段的最优决策（ 4）正确写出状态转移方程

si-1= g(si, xi) 逆序求解 si+1= g(si, xi) 顺序求解

（ 5）正确写出指标函数和递推关系式（ 6）用正向递推算法或逆向递推算法求出每阶段的最优指标值及相应的最优策略 。最后求得全过程的最优策略。

例 8-6 、从A 地到 E 地要铺设一条煤气管道 ,其中需经过三级中间站，两点之间的连线上的数字表示距离，如图所示。问应该选择什么路线，使总距离最短？

用动态规划求解最短路径问题用动态规划求解最短路径问题

A B2

B1

B3

C1

C3

D1

D2

E5

214

112

6

10

10

4

3

1211

13

9

6

5

8

10

5

21

C2

解：整个计算过程分四个阶段，从最后一个阶段开始。

第四阶段（ D →E）： D 有两条路线到终点 E 。 显然有

A B2

B1

B3

C1

C3

D1

D2

E5

214

112

6

10

10

4

3

1211

13

9

6

5

8

10

5

21

C2

2)(;5)( 2414 DfDf

首先考虑经过 的两条路线第三阶段（ C →D）： C 到 D 有 6 条路线。

( 最短路线为 )

A B2

B1

B3

C1

C3

D1

D2

E5

214

12

6

10

10

4

3

1211

13

9

6

5

8

10

5

21

C2

829

53min

)(),(

)(),(min)(

2421

141113

DfDCd

DfDCdCf

EDC 11

1C

A B2

B1

B3

C1

C3

D1

D2

E5

214

12

6

10

10

4

3

1211

13

9

6

5

8

10

5

21

C2

725

56min

)(),(

)(),(min)(

2422

141223

DfDCd

DfDCdCf

( 最短路线为 )EDC 22

考虑经过 的两条路线2C

A B2

B1

B3

C1

C3

D1

D2

E5

214

12

6

10

10

4

3

1211

13

9

6

5

8

10

5

21

C2

12210

58min

)(),(

)(),(min)(

2423

141333

DfDCd

DfDCdCf

( 最短路线为 )EDC 23

考虑经过 的两条路线3C

A B2

B1

B3

C1

C3

D1

D2

E5

214

12

6

10

10

4

3

1211

13

9

6

5

8

10

5

21

C2

20

1210

714

812

min

)(),(

)(),(

)(),(

min)(

3331

2321

1311

12

CfCBd

CfCBd

CfCBd

Bf

( 最短路线为 )EDCB 111

第二阶段（ B →C）： B 到 C 有 9 条路线。首先考虑经过 的 3条路线1B

A B2

B1

B3

C1

C3

D1

D2

E5

214

12

6

10

10

4

3

1211

13

9

6

5

8

10

5

21

C2

14

124

710

86

min

)(),(

)(),(

)(),(

min)(

3432

2422

1412

22

CfCBd

CfCBd

CfCBd

Bf

( 最短路线为 )EDCB 112

考虑经过 的 3条路线2B

A B2

B1

B3

C1

C3

D1

D2

E5

214

12

6

10

10

4

3

1211

13

9

6

5

8

10

5

21

C2

19

1211

712

813

min

)(),(

)(),(

)(),(

min)(

3333

2323

1313

32

CfCBd

CfCBd

CfCBd

Bf

( 最短路线为 )EDCB 223

考虑经过 的 3条路线3B

A B2

B1

B3

C1

C3

D1

D2

E5

214

12

6

10

10

4

3

1211

13

9

6

5

8

10

5

21

C2

19

191

145

202

min

)(),(

)(),(

)(),(

min)(

323

222

121

1

BfBAd

BfBAd

BfBAd

Af

( 最短路线为 )EDCBA 112

第一阶段（ A →B）： A 到 B 有 3 条路线。

（最短距离为 19）

用 Dijkstra 标号算法求最短路问题的实例略

自己在课下练习

二、起讫点重合的单一路线优化 起讫点重合的线路优化主要是指从某点出发访问一定数量顾客后

又回到原来出发点的线路优化问题。现实生活中存在着许多类似的问题，如配送车辆送货、邮递员送报、送奶工送牛奶、垃圾车辆收集垃圾等。

(一 ) 旅行售货员问题（ Traveling Salesman Problem）

1. 问题描述 某售货员要到若干城市去推销商品，已知各城市之间的路程 (或旅费 )。他要选定一条从驻地出发，经过每个城市一次，最后回到驻地的路线，使总的路程 (或总旅费 )最小。

TSP 也可用网络图或矩阵描述：

C

B

D

A

18

38

27

31

45

22

TSP 的网络图和矩阵表示

0382745

3801831

2718022

4531220

ijC

2. 数学模型 TSP除了可以用文字叙述和网络图来描述以外，还可以使用模型化的形式来表达，即用整数规划模型来表达。

。，并将决策变量取作

），的距离（费用、时间等到为由城市记

njix

jid

ij

ij

,...,2,1,

否则

到城市由城市0

1 jixij

10

...1...

......

3

2

,...,2,11

,...,2,11

..

min

1

1

1 1

或，

，

，

ij

pijlij

lijlij

jiij

n

jij

n

iij

n

i

n

jijij

x

pljinxxx

ljixxx

jixx

ijnix

jinjx

ts

xdZ

上述 0-1 规划模型的约束条件的含义：

第一组约束表示：每个城市必去，且仅去一次；

第二组约束表示：每个城市必离，且仅离一次；

第三组约束表示：不允许有两个城市间的循环；

以下诸式含义与此类同。

第四组约束表示：不允许有三个城市间的循环；

3. 求解方法 TSP 是一个典型的 NP—Hard 问题，对于大规模的线路优化问题，无法获得最优解，只有通过启发式算法获得近优解。

下面介绍两种比较简单的启发式算法：（ 1）贪婪算法（最近邻点法）

Step1:首先选择离出发点最近的点；

Step2: 再从剩下的点中选距离已选择的点最近的点；

Step3:如果所有的点都被选了，则停止；否则返回 Step2 。

C

B

D

A

18

38

27

31

45

22

例 8-7 在下图中，从配送中心 A出发，送货到 B、 C、 D三个客户需求站。任意两点间的距离已知（如图中所示），求最佳配送路径。

最佳配送路线为： A——B——C——D——A

总路程 = 22+18+38+45 = 123

最近邻点法极为直观与简单，但结果的满意度往往较差。

（（ 22）最近插值法（）最近插值法（ Nearest InsertionNearest Insertion ）） 最近插值法是最近插值法是 RosenkrantzRosenkrantz 和和 StearnsStearns 等人在等人在 19771977 年提年提出的一种用于解决出的一种用于解决 TSPTSP 问题的算法，它比上面的最近问题的算法，它比上面的最近邻点法复杂，但是可以得到相对比较满意的解。邻点法复杂，但是可以得到相对比较满意的解。

最近插值法的步骤：最近插值法的步骤：Step1. 找到距离起点最近的节点，形成一个子回路。

Step2. 在剩下的节点中，寻找一个距离回路中某一节点最近的节点 。

Step3. 在子回路中找到一条边 (i, ， j) ，使得 最小，然后将节点 插入到节点 ， 之间，用两条边 (i ， k) 、 (k ， j)代替原来的边 (i ， j) 。Step4. 重复 Step2 和 Step3 ，直到所有的节点都加入子回路中。

ijkjik ccc kv

kv iv jv

用最近插值法求解例 8-7，并分析所得解的满意性。

练习——求解下列权系数矩阵所表示的练习——求解下列权系数矩阵所表示的 TSPTSP

061281615

6047157

124014208

8714056

1615205010

15786100

6

5

4

3

2

1

v

v

v

v

v

v

Cij

1v

2v3v

4v

5v 6v

654321 vvvvvv

解法 1 —— 最近邻点法

061281615

6047157

124014208

8714056

1615205010

15786100

6

5

4

3

2

1

v

v

v

v

v

v

Cij

654321 vvvvvv

1v 3v 2v 5v 4v 6v 1v

总路程 = 6+5+15+4+12+15 = 57

解法 2 —— 最近插值法

1v

3v2v

4v

5v

6v

总路程 = 10+5+8+6+4+8 = 41

1456321 vvvvvvv 路线：

案例：“最佳灾情巡视路线” 今年 (1998 年 )夏天某县遭受水灾。为考察灾情、组织自救，县领导决定，带领有关部门负责人到全县各乡（镇）、村巡视。巡视路线指从县政府所在地出发，走遍各乡（镇）、村，又回到县政府所在地的路线。

1 ）若分三组（路）巡视，试设计总路程最短且各组尽可能均衡的巡视路线。

2 ）假定巡视人员在各乡（镇）停留时间 T=2 小时，在各村停留时间 t=1 小时，汽车行驶速度 V=35 公里 / 小时。要在 24 小时内完成巡视，至少应分几组；给出这种分组下最佳的巡视路线。

公路边的数字为该路段的公里数

问题分析：

本题给出了某县的公路网络图，要求的是在不同的条件下，灾情巡视的最佳分组方案和路线。 将每个乡（镇）或村看作一个图的顶点，各乡镇、村之间的公路看作此图对应顶点间的边，各条

再回到点 O ，使得总权（路程或时间）最小。

公路的长度（或行驶时间）看作对应边上的权，所给公路网就转化为加权网络图，问题就转化图论中一类称之为旅行售货员问题，即在给定的加权网络图中寻找从给定点 O出发，行遍所有顶点至少一次

　 如第一问是三个旅行售货员问题，第二问是四个旅行售货员问题。

本题是旅行售货员问题的延伸－多旅行售货员问题。

本题所求的分组巡视的最佳路线，也就是 m条经过同一点并覆盖所有其他顶点又使边权之和达到最小的回路。

( 二 )中国邮递员问题（Chinese Postman Problem）

中国邮递员问题 (CPP) 是由中国著名运筹学家管梅谷教授于 1962年首先提出并作了深入研究，其成果得到国际、国内运筹学界极高的赞誉，所以被称为“中国邮递员问题”或“中国邮路问题”。1. 问题描述

CPP 可以这样叙述：一名邮递员负责投递某个辖区的邮件。他从邮局出发，经过投递辖区内每条街道至少一次，最后返回邮局，问：如何安排一条最短的投递路线？

用图论的语言可描述为：给定一个连通图 G ，每条边都有一个非负权数。现要求一个圈 C 经 G 的每边至少一次，且使 C 的权和最小。

2. CPP 求解的基本思路

该问题涉及到一些图论的基本概念：顶点的度（次）、奇点、偶点、链、圈、欧拉圈、欧拉图等

为了理解 CPP 求解方法的思路，需要回顾一下欧拉（ Euler）解决“哥尼斯堡七桥”问题的方法：一笔画问题。

CPP 求解基本思路：

如果在邮递员负责的辖区里，街道图中没有奇顶点，则存在欧拉圈。邮递员从邮局出发，经过每条街道一次，且仅一次，最后回到邮局。此时的投递路线最短，即最佳投递路线。如果街道图中有奇顶点，就必须在某些街道上重复走一次或多次。重复的街道必与奇顶点相连。

33. . 求解方法——奇偶点图上作业法求解方法——奇偶点图上作业法

第一步：第一步：把图把图 G G 的奇顶点两两配对，并将每对奇顶点间的通路上的各边的奇顶点两两配对，并将每对奇顶点间的通路上的各边作为重复边添加到图作为重复边添加到图 G G 上，得到的新图全部顶点都是偶顶点。上，得到的新图全部顶点都是偶顶点。

第二步：第二步：如果某边上的重复边多于一条，则可从中删去偶数条，使每边如果某边上的重复边多于一条，则可从中删去偶数条，使每边的重复边最多只有一条。的重复边最多只有一条。

第三步：第三步：检查图检查图 G G 中的每个圈：若所有圈的重复边的总长度都不大于该中的每个圈：若所有圈的重复边的总长度都不大于该圈长度的一半时，则得到最优方案。否则，若有一个圈，该圈的重复边圈长度的一半时，则得到最优方案。否则，若有一个圈，该圈的重复边的总长度大于该圈长度的一半，就将该圈的原有重复边删去，给该圈原的总长度大于该圈长度的一半，就将该圈的原有重复边删去，给该圈原来没有重复边的各边都加上一条重复边。重复这个过程，直到没有这种来没有重复边的各边都加上一条重复边。重复这个过程，直到没有这种圈为止。圈为止。

我们将邮递员管辖的街道图视为无向图我们将邮递员管辖的街道图视为无向图 GG = = （（ VV ，， EE），），若若 GG没有奇顶点，则没有奇顶点，则 G G 是一个欧拉图，是一个欧拉图， GG 含的欧拉圈即为所求。若含的欧拉圈即为所求。若图中有奇点，则按下述步骤求解：图中有奇点，则按下述步骤求解：

V1

V2

V3 V4 V5

V6

V7 V8

V9

4

4

4

4

5

5

3 3

2

6

3

9

4

求解下图所示网络的中国邮路问题求解下图所示网络的中国邮路问题

（ 1）确定初始方案

（ 2）判断方案的最优性

（ 3）调整可行方案

（ 4）继续调整方案

奇偶点图上作业法在实际运用中已作出许多贡献。它不仅可以提高邮递员的工作效率，而且对于街道清扫路线、纺织工看车路线、仓库员巡视货物路线等类似问题的研究，都有实际意义。

第四节 多车辆配送路线的优化第四节 多车辆配送路线的优化 多车辆路径问题多车辆路径问题（（ Vehicle Routing ProblemVehicle Routing Problem ））

VRP 最早是由 Dantzig 和 Ramser于 1959 年首次提出，它是指一定数量的客户，各自有不同数量的货物需求，配送中心向客户提供货物，由一个车队负责分送货物，组织适当的行车路线，目标是使得客户的需求得到满足，并能在一定的约束下，达到诸如路程最短、成本最小、耗费时间最少等目的。

由此定义不难看出，旅行商问题（ TSP）是 VRP 的特例。

VRP 的特点：

属于节点服务的网络组合最优化问题 除了场站（物流中心）节点外，其余节点恰由一辆车服务

一次 多车辆路线，且车辆具有容量限制 各车辆路线所服务的顾客需求总和不得超过车辆容量 求解复杂度属于 NP-hard ，大规模问题难以求得最优解，

实践中多采取“启发式方法 (Heuristics)” 求解

VRP 的求解方法

启发式方法 它是指通过经验法则来求运输过程满意解的方法。最具代表性的是：扫描法和节约法。

VRP 是组合优化领域著名的 NP难题之一，求解方法一般相当复杂，通常的做法是应用相关技术问题分解或者转化为一个或多个已经研究过的基本问题（如旅行商问题、指派问题、最短路问题等），再使用相对比较成熟的基本理论和方法进行求解。

1.扫描法

2

4

6

5

7

1

3

8

0

扫描法是一种先分群在寻找最佳路线的算法。其求解过程分为两步：

第一步是分派车辆服务的站点和客户点；

第二步是决定每辆车的行车路线。

（ 1）在地图或方格图中确定所有站点的位置。（ 2）自物流中心开始沿任一方向向外划一条直线。沿顺

时针或逆时针方向旋转该直线直到与某站点相交。考虑：如果在某线路上增加该站点，是否会超过车辆的载货能力？如果没有，继续旋转直线，直到与下一个站点相交。再次计算累计货运量是否超过车辆的运载能力（先使用最大的车辆）。如果超过，就剔除最后的那个站点，并确定路线。随后，从不包含在上一条路线中的站点开始，继续旋转直线以寻找新路线。继续该过程直到所有的站点都被安排到路线中。

（ 3）安排各路线上每个站点的顺序使行车距离最短。排序时可以使用求解“旅行推销员”问题的任何算法。

扫描法过程可阐述如下：

举例 某公司用厢式货车从货

主处取货，如图 (a) 是一天的取货量，单位是件。厢式货车的载货量是 10000件。完成所有取货任务需一天时间。问公司需要多少条运输路线（即多少部车），每条路线上应该经过哪些站点，每条路线上的站点怎样排序？

2000

20002000

2000

1000

2000

3000

1000

4000 2000

3000 3000

（ a）

2000

20002000

2000

1000

2000

3000

1000

4000 2000

3000 3000

3线路8000件

1线路10000件

2线路9000件

(b)扫描法设计行车路线

首先，向北画一条直线，进行逆时针方向“扫描”。这些都是随机决定的。逆时针旋转该直线，直到装载的货物能装上一辆载重 10000 件的卡车，同时又不超载。一旦所有的站点都分派有车辆，就可以利用求解“ TSP”的算法安排经过各站点的顺序，图 (b)是所列出的最终的路线设计。

2.2. 节约法（节约法（ Savings approachSavings approach ）） 该方法能同时确定车辆数及车辆经过各站点的顺序，是解决 VRP模型非常有效的启发式方法。

节约法的目标是使所有车辆的行驶总里程最短，并且为所有站点提供服务的卡车数量最少。该方法的基本思路是：先假设每一个站点都有一辆虚拟的车辆提供服务，随后返回仓库，如图 (a)所示，这时的路线里程最长。下一步，将两个站点合并到同一条行车路线上，减少一辆运输车，相应地缩短路线里程，选择节约距离最多的一对站点合并在一起，修订后的路线如图 (b)所示。

节约法示意图：

d0,A

dA,0

d0,B

dB,0

A

B

O仓库

a) 初始路线里程 = do,A+ dA,o+ do,B+ dB,o

dA,B

d0,A

dB,0

b) 两个站点合并后的路线里程 = do,A+ dA,B+ dB,o

ABOBAOAB ddd 节约的距离为

根据上述思路，不断地对可行运输方案中的回路进行合并，或将某个站点加入到现有回路中，并计算出相应的节约距离节约距离最多的站点就应该纳入现有回路。假如由于某些约束条件（如路线太长，无法满足时间窗口的要求，或超过车辆的承载能力），节约距离最多的站点不能并入该回路，就要考虑节约距离次多的站点。重复这一过程，直到完成所有站点的线路设计。

节约法的步骤

1. 建立初始解：每辆车只服务一个客户2. 计算合并任意两条车辆路线可以节约的距离3. 选择合并后不会超过车辆容量、且节约距离最多

的两条车辆路线进行合并4. 重复步骤 2~3 ，直到没有车辆路线可供合并为止。

节约法举例

2

1

3

0

5

56

6

4

4

4

节约距离 =5+6-4=7

8

节约距离 =6+4-8=2

节约距离 =5+4-10=-1

10

本章作业

P199 3. P200 4. 5. 6.