第二章 测试装置的基本特性

测试系统是执行测试任务的传感器、仪器和设备的总称。

输入 )(tx )(ty输出

时域： x(t) h(t) y(t) 传输特性： h(t)复数域： X(s) H(s) Y(s) H(s) 频域 : X(w) H(w) Y(w) H(w)

第一节 概 述 测试装置：可能是复杂的测试装置，也可能是组成环节

一、对测试装置的基本要求

复杂测试系统 ( 轴承缺陷检测 )

简单测试系统

V

⑴ 已知： ⑵ 已知： ⑶ 已知：

)(, thtytx )(, txthty

)(, tythtx

理想的测试装置：单值的，确定的输入、输出关系 且： 输出 / 输入＝常值 线性关系

二、线性系统及其主要性质 线性系统：输入 :x(t) 输出： y(t)

)()(

...)()(

)()(

...)()(

011

1

1

11

1

1 0

txbdt

tdxb

dt

txdb

dt

txdb

tyadt

tdya

dt

tyda

dt

tyda

m

m

mm

m

m

n

n

nn

n

n

特点：①无交叉项，无高次幂，无常数项； 判断： y=ax+b ②n:阶数 时，系统稳定 ③

为常数， 时不变线 (定常 )性系统

)()()()( 2121 tytytxtx

mnmn ,0,11, aaaa nn

0,11, , bbbb mm

)()( tytx

⑴ 叠加性 )()(

)()(

22

11

tytx

tytx

)()()(

txtydt

tdyRc

二、线性系统及其主要性质

⑶ 微分 dt

tdy

dt

tdx )()(

⑷ 积分：初始状态为零： t=0 时，

0)()(

)( tydt

tdxtx

0 0

0 0)()(

t tdttydttx

⑸ 频率保持性：输入为某一频率的信号 输出必为同一频率的信号

⑵ 比例性 )()( taytax

第二节 测试装置的静态特性 静态测量：测量期间被测值认为是恒定的

动态测量： 测量装置的特性：静态特性：指标 动态特性：

0

0

by x sx

a

一、线性度：测量装置输出、输入之间保持常比例关系的程度 线性度＝ 100%

B

A

2 31 2 3 ...y S x S x S x 实际：

拟合直线的确定： 端基直线 独立直线：最小二乘法

1

2

iiB 最小

二、灵敏度 　当测试装置的输入 x 有一增量△ x ，引起输出y 发生相应的变化△ y 时，则定义 : 　

主要静态特性：

理想的定常线性系统：

0

0

a

b

x

y

x

ys 常数

S: ① 以拟合直线的斜率作为装置的灵敏度

②有量纲 eg:弹簧 mm/kg or 300mv/mm X=0.01mm,y=10mm 则 S=10/0.01=1000

此时 S为“放大倍数”

三、回程误差 1020max yyh 四、稳定度、漂移 : 保持特性不变的能

力 是指在一定工作条件下，当输入量不变时，输出量随时间变化的程度。

第三节 测试装置动态特性的数学描述一、传递函数初始条件为零

时：)()()( sXsHsY

传递函数：

)(

)()(

011

1

011

1

sX

sY

asasasa

bsbsbsbsH

nn

nn

mm

mm

0)( dtetf st

H(s)的几个特点： ⑴ H(s)只表达系统的传输特性

与 x(t)及系统的初始状态无关 ⑵ H(s)不拘泥于系统的物理结构，

只反映系统的传输特性 ⑶ H(s)反映 x(t),y(t)量纲变换关系

⑷ 稳定系统： mn

二、频率响应函数 H(w) [ 稳定 ]

( 一 ) 求法 : 以 jws 代入 H(s)

011

1

011

1

)()()(

)()()()(

ajwajwajwa

bjwbjwbjwbjwH

nn

nn

mm

mm

频率响应函数： H(w)= P(w)+jQ(w)

H(jw) ,H(w) )()()( wjewHwH

)(

)()(

sX

sYsH

)(

)()(

wX

wYwH

)()(

)(

)(

)()(

)(

)(

)()( wwj

wj

wj

xy

x

y

ewAewX

ewY

wX

wYwH

)()( )()()( wjwj ewHewAwH

)(

)()(

wX

wYwA

)()()( www xy

稳定输出信号和输入信号的幅值比。

稳态输出信号对输入信号的相角差。

)()()( wjewAwH 的物理意义：

表征系统对输入信号中各个频率分量的幅值的缩放能力和对相位角前后移动的能力。

注意： H(w): 信号输入与稳态输出的关系。H(s): 稳态 + 瞬态。

( 二 ) 、幅、相频特性及图像描述 1、 H(w) ： A(w)—w 幅频特性

ww )( 相频特性

2、 H(w)= P(w)+ jQ(w) P(w)—w 实频特性 Q(w)—w 虚频特性

伯德图 奈魁斯特图 ( 三 ) 脉冲响应函数

求： y(t)=? X(s) H(s) Y(s)

)()( ttx 当

X(s)=1 Y(s)＝

X(s)H(s)=H(s))()( thty h(t): 装置的传输特性在时域中的描述。

h(t): 脉动响应函数 时域 H(w): 频率响应函数 频域 H(s): 传递函数 复数域

（四）环节的串、并联

前提：环节之间没有能量的交换

串联：

)()()(

)(

)(

)(

)(

)()( 21 sHsH

sZ

sY

sX

sZ

sX

sYsH

)()(1

sHsHn

ii

n

ii

i

n

i

i

n

i

AA

HH

1

1

1

)()(

)()(

)()(

)()(

)(

)(

)(

)()(

)()()(

)(

)()(

21

21

21

sHsH

sX

sY

sX

sYsH

sYsYsY

sX

sYsH

)()(1

sHsHn

ii

并联：

数学表明：任何高阶系统（ n>3 ）都可看成是若干个一、二阶环节的串、并联 。

)()(1

jwHjwHn

ii

五、一阶、二阶系统的特性

（一）一阶系统)()(

)(txty

dt

tdyRc

令 RC=

时间常数

)()()(

txtydt

tdy

1

1)(

ssH

1

1)(

jwjwH

2)(1

1)(

wwA

)()( warctgw

归一化处理 : 1 0 0

( )( ) ( )

dy ta a y t b x t

dt

⑴ 当 51

w 1)( wA

（误差不超过 2 ％）

jwwHw

1)(,1

系统相当于一个积分器 t

dttxty0

)(1

)(

一阶系统适：测缓变或低频的被测量

（ 2 ）当

（ 3 ）时间常数

1

w 707.0)( wA:

,

决定了此装置的适用频率范围

一阶装置的脉冲响应函数：

t

eth

1

)(

1 一阶系统典型系统的动态响应

dttic

ty

dttic

tRitx

)(1

)(

0)(1

)()(

)()()(

txtydt

tdyRC

0)(

)()( dt

tdyctkytx

)()()(

txtydt

tdy

k

c

dt

tdyC

R

tytx )()()(

)()()(

txtydt

tdyRC

k

c令 RC令 RC令

例 1:用一个时间常数为 0.3s的一阶装置去测量周期为1s的正弦信号 ,问幅值误差将是多少 ?若周期为 5s呢 ?结果如何 ?

解 : 幅值误差 :

一阶系统 :

当装置的周期为 1s,5s 时 :

1)()(

)()(

wA

wX

wXwY

2)(1

1)(

wwA

)/(4.02

22

22

11 srad

Tw

Tw

531.01469.01)(

936.0)3.04.0(1

1)(

469.0)3.02(1

1

)(1

1)(

11

22

221

1

wA

wA

wA

064.01936.01)( 22 wA

所以 , 信号频率越小 , 幅值误差越小 .

)4550sin(5.05sin)( 0 tttx

1004.0

1)(

ssH

01

1

1

1

0)(

1)(

5

5sin)(

w

wx

w

ttx

02

2

2

02

45)(

5.0)(

50

)4550sin(5.0)(

w

wx

w

ttx

例 2. 求周期信号

传递函数为 的装置后所得到的稳定响应？

通过

解： x(t) 由两股信号组成

信号通过1004.0

1)(

ssH 的装置

2)004.0(1

1)(

wwA

)004.0()( warctgw

9998.0)5004.0(1

1)(

21

wA

96.0)50004.0(1

1)(

22

wA

01 15.1)5004.0()( arctgw

02 31.11)50004.0()( arctgw

幅频特性：

相频特性：

其对两股信号分量的幅值增益及相移分别为：

据叠加性： x(t) 的稳态输出 y(t) 为

)31.114550sin(5.096.0)15.105sin(19998.0

)()(50sin)()(

)()(5sin)()()(

0000

2222

1111

tt

wwtwXwA

wwtwXwAty

即： )31.5650sin(48.0)15.15sin(9998.0)( 00 ttty

（二）二阶系统

动圈式电表

x(t): 电流 y(t): 角位移 J: 转动惯量 G: 游丝的扭转刚度 C ：阻尼系数：空气、电磁、油

Ki: 电磁转矩系数 : 有效面积、 匝数、磁感应强度。

)()()()(

2

2

txktGydt

tdyc

dt

tydJ i

令： G

ks

GJ

c

J

Gw i

n ,2

,

固有频率 阻尼比 灵敏度 2

2 22

( ) ( )2 ( ) ( )n n n

d y t dy tw w y t Sw x t

dt dt

令： S=1 22

2

2)(

nn

n

wsws

wsH

22

2

)(2)()(

nn

n

wjwwjw

wwH

22

2

2 )(4)(1

1)(

nn w

w

w

wwA

2

2

)(1

)(2

)(

n

n

w

ww

w

arctgw

幅频特性： A(w)-w

ww )(

二阶系统的特点

⑴ 当 w<< nw 1)( wA

nww 0)( wA

⑵ 动态特性参数： ,nw

nww 时，共振。共振的利用：测参数：

090)(

2

1)(

w

wA

相频特性

二阶系统的特点

⑴ 当 w<< nw 1)( wA

nww 0)( wA

⑵ 动态特性参数： ,nw

nww 时，共振。共振的利用：测参数：

090)(

2

1)(

w

wA

⑶ nww 时， )(w 很小

nww 时， ,180)( 0w 反相， nww 处， 090)( w⑷ 恰当选择参数 ： nw 及

一般： (0.6~0.8) nw

7.065.0

目的：获得较小的误差及较宽的工作频率范围

w

二阶系统

kcsmssX

sYsH

sXskYscsYsYms

txtkytyctym

2

2

1

)(

)()(

)()()()(

)()()()(

mgky

mgtxtymdttdy

cytyk

0

0 )()()(

))((

二阶系统的脉冲响应：

)()()(

)()()(

)()()(

)()()(

thtxty

txthty

wXwHwY

sXsHsY

第四节 测试装置对任意输入的响应一、系统对任意输入的响应

X(s) H(s) Y(s) X(w) H(w) Y(w)

即：系统的输出就是输入与系统的脉冲响应函数的卷积

二、系统对单位阶跃输入的响应阶跃：

ssx

1)(

一阶系统 t

ety

1)(

① t 时， y(t)=0.632 测 τ

② 一阶装置： 愈好

二阶系统： 1),sin(1

1)( 22

twe

ty d

twn

2

22 1,1

arctgww nd

nw ① 响应快； ：影响振荡次数

② 选择范围：0.6~0.8 偏离稳态不到 2 ％－ 5% 的范围内

第五节 实现不失真测试的条件),()( 00 ttxAty 0,0 tA ：常数

表明：输出波形与输入波形精确一致，只是幅值放大了0A 倍，时间上延迟了 0t

)()( 00 wXeAwY wjt

wjtwj eAwX

wYewAwH 0

0)(

)(

)()()(

波形不失真条件： 0)( AwA 常数 wtw 0)( 线性

)(wA

)(w

w

w

幅值失真： )(wA 常数 所引起的失真 相位失真： )(w 与 w 不成线性关系引起的失真

问题：单一频率的信号进入线性定常系统，是否会产生失真

装置 一阶： 响应 满足不失真条件的通频带边宽

二阶： 8.06.0:

)58.00(:

nw

例：一力传感器具有二阶动态特性，传递函数

22

2

2)(

nn

n

wsws

wsH

已知传感器的固有频率 Hzf n 1000

阻尼比 7.0

的正弦交变力时，相对幅值误差和相位差？试问 : 用它测量频率分别为 600Hz 和 400Hz

解：该传感器的频率特性为：

2

22

2

2

)(1

)(2

)(

)(4)(1

1)()(

n

n

nn

w

ww

w

arctgw

w

w

w

wwHwA

当测量 Hzf 6001 60021 w srad / 的交变力时

%505.0

1

)21000

2600(7.04)

21000

2600(1

11)(

1

222

2

11

wA

相位差： 0

21 7.52

)21000

2600(1

)21000

2600(7.02

)(

arctgw

当测量 Hzf 4002 sradw /24002 的交变力时

1

210002400

7.04210002400

1

11)(

22

2222

wA

%101.02

相位差： 0

22 7.33

)10002

4002(1

)10002

4002(7.02

)(

arctgw

可见： 7.0 6.0nw

w 时， %51

对于 4.0nw

w %12

幅值情况： )()( 21 wAwA 存在幅值误差

相位情况：时间滞后： msw

wwd 24.0

6002360

27.52)(

)(1

11

msw

wwd 234.0

4002360

27.33)(

)(2

22

)()( 21 ww dd 可认为无相位失真

第六节 测试装置动态特性的测试

一阶： 二阶：

,n

一、频率响应法： ( 频域中测 : n ,, ) （一）方法 ① 、对装置施加正弦激励 wtXtx sin)( 0

② 、稳态后，测 )(

)(

wX

wY ，相角差 得此频率下 )(),( wwA

逐点增加到较高频率，直到输出量减少到初始输出幅值得一半，得： ww

wwA

)(

)(

（二）动态特性参数的确定：

一阶装置： : 由式 )()(,)(1

1)(

2warctgw

wwA

定

二阶装置 nw. 相频曲线： nww 处，

2)(

w

此点斜率反映了阻尼比 测试较困难

幅频曲线估计 前提 很小

nr

nr

ww

ww

221

幅频特性估计 nw,

22

2

2 )(4)(1

1)(

nn w

w

w

wwA

n

nn

nn

nn

w

wwwwba

wwA

wAwA

wwww

wAwA

w

w

w

wwA

2,,

2

1)(

)(22

1)(

)1(,)1(

)(,2

1)(

)(4))(1(

1)(

1221

21

21

2222

＝，则、对应的频率将是幅频曲线于

处，作一水平线交曲线上，在峰值的在

令：

接近峰值很小时，

① 、由 nwwwA )(

② 、由

定：另外，也可由定2

12

12

1

)0(

)(

2

A

wA

w

ww r

n

二、阶跃响应法（时域中测 nw,, ） ( 一 ) 、一阶装置：① 、由 y(t)=0.632 时 t 但可靠性差

tty

tty

ety

ety

n

n

t

n

t

n

)(1ln

)(1ln

)(1

1)(

② 、

成线性

据测得的 )(tyn 作出

响应的全过程此法特点：考虑了瞬态

线，其斜率为

1

)(1ln kttyn

所以：可靠性较①法强。 ( 二 ) 、二阶装置

2

22

1

)sin(1

1)(

nd

d

tw

ww

twe

tyn

① 利用最大超调量 M 求

方法的原理：由 y(t) 表达式，可得各振荡峰值对应的时间)(,

2,,0 ty

wt

wwt

dddp 代入将

所以最大超调量 ： )1

(2

eM即：

1)ln

(

1

2

M

估定： n ,

1 。 (a) 测 M, 由 1)

ln(

1

2

M

定

(b) dd T

2可得，则

1

dn n定

2. 利用两个超调量 求nii MM ,

原理： 21

2

n

iniw

ntt

带入 y(t) 得： 21

2ln

n

M

M

nI

I

令： ni

in M

M

ln 则： 222

2

4 nn

n

测定 nw, (a) 、据测得的 nii MM , 求 n

3.0若 n

M

M

ni

i

2

ln

(b) 据已知的 ，再由 21

2

d

nd

ww

Tw

定下 nw测得