به نام آنکه علم را آفرید

اول ترم آقایی دکتر نظر 87-88زیر

کاشانی جمشید الد"ین غیاث

: آورندگان گردصد"یقین سمیرا

ترکیان فائزهرضایی سارا

افروز ره مریم

و ماهر محاسبی و قدر عالی ریاضیدان کاشانی جمشید الدین غیاثمنجمی

می حق به و بود رصد دقیق آالت مخترع و توانا مؤلفی و دست زبرتوان

. مهمترین از دانست اسالمی ی دوره ریاضیدانان ترین برجسته از را او محیطیه ی ،رساله الحساب مفتاح خاقانی، زیج به توان می وی تألیفات

و “ “ . برای را المناطق طبق آلت وی کرد اشاره جیب و وتر ی رساله

عروض . “ نوشت ” آن شرح در را الحقایق Mنزهه کتاب و کرد اختراع کواکب

ی نامه زندگی خالصهکاشانی

کسرهای اختراع او ریاضی شاهکارهای جمله ازاعشاری

.آن قطر به دایره محیط نسبت یعنی پی عدد وی استبا را

تا که ماند 150دقتی رقیب بی دنیا در وی از بعد سال . تکراری روش با را درجه یک ی زاویه جیب کرد حساب جالب بسیار وجه به سوم درجه ی معادله نوعی حل

توجهی . آورد دست به نداشت سابقه وی زمان تا که

: کند می توجه جلب زیر تعاریف الحساب مفتاح مقدمه در.I می بکار شمردن در عدد و است عدد حساب علم موضوع

و شود می تألیف آن از آنچه و واحد بر است مشتمل و آیدآن نشود مضاف دیگر عدد به اگر یعنی ذاتی کمیت اعتبار به

. , , به و وغیره پانزده دو یک مانند نامند می صحیح راآن شود مضاف دیگر عدد به اگر یعنی اضافی اعتبارکمیت

. خوانند می مخرج را الیه منسوب عدد و گویند می کسر را ) ( از سه و است نصف آن االثنین من کالواحد دو از یک مانند

. ) است ) پنجم سه آن و الخمسه من کالثالثه پنج.II مفرد .عدد شود واقع مرتبه یک در فقط که است عددی

صفر) چند یا یک احیانا و گانه نه ارقام از یکی از یعنی ) مانند گردد .1,2,20,90,30000تشکیل

مفتاح ی مقدمه به نگاهیالحساب

.III مجرد مجرد, عدد عدد شود واقع که ای مرتبه هر در واحدمانند شود می قوای ) 1,10,1000نامیده از یکی یعنی

عدد (.10صحیح

.IV مرکب واقع عدد بیشتر یا مرتبه دو در که است عددیمانند .11,133شود

.V الزوج تا زوج کرد نصف آنقدر را آن بتوان که است عددیمانند رسید یک عدد) 8,16به صحیح قوای از یکی (.2یعنی

.VI الفرد و الزوج ولی زوج نباشد الزوج زوج که است عددیمانند کرد نصف را آن بتوان بار یک از یعنی) 12,20بیش

عدد ازقوای یکی در فرد عدد یک ضرب (.2حاصل

.VII الفرد نصف زوج را آن بتوان بار یک فقط که است عددیمانند در ) 10,30کرد فرد عدد یک ضرب حاصل (.2یعنی

ی • گانه نه عقود برای هند حکمای که گوید می کاشانی اول باب آغاز درصورت • این به اند کرده وضع رقم نه و 1,2,3,4,5,6,7,8,9معروف• “: از است عبارت مراتب گوید می و کند می تعریف را مراتب سپسرا • اول موضع و سطر یک روی چپ به راست از متوالی ارقام مواضع• “... بعد و گویند دهگان ی مرتبه را آن چپ سمت موضع و یکان ی مرتبه

“: ی مرتبه در اگر گانه نه صورتهای از صورتی هر که بدان و نویسد می دوم ی مرتبه در واگر است نه تا یک اعداد از یکی عالمت شود واقع اول از اند عبارت که است عشرات ی گانه نه عقود از یکی عالمت شود واقع10,20,...,90 نه عقود از یکی عالمت شود واقع سوم ی مرتبه در اگر و“. قیاس همین به و است مات ی گانه

مقاله از ودوم اول بابهای به نگاهیالحساب مفتاح اول ی

بعد اما برد نمی نام عدد یا رقم عنوان به صفر از باب این در کاشانیاز

“: واجب نباشد عدد آن در که ای مرتبه هر و نویسد می مراتب تعریفاست

در خللی آنکه تا دهیم قرار کوچک ی دایره شکل به صفری آن در که “ ضمن در مفتاح اول ی مقاله دوم باب در نیز و نگردد حاصل مراتب

شرح “ ” عدد خواهد می وقتی تنصیف می 4000527عمل کند نصف را“:شود 4گوید می کنیم می نصف زیر 2را را آن و 4و دهیم می قرار “... در پس دهیم می قرار صفر یک آن زیر ندارد نصف صفر چون

اینجا صفر صفر نصف که گوید نمی و شمرد نمی عدد را صفر کاشانی هم .است

از که هنگامی مفتاح اول ی مقاله سوم باب در حال این با اماکردن ضرب

“: آن در که ای مرتبه هر گوید می کند می گفتگو هم در عدد دوواقع صفر

...زیرا، دهیم می قرار صفری آن نظیر fجزِء ضرب حاصل در باشدحاصل

“ موضع این در کاشانی پس است صفر دیگر عدد هر در صفر ضربصفر

h بعدا چنانکه که است آن مهمتر هم این از شمردو می عدد رادید خواهیم

یک معنی آن به و برده کار به قوه ی نماینده عنوان به را صفر ویعدد

. است داده واقعی

”دو آن از یکی امثال یافتن از عبارت صحیح عدد دو کردن ضرب“ دیگر عدد آحاد ی عده به است عدد “:که است عددی آوردن دست به عدد دو کردن ضرب به دیگری نسبت با باشد مساوی عدد دو آن از یکی به آن نسبت

واحد.

برای و کند می ذکر ضرب عمل برای قاعده چند کاشانی سپس. آورد می مثالی کدام هر

اول ی مقاله سوم باب به نگاهیالحساب مفتاح

از کاشانی تعریف: صحیح عددهای ضرب

عمل جامع تعریفضرب:

عدد کردن ضرب رقمی 547800برای یک عدد 4درحاصلضربهای

یعنی را 20=4 5 , 16= 4 4 , 28= 4 7, 32= 8 4جزِء هر که نویسد می سطر دو در زیر جدول با مطابق طوری

ارقام از یک عدد در خود ی مرتبه هم رقم محاذات به قرار 5478آنها

از پس و گیرد جمع حاصل مقابل در را صفرها ، حاصل اعداد کردن جمع

می فرود.آورد

:1مثال

چهار 547800ضرب

در:

سطر 1632عمل

2028

2191200

یک عدد یک توان می که کند نمی اشاره مطلب این به اینجا در کاشانی از است متداول امروزه که همانگونه رقمی چند عدد یک در را رقمی. نوشت را ونتیجه کرد ضرب چپ به راست یقین توان کند،می نمی تشریح مبتدیان برای را روش این وی اینکه با ا ام" . دید خواهیم h بعدا زیرا است بسته می بکار را طریقه این او خود که داشت یک در رقمی یک عدد یک کردن ضرب برای را روش همین کاشانی که بر وعالوه برد، می کار به تقسیم عمل دادن انجام موقع در رقمی چند عدد را آن و کند می توصیه را روش همین شصتگانی شمار دستگاه در این. داند می ای ساده راه نیستند مبتدی که کسانی برای

رقمی چند عدد دو ضرب ی قاعده بیان به کاشانی سپسو پردازد می

ضرب 175 7806حاصلضرب ی شبکه ی وسیله به راشکل با مطابق

. آورد می دست به زیر

1

7

5

7806

7 8 0 6

4

9

5

6 0

4

2

35

4 0 0 0

3

1 3 6 6 0 0 5

! ” ” به گرفته خود پیشینیان از که را ضرب ی شبکه کاشانی ” ” نامیده ب مور" ی شبکه را آن و آورده در بهتری صورت

ضرب حاصل و است!624 358 : است کرده حساب زیر مطابق را

8

3

6

2

4

2 2 3 3 9 2

51 2

6 2

1 0

0 1

4 8

0

32

6

8

3

1

حاصلضرب با کاشانی به 2783 456الخره زیر شکل با مطابق را : یعنی جزِء های حاصلضرب ل مثا این در آورد می و 6 2783دست

است 4 2783و 5 2783 شده .نوشته

3 8 7 2

6 5 4

8 1 24

8 4 2 1

5 1 53

0 40 1

2 1 8 2

2 3 8

6 21 9 0 4 8

عبارت صحیح عددهای مورد دری عده که متساوی اجزای به مقسوم ی تجزیه از است

این از یک هر باشد، علیه مقسوم آحاد با مساوی آنها. گویند قسمت خارج را اجزا

که است عددی آوردن بدست

مقسوم به مقسوم نسبت با مساوی واحد به آن نسبتآن نسبت که است عددی آوردن دست به یا و باشد علیه. باشد علیه مقسوم به واحد نسبت با مساوی مقسوم به

مفتاح اول ی مقاله چهارم باب به نگاهیالحساب

عمل جامع تعریفتقسیم :

از کاشانی تعریفتقسیم :

6 2 1 4 7 2 2

0 6 2 2

1

0 0 0

2 1 4 1

0 3 1 1

5 2 8 2 1

5 6 5

5 6 5

5 6 5 5 6 5

مقسوم جزِء مقسوم نخستین

×) علیه) 4مقسوم

جزِء مقسوم دومین= جزِء ی باقیمانده 14نخستین

×) علیه) 0مقسوم

جزِء مقسوم سومین = جزِء ی باقیمانده 141دومین

×) علیه) 2مقسوم

جزِء مقسوم آخرینباقیمانده آخرین

جزِء = ی باقیمانده 282سومین

علیه مقسوم وضع آخرین

علیه مقسوم وضع سومین

علیه مقسوم وضع دومین

مقسوم وضع اولینعلیه

5 24 0

1 4

قسمت کنیم خارج می رسم آن باالی در افقی خطی و نویسیم می را مقسوم. سازیم می جدا هم از قائم خطهای ی بوسیله را آن ارقام و ،بود کوچکتر مقسوم چپ سمت رقم از علیه مقسوم چپ سمت رقم اگر

می قسمی به مناسب ای فاصله به مقسوم پایین در را علیه مقسومگیرند،و قرار مقسوم چپ سمت ارقام محاذات به آن ارقام که نویسیم

عدد ) درتقسیم مثالً صورت این غیر را ( 565بر 2274126در علیه مقسومبه آن ارقام که نویسیم می طوری مناسب ی فاصله با و مقسوم پایین درآن چپ سمت رقم آخرین استثنای به مقسوم چپ سمت ارقام محاذات

) ( ، جدول در علیه مقسوم وضع نخستین گیرد قرار ( یعنی قسمت خارج چپ سمت رقم اولین قاعده( ) 4سپس با مطابق را

به ( مرسوم افقی خط باالی جدول خارج در را آن و یابیم می کنونی یرقم ) علیه مقسوم راست سمت رقم نویسیم ( 4محاذات می مقسوم در

( یعنی علیه مقسوم در را آن یعنی( ) 565و حاصل و از( 2260ضرب رااز ) یعنی دارد قرار علیه مقسوم محاذات به که مقسوم از ( 2274قسمتی

یعنی ) باقیمانده و کنیم می است( 14کم جزِء ی باقیمانده نخستین که را . نویسیم می

می رسم افقی خطی علیه مقسوم وضع نخستین باالی در سپسدهیم می انتقال راست طرف به رقم یک را علیه مقسوم و کنیم

. نویسیم می علیه مقسوم قبلی وضع باالی در و ( یعنی مقسوم بعدی رقم که کنیم فرض سمت( 1اگر در را

( یعنی جزِء ی باقیمانده اولین آورده( 14راست فرود ( یعنی جزِء مقسوم ،دومین دومین( 141باشیم محاذات به درست

گیرد . می قرار علیه مقسوم وضع ) پیدا ) را صفر یعنی قسمت خارج چپ سمت رقم دومین سپس

یعنی ) قسمت خارج قبلی رقم راست سمت در را آن و کنیم می4 . دهیم( می ادامه جدول با مطابق را عمل و نویسیم می

طوری مقسوم راست سمت در را علیه مقسوم امروزه مادر گیرد قرار سطر یک روی مقسوم با که نویسیم می

سمت به رقم یک را علیه مقسوم بار هر کاشانی صورتیکههای مقسوم از هریک که قسمی به دهد می انتقال راستجزِء تقسیم همان در علیه مقسوم محاذات به درست جزِء

. گیرد می قرار

کاشانی تقسیم روش تفاوتکنونی : روش با

o در کاشانی بعدی محاسبات ی همه اساس زیرکه ی قضیه اثباتاست : آمده اینجا در است مذکور ی رساله

o :قضیهo قطر به ی نیمدایره روی مرکز AB=2rاگر به قوس Oو

قوس AGدلخواه وسط و بگیریم نظر در مکمل GBرا که رای AGقوس نقطه و Dاست ی ADبنامیم رابطه کنیم رسم را

است برقرار زیر

oAG) AD ^2 r(2r

ی رساله مطالب ی خالصهکنونی اصطالحات با محیطیه

ArO B

G

D

وتر طول و دایره شعاع اگر که است گرفته نتیجه AGوی نقطه و قوس Dمعلوم وتر BGوسط توان می باشد

AD. کرد حساب را

قوس ی اندازه رادیان AGاگر حسب بر و 2را بنامیم: داشت خواهیم بگیریم واحد را دایره شعاع

AG=2 Sin

G

D

Br

O

A

AD=2Sin ½(2 + -2 / 2) =2Sin( /4+ /2)

: آید می در زیر بصورت ی رابطه و

( 2 + / 4 ) / 2^Sin 4= Sin 2 + 2

آنجا از و

( Sin + 1 = )Sin ( /4+ /2)

2

به ای دایره دوم فصل در قطر AB=2r. گیرد می نظر در را قوسAG با مساوی درجه 60را. کند می اختیار قوس ی BGوسط نقطه قوس Dرا وسط نقطه BDو را

قوس Zی وسط ی BZو نقطه .Hرا نامد میوتر توان می شد ثابت که ای قضیه از استفاده با گوید می او

AD روی از وتر AGرا روی AZو از وتر ADرا از AHو راادامه AZروی باشد الزم جا هر تا را عمل و کرد حسابداد..

A

GD

Z

H

B

C0 C1 C2

C3

محاسبه روش کاشانی کنونی عالئم و اصطالحات با واقع در: است کرده بیان را زیر قوسهای روبروی های وتر ی

AG=a =60

AD=a1=180-60=120

AZ=a2=180-60/2=150

AH=a3=180-60/(2^2)=165

)**( کلی طور به و 180 - 60 = a

قوس روبروی وتر از C را aاگر یک هر ی محاسبه بنامیمهای آن Cوتر قبل ما وتر روی ی C از قضیه ی وسیله به

گیرد . می انجام مذکور ( r( 2r+C = ( C)

آنجا از C = r(2r+C )و )*(

n

n2

n

n

nn

n n2

n n

وتر شکل روی Cnرا AMاکنونوتر و کنیم می anرا BMفرض

. آنکه از پس نامیم دستور Cnمی ازرویمثلث)*( چون شد حساب

AMB توان می است الزاویه قائم an یعنیBM . کرد حساب را

2 Cn)^)- 2^(r an= (2

ام"اan ضلع با مساوی منتظم 3 2درست ضلعی: داریم )**( تساوی گرفتن نظر در با زیرا است محاطی

A

N

M

B

Cn-1

Cn an

n

MB=180-AM=180-(180- 60 )= 60 = 360

قوس با /MBپس وتر 1مساوی و دایره MBمحیطبا مساوی

. است محاطی منتظم ضلعی ضلع

: پس دلخواه مقدار هر ازای ( nبه توان ) می مثبت و صحیح

an. کرد حساب را محاطی ضلعی ضلع یعنی

2 2 23nnn 11

3 2n

3n

2

3 2n

کاشانی محیطی منتظم ضلعی ضلع ی محاسبه برای: است کرده عمل گونه این

BM منتظم ضلعی ضلع. است محاطی قوس وسط ی BMاگر نقطه را T بنامیم وOT تا کنیم رسم را BMرا ی نقطه کند Iدر قطع ی نقطه در امتداد Tو تا کنیم رسم دایره بر OMمماسی

ی نقطه در امتداد Lرا ی OBو نقطه در ، K را کند قطعKL با مشابه و دایره بر محیط منتظم ضلعی ضلع

. است مذکور محاطی منتظم ضلعی

3n

2

A O BK

T

L

M

I Cn

3n

2

3 2

2n

3 n

T

ی رابطه صحت کاشانی BM/(KL-BM) = OI/(OT-OI)

چون که گفته و کرده ثابت اگر AMنصف OIرا و AMاستBM توان می باشند رابطه KLمعلوم این ی وسیله به را

. کرد حساب

دلخواه مقدار هر ازای به این توان nبنابر KLمیدست به را محیطی منتظم ضلعی ضلع یعنی

آورد. 3 2n

اضالع ی عده خواهد می وی محیطیه سوم فصل دردایره در که کند تعیین طوری را محاطی منتظم کثیراالضالع

باشد زمین ی کره قطر برابر هزار ششصد قطرش که ایمو یک به دایره محیط و االضالع کثیر محیط بین اختالف

نرسد . : برد می بکار طولها برای را زیر های واحد او

) 12000فرسنگ = 1 h تقریبا 6ذراعکیلومتر(

تقریباً )24ذراع =1 متر 50اصبع سانتی)

1 =) ( انگشت یک 6اصبع عرض برابرجو دانه

= جو شعره 6ضخامتاسب = یال موی ضخامت شعره

: کاشانی باشد زمین ی کره قطر برابر هزار ششصد قطرش که ای دایره

به و است زمین ی کره محیط برابر هزار ششصد نیز محیطش طولزمین ی کره محیط طول آنکه دایره 8000فرض محیط باشد فرسنگ

که را مذکور در 8000 × 600000ی است کرده 12000فرسنگ ضربدر ترتیب به را حاصل سپس و شود معلوم ذراع حسب بر 6و 6و 24تا

و اصبع حسب بر ترتیب به محیط ی اندازه تا کرده ضرب نیزمحیط ی اندازه آنکه از پس و آید دست به مو عرض و جو ضخامت

یعنی درجه یک شد معلوم مو حسب بر مذکور ی را 1/360دایره آن({ ثامنه یک که است داده نشان و با{ 1(/60^8گرفته مساوی h تقریبا آن

است 4/ 5 مو یک ضخامت600000 8000 12000 24 6 6 = 200 ~ 4

360( 8^60 )243 5

و محاطی منتظم االضالع کثیر دو محیطهای اگر که گرفته نتیجه وثامنه یک به محیط دو بین تفاوت ،که کند استخراج طوری را محیطی

به ی دایره در باید که رسیده نتیجه این به میشودو حاصل منظور نرسداز 60شعاع آن ضلع هر طول که کند محاط کثیراالضالعی رابعه 8واحد

آن( 8(/60^4)) طرف یک در که داده تشکیل جدولی و نباشد 120بیشتررا کثیر 28درجه اضالع ی عده آن دیگر طرف در و کرده نصف بار

مثلث از ابتدا را را 28االضالع آن اضالع ی عده و کرده برابر دو بار 805306368 = 2 3

ضلع طول باید که رسیده نتیجه این به باالخره و است 3 2یافته

شعاع به ی دایره در محاط منتظم ) 60ضلعی در کند حساب را واحد ) برای که داده نشان و است شصتگانی دستگاه در محاسبات محیطیه

دستگاه در را عمل هر باید باشد دقیق محاسبات ی نتیجه آنکهعشر )) ثامنه ی مرتبه تا . 1(/60^18شصتگانی دهد( ادامه

28

28

آنکه فرض به را دایره محیط مقدار کاشانی محیطیه هشتم فصل درمقدار واقع در یعنی باشد واحد آن دهگانی 2 ∏شعاع شمار دستگاه در را

: شرح این به آورده دست به اوست خود اختراع که اعشاری کسرهای با و

2 ∏= 6ر 2831853071795865

کاشانی دقت نهایت این و است دقیق عدد این اعشاری رقم شانزده ی همه . ارقام در نویسان نسخه اهمال اثر در آنکه برای رساند می محاسبه رادر

مضارب از بتوانند محاسبه حین در h ضمنا و نیاید وارد خللی عدد 2 ∏اینمقدار کاشانی کنند از 2 ∏استفاده صحیح اعداد در و 10تا 1را ضرب

. است کرده ثبت جدولی در را حاصلها

مقدار ی ∏محاسبه

تقسیم جزِء دو به توان می را مذکور ی رساله مطالبیعنی: مسئله ی معادله آوردن دست به روش یکی کرد

ی معادلهa )+x )/( ) (1) = )) xسادسه مجهول آن در یکی xکه و است دایره از درجه دو وترقوس

قسمت که کاشانی روش با معادله این حل چگونگی دیگر . است مذکور ی رساله اساسی و مهم

وجیب وتر ی رساله تفسیرعالئم و اصالحات با کاشانی

کنونی

3 2603

H AG r

D

C

B

یعنی درجه دو قوس روبروی وتر وAB=BC=CD راx ی معادله دادن تشکیل وبرای گرفته مسئله مجهول معنی

چهار : در بطلمیوس ی قضیه از کرده عمل طریق این به مسئلهمحاطی :ABCDضلعی شود می حاصل

AB.CD+BC.AD=AC.BD چون پس AC=BDو AB=BC=CDوAB+BC AD=AC یعنیAC=BD (=6وتر ) x + x (2)درجه قطر از اگر با GRطول AGاکنون مساوی کنیم CG را جدا خطهای پاره متشابه BRو BGو مثلث دو از کنیم رسم ABHرا

شود ARBو می نتیجه AR/AB=AB/AH آنجا از و AB/r=AR

22

22 2

2

G r H A

B

C

D

R

را دایره شعاع اگر :60بنابراین داریم بگیریم واحد

GR=AG -AR=120-AB/60

ی الزاویه قائم دیگردرمثلث رابطه ACGازطرف درنظرگرفتن باو باال

اینکهGC=GR داریم

AC=AG – GC =(120)-(120-AB/60)

AC=4AB-AB/3600یعنی

2

2 2 2 2 2 2

2 2 4

G R A

C

مقدار آخر ی رابطه در اگر ) ACاکنون ی رابطه از ( 2راشود می حاصل بگذاریم

x - x /3600 4 (= 6وتر ) x + xدرجه

بر طرفین کردن تقسیم از پس :xکه کردن ساده و

– x / 3600 x 3 =درجه 6وتر

x + (60) ( 6وتر = ) درجهx ( 60) 3

2 2 4

3

2

2

32

ام"ا a ( = 60سادسه ( ) a ( = ) 6وتر ( ) 60ثامنه) درجه

: داریم پس x( +a = ) سادسهx ( 60) 3

آنجا از و

x ( + a)سادسه x =

( 60 )3

2 2

2 3

3

2

ی معادله حل برای کاشانی توجه جالب و بدیع روش شرح(1:)( ی :1معادله نویسیم( می زیر شکل به سهولت برای را ( M1 ) x=q+x p ( : شصتگانی دستگاه p 0 , 0 , 3 p = 3 ( 60در

= 40 , 29 ,56 , 8 , 59 , 7; 49 , 16 , 6 q=

ی معادله حل برای کاشانی توجه جالب و بدیع روش شرح(1:)( ی :1معادله نویسیم( می زیر شکل به سهولت برای را ( M1 ) x=q+x p ( : شصتگانی دستگاه 3p = 0 , 0 , 3 p ( 60در

= 40 , 29 ,56 , 8 , 59 , 7; 49 , 16 , 6 q=

ی معادله حل در کاشانی روش(1)

3

2

اعشاری دستگاه در یعنی( 60 / ) 59 + 7/60 + 49(+ 60 ) 16 ( + 60 )6 q=

( 60 / ) 40(+ 60 / ) 29(+60 / ) 56( + 60 / ) 80 + ( َ ی معادله جواب کنیم می به ( 1فرض شصتگانی دستگاه در

صورت a+b+c+… = x

آن در که عدد ,…a,b,cباشد شصتگانی ارقام نسبی xارزشباید. . ,…a,b,cهستند چون کنیم تعیین دیگری از پس یکی وتر xرا

قوس که 2روبروی دایره شعاع به نسبت آن مقدار است 60درجهیعنی آن مکعب و است کوچک میشود است xفرض کوچک بسیار

اصلی ) ی درمعادله باید که آن مکعب اول تقریب در توان می وو ( 3 60بر کرد نظر صرف شود تقسیم با xنیز مساوی h تقریبا را

q/p . تقریبی مقدار نخستین پس گرفت

2 2

3 4 5 6

32

x را آن : x1که از است عبارت نامیم می a ~ x1=q/p : شود می معلوم +... 49( + 60 )16 ( + 60 × )6 x1= 3 (× 60 )یا + ... 49( + 60×) 16 + 2 x1= ( 60 × )3 شصتگانی رقم نخستین نسبی ارزش با xپس 2مساوی

) است ) واحد درجه

2

2

2

یافتن از َ ) aپس ی معادله چپ طرف جای ( 1در xبهطرف +…a+bمقدار در و است نزدیکتر حقیقت به که را

تقریبی مقدار آن میدهیم :aراست قرار را a+b+…= q+a p آنجا b+…= q-ap+aازP :) شده ) ساده +b 5( / 60 + )1( × 60 +)49 + ... + 8یعنی

=… ( 60 × ) 3

3

3

2

شصتگانی رقم دومین نسبی ارزش با xپس یعنی 5/60مساوی5 . تقریبی مقدار دومین پس است را xدقیقه آن نامیم x2که می

. شد تعیینx2= a+b َ ی معادله چپ طرف در رقم سومین نسبی ارزش تعیین برای

جای ( 1) است +…a+b+cمقدار xبه نزدیکتر حقیقت به که راتقریبی مقدار آن راست طرف در :a+bو دهیم می قرار را

a+ b+c+…= q+(a+b) p

:) نهایت ) در آنجا +bp+[(a+b)-a ]- q-ap+a )) c از=…

p

3

3 3 3

محاسبه : ) از =c 39 ( / 60پستقریبی مقدار سومین را xپس آن :x3که شد تعیین نامیم می

a+b+c x3=شصتگانی ارقام سایر نسبی ارزش توانیم می روش این تا xبا را

: شود می حاصل ترتیب این به و کنیم حساب بخواهیم کجا هر a x1=

p / [q+(x1) ] x2=(q+a ) /p=:

p / ] xn=[q+( xn-1)

2

3 3

3

در را درجه دو قوس روبروی وتر فوق روش با کاشانی: است کرده حساب آن ی تاسعه رقم تا شصتگانی دستگاه

= دو قوس روبروی وتردرجه

33 , 52 ,32 , 28 , 29 , 22 , 26 , 39 ; 5 ; 2. است آورده دست به را درجه یک جیب و کرده نصف را وآن = sin 160 = درجه یک جیب 17, 26 ,16 , 44 ,14 ,11, 43 , 49 , 2 ; 1 به را مذکور مقدار دستگاه 60اگر در را حاصل و کنیم تقسیم

با درجه یک سینوس بنویسیم دهگانی اعشاری 22شمار رقم: آید می دست به

آوردن دست Sin 1به

0174524064372835103712 0ر = sin 1 درجه یک سینوس واقعی مقدار با آن اعشاری رقم هفده که

. است موافق

عمل زیر طریق چند به اعشاری کسرهای نوشتن برای کاشانیاعشاری کسرهای ولی نکرده اختراع را ممیز او اگرچه و کرده

. است نوشته می است معمول امروزه که شکلی به h تقریبا راو hسیاه مثال مختلف رنگهای با را اعشاری و صحیح قسمتهای وی

خط با را صحیح قسمت یا و نوشته می سطر یک روی سرخاینکه یا و نوشته می درشت خط با را اعشاری قسمت و ریزثبت کسری و صحیح قسمتهای باالی را کسر و صحیح اسامی

از قائم خط با را آنها و کرده می

اعشاری کسرهای و کاشانی

. ًمثال است نموده می جدا :420ر 25یکدیگر نوشته اینگونه را

صحیح کسر 25 420 ثبت را اعشاری ی مرتبه آخرین نام عدد نوشتن از پس نیز گاهی

از را عدد صحیح قسمت توان می کامالً روش این با و کرده میعدد . کاشانی مثالً داد تشخیص آن اعشاری را 83ر 3489قسمت

: است نوشته زیر بصورت 833489 االعشار رقم رابع از 9یعنی راست سمت

) چهار ) عدد دیگر عبارت به یا و است هزارم ده چهارم اعشار جنس= . آن اعشاری ارقام دارد اعشاری = 3489رقم آن صحیح قسمت و

83