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复变函数第 2讲

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§3 复数的乘幂与方根

3

乘积与商 设有两个复数 z1=r1(cos1+isin1), z2=r2(cos2+isin2), z1z2=r1r2(cos1+isin1)(cos2+isin2) = r1r2[(cos1cos2sin1sin2)

+i(sin1cos2+cos1sin2)]= r1r2[cos(1+2)+isin(1+2)]

于是 |z1z2|=|z1||z2| (1.3.1)Arg(z1z2)=Arg z1+Arg z2,(1.3.2)

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定理 1 两个复数乘积的模等于它们的模的乘积 , 两个复数乘积的幅角等于它们幅角的和 .

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等式 Arg(z1z2)=Arg z1+Arg z2, (1.3.2)的意思是等式的两边都是无限集合 , 两边的集合相等 , 即每给定等式左边的一个数 , 就有等式右边的一个数与之对应 , 反之亦然 .例如 , 设 z11, z2=i, 则 z1z2i, 则

1 2

1 2

Arg 2 ,Arg 2 ,2

Arg 22

, , 0, 1, 2,

z n z m

z z k

n m k

6

z1z2 相当于将 z1 的模扩大 |z2| 倍并旋转一个角度 Arg z2

2

2 z2

1

z1

z1z2

1O x

y

7

如果用指数形式表示复数 :

)(2121

2211

21

21

e

e,e

i

ii

rrzz

rzrz

为则定理一可简明地表示

)4.3.1(e

)]sin(

)[cos(

),,,2,1(),sin(cos

)(21

21

212121

21 n

k

in

n

nnn

kkki

kk

rrr

i

rrrzzz

nkirerz

则

由此逐步可证 , 如果

8

按照商的定义 , 当 z10 时 , 有

121

2

1

2

1

2

11

221

1

22

11

22

ArgArgArg,||||

ArgArgArg|,|||

zzzz

zz

zz

zzz

zzzz

z

zzz

z

于是

因此

定理二 两个复数的商的模等于它们的模的商 , 两个复数的商的辐角等于被除数与除数的幅角之差 .

9

如果用指数形式表示复数 :

,e,e 212211

ii rzrz

)(

1

2

1

2 12e i

rr

zz

定理二可简明地表示为

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例 1 已知正三角形的两个顶点为 z1=1 与 z2=2+i, 求它的另一个顶点 .[ 解 ] 如图所示 , 将表示 z2z1 的向量绕 z1 旋转 /3( 或 /3) 就得到另一个向量 , 它的终点即为所求的顶点 z3( 或 z3’).

3

O x

y

z1=1

z2=2+i

z3

z3’

3

11

根据复数乘法 , 有

33 1 2 1

3

( )

1 3(1 )

2 2

1 3 1 3

2 2 2 2

3 3 1 3

2 2

iz z e z z

i i

i

z i

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2. 幂与根 n 个相同复数 z 的乘积称为 z 的 n次幂 ,记作 zn .

个n

n zzzz

为负整数时上式也成立则当如定义 nz

z nn ,

1

则根据 (1.3.4), 对任意正整数 n, 我们有zn=rn(cos n+isin n). (1.3.7)

如 |z|=1, 则 ( 棣莫弗 (De Moivre) 公式 ). (cos +isin )n = cos n+isin n. (1.3.8)

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设 z 为己知 , 方程 wn=z 的根 w 称为 z 的 n 次根 , 为整数记作 nzz nn ,/1

1ee1ee

11

e,e,1,1

2

3

32

2

3

32

3

32

32

3

iiii

ii

及

这是因为

有三个值

如 n 为正整数 , 则一个复数的 n 次根不止有一个 , 而是有 n 个 , 这是很麻烦的事情 . 例如

在几何上 , z1/n 的 n 个值就是以原点为中心 , r1/n 为半径的圆的内接正 n 边形的 n 个顶点

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在 z 已知时求方程 wn=z 的根 w, 令z=r(cos+isin), w=(cos+isin),

则 n(cos n+isin n)=r(cos+isin)

于是 n=r, cos n=cos, sin n=sin

后两式成立的充要条件为n=+2k, (k=0,1,2,).

由此1 2,n k

rn

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其中 , r1/n 是算术根 , 所以

1 2,n k

rn

1/ 2 2cos sinnn k k

w z r in n

当 k=0,1,2,…,n1 时 , 得到 n 个相异的根 ,

而当 k 以其它整数值代入时 , 这些根又重复出现 .

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例 2 求 4 1 .i

1 2 cos sin ,4 4

i i

[ 解 ] 因为

所以

442 2

4 41 2 cos sin ,4 4

( 0,1,2,3)

k ki i

k

17

即8

0

81

82

83

2 cos sin ,16 16

9 92 cos sin ,

16 16

17 172 cos sin ,

16 16

25 252 cos sin .

16 16

w i

w i

w i

w i

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四个根是内接于中心在原点半径为 21/8 的圆的正方形的四个顶点 .

28 2

1+i

w0

w1

w2

w3

O x

y

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§4 区域

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1. 区域的概念平面上以 z0 为中心 , ( 任意的正数 ) 为半径的圆 :

|zz0|<内部的点的集合称为 z0 的邻域 , 而称由不等式0<|zz0|< 所确定的点集为 z0 的去心邻域 .

z0

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包括无穷远点自身在内且满足 |z|>M 的所有点的集合 , 其中实数 M>0, 称为无穷远点的邻域 .即它是圆 |z|=M 的外部且包含无穷远点本身 . 不包括无穷远点本身的仅满足 |z|>M 的所有点称为无穷远点的去心邻域 , 也记作 M<|z|<.

M

0|z|>M

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设 G 为一平面点集 , z0 为 G 中任意一点 . 如果存在 z0 的一个邻域 , 该邻域内的所有点都属于 G, 则称 z0 为 G 的内点 .

如果 G 内的每个点都是它的内点 , 则称 G 为开集

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平面点集 D 称为一个区域 , 如果它满足下列两个条件 :1) D 是一个开集 ;2) D 是连通的 , 就是说 D 中任何两点都可以用完全属于 D 的一条折线连接起来 .

区域

z2

z1

不连通

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设 D 为复平面内的一个区域, 如果点 P 不属于 D, 但在 P 的任意小的邻域内总包含有 D

中的点 , 这样的点 P 称为 D 的边界点 . D 的所有边界点组成 D 的边界 . 区域的边界可能是由几条曲线和一些孤立的点所组成的 .

C3

C2

z 1

2

C1

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区域 D 与它的边界一起构成闭区域或闭域 , 记作 D.如果一个区域可以被包含在一个以原点为中心的圆里面 , 即存在正数 M, 使区域 D 的每个点 z 都满足 |z|<M, 则称 D 为有界的 , 否则称为无界的 .

x

y

D

O

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满足不等式 r1<|zz0|<r2 的所有点构成一个区域 , 而且是有界的 , 区域的边界由两个圆周|zz0|=r1 和 |zz0|=r2 构成 , 称为圆环域 . 如果在圆环域内去掉一个 ( 或几个 ) 点 , 它仍然构成区域 , 只是区域的边界由两个圆周和一个( 或几个 ) 孤立的点所构成

z0

r2

r1

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无界区域的例子

x

y

x

y

x

y

上半平面 :Im z>0

角形域 :0<arg z<

a

b带形域 :a<Im z<b

28

2. 单连通域与多连通域平面曲线 在数学上 , 经常用参数方程来表示各种平面曲线 . 如果 x(t) 和 y(t) 是两个连续的实变函数 , 则方程组

x=x(t), y=y(t), (atb)代表一条平面曲线 , 称为连续曲线 . 如果令

z(t)=x(t)+iy(t)则此曲线可用一个方程

z=z(t) (atb)来代表 . 这就是平面曲线的复数表示式 .

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如果在区间 atb 上 x '(t) 和 y '(t) 都是连续的 , 且对于 t 的每一个值 , 有

[x '(t)]2+[y '(t)]20这曲线称为光滑的 , 由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线 , 称为按段光滑曲线 .

连续

不连续

光滑

不光滑

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设 C:z=z(t)(atb) 为一条连续曲线 , z(a) 与z(b) 分别为 C 的起点与终点 . 对于满足a<t1<b, at2b 的 t1 与 t2, 当 t1t2 而有z(t1)=z(t2) 时 , 点 z(t1) 称为曲线 C 的重点 . 没有重点的连续曲线 C, 称为简单曲线或若尔当(Jardan) 曲线 . 如果简单曲线 C 的起点与终点闭合 , 即 z(a)=z(b), 则曲线 C 称为简单闭曲线 .

z(a)=z(b)简单 , 闭

z(a)z(b)

简单 , 不闭 z(a)=z(b)不简单 , 闭

不简单 , 不闭

z(a)

z(b)

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任意一条简单闭曲线 C把整个复平面唯一地分成三个互不相交的点集 , 其中除去 C 外 , 一个是有界区域 , 称为 C 的内部 , 另一个是无界区域 , 称为 C 的外部 , C 为它们的公共边界 . 简单闭曲线的这一性质 , 其几何直观意义是很清楚的 .

内部 外部

C

32

定义 复平面上的一个区域B, 如果在其中任作一条简单闭曲线 , 而曲线的内部总属于 B, 就称为单连通域 , 一个区域如果不是单连通域 , 就称为多连通域 .

单连通域 多连通域

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作业 第一章习题 第 32页第 14,22题

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