宁波市教育局教研室 杨一丽

关于命题

一、命题原则 1. 公平性原则 试题对全体学生而言都应该是公平的，包括试题的背景、素材、题型等诸多方面。套用陈题，就容易引发学生之间的不公平竞争和题海战术的盛行，产生导向性错误，降低考试的信度。

一、命题原则 2 ．适标性原则 新题相对其他试题较来说，容易产生超前超 纲现象。因此命题要严格依据《课程标准》和《考试说明》，充分考虑学生的认知水平和现有的知识基础，控制“开放度”，防止把高中阶段才出现的知识以“新概念”的形式引入，加重学生负担却达不到考查的效度，误导正常的数学教学工作。

一、命题原则 3. 可探性原则 试题是以考查学生的学习能力、探究能力、应用能力和创新意识为重要的目的，所以试题应具有进行深入学习、探究的可能性。题目中问题的设计应能够激发学生深层次的思考，同时又要注意避免背离数学的本源而追求形式上的“无谓探索”，影响试题的效度。

一、命题原则 4. 关联性原则 试题应该是现实的、富有挑战性的，同时还应该具有良好的数学内涵。数学知识是一个有机的整体，试题应与初中数学的核心内容和思想方法紧密关联，而且一定程度上可将原有的知识体系掘深拓宽，这有利于学生对数学的整体认识，也能优化学生的思维品质，提高学生的数学思维能力。

二、新题的产生与磨制

例 1 阅读下面的情景对话，然后解答问题：老师：我们新定义一种三角形，两边平方和等于第

三边平方的 2 倍的三角形叫做奇异三角形．小华：等边三角形一定是奇异三角形！小明：那直角三角形中是否存在奇异三角形呢？（ 1 ）根据“奇异三角形”的定义，请你判断小华

提出的命题：“等边三角形一定是奇异三角形”是真命题还是假命题？

c

【 2011 宁波卷 25 题】（ 以下省略了原试卷中的情景图案）

（ 2）在 Rt△ABC中，∠ ACB＝ 90°， AB=c，AC=b， BC=a，且 ，若 Rt△ABC是奇异三角形，求 a:b:c ；

b a

（ 3 ）如图， AB 是⊙ O 的直径， C 是⊙ O 上一点 ( 不与点 A 、 B 重合 ) ， D 是半圆 ADB的中点， C 、 D 在直径 AB 两侧，若在⊙ O内存在点 E ，使得 AE=AD ， CB=CE ．

① 求证：△ ACE 是奇异三角形；② 当△ ACE 是直角三角形时，求∠ AOC 的度数．

编拟思路 本题原计划是想编拟一道勾股定理引申的拓展题，但在编拟中发现直角三角形的三边关系以及面积已被挖掘很多，难有新意，因此决定选择探索三边有特殊联系的其他三角形。于是 关于“奇异三角形”的想法就诞生了。根据双向细目表，结合了圆的知识内容。

2222 )2( ADABBCAC

ADAECEBC ,222 2AECEAC

即得△ACE 是奇异三角形

3:2:1:: CEAEAC

1:2:3:: CEAEAC或AOC 可得 12060 或的度数为

试题以奇异三角形为背景，将等边三角形、直角三角形、圆等初中数学的核心内容巧妙地融合起来，学生在完成试题的过程中经历了学习新知、辨析心知、应用心知三个环节。试题成功地跳出勾股定理的局限且设计的对话情景新颖活泼。

评析：

（第 17 题）如图，在△ ABC 中， AB=AC ， D 、 E 是△ ABC 内两点， AD 平分∠ BAC,∠EBC=∠E=60° ，若 BE=6cm ， DE=2cm ，则 BC= ▲ cm ．

A

D

B

E

C

【 2011 宁波卷 17题】

折线题型9 、如图所示，在圆⊙ O 内有折线 OABC ，其中 OA ＝ 8 ， AB ＝ 12 ，∠ A ＝∠ B ＝60° ，则 BC 的长为（ ）A ． 19 B ． 16 C ． 18 D ． 20

（ 2010芜湖）

.OA B

C

12

8

评析： 本题摒弃了对“等腰三角形”性质的常规考法，通过对图形的简单设计 ( 不完整性 ) ，要求学生能根据图形的特征，进行图形的构造（使其完善），即分别延长线段 ED 、 AD ，再利用等腰三角形、直角三角形的性质解决问题。其呈现方式新颖独特，不仅考查了基本知识，而且也考查了学生的思维能力 .

（第 12 题）把四张形状大小完全相同的小长方形卡片( 如图① ) 不重叠地放在一个底面为长方形 ( 长为 m cm ，宽为 n cm) 的盒子底部 ( 如图② ) ，盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．则图②中两块阴影部分周长和是

(A)4m cm (B)4n cm (C) 2(m+n) cm (D)4(m-n) cm

图 1 图 2

n

m

本题属于国际上较为流行的 PISA题，是对一道 PISA原题的重新挖掘和再创造，它具有 PISA题的三个明显特征：情景、运用、思维。本题通过对实际问题的解决，考查学生的数学分析能力与数学基本素养，其中蕴含了初中数学中两种重要的数学思想——整体思想和方程思想，是融 PISA理念和初中数学思想于一体的经典范例。

原题：

如图，在平面直角坐标系中， O 是坐标原点，菱形 ABCD 的边 AB 在 x 轴上，点 D 在 y 轴上，已知∠ DAB=60° ， OA=2 ，抛物线

与菱形 ABCD 的边 AD 交于点 E ，与 x 轴交

于点 F ，直线 EF 交 y 轴于 H ，交 CD 边于 G 点，连结 OE

（ 1 ）请直接写出点 C ， F 的坐标

（ 2 ）求直线 EF 的解析式

（ 3 ）将△ OEF 沿射线 OE 所在直线翻折，

点 F 能否与点 G 重合？请说明理由

（ 4 ）若△ OEF 沿射线 FG 方向以每秒 个单位长度的速度平移，直到点 F 与点 H 重合时停止。设△ OEF 与梯形 OBCD重合部分的面积为 S ，求 S 关于平移时间 t 的函数关系式，并写出相应自变量 t 的取值范围

xxy3

34

3

3 2

3

AF

E

O B

D G

H

C

编制本题的主要原因是：本题包含一次函数、二次函数、图形变换、三角形全等等相关知识点及分类讨论、数形结合等主要的思想方法，然而本题有下列缺点：（ 1）原二次函数在后续问题中未使用，各问题间递进关系不明显，（ 2）第 (4)问题求出 S 关于 t 的关系式后不再使用，给人以意犹未尽的感觉。

方案一：不改变题目，增加一问，考查与抛物线有联系的平移、旋转问题(5) 若将△ OEF 绕着点 O 顺时针旋转 α 度，当△ OEF 的一边与菱形 ABCD 的一边垂直时，请直接写出直线 OF 与抛物线除原点外的交点坐标

思考：虽然使得抛物线的后续使用问题得到解决，题量增加，难度有所增加，第 (5) 小题与前面各小题缺少递进关系有拼凑痕迹，本方案被否决。

方案 2：对第（ 4）问补充与抛物线相关的问题

思考：如此改变内容丰富了，且抛物线后续使用的问题也得到解决，但第 (2)问的引出不够自然，依然有拼凑痕迹。因此决定在保留原图形模型条件下，另起炉灶，与其它核心知识方法结合，修改问题，于是又提出了以下的方案。

（ 4 ）若△ OEF 沿射线 FG 方向以每秒 个单位长度的速度平移，直到点 F 与点 H 重合时停止。设△ OEF 与梯形 OBCD重合部分的面积为 S ，

（ 1 ）求 S 关于平移时间 t 的函数关系式

（ 2 ）直接写出当重叠部分与△ OEF 相似时直线 OF 与抛物线对称轴交点的纵坐标 h 的范围

3

方案 3：题目保留图形模型，问题选择从“三角形全等”入手，涉及“三角函数”等相关核心知识。

(3) 将△ OEF 沿 OE 所在直线翻折，点 F 落在 F1

① 点 F 的坐标为（ -4,0 ）时，求出直线 l 的解析式，并判断F1 ， G 两点是否重合？说明理由

② 如图 2 ，当∠ GEF1=30° 时，求线段 AF 的长

③ 能否以 E 、 F1 、 G 三点为顶点构成直角三角形？如果能，直接写出点 F 的坐标

AF

E

O B

D G

H

C

思考：增加了核心知识、核心方法的覆盖量，但题设条件显示不足，需要借助图形以定位图形中各点的位置；最后一问难度不够，不足以区分学生程度。最终命题组决定跳出前面各个方案的局限，另辟蹊径。

方案 4：题目保留图形模型，问题选择从“三角形相似”入手

如图，在平面直角坐标系中， O 是坐标原点，菱形ABCD 的边长为 4 ，边 AB 在 x 轴上， OD= ， OA=2,E 为 AD 的中点，过 E 的直线 l 与菱形 ABCD 的边CD 所在的直线交于点 G ，与 x 轴交于点 F ，连结 OE

（ 1 ）求证：点 D 在 y 轴上

（ 2 ）直接写出点 C 的坐标和∠ DAB 的度数

AF

E

O B

D G

H

C

3

G C

(3) 将△ OEF 沿 OE 所在直线翻折，点 F 落在 F1 ，当直线 EF1

与直线 CD 有交点时，记交点为 H ，如图 2

① 点 F 的坐标为（ -4,0 ）时，求出直线 l 的解析式，并判断F1 ， G 两点是否重合？说明理由

② 如图 2 ，当点 G 与点 C 重合时，求线段 DH 的长

③ 当△ EHG 的面积为 时，请直接写出点 F 的坐标33

E

F A O B

DF1

HF1

E

F A O B

D HC

思考：如此改变跳出了命题思维的局限性，让命题者自己也感到欣喜不已。方案 4的立意明显高于前面的几个方案，特别是后两问明显使得题目的内涵增加，在思维层次上有了较大的提升，突出了对学生探究能力、创新能力的考查，体现压轴题的效度。尽管如此，方案 4 存在缺陷：第 (3) 小题的第①问与第 (3) 小题的条件没有直接联系，且问题数量太多，需要精简。

修改 1：将第 (3) 小题的第①问移至第(2) 小题，并且在第③问处规定点 F在点A的左侧，这样考查的目的明确而简洁 ,符合条件的点 F 就减少为两个了。

思考：这样修改避免了没有多大意义的分类讨论（“点 F 在 A点右侧”时的情况），由于题中“ H是直线 与直线 CD 的交点”，点 G在点 H 的左、右侧，考虑时还得分 4 种情况，而条件中的“如图 2”又易引发理解上的歧义，学生会纠结是否需要分类讨论，这样导致学生思维的中心发生偏移，影响试题的效度。另外，对题设中需要借助图形以定位图形中 D点位置的缺陷要进行修改。

1EF

修改 2：针对以上思考，想到使用“射线”代替“直线”来降低最后小题的分类次数，即 “记直线 与射线 DC 的交点为 H” ,同时在①中规定“点 G 在点 H 的左侧”。修改至此后发现：原菱形中的边长信息已不再需要，于是可把菱形改为平行四边形 , 然后对题目中的 D点位置也进行了定位，试题最终得以定型。

1EF

方案五：定型 2010宁波卷 26

33

如图，在平面直角坐标系中， O 是坐标原点，平行四边形 ABCD 的顶点A 的坐标为（ -2,0 ），点 D 的坐标为（ 0 ， ）， B 在 x 轴的正半轴上，E 为 AD 的中点，过 E 的直线 l 与 x 轴交于点 F ，与射线 DC 交于点 G

（ 1 ）求∠ DCB 的度数

（ 2 ）当点 F 的坐标为（ -4,0 ）时，求点 G 的坐标

(3) 连结 OE ，以 OE 所在的直线为对称轴，△ OEF 经轴对称变换后得到△ OEF1 ，记直线 EF1 与射线 DC 的交点为 H

① 如图 2 ，当点 G 在点 H 的左侧时，求证：△ DHE∽ △DEG

② 若△ EHG 的面积为 时，请直接写出点 F 的坐标

32

A

E

F A O B

DF1

HG

F

E

O B

DG

C

思考：修改至此，一道亮丽的压轴题终于新鲜出炉，本题重点考查了平行四边形的性质、三角形的相似和全等、图形的对称、面积、坐标等核心知识，涉及了方程、数形结合、分类讨论的思想，并且利用对称巧妙地将代数与几何结合起来，充分体现了新课程的理念。各小题梯度明显，第（ 3）问为一些优秀学生提供展示自己的舞台，解决问题的关键是在图形的变化中发现角与角之间的关系，线段与线段之间的关系，要认清问题的实质就要求学生具有完整的知识储备和较高的思维能力。

再深入思考，题目条件中除了平行的条件外，平行四边形本身并不是必要的。去除这些因素，原题可变为下面更理想的形式 (为便于与考题比较，以下不考虑字母顺序 )：

原问题的突破

如图，在平面直角坐标系中， O 是坐标原点，点 A 的坐标为 (-2 ， 0) ，点 D 的坐标为 (0 ， ) ，直线 DC//x 轴，点 E 为线段 AD 的中点，过点 E 的直线与轴交于点 F ，与直线DC 交于点 G.

(1) 求∠ DAO 的度数； （后两问同考题）

OAF

E

D GC

x

y