Угол между прямой и плоскостью

Суфиярова М.А., учитель математики МОУ СОШ №2 городского округа ЗАТО

Светлый Саратовской области

Углом между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярную к ней, называют угол между прямой и её проекцией на плоскость

При решении задач углом между прямой и плоскостью будет служить угол между наклонной и её проекцией. Наибольшее затруднение при построении такого угла вызывает построение перпендикуляра от точки до плоскости

Алгоритм

Чётко выяснить где прямая, где плоскость Жирной точкой выделить основание

наклонной (точку пересечения прямой с плоскостью)

Отправиться от этой точки вдоль этой прямой в поисках удобной точки, из которой могли бы опустить перпендикуляр на данную плоскость

Могут быть следующие ситуации:

Найдётся и удобная точка и перпендикуляр опущенный из этой точки до данной плоскости, тогда построить проекцию и угол найден

перпендикуляра готового нет, тогда придётся построить плоскость, проходящую через удобную точку и перпендикулярную данной плоскости;

При построении такой плоскости необходимо пользоваться теоремой: плоскость, перпендикулярная линии пересечения двух плоскостей, перпендикулярна каждой из них; или признаком перпендикулярности плоскостей: если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны; или следующей теоремой: Найти линию пересечения этих двух перпендикулярных плоскостей;

Из удобной точки опустить перпендикуляр на линию пересечения плоскостей (чаще всего этот перпендикуляр является высотой образовавшегося треугольника;

Построить проекцию; Угол между наклонной и её проекцией и будет углом между прямой и

плоскостью

Дано: В прямом параллелепипеде АВСDA1B1C1D1 основанием служит ромб. Сторона ромба равна а, < BAD=600. Диагональ параллелепипеда В1Dсоставляет с плоскостью боковой грани угол 450.

Найдите площадь полной поверхности параллелепипеда

1.Построение.

D-основание наклонной ,(B1K1D1) ┴(DD1C1)

B1K┴D1C1

<B1DK-есть угол между прямой В1D и гранью DD1C1C. 2.Вычисление.

ΔB1KC1; sin 600 =B1K/B1C1; B1K=a /2

DK=B1K. Cos600 =KC1/a; KC1=а/2

ΔDD1K. DD1= =a /2

Sпол=2Sосн +Sбок; Sосн = /2;

Sбок=4a х a /2=2

Sпол= +2 = ( +2 )

Задача 2 Дано:ABCA1B1C1-прямоугольная призма,<ACB=90,AC=BC=а,Прямая B1C образует с плоскостью грани AA1B1B угол 300. Найти : площадь боковой поверхности призмы.I. Построение.(ABC) ┴(AA1B1)(ABC) (AA1B1)=ABCE ┴AB<EB1C-есть угол между прямой B1C и плоскостью AA1B1BI. Вычисление.Sпол=2Sосн +SбокSосн=1/2aхa= а2 /2 ; Sбок=p x CC1

AB= =a P=2a+a EC= = Sin300 = ;B1C= ;B1C= = a

ΔBB1C. BB1= =a; Sбок= 2a2 +a2

Ответ: Sбок= 2a2 +a2

 

Задача 3

Дано: ABCDA1B1C1D1-куб, M- середина B1C1, F-середина D1C1, К-середина DC, О- точка пересечения диагоналей квадрата ABCD

Найти угол между:1) MF и DD1C;

2) MF и DD1B;

3) AC и MKF;

4) AC1 и BCC1;

5) AA1 и AMF;

a) BB1 ┴(ABC), AB- проекция, то <B1AB есть угол между прямой AB1 и плоскостью ABC и равен 45.

b) MC1 ┴(DD1C), FC1-проекция , <СFM есть угол между прямой MF и плоскостью DD1Cи равен 45.

c) MF||(DD1B), значит угол между ними равен 0.

d) AC┴(MKF),значит угол между прямой AC и плоскостью MKF равен 90.e) AB ┴(BCC1),BC1-проекция , то <AC1B есть угол между прямой AC1 и

плоскостью BCC1

f) (AMF) ┴(AA1C1); (AMF) (AA1C1)=QA; A1H-проекция

<A1AH есть угол между прямой AA1 и плоскостью AFM

Задача 3 Дано:ABCA1B1C1-прямая призма; Δ ABC-основание <C= 900;

<A=300 ; BC=2 ; K-середина СС1; B1K┴A1B Найти:тангенс угла между прямой A1B и плоскостью основания

призмы. Решение: C2H2 =32+32-64cos 1200;C2H2 =64=32=96; С2H= 4 ΔC2B1H: <B1= 900 ;B1H=A1B=B1C2X2+x2=96; 2x2=96; x2=48; x=4 ΔAA1B: AA1= =4tgα=AA1/AB;tgα=4/4 =1/

Ответ:tgα=1/