Спектральный анализ Быстрая свертка Фильтрация

Спектральный Спектральный анализанализБыстрая свертка Быстрая свертка ФильтрацияФильтрация

Лектор: Лукин Алексей СергеевичЛектор: Лукин Алексей Сергеевич

ПланПлан

Спектральный анализСпектральный анализ– Мощность сигнала, теорема ПарсеваляМощность сигнала, теорема Парсеваля– Спектрограммы, усреднение во времениСпектрограммы, усреднение во времени– Частотно-временное разрешениеЧастотно-временное разрешение

Быстрая сверткаБыстрая свертка– Свертка в частотной областиСвертка в частотной области– Разбиение ядраРазбиение ядра

ФильтрацияФильтрация– Основные понятияОсновные понятия– Применения: эквалайзеры, реверберацияПрименения: эквалайзеры, реверберация

Мощность и амплитуда Мощность и амплитуда

Мощность пропорциональна квадрату Мощность пропорциональна квадрату амплитудыамплитуды

RMS RMS отрезка сигнала:отрезка сигнала:

Окна при вычислении Окна при вычислении RMSRMS

Вычисление Вычисление RMS RMS в реальном времени:в реальном времени:

N

i

ixN

RMS1

2][1

2][]1[)1(][ nxnRMSnRMS

(пропорционально амплитуде)

(экспоненциальное окно)

Теорема Парсеваля Теорема Парсеваля

Энергия сигнала равна энергии спектраЭнергия сигнала равна энергии спектра(возможно, с точностью до множителя,(возможно, с точностью до множителя,

зависящего от нормализациизависящего от нормализации

в формулах преобразования Фурье)в формулах преобразования Фурье)

Применение теоремы для оценки энергии Применение теоремы для оценки энергии различных частотных составляющих различных частотных составляющих сигналасигнала

Пример:Пример:

вычисление вычисление THDTHD ((total harmonic distortion)total harmonic distortion)

ki

kXix22 ][][

%100total

distortion

RMS

RMSTHD

Спектральный анализСпектральный анализ

Как вычислить и отобразить спектр сигнала?Как вычислить и отобразить спектр сигнала?

1.1. Взять нужный отрезок сигнала длины Взять нужный отрезок сигнала длины 22mm; ; если нужный если нужный отрезок короче – дополнить его нулями.отрезок короче – дополнить его нулями.

2.2. Если нужно – домножить сигнал на весовое окно, Если нужно – домножить сигнал на весовое окно, плавно спадающее к краям. Обычно это улучшает плавно спадающее к краям. Обычно это улучшает свойства спектра.свойства спектра.

3.3. Вычислить Вычислить FFT.FFT.

4.4. Перевести комплексные коэффициенты в полярную Перевести комплексные коэффициенты в полярную форму: получить амплитуды.форму: получить амплитуды.

5.5. Отобразить график зависимости амплитуды от Отобразить график зависимости амплитуды от частоты.частоты.

Примеры весовых окон

Весовые окнаВесовые окна

Прямоугольное (нет окна) Hamming

Blackman Kaiser

Формулы и картинки: http://en.wikipedia.org/wiki/Window_Function


Отображение спектра звука: Отображение спектра звука: спектрограммаспектрограмма

– Спектрограмма – график зависимости амплитуды от Спектрограмма – график зависимости амплитуды от частотычастоты

– Низкие частоты – слева, высокие – справаНизкие частоты – слева, высокие – справа– Часто применяется логарифмический масштаб частот Часто применяется логарифмический масштаб частот

и амплитуди амплитуд: “log-log-: “log-log-спектрограммаспектрограмма””– Временное и частотное разрешение спектрограммыВременное и частотное разрешение спектрограммыДецибелы:

0

1lg20A

AD

A1 – амплитуда измеряемого сигнала,A0 – амплитуда сигнала, принятого за начало отсчета (0 дБ)Разница на 6 дБ – разница по амплитуде в 2

раза,разница на 12 дБ – разница по амплитуде в 4 раза.Часто за 0 дБ принимается либо самый тихийСлышимый звук, либо самый громкий звук,который может воспроизвести аудио-устройство.


Примеры звуков и их спектровПримеры звуков и их спектров

Исходная волна – синусоида

Спектр с одним весовым окном

Спектр с другим весовым окном


Примеры звуков и их спектровПримеры звуков и их спектров

Песня (стерео запись)

Нота на гитаре


Отображение спектра звука: сонограмма Отображение спектра звука: сонограмма (спектрограмма)(спектрограмма)

– Сонограмма – график зависимости амплитуды от Сонограмма – график зависимости амплитуды от частоты и от времени, показывает изменение спектра частоты и от времени, показывает изменение спектра во времениво времени

– Short Time Fourier Transform (STFT)Short Time Fourier Transform (STFT)

m

miemwmnxnSTFT ][][],[


Примеры звуков и их сонограммПримеры звуков и их сонограмм

Нота на гитаре


Спектрограммы шумаСпектрограммы шума

Типы шумов: белыйТипы шумов: белый ( (постоянная постоянная PSD)PSD), розовый, розовый ( (3 3 дБ/окт.), коричневый (6 дБ/окт.)дБ/окт.), коричневый (6 дБ/окт.)

Зашумленность спектрограммЗашумленность спектрограмм

Усреднение спектрограммУсреднение спектрограмм

Построение Построение спектрограммспектрограмм

Мел-шкала частотМел-шкала частот Недостаточное частотное разрешение на НЧ, Недостаточное частотное разрешение на НЧ,

недостаточное временное разрешение на ВЧнедостаточное временное разрешение на ВЧ

Обычная спектрограмма,окно 512 точек

Обычная спектрограмма,окно 4096 точек


Адаптивное частотно-временное разрешение Адаптивное частотно-временное разрешение спектрограммспектрограмм

Критерий оптимальности: максимальное Критерий оптимальности: максимальное компактирование энергиикомпактирование энергии

Адаптивная спектрограмма,разрешение зависит от частоты

Адаптивная спектрограмма,оптимальное разрешение


Критерий оптимальности: максимальное Критерий оптимальности: максимальное компактирование (локализация) энергиикомпактирование (локализация) энергии

6 ms 12 ms 24 ms 48 ms 96 ms

лучшееразрешение

iri

iri

ra

aiS

,

,

rrSr minarg0

Здесь aai,ri,r – амплитуды STFT в блоке, отсортированные по убыванию, Sr – мера «размытости» энергии для данного разрешения rr, rr00 – лучшее разрешение, для которого «размытость» минимальна.

Свертка и фильтрация Свертка и фильтрация

Основные терминыОсновные термины– Свертка Свертка ((convolution)convolution), фильтрация, фильтрация (filtering)(filtering)

– ФильтрФильтр (filter)(filter), ядро фильтра, ядро фильтра (kernel)(kernel)

– Импульсная, частотная и фазовая характеристикиИмпульсная, частотная и фазовая характеристики (impulse, frequency, phase response)(impulse, frequency, phase response)

Применения фильтрацииПрименения фильтрации– Анти-алиасинг изображений, нахождение границАнти-алиасинг изображений, нахождение границ– Звуковой эквалайзерЗвуковой эквалайзер– Моделирование реверберации помещенияМоделирование реверберации помещения

][][][ nxnhny

k

khknxny ][][][

Быстрая сверткаБыстрая свертка

Прямое вычисление: Прямое вычисление: M·N M·N умножений (умножений (M – M – размер ядра размер ядра свертки, свертки, N – N – длина сигнала)длина сигнала)

Теорема свертки: свертка во временной области Теорема свертки: свертка во временной области эквивалентна умножению в частотной области, эквивалентна умножению в частотной области, умножение во временной области эквивалентно умножение во временной области эквивалентно свертке в частотной области.свертке в частотной области.

Алгоритм быстрой свертки:Алгоритм быстрой свертки:1.1. Вычислить спектры сигнала и ядра сверткиВычислить спектры сигнала и ядра свертки (FFT) (FFT)

2.2. Перемножить эти спектрыПеремножить эти спектры

3.3. Вернуть полученный спектр во временную область Вернуть полученный спектр во временную область ((IFFT)IFFT)

Почему это быстрее?Почему это быстрее? Потому что переход в частотную Потому что переход в частотную область и обратно быстрый: область и обратно быстрый: FFTFFT

Быстрая сверткаБыстрая свертка

Как изменяется длина сигнала при свертке? Она Как изменяется длина сигнала при свертке? Она увеличивается на длину ядра минус 1 увеличивается на длину ядра минус 1 (т.к. каждый (т.к. каждый входной отсчет превращается в ядро и они складываются с входной отсчет превращается в ядро и они складываются с наложением)наложением)

Значит, если взять сигнал длины Значит, если взять сигнал длины N, N, ядро длины ядро длины M M и и произвести свертку через произвести свертку через FFT FFT размера размера N, N, то результат то результат свертки свертки (длины (длины N+M-1)N+M-1) не поместитсяне поместится в результате в результате IFFT IFFT ((длины длины N)N). . Произойдет Произойдет круговая сверткакруговая свертка (заворачивание (заворачивание

результата по времени)результата по времени)..

Следовательно, для предотвращения круговой Следовательно, для предотвращения круговой свертки надо взять размер свертки надо взять размер FFT FFT как минимум как минимум N+M-1N+M-1

Частотная Частотная характеристикахарактеристика

Получение частотной характеристики по Получение частотной характеристики по ядруядру1.1. Дополнение нулямиДополнение нулями

2.2. FFTFFT

3.3. Берем модули комплексных коэффициентовБерем модули комплексных коэффициентов

Свертка = перемножение частотных Свертка = перемножение частотных характеристикхарактеристик

* =Перемножение амплитуд = сложение децибелов

Виды фильтровВиды фильтров

Идеальные и реальные фильтры, виды Идеальные и реальные фильтры, виды искаженийискажений

FIRFIR ((finite impulse response)finite impulse response) и и IIR IIR (infinite i. r.)(infinite i. r.) фильтрыфильтры Линейность ФЧХ Линейность ФЧХ («линейность фазы»)(«линейность фазы»)

Построение фильтровПостроение фильтров

Метод оконного взвешиванияМетод оконного взвешивания– Построение фильтра с линейной фазой по Построение фильтра с линейной фазой по

произвольной заданной частотной произвольной заданной частотной характеристикехарактеристике

– Частотная характеристика приближается с Частотная характеристика приближается с любым заданным уровнем точностилюбым заданным уровнем точности

Более сложные методыБолее сложные методы– Чуть меньшее число точек ядра при соблюдении Чуть меньшее число точек ядра при соблюдении

той же частотной характеристикитой же частотной характеристики– Специальные требования Специальные требования (к фазовой характеристике, к (к фазовой характеристике, к

монотонности частотной характеристики и т.п.)монотонности частотной характеристики и т.п.)

Построение фильтровПостроение фильтров

Метод оконного взвешивания Метод оконного взвешивания (идея метода – взять (идея метода – взять обратное обратное FFT FFT от требуемой АЧХ)от требуемой АЧХ)

1.1. Дана требуемая АЧХ (частотная характеристика)Дана требуемая АЧХ (частотная характеристика)2.2. Произвольно выбираем размер Произвольно выбираем размер FFT N FFT N и берем и берем

амплитуды коэффициентов Фурье по АЧХ амплитуды коэффициентов Фурье по АЧХ ((N/2+1 N/2+1 точка)точка)

3.3. Записываем нули в фазы и делаем Записываем нули в фазы и делаем IFFTIFFT

4.4. Циклический сдвиг ядраЦиклический сдвиг ядра

5.5. Применение весового окнаПрименение весового окна6.6. Контроль реальной полученной АЧХ Контроль реальной полученной АЧХ (см. получение (см. получение

АЧХ по ядру фильтра)АЧХ по ядру фильтра)

7.7. Если АЧХ недостаточно соответствует Если АЧХ недостаточно соответствует требованиям – увеличиваем размер требованиям – увеличиваем размер FFT FFT и снова и снова конструируем фильтрконструируем фильтрПодробности – см. в методичке

Весовые окнаВесовые окна

Прямоугольное (нет окна) Hamming

Blackman Kaiser

Формулы и картинки: http://en.wikipedia.org/wiki/Window_Function

Вычисление сверткиВычисление свертки

Быстрая сверткаБыстрая свертка через через FFTFFT– Уже описана ранееУже описана ранее– Неоптимальна по скорости, когда длины сигнала Неоптимальна по скорости, когда длины сигнала

и ядра сильно различаютсяи ядра сильно различаются– Неприменима при потоковой обработке Неприменима при потоковой обработке (когда (когда

входной сигнал поступает в реальном времени и его длина входной сигнал поступает в реальном времени и его длина неизвестна)неизвестна)

Секционная сверткаСекционная свертка– Используем свойство линейности и Используем свойство линейности и

инвариантности к сдвигу: разбиваем сигнал на инвариантности к сдвигу: разбиваем сигнал на блоки и делаем быструю свертку блочноблоки и делаем быструю свертку блочно

– Увеличение длины каждого блока на Увеличение длины каждого блока на M-1 M-1 → → сложение результатов с перекрытием сложение результатов с перекрытием (метод (метод OLA: OLA: overlap-add)overlap-add)Подробности – см. в методичке

))(())(( nhFFTnxFFTIFFT

Блочная свертка Блочная свертка

Проблема секционной свертки: сигнал надо Проблема секционной свертки: сигнал надо накапливать блоками, сравнимыми по накапливать блоками, сравнимыми по размеру с длиной ядра свертки размеру с длиной ядра свертки (иначе – (иначе –

неэффективно) неэффективно) → задержки при → задержки при real-timereal-time Partitioned convolutionPartitioned convolution (свертка с разбиением ядра)(свертка с разбиением ядра)

– Цель – уменьшение задержкиЦель – уменьшение задержки– Недостаток – некоторое увеличение времени Недостаток – некоторое увеличение времени

обработкиобработки )(...)(...)()()( 1 nhnxnxnhnx m Секционная свертка:

)(...)(...)(...)()()( 11 nhnhnxnxnhnx km Разбиение ядра:

(раскрываем скобки)

Эквалайзеры Эквалайзеры

Эквалайзер – устройство коррекции тембра Эквалайзер – устройство коррекции тембра сигнала, изменяющее амплитуды его сигнала, изменяющее амплитуды его частотных составляющихчастотных составляющих

Изначально применялись для выравнивания Изначально применялись для выравнивания АЧХ неидеального звукового трактаАЧХ неидеального звукового тракта

Вскоре стали использоваться и творчески, Вскоре стали использоваться и творчески, для создания нужных тембров или для создания нужных тембров или аккуратного совмещения инструментов в аккуратного совмещения инструментов в фонограммефонограмме

АЧХ АЧХ

Амплитудно-частотная характеристика Амплитудно-частотная характеристика ((frequency response)frequency response)

Добротность (Добротность (Q) Q) определяет ширину полосы определяет ширину полосы воздействиявоздействия

Виды эквалайзеров Виды эквалайзеров

По управлению АЧХ:По управлению АЧХ:– ПараметрическиеПараметрические: можно выбирать одну из : можно выбирать одну из

имеющихся форм АЧХ и задавать ее параметры: имеющихся форм АЧХ и задавать ее параметры: центральную частоту, коэффициент усиления и центральную частоту, коэффициент усиления и добротностьдобротность

– ГрафическиеГрафические: пользователь «рисует» требуемую : пользователь «рисует» требуемую АЧХ непосредственно на дисплее или с помощью АЧХ непосредственно на дисплее или с помощью набора регуляторов усиления на различных набора регуляторов усиления на различных частотахчастотах

– ПараграфическиеПараграфические: гибрид предыдущих: гибрид предыдущих По принципу действия:По принципу действия:

– АналоговыеАналоговые: состоят из конденсаторов, катушек : состоят из конденсаторов, катушек индуктивности, операционных усилителейиндуктивности, операционных усилителей

– ЦифровыеЦифровые: используют : используют FIR FIR или или IIR IIR фильтрыфильтры

ФЧХ и ГВЗ ФЧХ и ГВЗ

Фазово-частотная характеристика Фазово-частотная характеристика ((phase phase response)response)

– Изменение фазы в зависимости от частотыИзменение фазы в зависимости от частоты Групповое время задержки Групповое время задержки ((group delay)group delay)

– Задержка различных частотных составляющихЗадержка различных частотных составляющих

АЧХ ФЧХ ГВЗ

Импульсная Импульсная характеристикахарактеристика

Конечная (Конечная (FIR)FIR)– Легко достичь линейной ФЧХЛегко достичь линейной ФЧХ

БесконечнаяБесконечная (IIR) (IIR)– Нелинейная ФЧХНелинейная ФЧХ

Звон фильтровЗвон фильтров

MkM

kkii hxy

Nk

kikNk

kiki yaxby10

Линейная ФЧХ Нелинейная ФЧХ

Измерение Измерение реверберацииреверберации

Импульсный отклик помещенияИмпульсный отклик помещения Реверберация: прямой звук, ранние и Реверберация: прямой звук, ранние и

поздние отраженияпоздние отражения


Способы измерения импульсного отклика:Способы измерения импульсного отклика:►Единичный импульс Единичный импульс (плохое соотношение (плохое соотношение

сигналсигнал//шум)шум)

►Звук стартового пистолета Звук стартового пистолета / / лопающегося лопающегося воздушного шарика воздушного шарика (неровный спектр, маленькая (неровный спектр, маленькая энергия на НЧ)энергия на НЧ)

Шум измеряемого залаИспользуются материалы Дэвида Гризингера (Lexicon)

Стартовый пистолет


Способы измерения импульсного отклика:Способы измерения импульсного отклика:►Белый шум, Белый шум, MLS-MLS-последовательности последовательности

(чувствительны к нелинейным искажениям)(чувствительны к нелинейным искажениям)

►Скользящий тон (Скользящий тон (swept sineswept sine, «плавающий , «плавающий синус»синус»))

ДеконволюцияДеконволюция(обратная свертка)(обратная свертка)

Скользящий тон

РеверберацияРеверберация

Что почитать:Что почитать:►Дэвид Гризингер: Дэвид Гризингер: http://world.std.com/~griesngr/http://world.std.com/~griesngr/

►Ирина Алдошина: Ирина Алдошина: http://www.625-net.ru/archive/z0803/aldo.htmhttp://www.625-net.ru/archive/z0803/aldo.htm

Спектральный анализ Быстрая свертка Фильтрация

Documents