多目標決策之運用 ( 含理論與個案分析 )

多目標決策之運用( 含理論與個案分析 )

黃日鉦東吳大學資訊管理學系

多目標決策• 在現實生活和實際工作中遇到的更普遍的問題常常會有多個目標。如評價一個可能的就業職位優劣的問題就是典型的多目標決策問題。

• 多目標決策的特點：– 多目標性– 目標的單位不同– 目標之間的矛盾性– 定性指標與定量指標相混合

多目標決策問題的分類 • 多屬性決策 (multiple attribute decision

making)– 多屬性決策所評估的可行方案是有限個，而且這些方案在事先是已知的。

• 多目標規劃 (multiple objective programming)– 多目標規劃是利用數學式子來表示所有的可行方案，有無限多個且事先是未知的。

多屬性決策

• 決策變數是離散的• 備選方案數量是有限的• 對備選方案進行評價後排定各方案的優劣次序，再從中擇優

決策問題• 考慮一多屬性決策問題如下：

• 利用多屬性效用理論 (MAUT) 之簡單加權法 (SAW) 選擇最佳方案。

腳踏車購買決策

• 假設舒適的權重為 0.5 ，價格的權重為0.3 ，以及壽命的權重為 0.2

方案屬性

1 2 3

越野車淑女車跑車

A 舒適：望大 100 80 60

B 價格（元）：望小 2500 2000 2500

C 壽命（年）：望目 (2年 )

1 5 3

• 假設準則權重為，最佳方案 A* 為：

其中，權重經正規化使得

簡單加權法(Simple Additive Weighting method)

1 2, ,..., mw w ww

1 1

* max /m m

i j ij ji

j j

A A w x w

1

1m

jj

w

層級程序分析法• 層級程序分析法 (analytic hierarchy process, AHP) 為

Thomas L. Saaty 於 1971 年提出。• 層級程序分析法可應用於下列 12 類問題中：

– 規劃 (planning)– 產生替代方案 (generating a set of alternatives)– 決定優先順序 (setting priorities)– 選擇最佳方案或政策 (choosing a best alternative / policy)– 資源分配 (allocating resources)– 決定需求 (determining requirements)– 預測結果或評估風險 (predicting outcome / risk assessment)– 系統設計 (designing systems)– 績效衡量 (measuring performance)– 確保系統穩定 (insuring the stability of a system)– 最佳化 (optimization)– 解決衝突 (resolving conflict)

層級程序分析法主要步驟• 建立層級結構• 層級決策因素間權重的計算• 層級權重的計算

建立層級結構首先將影響問題的要素加以分解成數個群體，每群再區分為數個相對應的子群體，如此逐次分層下去，便可建立全部的層級結構。

層級分析結構圖

問題

決策標準 1 決策標準 2 決策標準 3 決策標準 4

方案 A 方案 B 方案 C

層級決策因素間權重的計算一、建立成對比較矩陣 ( Pairwise Comparison Matrix )

AHP 評估尺度定義與說明

1/1/1

1/1

1

1

1

1

21

212

112

21

221

112

mm

m

m

mm

m

m

ij

aa

aa

aa

aa

aa

aa

aA

評估尺度定義說明1 同等重要兩因素具有同等重要之貢獻度3 稍微重要經驗與判斷稍微傾向某一因素5 重要經驗與判斷強烈傾向某一因素7 相當重要實際顯示非常強烈喜好某一方案9 非常重要有足夠證據肯定絕對喜好某一方案

2, 4, 6, 8 相鄰尺度之中間值折衷值

經決策因素兩兩相比所得到的成對比較矩陣型態，如下所示：

1. 計算最大特徵值與特徵向量為檢定成對比較矩陣是否符合一致性之要求，必

須計算最大特徵值與特徵向量，其計算公式如下：

(1) 特徵向量 Wi

m

i

mm

jij

mm

jij aa

1

/1

1

/1

1

其中其中 mm 表示決策因素個數。表示決策因素個數。

WWi i ＝＝

層級決策因素間權重的計算

(2) 最大特徵值首先將成對比較矩陣乘以所求得之特徵向量 Wi，可得到一新向量 Wi ’ ，再求算兩者之間的平均倍數為 λmax。

mmmm

m

m

W

W

W

W

W

W

aa

aa

aa

2

1

2

1

21

221

112

*

1

1

1

mm WWWWWWm ........*1 2211λλmaxmax ＝＝


2. 一致性檢定 (consistency)

為評估決策者前後判斷是否一致，必須對成對比較矩陣做一致性檢定。以計算每一階層的一致性指標 C.I.(consistency index) 與一致性比率 C.R.

(consistency ratio) 來衡量。

其中， C.I.= 1

max

m

m


隨機指標表

m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

R.I. 0.00 0.00 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51 1.48 1.56 1.57 1.59

若 C.I.=0 ，則表示問卷填卷者對決策因素前後判斷非常一致性，絲毫沒有矛盾之處。學者 Saaty 建議 C.I.0.1 為可容許的偏誤範圍。而 C.R.= C.I / R.I. ，其中 R.I. 為一隨機指標(random index) ，若 C.R.≦0.1 則可視為整個評估過程達到一致性。下表 21─2 為決策因素為時，所對應的 R.I.隨機指標表。


層級權重的計算在各層級要素間的權重計算後，便可進行整個層級權重的計算。若整個層級結構能通過一致性檢定，最後便依各替代方案之加權數高低來決定最終的選擇方案。

替代方案的總加權值＝其中， j = 1…m ， (共有 n 個決策因素 )

i = 1…n ， (共有 m 個替代方案 )

wi = 表示第 j 個決策因素之權重

xij = 表示第 i 個替代方案第 j 個因素所獲得的評估值

1

m

j ijj

w x

層級權重實例說明• 大學經營愈來愈競爭，在選擇進入大學就讀時必然可以找

到一些指標進行評比。

大學評比

教學績效研究績效服務績效

大學 A 大學 B 大學 C

大學評比層級分析結構圖

決策因素交叉比較與權數對服務績效教學績效研究績效幾何平均數權重

服務績效 1 1/2 1/4 0.50 0.136

教學績效 2 1 1/3 0.87 0.238

研究績效 4 3 1 2.29 0.625

λmax = 3.02 C.I. = 0.01 C.R.=0.02 Total 3.66

將層級分析結構圖中的決策因素 ( 教學績效、研究績效、服務績效 ) 作交叉比較以決定權數。

層級權重實例說明

交叉比較的結果，可表示決策者的價值觀，每一橫向之分數利用幾何平均數算出服務績效平均數為 0.5 、教學績效為 0.87 、研究績效為2.29 ，總分為 3.66 ，經過標準化之後即可求出決策者對大學的評比首重「研究績效」，權重為 0.625；其次為「教學績效」，權重為 0.238；最後為「服務績效」，權重為 0.136 。同時計算 C.I. 值為 0.01 ， C.R. 值為 0.02 均在容許偏誤範圍內，可見決策者前後判斷是一致的。


就「服務績效」而言，各大學的評估值

對大學 A 大學 B 大學 C 幾何平均數權重

大學 A 1 3 5 2.46 0.62

大學 B 1/3 1 4 1.10 0.28

大學 C 1/5 1/4 1 0.37 0.10

λmax = 3.09 C.I. = 0.03 C.R.=0.07 Total 3.93

就「教學績效」而言，各大學的評估值


大學 A 1 1/2 1/2 0.63 0.20

大學 B 2 1 2 1.59 0.49

大學 C 2 1/2 1 1.00 0.31

λmax = 3.05 C.I. = 0.03 C.R.=0.05 Total 3.22


就「研究績效」而言，各大學的評估值


大學 A 1 3 4 2.29 0.61

大學 B 1/3 1 3 1.00 0.27

大學 C 1/4 1/3 1 0.44 0.12

λmax = 3.07 C.I. = 0.04 C.R.=0.06 Total 3.73

各大學的綜合得分

服務績效( 0.136 )

教學績效( 0.238 )

研究績效( 0.625 )

綜合得分

大學 A 0.62 0.20 0.61 0.51379

大學 B 0.28 0.49 0.27 0.32373

大學 C 0.10 0.31 0.12 0.16248


由以上之結果顯示，決策者對於選擇大學之評估以

研究績效佔最高 (62.5%) ，教學績效次之 (23.8%) ，

服務績效再次之 (13.6%) ，利用 AHP 分析法可以很

快界定各因素之重要性。同時可以此權重再計算各

大學之綜合得分，計算結果顯示，大學 A 之綜合得

分為 0.51379 、大學 B 為 0.32373 、大學 C 為

0.16428 ，可見大學 A 的得分最佳，此一綜合得分

可做為決策者選擇大學的參考。


• TOPSIS (Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution) 為 Hwang and Yoon 於 1981 年提出。

• 基本原則為：最佳方案應與正的最佳解（ Positive Ideal Solution ， PIS ）距離最近而與負的最佳解（ Negative Ideal Solution ， NIS ）距離最遠。

TOPSIS

• 方案與 PIS 、 NIS之距離計算公式

• 排序公式

TOPSIS 計算方式

2

1

( )m

i ij jj

d v v

2

1

( )m

i ij jj

d v v

ii

i i

dR

d d

TOPSIS 案例• TOPSIS 法準則評估值正規化說明

[ 註 ] ： Ci 代表準則 i ， Aj 代表方案 j 。

• TOPSIS 法評估值加權說明例

TOPSIS 案例

– 正理想解 ={0.5, 0, 0.3}–負理想解 ={0, 0.2, 0}

• TOPSIS距離計算說明例

TOPSIS 案例

2 2 22 (0.25 0.5) (0 0) (0.3 0.3) 0.25d

j 距離

A1 A2 A3 A4

d+ 0.15 0.25 0.45 0.62

d- 0.55 0.44 0.19 0

• TOPSIS 之 Rj 值計算例

TOPSIS 案例

2

0 440 64

0 25 0 44

.C .

. .

1 2 3 4A A A A

j 項目

A1 A2 A3 A4

Rj* 0.79 0.64 0.30 0

多目標決策問題• 決策變數是連續的• 備選方案是無限的• 用線性規劃理論，進行向量優化，選取最優方案• 在多數的多目標規劃問題可以數學表達為：

1 2max ( ), ( ),..., ( )

. .kf f f

s t 0

x x x

Ax b

x

妥協規劃法

2 ( )f x)(

~1 xf

1max [ ( ),..., ( )]

. .

kf f

s t

0

x x

A x b

x

* *1 2( ), ( )

ideal point

f f

x x

2 ( )f x

*2 ( )f x

Fdx

0 1( )f x *1 ( )f x 1( )f x

妥協解法為 Yu and Zeleney 於 1972 年提出，其數學式為：

妥協規劃法 (Yu and Zeleney, 1972)• 妥協規劃 (compromise programming) 解法，是以

距離概念為基礎，其目的是在尋找與理想解 (ideal solution)距離最近的效率解，稱之為妥協解(compromise solution) 。

• x 與 x* 的直線距離

• 兩點之間距離予以一般化， x 與 x* 之間的距離

wi 是第 i 座標中附加在距離的權重， 0 < wi < 1 ，且　　

1

1n

ii

w

• 當 p = 1 時，

當 p = 2 時，即為一般的直線距離。

當 p = 時，　　　　　　　　

• wi 是對應於第 i 目標函數的權重，　是第 i 目標函數最佳解對應的目標值， p 是 {1,2,,} 中任一數值。

*1

1

n

i i ii

d w x x

*

1,2, ,max ( )i i i

i nd w x x

*1f

妥協規劃法

• 考慮下列多目標規劃問題

妥協規劃例題

• f1極大化的最佳解 x1*=(6, 0) ，　　　， f2

極大化的最佳解 x2*= (1, 4) ，　　　。

• 假設 w1 = w2= 0.5, p = 1 ，則

• 由妥協規劃法可求得妥協解 x = (4, 4), f1 (4, 4) = 12, f2 (4, 4) = 12 。

*1 30f

*2 15f

Lingo (1)

Lingo (2)

Lingo (3)

妥協規劃實例（ 2 ）• 若一多目標決策問題如下：

其中 f1(x) 為利潤函數； f2(x) 為品質函數； x1 與 x2 為產品 I 與產品 II 。

.0,

,1502

,100..

,)(max

,46)(max

21

21

21

12

211

xx

xx

xxts

xxf

xxxf

計算過程• f1(x) 最佳解為 500 ； f2(x) 最佳解為 70, 設 p

= 下，妥協規劃解為：

.0,

,1502

,100..

],75),46(500max[min

21

21

21

121

xx

xx

xxts

xxx

.0,

,1502

,100

,75

),46(500..

,min

21

21

21

1

21

xx

xx

xx

xv

xxvts

v

The End~

多目標決策之運用 ( 含理論與個案分析 )

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