对于有向图 , 有三种不同的连通概念。现给出下面的定义 :

定义 5.15 ：设 u 和 v 是有向图 G 的两个顶点 , 若从 u 到 v 存在一条有向路 , 则称v 是从 u 可达的 , 或称从 u 可达 v 。

定义 5.16 ：设有向图 G, 若 G 中任何两顶点是互相可达的 , 则称 G 为强连通图。若 G 中任何两顶点至少有一个顶点从另一个顶点可达 , 则称 G 为单向连通图 ,或称连通有向图。若 G 中弧的方向不考虑时 , 任何两顶点之间有一条路 , 则称 G为弱连通图或简称连通图。

例如图 (a) 是强连通的 ,(b) 是单向连通的 , 而 (c) 是弱连通的。

对 V 作划分 , 将 V 划分为非空子集 V1, V2,…,Vω, 使得两个顶点 u 和 v 属于同一子集 V 当且仅当 u 和 v是互相可达的。

每个顶点子集 Vi 导出的子图 G(Vi) 是强连通的 , 记为 Gi, 称为 G 的一个强连通分支。 G 中有 ω 个强连通分支 :G1,G2,…,Gω 。

图 (a) 不 是 强 连 通 图 , 在 顶 点 集 V ={v1,v2,v3,v4,v5,v6,v7, v8} 上将 V 划分为 3 个子 集 ,V1={v1,v7,v8}, V2={v2,v3,v5,v6}, V3={v4}, 对 应 得 到 3 个 强 连 通 分支 :G(V1),G(V2),G(V3), 如图 (b) 所示。

注意有向图的强连通分支与图的连通分支有一个很大的区别 :

有向图的每一条弧不一定属于一个强连通分支 ,而每个顶点恰属于一个强连通分支。但图的每一条边恰属于一个连通分支

四、二分图现在给出二分图的概念。定义 5.21 ：若图 G 的顶点集 V 能划分为两个

子集 V1 和 V2, 并且每条边的一个端点在 V1

中 , 另一端点在 V2 中 , 则称 G 为二分图 , 记为G(V1,V2) 。 V 划分为 V1 和 V2, 称为 G 的一个二划分 , 记为 (V1,V2) 。若简单图 G 具有二划分 (V1,V2), 并且 V1 中每个顶点与 V2 中每个顶点恰有一边相连 , 称 G 为完全二分图。若 |V1|=m,|V2|=n, 则这样的完全二分图记为 Km,n 。

例如图 (a) 和图 (b) 都是完全二分图： K3,3 和K2,3 。

上图也是二分图，它可以作这样的二划分：V1={x1,x2,x3,x4}, V2={y1,y2,y3,y4,y5},也可以作这样的二划分：V'1={x1,x2,x3,y4,y5}, V'2={y1,y2,y3,x4},都符合二分图的要求：每条边的一个端点在 V1(V'1)中，另一端点在 V2(V'2) 中。

上图不是二分图。那么怎样的图才是二分图？二分图有怎

样的特征？利用回路概念 , 可以给出二分图的特征。定理 5.7 ： G 是二分图当且仅当 G 中没

有奇回路。

证明： (1) 若 G 是二分图则 G 中没有奇回路

设 G 是具有二划分 (V1,V2) 的二分图 , 若G 没有回路则已成立 ( 没有回路当然就不会有奇回路。

若 G 有 回 路 ， 设 G 中 有 一 条 回 路 C:(v0,v1,…,vm,v0) 。不失一般性 , 设 v0V1,

(2) 若 G 中没有奇回路则 G 是二分图设 G 是连通图 , 否则对 G 的每个分支进行

证明。又设 G 是一个不包含奇回路的图。下面关键是构造 G 的二划分 V1 和 V2 。然后证明 (V1,V2) 是 G 的一个二划分。

5.3 欧拉图一、欧拉图与半欧拉图定义 5.22 ：若图 G 中具有一条包含 G 中

所有边的闭链 , 则称它为欧拉闭链 , 简称为欧拉链 , 称 G 为欧拉图。若图 G 中具有一条包含 G 中所有边的开链 , 则称它为欧拉开链 , 称 G 为半欧拉图。

显然 , 欧拉图除孤立点以外是连通的 , 而孤立点的有无并不影响对欧拉图的讨论 ,因此以后总假设欧拉图是连通的。

定理 5.8 ：设 G 是连通图 , 则 G 是欧拉图当且仅当 G 的所有顶点都是偶顶点。

证明： (1) G 是欧拉图，证明 G 的所有顶点都是偶顶点

设 G 有 欧 拉 链 (v0,e1,v1,e2,…,ei,vi,ei+1, …,ek,vk),v0=vk, 其中顶点可以重复出现 , 边不可重复出现。

在序列中 , 对任一点 vi, 每当出现一个 vi, 它关联两条边 , 故度数增加 2 ，

而 vi 可以重复出现 , 因此经过 vi 次数的 2 倍就是与 vi 相邻边的总数，即为 vi 的度数，所以 d(vi) 为偶数。

由 vi 的任意性知 G 中所有顶点为偶顶点。

(2) 若图 G 是连通的 , 且 G 中所有顶点为偶顶点，证明 G 是欧拉图

对边数采用归纳法：1)e=1, 一条边的图，要求 G 中所有顶点

度数为偶数，则只能是自环。是欧拉图 , 成立。2) 假设 em 结论成立。

① 若 H 连通，则由归纳假设知 H 为欧拉图，即有欧拉闭链 C1 ，

设回路 C=(v0,e1,v1,e2,…,vk-1,ek ,v0) （顶点不同）② 若 H 不连通，有 l个分支，则每个分支顶点

度数为偶数，当然每个分支的边数小于 m,由归纳假设知每个分支都有欧拉闭链 Hi ，又因为 G 是连通的，故相对于 H 来讲 , 在 G

中，这些分支是通过 C 连接的，这样就得到了G 的欧拉闭链 :

从 C 上任意一点出发，沿 C 中边行走，到达 H 的一个分支 H1 的公共点 u1 ，然后在 H1 中沿欧拉闭链回到 u1 ，继续沿 C 中边行走到达与 H 的另一分支 H2 的公共点 u2 ，在 H2 中沿欧拉闭链回到 u2 ，如此一直下去，直到回到起始点，即为一条经过 G中所有边一次且仅一次的闭链。所以 G 是欧拉图。

7 桥问题：

一个图如果是欧拉图，则一定不是半欧拉图。一个图如果是半欧拉图，则一定不是欧拉图。

因为 d(A)=3, 是奇顶点，所以不是欧拉图定理 5.9 ：设 G 是连通图 , 则 G是半欧拉图当且仅当 G 中有而且只有两个奇顶点。证明：证法类同定理 5.8 。由此定理可知，对于 7 桥问题，由于 d(A)=d(D)=d(C)=3, d(D)=5,所以也不是半欧拉图。

例 如 上 图 中 ， d(a)=d(B)=d(E)=4, d(C)=d(D)=3, 是半欧拉图。

其欧拉开链是： C,B,A,C,E,A,D,B,E,D

定理 5.10 ：设 G 是连通图 , 则 G 是欧拉图当且仅当 G 是若干条边不相重的回路之并

证明略。

二、哈密顿图与半哈密顿图哈密顿爵士在 1859 年提出如下问题 :一位旅行者沿着顶点标有城市名称的正十二面体

的棱线行走 , 找一条通过每个顶点 ( 即城市 ) 恰好一次的回路 , 如图 (a) 所示。在图 (b) 的正十二面体图中找一条包含该图中所有顶点的回路 , 图中粗线所构成的回路就是这个问题的回答。

定义 5.24 ：若图 G 具有一条包含 G 中所有顶点的回路 , 则称该回路为哈密顿回路 , 称 G 为哈密顿图。若图 G 具有一条包含 G 中所有顶点的路 , 则称该路为哈密顿路 , 称 G 为半哈密顿图。

显然哈密顿回路和哈密顿路通过图中每个顶点一次而且仅一次 , 例如图 (b) 是哈密顿图。

哈密顿图的充分必要条件至今仍是图论中尚未解决的主要问题之一。只能分别给出哈密顿图的充分条件和必要条件。

定理 5.13 ：若 G 是哈密顿图 , 则对于顶点集 V 的每一个非空真子集 S, 均成立 (G-S)≤|S|, 其中 |S|表示 S 中顶点数 ,G-S 表示 G 中删去顶点子集 S 后得到的图。

如下图：(G-S)=1 ， |S|=2另外，该定理是讲，若 G是哈密顿图 , 则对于顶点集V 的每一个非空真子集 S,均成立 (G-S)≤|S|,也就是说，如果在一个图中，存在某个 S, 使得 (G-S)>|S|, 则 图 一 定 不 是 哈 密顿图。

删去 b,h,i, 得新图 G-{b,h,i} ，(G-S)=4>3=|S| ，所以不是哈密顿图

但必须要说明的是满足定理条件的不一定是哈密顿图。

如下图是满足定理条件的，但不是哈密顿图。

该图称为彼得森图。证明：因为 G 是哈密顿图，所以必有一

条 G 的一个哈密顿回路 C( 经过 G 中所有顶点 ) 。

对 V 的任一非空真子集 S, 有 (C-S)≤|S|Why?用归纳法证明。G-S 的分支数只会比 C-S 少，所以 (G-S)≤(C-S)≤|S| 。利用哈密顿图的必要条件可以用来判定某些图不是哈密顿图 , 但不便于应用。因为要检查 G 的顶点集 V 的所有子集。

作业 P114 25,26 ， 29 ， 30 ，33,34