第六章 二次型

第一节 二次型及其矩阵表示2 2ax bxy cy d 二次曲线：

' '

' '

cos sin

sin cos

x x y

y x y

令

' '2 ' '2 'a x c y d 标准形式：

.一 二次型定义及其矩阵表示

定义：n元二次齐次多项式的一般形式为：

1 2 nf x x x , , , 2 2 211 1 12 2 1n na x a x a x

12 1 2 13 1 2 1 12 2 2 n na x x a x x a x x

23 2 3 24 2 4 2 22 2 2 n na x x a x x a x x

1 12 n n n na x x

1 2 nf x x x称 , , , 为二次型

,ij jia a令 ,ij i j ij i j ji j ia x x a x x a x x 则 2

1 2 nf x x x , , ,2

11 1 12 1 2 13 1 3 1 1n na x a x x a x x a x x 2

21 2 1 22 2 23 2 3 2 2n na x x a x a x x a x x

231 3 1 32 3 2 33 3 3 3n na x x a x x a x a x x

2

1 1 2 2 3 3n n n n n n nn na x x a x x a x x a x

11 12 1 1

21 22 2 21 2

1 2

n

nn

n n nn n

a a a x

a a a xx x x

a a a x

1 11 12 1

2 21 22 2

1 2

, ,

n

n

n n n nn

x a a a

x a a aX A

x a a a

令

1 2

11 12 1 1

21 22 2 21 2

1 2

n

n

nn

n n nn n

f x x x

a a a x

a a a xx x x

a a a x

则 , , ,

TX AX A 其中 为对称矩阵

f A 一一对应二次型 对称矩阵

A

f

A

f

A

f

二次型 的矩阵；对称矩

对称矩阵 称为二次型 称为对称矩阵

阵 的二次型；二次型 的秩称为 的秩

1 2 3 4

2 2 21 2 4 1 2 1 3 1 4 2 42 4 2 6 4

f x x x x

x x x x x x x x x x x

例如 二次型 , , ,

1

21 2 3 4

3

4

x

xx x x x

x

x

1

2

0

1

2 1 3

0 2

0

2

1 0

3 2 0

1 2 1 3

2 2 0 2

1 0 0 0

3 2 0 1

f A

该二次型 的矩阵为： =

1

1

1

2

3

4

2

3

1 2 1 3

0 2 2 8

0 2 1 3

0 6 3 8

r r

r r

r rA

2

2

3

3

4

4

3

3

r r

r r

r r

1 2 1 3

0 2 2 8

0 0 1 5

0 0 0 1

4,R A 4故该二次型的秩为

10 1 0

21 1 1

12 2 2

1 11 0

2 21 1

0 12 2

A

例如 对称矩阵 =

A 对称矩阵 的二次型为：

1 2 3 4, , ,f x x x x

1

21 2 3 4

3

4

, , ,

x

xx x x x A

x

x

2 22 4x x 1 2x x 1 32x x 2 3x x 2 4x x 3 4x x

.二 矩阵的合同

复习： 线性变换：1 11 1 12 2 1

2 21 1 22 2 2

1 1 2 2

n n

n n

n n n nn n

x c y c y c y

x c y c y c y

x c y c y c y

1 2 1 2, , , , , ,n ny y y x x x 由 到 的线性变换

1 1

2 2,

n n

x y

x yX Y

x y

令

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

n n nn

c c c

c c cC

c c c

X CY该线性变换可以写成：

X CY线性变换：

C若 为满秩矩阵，该线性变换称 满秩变换（非为 退化变换）

C若 为降秩矩阵，该线性变换 降秩变换（称为 退化变换）

T1 2 nf x x x X AX , , ,二次型 ， X = CY满秩变换：

T1 2 nf x x x X AX则： , , , T

CY A CY T TY C ACY

T ,B C AC 令 TT TB C AC 则 TT T TC A C TC AC B

T1 2 nf x x x Y BY , , , B其中 为对称矩阵

一个线性变换将二次型仍然变成二次型

2 21 2 3 1 2 1 2 2 32 4 4f x x x x x x x x x 例如：二次型 , ,

1 1 2

0 1 2

0 0 1

X Y

做满秩变换： 求 新的二次型

1

1 2 3 2

3

2 2 0

, , 2 1 2

0 2 0

x

f x x x x

x

解：二次型

T

2 2 0

2 1 2

0 2 0

X X

T1 1 2 2 2 0 1 1 2

0 1 2 2 1 2 0 1 2

0 0 1 0 2 0 0 0 1

Y Y

T

T

1 1 2 2 2 0 1 1 2

0 1 2 2 1 2 0 1 2

0 0 1 0 2 0 0 0 1

Y Y

1

1 2 3 2

3

2 0 0

, , 0 1 0

0 0 4

y

y y y y

y

2 2 21 2 32 4y y y

A B n , 为定义： 阶方阵， ,C若存在可逆方阵 TB C AC使得：

A B 和则称 合同， A B 合同于或称

合同的性质：

1 反身性：任一方阵与本身合同 TA= E AE

2 对称性：

A B合同于 TB C AC 1T 1A C BC T1 1C BC

B A 合同于

3 传递性： T1 1B C AC ， T

2 2C C BCT2 2 C C BC则 T T

2 1 1 2C C AC C T1 2 1 2C C AC C

A B ： 与定理 合同 A B 与 等价 R A R B =

说明：二次型经过满秩变换后，它的秩不变

TT T T Tf X X CY A CY Y C A YA BC Y Y

第二节 化二次型为标准型

等于2. 对角矩阵的秩 对角线上非零元素的个数

标准型中平方项的个数

A只含有平方项的二次型定义： 称为标准型

2 2 21 2 4 1 1 2 2, , , n nf x x x d x d x d x

标准型的一般形式为 :

1 1

2 21 2, , , n

n n

d x

d xx x x

d x

注： 1. 标准型的矩阵为对角矩阵

说明：二次型的标准型中平方项的个数等于它的秩

2 2 2 21 2 3 4 1 2 3 4, , , 5 3 7f x x x x x x x x 例如：

1

21 2 3 4

3

4

1

5, , ,

3

7

x

xx x x x

x

x

为标准型

1 1

2 2

3 3

4 4

2

1

4

5

x y

x y

x y

x y

令 2 2 2 21 2 3 44 48 175f y y y y 则

仍为标准型

说明：标准型不唯一

问题：如何通过线性变换，将二次型变为标准型？

.一 正交变换法

T1 2, , , ,

,

nf x x x X AX

X CY

定理：对于二次型

总有正交变换2 2 2

1 1 2 2 n nf f y y y 使 化为标准型：

,X PY f 问题：如何寻找正交变换 将 化为标准型？

,X CY f 正交变换 能将 化为标准型若 ，

TT T Tf X AX CY A CY Y C AC Y 则 为标准型，TC AC：即 为对角矩阵

f C

A

将 化为标准型，就是寻找 ,

将对称矩阵 化为此：因

对角矩阵P176 1 例

.二 配方法2 2 21 1 2 2 2 3 32 2 4 4f x x x x x x x 例 将二次型 化为标准型

2 2 21 2 2 2 3 34 4f x x x x x x 解：

22

1 2 2 32x x x x

1 1 2

2 2 32

y x x

y x x

令

3 3y x

1 1

2 2

3 3

1 1 0

0 1 2

0 0 1

y x

y x

y x

即

1 1

2 2

3 3

1 1 2

0 1 2

0 0 1

x y

x y

x y

则所求的满秩变换：

2 21 2f y y 将原二次型化为标准型：

1 2 2 3 1 32 6 2f x x x x x x 例 将二次型 化为标准型

1 1 2 1 1

2 1 2 2 2

3 33 3

1 1 0

, 1 1 0

0 0 1

x y y x y

x y y x y

x yx y

解：令 即

代入二次型，得：

1 2 1 2 1 2 3 1 2 36 2f = y y y y y y y y y y 22 21 2 1 3 2 32 4 8y y y y y y 2

2 2 21 3 2 2 3 32 2 8 2y y y y y y

2 2 21 3 2 3 32 2 2 6y y y y y

1 1 3 1 1

2 2 3 2 2

3 33 3

1 0 1

2 , 0 1 2

0 0 1

w y y w y

w y y w y

w yw y

令 即

1

1 1

2 2

3 3

1 0 1

0 1 2

0 0 1

y w

y w

y w

则

1 1

2 2

3 3

1 1 0

1 1 0

0 0 1

x y

x y

x y

则

1

1

2

3

1 1 0 1 0 1

1 1 0 0 1 2

0 0 1 0 0 1

w

w

w

1

2

3

1 1 3

1 1 0

0 0 1

w

w

w

二次型化为标准型：2 2 21 2 32 2 6f w w w

.三 初等变换法Tf X AX二次型 X CY T Tf Y C AC Y标准型

A 初等变换 TC AC对角矩阵

C 为满秩矩阵， 1 2 ,s iC PP P P = 其中 为初等矩阵T T T T

2 1 1 2s sC C P P P PP PA A 则

将二次型化为标准型的初等变换法：

1 An n

E

构造 2 矩阵 ， A对 每实施一次初等行变换，

A

E

就对 实施一次同种的初等列变换

2 A E C 当 化为对角阵时， 将化为满秩矩阵

• P180- 例 4

第三节 惯性定理和二次型的正定性.一 惯性定理和规范形

Tf = X AX r 实二次型理 的秩为定 ： ，有两个实满秩变换：

,X CY X PZ 都将该二次型化为标准形：2 2 2 2 2 2

1 1 2 2 1 1 2 2p p p p p p r rf k y k y k y k y k y k y

2 2 2 2 2 21 1 2 2 1 1 2 2q q q q q q r rf z z z z z z 及

0, 0, 1,2,i ik i r 其中

p q 惯性定理p称为该二次型的正惯性指数

r p 称为该二次型的负惯性指数

Tf X AX 二次型

X CY T T Tf Y C AC Y Y Y 标准形

2 2 2 2 2 21 1 2 2 1 1 2 2p p p p p p r rk y k y k y k y k y k y

再次进行满秩变换，令：

11 1

1 1

1

1

1

1

r r

rr r

n n

ky w

y wky w

y w

2 2 2 2 2 21 2 1 2p p p rf w w w w w w 则

1

21 2

1

1

1

, , ,

1

0

0

n

n

w

ww w w

w

1

21 2, , , n

n

w

ww w w

w

f 称之为二次型 的规范形

A 称之为矩阵 的合同规范形

A B 定理：实对称矩阵 与 合同 A B 与 有相同的规范形

二. 二次型的正定性

T1 2, , , nf X f x x x X AX 定义：实二次型 ，

, 0,X O f X f 若 有 正 则称 为 定二次型

0AA 正定并称矩阵 为 记作的，

, 0,X O f X f 若 有 负 则称 为 定二次型0AA 负定并称矩阵 为 记作 的，

2 2 2 21 2 3 4 1 2 3 4, , , 5 2 4 f x x x x x x x x 例如 为正定二次型

2 2 2 21 2 3 4 1 2 3 4, , , 5 2 4 f x x x x x x x x 为负定二次型

2 2 2 21 2 3 4 1 2 3 4, , , 5 2 4 f x x x x x x x x 既不是正定，也不是负定

2 2 21 2 3 4 1 2 3, , , 5 2 f x x x x x x x 既不是正定，也不是负定

定理：非退化线性变换保持二次型的正定性不变 T ,f X AX X CY 即： 为正定二次型， 非退化

T T Tf Y C AC Y Y BY 则， 仍旧为正定

0, 0C 证明： 有Tf X AX 又 为正定， T

f C A C

T T Tf C AC B 即

定理：下列命题等价

T1 f X AX 为正定二次型

2 A n 的 个特征值全为正

3 f n 的标准形的 个系数全为正

4 f n 的惯性指数为

5 A E 与单位矩阵 合同

T6 ,P A P P 存在可逆阵 使