第一章 复变函数与解析函数第一章 复变函数与解析函数

第二节 复数函数及其极限与连续

2.2 复变函数的概念

2.1 复平面上的区域

2.3 复变函数的极限与连续性

2.1 复平面上的区域邻域 0 0,U z z C z z 0 0, 0

U z z C z z

内点0z G C 0 ,U z G

区域

开集

连通的开集

全体内点构成的集合

边界点 边界 D闭区域 D D D 有界区域和无界区域

0 00, ,M z D z M 1z

2z

区域

0z邻域

边界点

边界

P

Q1C

2C 边界

边界点

, ,U M z C z M

0 ,z D 0 , U z D

(1) 圆环域 : ;201 rzzr 0z

2r

1r例 1 判断下列区域是否有界 ?

(2) 上半平面 : ;0Im z

(3) 角形域 : ;arg 21 z

(4) 带形域 : .Im bza x

y

o

如果 x=x(t), y=y(t) (t) 为连续函数时 , 则称

:

x x tC t

y y t

( ) ( ) ( ) ( ).z z t x t iy t t

连续曲线

光滑曲线

,x t y t 均连续，且 2 2,[ ] [ ] 0t x t y t

则称曲线是光滑的 . 分段光滑曲线

为连续曲线 .

如果

例 2 指出下列不等式所确定的点集 , 是否有界 ? 是否区域 ? 如果是区域 , 单连通的还是多连通的 ?

2 1(1) Re( ) 1; (2) arg ; (3) 3;

3z z

z

(4) 1 1 4z z

2.2 复变函数的概念

设 G 是复平面上的点集 , 若对任何 zG, 都存在惟一确定的复数 w 和 z 对应 , 称在 G 上确定了一个单值复变函数，用 w=f (z) 表示 .

当 zG 所对应的 w 不止一个时 , 称在 G 上确定了一个多值复变函数 .

G 称为函数的定义域，对应于 z 的所有 w 的全体 称为函数的值域 .

定义 1.1 （复变函数）

*G

复变函数与自变量之间的关系

( ) ,w f z u iv

相当于两个关系式 , , ,u u x y v v x y

例如 , , 2zw 函数

,, ivuwiyxz 令

映射

由于一个复变函数反映了两对变量 u,v 和 x,y 之间的对应关系， 因而无法用同一平面内的几何图形来表示，必须

看成是两个复平面上的点集之间的对应关系 .

x

y z

G

Z

u

v w

*Gw

oo

两个特殊的映射

1 w z 关于实轴的对称映射，而且对应图形是全同的 .

x

y

o u

v

o

iz 321

iw 321 iz 212

iw 212 A B

C

A B

C

,11 wz ,22 wz .CBAABC

22 w z

将一个幅角为 的角形域映射为幅角为 的角形域。 2

x

y

o u

v

o 2

,2 21 2, 2x y c xy c 将 z 平面上的两族双曲线 映射为

平面上的两族平行直线 .

x

y

ox

y

o

反函数（一一对应）

例 3 映射 , 求圆周的 像 .1w z

z 2z

,, ivuwiyxz 令

zzw

1 映射 ,22 yx

iyxiyxivu

解

, 22 yxx

xu

于是 ,22 yxy

yv

2z 5 3

,4 4

u x v y 4 4

,5 3

x u y y

.1

23

25

2

2

2

2

vu

2.3 复平函数的极限与连续性

设复变函数 w=f(z) 在 z0 的某个去心邻域内 有定义 ,

复变函数的极限

0 0

0 ,

U z

( )f z A

成立 , 则称当 z 趋于 z0 时 , f(z) 以 A 为极限，并记作

0

lim ( )z z

f z A

或 0( ) ( ).f z A z z

注意 : 定义中 zz0 的方式是任意的 .

A 是复常数 . 若对任意给定的 , 存在

使得当00 z z 时，总有

定理 1.1 （极限计算定理）

0 0 0 0 0, ( , ), ,f z u x y iv x y A u iv z x iy 设函数

0 0 0

0 0

0 0lim lim , , lim ,z z x x x x

y y y y

f z A u x y u v x y v

证明

0

lim ( ) 0, 0,z z

f z A

, )()(0 00 时当 iyxiyx ,)()( 00 ivuivu

,)()( 00 vviuu , , 00 vvuu

.),(lim,),(lim 00

0

0

0

0

vyxvuyxuyyxx

yyxx

故

必要性

充分性 . ,),(lim,),(lim 00

0

0

0

0

vyxvuyxuyyxx

yyxx

若

, )()(0 20

20 时那么当 yyxx

,2

,2

00

vvuu有

)()()( 00 vviuuAzf 00 vvuu

, 0 0 时故当 zz ,)( Azf

.)(lim 0

Azfzz

所以

复变函数极限的性质

（ 1 ）唯一性 （ 2 ）有界性 （ 3 ）有理运算法则

例 3 当 z0 时 , 函数 Re( )

zf z

z 极限不存在 .

方法 1. 沿 y kx

方法 2. 沿不同射线 arg z

注意：因为一个复变函数的极限问题相当于两个二元实变函数的极限问题，复变函数的极限要比实变函数的极限复杂得多，要求也苛刻的多。

复变函数的连续性设 f (z) 在 z0 的邻域内有定义 , 且

00lim ( ) ( )

z zf z f z

则称 f(z) 在 z0 处连续 . 若 f(z) 在区域 D 内的每一点都连续，则称 f(z) 在区域 D 上连续 .

定理 1.2 　设 ( ) ( , ) ( , ),f z u x y iv x y 则 f (x)

在 0 0 0z x iy 处连续的充分必要条件是 ( , ),u x y

( , )v x y 都在 0 0( , )x y 点连续 .

连续函数的性质：

（ 1 ）连续函数的和、差、积、商（分母不为 0 ）的连续性 ;

（ 2 ）复合函数的连续性 .

复数

定义表示法

三角表示法

几何意义

复数表示法

指数表示法

复数的运算

共轭运算

代数运算

乘幂与方根

本章内容总结 ( 一 )

复变函数

映射

连续

本章内容总结( 二 )

邻域区域

极限