Чертане на Чертане на равнинни сеченияравнинни сечения

(чрез използване на успоредност)(чрез използване на успоредност)

11 клас

Учител: Я. Янева

А

В

Правила за чертане на равнинни сечения:Правила за чертане на равнинни сечения:

• Прободна точка между права и равнина намираме, като намерим права в равнината, пресичаща дадената права.

А

• Пресечницата на две равнини намираме, като намерим две техни общи точки.

1. Достатъчно условие за успоредност на права и равнина

а

bα

Ако една права не лежи в дадена равнина, но е успоредна на права,

която лежи в равнината, то тя е успоредна и на равнината. • • •

2. а

b

β

α

Ако равнина минава през права, успоредна на дадена равнина,

то пресечницата на двете равнини (ако съществува)

е успоредна на правата. • • •

3.

Ако две пресекателни равнини минават съответно през две

успоредни прави и пресечницата им е различна от тези прави,

то тази пресечница е успоредна на всяка от дадените прави.

α β

а b

с

• • •

4.

Ако права е успоредна на две пресекателни равнини,

то тя е успоредна и на тяхната пресечница.

α βа

с

• • •

5.

Пресечниците на две успоредни равнини

с трета равнина са успоредни.

α

а

γ

β

b

• • •

Зад.1. Дадена е пирамида ABCD. Да се начертае сечение на пирамидата с равнина, която минава през точка М от ръба ВС и е успоредна на АВ и CD.

A

B

C

D

M

N

P

Q

Дадено:

ABCD – пирамида

М[BC]

α z М

α ІІ АВ

α ІІ CD

Да се постр. сеч.

CD || α, CD (BCD), (BCD) α={MN} => MN || CD

AB || α, AB (ABD), (ABD) α={NP} => NP || AB

Аналогично PQ || CD и QM || AB

A

B

C

D

M

N

P

Q

1) a z M, a || CD

2) a BD = {N}

3) b z N, b || AB

4) b AD = {P}

5) c z P, c || CD

6) c AC = {Q}

7) QM

b

a

c

Зад. 2. Даден е куб ABCDA1B1C1D1. Да се построи сечението му с

равнина през точка В и успоредна на равнината (CB1D1).

Дадено:

ABCDA1B1C1D1 – куб

α z В

α ІІ (CB1D1)

Да се постр. сеч.

BD || B1D1

=> (CB1D1) || (BA1D)BA1 || CD1

A B

CD

A1 B1

C1D1

Дадено:

ABCDA1B1C1D1 – куб

α z В

α ІІ (CB1D1)

Да се постр. сеч.

A B

CD

A1 B1

C1D1

BD || B1D1

=> (CB1D1) || (BA1D)BA1 || CD1

Задача Да се докаже, че правата АС1 пресича двете равнини в медицентровете на триъгълниците CB1D1 и ВA1D. М1

М2

Решение: O – среда на BD => A1O – медиана в BА1DAC, A1O (AСC1);AC || A1C1 => AOM1 ~ C1A1M1 => OM1 : A1M1 = AO : C1A1 = 1 : 2=> M1 – медицентър на BA1D

О

Зад.3. В пирамидата ABCDМ основата ABCD е трапец с основи AB и CD, като

AB=2CD. Точка К е среда на МА, а точка Р е среда на MD.

а) Да се построи сечението й с равнината (BPK);

б) Да се намери в какво отношение тази равнина дели околния ръб МС.

Дадено:ABCDM – пирамидаABCD – трапецAB=2CDK – ср. на МАР – ср. на MDα z B, P, Kα MC = {Q}Да се постр. сеч.Да се намери MQ:QC

PK–ср. oтс. в ΔADM => PK || AD. Но PKα =>AD || α

=> ABND - успоредникNP MC = {Q}. Сечението е PKBQ.

AB

C D

M

K

P

N

AD || α, AD (ABC), (ABC) α={a} => a || ADa (CD) = {N}

Q

Правила за построяване на сечения чрез използване на успоредност:

•Права построяваме, като Права построяваме, като построим точка от правата и права, построим точка от правата и права,

успоредна на дадена.успоредна на дадена.

•Пресечница на две равнини Пресечница на две равнини построяваме, като намерим тяхна построяваме, като намерим тяхна

обща точка и права от едната обща точка и права от едната равнина, успоредна на другата.равнина, успоредна на другата.