ΕΡΓΟ ΚΑΙ ΜΕΤΑΒΟΛΕΣ ΤΗΣ ΚΙΝΗΤΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ

Έργο σταθερής δύναμης

• Αν ένα σώμα σπρώχνεται οριζόντια από μια δύναμη τότε η δύναμη επιταχύνει το σώμα

Κινητική Ενέργεια

• Η κινητική ενέργεια ενός σώματος ορίζεται από την σχέση: Κινητική ενέργεια = ½ m.v²

2

21 mή

Τελική Κινητική Ενέργεια με βάση την ολική δύναμη: αν ένα σώμα ξεκινά από την ηρεμία με επιτάχυνση α τότε σε χρόνο t η ταχύτητα που

αποκτά είναι: v=α·t, το διάστημα που διανύει είναι d = ½ α·t² damtaamtamvmE ή 222

21

21

21

dFE ή

amF

Έργο

s Η Τριβή είναι αμελητέα

Αρχική ταχύτητα

• Υπόθεσε τώρα ότι σπρώχνεις το σώμα (το δρομέα) οριζόντια, τον σπρώχνεις με μία δύναμη που έχει το ίδιο μέτρο όπως και πριν αλλά με μία γωνία θ προς τα δεξιά και κάτω. Η μετατόπιση του δρομέα είναι .

s

Η Τριβή είναι αμελητέα


ώόF

ώόF

FF

Σχέση για έργο• Β. Γράψε μια σχέση που να δείχνει τη σχέση

μεταξύ του μέτρου της ολικής δύναμης που ενεργεί στο δρομέα και της δύναμης στο δρομέα από το χέρι.

FF

ΔsFFΕΡΓΟ

ΣΥΝΙΣΤΩΣΑΟΡΙΖΟΝΤΙΑ s

Νόημα της σχέσης έργου• Το έργο είναι το γινόμενο της συνιστώσας της δύναμης

κατά μήκος της διεύθυνσης της μετατόπισης, όμως μπορούμε να πούμε ότι είναι το γινόμενο της συνιστώσας της μετατόπισης κατά τη διεύθυνση της δύναμης.

Α) Το έργο είναι ίσο με το γινόμενο του μέτρου της μετατόπισης επί τη συνιστώσα της δύναμης κατά μήκος της μετατόπισης

Νόημα της σχέσης έργου• Β) Είναι το γινόμενο της συνιστώσας της μετατόπισης

κατά την κατεύθυνση της δύναμης X τη δύναμη

H εξίσωση:

είναι γνωστή ως θεώρημα έργου – ενέργειας

• H ποσότητα είναι το έργο που δίνεται σε ένα στερεό σώμα από ένα παράγοντα που ασκεί τη δύναμη . Για παράδειγμα η ποσότητα είναι ”το έργο που δίνεται στο δρομέα από το χέρι.”

Εσωτερικό γινόμενο·· sFsF

·· sFWE ήήήή

Διατύπωσε το θεώρημα έργου ενέργειας με λόγια.Η μεταβολή της κινητικής ενέργειας είναι ίση με το έργο

Ι. Σχετίζοντας το έργο με μεταβολές της κινητικής ενέργειας

Ένα αντικείμενο κινείται προς τα αριστερά πάνω σε ένα οριζόντιο τραπέζι χωρίς τριβή. Υφίσταται την επίδραση του χεριού που ασκεί μια σταθερή δύναμη .

Μετατόπιση του αντικειμένου Δύναμη του χεριού πάνω στο αντικείμενο

. Υπόθεσε ότι το έργο που παράγεται στο αντικείμενο από το χέρι είναι θετικό. Σχεδίασε δεξιά βέλη που να δείχνουν την κατεύθυνση της μετατόπισης του αντικειμένου και την κατεύθυνση της δύναμης του χεριού.






Να εξηγήσεις πως διάλεξες την κατεύθυνση της δύναμης που ασκεί το χέρι στο αντικείμενο. Θα πρέπει να έχουμε αύξηση της ταχύτητας πράγμα που σημαίνει ότι η δύναμη θα έχει παράλληλη συνιστώσα προς τη μετατόπιση με την ίδια φορά με τη μετατόπιση



Το αντικείμενο επιταχύνεται, επιβραδύνεται ή κινείται με ταχύτητα σταθερού μέτρου; ΕξήγησεΕπιταχύνεται, όπως εξηγήθηκε




Υπόθεσε ότι το αντικείμενο κινείται ξανά προς τα αριστερά, όμως τώρα το έργο που γίνεται από το χέρι είναι αρνητικό. Στο χώρο δεξιά, σχεδίασε βέλη για να αναπαραστήσεις την κατεύθυνση της μετατόπισης του αντικειμένου και την κατεύθυνση της δύναμης που ασκεί το χέρι.

Το αντικείμενο, επιβραδύνεται καθώς η επιτάχυνση που αποκτά το σώμα με την επίδραση της δύναμης αυτήςέχει συνιστώσα παράλληλη προς τη μετατόπιση αντίθετη προς τη μετατόπιση



Σε ένα άλλο πείραμα, δύο χέρια σπρώχνουν οριζόντια το αντικείμενο. Το χέρι 1 παράγει θετικό έργο ενώ το χέρι 2 παράγει αρνητικό έργο (WX1 >0· WX2<0).Για κάθε μια από τις ακόλουθες περιπτώσεις να σχεδιάσεις για το αντικείμενο ένα διάγραμμα ελεύθερου σώματος που να δείχνει όλες τις κατακόρυφες και οριζόντιες δυνάμεις. Να πεις αν το άθροισμα WX1 + WX2 είναι θετικό, αρνητικό ή μηδενικό.

Το αντικείμενο κινείται προς τα δεξιά και επιταχύνεται

Το αντικείμενο κινείται προς τα αριστερά και επιταχύνεται

FX1FX2

Βάρος

Κάθετηαντίδραση

FX2FX1

Βάρος


FX2

Βάρος


FX1 FX2FX1

Βάρος

ΚάθετηαντίδρασηΔ 𝑠

Δ 𝑠 Δ 𝑠

Δ 𝑠

WX1 + WX2 >0 WX1 + WX2 >0

WX1 + WX2 <0 WX1 + WX2 <0

Το αντικείμενο κινείται προς τα αριστερά και επιβραδύνεται

Το αντικείμενο κινείται προς τα δεξιά και επιβραδύνεται

Δείχνεται δεξιά ένα «πλευρικό» διάγραμμα της μετατόπισης , κατά την οποία μετατοπίζεται το αντικείμενο πάνω σε ένα τραπέζι καθώς σπρώχνεται από το χέρι. Δείχνεται η οριζόντια δύναμη

Υπόθεσε ότι το χέρι σπρώχνει με μια δύναμη που έχει το ίδιο μέτρο FΑΧ, όπως και προηγουμένως, όμως τώρα κάνει μια γωνία κάτω από την οριζόντια διεύθυνση όπως δείχνεται στο διάγραμμα πλευρικής άποψης δεξιά. Το έργο που παράγεται από τη νέα δύναμη είναι μεγαλύτερο από, μικρότερο από, ή ίσο με το έργο που έκανε η αρχική δύναμη;Τώρα η επιτάχυνση έχει μια συνιστώσα παράλληλη προς τη μετατόπιση που είναι

μικρότερη από προηγούμενα άρα θα έχει μικρότερη αύξηση του μέτρου της ταχύτητας

Να εξηγήσεις πως χρησιμοποίησες τον ορισμό του έργου για να δώσεις την απάντηση σου

Αφού το έργο είναι W=F·Δs·συνθ και η γωνία είναι οξεία, το έργο είναι θετικό αλλά επειδή το συνθ<1 το έργο είναι μικρότερο από προηγουμένως

Υπόθεσε τώρα ότι το χέρι σπρώχνει με μια δύναμη ίδιου μέτρου FΑΧ, όπως και πριν, αλλά τώρα όμως παράγει έργο μηδενικό Στο χώρο δεξιά σχεδίασε ένα βέλος για να αναπαραστήσεις την κατεύθυνση που έχει τώρα η δύναμη.

Μετατόπιση του αντικειμένου Δύναμη που ασκεί το χέρι στο αντικείμενο

Δ 𝑠 F 𝐴𝑋Η δύναμη θα είναι κάθετη στη μετατόπιση οπότε δε μεταβάλλεται η ταχύτητα

Αφού το έργο είναι W=F·Δs·συνθ και η γωνία είναι 90°, το έργο είναι μηδέν αλλά επειδή το συνθ=0

ΠαραδείγματαΝα καθορίσεις αν αυτός που ασκεί τις δυνάμεις παράγει θετικό αρνητικό ή μηδενικό έργο.

1F

s

Θετικό

s

4F

Θετικό

2F

s

Μηδενικό

s

3F

άs

άs

Αρνητικό

Ανελκυστήρας• Ενας ανελκυστήρας με βάρος Β βρίσκεται αρχικά σε

κατάσταση ηρεμίας στο πρώτο πάτωμα. Κινείται προς τα πάνω και περνά το δεύτερο πάτωμα με ταχύτητα υ0 . Συνεχίζει να κινείται προς τα πάνω και σταματά στον τέταρτο όροφο. Η απόσταση μεταξύ δύο ορόφων είναι Η.

Ανελκυστήρας

Αφού ξεκινά από την ηρεμία επιταχύνεται, άρα η ολική δύναμη θα είναι προς τα πάνω

Μεταβολή της κινητικής ενέργειας του ανελκυστήρα καθώς κινείται από τον πρώτο όροφο στον δεύτερο όροφο

Tο ολικό έργο που εκτελείται στον ανελκυστήρα: ΘΕΤΙΚΟ

Δ. Να θυμηθείς την κίνηση του αντικειμένου στο μέρος Β. Για κάθε δύναμη που προσδιόρισες, να διατυπώσεις αν η δύναμη παρήγαγε θετικό έργο, αρνητικό έργο, ή μηδενικό έργο στο αντικείμενο. Εξήγησε.

Το άθροισμα των έργων που παράγονται από όλες τις δυνάμεις που ασκούνται σε ένα αντικείμενο ονομάζεται ολικό έργο, Wολικό. Το ολικό έργο που παράγεται στις παρακάτω περιπτώσεις, είναι, θετικό, αρνητικό, ή μηδενικό;

Το αντικείμενο κινείται προς τα δεξιά και επιταχύνεται

Το αντικείμενο κινείται προς τα αριστερά και επιταχύνεται

Το αντικείμενο κινείται προς τα δεξιά και επιβραδύνεται

Το αντικείμενο κινείται προς τα αριστερά και επιβραδύνεται

FX1

FX2

Β


FX2FX1

Β


FX2

Β


FX1 FX2FX1

Β

ΚάθετηαντίδρασηΔ 𝑠

Δ 𝑠 Δ 𝑠

Δ 𝑠

Έργο θετικό: αφούαυξάνει η ταχύτητα

Έργο θετικό: αφούαυξάνει η ταχύτητα

Έργο αρνητικό: αφούελαττώνεται η ταχύτητα

Έργο αρνητικό: αφούελαττώνεται η ταχύτητα

Ε. Να γενικεύσεις τις απαντήσεις που έδωσες στα μέρη Α—Δ για να περιγράψεις πως μεταβάλλεται το μέτρο της ταχύτητας ενός αντικειμένου αν το ολικό έργο που γίνεται στο αντικείμενο είναι (1) θετικό, (2) αρνητικό, ή (3) μηδενικό. Αν το έργο είναι θετικό: το μέτρο της ταχύτητας αυξάνει

Αν το έργο είναι αρνητικό: το μέτρο της ταχύτητας ελαττώνεται Αν το έργο είναι μηδενικό: το μέτρο της ταχύτητας είναι σταθερό Να εξηγήσεις πως τα αποτελέσματα σου είναι συνεπή με το θεώρημα έργου – ενέργειας που συζητήθηκε στο μάθημα ( Wολικό= ΔΚ = Κτελική- Καρχική).Wολικό >0 άρα ΔΚ>0 αυξάνει το μέτρο της ταχύτητας Wολικό <0 άρα ΔΚ<0 ελαττώνεται το μέτρο της ταχύτηταςWολικό =0 άρα ΔΚ=0 μένει σταθερό το μέτρο της ταχύτητας

Ι, Εφαρμόζοντας το θεώρημα έργου - ενέργειας

Α. Ένας δρομέας, δρομέας Α, σύρεται από ένα σπάγκο κατά μήκος ενός επίπεδου τραπεζιού χωρίς τριβή. Ο σπάγκος ασκεί μια σταθερή οριζόντια δύναμη. Πώς συγκρίνεται το ολικό έργο που παράγεται στο δρομέα όταν μετακινηθεί κατά μια απόσταση 2d με το έργο που γίνεται στο δρομέα για να μετακινηθεί σε μια απόσταση d;W1= F·d W2= F·2d = 2W1

Να υποθέσεις ότι ο δρομέας ξεκινά από την ηρεμία. Να βρεις το λόγο του μέτρου της ταχύτητας μετά που ο δρομέας έχει μετακινηθεί κατά μια απόσταση 2d με το μέτρο της ταχύτητας όταν ο δρομέας έχει μετακινηθεί κατά μια απόσταση d. Εξήγησε.W1= F·d = ΔΚ=1/2m·v²τελική1 -1/2m·v²αρχική όμως vαρχική=0 ΆραQ W1= F·d = 1/2m·v²τελική1 W2= F·2d = 1/2m·v²τελική2

Ένας δεύτερος δρομέας, δρομέας Β, σύρεται από ένα σπάγκο κατά μήκος ενός τραπεζιού χωρίς τριβή. Ο σπάγκος ασκεί την ίδια δύναμη στο δρομέα Β όπως αυτή που ασκούσε στο δρομέα Α. Η μάζα του δρομέα Β είναι μεγαλύτερη από τη μάζα του δρομέα Α (mB>mA). Και οι δύο δρομείς ξεκινούν από την κατάσταση ηρεμίας.

Μετά που ο κάθε δρομέας έχει συρθεί κατά μια απόσταση d, η κινητική ενέργεια του δρομέα Α είναι μεγαλύτερη από, μικρότερη από, ή ίση με την κινητική ενέργεια του δρομέα Β; Εξήγησε.

Πρόβλημα με τα 2 αμαξάκια• Η μάζα του Α είναι μικρότερη από τη μάζα του Β• Η ίδια δύναμη F ασκείται και στα δύο• Δεν υπάρχει τριβή• Το έργο και στις δύο περιπτώσεις είναι ίσο με F·d άρα και

στις δύο περιπτώσεις το έργο είναι το ίδιο, και η κινητική ενέργεια είναι η ίδια. Η ταχύτητα δεν είναι η ίδια:

Το αμαξάκι βρισκόταν αρχικά σε ηρεμία εδώ

Δεύτερο σημείο που βρίσκεται σε απόσταση d από το πρώτο

τραπέζι χωρίς τριβή

d

Είναι το έργο που παράγει το χέρι στο δρομέα 1 είναι μεγαλύτερο, μικρότερο ή ίσο με το έργο που παράγει το χέρι στο δρομέα 2;

Μετατόπιση

ΜετατόπισηΤο έργο που παράγει το χέρι στον σώμα 1 είναι ίσο :διότι έχω ίση δύναμη και ίση μετατόπιση

Η μεταβολή της κινητικής ενέργειας του σώματος 1 είναι μεγαλύτερη: στην περίπτωση 2 έχουμε και τη δύναμη του νήματος που ενεργεί αντίθετα από τη μετατόπιση, άρα παράγει αρνητικό έργο

ΔΕ2=WΧΕΡΙ+WΝΗΜΑ

ΔΕ=W1+W2+…+WN (άθροισμα των έργων

όλων των δυνάμεων)

Γ. Ένα αντικείμενο βρίσκεται πάνω σε ένα τραπέζι χωρίς τριβή και συνδέεται με ένα ελατήριο όπως δείχνεται. Το ελατήριο αρχικά είναι χαλαρό. Το αντικείμενο μετατοπίζεται δεξιά από το σημείο Δ και μετά αφήνεται ελεύθερο

Όταν το αντικείμενο περνά το σημείο Δ, το ελατήριο είναι συμπιεσμένο ή τεντωμένο;Όταν το αντικείμενο περνά το σημείο Δ, το ελατήριο είναι συμπιεσμένο, γιατί μόλις μετατοπίσουμε από τη θέση που εικονίζεται το ελατήριο συμπιέζεταιΗ απάντηση σου εξαρτάται από την κατεύθυνση κατά την οποία κινείται το αντικείμενο; Εξήγησε. Δεν εξαρτάται από την κίνηση

`

Στου χώρους που διατίθενται, σχεδίασε ένα διάγραμμα ελεύθερου σώματος για το αντικείμενο κατά τη στιγμή που περνά το σημείο Δ καθώς κινείται προς τα αριστερά. Σχεδίασε βέλη που αναπαριστούν τις κατευθύνσεις της ταχύτητας, της επιτάχυνσης και της ολικής δύναμης που ασκείται στο αντικείμενο, όλα την ίδια στιγμή. Αν κάποια ποσότητα είναι μηδέν να το διατυπώσεις ξεκάθαρα.

Fελατήριο

=Fολική

ΕπιτάχυνσηΤαχύτητα

Fελατήριο

=Fολική

Β


Διάγραμμα ελεύθερου σώματος στο σημείο Δ

Κατεύθυνση της ταχύτητας στο σημείο Δ

Κατεύθυνση της ολικής δύναμης στο σημείο Δ

Κατεύθυνση της επιτάχυνσης στο σημείο Δ

Fελατήριο

=Fολική


`

Κάποια στιγμή το αντικείμενο περνά από το σημείο Α καθώς κινείται προς τα αριστερά. Σχεδίασε ένα διάγραμμα ελεύθερου σώματος για το αντικείμενο αυτή τη στιγμή. Επίσης Σχεδίασε βέλη που αναπαριστούν τις κατευθύνσεις της ταχύτητας, της επιτάχυνσης και της ολικής δύναμης που ασκείται στο αντικείμενο, όλα την ίδια στιγμή. Αν κάποια ποσότητα είναι μηδέν να το διατυπώσεις ξεκάθαρα.

Fελατήριο

=Fολική


Fελατήριο

=Fολική

Β


Διάγραμμα ελεύθερου σώματος στο σημείο Δ

Κατεύθυνση της ταχύτητας στο σημείο Δ

Κατεύθυνση της ολικής δύναμης στο σημείο Δ

Κατεύθυνση της επιτάχυνσης στο σημείο Δ

Fελατήριο

=Fολική


Κατά μια μικρή μετατόπιση του αντικειμένου από δεξιά από το σημείο Α μέχρι αριστερά από το σημείο Α.Το ολικό έργο που παράγεται στο αντικείμενο είναι θετικό, αρνητικό, ή μηδενικό; ΕξήγησεΤο μέτρο της ταχύτητας του αντικειμένου αυξάνει, ελαττώνεται ή παραμένει σταθερό; Εξήγησε πως η απάντηση σου είναι συνεπής με το θεώρημα έργου – ενέργειας.

Το έργο είναι αρνητικό αφού η ταχύτητα (Δs/Δt) είναι αντίθετη προς Ολική F

Το μέτρο της ταχύτητας ελαττώνεται αφού W<0

ΕΡΓΟ ΚΑΙ ΜΕΤΑΒΟΛΕΣ ΤΗΣ ΚΙΝΗΤΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ

Documents