高等数学中的数学建模思想与实例

殷俊锋

同济大学数学系

1. 背景

内容提要

3. 一些思考

2. 应用实例

提高高教质量 30 条

2012 年 3 月 22 日至 23 日，教育部出台《全面提高高等教育质量的若干意见》（简称 30 条）：夯实办学的核心理念；巩固本科教学基础地位；创新人才培养模式；开展教学方法大改革；强化实践育人环节

1. 大学以培养人才为根本

人才培养

2. 培养什么样的人才把人才培养作为提高质量的首要工作

知识、能力和品格协调发展，判断力，自主学习能力，创新能力提出问题和解决问题的能力，动手实践能力，团队合作能力，领导力

3. 怎么样培养人才注重教学过程大于教学内容，注重培养科学思维方法、动手实践能力教学设计、情景式教学，启发式、探究式、讨论式、参与式教学

4. 质量评价体系课程、教材、信息化和资源共享、教学团队和师资培训、教学方法、教学手段、科学评价教学质量

1. 教学对象

大学数学课程能做什么？

2. 教学内容和方法

公共基础数学课程都在第一年，宏观品格育成志向多样、兴趣广泛、思维活跃、完成从高中到大学的转变教学理念更新、教学思想转变、知识传授和能力培养

中学紧，大学松，知识点却成倍增加少讲，多问，苏格拉底式教学，促进思考，

3. 教学目标和手段 卓越工程师科学思维方法的养成，教学设计、情景式教学学生主体，老师主导，激发兴趣，启发思考思维活跃，文献检索能力强，表述清楚，后劲更足

本科生创新能力培养

2012 年 5 月修订经主管校长批准《本科生创新能力与拓展学分认定管理办法》，促进高素质创新型人才（卓越人才）的培养，对学科竞赛、科研论文和创新项目给予学分认定。

2011 年 5 月 同济大学大学生数学竞赛校内赛启动

2012 年 5 月 同济大学数学建摸竞赛校内赛启动

2012 年 10 月 数学系本科生创新项目启动实施

学分认定 ---选摘

（一）各类竞赛获奖（以学校认可的学科竞赛为准）参加同一竞赛按照所获得最高奖项获得学分。集体参赛的所有学生均可获得相同的成绩和学分。1 ．获校级一等奖记 3 学分、二等奖记 2 学分。2 ．省部级一等奖记 5 学分、省部级二等奖记 4 学分、省部级三等奖记 3 学分。3 ．国家级一等奖记 6 学分、国家级二等奖记 5 学分，国家级三等奖记 4 学分。4 ．国际级学科竞赛（经学校认可为准），参照国家级执行。5 ．其他非学术组织、行业协会举办的行业类学科竞赛（经学校认可为准），获三等奖以上（含三等）记 2 学分。

全文参见《学生手册》或选课网数学建摸竞赛和数学竞赛是学校认可的学科竞赛

数学建模 -- 探索和发现的喜悦

爱因斯坦曾说过：“科学结论几乎是以完成的形式出现在读者面前，读者体验不到探索和发现的喜悦，感觉不到思想形成的生动过程，数学尤为突出。”

建模观指导下的高等数学概念教学应该是将教学过程看做师生进行建模、识模、用模的过程。它强调以学生为主体对概念进行精练、抽象、深化、迁移等活动，注重对知识的理解和掌握，重视思想方法的提练和形成，使概念在建构中理解，在理解中应用，在应用中内化，从而使概念学习生动化、系统化。

融入过程的一些思考

1 ，加强教学设计，积极主动探索

2 ，合理有机融入，自觉充当配角

3 ，力求浅显趣味，适合学生能力

4 ，改革教学模式，教学手段多样

5 ，启迪心智，学会欣赏

介值定理

定理(零点定理) 设函数 )(xf 在闭区间 ba,

上连续，且 )(af 与 )(bf 异号(即 0)()( bfaf ),

那末至少有一点 )( ba ，使 0)( f .

定义 :

.)(

,0)( 000

的零点称为函数则使如果

xf

xxfx

.),(0)( 内至少存在一个实根在即方程 baxf

推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值 与最小值 之间的任何值 .

例 1

.

)1,0(014 23

至少有一根内在区间证明方程 xx

证 ,14)( 23 xxxf令 ,]1,0[)( 上连续在则 xf

,01)0( f又 ,02)1( f 由零点定理 ,

使),,( ba ,0)( f ,014 23 即

.)1,0(014 23 内至少有一根在方程 xx

M m

思考性在于取端点

例 2

.)(),,(.)(

,)(,],[)(

fbabbf

aafbaxf

使得证明且上连续在区间设函数

证 ,)()( xxfxF 令 ,],[)( 上连续在则 baxF

aafaF )()(而 ,0

由零点定理 ,

使),,( ba ,0)()( fF

bbfbF )()( ,0

.)( f即思考性在于构造函数

例 3 椅子能在不平的地面上放稳吗？

问题分析：

模型假设

通常 ~ 三只脚着地

放稳 ~ 四只脚着地1. 四条腿一样长，椅脚与地面

点接触，四脚连线呈正方形 ;

2. 地面高度连续变化，可视为数学上的连续曲面 ;

3. 地面相对平坦 , 使椅子在任意位置至少三只脚同时着地 .

问题：把椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地放不稳，然而只需稍挪动几次就可以使四脚同时着地，试用数学语言来解释该现象。

模型构成先用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来• 椅子位置 利用正方形 ( 椅脚连线 ) 的对称

性

x

B

A

D

CO

D´C ´

B ´A ´

用 ( 对角线与 x 轴的夹角 ) 表示椅子位置• 四只脚着地

距离是的函数

四个距离( 四只脚 )

A,C 两脚与地面距离之和 ~ f()

B,D 两脚与地面距离之和 ~ g()

两个距离

椅脚与地面距离为零

正方形ABCD

绕 O 点旋转

正方形对称性

用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来

f() , g() 是连续函数对任意 , f(), g()

至少一个为 0

数学问题

已知： f() , g() 是连续函数 ;

对任意， f() • g()=0 ;

且 g(0)=0 ， f(0) > 0.

证明：存在 0 ，使 f(0) = g(0) =

0.

模型构成

地面为连续曲面

椅子在任意位置至少三只脚着地

模型求解下面给出一种简单的证明方法将椅子旋转 900 ，对角线 AC和 BD 互换。由 g(0)=0 ， f(0) > 0 ，知 f(/2)=0 , g(/2)>0.

令 h()= f()–g(), 则 h(0)>0和 h(/2)<0.

由 f, g 的连续性知 h 为连续函数 , 据连续函数的基本性质 , 必存在 0 , 使 h(0)=0, 即

f(0) = g(0) .

因为 f() • g()=0, 所以 f(0) = g(0) = 0.评注和思考： 建模的关键 ~

进一步讨论：考察四脚呈长方形的椅子 和 f(), g() 的确定

XJTLU “数学建模”辅导和参赛

把数学建模思想和实践融入微积分教学，是提高学生利用数学进行创新活动的有力手段，作为微积分课堂教学的重要延伸 。

建模活动由四部分组成：系列讲座，大型作业，校内竞赛，美国 MCM（ 2008 年以来，已参加 5 届）。

三个特点：① 学生积极性高，广泛普及 . 为学生个性化发展留出了空间 .② 学生社团自己组织和主导。教师是配角，是“被邀请”参与辅导 .③ 学校大力支持，“不选拔”，“不排除” .每个自愿参加的学生都会得到参与锻炼的机会 .

融入过程的一些思考

1 ，加强教学设计，积极主动探索

2 ，合理有机融入，自觉充当配角

3 ，力求浅显趣味，适合学生能力

4 ，改革教学模式，教学手段多样

5 ，启迪心智，学会欣赏

如何做好数学建摸竞赛

1 ，以建模的观点分析组织教学

2 ，开设数学建摸选修课

3 ，开展形式多样的数学建摸课外活动

4 ，稳定的教师队伍

5 ，积极有效组织

谢谢 !

预祝美赛取得好成绩！