Методы решения Методы решения уравнений.уравнений.

Сведение к однородному.Сведение к однородному.

Над проектом работал Шантыр Над проектом работал Шантыр Антон.Антон.

Применение метода сведения к Применение метода сведения к однородному в решении однородному в решении

уравнений.уравнений.

2

12 t

.2sin1coscossin2sin)cos(sin 222 xxxxxx

)2

1,(

2 ttR

2

12 t0)

2

1,(

2

t

tR

1)sin(cos 22 xx

0)2

1,(

2

t

tR

• Воспользовавшись тригонометрическим тождеством уравнение вида

• R(sinx+cosx,sinxcosx)=0, где, R-рациональная функция может быть сведено к уравнению относительно неизвестного t=sinx+cosx.

•

• Из которого следует,что sinxcosx=

• Учитывая это, уравнение можно привести к виду

• Аналогично можно преобразовать уравнение вида

• Заменой sinx-cosx=t сводится к уравнению

•

•

0)cossin,cos(sin)2

1,(

2

xxxxилиRttR

.2sin1coscossin2sin)cos(sin 222 xxxxxx

0)2

1,(

2

t

tR

)2

1,(

2 ttR

1)sin(cos 22 xx

Решение задач на этот метод.Решение задач на этот метод.Номер 501 (а). Номер 501 (а).

• Решая эти, уравнения у меня возникли трудности. Эти уравнение можно решить только моим методом. Sin2x+2sinx=2-2cosx; 2sinx+2cosx+sin2x-2=0;

• Пусть sinx+cosx=t; sinxcosx=

• Sin2x=2sinxcosx; Значит, 2t+ -1-2=0; +2t-3=0; D=4+12=16;

• =-3; =1;

• -3 условию задачи не корректно.

• Значит, sinx+cosx=1;

• Возведем обе части уравнения в квадрат:

• 1+sin2x=1;

• Sin2x=0; 2x=пк;

• X=

• Ответ:

2

12 t

2t

2t

1t

2

пк

xxx 2sin1)cos(sin 2

2t

2

пк

2t

Другие методы решения Другие методы решения тригонометрических уравнений.тригонометрических уравнений.

• 1. Решение уравнений разложением на множители.

• Решить уравнение: sin4x=3cos2x; Решение: воспользуемся фор-

• мулой двойного угла и запишем уравнение в виде:

• 2sin2xcos2x=3cos2x; Перенесем все члены уравнения влево и разложим левую часть на множители: 2sin2xcos2x-3cos2x=0;

• (2sin2x-3) cos2x=0; Решим два уравнения по отдельрости:

• 2sin2x-3=0; 2sin2x=3; sin2x=1,5; нет решений.

• Cos2x=0;

• 2x=

• X=

• Ответ: 24

пкп

пкп

2

24

пкп

Преобразование суммы или Преобразование суммы или разности в произведение.разности в произведение.

Решить уравнение: cos3x+sin2x-sin4x=0; Решение: Преобразуем разность синусов в произведение:cos3x+(-2sinxcos3x)=0; Cos3x(1-2sinx)=0; Полученное уравнение яв- ляется совокупностью двух уравнений: cos3x=0; sinx=0,5; Cos3x=0; 3x= x= sinx=0,5; x= Объединив корни получим ответ: Ответ:

36

пкп

пкпк 6

)1(

36

пкп

36

пкп

пкп

2

Преобразование произведения в Преобразование произведения в сумму.сумму.

• Решить уравнение:sin5xcos3x=sin6xcos2x;

• Решение:Применим к обеим частям уравне-• ния формулу преобразования произведения• в сумму. Получим: 0,5(sin8x+sin2x)=0,5(sin8x+• sin4x), которое можно привести к виду: sin2x-• sin4x=0; Преобразуем разность в произведе-• ние: -2sinxcos3x=0; • sinx=0; x=пк;• Cos3x=0; 3x= x= • Ответ: x=пк; x= .•

пкп

2 36

пкп

36

пкп

Сведение к рациональным Сведение к рациональным уравнениям.уравнениям.

• Решить уравнение: 3sinx- =0; Решение: Применим основное тригонометри-

• ческое тождество: 3sinx-2( =0;• Это уравнение перепишем как квадратное от-• носительно sinx: • Сделаем замену t=sinx и придем к квадратно-• му уравнению: • Корни этого уравнения -2 и 0,5. -2 не корректно• условию. Значит, sinx=0,5.• X=• Ответ:

)sin1 2 x

x2cos2

;02sin3sin2 2 xx

;0232 2 tt

пкпк 6

)1(

пкпк 6

)1(

Однородные тригорометрические Однородные тригорометрические уравнения.уравнения.

• Однородными уравнениями первой степени относи-• тельно sinx называются уравнения вида asinx+bcosx• =0; где a и b – некоторые числа. Решить уравнение:• sinx-cos=0; Решение. Решением этого уравнения де-• ление обеих частей уравнения на sinx или на cosx.• Разделим обе части на cosx. Это может привести к потере одного

из значений x. Но значение cosx=0; не • дает решения данного уравнения. Значит, с легкос –• тью можно делить на cosx. Выполнив деление,полу –• чим tgx=1. x= • Ответ:

пкп

4

пкп

4

Решение задач на мой метод.Решение задач на мой метод.Номер 501(б).Номер 501(б).

• Решить: 4sin2x+8sinx-8cosx-7=0; Пусть sinx-cosx=t;

• sinxcosx= ; sin2x=2sincosx; 4sin2x=8sinxcosx;• Получим,

• D=64-48=16; t=0,5; t=1,5;• T=1,5 не корректно условию. Значит, t=0,5.• sinx-cosx=0,5; Возведем обе части в квадрат,• 1-sin2x=0,25; sin2x=0,75;• 2X= x=• Ответ:

;07844 2 tt

;0384 2 tt

пкк 43arcsin)1(

28

3arcsin)1(

пкк

28

3arcsin)1(

пкк