第六章 定积分应用
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第六章 定积分应用. 定积分的元素法 定积分在几何学上的应用 定积分在物理学上的应用. (1) 所求量 Ｕ 与一个变量 x 的变化区间 [a,b] 有关； (2) Ｕ 对区间 [a,b] 具有可加性； (3) 部分量 的近似值可表示为 。. (1) 选取积分变量 x ，确定它的变化区间 [a,b]; (2) 相应于 [a,b] 上任一小区间 [x,x+dx] ，写出部分量 的近似值 所求量的元素 dU = f (x)dx (3) 以 dU 为被积表达式，在 [a,b] 上作定积分，得 :. 第一节 定积分的元素法. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
第六章 定积分应用
定积分的元素法
定积分在几何学上的应用
定积分在物理学上的应用
第一节 定积分的元素法一、元素法实施条件
二、元素法实施步骤(1) 选取积分变量 x ，确定它的变化区间 [a,b];
(2) 相应于 [a,b] 上任一小区间 [x,x+dx] ，写出部分量 的近似值 所求量的元素 dU=f(x)dx
(3) 以 dU 为被积表达式，在 [a,b] 上作定积分，得 :
U
b
adxxfU )(
(1) 所求量Ｕ与一个变量 x 的变化区间 [a,b] 有关；
(2) Ｕ对区间 [a,b] 具有可加性；
(3) 部分量 的近似值可表示为 。iU
ii xf )(
平面图形的面积
体积
平面曲线的弧长
Ｏ x
y
第二节 定积分在几何学上的应用
一、直角坐标情形
Ｏ x
y
定积分几何应用之一
平 面 图 形 的 面 积
问题：求由曲线 y=f(x), y=g(x) (f(x)>g(x)) 与直线 x=a,x=b(a<b) 所围图形的面积。
a b
y=f(x)
y=g(x)
x x+ dx
],[ bax(i) 取 x 为积分变量，则
(ii) 相应于 [a,b] 上任一小区间 [x,x+dx]的小窄条面积近似值，即面积元素
(iii) 所求面积dxxgxfdA )]()([
b
adxxgxfA )]()([
(i) 求交点
(ii) 相应于 [0,1] 上任一小区间 [x,x+dx] 的小窄条面积的近似值，即面积元素
(iii) 所求面积
解
Y
1
1
0
02
2
y
x
y
x
xy
xy
dxxxdA )( 2
dxxxA )( 21
0
y
xo
例１ 求由抛物线 所围22 , xyxy
图形之面积。
x y2
2xy
x x+dx
3
1
(i) 求交点
(ii) 相应于 [-2,4] 上任一小区间 [y,y+dy] 的小窄条面积的近似值，即面积元素
(iii) 所求面积
解
Y
4
8
2
2
4
22
y
x
y
x
yx
xy
dyy
ydA )2
4(2
dyy
yA )2
4(4
2
2
y
xo
例２ 求由抛物线 与直线 所围图形面积。
xy 22 4 yx
xy 22
4 yx
yy+dy
18
方法 1
y
xo
xy 22
4 yx
(i) 取 x 为积分变量，则 ]8,0[x
(ii) 面积元素
]2,0[
)]2(2[1
x
dxxxdA
]8,2[
)]4(2[2
x
dxxxdA
(iii) 所求面积
8
2 21
2
0dAdAA 18
方法 2 比较方法 1和方法 2知：适当选择积分变量可以简化计算过程。
(i) 两切线交点为(ii) 面积元素
(iii) 所求面积
解
Y
dxxxxdA
dxxxxdA
)]34()3(2[
)]34()34[(2
2
21
4
93
20 12123
23
dAdAAAA
y
xo
练习 求由抛物线 及其在点(0,-3) 和 (3,0) 处的切线所围图形面积。
342 xxy
42 xy 则 2)3(,4)0( yy
点 (0,-3) 和 (3,0) 处的切线方程分别为y=4x-3 y=-2(x-3)
)3,2
3(
(3/2,3)
1)2( 2 xy
二、极坐标情形
(ii) 面积元素
(iii) 所求面积
ddA 2)]([2
1
dA 2)]([
2
1
设由曲线 与射线 ， )(r
围成一图形 , 求该图形的面积。(i) 取极角 为积分变量，则 ],[
xo
)(r
d
面积元素
所求面积Y
dadrdA 22 )(2
1)]([
2
1
d
aA
2
0
22
2
]2,0[
例３ 求由阿基米得螺线 上相应
于 的一段弧与极轴所围图形面。
ar
解
0
2
32
32
a 32
3
4 a
xo
ar
设曲线弧由参数方程 给出， )(),(
),(21 ttt
ty
tx
求由这曲线弧所围图形的面积。
(i) 取 t 为积分变量，则 ],[ 21 ttt
ydxdA dttt )()(
dtttAt
t 2
1
)()( (iii) 所求面积
(ii) 面积元素
三、 参数方程情形
椭圆参数方程为
面积元素所求面积
Y
)20(sin
cos
ttby
tax
dttatbydxdA )sin(sin
dtt
abA
2
0 2
2cos1
例４ 求由椭圆 所围图形面。12
2
2
2
b
y
a
x
解
0
2)2sin
2
1(
2
tt
ab
ab
x
y
o-a a-b
b
Y
cos3ar
练习 1 . 求由曲线 所围图形面积。
2. 求由曲线 及 所围图形的公共部分的面积
taytax 33 sin,cos
cos1r
x
y
o a
a
-a-a
0.5 1 1.5 2
-1
-0.5
0.5
1
x
S1S2
Y
22
2
0
2422
0
242
0
2
33
0
8
3)
22
1
4
3
6
5
22
1
4
3(12
)sin1(sin12cossin12
)cos(sin44
aa
dtttatdtta
tatdaydxAa
答案 1. 所求面积
2. 所求面积
)(2 21 SSA
所求面积
Y
)3
,2
3(
cos1
cos3
的极坐标得点解方程组 Ar
r
16
39
4)cos1(
2
13
0
21
dS
4
5)(2 21
SSA
0.5 1 1.5 2
-1
-0.5
0.5
1 S1S2
A
x
16
39
8
3cos9
2
12
3
22
dS
体 积定积分几何应用之二
旋转体：由一平面图形绕该平面内一条直线旋转一周而成的立体，称为旋转体。
一、旋转体的体积
定直线 － 旋转轴
],[ bax
dxxfdV 2)]([
b
ax dxxfV 2)]([
旋转体体积的计算
(i) 取 x 为积分变量，则(ii) 相应于 [a,b] 上任一小区间 [x.x+dx] 的小旋转 体体积近似值，即体积元素
(iii) 所求体积
旋转轴为 x轴： 曲边梯形 绕
x 轴旋转一周而成的立体体积。
)(0, xfybxa
y
a b xo xx +dx
)(xfy
例１ 求由连接坐标原点 O 及 P(h,r) 的直线及 x=h,x 轴所围三角形绕 x 轴所成旋转体之体积。
(i) 取 x 为积分变量，则(ii) 相应于 [a,b] 上任一小区间 [x,x+dx] 的小旋转 体体积近似值，即体积元素
(iii) 所求体积
解 OP 的方程为
Y
],0[ hx
xh
ry
dxxh
rdV 2)(
dxxh
rV
h 2
0)(
y
xo
P(h,r)
3
2hr
旋转体体积的计算
(i) 取 y 为积分变量，则(ii) 相应于 [c,d] 上任一小区间 [y,y+dy] 的小旋转 体体积近似值，即体积元素
(iii) 所求体积
旋转轴为 y轴： 曲边梯形 绕
y 轴旋转一周而成的立体体积。
)(0, yxdyc
],[ dcy
dyydV 2)]([
d
cy dyyV 2)]([
y
xoc
d
)(yx dy
解 ::（１）取 y 为积分变量，则 ]1,0[y
（２）相应于 [0,1] 上任一小区间 [y, y+dy] 的体积元素
dyydV )1(22
（３）所求体积1
0
21
0)
2
1()1( hyyrdyyV
例２ 求由曲线 和 及 x 轴所围图形绕 y 轴旋转所成旋转体的体积。
2xy 1x
2
(1,1)y
o 1 x
解 :: （１）旋转轴为 x轴体积元素： dxxdxxdV 623)(
（２）旋转轴为 y 轴
5
64)4(
8
0
3
2
dyyVy
例３求由曲线 和直线 所围图形分别绕 x 轴和 y 轴旋转而成旋转体的体积。
3xy 0,2 yx
所求体积 :
体积元素：
7
1282
0
6 dxxVx
dyydV ])(2[ 232
2
y
3xy
o x
dyy )4( 3
2
所求体积：
如图，在距坐标原点为 x 处取一底边长为 dx的小曲边梯形 ABCD, 易知它绕 y 轴旋转所得的旋转体体积近似值，即体积元素
dxxfxVb
a)(2
dxxxfVb
a)(2
例 4 证明：由平面图形 绕 y 轴旋转而成的旋转体的体积为
)(0,0 xfybxa
于是 , 所求体积为：
))((2 dxxfxdV （这是一个底面积为 ，高为 的圆柱体的体积）dxxf )( x2
A B
C D)(xfy
x
y
o a b
b
adxxxf )(2
证明
解 :（１）旋转轴为 x 轴
dxeedV xx ])()[( 22
（２）旋转轴为 y 轴
edxeexV xxy 4)(2
1
0
练习 求由曲线 和直线 x=1 所围图形分别绕 x 轴和 y 轴旋转而成旋转体的体积。
xx eyey ,
所求体积：
2
2)(
221
0
22
eedxeeV xx
x
e
y dyydyyVe 1
22221])(ln1[])ln(1[
1
xey
所求体积：
y
o x1
xey
或
(1,1/e)
(1,e)体积元素：
体 积定积分几何应用之二
二、平行截面面积已知的立体体积 若立体不是旋转体，但立体垂直于某定轴的各截面面积已知，该立体体积亦可用定积分计算。
)()( bxaxA
b
adxxAV )(
１ . 过点 x 而垂直于 x 轴的平面截立体得截口面积为
则立体体积为
))(( dycyB
d
cdyyBV )(
2. 过点 y 而垂直于 y 轴的平面截立体得截口面积为
则立体体积为yo c d y
B(y)
222222)( xRxRxRxA
在所围立体上，作平行于坐标面 yoz 的截面 KLMN ， 由于 NM=ML ，所以 KLMN 为正方形，其面积为
dxxRdxxAVRR
)(8)(80
22
0
例 5 求 及 两圆柱面所围立体的体积。
222 Ryx 222 Rzx
所求体积 :
N
L
M
Ky
o
z 222 Ryx
222 Rzx x
3
3
16R
解 :
tan)(2
1tan
2
1)( 22 xRyyxA
dxxRdxxAVR
R
R
R)(
2
1)( 22
所求立体体积为
222 Ryx
例 6 一平面经过半径为Ｒ的圆柱体的底圆中心，并与底面成交角 （如图）。计算这平面截圆柱体所得立体的体积。
如图建立坐标系，则底圆的方程为
tan3
2 3R
截面积为
x y y
x
R
-R
O
立体中过点 x 且垂直于 x 轴直角的截面为直角三角形，直角边长分别 y 为及 ytana ，
解
一、平面曲线弧长的概念
BMMMMA nn 110
定理：
若 且 均缩为一点时n ),,2,1(1 niMM ii
Ａ
Ｂ
Ｏ x
y0M
1M 1nM
定积分几何应用之三
平 面 曲 线 的 弧 长
定义：设 A 、 B 为曲线弧上两端点，在 AB 上任取分点
光滑曲线弧是可求长的。
n
iii MM
11 的极限存在，称此极限
为曲线弧的弧长；并称该曲 线弧是可求长的。
１ . 直角坐标情形
],[ bax
22 )()( dydxds
dxy 21
dxydssb
a
b
a 21 x x+dx
dy
定积分
x
y
o a b
y=f(x)
曲线弧由方程 y=f(x) 给出，其中 f(x) 在 [a,b] 上具有连续一阶导数，求该曲线 ( 如图 ) 的长度。 (i) 取 x 为积分变量 , 则
(iii) 所求弧长
(ii) 弧长元素（弧微分）
二、光滑曲线弧长的计算
设曲线弧由参数方程 给出， )(),(
),(
tty
tx
其中 、 在 上具有连续导数，求这曲线)(t)(t ],[
(i) 取 t 为积分变量，则 ],[ t
22 )()( dydxds dttt )()( 22
dttts
)()( 22
(iii) 所求弧长
(ii) 弧长元素
２ 参数方程情形
的长度。
曲线弧由极坐标方程 )()( xrr
给出，其中 在 上具有连续导数，)(rr ],[
利用 )(,sin)(
,cos)(
ry
rx
dyxds )()( 22
drrs )()( 22
所求弧长 drr )()( 22
３ 极坐标情形
有
求该曲线弧长。
解 ,1
xy 从而弧长元素
dxx
xdx
xds
22 1
)1
(1
所求弧长
8
3
21dx
x
xs
dtt
)1
11(
2
3
2
例 1 求由曲线 相应于 的一段弧（如图）的长度。
83 xxy ln
tx 21令dt
t
t
3
2 2
2
1
2
3ln
2
11
xy ln
3 8
y
o x
3
21
1ln
2
11
t
t
解
dtttds )()( 22
所求弧长
dtttas 2
0
222 cossin94
例２ 计算星形线 的全长。
taytax 33 sin,cos
adttta 6cossin12 2
0
dtttatta 2222 ]cossin3[)]sin(cos3[
dttta 222 cossin9
a
a
-a-a
弧长元素
x
y
o
0.5 1 1.5 2
-1
-0.5
0.5
1
解
drrds )()( 22
所求弧长
例３ 计算心形线 的全长。
)0()cos1( aar
da
0 2cos22
)20(
das )cos1(22
0
a8x
弧长元素 da )cos1(2
02sin24 a