1

第四章 态和力学量的表象

1.量子态的不同表象

2.力学量算符的矩阵表示

3. 量子力学公式的矩阵表示

2

表象 : 量子力学中的态和力学量的具体表示方式称为表象

4.1 态的表象

一个粒子的态完全可由归一化的波函数 ψ(r, t) 来描述， 将 ψ(r, t) 称为坐标表象。下面将讨论用动量为变量描述波函数。

)exp()2(

1)(

2/1px

ixp

dpxtpctx p )(),(),(

c(p, t) 为展开系数， ψp(x ) 是动量的本征函数

3

c(p, t) 和 (r, t) 描述的是粒子态同一个状态， (r, t) 是这个状态在坐标表象中的波函数，而 c(p, t) 为同一状态在动量表象中的波函数。

)(),(),( dxxtxtpc p

),(2dptpc ),( tx表示在 所描写的态中测量粒子动量所

结果在 范围内的几率 dppp

如果 (x,t) 描述的状态是具有动量 p 的自由粒子的状态

4

)exp()(),( 'tEi

xtx pp

tEi

p

tEi

p

pp

eppdxxextpc'

)'()()(),( '

在动量表象中，具有确定动量 p 的粒子波函数是 函数。

同样，在坐标表象中，具有确定坐标 x 的粒子波函数也是 函数。

)()( xxxxxx

)()( pppppp

5

解：首先对波函数进行归一化

1)(22 dxAxedxx x

32

0

22 4 1

AdxexA x

0 ,0

0 ,)(

x

xAxex

x

例题：一维粒子运动的状态是

求：（ 1 ）粒子动量的几率分布；

（ 2 ）粒子的平均动量

6

)()()( dxxxpc p

2

0

/3

dxexe xipx x

)(

1

2

2

33

ip

动量的几率分布为

)(

1

2)(

2222

332

ppcw xp

7

动量的平均值为

)(ˆ)(* xpxp

0)(0

222 dxexxAi x

另一种解法

)()()(ˆ)( ** xx

xixpxp

pxx

xi

)()( *

0p

8

考虑任意力学量 Q 本征值为 1, 2,…, n…, 对应的本征函数 u1(x), u 2 (x),… u n (x) …, 则任意波函数（ x ）按 Q 的本征函数展开为

),(),( xuatx nn

n

,),()()( dxtxxuta mm

dxxuxutatadxtx nmnm

mn )()()()(),( *

,

*2

)()()()( *

,

* tatatatan

nnmnnm

mn

如果（ x ）和 un (x) 都是归一化的，则

9

1)()(* tatan

nn所以

2

na 在（ x ）所描写的量子态中测量力学量 Q 所得的

结果为 Qn 的几率

... ),( ..., ),( ),( ),( 321 tatatata n数列

就是（ x ）所描写的量子态中在 Q 表象中的表示

10

)(

)(

)(

2

1

ta

ta

ta

n

共轭转置矩阵 ... ),( ..., ),( ),( **2

*1 tatata n

1波函数的归一化表示成

11

如果力学量 Q 除了有分立的本征值，还有连续的本征值，则

dxxtaxtatx qqn

nn )()()()(),(

其中 dxxtxta nn )(),()( *

dxxtxta qq )(),()( *

归一化可表示为

1)()()()( ** dqtatatata qqn

nn

12

直角坐标系中，矢量 A 的方向由 i, j, k 三个单位矢量基矢决定，大小由 Ax, Ay, Az 三个分量（基矢的系数）决定。

在量子力学中，选定一个 F 表象，将 Q 的本征函数 u1(x), u2(x),

… un(x),… 看作一组基矢，有无限多个，大小由 a1(t), a2(t), …a

n(t),… 系数决定。

常用的表象有坐标表象、动量表象、能量表象和角动量表象

所以，量子力学中态矢量所决定的空间是无限维的空间函数，基矢是正交归一的波函数。数学上称为希尔伯特（ Hil

bert ）空间 .

13

例 质量为 m 的粒子在均匀力场 V(x) ＝ Fx (F>0) 中运动，试在

动量表象中粒子的波函数。

解：Fx

m

PVTH

2

2

在动量表象中，坐标 x 的算符表示为dp

dix ˆ

dp

dFi

m

PFx

m

PH

22ˆ

22

14

定态的薛定谔方程

)()()(2

2

pEpdp

dFip

m

p

)

6(exp)(

3

Epm

p

F

iAp

动量表象中粒子的函数

变到坐标表象中，则波函数为

dpepx ipx

/)(

2

1)(

15

dpp

F

Ex

mF

piAp )(

6(exp

2)(

3

0

3

)(6

(cos2

2dp

p

F

Ex

Fm

pA

0

3

3cos duu

uA

3/12

3/1 )2

)(/( ,)2(

mF

FExmFpu

其中

（ Ariy 函数）

16

4. 2 算符的矩阵表示

),(),(ˆ txtxF

在 Q 表象中， Q 的本征值分别为 Q1 ， Q2 ， Q3 ，… Qn…, 对

应的本征函数分别为 u1(x), u2(x),… un(x),….

将 (x,t) 和 (x,t) 分别在 Q 表象中按 Q 的本征函数展开

)(),( xuatx mn

m

)(),( xubtx mm

m

17

)(ˆ )( xuaFxub mm

mmm

m

dx )()(* xuxub mm

nm )()(ˆ)(* dxxutaFxu mm

mn

)( )(ˆ)()( * tadxxuFxutb mmm

nn

两边同乘以 , 并在整个空间积分)(* xun

利用本征函数 un(x) 的正交性 nmmn dxxuxu )()(*

18

引进记号 )(ˆ)(* dxxuFxuF mnnm

这就是 ),(),(ˆ txtxF 在 Q 表项中的表述方式

表示成矩阵的形式：

)(

)(

)(

)(

2

1

2221

1211

2

1

ta

ta

FF

FF

tb

tb

m

mnmn taFtb )(ˆ)(得

19

矩阵 Fnm 的共轭矩阵表示为

)](ˆ)[( ** dxxuFxuF mnnm 因为量子力学中的算符都是厄米算符，

dxxuxuFdxxuFxuF nmmnnm )()](ˆ[ )](ˆ)[( ***

)(ˆ)(* dxxuFxu nm

mnnm FF *即

将满足该式的矩阵称为厄密矩阵

20

**)~

( nmmnmn FFF

若在转置矩阵中，每个矩阵元素用它的共轭复数来代替，得到的新矩阵称为 F 的共轭转置矩阵，简称为共扼矩阵

nmmn FF ~Fnm 的转置矩阵为

mnnm FF *

根据厄密矩阵的定义

所以mnmn FF

21

例 求一维无限深势阱中（宽度为 a ）粒子的坐标和动量在能量表象中的矩阵元

解：在能量表象中

)()( xExH

能量的本征值及本征函数为

xa

n

ama

nE nn

sin

2 ,

2 2

222

22

)(ˆ)(* dxxupxup mnnm

a

nm xdxa

m

xix

a

n

ap

0)sin()()sin(

2

a

nm xdxa

mxx

a

n

ax

0)

2sin()

2sin(

2

)(ˆ)(* dxxuxxux mnnm

23

(x)dxu(x)Qu(x)dx(x)QuuQ mmnmnnm

Q 在自身表象中的矩阵元

)()( xuQxQu mmm

Qm 为 Q 在自身空间中的的本征值

nmmmnm δQ(x)dx(x)uuQ

结论：算符在自身的表象中是一个对角矩阵

24

如 x 在坐标空间中可表示为

)'(' xxxxmn

)'(')(')( pp' pppdxxpxp

动量 p 在动量空间中表示为

一维谐振子能量表象中能量的矩阵元

............

0500

0030

0001

2

1 mnE

25

如果 Q 只具有连续分布的本征值 q ，那么算符 F 在 Q 表象中依然是一个矩阵：

)(ˆ)(* dxxuFxuF qqqq 这个矩阵的行列不再可数，而是用连续变化的下标来表示

在动量表象中，算符 F 的矩阵元为：

dxxxi

xFxF pppp )(),(ˆ)(*

)exp()2(

1)(

2/1px

ixp

其中 ψp(x ) 是动量的本征函数

26

4.3 量子力学公式的矩阵表述1. 平均值公式

nnn xutatx )()(),(

m

mm xutatx )()(),( ***

dxxutaFxutatxFtxF nnm

nm

m )()(ˆ)()(),(ˆ),( *

,

**

)()(ˆ)()(,

** tadxxuFxuta nnm

nmm

27

写成矩阵形式

)()(

),...(),( 2

1

2221

1211*2

*1

tata

FF

FF

tataF

简写为 FF

nm

nmnm taFtaF,

* )()(

28

2. 本征值方程

在量子力学中最重要的问题是找算符的本征值和本征函数。

首先，算符 F 的本征函数满足

)()(ˆ xxF

)()(

)()(

2

1

2

1

2221

1211

tata

tata

FF

FF

0)()(

2

1

2221

1211

tata

F

FF

FF

nn

29

0)()( n

nmnmn taaF

有非零解的条件是其系数行列式为零

0)det( knkn aA

这是一个线性齐次代数方程组

0

21

22221

11211

nnnn

n

n

FFF

FFF

FFF

这是一个久期（ secular ）方程。将有 1 ， 2 …. n n 个解，就是 F 的本征值。

30

3. 矩阵形式的薛定谔方程

薛定谔方程 H

ti ˆ

不显含时间的波函数的能量表象 nn EH ˆ

波函数根据哈密顿本征函数展开

n

nn xutatx )()(),(代入薛定谔方程

)()(ˆ)( xutaHxut

ai nn

nn

n

n

31

两边同乘以 mu 并积分

)()(

taHt

tai mmn

n

m

)()(ˆ)()()( ** tadxxuHxudxxuxut

ai n

nnmnm

n

n

)(

)()()(

2

1

2221

1211

2

1

tata

HH

HH

tata

dt

di

Hdt

di 简写为 H, 均为矩阵元。

32

例题： 求在动量表象中线性谐振子的能量本征函数

线性谐振子的总能量为

222

2

1

2xm

m

pH x

解法一：在动量表象中，x 的算符表示为： dp

dix ˆ

则 H 算符表示为 2

22

22

22ˆ

dp

dm

m

pH

定态的薛定谔方程写为

)()(2

1)(

2 2

222

2

pEcpcdp

dmpc

m

p

33

c(p) 是动量表象中的本征函数

0)()2

(1

)(2

2

222

22

pcm

pE

mpc

dp

d

m

仿照一维谐振子坐标空间的求解方法可解出 c(p) 。

34

例：设已知在 和 的共同表象中，算符 的矩阵为：2L̂ xL̂zL̂

010

101

010

2

2xL

求 的本征值和归一化的本征函数，最后将矩阵 对角化 xL̂ xL̂

解：设 的本征态为 xL̂

3

2

1

a

a

a

其本征方程为：

3

2

1

3

2

1

ˆ

a

a

a

a

a

a

Lx

35

3

2

1

010

101

010

2

2

a

a

a

即

32

231

12

2

2

)(2

2

2

2

aa

aaa

aa

分别有

36

321 ,, aaa欲求 的非零解，其系数行列式为零：

0

2

20

2

2

2

2

02

2

023 得

37

;;0

是 的本征值 xL̂

把解得的值代入本征方程，可以得到 a1 ， a2 ， a3 值

本征态为

1

2

1

2

1

0 本征态为

1

0

1

2

1

38

1

2

1

2

1本征态为

矩阵 对角化矩阵为 xL̂

100

010

000

2

2

39

习题：第 130 页

1 、 2 、 3 、 4