اصول شبیه سازی

اصول شبیه سازی

هفته سوم

2

مروری بر واژه ها و مفاهیم•متغیرهای تصادفی–انواع متغیر های تصادفی–تابع توزیع تجمعی–گشتاور، امید ریاضی، واریانس–مد و میانه–

مدلهای آماری سودمند•سیستمهای صف–مدلهای موجودی–پایایی و نگهداری پذیری–داده های محدود–سایر توزیعها–

توزیعهای گسسته•توزیع یکنواخت گسسته–آزمایش برنویی و توزیع برنویی–توزیع دوجمله ای–توزیع هندسی–توزیع پواسون–

فهرست مطالب

هفته سوم

3

توزیعهای پیوسته•توزیع یکنواخت–توزیع نمایی–توزیع گاما–توزیع مربع کای–توزیع ارلنگ–توزیع نرمال–توزیع لوگنرمال–توزیع بتا–توزیع ویبول–توزیع تی استیودنت–توزیع فیشر–توزیع مثلثی–

فرآیند پوآسون•توزیعهای تجربی•

فهرست مطالب

هفته سوم

4

متغیر های تصادفی•متغیر تصادفی تابعی حقیقی است از فضای –

نمونه به مجموعۀJ اعداد حقیقی که به هر پیشامد فضای نمونه عددی حقیقی نسبت می

دهد.

مروری بر واژه ها و مفاهیم

هفته سوم

RS :)(

5

انواع متغیر تصادفی•متغیر تصادفی گسسته –

«X هNک مقNادیری اگNر می نامنNد، تصNادفی گسسNته متغNیر می گNیرد Xرا متناهی یا نامتناهی شمارا باشد.

تعداد سفارش هایی که به کارگاه می رسد–

انداختن یک تاس و آمدن یک عدد خاص–

تاس ناسالم که احتمال آمدن هر وجه آن با عدد هر وجه متناسب است.–

متغیر تصادفی پیوسته–«X را کNه مقNادیری اگNر می نامنNد، پیوسNته تصNادفی می گNیرد XمتغNیر

فاصله ای از مجموعه فواصل باشد.عمر یک المپ–


هفته سوم

ixi

i

xp

xp

1

10

0

1

0

0

0

x

x

x

x

R

dxf

dxf

xf

X

6

تابع توزیع تجمعی•


هفته سوم

baaFbFbxap

xF

xF

dttf

xp

xXpxF

x

x

x

xxi

i

;

0

1

lim

lim

b

a

dxxfaFF(b)bxapbxapbxapbxap )(

then variablestochastic Continuse wasX If

7

گشتاور، امید ریاضی، واریانس•


هفته سوم

dxxfx

xpx

xEn

ii

ni

nn)(

dxxfx

xpx

xEn

ii

n

nn

)(

)(

)()(

dxxxf

xpx

xEix

ii

2)2(

2222222

2222

22

)(2var

xExExExExExxEExEExE

xxExExExExEx

8

گشتاور، امید ریاضی، واریانس•مثال–

تاس غیر منصف»

عمر المپ»


هفته سوم

Xi 1 2 3 4 5 6P(xi) 1/21 2/21 3/21 4/21 5/21 6/21F(X) 1/21 3/21 6/21 10/21 15/21 1

24428)(821,2

2

1

121

21,145.032,

0

2

0

22

0

0

21

22

222

2

xVardxexxExVarxexE

edtedtexFxpo

xexf

xx

xttx xx

22.278.182133.4var

33.421

66.....

21

22

21

11

2222

xExExEx

xE

9

مد و میانه•مد–

مد در متغیر گسسته مقداری از متغیر تصادفی است »که بیشتر از همه روی می دهد.

مد در متغیر پیوسته مقدار ماکسیمم تابع توزیع است»میانه–

میانه در متغیر تصادفی پیوسته مقداری از متغیر »تصادفی است که:

ی است کهxمیانه در متغیر تصادفی گسسته اولین »


هفته سوم

2

1)( xXp

2

1)( xXp

10

مد و میانه•مثال–

تاس غیر منصف»

عمر المپ»


هفته سوم

3865.12

1ln

22

1

2

11

2

12

1

2

1

222

2

0

0

xx

eedte

dte

xxt

t

x

x

521

2115 xxXp

11

سیستمهای صف• توزیع نمایی باشد اغلب دارایمدت خدمت دهی کامال تصادفی اگر –

است.تحت تاثیر تغییرات تصادفی باشد ولی مدت خدمت دهی ثابتاگر –

استفاده می گردد.توزیع نرمال نوسان نماید از پیروی می کند توزیع نرمال مورد نظر از پدیدهاگر به نظر برسد که –

از مقدار متغیر تصادفی مقید به بزرگتر بودن یا کوچکتر بودنولی استفاده می گردد.توزیع نرمال بریده خاصی باشد از

توزیع های از خدمت دهی و مدتهای بین دو ورود به منظور مدلسازی –نیز استفاده می گردد)توزیع نمایی حالت خاصی از این دو وایبل و گاما توزیع است(

آنهاست مد توزیع نمایی در صفر است مد بین این سه توزیع در تفاوت–ولی دو توزیع دیگر دارای مد بزرگتر از صفرند.

وایبل توزیع کران است ولی کشیده نمایی توزیع مانند گاما توزیع کران– کند.نزول از توزیع نمایی کندتر یا تندترممکن است

بتواند نمایی توزیع از آن باشد که بیش دهی خدمت بزرگ مدتهایاگر – استفاده خواهد شد.وایبل توزیعپاسخگوی آن شود از

مدلهای آماری سودمند

هفته سوم

12

مدلهای موجودی•ست.گاما توزیعاغلب مهلت تحویل توزیع –، طیفی از شکلهای منفی ای دوجمله و پواسون، هندسیتوزیع –

مطابقت دارد.تقاضا الگویتوزیع را در بر می گیرند که با انواع مد توزیع هندسی که نوع خاصی از توزیع دوجمله ای منفی –

است به شرط اینکه دست کم یک تقاضا رخ داده باشد یک خواهد بود.

داشته باشند کشیده کرانی تقاضااگر داده های مربوط به –مناسب باشد.دوجمله ای منفی ممکن است توزیع

منفی ای دوجمله کران از تر کوتاه به طور کلی پواسون کران–است.

دوجمله توزیع به کار رود نسبت به زمانی که پواسون مدلاگر – رخ کمتر زیاد تقاضاهای مورد استفاده قرار می گیرد ای منفیمی دهد.


هفته سوم

13

پایایی و نگهداری پذیری•رخ دهد می توان از بازمانی های تصادفی اگر فقط –

استفاده نمود.توزیع نمایی توزیع مدت از مدلسازی مکانیزمی که توزیع گاما –

به وجود می آید.بازمانی هر جزء آن نمایی استبازمانی ناشی در سیستم باشد و جزء تعدادیهرگاه –

از جدیدترین نقص از میان همه نقص های ممکن عملکرد خوبی دارد.توزیع وایبول باشد

بازمانی ها ناشی از فرسودگی در وضعیتهایی که –مناسب است.توزیع نرمال باشد

مدت برای برخی از قطعات توزیع لوگنرمال و در – مناسب تشخیص داده شده است.زمان تا بازمانی


هفته سوم

14

داده های محدود• باشد و مدت بین دو ورود یا خدمت دهی تصادفیاگر –

استفاده می شود.یکنواخت توزیع باشد از ناقص ما اطالعات استفاده کرد که در مورد مثلثی توزیعزمانی می توان از –

صورت گرفته فرضهایی متغیر تصادفی مد و ماکسیمم، مینمیمباشد.

را فراهم واحد فاصله در توزیع شکلهای گونه هایی از بتا توزیع– فاصله هر می توان آن را به مناسب تغییراتمی آورد که با

دلخواهی انتقال داد..بتاست توزیع از خاصی نوع یکنواخت توزیع–

سایر توزیعها•در توزیع های گسسته و توزیع دوجمله ای و برنوییتوزیع های –

در توزیع های پیوسته نیز در شبیه سازی نمایی فوقکاربردهایی دارند.


هفته سوم

15

توزیع یکنواخت گسسته•

توزیعهای گسسته

هفته سوم

,...,k,,xk

xp 321; 1

)(

12

1

4

)1(

6

)12)(1(*

1

)2

1(

1)()()(

2

1

2

)1(*

111)(

2

2

2

1

222

11

k

kkkk

k

k

kxxExExVar

kkk

kx

kkxxE

k

x

k

x

k

x

16

آزمایش برنویی و توزیع برنویی•(دارای دو نتیجه Xمتغیر تصادفی برنولی )–

پیروزی و شکست می باشد. بنابراین فضای در نظر S={0,1}نمونه را می توان به شکل

نشان 1 نشانگر شکست و 0گرفت که در آن دهنده پیروزی است. توزیع برنولی به صورت

Ber(p) نشان داده می شود که در آن p احتمال احتمال شکست می p-1موفقیت و در نتیجه

باشد. نکات زیر در مورد این متغیر تصادفی قابل استخراج است.


هفته سوم

pqpppqpxExExVar

pqpxE

xqpxpxp

xpxp xx

)1()01()()(

01

1,0 ; 0 1

1

22222

1

17

توزیع دوجمله ای• متغیر تصادفی برنولی با هم جمع nفرض کنید –

شوند. حاصل متغیر تصادفی است که می توان آزمایش nآن را با عنوان تعداد پیروزی ها در

برنولی تعبیر نمود. تابع توزیع این متغیر تصادفی را می توان به صورت زیر بدست آورد:

با توجه به تعریف متغیر تصادفی دو جمله ای –داریم:


هفته سوم

otherwise 0

n,...0x qpx

n

xpxnx

11

1

1

1

1

1

1

0

0

1

1

1

10

nnn

x

xnx

n

x

xnxn

x

xnxn

x

xnxn

x

xnx

qpqpx

nنکتهnpqp

x

nnppqp

x

nnqp

x

nnqp

x

nxxE

18

توزیع دوجمله ای•


هفته سوم

npqpnppnnpnppnxExExxExVar

nppnpnn

qpx

nnnqp

x

nxnqp

x

nxxxxE

n

x

xnxn

x

xnxn

x

xnx

11)(

1

2

21

1

1111

222222

2222

000

npqxnxx

npxExE

XXXX

i

n

ii

n

ii

n

varvarvar

...

1

1

21

19

توزیع دوجمله ای•در یک فرایندساخت، چیپ های نیمه رسانایی با مثال:–

% معیوب تولید می شوند. در این سیستم 2نسبت تایی گرفته شده و اگر در 50تولیدی هر روز یک نمونه

قطعه معیوب باشد فرایند متوقف 2نمونه بیشتر از می شود. احتمال توقف فرایند را در هر روز بیابید.

حل: ابتNدا بایسNتی متغNیر تصNادفی در این سNوال تعریNف شNود.

X تعداد واحدهای ناقص


هفته سوم

98.098.002.050var

102.050

08.092.012101212

98.002.050

x

xE

xpxpxpXpxp

xxp xnx

20

توزیع هندسی•آزمNایش هNای برنNولی مسNتقل از هم را در نظNر بگیریNد. متغNیر تصNادفی هندسNی –

(X عNیNتوزN د. اینNباش NمیN وفقیتNن مNیNاول NهNن بNدNیNرس NاNلی تNوNبرن NیNاNیش هNاNمNآز NدادNتعN )

اNحتمNال NشکسNت p-1 اNحتمNاNل مNوNفقیت و( p نNشNانN داNده مNی شNود.Ge(p)بNه NشNکل

مNی NباشNد(. از NآنجNا کNهN تNعNداد NآزمNایNش هNا نNامNحNدوNد میN NباشNدN فNضNاNی حNالNت بNه شNکل

S={1,2,…,k,...} ال متغیر تصادفیNحتمNابع اNت. تNاس x:اشد و داریمNزیر می بN شکلN به • P(x) =q x-1p; x=1, 2, …

– E(x) =1/p– var(x) =q/p2

توزیع هندسی به طور گسترده در مدل های ریاضی به –علت خاصیت بی حافظگی این توزیع استفاده می

شود. بی حافظگی یعنی:


هفته سوم

1n ; )( | nxpkxnkxp

21

توزیع هندسی•مثال:در مثال قبل احتمال اینکه سومین نمونه، –

اولین معیوب باشد را بیابید.

پیروزی: یافتن معیوبP(x=3) =0.982 *0.02


هفته سوم

22

توزیع پواسون•

تمام خصوصیات تابع احتمال را xدر نتیجه متغیر تصادفی دارد و تابع توزیع آن تقریبی از تابع توزیع متغیر تصادفی دو

جمله ای است.


هفته سوم

npn

qpx

nxp xnx

,

x

nnxn

xnn

n

xnx

n

n

x

nnx

xnnnxp

11!

1...111

1!

1....1)(

121

lim

lim

exf xf

xf

)(1

1(lim0)(

exxp x

!1)(

nnpqx

npxE

n

1var lim

eek

ek

ex

ex

exxE

k

k

k

k

x

x

x

x

00

1

10 !!!1!

23

توزیع پواسون•اگر تقاضا در مهلت تحویل برای محصولی دارای –

داشته باشد، با 10توزیع پواسون با میانگین % در برابر کمبود نقطه 95فاصله اطمینان

سفارش مجدد را مشخص نمایید.


هفته سوم

!

10

!

10

x

e

x

exp

xx

15,....2,1

95.0!

10

0

10

xxx

i

ex

i

i

24

توزیع یکنواخت• S=[a,b],b>a در بازه Xمتغیر تصادفی یکنواخت –

مقادیری را اختیار می کند که دارای احتمال یکسان می باشند. توزیع یکنواخت به صورت

Unif(a,b) نشان داده می شود. تابع چگالی به شکل زیر می باشد:

توزیعهای پیوسته

هفته سوم

otherwise

bxaabxf

0

1

bx

bxaab

ax

ax

xF

1

0

ab

xxxXxp

1221

12

var

22ab

x

baxE

25

توزیع نمایی•

خاصیت بی حافظگی توزیع نمایی–


هفته سوم

otherwise

xexf

x

0

0 01 xexF x

21var

1

x

xE

)(~ Expx

txpe

e

e

sxp

tsxp

txpsxtsxp

ts

ts

|

26

توزیع گاما•تابع گاما–

تابع توزیع گاما–


هفته سوم

! 1

110

1

dxex x

12

1

11

1

)(*)(

)(*)(

ion distributa , has ion then distributa )( has If

iii

ii

ii

ii

i

iii

XVarXVarXVarxVar

XEXEXExE

GammaXXExpX

27

توزیع گاما•تابع توزیع گاما–


هفته سوم

otherwise

xexxf

Gammax

x

0

0

),(~

1

xx eexxf

11

11

28

توزیع مربع کای•


هفته سوم

otherwise

xexvxf

vGammax

xv

v

0

0

2

)21

(

)2

1,

2(~

21

2

2

otherwise

xexvxf

xx

xv

v

0

0

2

)21

(

)square(-Chi~

21

2

2

29

توزیع ارلنگ•همان تابع توزیع گاما در حالتی است که –

است. در این حالت داریم


هفته سوم

N

1

0

1

!1

!1

i

ixx

i

xexFexxf

),(~ Erlangx

30

توزیع ارلنگ• ساعت با 1000مثال:دو المپ با عمر متوسط –

توزیع نمایی به گونه ای بسته شده اند که در صورت خارج شدن یکی المپ دیگر روشن

ساعت 2160می شود. احتمال اینکه بعد از المپی روشن باشد، چقدر است.

• X=X1+X2

– X1 ~EXP (1/1000)

– X2~EXP (1/1000)


هفته سوم

36.064.01

64.0636.0!

16.21

!1

!1

1

0

160.2

1

0

100011

0

10001

i

i

i

ix

i

ix

iexF

i

xe

i

xexF

31

توزیع ارلنگ•

یNک معاینNه پزشNک سNه مرحلNه دارد کNه هNر کNدام دارای توزیNع مثNال:–

دقیقNه اسNت. بNا این فرضNیات احتمNال مNدت معاینNه 20نمNایی بNا میNانگین

دقیقه باشد را بیابید.50کمتر از

X=X1+X2+X3

– X1 ~EXP (1/20)

– X2~EXP (1/20)

– X3~EXP (1/20)


هفته سوم

457.0543.01

!

5.21

!

50150

2

0

5.22

0

201

50201

i

i

i

i

ie

ieF

603

201

k

xE 402131ˆ20

120

1

k

M

32

توزیع نرمال•


هفته سوم

1,0~;2

1 5)

2

1

2

1 4)

])(Arg[ 3)

2)

01)

2

1

,~

2

22

21

2

21

2

1

2

1

)(

2

limlim

Nzzezf

xdzedtexXpxF

xfMax

xfxf

xfxf

xexf

NX

z

x

zx x

xx

x

33

توزیع نرمال•


هفته سوم

222222

2

)()()()()(

2

1)(

,~2

21

xExExVar

dexdxxfxE

NX

x

x

x

34

توزیع نرمال•مثال–


هفته سوم

9772.0223

5056

3

5056

zpX

pxp

3413.0084134.015.0115.0

110220

2

1210

2

121210121210

1587.012

121010

FFXp

F

56)p( Calculate 9,50~ If xNX

)12p(10 and )01p( Calculate 4,12~ If xxNX

35

توزیع نرمال•مثال:اگر تقاضا برای محصولی دارای توزیع نرمال –

باشد، نقطه سفارش 9 و واریانس 25با میانگین % 5مجدد را به گونه ای بیابید که کمبود فقط در

مواقع رخ دهد.

واحد سفارش 30اگر به هنگام رسیدن تقاضا به –% مواقع کمبود داریم.5خرید صادر شود فقط در


هفته سوم

30935.2965.13

2595.0

3

25

05.03

251

05.0

00

0

0

xx

x

xxp

36

توزیع لوگنرمال•متغیر تصادفی لوگنرمال همواره مثبت می باشد –

و اغلب برای مدلسازی فرآیندهای تصادفی مالی به کار می رود.


onDistributi Normal has Xهفته سوم

then eY andon Distributi Lognormal has Y If

Note

)1(ee)(,e)(

0 , e2

1)(

X

22

2

)-(lnx

22

2

2

xVarxE

xxf

2,~ LognX

37

توزیع بتا•


هفته سوم

)1()()(,)(

1 0 , ),(

)1()(:onDistributiBETA

)(

)()()1(),( :FunctionBETA

2

11

0

11

xVarxE

XB

xxxf

dxxxB

38

توزیع ویبول•متغیرهای تصادفی وایبول اغلب در مدلسازی –

فرآیند فرسودگی اجزا در تحلیل قابلیت اطمینان استفاده می شوند.


هفته سوم

)11

()12

()(

)11

()(

0 , e)(

22

)(-1

xVar

xE

Xxxf

,~ WeibullX

39

توزیع تی استیودنت•


هفته سوم

nStudentTX ~

Where Z is a standard normal random variable, Y is a chi-square random variable with n

degrees of freedom, and Z and Y are independent. X has T-Student distribution

2)( , 0)(

n

nxVarxE

nY

ZX

xn

x

nn

nxf n

X ,)1()2/(

)2/)1(()( 2/)1(

2

40

توزیع فیشر•


هفته سوم

21,~ nnFX

where V and W are independent chi-square random variables with the corresponding degrees of

freedom n1,n2 X has F distribution with n1,n2 degrees of freedom.

xx

x

nn

nnxf

nnnn

nn

nn

X 0,]1[

][)2/()2/(

)2/)(()(

2/)(

1)2/(2/

21

21

21

2

1

1

1

2

1

)4()2)(4(

)2(2)(

)2(2

)(

2221

212

2

22

2

fornnnn

nnnXVar

fornn

nXE

2

1

/

/

nW

nVX

41

توزیع مثلثی•مقادیر موجود در X متغیر تصادفی توزیع مثلثی –

را اختیار می کند. احتمال در زیربازه S=[a,c]بازه [a,b ] به صورت خطی افزایش می یابد و در

به صورت خطی کاهش می یابد. [ b,c]زیربازه بنابراین تابع چگالی این متغیر دارای شکل

Tria(a,b,c)مثلثی می باشد. توزیع مثلثی با نماد نشان می دهند و تابع چگالی آن به صورت زیر

به دست می آید:


هفته سوم

axcx

cxbacbc

xc

bxaacab

ax

xf

, 0

))((

)(2

))((

)(2

18)(

3)(

222 bcacabcbaxVar

cbaxE

42

تعريف: يك فرآيند پواسون داراي ويژگي هاي زير است:–پيشامدها به صورت تصادفي در نقاط خاصي از زمان/مكان رخ مي »

دهند.احتمال اينكه دقيقا يك نتيجه از پيشامد مورد نظر در فاصله »

زماني/مكاني به طول به دست آيد برابر است كه در آن چنان است كه

)متوسط تعداد نتايج بدست آمده در واحد زمان ثابت است(احتمال اينكه پيشامد مورد نظر بيشتر از يك نتيجه در فاصله اي به »

)احتمال به دست طول داشته باشد برابر است. آوردن بيش از يك نتيجه در يك فاصله زماني كوچك قابل اغماض

است( و به ازاي هر مجموعه از nبه ازاي هر يك از اعداد صحيح مانند »

ji پيشامدي باشد كه دقيقا Ei اگر jn،... و j1،j2زيرفاصله هاي ناسازگار امين زيرفاصله قرار مي گيرند، آنگاه iعدد از پيشامد موردنظر در

Ei .تعداد نتايج حاصله در زمان معيني مستقل ها مستقل از يكديگرند(از تعداد نتايج حاصله در دوره زماني ناسازگار با دوره قبلي است(

فرآیند پوآسون

هفته سوم

t)( tOt )( tO

0)(

0

t

tOLim t

t)( tO

,...1,0 ;

!

nn

tensNstNp

nt

43

نکاتی در توزیع پواسون•


هفته سوم

p

1-p

ورود دارای توزیع λ پواسون با نرخ

است

ورود به این صف دارای توزیع پواسون

است λp با نرخ

ورود به این صف دارای توزیع پواسون با نرخ

λ(1-p)است

44

نکاتی در توزیع پواسون•


هفته سوم

ورود دارای

توزیع پواسون

استλp با نرخ

ورود دارای توزیع

پواسون با نرخ

λ(1-p)استت

ورود به این فرآیند دارای توزیع پواسون با نرخ

λاست

45

رابطه میان فرآیند پواسون و توزیع نمایی• t تا 0اگر تعداد پیروزی ها در فاصله زمانی –

دارای توزیع پواسون باشد، می توان نشان داد که زمان رسیدن به اولین پیروزی دارای توزیع

نمایی است.اثبات: –


هفته سوم

)(~

)1()(1!0

)(1

) (1)(1)(

,...1,0 ; !

)()(

)(~

0

Expt

eet

tfete

ptTptTp

nn

tentNp

tPoissonX

tttt

nt

tصفر پیروزی در فاصله زمانی صفر تا

46

اینکه یک متغیر تصادفی دارای تعیینهرگاه •ناممکن یا معلوم خاصی است توزیع

استفاده توزیع تجربی باشد از غیرضروری می شود.

امکان در شبیه سازی توزیع معلوم امتیاز •تحلیل به منظور انجام اصالح پارامترها

است.حساسیت

توزیعهای تجربی

هفته سوم

اصول شبیه سازی

Documents