Координаты вектора

xx

ось

абсц

исс

ось

абсц

исс

zz

ось

ап

пл

ика

то

сь а

пп

ли

кат

Оси координат -

Ox, Oy, OzOx, Oy, Oz

Начало координат -

точка O O

Координатные плоскости

Oxy, Oyz, OzxOxy, Oyz, Ozx

Система координат

OxyzOxyz

yyось ординатось ординатОО

xx

zz

yyОтрицательная полуосьОтрицательная полуось Положительная полуосьПоложительная полуосьОО

Полож

ител

ьная

пол

уось

Полож

ительна

я по

луось

Отр

ицат

ельн

ая п

олуо

сь

Отр

ицат

ельн

ая п

олуо

сь

По

ло

жи

тел

ьн

ая п

ол

уось

По

ло

жи

тел

ьн

ая п

ол

уось

Отр

иц

ател

ьн

ая п

ол

уось

Отр

иц

ател

ьн

ая п

ол

уось

Луч, направление которого совпадает с направлением оси, называется положительной положительной полуосьюполуосью, а другой луч – отрицательной отрицательной полуосьюполуосью

xx

zzВ прямоугольной системе координат каждой точке М пространства сопоставляется тройка чисел, которые называются координатами точкикоординатами точки

yyОО M (x; y; z)M (x; y; z)

x = OMx = OM11 абсциссаабсцисса

y = OMy = OM22 ординатаордината

z = OMz = OM33 аппликатааппликата

MM11

MM33

MM22

MM

yy

xx

zz OO (0; 0; 0) (0; 0; 0)

I I II I I I I I I I II I I I I IОО

NN (5; 0; 0) (5; 0; 0)

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

NN

FF

DD

RR

FF (0; -2; 0) (0; -2; 0)

DD(0; 0; 4)(0; 0; 4)

RR(0; 0; -0,5)(0; 0; -0,5)MM

MM(0; 3; 0)(0; 3; 0)SS((xx; 0; 0); 0; 0)

PP(0; (0; yy; 0); 0)

TT(0; 0; (0; 0; zz))

OxOx

OyOy OzOz

zz NN ( (55; ; 44; 0); 0) CC (2;-1; 0) (2;-1; 0)I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

RR (-3; -3; 0) (-3; -3; 0)

FF(0; 4; 3)(0; 4; 3)

AA(0; -3; 4)(0; -3; 4)

MM(7; 0; 2)(7; 0; 2)

SS((xx; ; yy; 0); 0)

PP(0; (0; yy; ; zz))

TT((xx; 0; ; 0; zz))

OxyOxy

OyzOyz OxzOxz

yy

RR

NN


I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

FF

DDxx

CC

AA

DD(6; 0;-3)(6; 0;-3)MM

В координатной плоскостиВ координатной плоскости

Oxy Oxy ((xx; ; yy; 0); 0)

Oyz Oyz (0; (0; yy; ; zz))

Oxz Oxz ((xx; 0; ; 0; zz))

Ox Ox ((xx; 0; 0); 0; 0)

Oy Oy (0; (0; yy; 0); 0)

Oz Oz (0; 0; (0; 0; zz))

На осиНа оси

Точка лежитТочка лежит

I I I I I I

CC

zz AA (4;-2,5; 7) (4;-2,5; 7)

SS (5; 4; 8) (5; 4; 8)

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

DD (5; 4;-3) (5; 4;-3)

FF(-3; 3;-7)(-3; 3;-7)

NN(0; 0; 4)(0; 0; 4)

RR(-2;-3; 4)(-2;-3; 4)yy


I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

xxMM(7; 0;-1)(7; 0;-1)

I

I

I

I

I

I

I I

I

I

I

I

I

I

SS

FF

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

NN

DD

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

RR

MM

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

AA

CC(7; 4;-1)(7; 4;-1)

yy

xx

zz

I I I I I I I I I I I I I I I I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

jj

kk

ii

p{ x; y; z} p{ x; y; z} координатыкоординаты векторавектора

разложениеразложение вектора по вектора по координатным векторамкоординатным векторам

, и, и – – координатные векторы координатные векторыii jj kkii =1;=1;

jj =1;=1;

kk =1=1 pp

FF((x; y; zx; y; z))

OO

Координатные векторы не Координатные векторы не компланарны. Поэтому компланарны. Поэтому любой вектор можно любой вектор можно разложить по координатным разложить по координатным векторам, т.е. представить в векторам, т.е. представить в видевиде

причем коэффициенты причем коэффициенты разложения определяются разложения определяются единственным образом.единственным образом.

p = xp = xii + y + yj j + z+ zkk

FF

Вектор, начало которого Вектор, начало которого совпадает с началом совпадает с началом координат – координат – радиус-вектор.радиус-вектор.

Координаты радиус-вектора Координаты радиус-вектора совпадают с координатами совпадают с координатами конца вектора.конца вектора.

yy

xx

zz


I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

jj

kk

ii

p p {4; {4; 55; ; 88}}

SS((4; 4; 55;; 8) 8)

p p =4=4ii + +55j j ++88kk

pp

I

I

I

I

I

I

I I

I

I

I

I

I

I

SS

OO

yy

xx

zz


I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

jj

kk

ii

OTOT {4; {4; 55; 0}; 0}

OO

I

I

I

I

I

I

RR

FF

I

I

I

I

II

I

I

I

I

I

I

I

I

DD

EE

NN

MMTT

ODOD {-1; 3; 3}{-1; 3; 3}

OFOF {-1; 3;-6}{-1; 3;-6}

OMOM {5; 0; 0}{5; 0; 0}

OEOE {6; 0; 3}{6; 0; 3}

ONON {0; -3; 0}{0; -3; 0}

OROR {-2; -3; 4}{-2; -3; 4}

0 0 {0;0;0}{0;0;0}OO ((0; 0; 00; 0; 0))

ii {1;0;0}{1;0;0}

jj {0;1;0}{0;1;0}

e e {-1;0;0}{-1;0;0}

r r {0;-1;0}{0;-1;0}

yy

xx

zz


I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

jj

kk

iiOO

0 0 =0=0ii + + 00j j + + 00kk

kk {0;0;1}{0;0;1}

eerr

ff

f f {0;0;-1}{0;0;-1}

ee = –= – ii

rr = –= – jj

ff = –= – kk

ABAB

AA

BB

AB aAB a

AA

BBaa

Перпендикуляр на прямую

Перпендикуляр на плоскость

xx

zzНайти проекции точки

М на координатные плоскости.

yyОО

MM

MM11

MM22

MM33

M MM M11 ((x; y; x; y; 0)0)OxyOxy

M MM M22 ((00; y; z; y; z))OyzOyz

M MM M33 ((x; x; 00; z; z))OxzOxz

xxyy

zz

OxyOxy

OyzOyzOxzOxz

MM((xx; ; yy; ; zz))

xx

zz

yyОО

MM

xx

zz

OxyOxy

OyzOyzOxzOxz

M MM M11 ((x; x; 00; ; 0)0) OxOx

M MM M22 ((00; y; ; y; 00)) OyOy

M MM M33 (0(0; ; 00; z; z)) OzOz

Найти проекции точки М на оси координат.

MM22

MM11

MM33

yy

MM((xx; ; yy; ; zz))

Координаты равных Координаты равных векторов равны.векторов равны.

yy

xx

zz


I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

jj

kk

ii

p p {4; {4; 55; ; 88}}pp

I

I

I

I

I

I

I I

I

I

I

I

I

I

SS

OO

cc

c = pc = p

c c {4; {4; 55; ; 88}}

1) Какой из данных векторов равен вектору

33ii – –22kk2) Напишите разложение

вектора ОЕОЕ по координатным векторам

, иii jj3) Найдите координаты

вектора ООRR

4) Какой вектор имеет

координаты {2;3;0}{2;3;0}5) Отложите от т.О вектор с координатами

{-{-22; 3; 2}; 3; 2}

{-{-22;-3; 3};-3; 3}

== -2 -2ii ++33kk

ООMM = =

ООTT

ООDD

yy

xx

zz

I I I I I II I I I I I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

jj

kk

ii

I

I

I

I

I

I

RR

I

I

I

IDD

EE

NN

MM

TT

OOkk

xx

zzАСВОА1С1В1О1 прямоугольный

параллелепипед.Найти координаты векторов

yy

AA

OO11

BB

CC11AA11

BB11

CC

2233

22

№ № 405405

OOАА11 {{22; ; 00; ; 22}}

OOВВ11 {{00; ; 33; ; 22}}

OOОО11 {{00; ; 00; ; 22}}

OOСС {{22; ; 33; 0}; 0}

OOСС11 {{22; ; 33; ; 22}}

ВСВС11

{{22; ; 00; ; 22}}

АСАС11

{{00; ; 33; ; 22}}

ОО11СС {{22; ; 33; ; -2-2}}

ОО

Координаты вектора Разложение вектора по координатным векторам

a a {-6; 9; 5}{-6; 9; 5}

n n {-8; 0; 1}{-8; 0; 1}

mm{4; 0; 0}{4; 0; 0}c c {0; -7; 0}{0; -7; 0}

r r {-5;-8; 3}{-5;-8; 3}

s s {-7; 1; 0}{-7; 1; 0}e e {0;3; 21}{0;3; 21}

q q {0; 0; 2}{0; 0; 2}

n n = – 8= – 8ii++kk

c c = = ––77jjm m =4=4ii

s s = –7= –7i i + + jj

e e = 3= 3jj + +2121kkq q =2=2kk

????

????

??

??

??

??

a a = – 6= – 6ii++99jj++55kk

r r = –5= –5ii – –88j j +3+3kk

Координаты вектора Разложение вектора по координатным векторам

a a {-6; 9; 5}{-6; 9; 5}

n n {-8; 0; 1}{-8; 0; 1}

mm{4; 0; 0}{4; 0; 0}c c {0; -7; 0}{0; -7; 0}

r r {-5;-8; 3}{-5;-8; 3}

s s {-7; 1; 0}{-7; 1; 0}e e {0;3; 21}{0;3; 21}

q q {0; 0; 2}{0; 0; 2}

n n = – 8= – 8ii++kk

c c = = ––77jjm m =4=4ii

s s = –7= –7i i + + jj

e e = 3= 3jj + +2121kkq q =2=2kk

a a = – 6= – 6ii++99jj++55kk

r r = –5= –5ii – –88j j +3+3kk

Каждая координата суммы двух или более Каждая координата суммы двух или более векторов равна сумме соответствующих векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов.координат этих векторов.

1100

a+b a+b = = ++ ==

a +b a +b {{xx11+x+x22; ; yy11+y+y22;; z z11+z+z22}}

Рассмотрим векторы a a {{xx11;;yy11;;zz11}}

b b {{xx22;;yy22;;zz22}}

= (= (xx11++ xx22))ii ++ (y (y11 + + yy2 2 )) jj ++ (z (z11 + + zz2 2 ))kk

a a = = xx11ii +y +y1 1 j j +z+z1 1 kk

b b = = xx22ii +y +y2 2 j j +z+z2 2 kk

xx11ii +y +y1 1 j j +z+z1 1 kk


a a {3;-5;2}{3;-5;2}

b b {0;7;-1}{0;7;-1}

a +b a +b {3;2;1}{3;2;1}

a a {3;-5; 2}{3;-5; 2}c c { ;0; 0}{ ;0; 0}22

33

c +a c +a {{ 3 3 ;-5;2};-5;2}22

33

++ ++

№ 407Даны векторы

d d {-2,7; 3,1; 0,5}{-2,7; 3,1; 0,5}a a {3; -5; 2}{3; -5; 2},, b b {0; 7;-1}{0; 7;-1},,

c c { ; 0; 0}{ ; 0; 0},,22

33

Найдите

c +bc +b

d +bd +b

a +da +d

a +b +ca +b +c

a +b +da +b +d

{-2,7; 10,1; -0,5}{-2,7; 10,1; -0,5}

{0,3; -1,9; 2,5}{0,3; -1,9; 2,5}

{3 {3 ; 2; 1}; 2; 1}22

33

{0,3; 5,1; 1,5}{0,3; 5,1; 1,5}

{ ;7;-1}{ ;7;-1}22

33

aa –b –b = = –– ==

a –b a –b {{xx11–x–x22; ; yy1 1 –y–y22;; z z11– z– z22}}

Рассмотрим векторы a a {{xx11;;yy11;;zz11}}

b b {{xx22;;yy22;;zz22}}

= (= (xx11–– xx22))ii ++ (y (y11 – – yy2 2 )) jj ++ (z (z11 –z –z2 2 ))kk

a a = = xx11ii +y +y1 1 j j +z+z1 1 kk

b b = = xx22ii +y +y2 2 j j +z+z2 2 kk



Каждая координата разности двух векторов Каждая координата разности двух векторов равна разности соответствующих координат равна разности соответствующих координат этих векторов.этих векторов.

2200

( )( )

Каждая координата произведения вектора на Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей число равна произведению соответствующей координаты вектора на это число.координаты вектора на это число.

3300

ka ka {{kxkx; ; kyky;; kz kz}}

a a {{xx; ; yy; ; zz}}Рассмотрим вектор

kk

3333a a {-6; 3; 0}{-6; 3; 0}

a a {-2; 1;0}{-2; 1;0}

(-2)(-2)

-2-2a a {4; 0;-6}{4; 0;-6}

a a {-2; 0; 3}{-2; 0; 3}

(-(-11))

--a a {{2; -52; -5; 3}; 3}a a {-2; {-2; 55;-3};-3}

a a = = xxii +y +y j j +z+z kk

ka ka = = kxkxii +ky +ky jj +kz+kz kk

b b {-8;12;-3}{-8;12;-3}b b {-8;12;-3}{-8;12;-3}a a {-6; 9;1}{-6; 9;1}a a {-6; 9;1}{-6; 9;1}

--

a a - - b b {2;-3; 4}{2;-3; 4} ++

Найдите координаты вектора aa - - b b

-b-b{8;-12;3}{8;-12;3}

(-1)(-1)

1 1 способспособ

a a - - b b {2;-3; 4}{2;-3; 4}

22 способспособ

a a {-6; 9;1}{-6; 9;1} b b {-8;12;-3}{-8;12;-3}

--

++

(-1)(-1)

1 1 способспособ

a a - - b b {7;-2; 1}{7;-2; 1}

22 способспособ

a a {5;-1; 1}{5;-1; 1}

a a {5;-1; 1}{5;-1; 1}b b {-2;1; 0}{-2;1; 0}

b b {-2;1; 0}{-2;1; 0}

-b -b {2;-1; 0}{2;-1; 0}a a - - b b {7;-2; 1}{7;-2; 1}

Найдите координаты вектора , еслиaa - - b b№№409409

1) a a {5;-1; 1}; {5;-1; 1}; b b {-2;1; 0}{-2;1; 0}

++

Даны векторы

(-2)(-2)

33

№№441010

a a {-1; 2; 0}{-1; 2; 0} b b {0;-5;-2}{0;-5;-2}

Найдите координаты вектора

c c {2; 1;-3}{2; 1;-3}

pp = = 33b – b – 22a + ca + c

1)1)

33b b {0;-15;-6}{0;-15;-6}

2)2)

-2-2a a {2;-4; 0}{2;-4; 0}

3)3)

33b – b – 22a + ca + c

pp

{4;-18;-9}{4;-18;-9}

b b {0;-5;-2}{0;-5;-2}

33b b {0;-15;-6}{0;-15;-6}

a a {-1; 2; 0}{-1; 2; 0}

-2-2a a {2;-4; 0}{2;-4; 0}

c c {2; 1;-3}{2; 1;-3}

++

Даны векторы

(-2)(-2)

33

№№441010

a a {-1; 2; 0}{-1; 2; 0} b b {0;-5;-2}{0;-5;-2}

Найдите координаты вектора

c c {2; 1;-3}{2; 1;-3}

qq = = 33c – c – 22b + ab + a

1)1)

33c c {6; 3;-9}{6; 3;-9}

2)2)

3)3)

33c – c – 22b + ab + a

qq

{5;15;-5}{5;15;-5}

c c {2; 1;-3}{2; 1;-3}

b b {0;-5;-2}{0;-5;-2}

22b b {0;10; 4}{0;10; 4}

22b b {0;10; 4}{0;10; 4}

33c c {6; 3;-9}{6; 3;-9}

a a {-1; 2; 0}{-1; 2; 0}

xx

zzНайдите координаты остальных

вершин куба.

yyОО

B(B(33;;33;0);0)

CC

CC11

BB11AA11

AA

DD

DD11

xx

zzНайдите координаты остальных

вершин куба.

yy

B(B(44;;88;0);0)

CC

CC11

BB11AA11

AA

DD

DD11

ОО

Из АОС, = = AAО + ОСО + ОС

Найдите координаты векторов

yy

xx

zz

kk

ii

№№440808

jj

АА

ВВ

СС

OA=4OA=4

NN

ACAC

CB,CB, AB,AB, MN,MN, NP,NP, BM,BM, OM,OM, OP.OP.

OB=9OB=9OC=2OC=2

M, N P – середины отрезков АС, ОС и ВС

= –О= –ОAA + ОС + ОС = –4= –4ii + + 22kk

AC,AC,

AC {-4; 0 ; 2}AC {-4; 0 ; 2}

ММ

РР

OO

Координаты вектора

Documents