物理化学电子教案 — 第七章

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物理化学电子教案—第七章


第七章统计热力学基础

§7.1 概论

§7.5 配分函数对热力学函数的贡献

§7.3 配分函数§7.4 各配分函数的计算

§7.2 Boltzmann 统计

§7.6 单原子理想气体热力学函数的计算

§7.7 双原子理想气体热力学函数的计算


§ 7.1 概论

一 . 统计热力学的研究方法

二 . 统计热力学的基本任务（目的）

四 . 定位体系和非定位体系

五 . 独立粒子体系和相依粒子体系

六 . 统计体系的分类

七 . 统计热力学的基本假定

三 . 统计热力学的优点与不足


一 . 统计热力学的研究方法

物质的宏观性质本质上是微观粒子不停地运动的客观反应。虽然每个粒子都遵守力学定律，但是无法用力学中的微分方程去描述整个体系的运动状态，所以必须用统计学的方法。

根据统计单位 ( 粒子 ) 的力学性质（例如速度、动量、位置、振动、转动等），经过统计平均推求体系的热力学性质，将体系的微观性质与宏观性质联系起来，这就是统计热力学的研究方法。


二 . 统计热力学的基本任务（目的）

根据对物质结构的某些基本假定，以及实

验所测得的光谱数据，求得物质结构的一些基本

常数，如核间距、键角、振动频率等，从而计算

分子配分函数。再根据配分函数求出物质的热力

学性质，这就是统计热力学的基本任务。


三 . 统计热力学的优点和不足

该方法的局限性：物质结构是很复杂的，计算时须先假定结构的模型，而人们对物质结构的认识也在不断深化，这势必引入一定的近似性。另外，对大的复杂分子以及凝聚体系，计算尚有困难。

该方法的优点：将体系的微观性质与宏观性质联系起来，对于简单分子，计算结果常是令人满意的。不需要进行复杂的低温量热实验，就能求得相当准确的熵值。



1. 定位体系（ localized system ）

定位体系又称为定域子体系，这种体系中的

粒子彼此可以分辨。例如，在晶体中，粒子在固

定的晶格位置上作振动，每个位置可以想象给予

编号而加以区分，所以定位体系的微观状态数是

很大的。



2. 非定位体系（ non-localized system ）

非定位体系又称为离域子体系，基本粒子之间不可区分。例如，气体的分子，总是处于混乱运动之中，彼此无法分辨，所以气体是非定位体系，它的微观状态数在粒子数相同的情况下要比定位体系少得多。



1. 独立粒子体系（ assembly of independent particle

s ）

1 1 2 2 i ii

U n n n 独立粒子体系是本章主要的研究对象

粒子之间的相互作用非常微弱，因此可以忽略不计，所以独立粒子体系严格讲应称为近独立粒子体系。这种体系的总能量应等于各个粒子能量之和，即：



2. 相依粒子体系（ assembly of interacting particle

s ）

i ii

U n U （位能）

相依粒子体系又称为非独立粒子体系，体系中粒子之间的相互作用不能忽略，体系的总能量除了包括各个粒子的能量之和外，还包括粒子之间的相互作用的位能，即：



目前，统计主要有三种：

第一种是 Maxwell-Boltzmann 统计，通常称为 Boltzmann统计；第二种是 Bose-Einstein统计；第三种是 Fermi-Dirac统计。

1900年 Plonck提出了量子论，引入了能量量子化的概念，发展成为初期的量子统计。在这时期中， Boltzmann 有很多贡献，开始是用经典的统计方法，而后来又有发展，加以改进，形成了目前的 Boltzmann 统计。



1924年以后有了量子力学，使统计力学中

力学的基础发生改变，随之统计的方法也有改进，

从而形成了 Bose-Einstein统计和 Fermi-Dirac统

计，分别适用于不同体系。

但这两种统计在一定条件下通过适当的近似，

可与 Boltzmann 统计得到相同结果。



1. 数学概率（ probability ）指某一件事或某一种状态出现的机会大小。

简称概率。

2. 热力学概率体系在一定的宏观状态下，可能出现的微观状态总数，通常用　表示。



3. 等概率假定

例如，某宏观体系的总微态数为，则每一种微观状态出现的数学概率 P 都相等，即：

1

P

对于 U, V 和 N 确定的某一宏观体系，任何一个可能出现的微观状态，都有相同的数学概率，所以这假定又称为等概率原理。

4. 体系的宏观性质是体系中大量粒子微观性质的统计平均值。


§7.2 Boltzmann 统计

一 . 定位体系的微态数

二 . 定位体系的最概然分布三 . 简并度四 . 有简并度时定位体系的微态数五 . 非定位体系的最概然分布

六 .Boltzmann公式的其它形式

七 . 熵和亥氏自由能的表示式


一 . 定位体系的微态数（ Boltzmann公式）

一个由 N 个可区分的独立粒子组成的宏观体系，在量子化的能级上可以有多种不同的分配方式。设其中的一种分配方式为：

1 2

1 2

i

iN N N

能级：，，，一种分配方式：，，，


一 . 定位体系的微态数（ Boltzmann公式）

这种分配（见讲义 469页排列组合问题）的微态数为：

1 2

!! (

!1)

! !

ii

N

N NN

N

1 2

1BN NN N NC C 1

1 1 2 1 2

! ( )!

!( )! !( )!

N N N

N N N N N N N

分配方式有很多 , 总的微态数为：

BBB

!

! (2)

ii

N

N

无论哪种分配都必须满足如下两个条件：

(3)

(4)

ii

i ii

N N

N U

求总的微态数很困难，一般是

用最概然分布的微态数代替。


二 . 定位体系的最概然分布 (Boltzmann公式 )

每种分配的值各不相同，但其中有一项最大值，在粒子数足够多的宏观体系中，可以近似用来代表所有的微态数，这就是最概然分布所具有的微态数。

max

max

B

问题在于如何在两个限制条件下，找出一种合适的分布，才能使有极大值，在数学上就是求 (1)式的条件极值的问题。即：

iN

B

!

!ii

N

N

i

i NN , UN ii

i 求极值，使


二 . 定位体系的最概然分布 (Boltzmann公式 )

用最概然分布的分配方式数 Ωm 来代替总微观状态数 Ω ，实际上是 lnΩm ≈lnΩ，下面给出一组数据作为证明。

N Ω Ωm Pm lnΩm / lnΩ

5×101 1.1×1015 1.27×1014 0.112 0.9370

5×102 2.7×10299 1.35×10298 0.05 0.9904

5×103 1.6×103008 2.5×103006 0.015 0.9987

5×104 2.5×1030100 0.81×1030098 0.003 0.9998

5×105 5.6×10301026 1.4×10301022 0.000025 1.0000


二 . 定位体系的最概然分布（ Boltzmann公式）

下面我们就来求这个最概然分布，首先对ΩB 的表达式取对数，得

lnΩB=lnN!－∑ lnNi!

应用斯特林公式 lnN!=NlnN－ N 简化，得 lnΩB=NlnN－ N－∑ NilnNi+∑Ni

求上式的条件极值，即求 d(lnΩB)=0 ，且满足 N = ∑Ni 和 U = ∑εiNi 的要求。


二 . 定位体系的最概然分布（ Boltzmann公式）

d(lnΩB)=-∑lnNidNi -∑dNi+∑dNi =-∑lnNidNi

dφ1=∑dNi

dφ2=∑εidNi

按条件极值，应有

-∑lnNidNi +α∑dNi +β∑εidNi= 0

合并 ∑（ -lnNi +α+βεi ） dNi = 0

∵ dNi≠0 ∴ -lnNi +α+βεi= 0


二 . 定位体系最概然分布（ Boltzmann公式）

式中 α和 β 是 Lagrange乘因子法中引进的待定因子。

ln ln i

i

N e 或

用数学方法可求得： /( )i

i

e N e

1-kT

/*

/

i

i

kT

i kT

i

eN N

e

max *

!ii

N!

N

所以最概然分布公式为：

上述方法称为 Lagrange乘因子法，求得的最概然分布为： ieN i


三 . 简并度（ degeneration ）

能量是量子化的，但每一个能级上可能有若干个不同的量子状态存在，反映在光谱上就是代表某一能级的谱线常常是由好几条非常接近的精细谱线所构成。

量子力学中把能级可能有的量子状态数称为该能级的简并度，用符号表示。简并度亦称为退化度或统计权重。

ig



例如，气体分子平动能的公式为：2

2 2 2x y z3/ 2

( )8i

hn n n

mV

式中分别是在轴方向的平动量

子数，当则

只有一种可能的状态，则，是非简并的。

x y z,n n n和 zyx 和,2

3 / 23

8i

h

mV x y z1, 1, 1,n n n

1ig



x y z n n n

这时，在相同的情况下，有三种不同的微观状态，则。

i3ig

2

3/26

8ih

mV 当

2 1 11 2 1 1 1 2


四 . 有简并度时定位体系的微态数及 Boltzmann公式

1 2

1 2

1 2

, , ,

, , ,

, , ,

i

i

i

g g g

N N N

能级

各能级简并度

一种分配方式

设有 N 个粒子的某定位体系的一种分布为：



先从 N 个分子中选出 N1 个粒子放在能极上，有种取法；

11N

NC

但能极上有个不同状态，每个分子在能极上都有种放法，所以共有种放法；

1 1g1

1g 11Ng

这样将 N1 个粒子放在能极上，共有种微态数。依次类推，这种分配方式的微态数为：

111

NN

N Cg 1



1 1 2 2

1B 1 2( )( )N N N NN N Ng C g C

1 2 11 2

1 2 1 2

( )!!

!( )! !( )!N N N NN

g gN N N N N N N

1 21 2

1 2 i

!

! ! !N N N

g gN N N

!!

iNi

i i

gN

N



B

( , , ) !!

iNi

i i

gU V N N

N

由于分配方式很多，所以在 U 、 V 、 N 一定的条件下，所有的总微态数为：

i i ii i

N N N U 求和的限制条件仍为：



/*

/

i

i

kTi

i kTi

i

g eN N

g e

与不考虑简并度时的最概然分布公式相比，只多了项。ig

再采用最概然分布概念，，用 S

tiring公式和 Lagrange乘因子法求条件极值，得到微态数为极大值时的分布方式为：

B max

*iN


五 . 非定位体系的最概然分布 (Boltzmann公式 )

B

1( , , ) !

!!

iNi

i i

gU V N N

N N

非定位体系由于粒子不能区分，它在能级上分布的微态数一定少于定位体系，所以对定位体系微态数的计算式进行等同粒子的修正，即将计算公式除以。!N

则非定位体系在 U 、 V 、 N 一定的条件下，所有的总微态数为：


五 . 非定位体系的最概然分布 (Boltzmann公式 )

/*

/

i

i

kTi

i kTi

i

g eN N

g e

（非定位）

同样采用最概然分布的概念，用 Stiring公式和 Lagrange乘因子法求条件极值，得到微态数为极大值时的分布方式（非定位）为：*

iN

由此可见，定位体系与非定位体系，最概然的分布公式是相同的。



（ 1 ）将 i 能级和 j 能级上粒子数进行比较，用

最概然分布公式相比，消去相同项，得：

/*

* /

i

j

kTi i

kTj j

N g e

N g e



（ 2 ）在经典力学中不考虑简并度，则上式成为* /

* /exp( )

i

j

kTi ji

kTj

N e

kTN e

设最低能级为，在能级上的粒子数为，略去标号，则上式可写作：

0 0, i i 0

0N ""*

/0

i kTiN N e

这公式使用方便，例如讨论压力在重力场中的分布，设各个高度温度相同，即得：

/0e

mgh kTp p


七 . 熵和亥氏自由能的表达式

根据揭示熵本质的 Boltzmann公式

maxln lnS k k

（ 1 ）对于定位体系，非简并状态

max *

!

!ii

N

N

maxln ln ! ln !ii

N N



* * *ln ln ( )i i ii i

N N N N N N * *ln ( ) ( )ii i i

i

N N N N e * *ln ( , )i i i

i i

N N N U N N N U / 1

ln ( ln ln , )i ikT

i i

UN e N e

kT kT

用 Stiring公式展开：* * *

maxln ln lni i ii i

N N N N N N



/maxln ln i kT U

S k kN eT

（定位）

/ln i kT

i

A U TS NkT e （定位）

/maxln ln i kT

i

UN e

kT



max !!

iNi

i i

gN

N

（ 2 ）对于定位体系，简并度为 ig

推导方法与前类似，得到的结果中，只比（ 1 ）的结果多了项。ig

/ln i kTi

i

US kN g e

T （定位）

/ln i kTi

i

A NkT g e （定位）



/

ln[ ]!

i kT Ni

i

g eU

S kN T

（）

（非定位）

/( )ln[ ]

!

i kT Ni

i

g eA kT

N

（非定位）

（ 3 ）对于非定位体系由于粒子不能区分，需要进行等同性的修

正，在相应的定位体系的公式上除以，即：!N


§7.3 *Bose-Einstein 统计和 Fermi-Dirac 统计

一 . Bose-Einstein统计

二 . Fermi-Dirac统计

三 . 三种统计方法的比较


§7.4 配分函数

一 . 配分函数的定义

二 . 配分函数的分离

三 . 非定位体系配分函数与热力学函数的关系四 . 定位体系配分函数与热力学函数的关系



配分函数的定义根据 Boltzmann最概然分布公式（略去标号）

""*

/

/

i

i

kTi

i kTi

i

g eN N

g e

令分母的求和项为：/i kT

ii

g e q

q 称为分子配分函数，或配分函数 (partition function) ，其单位为 1 。求和项中称为 Boltzmann 因子。配分函数 q 是对体系中一个粒子的所有可能状态的 Boltzmann 因子求和，因此 q 又称为状态和。

i /kTe



将 q代入最概然分布公式，得：

q 中的任何一项与 q 之比，等于分配在该能级上粒子的分数， q 中任两项之比等于这两个能级上最概然分布的粒子数之比，这正是 q被称为配分函数的由来。

/

/

i

j

kTi i

kTj j

N g e

N g e

/i kT

i iN g e

N q



一个分子的能量可以认为是由分子的整体运动能量即平动能，以及分子内部运动的能量之和。

分子内部的能量包括转动能 ( ) 、振动能 ( ) 、电子的能量 ( ) 和核运动能量 ( ) ，各能量可看作独立无关。

r v

e n

t r v e n 这几个能级的大小次序是：



-1 -1r v42 420 J mol 4.2 42 kJ mol 为，为，

平动能的数量级约为，21 -14.2 10 J mol

,t

,t ,r ,v ,e ,n i i i

i i i i i

（内）分子的总能量等于各种能量之和，即：

各不同的能量有相应的简并度，当总能量为时，总简并度等于各种能量简并度的乘积，即：

i

,t ,r ,v ,e ,ni i i i i ig g g g g g

e n , 则更高。



根据配分函数的定义，将和的表达式代入，得：i ig

从数学上可以证明，几个独立变数乘积之和等于各自求和的乘积，于是上式可写作：

,t ,r ,v ,e ,n,t ,r ,v ,e ,n exp( )i i i i i

i i i i ii

g g g g gkT

exp( )ii

i

q gkT



,t ,r,t ,r

,v ,e,v ,e

,n,n

[ exp( )] [ exp( )]

[ exp( )] [ exp( )]

[ exp( )]

i ii i

i i

i ii i

i i

ii

i

q g gkT kT

g gkT kT

gkT

t r v e nq q q q q

和分别称为平动、转动、振动、电子和原子核配分函数。

t r v e, , ,q q q q nq


三 . 非定位体系配分函数与热力学函数的关系

/( e )ln[ ]

!

i kT Ni

i

gA kT

N

（非定位）

设总的粒子数为 N

（ 1 ） Helmholz自由能 A

ln [ ]!

NqkT

N



,( )V N

AS

T

（ 2 ）熵 S

,

lnln[ ] ( )

!

N

V N

q qS k NkT

N T

（非定位）

d d dA S T p V

或根据以前得到的熵的表达式直接得到下式：/( )

ln[ ]!

i kT Ni

i

gS

eU

kN T

（非定位）

ln[ ]!

Nq Uk

N T



2,

ln[ ]V N

qNkT

T

（ 3 ）热力学能 U

或从两个表达式一比较就可得上式。（非定位）S

U A TS

2,

lnln[ ] ln[ ] [ ]

! !

N N

V N

q q qkT kT NkT

N N T



, ,

ln( ) ( )T N T N

A qp NkT

V V

（ 4 ） Gibbs自由能 G

,

lnln[ ] ( )

!

N

T N

q qG kT NkTV

N

G A pV

V

根据定义，，所以

d d dA S T p V



2, ,

ln ln[ ] ( )V N T N

q qNkT NkTV

T V

(5)焓 H H U pV

(6) 定容热容 CV

2,

ln[ ( ) ]V N V

qNkT

T T

( )V V

UC

T

根据以上各个表达式，只要知道配分函数，就能求出热力学函数值。


四 . 定位体系配分函数与热力学函数的关系

根据非定位体系求配分函数与热力学函数关系相同的方法，得：

NqkTA ln（定位）

T

UqNkS

T

qNkTqNkS NV

ln

)ln

(ln ,

（定位）或

（定位）



NVT

qNkTU ,

2 )ln

(

（定位）

NTV

qNkTVqNkTG ,)

ln(ln

（定位）

NTNV V

qNkTV

T

qNkTH ,,

2 )ln

()ln

(

（定位）

VNVV T

qNkT

TC ])

ln([ ,

2

（定位）



由上列公式可见， U ， H 和 CV 的表达式

在定位和非定位体系中是一样的；

而 A ， S 和 G 的表达式中，定位体系少了

与有关的常数项，而这些在计算函数的变化

值时是可以互相消去的。本章主要讨论非定位体系。

!

1

N


§7.5 各配分函数的计算及对热力学函数的贡献

一 . 原子核配分函数

二 .电子配分函数

三 . 平动配分函数

四 . 转动配分函数

五 . 振动配分函数



n,0 n,1n n,0 n,1

n,0 n,1 n,1 n,0n,0

n,0

exp( ) exp( )

exp( )[1 exp( ) ]

q g gkT kT

gg

kT g kT

式中分别代表原子核在基态和第一激发态的能量，分别代表相应能级的简并度。

n,0 n,1,

n,0 n,1,g g



n,0n n,0 exp( )q g

kT

由于化学反应中，核总是处于基态，另外基态与第一激发态之间的能级间隔很大，所以一般把方括号中第二项及以后的所有项都忽略不计，则：

如将核基态能级能量选为零，则上式可简化为：n n,0 n2 1q g s

即原子核的配分函数等于基态的简并度，它来源于核的自旋作用。式中 sn 是核的自旋量子数，与体系的温度、体积无关。


一 . 原子核配分函数的贡献

2 nn ,

ln( ) 0V N

qU NkT

T

2n nn , ,

ln ln( ) ( ) 0T N V N

q qH NkTV NkT

V T

n, ( ) 0V n V

UC

T

对热力学能、焓和定容热容没有贡献，即：nq


一 . 原子核配分函数的贡献

在计算热力学函数的差值时，这一项会消去，所以一般不考虑 qn 的贡献。只有在精确计算规定熵值

时，才会考虑 qn 的贡献。

n n n n

n n

n n

n n

,

ln

ln

ln

q A S G

A NkT q

S Nk q

G NkT q

对于和有少量的贡献，其计算式为：



e,0 e,1e e,0 e,1exp( ) exp( )q g g

kT kT

e,0 e,1 e,1 e,0e,0

e,0

exp( )[1 exp( ) ]g

gkT g kT

电子能级间隔也很大，除 F, Cl 少数元素外，方括号中第二项也可略去。虽然温度很高时，电子也可能被激发，但往往电子尚未激发，分子就分解了。所以通常电子总是处于基态，则：

-1e,1 e,0( ) 400 kJ mol ,

e,0e e,0 exp( )q g

kT



若将基态能量视为零，则e,0 e e,0 2 1q g j

式中 j 是电子总的角动量量子数。电子绕核运动总动量矩也是量子化的，沿某一选定轴上的分量可能有 2j+1 个取向。某些自由原子和稳定离子的是非简并的。如有一个未配对电子，可能有两种不同的自旋，如它的

e,00 , 1 ,j g

e,0

1 , 2

2j g 。Na ,

e,0e e,0 exp( )q g

kT


二 .电子配分函数的贡献

通常电子处于基态，并将基态能量选作零，则：

e e,0 2 1q g j

由于电子总的角动量量子数 j 与温度、

体积无关，所以 qe 对热力学能、焓和等容

热容没有贡献，即：

e e v,e 0U H C


二 .电子配分函数的贡献

e e e e

e e

e e

e e

ln

ln

ln

q A S G

A NkT q

S Nk q

G NkT q

对，和有少量贡献，即：

（非定位）（非定位）（非定位）

除外，和的值在计算变化差值时，这项一般也可以消去。如果电子第一激发态不能忽略，如果基态能量不等于零，则应该代入的完整表达式进行计算。

eSeGeA

eq



设质量为 m 的粒子在体积为的立方体内运动，根据波动方程解得平动能表示式为：

cba

222 2

,t 2 2 2( )

8yx z

i

nnh n

m a b c

式中 h 是普朗克常数，分别是轴上的平动量子数，其数值为的正整数。

, ,x y zn n n zyx ,,

,,2,1

,tt ,t exp( )i

ii

q gkT



将代入：,ti 222 2

t 2 2 21 1 1

exp[ ( )]8

x y z

yx z

n n n

nnh nq

m a b c

因为对所有量子数从求和，包括了所有状态，所以公式中不出现项。在三个轴上的平动配分函数是类似的，只解其中一个，其余类推。

0 ,tig

t,xq

222 2

2 21 1

exp( ) exp( )8 8

x y

yx

n n

nnh h

mkT a mkT b

2 2

21

exp( )8

z

z

n

h n

mkT c

t, t, t, x y zq q q



22

t, 21

exp( )8

x

xx

n

nhq

mkT a

2 2t, 0

exp( )dx x xq n n

因为是一个很小的数值，所以求和号用积分号代替，得：

2

22 2 2

21

exp( ) (8

x

xn

hn

mkTa

设）



引用积分公式：则上式得：2 1

2

0

1d ( )

2xe x

12

12

t, 2

1 2( ) ( )

2x

mkTq a

h

32

t 2

2( )

mkTq a b c

h

和有相同的表示式，只是把 a换成 b或 c ，所以：

t,yq t,zq

32

2

2 ( )

mkTV

h


三 . 平动配分函数的贡献

由于平动能的能级间隔很小，所以平动

配分函数对熵等热力学函数贡献很大。

对具有 N 个粒子的非定位体系，分别求对

各热力学函数的贡献。

tq

32

t 2

2( )

mkTq V

h

已知



（ 1 ）平动 Helmholtz自由能

tt

32

2

( )ln

!2

ln( ) ln

NqA kT

NmkT

NkT V NkT N NkTh



这称为沙科尔 -特鲁德公式

tt ,

2

t

3

2

( )

2 5 [ln( )

5[ln ]

2

ln ]2

V N

AS

TmkT

Nk V Nh

qNk

N

（ 2 ）平动熵 d d dA S T p V 因为



32

t,m m3

(2 ) 5ln[ ]

2

mkTS R V R

Lh

沙科尔 -特鲁德公式用来计算理想气体的平动熵。

对于 1mol 理想气体，因为 N k = R, 所以计算公式为：



tt tA SU T （ 3 ）平动热力学能

2 t,

ln( )V N

qNkT

T

3

2NkT

（ 4 ）平动等容热容

t,t (

2)

3VVC N

U

Tk



t tH U pV （ 5 ）平动焓和平动 Gibbs自由能

t tG A pV

NTV

Ap ,)(

代入相应的表示式即得。t t,U A


四 . 单原子理想气体热力学函数的计算

由于单原子分子内部运动没有转动和振

动，所以只有原子核、电子和外部的平动对

热力学函数有贡献。

理想气体是非定位体系，所以它的一系列

热力学函数用配分函数的计算式分别分列如下：


（ 1 ） Helmholtz自由能 A

n e tA A A A t

n eln ln ln!

NqNkT q NkT q kT

N

n,0n,0

e,0e,0

32

2

[ exp( )]

[ exp( )]

2 ln[( ) ] ln !

NkT gkT

NkT gkT

mkTNkT V kT N

h


（ 1 ） Helmholtz自由能 A

n,0 e,0 n,0 e,0

32

2

( ) ln

2 ln[( ) ] ln

N N NkT g g

mkTNkT V NkT N NkT

h

第 1 、 2项在计算时，都可以消去。A


（ 2 ）熵

,

32

n,0 e,0 2

( )

2 [ln ln( ) ln ln

3 5 ln ]

2 2

V N

AS

Tmk

Nk g g V Nh

T

这公式也称为沙科尔 -特鲁德公式。


（ 3 ）热力学能

2 tt ,

ln( )V N

qU NkTU

T

因为对热力学能没有贡献，只有平动能有贡献，所以：

n e , q q

3

2NkT


（ 4 ）定容热容

t,t ,

3( )

2V V V N

UC C Nk

T

这个结论与经典的能量均分原理的结果是

一致的，单原子分子只有三个平动自由度，每

个自由度贡献，则 N 个粒子共有。k2

1Nk

2

3


（ 5 ）化学势

VTN

A,)(

对于理想气体，，代入 A 的表示式，得：p

NkTV

32

n,0 e,0 n,0 e,0 2

2( ) ln ln( )

ln ln

mkTkT g g kT

hkT kT kT kT p


（ 5 ）化学势

32

n,0 e,0 n,0 e,0 2

2( ) ln ln( )

ln ln

mkTL RT g g RT

hRT kT RT RT p

对 1 mol 气体分子而言，各项均乘以阿伏伽德

罗常数 L , Lk = R , 则 1 mol 气体化学势为：


（ 5 ）化学势

32

n,0 e,0 n,0 e,0 2

2( ) ln ln( )

ln ln

mkTL RT g g RT

h

RT kT RT RT p

$

$

当处于标准态时，，则：p p $

从该式可看出，一定时，只是 T 的函数。两式相减得：

p$ $

( , ) ( ) ln( / )T p T RT p p $ $


（ 6 ）理想气体的状态方程

,

d( )d T N

Ap

V

将 A 的表示式代入，由于其它项均与体积无关，只有平动项中有一项与 V 有关，代入即得理想气体状态方程。

,

ln[ ]T N

NkT V NkTp

V V

用统计热力学的方法可以导出理想气体状态方程，这是经典热力学无法办到的。


五 . 转动配分函数

单原子分子的转动配分函数等于零，异核双原子分子、同核双原子分子和线性多原子分子的有类似的形式，而非线性多原子分子的表示式较为复杂。

rq

rq

（ 1 ）异核双原子分子的，设其为刚性转子绕质心转动，能级公式为：

rq

2

r 2( 1) 0 1 2

8

hJ J J

I

，，，

式中 J 是转动能级量子数， I是转动惯量，设双原子质量分别为， r 为核间距，则：1 2 , m m

21 2

1 2

( )m m

I rm m



转动角动量在空间取向也是量子化的，所以能级简并度为：

,r 2 1 ig J 2

20

( 1)(2 1)exp( )

8J

J J hJ

IkT

,r

,rr exp( ) i

ii

gT

qk

2

r 28

h

Ik令Q 称为转动特征温度，因等式

右边项具有温度的量纲。将代入表达式，得：

rQ

rQrq

rr

0

( 1)(2 1)exp( )

J

J Jq J

T

Q


从转动惯量 I 求得。除 H2 外，大多数分子的

很小，，因此用积分号代替求和号，并令，代入后得：

r / 1T QrQ

( 1) , d (2 1)dx J J x J J

rQ


rr 0

( 1)(2 1)exp( )d

J Jq J J

T

Q

r

0exp( )d

xx

T

Q

2

2r

8T IkT

h

Q



2

r 2

8 IkTq

h

（ 2 ）同核双原子和线性多原子分子的（是对称数，旋转微观态重复的次数，对同核双原子 =2 ）

rq

360

（ 3 ）非线性多原子分子的 rq32 2 1

2r 3

8 (2 )( )x y z

kTq I I I

h

分别为三个轴上的转动惯量。 x y zI I I，和

（ 2 ）同核双原子和线性多原子分子的（是对称数，旋转微观态重复的次数，对同核双原子 =2 ）

rq

360


六 . 振动配分函数

（ 1 ）双原子分子的 vq

设分子作只有一种频率的简谐振动，振动是非简并的，，其振动能为：,v 1ig

v,0

1

2h

式中 υ 为振动量子数，当 υ=0 时，称为零点振动能v,0

hV )2

1( 、、、210



令称为振动特征温度 , 也具有温度量纲 ,

则：v v,

h

k

Q Q

vv

v v3 5exp( ) exp( ) exp( )

2 2 2Tq

T T Q Q Q

v v v2 exp( ) [1 exp( ) exp( ) ]

2T T T

Q Q Q

,vv ,v exp( )i

ii

q gkT

0

)21

(exp

kT

h



振动特征温度是物质的重要性质之一，越高，处于激发态的百分数越小，表示式中第二项及其以后项可略去不计。

vQ

vq

也有的分子较低，如碘的，则 υ=1 的项就不能忽略。

vQ v 310 KQ

在低温时，，则，引用数学近似公式：

v 1T

Q vexp( ) 1

T Q

21

1 11

x x xx

时，



则的表示式为：vqv

vv

1exp( )

2 1 exp( )q

TT

'v

1

1 exp( )q

hkT

1exp( )

2 1 exp( )

hhkTkT

将零点振动能视为零 , 即则：v,0

10 ,

2h



v t r3f n f f 多原子分子振动自由度为：vf

（ 2 ）多原子分子的 vq

为平动自由度 , 为转动自由度， n 为原子总数。

tf rf

因此，线性多原子分子的为：vq

3 5

v1

exp( )2

1 exp( )

n

i

hkTqhkT

（线性）非线性多原子分子

的只要将 (3n-5)

变为 (3n-6) 即可。v

q


七 . 转动和振动配分函数的贡献

分子的转动和振动常常是相互影响的，作为一个转子有非刚性的问题，作为一个振子，又有非谐性的问题。我们只考虑最简单的理想双原子分子，分子内部能量严格遵守下式：

I

I

hjjhI 2

2

8)1()

2

1(



式中第一项只与振动量子数 υ 有关，第二项只与转动量子数 j 有关，分子内部能量可以看成是振动和转动两个独立项的加和，则热力学函数也可看成是他们单独贡献的加和。

对于定位和非定位体系，只有平动贡献有一点差异，而内部的转动和振动的贡献是相同的。

I

hjjhI 2

2

8)1()

2

1(



v vlnA NkT qr rlnA NkT q

（ 1 ） Helmholtz自由能r vA A和

rr ,( )V N

AS

T

（ 2 ）转动熵和振动熵

vv ,( )V N

AS

T



2 rr ,

ln( )V N

qU NkT

T

（ 3 ）热力学能 r vU U和

2 vv ,

ln( )V N

qU NkT

T

（ 4 ）定容热容 ,r ,vV VC C 和因为 VV T

UC )(

r,r ( )V V

UC

T

v

,v ( )V V

UC

T



,r2 r

,

22

,2

2

ln [ ( ) ]

8 [ (ln ) ]

1 [ ]

VV N V

V N V

V

qNkT

T T

IkTNkT

T T h

NkTT

C

TNk

则

2

r 2

8 IkTq

h

如某双原子分子的转动、振动配分函数可用下式表示时：

v

kTq

h



,

,

,v2 v

2

ln[ ( ) ]

[ (ln ) ]

V V N V

V N V

qNkT

T TkT

NkTT

C

T hNk

利用热力学函数之间的关系，可求出对

H 和 G 的贡献。


§7.6* 晶体的热容问题

（ 1 ） Dulong-Petit(杜隆—柏替 ) 经验定律

（ 2 ） Einstein 晶体热容理论

（ 3 ） Debye 的 T 三次方公式


§7.7 分子的全配分函数

一 . 双原子分子的全配分函数

二 . 计算氧分子的 e r t, , mq q q S和 $


一 . 分子的全配分函数

n,0n n,0[ exp( )]q g

kT

e,0

e e,0[ exp( )]q gkT

32

t 2

2 =[( ) ]

mkTq V

h

根据配分函数的定义及可分离的性质，分子的全配分函数应该由 5 个部分组成，即：

en t r vqq qqq q （总）其中

2

r 2

8) ( )

IkTq

h

(线性分子

2 3/ 21/ 2

r 2

8 (2 )) [ ( ) ]x y z

kTq I I I

h

(非线性分子



3 5

v1

exp( )2

1 exp( )

in

ii

h

kTqh

kT

（线性多原子分子）

3 6

v1

exp( )2

1 exp( )

in

ii

h

kTqh

kT

（非线性多原子分子）

ν

1exp( )

2( ) [ ]1 exp( )

hkTqhkT

双原子分子



n,0 e,0n,0 e,0

23

22 2

[ exp( )][ exp( )]

1exp( )2 8 2 [( ) ]( )[ ]

1 exp( )

q g gkT kT

hmkT IkT kTV

hh hkT

（总）

对于双原子和多原子分子，将各个配分函数的具体表示式代入即可。如对于双原子分子就得到：

　　对于单原子分子，只有核运动，电子运动和平动

n e tq qqq （总）


二 . 计算氧分子的 qe ， qr ， qt 和 SmӨ

对于多原子分子，前三项相同，而

的形式因原子的结构不同而有所不同。由于

多原子分子的计算十分复杂，现只以

分子为例子，从配分函数计算双原子分子的

一些热力学函数。

r vq q和

2O( )q 总



计算氧分子的。 e r t mq q q S , , 和 $

在 298.15 K 和标准压力下，将 1 molO2(g)放在

体积为 V 的容器中，已知电子基态的 , 基

态能量 , 忽略电子激发态项的贡献。 O2

的核间距。忽略和的贡献。101 207 10 mr . nq vq

00, e

30, eg



e e,0(1) 3q g

解：这时， O2 的全配分函数只有，和

三项，分别计算如下，可以看出它们贡献的大小。

eq rq tq

2

r 2

8(2)

IkTq

h



2 2

310 2

23

46 2

(O)

2

16 10 kg ( )(1 207 10 m)

2 6 03 10

1 935 10 kg m

-

mI r r

..

.

将 k 、 h 等常数代入， O2 的对称数 , 得：22

r 2

871 6

2

IkTq .

h



32

t 2

2(3) ( )

mkTq V

h

3 -126

2 23

32 10 kg mol(O ) 5.313 10 kg

6.023 10 molm

3 -1m 2

3 -1

298.15 K(O ) (0.0224 m mol )

273.15 K

0.02445 m mol

V

30

e

r t

t

t

4.29 10 q

q q

q

q

,代入上式，得。从以上所得和的值，可见的数值最大。



m 2 m,e m,r m,t(4) (O )S S S S $

-1 -1e e, ,0m ln ln 3 9.13 J mol KNk g RS

m,rm,r ,( )V N

AS

T

2

m,r r 2

8ln ln

IkTA NkT q RT

h

2

m,r 2

2

2

8ln

8 = (ln ln 1) = (ln 105.5)

IkTS R R

hIT k IT

R Rh



46 21.935 10 kg m , 2,

298.15 K

I

T

代入，得：

-1 -1m,r 43.73 J mol KS

利用沙科尔 -特鲁德公式计算，因为 Nk=R, 所以：m,tS

32

m,t m3

(2 ) 5[ln ]

2

mkTS R V R

Lh



262(O ) 5.313 10 kgm

3 -1m 2(O ) 0.02445 m molV

23 -16.02 10 molL 23 -11.38 10 J Kk

346.63 10 J sh

代入上式，得：

-1 -1m,t 152.0 J mol KS



m 2 m,e m,r m,t

-1 -1

-1 -1

(O )

(9 13 43 73 152 0) J mol K

204 8 J mol K

S S S S

. . .

.

$

所以

显然，平动熵的贡献最大。


§7.8 用配分函数计算 ΔrGmӨ和反应的平衡常数

•化学平衡体系的公共能量标度

•从自由能函数计算平衡常数

•热函函数

•从配分函数求平衡常数

本节不讲


化学平衡体系的公共能量标度

粒子的能量零点

对于同一物质粒子的能量零点，无论怎样选取，都不会影响其能量变化值的求算。通常粒子的能量零点是这样规定的：

当转动和振动量子数都等于零时的能级定为能量坐标原点，这时粒子的能量等于零。

( 0, 0)J



公共能量标度

化学平衡体系中有多种物质，而各物质的能量零点又各不相同，所以要定义一个公共零点，通常选取 0 K 作为最低能级，从粒子的能量零点到公共零点的能量差为。 0

采用公共零点后， A ，G ， H ， U 的配分函数表达式中多了项，

而和 p 的表达式不变。

0 0( )U N0U

, VS C


从自由能函数计算平衡常数

自由能函数（ free energy function ）

称为自由能函数0( )G T U

T

0lnq

G NkT UN

因为 0( )ln

G T U qNk

T N

所以

在 0K 时，所以0 0U H 0( )G T H

T

也是自由能函数

当，又设在标准状态下1molN Nk R ，

m m( ) (0)ln

G T H qR

T L

$ $

自由能函数可以从配分函数求得。各种物质在不同温度时的自由能函数值有表可查。



求平衡常数

m m r mB

B

( ) (0) (0){ }

G T U U

T T

$ $ $

D E G H 设任意反应

等式右边第一项是反应前后各物质自由能函数的差值，第二项的分子是 0K 时该反应热力学能的变化值。

r m ( ) lnG T RT K $ $

r m ( )ln

G TR K

T

$$

r m r m r m( ) (0) (0)G T U U

T T T

$ $ $



1 ．已知值和各物质的自由能函数值，倒算值。

r m (0)U $K $

r m

m m r mB

B

( )ln

( ) (0) (0) { }

G TR K

T

G T U U

T T

$$

$ $ $

求算值的方法r m (0)U $



2．从吉布斯自由能的定义式求

r m r m r m( ) ( ) ( )

G H TS

G T H T T S T

$ $ $

同时加一个、减一个，移项整理得：m (0)U $

m mr m r m

r m

( ) (0){ [ ] ( )} ( )

(0)

G T UT S T H T

T

U

$ $$ $

$



3．根据热化学中的基尔霍夫公式求

r m r m r m 0(0) (0) ( ) d

T

pU H H T C T $ $ $

r m r m 0( ) (0) d

T

pH T H C T $ $

4．由分子解离能 D 来计算

设反应为：E F G H

r m E F G H(0) ( ) ( )U D D D D $



5．由热函函数求

m m r mr m

( ) (0) (0)( ) [ { } ]

H T U UH T T

T T

$ $ $$

已知反应焓变和热函函数值，可求得值。r m (0)U $


热函函数（ heat content function ）

m m,

ln( )

( ) (0)V N

qRT R

T

H T U

T

$ $

等式左方称为热函函数。其数值可以通过配分函数求得。当 T 为 298.15 K 时，值有表可查。

m m(298.15 K)- (0)H U$ $

m m r mr m

( ) (0) (0)( ) [ { } ]

H T U UH T T

T T

$ $ $$

利用热函函数值计算化学反应的焓变：


从配分函数求平衡常数

设反应 D + E = G0' exp( )q q

kT

是用分子数目表示的平衡常数， q 是将零点能分出以后的总配分函数。

NK

' *G G

' ' * *D E D E

N

q NK

q q N N

如果将平动配分函数中的 V 再分出，则配分函数用 f 表示

*G G 0

* *D E D E

exp( )c

c fK

c c f f kT

0' exp( )q V f

kT

求出各配分函数 f 值，可得到平衡常数值。cK


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物理化学电子教案 — 第七章

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