初二数学

主讲教师：邓兰萍

梯形

一．知识回顾：

１ . 只有一组对边平行的四边形叫做梯形．理解：⑴与平行四边形的比较；⑵平行的这组对边不等；⑶识别时只要说明平行的一组对边不等即可．

　　

特征：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①四边形；　　　　　　　　　　　　②一组对边平行；　　　　　　　　　　　　③另一组对边不平行．梯形的底：平行的两边．（一般较短的底称为上底）梯形的腰：不平行的两边．梯形的高：由一底上的任意一点向另一底作的垂线段．（高等于两底之间的距离）梯形的底角：腰与底的夹角．

腰底角

腰高

下底

上底

２．特殊梯形———等腰梯形　　☆两腰相等的梯形．　　☆等腰梯形同一底上的两个内角相等．　　☆等腰梯形的两条对角线相等．　　☆等腰梯形是轴对称图形，经过两底中点的直线是它的　　　　对称轴．　　☆识别：梯形中两腰等；　　　　　　同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形．　

３．特殊梯形———直角梯形　　　 　 有一个角是直角的梯形　　　　　　　　　　　　 是直角梯形．

４解决梯形中问题常用的方法：转化为特殊的四边形和三角形．如图：

又如图：当梯形为等腰梯形时 , 图形中分割出的三角形都是特殊三角形．

平行四边形与梯形

三角形与梯形

二． 梯形知识的应用举例：例 1 ．在梯形 ABCD 中， AD∥BC ，∠ B ＝ 9

0° ， ∠ C ＝ 45° ， AD ＝ 3 ， AB ＝ 8 ，求 BC 的长 .分析：由 C45 可考虑将直角梯形转化为一个矩形和一个等腰直角三角形。利用这两个特殊图形的性质解决问题 . D

CB

A

解：∵ AD//BC

∴ 将线段 AB 沿射线 AD 的方向平移，移动的距离为线段 AD 的长，得到线段 DE

∴DEAB8 ， BEAD3

∵B90 ， AB//DE

∴DEC90

∴C45

∴EDC180DECC45C

∴DEEC8

∴BCBEEC3811

D

CB

A

E45°

3

8

例２．在梯形 ABCD 中， AD∥BC ， AE∥DC

交 BC 于点 E ，△ ABE 的周长是 13 ， AD ＝ 4, 求梯形的周长 .

E

D

CB

A

分析： ABE 的周长与梯形 AB

CD 的周长比较相差 AD 、 EC

两段，由条件可知四边形 AEC

D 为平行四边形， ADEC4 ，就可知梯形周长

解：∵ AD//BC ， AE//DC

∴四边形 AECD 为平行四边形 ∴ AEDC ， ADEC4

∴梯形 ABCD 的周长 ABBEECCDAD

ABBEDCECAD

ABE 的周长 ECAD

134421 E

D

CB

A 4

例３ . 如图，梯形 ABCD 中， AD∥BC ， AB ＝ DC ， BD 平分∠ ABC ， BD ＝ BC ． 求 :∠A 、∠ C 的度数． D

CB

A

分析：由等腰梯形及角平分线的条件可分析出： BDC 为等腰三角形且三个内角比为1:2:2 。问题得解 .

解：∵梯形 ABCD 中， AD//BC ， ABDC

∴ABCC

∵BD 平分 ABC

∴123 C

∵BDBC

∴C4

设 2 度数为 x 度，则 C42x

由三角形内角和有 x2x2x180 ，解得 x36

∴C2x72 ， 132x36

D

CB

A

1 2

341

2

∵AABC180

ABC72

∴A18072108

∴A108， C72

D

CB

A

1 2

34

例４．如图，梯形 ABCD 中， AD∥BC ， AB

＝ DC ， AC⊥BD ，若 AD ＝ 4 ， BC ＝ 10 ，求 这个梯形的面积．

D

CB

A

分析：可分别过 A 、 D 作 BC 边上高 AH 、 DG （如图）由等腰梯形的轴对称性可知 BHGC (BCAD)3 ，而 AHC

可知是等腰直角三角形，就可知梯形高为 7 ，进而求出梯形面积 .

12

C

A

B

D

H G

O

4

10

解：分别过 A 、 D 作 AHBC 于 H ， DGBC 于 G

易得四边形 AHGD 为矩形ADHG4

∵梯形 ABCD 中 AD//BC ， ABDC

由等腰梯形的轴对称性可知BHGC (BCAD) (104)3

∴HCHGGC7

∵ACBD ， ABDC

∴ACBD ，可知 OBC 为等腰直角三角形

12

12

C

A

B

D

H G

O

4

10

∴OCB45

∴AHC 中 HAC45ACH

∴AHHC7

∴ 1 1( ) (4 10) 7 492 2

s AD BC AH 梯

C

A

B

D

H G

O

4

10

例５ . 在梯形 ABCD 中， AD∥BC ，若∠ B

等于 50° ，∠ C 等于 80° ，问能否确定 BC 与AD+DC 的关系？

确定 BC 与 ADDC 的关系分析：将 AD 沿射线 AB 方向平移，

移动距离为线段 AB 的长，∵ADBC ，所以得到 BEAD ，问题只须说明 DCEC 。

D

CB

A

D

CB

A

E

解：BCADDC理由：将AD沿射线AB方向平移，移动距离为线段AB的长。∵ADBC∴得到E是 BC上一点且有BEAD∴ABDE∴DECB50∵C80在 DEC中， CDE(80(DECC)50∴DCEC∴BCBEECADDC

D

CB

A

E

例６ . （１）把一个高与上底相等且是下底一半的 直角梯形（如图） , 分成四个全等的四边形 ;

（２）把一个上底与两腰相等，下底是上底 ２倍的梯形（如图），分成四个全等的四边形．  

例 7. 已知：如图，梯形 ABCD 中， AD∥BC ，AE∥BD ， DE∥BA ，延长 AD 交 EC 于

F ， 求证： F 是 EC 的中点．A

B C

D

E

F

A

B C

D

E

F

分析：

P

三．全章知识小结：

知识结构：

直角梯形等腰梯形

正方形菱形

矩形

梯形

平行四边形四边形

例 9. 如图，把边长为２㎝的正方形剪成四个大小、 形状完全一样的直角三角形．请用这四个直角 三角形拼成符合下列要求的图形（全部用上， 互不重叠且不留空隙），并把你的拼法画示意图

⑴不是正方形的菱形；⑵不是正方形的矩形；⑶梯形；⑷不是矩形和菱形的平行四边形；⑸不是梯形和平行四边形的凸四边形；⑹与以上图形形状不一样的其它凸四边形．

不是矩形、菱形的平形四边形

不是正方形的菱形 不是正方形的矩形 梯形

不是菱形

例 10. 正方形 ABCD （如图），有 AB ＝ BC

＝ CD ＝ DA≠AC ＝ BD ．请画出具有 这种独特性质的另外若干不同的图形 ,

并标明相等的线段．

A

B C

D

符合条件的有：

（ 5）……等

（ 1） （ 2）

（ 3） （ 4）