§6.3 定积分在物理学上的应用
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§6.3 定积分在物理学上的应用. 一 变力沿直线所作的功. 二 水压力. 三 引力. 四 小结 思考题. 一、变力沿直线所作的功. 一、变力沿直线所作的功. 解. 功元素. 所求功为. 如果要考虑将单位电荷移到无穷远处. 一、变力沿直线所作的功. 点击图片任意处播放 \ 暂停. 解. 建立坐标系如图. 这一薄层水的重力为. 功元素为. ( 千焦 ) .. 一、变力沿直线所作的功. 次击入的总深度为. 第 次击入的深度为. 次锤击所作的总功为. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
§6.3 定积分在物理学上的应用§6.3 定积分在物理学上的应用
一 变力沿直线所作的功一 变力沿直线所作的功
四 小结 思考题四 小结 思考题
二 水压力二 水压力三 引力三 引力
高等数学高等数学六六③③高等数学高等数学六六③③
★★2/122/12
由物理学知道,如果物体在作直线运动的过程中有一个不变的力F作用在这物体上,且这力的方向与物体的运动方向一致,那么,在物体移动了距离s时,力F对物体所作的功为 sFW . 如果物体在运动的过程中所受的力是变化的,就不能直
“接使用此公式,而采用 微元法” 思想.
一、变力沿直线所作的功一、变力沿直线所作的功
例 1 把一个带 q 电量的点电荷放在 r 轴上坐标原点处,它产生一个电场.这个电场对周围的电荷有作用力.由物理学知道,如果一个单位正电荷放在这个电场中距离原点为 r 的地方,那么
电场对它的作用力的大小为 2rq
kF (k是常数),当该单位正
电荷在电场中从 ar 处沿 r 轴移动到 br 处时,计算电场力 F 对它所作的功.
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解解取r为积分变量,ro
q a
b
1
r],,[ bar
drr
取任一小区间 ],[ drrr ,功元素 ,2 drrkq
dw
所求功为 drrkq
wb
a 2
b
arkq
1.
11
bakq
如果要考虑将单位电荷移到无穷远处
drrkq
wa
2
arkq
1.
akq
一、变力沿直线所作的功一、变力沿直线所作的功
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点击图片任意处播放 \ 暂停
例 2 一圆柱形蓄水池高为5米,底半径为 3米,池内盛满了水.问要把池内的水全部吸出,需作多少功?
解解 建立坐标系如图
x
ox
dxx
取x为积分变量, ]5,0[x
5
取任一小区间 ],[ dxxx ,
一、变力沿直线所作的功一、变力沿直线所作的功
这一薄层水的重力为 .38.9 2 kNdx功元素为 ,2.88 dxxdw
dxxw 2.885
0
5
0
2
22.88
x
3462 ( 千焦 ) .
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★★5/125/12
解解 设木板对铁钉的阻力为 ,)( kxxf 第一次锤击时所作的功为
1
01 )( dxxfw ,2k
h
h dxxfw0
)(
例 3 用铁锤把钉子钉入木板,设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板的深度成正比,铁锤在第一次锤击时将铁钉击入 1 厘米,若每次锤击所作的功相等,问第 n 次锤击时又将铁钉击入多少?
设 n 次击入的总深度为 h 厘米次锤击所作的总功为n
一、变力沿直线所作的功一、变力沿直线所作的功
hkxdx
0,
2
2kh
依题意知,每次锤击所作的功相等. 1nwwh 2
2kh,
2k
n
,nh
.1 nn
次击入的总深度为n
第 次击入的深度为n
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由物理学知道,在水深为h处的压强为 hp ,这里是水的比重.如果有一面积为A的平板水平地放置在水深为h处,那么,平板一侧所受的水压力为 ApP .
如果平板垂直放置在水中,由于水深不同的点处压强 p不相等,平板一侧所受的水压力就不能直接使用此
“公式,而采用 微元法” 思想.
二、水压力二、水压力
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例 4 一个横放着的圆柱形水桶,桶内盛有半桶水,设桶的底半径为R,水的比重为,计算桶的一端面上所受的压力.
解 在端面建立坐标系如图
x
o
取x为积分变量, ],0[ Rx
取任一小区间 ],[ dxxx
x
dxx 小矩形片上各处的压强近似相等小矩形片的面积为 .2 22 dxxR
,xp
二、水压力二、水压力
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小矩形片的压力元素为 dxxRxdP 222
端面上所受的压力
dxxRxPR 22
02
)( 22
0
22 xRdxRR
R
xR0
322
32
.
32 3R
二、水压力二、水压力
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例 5 将直角边各为a及 a2 的直角三角形薄板垂直地浸人水中,斜边朝下,直角边的边长与水面平行,且该边到水面的距离恰等于该边的边长,求薄板所受的侧压力.
解 建立坐标系如图
x
oa2
a2a面积微元 ,)(2 dxxa
dxxaaxdP 1)(2)2(
dxxaaxPa
))(2(20
.37 3a
二、水压力二、水压力
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★★10/1210/12
由物理学知道,质量分别为 21 ,mm 相距为r的两
个质点间的引力的大小为 221
rmm
kF ,其中k为引
力系数,引力的方向沿着两质点的连线方向.
如果要计算一根细棒对一个质点的引力,那么由于细棒上各点与该质点的距离是变化的,且各点对该质点的引力方向也是变化的,就不能用此公式计算.
三、引力三、引力
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★★11/1211/12
例 6 有一长度为l、线密度为的均匀细棒,在其中垂线上距棒a单位处有一质量为m的质点M,计算该棒对
质点M的引力. 2l
2l
x
y
oMa
解解 建立坐标系如图,取y为积分变量取任一小区间 ],[ dyyy
,2
,2
lly
,将它近似看成质点,其质量为 ,dy
ry
dyy
三、引力三、引力
小段与质点的距离为 ,22 yar
引力 ,22 yadym
kF
水平方向的分力元素:
,)( 2
322 ya
dyamkdFx
23
2
2 )( 22 ya
dyamkF
l
lx
,)4(
22122 laa
lkm
由对称性知,引力在铅直方向分力为 .0yF
故水平分力为:
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★★12/1212/12
利用“微元法”思想求变力作功、水压力和引力等物理问题.
(注意熟悉相关的物理知识)
四、小结四、小结
作业:P 287-288 2;4;6 ;10 ;12 .作业:P 287-288 2;4;6 ;10 ;12 .
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★★13/1213/12
思考题
一球完全浸没水中,问该球面所受的总压力与球浸没的深度有无关系?它所受的总压力与它在水中受到的浮力有何关系?
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★★14/1214/12
思考题解答
该球面所受的总压力方向向上(下半球面所受的压力大于上半球面),其值为该球排开水的重量,即球的体积,也就是它在水中受到的浮力.因此该球面所受的总压力与球浸没的深度无关.
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★★15/1215/12
一、 直径为20厘米,高为80厘米的圆柱体内充满压强
为 310厘米牛 的蒸汽,设温度保持不变,要使蒸汽
体积缩小一半,问需要作多少功?
二、 一物体按规律 3tcx 作直线运动,媒质的阻力与速度的平方成正比,计算物体由 0x 移至 ax时,克服媒质阻力所作的功 .
三、 有一等腰梯形闸门,它的两条底边各长 610米和米,高为20米,较长的底边与水面相齐.计算闸门的一侧所受的水压力 .
练 习 题
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★★16/1216/12
四、 半 径 为 的球沉r 入 水 中 , 球 的 上 部 与 水 面 相 切 ,球 的 比 重 与 水 相 同 , 现 将 球 从 水 中 取 出 , 需 要 作多少功?
五、 一块 a高为 , b底为 的等 腰三角 形薄板 ,垂直 地沉 没 在 水 中 , 顶 在 下 , 底 与 水 面 相 齐 , 试 计 算 薄板每面所受的压力 .
六、 设有 一 半 R径为 , 中心 角为 的圆 弧 形细 棒 , 其线密度为 常数 ,在圆心处有一质 的量为 m 质点M ,试求这细棒对质 M点 的引力 .
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★★17/1217/12
七、 油类通过直油管时,中间流速大,越靠近管壁流速越小,实验测定,某处的流 与速v 流处到管子中心的距 之间离r 有关系式 )( 22 rakv ,其中为比例k 常数,为油管a 半径.求通过油管的流量(注:当流速为常量时,流量 = 流速截面积) .
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★★18/1218/12
一、 2ln800 (焦耳).
二、 3
7
3
2
7
25akc (其 为中k 比例常数) .
三、14373(千牛) . 四、 gr434 . 五、 ba2
6
1.
六、引力的大小为2
sin2 R
km,方向 指为M 向圆弧
的中心 .
七、 4
2ak
.
练习题答案