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数字信号处理与数字信号处理与 MATLABMATLAB

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主讲：蒋志迪宁波大学信息科学与工程学院

办公室：曹光彪信息楼 424 电话： 665929 email ： [email protected]

多媒体信息处理系统设计多媒体信息处理系统设计

多媒体信息处理系统设计：数字信号处理与 MATLAB

信息科学与工程学院宁波大学宁波大学 Ningbo UniversityNingbo University

Matlab 中的信号表示

• 常见连续信号• 离散信号• 离散卷积• LTI 系统



常见连续信号• 指数信号 Aeat y = A*exp(a*t); • 指数序列 ak 幂运算 a.^k 实现 • 正弦型信号内部函数 cos( ) 和 sin( ) • 抽样函数 Sa(t) sinc(t) • 矩形脉冲信号 y = rectpuls(t,width) • 三角波脉冲信号 y = tripuls(t, width,skew)



• 周期信号：正弦信号，周期方波

ex1. 产生一个幅度为 2 ，频率为 4Hz, 相位为的正弦信号

A=2;

f=4;

phi=pi/6;

w0=2*pi*f;

t=0:0.01:1;

x=A*sin(w0*t+phi);

plot(t,x);

6/



• 非周期信号：指数信号，阶跃信号，取样函数 Sa(x) 等

ex2. 产生一个高度为 1 ，宽度为 3 ，延时为 2 秒的矩形脉冲信号

t=0:0.02:6;

plot(t,rectpuls(t-2-1.5,3));

axis([0,6,0,1.5]);

注： rectpuls(t- 延时 -width/2,width));



ex3 取样函数：用 sinc(x) 命令

N=1000;

t=-10:20/N:10;

x=sinc(t/pi);

plot(t,x);grid on



• 随机信号： rand 产生均匀分布的白噪声， randn 产生高斯分布

的白噪声t=0:0.01:1;

y=randn(1,length(t));

plot(t,y);grid on;



离散信号• 周期序列 ex4 产生一个幅度为 2 ，频率为 4Hz, 相位为的正弦信号

A=2;

phi=pi/6;

omega=2*pi/12;

n=-10:10;

x=A*sin(omega*n+phi);

stem(n,x,'fill');

grid on;

6/



• 单位脉冲序列和单位阶跃序列 u(n) 可以用 ones(1,n) 和 zeros(1,n) 来生成单位脉冲序列

和单位阶跃序列 ones(1,n) 命令产生 1 行 n 列的 1 值 zeros(1,n) 命令产生 1 行 n 列的 0 值

)(n



ex5 产生单位脉冲序列和单位阶跃序列 u(n-3) )3( n

n=-2:30;

x=[zeros(1,5),1,zeros(1,27)];

y=[zeros(1,5),ones(1,28)];

subplot(2,1,1);

stem(n,x,'fill');grid on;

subplot(2,1,2)

stem(n,y,'fill');grid on;



信号基本运算

• 尺度变换、翻转、时移、相加、相乘 • 差分与求和、微分与积分 • 离散卷积• LTI(Linear Time-Invariant) 系统



尺度变换、翻转、时移、相加、相乘 t=-3:0.001:3;

ft1=tripuls(2*t,4,0.5);

subplot(2,1,1)

plot(t,ft1)

title('f(2t)')

ft2=tripuls((2-2*t),4,0.5);

subplot(2,1,2)

plot(t,ft2)

title('f(2-2t)')



差分与求和、微分与积分

例 : 已知三角波 f(t) ，画出其微分与积分的波形%differentiation %integration

h=0.001;t= -3:h:3; t= -3:0.1:3;

y1=diff(f2_2(t))*1/h; for x=1:length(t)

plot(t(1:length(t)-1),y1) y2(x)=quad('f2_2', -3,t(x));

end

plot(t,y2)

差分 y=diff(f); 求和 y=sum(f(k1:k2)); 微分 y=diff(f)/h; h 为数值计算所取时间间隔定积分 quad(‘function_name’,a,b); %function_name 为被积函数名， a 和 b 指定积分区间。



其中函数 f2_2(t) 为： function ft2=f2_2(t) ft2=tripuls(t,4,0.5);



离散卷积• matlab 中卷积运算的指令是 c=conv(a,b), 其中 a 和

b 是有限长的序列。 ex6: 计算下面两个序列的卷积 a=[-2 0 1 –1 3]; b=[1 2 0 -1];

两个序列的都从 0 开始的

a=[-2 0 1 -1 3];

b=[1 2 0 -1];

c=conv(a,b);

M=length(c)-1;

n=0:1:M;

stem(n,c,'fill');grid on; xlabel('Time index n');



系统的时域分析

连续时间系统零状态响应的求解

y=lsim(sys,f,t); t: 表示计算系统响应的抽样点向量f: 系统输入信号向量sys: LTI 系统模型，通过 tf 函数获得 sys=tf(b,a) b 和 a 分别为微分方程右端和左端各项的系数



求系统 y“(t)+2y‘(t)+100y(t)=10f(t) 的零状态响应，已知 f(t)=sin(2πt)u(t)

ts=0; te=5;dt=0.01;sys=tf([10],[1 2 100]);t=ts:dt:te;f=sin(2*pi*t);y=lsim(sys,f,t);plot(t,y);xlabel('Time(sec)');ylabel('y(t)');



连续系统冲激响应和阶跃响应求解连续时间系统冲激响应可用 impulse 函数直接求出，其调用形式为 :

y=impulse(sys,t);连续时间系统阶跃响应可用 step 函数直接求出，其调用形式为：

y=step(sys,t);t: 表示计算系统响应的抽样点向量sys: LTI 系统模型



离散时间系统零状态响应的求解 y= filter(b, a, f);

b 和 a 分别为差分方程右端和左端的系数向量：f 表示输入输入 ; y 表示输出序列

幅频响应和相频响应： freqz(a,b,n,Fs) n ：频率响应的点数，最好为 2 的幂 , 缺省值 512

Fs ：采样频率

M

jj

N

ii jkfbikya

00

][][



• 已知一个系统的传递函数为

• 求系统单位冲激响应 h[n] ，以及 h[n] 的幅频相频响应图wjwjwjjw

wjwjwjjwjw

eeee

eeeeeH

432

432

41.06.17.237.21

008.0033.005.0033.0008.0)(

N=64;

x=[1 zeros(1,N-1)]; % 产生单位冲激函数b=[0.008 -0.033 0.05 -0.033 0.008];

a=[1 2.37 2.7 1.6 0.41];

y=filter(b,a,x); % 计算单位冲激响应figure(1);

n=1:N;

stem(n,y,'fill');grid on; title(' 单位冲激响应 ');

figure(2)

Fs=1024;

freqz(b,a,N,Fs);grid on; % 做出幅频和相频响应曲线



离散时间系统单位脉冲响应的求解 h=impz(b,a,k)

b, a 分别是差分方程左、右端的系数向量 k 表示输出序列的取值范围

h 就是单位脉冲响应

求系统 y[k]+3y[k-1]+2y[k-2]=10f [k] 的单位脉冲响应

k=0:10;a=[1 3 2];b=10;h=impz(b,a,k);stem(k,h);



FIR 数字滤波器的设计• IIR 数字滤波器最大缺点：不易做成线性相位• 现代图像、语音、数据通信对线性相位的要求• 线性相位的 FIR 得到大力发展和应用



线性相位 FIR 数字滤波器的特点• 系统函数为：

• 其频响为：

• 线性相位的 FIR 滤波器是指其相位函数满足线性方程：

α式中表示系统群时延， β表示附加相移



• 当 h(n) 为实数且偶对称时， FIR 滤波器为– 恒相时延– 相位曲线为一条过原点、以 -(N-1)/2 为斜率的直线

• 当 h(n) 为实数且奇对称时， FIR 滤波器为– 恒群时延– 相位曲线为一条截距为 π 、以 -(N-1)/2 为斜率的直线

由 h(n) 的奇偶二种对称性以及 N 等于奇偶不同情况可以有四种频率特性与之对应。



阶数 N 的一般选择方法

ωπ

Δω

ωπωp ωc

0

1

1 2

2 1 1log

3 10N

b

( ) / 2s pb

1 ：通带纹波2 ：阻带纹波

经验公式

2δ

2-δ

11+δ

11-δ

δ δ

0-δ-δ

1

2

21



FIR 滤波器设计方法• 窗函数法设计：频域方均误差最小；• 频率采样法设计：函数插值法逼近• ( 等波纹法设计： Chebyshev 最佳一致逼

近 )



窗函数法设计

• 窗函数法设计准则—频域方均误差最小minωd)e(H)e(H

π2

1ε

2ππ

ωjωjd

2

推导得到： h(n)=hd(n)RN(n)

矩形窗函数

• 窗函数法设计的基本思想：– 先选取一个理想滤波器，再截取它的单位冲击响应

得到线性相位 FIR 滤波器



Hd(ej)

W(ej)

H(ej)

c-c 0

0

主瓣宽度 : 4π /N

过渡带宽

-c c卷积

最大旁瓣高度

矩形窗



几种常用的窗函数• 矩形窗 (Boxcar)

• 三角形窗 (Bartlett)

• 汉宁窗 (Hanning)

• 汉明窗 (Hamming)

• 布拉克曼 (Blackman)

• 凯萨窗 (Kaiser)



各种窗的比较

Name 近似过渡带准确过渡带最小阻带衰减Boxcar 4/N 1.8/N 13dB

Bartlett 8/N 6.1/N 27dB

Hanning 8/N 6.2/N 32dB

Hamming 8/N 6.6/N 43dB

Blackman 12/N 11/N 58dB



窗函数法的设计步骤• 给定理想频响函数； • 根据指标选择窗函数。确定窗函数类型的主要依据

是过度带宽和阻带最小衰耗的指标，确定 N； • 由求，加窗得 h(n)=hd(n)·w(n)

• 检验



频率取样法设计

• 频率抽样法是指定离散的理想频率响应 Hd(k) 抽样值，通过内插求得 H(z) ，因而是插值法逼近

)()()()( jwd

jwd eHkHkHeH

• 设计步骤：– 给定理想频响 – 确定采样点数，对理想频响采样得– 计算，即得 FIR 系统函数

)( jwd eH

)(kH

1

011

)(1)(

N

kk

N

N

zW

kH

N

zzH



用 Matlab 设计 FIR 滤波器窗函数

• bartlett（三角窗） • blackman（布莱克曼窗） • boxcar（矩形窗）• hamming（哈明窗）• hann（汉宁窗） • triang（三角窗）• chebwin（切比雪夫窗） • kaiser（凯赛窗）

help window



FIR 设计函数

• fir1 调用格式（默认为 Hamming 窗）① b = fir1(N,Wn); % 带通 ,

② b = fir1(N,Wn,’high’); % 高通③ b = fir1(N,Wn,’stop’); % 带阻

• N ：阶次，滤波器长度为 N＋ 1 ；• Wn ：通带截止频率，其值在 0～ 1 之间， 1 对应 Fs

/2

• b: 滤波器系数。



• 对于格式 (1),若Wn 为标量，则设计低通滤波器，若Wn 是 1×2 的向量，则用来设计带通滤波器，若Wn 是 1×L 的向量，则可用来设计 L 带滤波器。这时，格式（ 1）要改为 : ① b = fir1(N,Wn,’DC-1’); %第一个带为通带② b = fir1(N,Wn,’DC-0’); % 第一个带为阻带



• fir2 可设计具有任意幅频响应的 FIR 数字滤波器（默认为 Hamming 窗）

– b = fir2(N,F,M);• N ：阶次，滤波器长度为 N＋ 1 ；• F ：频率向量，其值在 0～ 1 之间• M: 是和 F 相对应的所希望的幅频响应。



相关 FIR 设计函数• remez.m ：设计 Chebyshev 最佳一致逼近 FIR 滤波器、

Hilbert 变换器和差分器• remezord.m ：用来确定在用 Chebyshev 最佳一致逼近

设计 FIR 滤波器时所需要的滤波器阶次• firls.m ：用最小平方法设计线性相位 FIR 滤波器，可设计任意给定的理想幅频响应

• fircls.m ：用带约束的最小平方法设计线性相位 FIR 滤波器，可设计任意给定的理想幅频响应

• fircls1.m ：用带约束的最小平方方法设计线性相位 FIR低通和高通滤波器

• sgolay.m ：用来设计 Savitzky-Golay FIR 平滑滤波器• firrcos.m ：用来设计低通线性相位 FIR 滤波器，其过渡

带为余弦函数形状



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