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第八章

損耗性存貨系統

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個案研究 任職於某大型量販店生鮮食品部門的經理，正為了部門裡牛奶的每日訂購量大傷腦筋，近來因為狂牛症的關係，造成鮮乳銷量下跌，但近來政府一再發佈消息，保證台灣本地鮮乳絕無受到狂牛症感染之疑慮。令經理煩心的是，鮮奶屬於損耗性商品，保存期限相當的短，訂的太多，怕民眾仍然顧慮狂牛症而販售不完；訂的太少，又怕損失利益。假如你是該部門經理，要如何來解決難題呢？

大家一起動動腦，看看到底應該訂多少？

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損耗性存貨的重要性存貨 (Inventory) 是一種具有經濟價值的閒置資源。

存貨存在的原因 : 需求不確定、品質不穩定、管理不當及防止缺貨……等。

存貨不足會導致缺貨、銷貨損失、顧客不滿意及生產瓶頸，最嚴重將會使商譽受損導致顧客的流失。

存貨過多會產生存貨成本的增加及營運資金的積壓，導致周轉資金的緊迫，阻礙企業的經營。

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損耗性存貨的重要性工商業界將存貨分為原料、在製品、製成品、組合件、消耗性材料等五類

在一般的存貨模式中，大都假設存貨可以無限的儲存，存貨的減少只因為供應需求及銷售。

在現實的情況，絕大多數存貨的價值和數量會在持有的過程中，隨著時間的因素使其減少或降低價值，如：發生腐敗、揮發、退化、變質等現象，這類的商品像是：生鮮蔬果、肉類、汽油等……，我們通常稱這類的存貨為「損耗性存貨」。

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損耗性存貨的重要性由於損耗現象普遍出現在一般日常生活中，損耗性存貨也因此會產生額外的成本，若不加入損耗性的因素探討，會造成因存貨模式結構的不完整而影響模式正確率；要是因此作出錯誤的決策，則將會導致更大的損失。

近年來，由於生鮮超市、半導體業及物流業的蓬勃發展，使得損耗性存貨的管理更值得重視。

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損耗之特性與種類多數產品在存貨持有的過程中，普遍發生損耗的現象。所謂「損耗」，是指物品無法正常執行其原有功能之任何情況，這種現象會造成存貨量的耗用比預期需求還多。

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損耗之特性與種類損耗的特性

Ghare 和 Schrade 將損耗分為下列三種：1. 直接損耗 (Direct Spoilage)

如：蔬菜、水果、生鮮食品……等易腐敗之食物。

圖 8.1 蔬菜、水果、生鮮食品……等易腐敗之食物

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損耗之特性與種類

2. 實質消耗 (Physical Depletion)

如：汽油、酒精……等揮發性之液體。

圖 8.2 汽油、酒精……等揮發性之液體

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損耗之特性與種類3. 退化 (Deterioration)

如：電子元件之功能退化、輻射性物質蛻變、底

片的變質、藥物過期所導致的失效……等。

圖 8.3 底片和藥物為易變質之物品

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損耗之特性與種類損耗的種類

在損耗性的類型方面，通常是以時間價值與產品壽命來區分：

1. 時間價值來分類 Raafat (1) 固定效用 (Utility Constant) 產品在其使用的期限內，功能雖然會隨存放時間 增加而減弱，但是使用期間前後的效用並不會有太 過顯著的差異，如藥水。 (2) 效用遞增 (Utility Increasing) 產品在使用的期限內，它的價值會隨著時間漸增而 增加其價值，如某些酒類。 (3) 效用遞減 (Utility Decreasing) 產品在使用的期限內，它的價值會隨著時間增加而 降低其價值，如蔬菜、水果及生鮮食品等。

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損耗之特性與種類2. 產品壽命來分類 Nahmias

(1) 固定壽命時間 (Fixed Lifetime)產品的生命週期是可預知，而且壽命與整個存貨系統之其他因素或參數無關，因此又稱為時間無關 (Time-independent) 的損耗。這類物品在生命週期內，其價值或功能會逐漸消退，當物品保存期間超過其壽命期間時，則此物品將被視為完全腐敗 (Completely Perish) ，而變得毫無價值可言，亦不能再使用，這類產品如：牛奶、血庫存貨及食品……等。

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損耗之特性與種類 2. 產品壽命來分類 Nahmias

(2) 隨機壽命時間 (Random Lifetime)這類產品無保存期限，而存貨在持有的過程中，產品的壽命是服從一機率分配的隨機變數。如：伽瑪 (Gamma) 分配、韋伯 (Weibull) 分配、指數 (Exponential) 分配等，產品即以某一分配的退化率逐漸縮短其壽命，此類損耗又稱為時間相關 (Time-dependent) 的耗損。這種產品如：電子元件、化學藥品……等。

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例題 1

假設某一產品第 1期的期初存貨為 200，每期期初的存貨會發生 20% 的損耗率，故存貨會隨著期數增加而遞減。本例題假設存貨的減少只因損耗的發生 ( 即不考慮需求的減少 )，試算出每期的期末存貨量：

動動腦，動動手

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解 : 期間 1 ： 期初存貨 = 200 損 耗 量 = 200 x 0.2 = 40 期末存貨 = 200 － 40 = 160 第 1 期的期末存貨等於第 2 期的期初存貨 160 。

期間 2 ： 期初存貨 = 160 損 耗 量 = 160 x 0.2 = 32 期末存貨 = 160 － 32 = 128以此類推可以完成下表，並了解每期期末存貨的影響。

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期間 期初存貨 本期損耗量 期末存貨

1 200 40 160

2 160 32 128

3 128 25.6 102.4

4 102.4 20.48 81.92

5 81.92 16.38 65.54

6 65.54 13.11 52.43

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需求率固定的損耗性訂購模式在六十年代，存貨模式的相關文獻中，大多假設物品為非損耗的情況。但傳統的 EOQ 存貨模式，其假設條件的限制太多，使它的實用性大為降低。

在 1961年 Hadley and Whitin 最先考慮到存貨在經過一段時間後會發生損耗的情形。之後的近數十年來，研究損耗性存貨的學者日益增加。

Ghare and Schrader 在 1963年首先探討損耗性存貨的存貨問題，放寬基本 EOQ 存貨模式的條件，並假設產品的損耗率服從指數分配，推導出固定損耗率的經濟訂購批量模式。此模式假設在時間 t 的需求率為 R(t) ，訂購期間的存貨水準為 Q(t) ， Q(t) 會受到需求率 R(t) 及損耗率 的影響，可經由微分方程式：

　　　　　　　　　　　　　　求得此存貨水準 Q(t)

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需求率固定的損耗性訂購模式在 1973年 Convert and Philip 將 Ghare and Schrader 的損耗性存貨模式，引入存貨損耗率服從二參數韋伯分配的情形，在時間點 t 時的需求函數為 D(t) ，訂購期間之存貨水準為Q(t) ，其中 α 、 β 為韋伯密度，利用微分方程式：

　 求得此存貨水準 Q(t)

Philip進一步的將 Convert and Philip所建立的模式擴充為存貨損耗率服從三參數韋伯分配的模式，並且分別討論產品在接收時已損耗與儲存一段時間才損耗，兩種情形對於決策的影響。在模式中損耗率函數為 g(t) ，其定義如下：

其中， γ 為韋伯分配的位置參數 (Location Parameter) 。

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需求率固定的損耗性訂購模式Shah 延伸了 Philip 的模式，加入了缺貨條件， Aggarwal隨即修正 Shah 在模式推導上的錯誤。 Tadikamalla則在 Philip 之後，提出存貨損耗率服從伽瑪分配時，在不允許缺貨的條件下建立基本模型。在此模式中說明了雖然伽瑪分配與韋伯分配的函數形狀很相似，但兩者所代表的損耗特性卻是不一樣的。此模式的損耗函數 g(t) 如下式所示：

，其中

　 f(t) 為伽瑪分配的機率密度函數 (Probability Density Funct

ion) ， α 為尺度 (Scale) 參數， β 為形狀 (Shape) 參數。Cohen考慮 Ghare and Schrader 的存貨模式，但以總獲利最大為目標，並加入了缺貨的情況。 Aggarwal and Jaggi則改善 Cohen 解題的過程，提出一套更為簡便的方法。Wee則將允許完全缺貨之假設條件修改為允許部份缺貨，加入指數分配損耗的訂購模式中。

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需求率固定的損耗性生產批量模式在 1975年Misra首先提出了在補貨率有限的情況下，產品的損耗服從伽瑪分配與二參數韋伯分配之生產批量模式。Mak 在 Misra 的指數分配損耗模式中加入了允許缺貨的假設。Kang 和 Kim 利用Misra 的模式，在指數分配的損耗下，以獲取最大利潤為目標，推導出最佳售價與生產時間的近似值。Wee則將缺貨的假設擴充為允許部份的缺貨。接著，Wee延續此假設條件，探討當時間為離散時的生產批量模式。Heng etc.藉由電腦為輔助工具，以程式的撰寫去求得近似解。

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需求率固定的損耗性生產批量模式Raafat etc.則以 Fibonacii Search 的方法求得最佳解。Chowdhury 和 Chaudhuri 在損耗率為指數分配的假設條件下，推導出需求為確定性及機率性的兩種存貨模式。Elsayed 和 Teresi則延伸 Chowdhury 和 Chaudhuri 之模式，並將損耗率修改成二參數之韋伯分配。Sarker etc.則考慮需求率受到存貨水準的影響，找出最佳的生產批量及存貨策略。

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需求率變動的損耗性訂購模式以上所討論的需求為固定模式，但在現實狀態下，某些產品的需求狀況不是固定不變的，可能會隨著時間有遞增或遞減的趨勢產生。因此，固定需求的模式便不適用，必須將需求隨著時間變動的情況導入模式中作探討，使其更符合實際狀況。早在 1977年， Donaldson即提出一套在有限的時間內，需求隨著時間呈線性變動且不允許缺貨產生的基本訂購模式。其介於計劃期間 (0, H) 的線性需求為：

R(u)= a + bu ，其中 a, b 為常數該模式考慮在時間 t至 (t+Δt) 所發生的需求為 R(t)Δt ，R(t) 為在時間點 t 時的需求函數，為一連續函數 (Continuous Function) ，並且導出了一連串的分析解 (Analytical Solution) 之求解方法。

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需求率變動的損耗性訂購模式1981年， Dave 和 Pate首先將需求率隨著時間線性遞增和損耗性存貨同時考慮，模式中的損耗率為一個固定的常數，以求得訂購週期固定且不允許缺貨情況下的最佳訂購批量。該模式提出 (T, ) 的損耗性存貨模式，其中 為訂購量， 為由起始點零到第 i個週期結束時的時間， i =1,2,…, m ，m 為訂購次數。模式中假設每個訂購週期之長度均相等，可無限補充存貨且前置時間為零，損耗率為常數 θ 。 (t) 為第 i個週期在時間點 t 時的存貨量，其存貨水準的變化可由此方程式表示：

由此式可推導單位時間的平均總成本，並且藉此求出總成本最低的訂購次數和各週期的訂購量。

iSiT

iQ

iS

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需求率變動的損耗性訂購模式 Bahari-Kashani 是以啟發式解 (Heuristic) 的方式，提出一套存貨模式，允許訂購週期和訂購數量變動，並得知週期變動時的成本是較低的。Chung 和 Ting則延伸 Bahari-Kashani 的模式，提出另一種 Heuristic 的方式，調整模式中的訂購週期步驟，使原本複雜的計算過程簡單化，但此模式是不考慮缺貨的情形。Hollier 和 Mak則推導出固定週期和變動週期兩種情況的訂購模式。Hariga 和 Benkherouf改善 Hollier 和 Mak 在週期變動時的求解方式，得到更精確的結果，也證明當初需求隨時間遞增或遞減時，其訂購週期也是遞增或遞減的。以上所探討的模式都是不允許缺貨的情況，但在某些環境之下，缺貨的發生是無法避免的，故以下探討允許缺貨的情況。

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需求率變動的損耗性訂購模式Sachan擴展 Dave 和 Pate 的模式，引入了缺貨的概念，決定最佳訂購次數是由訂購成本、存貨持有成本、損耗成本和缺貨成本所構成的變動成本所獲得。該模式假設為由起始時間零到第 i個週期存貨為零的時間 (i =1,2,3…, m) ，令 ， 0 γ 10≦ ≦ ，其中 γ表示缺貨期間佔訂購期間的比率，而短缺的數量在下一期即可獲得補充。Goswami 和 Chaudhuri 也是延伸 Dave 和 Pate 的模式，並考慮缺貨的情況，但假設最後一個訂購週期不允許缺貨且訂購週期是固定的。Hariga則延伸 Goswami 和 Chaudhuri 的存貨模式，並提出變動訂購週期的模式，但最後一個訂購週期並不允許缺貨的發生。Wee則進一步修改 Goswami 和 Chaudhuri 的模式，提出允許部份補足的存貨模式。Wu 和 Wang則以動態規劃的方法，在變動訂購週期與允許缺貨的情況之下，找出最佳訂購的政策。

1( )i i i it T T T

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需求率變動的損耗性生產批量模式在生產批量模式方面， 1991年 Aggarwal 和 Bahari-Kashani提出一個在有限期間之衰退市場中，週期固定且不允許缺貨的情況下，允許每一個週期生產率彈性變動的最佳生產策略。

Wee 則探討模式在假設時間是一個連續的變數時，在需求固定與允許部份補足缺貨的情況下，找出損耗性存貨的最佳生產策略。

Wee 則修正了 Wee 的模式假設，探討當時間是離散變數時，在有限生產率下的損耗性存貨模式的生產批量模式。在過去所探討的存貨模式均假設補貨率無限，但在現實環境中，補貨率不可能是無限的。因此，有限的補貨率較能符合實際的狀況。

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增值之存貨模式增值的現象發生於一項物品或農畜品價值或功能增加，它的意義大部份針對數量上的增加而言。這些產品通常包含魚類、雞、鴨、豬隻……等，都是屬於這一類的存貨模式。

增值 (Ameliorating) 的存貨模式通常在初期時成長較為快速，到了後期慢慢的減緩，這類的增值速率通常與時間有相關，因此韋伯分配常被用來作為增值速率 (Ameliorating Rate) 。

Hwang (1997) 考慮韋伯分配之增值速率的經濟訂購量 (EOQ) 存貨模式。他考慮部份可售的情況。此模式的最佳解釋可利用圖解分析法，此模式開啟了往後相關的研究。

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增值之存貨模式Hwang (1999) 更進一步考慮增值速率和損耗速率 (Deteriorating Rate) 同時發生的存貨模式。

Mondal 等多位學者 (2003) 考慮受價格影響的需求型態的增值存貨模式。

Hwang (2004) 發展 0-1規劃的增值存貨模式，藉此了解多個設施下的最少設置方式。

Moon (2005) 更將相關的存貨模式，在時間與經濟因素影響下，將時間價值與通貨膨脹列入增值速率和損耗速率同時發生的模式的討論之中。因此，增值因子在損耗性存貨模式中，其重要性可見一般。

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範例 Ghare 和 Schrader 在 1963年首先探討損耗性產品的存貨問題，他們放寬基本 EOQ 模式的條件，並假設產品的損耗率服從指數分配，推導出含固定損耗率的經濟訂購批量模式 ( 如圖 8.4) ：

時間

Q(0)存貨水準

0 T

Q(T)

t (t+ d t)

d t

圖 8.4 呈指數分配的損耗性存貨水準

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例題 2

損耗性為指數分配之存貨模式。此模式假設在時間 t 的需求率為 R(t) ，訂購期間的存貨水準為 Q(t) ， Q(t) 會受到需求率 R(t) 及損耗率 θ 的影響，可經由微分方程式：

想想看

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解 :

θ ：為常數，表示固定的退化率 (θ服從指數分配 )

R(t) ：為常數，表示固定的需求率

解開此微分方程式，可求得此存貨水準 Q(t) ：

在 1973年 Convert 和 Philip 將 Ghare 和 Schrader 的損耗性存貨模式，引入存貨損耗率服從二參數韋伯分配的情形 (圖 8.5) 。

時間

存貨水

準

Q(0)D(t)

t (t+ d t)

有損耗

無損耗

T0

圖 8.5 呈韋伯分配的損耗性存貨水準

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例題 3

損耗性為韋伯分配之存貨模式。在時間點 t 時的需求函數為 D(t) ，訂購期間的存貨水準為 Q(t) ，其中 α 、 β 為韋伯密度 (Weibull Density) ，利用下列微分方程式，求得此存貨水準 Q(t) ：

試試看

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解 :

α ：為該分配的尺度參數

β ：為該分配的形狀參數 D(t) ：表示固定的需求率 解開此微分方程式，可求得此存貨水準 Q(t) ：

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結論

損耗性產品包含的範圍很廣，在日常生活中常見的有蔬果、魚肉、汽油……等。近年來，隨著生鮮超市、半導體業及物流業的蓬勃發展，損耗性存貨的管理愈來愈受到重視，故在存貨模式的研究中應導入損耗因素加以考慮，使模式更符合實務上之使用。