制作人 : 香山中学 梁洁萍
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多面体. 制作人 : 香山中学 梁洁萍. 由若干个平面多边形围成的空间图形叫多面体 , 自然界许多. 简单多面体. 棱柱与凌锥. 1 多面体. 物体都成多面体形状如图 (1-1). 图 1-1. 2. 棱柱与它的性质. 我们常见的一些物体 , 例如三棱镜 , 方转以及螺杆的头部等 , 都成棱柱的形状. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
制作人 : 香山中学 梁洁萍
多面体
由若干个平面多边形围成的空间图形叫多面体 , 自然界许多物体都成多面体形状如图 (1-1)
简单多面体棱柱与凌锥1多面体
图 1-1
2. 棱柱与它的性质
如果一个多面体有两个面互相平行 , 而其余每想邻两个面的交线互相平行 ,这样的多面体叫做棱柱 , 两个互相平行的面叫做棱柱的底面 , 简称为底 ;其余的各个面叫做棱柱的侧面 ; 两侧面公共边叫做棱柱的侧棱 ; 两底面所在的平面的公垂线段叫做棱柱的高 ( 公垂线段的长度也简称高 ).
我们常见的一些物体 , 例如三棱镜 , 方转以及螺杆的头部等 , 都成棱柱的形状 .
3. 平行六面体与长方体
底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体 . 侧棱与底面垂直的平行六面体叫做直平行六面体 .( 图 1-7(2)), 底面是矩形的直六面体叫做长方体 ( 图 1-7(3)), 棱长都相等的长方体叫做正方体 ( 图 1-
7(4).
定理 :平行六面体的对角线交于一点 ,并且在交点处互相平行
图 1-7
( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 )
围成多面体的各个多边形叫做多面体的面 , 两个面的公共边叫做多面体的棱 , 棱和棱的公共点叫做多面体的顶点 , 连接不在同一
面上的两个顶点的线段叫做多面体的体积 .
把一个多面体的任一个伸展成平面 , 如果其余的面都位于这个平面的同一侧 , 这样的多面体叫做凸多面体 ( 图 1-1 左下图 ).但图 9-80 右下图中的多面体则不是凸多面体 . 一个多面体至少有四个面 , 多面体按它的面数分别叫做四面体 , 五面体 , 六面体等 .
定义
例 1 。已知正三棱柱 ABC-A’B‘C’ 的各邻长是 1 (图 1-6 ) M 是底面上 BC边的中点, N 是侧棱 CC‘ 上的点,且 CN=1/4CC’ ,求证: AB‘ 垂直 MN 。
证明:设 cAAbACaAB ',,
0**,1*,1 cbcaaacba
CbANcaAMcaAB4
1),(
2
1,'
则由已知条件和正三棱柱的性质
cbaAMANMN4
1
2
1
2
1
04
160cos
2
1
2
1)
4
1
2
1
2
1)((*' cbacaMNAB
MNAB '
B C
A
C’
A‘
B’
已知 : 平行六面体 ABCD-A’B’C’D’( 图 1-8). 求证 : 对角线 AC’,BD’,CA’,DB’相交与一点 O, 且在 O 点处互相平分 .
证明 : 设点 O 是 AC’ 的中点 , 则 )(2
1AAADABAO
设 P,M,N 分别是 BD’,CA’,DB’ 的中点 , 同样可证
)(2
1AAADABAM
)(2
1AAADABAN
)'(2
1AAADABAN
)'(2
1AAADABAP
由此可知 O,P,M,N 四点重合定理 : 长方体的一条对角线的平方等于一个顶点上三条棱长平方和 .
已知长方体 AC’ 中 ,AC’ 是一条对角线 ( 图 1-9), 求证 : 2222 '' AAADABAC
证明 : '' AAADABAC 2)'(' AAADABAC
A B
CDA’ B’
C’D’
A B
CDA’ B’
C’D’
ADAAAAABADAB ',',
''22
2
AAADABAC 所以即证知得
如果一个多面体的一个面是多面形,其余各面是一个公共顶点的三角形,那么这个多面体叫做棱锥。棱锥的底 面可以是三角形,四边形,五边形 ------ 我们把这样的凌锥分别叫做三凌锥(图1-9 ( 1 )),四凌锥(图 1-9 ( 2 )),五凌锥(图 1-9( 3 )) -------
定理:如果凌锥被平行于底面的平面所截,那么所得的截面与底面相似,截面面积与底面的面积的比
等于顶点到截面的距离与凌锥的高的平方比 .
已知:如图 1-10 ,在棱锥 S-AC 中, SH 是高,截面 A‘B’C‘D‘E’ 平行于底面并与 SH 交于 H‘ 。
求证 : 截面 A’B’C’D’E’∽ 底面 ABCDE, 且
2
2''''' '
SH
SH
S
S
ABCDE
EDCBA
棱椎与其性质棱椎与其性质
考思
图 1-9(1) (2)
S
A
B C
DEH’
A’
B’ C’D’
E’
证明:因为截面平行与底面,所以 A‘B’//AB , B‘C’//BC , C‘D’//CD , ------
,''',''' BCDDCBABCCBA
SH
SH
SA
SA
AB
BA ''''
SH
SH
BC
CB '''
因而又因为过 SA , SH 的平面与截面和底面分别相交于 AH‘ 和 AH 。所以 A’H‘//AH ,得
A
B
C
DE
A’
B’C’
E’
同理
SH
SH
BC
CB
AB
AB ''''
2
2
2
2''''' '''
SH
SH
AB
BA
S
S
ABCDE
EDCBA
如果一个凌锥的底面是正多边形,并且顶点在底面的射影是底面的中心,这样的凌锥叫做正凌锥。
H
D’
S
正棱锥有下面的一些性质 :
(1) 正凌锥各侧棱相等 , 各侧棱都相等的等腰三角形 , 各等腰三角形底边上的高相等 ( 它叫做正凌锥的斜高 )( 图 1-11).
''' CBA
(2) 正凌锥的高 , 斜高和斜高在地面内的射影组成一个只三角形 , 正凌锥的高 , 侧棱 , 侧棱在地面上的摄影也组成一个直角三角形 ( 图 1-12)
B C
D
S
OA
B
C
SA’
B’
C’
例 2. 已知正三凌锥 S-ABC 的高 SO=l, 求经过 SO 的中点 O’ 平行与底面的截面的面积(图 1-12 )。
解:连接 OM , OA ,在直角 22, hlOMSOM 22*3260tan*22 hlOMAMAB
4
1'),(3*4*
4
3
4
32
2'''222
h
h
S
shlABS
ABC
CBAABC )(
4
33 22''' hls CBA
A
E
5直棱柱和正凌锥的的直观图的画法:
画法 : ( 1 )画轴,画 x’ 轴, y’ 轴, z’ 轴,记坐标原点为 O‘ 点,使 90'''),135(45''' zoxyox
(2) 画底面,按轴,轴画正六边形的直观图 ABCDE 。( 3 )画侧棱,过 A 、 B 、 C 、 D 、 E 、 F 各点分别作轴的平行线,并且在这些平行线上截取 AA’ 、 BB‘ 、 CC’ 、 DD‘ 、 EE’ 、 FF‘ ,使它们都等于棱长。( 4 )成图,顺次连接 A’ 、 B‘ 、 C’ 、 D‘ 、 E’ 、 F‘ ,并加以整理(去辅助线,将别遮挡的部分改为虚线),就得到正六棱柱的直观图。
X’
Y’
Z’
F
F’
A
A’
B
B’
C
C’
A
B C
D
EF
A’B’ C’
D’
E’F’
O
DE
D’E’
例 3. 划一个底面边长为 5cm, 高为 11.5cm 的正五棱锥的直观图比例尺是 1/5.
画法 :(1) 画轴 ,x‘ 轴 ,y’ 轴 ,z’ 记坐标原点为 o’, 使 45yox 90zox(图 1-14(1))
( 2 )画底面,按 x’ 轴, y’ 轴,画五正无边形的直观图 ABCDE ,按比例尺取边长等于 5÷5=1(cm) ,并且使正无边形的中心对应于 o’ 点。
( 3 )画高线,在 z’ 轴上取 =11.5÷5=2.3(cm)
(4) 成图 . 连接 SA,SB,SC,SD,DE, 并加以整理 , 就得到所画的正无棱锥的正棱锥的直观图 ( 图 1-14(2)).
O’ X’
Z’
A B
CE
D
E
Y’
A B
C
D
S
图 1-14(1) (2)
每一个面都是相同边数的正多面形 , 每一个顶点都为端点 , 都有相同棱数的凸多面体 , 叫做正多面体 .
正多面体只有四面体 , 正六面体 , 正八面体 , 正十二面体 , 正二十面体 5 种 ( 图 1-15), 它们的展开图分别为 :
正多面体
1 求证:直棱柱的侧棱与高相等,经过不相邻的两侧棱的截面都是矩形。2 已知以正方体的一个顶点为端点的
三棱长 a 、 b 、 c ,求它的对角线( 1 ) a=3,b=4,c=5(2)a=7,,b=11,c=4
3 画一个底面边长是 3cm ,高为 4.5cm 的正三凌锥的直观图(不写画法)
4 已知直棱柱 ABC-A‘B’C‘ 中, 6',3,1,90 AACACBABC
M 是 CC’ 的中点,求证: AMBA '
C
D
B‘ D’C‘
练练 习习
A
M
谢谢观看