对《义务教育数学课程标准》的一点思考

1. 究竟如何理解数学的本质？

文化意义下的数学

研究对象

研究主体 内在动因

价值表现活动特征

数学教育本质 数学教育价值 数学教育方向

《标准 “》 前言”部分第一句话即指出：“数学是研究数量关系和空间形式的科学。”

与此同时，《标准》在“前言”部分又明确指出：“数学是人类文化的重要组成部分，数学素养是现代社会每一个公民应该具备的基本素养。作为促进学生全面发展教育的重要组成部分，数学教育既要使学生掌握现代生活和学习中所需要的数学知识与技能，更要发挥数学在培养人的思维能力和创新能力方面的不可替代的作用。”

在课程性质部分指出：“数学课程能使学生掌握必备的基础知识和基本技能，培养学生的抽象思维和推理能力，培养学生的创新意识和实践能力，促进学生在情感、态度与价值观等方面得到发展。”

在“课程目标”中指出：“通过义务教育阶段的数学学习，学生能： 1 ．获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。

2 ．体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系，运用数学的思维方式进行思考，增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能为。

3 ．了解数学的价值，提高学习数学的兴趣，增强学好数学的信心，养成良好的学习习惯，具有初步的创新意识和实事求是的科学态度。”

案例 数学如此多娇——中外名家论数学的本质及数学教育的价值 ◆ 数学能把灵魂引导到真理。 —— 苏格拉底（古希腊哲学家） ◆ 数学是科学的大门和钥匙，忽视数学必将伤害

所有的知识，因为忽视数学的人是无法了解其他科学乃至世界上任何其他事物的。

—— 培根（英国科学家、哲学家） ◆ 在科学上，凡是用不上任何一种数学或者和数

学没有联系的地方，都是不可靠的。 ——达 · 芬奇（意大利画家、科学家）

◆ 宇宙大自然的奥秘写在一本巨大的书上，而这部书是用数学语言写成的。

——伽利略（意大利科学家） ◆ 宇宙中的一切问题都可以转化为数学问题。 ——笛卡尔（法国哲学家、数学家） ◆ 数学——科学不可动摇的基石，促进人类事业

进步的丰富源泉。 ——巴罗（英国数学家、物理学家） ◆ 数学的发展和完善与国家的繁荣富强紧密相关。 ——拿破仑（法国军事家、政治家）

◆ 一门科学，只有当它成功地运用数学时，才能达到真正完善的地步。

——马克思（德国哲学家） ◆也许听来奇怪，数学的力量在于它躲避了一切

不必要的思考和它惊人地节省了脑力劳动。 ——马赫（奥地利 ·捷克物理学家、心理学家、

生理学家、哲学家） ◆ 第一是数学，第二是数学，第三还是数学。 ——伦琴（德国物理学家）

◆ 数学这项宝贵的财富，使人类智慧获得了为取得以后的成功所必需的信心。

——爱因斯坦（美国物理学家） ◆ 宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工

之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学！

——华罗庚（中国数学家） ◆我们欣赏数学，我们需要数学。 ——陈省身（中国数学家）

◆ 如果说只有诗人才需要幻想，这是毫无根据的，这是偏见！甚至在数学中也需要幻想；如果没有幻想，甚至不可能发明微积分！

——列宁（无产阶级革命家、政治家、哲学家） ◆ 数学发明创造的动力不是推理，而是想象力的发

挥。 ——德摩根（英国数学家） ◆ 数学无穷无尽的诱人之处在于，它里面最棘手的悖论也能够盛开出美丽的理论之花。

——戴维（英国化学家）

◆ 如果我感到忧伤，我会做数学变得快乐；如果我正快乐，我会做数学保持快乐。

——雷尼（匈牙利数学家） ◆ 数学在很大程度上是一门艺术，它的发展总是起源于美学准则，受其指导，据其评价的。

——波莱尔（法国数学家） ◆ 一个数学家，如果他不在某种程度上成为一个诗人，那么他就永远不可能成为一个完美的数学家。

——威尔斯特拉斯（德国数学家）

◆诗歌和数学都具有永恒的性质。历史上，诗歌使得通常的交际语言完美，而数学则在创造描述精确思想的语言中起了主要作用。

——卡迈克尔（美国数学家） ◆ 一个好的数学家，至少是半个哲学家；一个好

的哲学家，至少是半个数学家。 ——弗雷格（德国数学家、数理逻辑学家） ◆ 数学作为人类思想的表达，反映了积极的愿望、沉思的推理．以及对于美的完善的向往。

——R ．柯朗（美国数学家）

◆ 在最广泛的意义上说，数学是人类的主要文化力量，数学表现为一种理性精神。数学在科学推理中具有重要作用，在物理科学理论中起核心作用，甚至决定了大部分哲学思想的内容和方法，摧毁和构建了诸多宗教教义，为政治学说和经济理论提供了依据，塑造了众多流派的音乐、绘画、建筑和文学风格，创立了逻辑学，而且为我们必须回答的人和宇宙的基本问题提供了最好的武器．并已经渗透到以前由权威、习惯、风俗所统治的领域，而且取代它们成为思想和 许多的指南。最为重要的是，作为一种宝贵的、无可比拟的人类成就，数学在使人赏。悦目和提供审美价值方面，至少可以与其他任何一种文化门类媲美。

——M ．克莱因（美国数学家、数学史家和数学教育家）

◆ 数学最富于智慧挑战，最能促进思想的力量和发展人的逻辑思考能力，最能表达一种理性精神（这种精神或曰“数学理性”）。正是这种精神，激发、促进、鼓舞并驱使人类的思维得以运用到最完善的程度。亦正是这种精神，试图决定 性地影响人类的物质、道德和社会生活；试图回答有关人类自身存在提出的问题；努力去理解和控制自然；尽力去探求和确立已经获得知识的最深刻的和最完美的内涵。

——M ．克莱因（美国数学家、数学史家和数学教育家）

2. 如何让学生热爱数学？ 《标准 “》 课程基本理念”指出；“数学教

学活动，特别是课堂教学应激发学生兴趣， 调动学生积极性，引发学生的数学思考，鼓励学生的创造性思维。”

让学生真正热爱数学并树立数学学习自信心，教学中一个切实可行的途径是：彰显数学的文化价值！

对于初中数学教学而言，彰显数学的文化价值的行之有效的策略是：（问题驱动、思想统摄、背景镶嵌。）

所谓问题驱动，就是教学内容以问题解决为主线，发现问题、提出问题、分析问题、解决问题贯串于全过程。

所谓思想统摄，就是教学内容以数学思想为核心，挖掘知识技能背后的数学思想，并把数学思想融入问题解决的每一个结点上和过程中。

所谓背景镶嵌，就是为数学知识、方法、思想和观念找到一个现实背景，体现数学对解释和解决现实问题的应用价值。

彰显数学的文化价值策略的原因： (1) 问题是数学的心脏，数学问题最易激发学生

的好奇心和追问欲望，数学问题也最易调动学生的奇思妙想。

(2) 数学思想是活生生的数学灵魂，而数学思想所蕴涵的数学家的追问意识、审美直觉、灵动想象、大胆猜想和理性思维，是学生发展创造力的原生态标本。

(3) 数学是描述宇宙大自然现象和人类现实生活的语言，实用性是激发学生数学学习的重要动力，用数学解释和解决现实问题也是培养学生实践能力的基本途径。

另外，学生具有发现创造数学的无尽张力！当学生真正产生对数学的好奇心、强烈的学习兴趣和牢固的数学信念时，就会爆发出学习数学和创造数学的原动力。为此，在教学中，要充分调动学生的潜力，要让学生主动发现和提出问题，让学生自主分析和解决问题，让学生真正经历数学的思考过程。只有这样，才能保护学生的创造天性，培育起学生的创造性思维。这也是让学生真正热爱数学并树立数学学习自信心的根本保证。

应该强调的是，《标准》在基本理念第一条即提出“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展”。

案例 1享受发现的韵味——“等腰三角形性质”教学

等腰三角形有两个基本性质： ①两底角相等； ②底边上的高线、中线及顶角平分线重合。（此

性质通常称为三线合一定理） 如何设计和开展等腰三角形基本性质教学？这里尝试性给出一个方案。

1 ．创设问题情境 (1) 对性质①，将结论设计为一个开放性的探究

问题：不直接给出结论，而是让学生思考等腰三角形的两个底角可能会有什么关系。

(2) 对性质②，将结论设计为一个操作性的实验问题：不直接给出结论，而是让学生分别作出底边上的高线、中线及顶角平分线，观察后有什么发现。

2 ．寻找证明途径 (1) 性质②所创设的问题情境恰好为证明性

质①提供了思路。因为性质②所创设的问题情境反映了更多的内部要素及其之间的关系。

(2)让学生阐述不同的证明思路，再分别用不同方法证明。

3 ．提出新的问题 如何证明底边上的高线、中线及顶角平分线重合呢？为什么会是这样呢？

4 ．创设新的情境 (1)让学生将等腰三角形纸片对折．打开，分析。 (2)给出一个直角三角形，让学生画出它以某一直角边为对称轴的对称图形。

5 ．引出新的问题 在一个三角形中： ①若一个角平分线正好平分这个角的对边．那么这个三角形是什么三角形？

②若一个角的平分线正好垂直于对边，那么这个三角形是什么三角形？

③若一条边上的中线正好垂直于这条边，那么这个三角形是什么三角形？

④若一条边上的中线正好平分这条边的对角，那么这个三角形是什么三角形？

⑤若一条边上的高正好平分这条边，那么这个三角形是什么三角形？

⑥若一条边上的高正好平分这条边的对角，那么这个三角形是什么三角形？

案例 2 回到原点体验“变”与“不变”——“三角形相似概念”教学 我们知道，具有相同形状的图形叫相似图形。那么如何理解图形相似呢？图形相似可以理解为对一个图形的等比例放缩，或者是两个图形的对应边成比例。所以，进行三角形相似的概念和具有相似性质的图形特征的教学时可归纳为下面的一个体系网，让学生动态理解相似，进而再通过平移变换、旋转变换以及特例归结呈现出多种形式的相似图形。

在这个体系网中，首先明确指出图形相似的本质，从两类情况理解：一类是对一个图形的等比例放缩（图①），另一类是两个图形的对应边成比例（图②）。当然这两个图形之间可以通过平移变换互相生成（图①中内部小三角形平移出来即可得到图②）。以这两个图形为基本图形，以下 7 个图形都可以通过对这两个图形进行几何变换得到：图③是图①中小三角形通过平移使对应顶点和相邻两个对应边与大三角形重合得到的；图④、图⑤分别是图③中小三角形经过翻折和旋转得到的；等等。

教学中首先可以提出如下一些问题： (1)图①和图②之间有什么关系？如何理解这种关系？ (2)图③～图⑨这 5 个图形之间以及与图①、图②之间有什么关系？

如何理解这种关系？

进而，还可以让学生通过作图和想象，对某一个图形进行一系列几何变换，使其得到另外的某一个图形，并描述几何变换的过程。

以上是一种对知识内容的演绎理解。当然，教学中还可以以这个体系图为基础，先给出图③～图⑨，然后让学生通过作图和想象，对某一个图形进行一系列几何变换，使其得到另外的某一个图形．最后再归结为两个基本图形，由此概括出图形相似的本质特征。这也是一种对知识内容的归纳理解。

3. 如何发展学生的符号意识？ 《标准》指出：“符号意识主要是指能够理解并且

运用符号表示数、数量关系和变化规律；知道使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性。”

符号是数学的语言，是人们进行表示、计算、推理、交流和解决问题的工具。

培养学生符号意识，可以从以下几方面实施。

1. 了解数学符号的特点和发展历史，让学生了解符号的重要价值

2 ．利用生活经验，诱发学生的符号意识 3 ．分阶段、有重点地逐步培养和发展学生

的符号意识

从以下三个方面进行： 第一 运用字母表示数。 第二 运用符号进行运算和推理。 第三 在运用字母表示数与运用符号进行运算和推理的过程中 , 使学生逐步感受符号高度的集约性、抽象性、丰富性和精确性以及数学结论的一般性。

案例 1层层铺垫，自然生成——“一节初三数学总复习课”教学过程

（人教版《数学》（八年级下册）第 122页的第15 题）

如图 (1) ，四边形 ABCD 是正方形，点 E 是边BC 的中点，∠ AEF ＝ 90O ， EF交正方形外角的平分线 CF 于 F ，

求证： AE ＝ EF 。

分析：（教材提示）如图 (2) ，在 BA 上取一点M ，使 BM=BE ，连接 EM ，可证△ AEM EFC≌△ ，从而使问题得解。

变换条件：将问题中的中点 E改为“ E 为线段 BC 上任意一点”，试说明： AE=EF 。

分析：我们可以将问题还原到教材提示的方法上来，即在 BA 上截取一点M ，如图 (3) ， BM=BE ，连接ME ，可证△ AEM

EFC≌△ ．从而使问题得解。但如果我们就此结束了研究，会丧失一次很好的数学思维训练的机会，使得学生对数学的感觉就是如此枯燥，如此单一。如果我们能够引导学生继续思考，可以克服和解决学生对数学枯燥、单一、难以思考的畏惧心理！

如图 (4) ，我们可以引导学生分析正方形自身所具备的特性——对角线平分一组对角，连接 AC ，则可得∠ ACD=

ACB=∠ ，若延长则可得∠ GCM= ．那么 CG 是∠ FCM 的角平

分线，即出现了我们常见的基本图形：轴对称。此时，只需引导学生截得 CM=CF ，连接 EM 可使问题得解。此解法基本思想就是构造全等三角形，可以看成将△ FEC沿BC 所在直线翻折得到△MEC ，是轴对称的一个简单运用。当然也可以通过类似的分析，得到另一方法，如图 (5) ，延长 FC 、 AB交于点M ，连接ME也可使问题得解。

O45O45

如果问题研究到此为止，那么我们的研究还是有点儿欠完善，给学生的思维训练留下了缺憾。我们经常说，图形变化的基本形式有平移、旋转、轴对称及位似，如果我们在此处再追问一句，你还有其他的想法吗？此时，我发现学生的思维被激活了，很快就有学生说由于正方形自身的特性及CF 是∠ DCG 的角平分线，连接 AC则会得 AC CF⊥ ，又由旋转的基本条件：共点、等角、等线段可以尝试把△ ECF旋转 90度而使问题解决。

注：如图 (6) ．连接 AC ，过点 E 作 ME BC⊥ 交AC 与 M ，可使问题得解；同样的思考可以得到如图 (7) ，延长 AB 到点M ，使 BM=BE ，连接EM 、 CM ，则四边形 EFCM 为平行四边形，从而使问题得证。

在此探究的基础上，再进一步的引导学生：若 E在 BC延长线上．其他条件不变， AE 与 EF还相等吗？试说明理由。

案例 2 关键突破，桥梁架设——“方程的认识”教学片段 （上课伊始，教师即出示多媒体课件“天平”，天平左边有一个 100克的砝码，右边有两个 50克的砝码，天平处于平衡状态）

教学片段 1 ：情境引入，抽象数学式子 师：请仔细观察，你能用一个式子来表示天平所处的状态吗？ 生 1 ： 50×2 =1OO 。 生 2 ： 50+50=100 。 师：为什么用等号？你是怎么想出来的？ 生：左右两边的重量相等。 师：好，大家接着观察，现在如果你拿去左边的一个砝码，天平会怎样？ 生：倾斜。 师：为什么？ 生：因为左右两边不一样重。 师：那么现在这种状态你能用式子表示吗？ 生： 50< 100 ， 100> 50 。 师：为什么不用等号呢？ 生：左右两边不相等。 师：这儿有一未知重量的砝码，如果我们把它放入左边的托盘里，你觉得天平会是什么状态？你能用式子表示由来吗？请在纸上表示出来。

生： 50+砝码重量 =100 ， 50+砝码重量 >100 ， 50+砝码重量 <100 。 师：对，可以这样表示，还可以怎样表示？ 生：用字母表示。如果用 A 表示未知砝码的重量， 50 +A=100 ， 50 +A<100 ，

50+A>100 。

教学片段 2 ：引导分类，概括方程概念 师：你能按一定的标准把这些式子分类吗？请在草稿纸上把分类的结果写下来。

生 1 ：按“ <” 、“ >” 、“ =” 分成三类。 生 2 ：有字母一类，没有字母一类。 生 3 ：按相等和不相等，分成两类。 师：把表示两边相等的式子叫等式。一起说。 生：表示相等的式子叫等式。 师：现在我们看等式，把这 5道式子继续分下去，你会怎么分？ 生：有字母的，没有字母的。 师：数学上有个名词叫方程，你们叫它…… 生：方程。 师：用数学的语言说一说对于方程你们是怎样认识的。 生说，师板书“含有未知量的等式叫方程”。读两遍。

4 如何发展学生的运算能力？ 《标准》指出：“在数学课程中，应当注重发展

学生的运算能力。” 运算能力是初中数学的基本能力，是决定学生数

学学习质量的核心能力之一。 什么是运算？运算是根据一定的数学概念、法则

和定理，由一些已知量得出确定结果的过程。 在《标准》中，运算能力主要是指能够根据法则

和运算律正确地进行运算的能力。

教师在教学中应如何培养学生的运算能力呢？ 1 ．要在“慢”中求得运算的正确性 2 ．要在求“快”中提高运算速度 3 ．要在求“简”中提升运算的质量

案例 1 理解运算法则是培养运算能力的第一要义

国家 比赛场数

胜 平 负 得分 进球数

失球数

净胜球

乌拉圭

3 2 1 0 7 +4 0

墨西哥

3 1 1 1 4 +3 -2

南非 3 1 1 1 4 +3 -5

法国 3 0 1 2 1 +1 -4

师：（展示表格）表中是 2010年世界杯小组 A组的成绩。你会计算净胜球吗？

生：分别是 +4 、 +1 、 -2 、 -3. 师：净胜球数的计算实际上涉及有理数的加法。今天我们就来研究有理数的加法运算。

师：我们已经知道两个非负有理数相加的方法，现在数的范围扩大了，两个有理数相加，还有哪些情形呢？请举例说明。

根据学生的回答，归纳为以下三种： （板书） (+)+ （一）；（一） + （一）； (O)+

（一） 师：如何进行有理数的加法呢？我们先来看下面这个问题：一间 0℃ C冷藏室连续两次改变温度：

(1) 第一次上升 5℃ ，接着再上升 3℃； (2) 第一次下降 5℃ ，接着再下降 3℃； (3) 第一次下降 5℃ ，接着再上升 3℃ ； (4) 第一次下降 3℃ ，接着再上升 5℃ 。

师：每一种情形下．两次变化使温度共上升了多少摄氏度？

师：我们规定，温度上升记作正．温度下降记作负，请同学们在数轴上表示连续两次温度的变化结果，写出算式。

（引导学生将温度的变化过程在数轴上表示出来，观察得出变化结果，进而列出加法算式）

师：第一个算式是小学已学习过的，第二个算式的两个加数都是负数，你能说说是怎样计算的吗？

（引导学生从和的符号以及和的绝对值两个方面分别说明自己的算法）

待学生说明自己的算法理由后，可得出： 同号两数相加，取与加数相同的符号．并把绝对

值相加。（板书）

案例 2 运算的程序不能变吗 师：解方程 0. 5x=l 时，先两边除以 0.5 ．把左边变为 lx ，

即 x ，这时右边变为 1÷0.5 =1×2=2 ，所以 x=2 。 生：老师，两边同时乘以 2 ，马上就得到 x=2 ，这样更简单。 师：你的结果是对的，但书上这个步骤是两边都除以 0.5

（一次项系数），以后要按照书上的格式和要求来求解。 师：下面我们再解一个方程： 。

（学生在练习本上解题，教师巡视。一名学生主动举手） 生：老师，我没经过计算就看出来了， x=1! 师：光看不行，还要按步骤进行计算。 教师让另一名学生到黑板按书上的要求解完了此题．并表扬

了这名学生。

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5. 《标准》提出“四基”目标，其意义何在？ 《标准》明确提出“四基”为“数学的基础知

识、基本技能、基本思想、基本活动经验”。 其意义何在呢？应该说，至少有以下四点。 第一，有利于全面理解数学学习“基础”的内涵。

第二，有利于培养学生的创新意识和创新能力。

《标准》提出“数学教育既要使学生掌握现代生活和学习中所需要的数学知识和技能，更要发挥数学在培养人的思维能力和创新能力方面的不可替代的作用”；学生应该“具有初步的创新意识和实事求是的科学态度”。

第三，有利于指导数学教育实践。 第四，有利于发展数学教育理论。

案例 1 现实生活是学习数学的好帮手——“有理数的加法”教学片段师：在我们与同学、朋友的交往中，常会听到“扯平”的说法，你有这种经历吗？若有，请举例说明。

（这一问题接近学生的生活实际，立即引起了学生的表现欲望，发言热烈）

生 1 ：昨天放学时我向同桌借了 2元钱，今天早上我还给他 2元钱，我们“扯平”了。

生 2 ：昨天活动课时，我们 (1)班和 (2)班进行拔河比赛，第一次我们赢了，第二次我们输了，这样，我们两个班“扯平”了。

生 3 ：上个星期．我校足球队与校外的一个足球队举行了两场比赛．第一场赢了 1 个球，第二场输了 1 个球，结果与对方“扯平”了。

师：同学们很善于思考！对于这些实例。我们能不能用其他的方式来表示“扯平”这一含义呢？我们以前面举的足球比赛为例，在两场比赛中，我校足球队的净胜球数是多少呢？为了解决这一问题，我们不妨把赢 1球记为“ +l” ，输 l球记为“ -1” ，此时我校足球队的净胜球数为 (+1)+(-1) ＝ 0 。

师：谁能用这种方法解释第一个同学所说的“扯平”？

（学生回答略）

师：哪位同学能举出一个不能“扯平”的实例呢？ 生 4 ：在一场足球比赛中，我们队第一场赢了 3球，第二场输了 2球，结果是我们赢了，这就不能“扯平”了！……

师：我们仍以足球比赛为例，算一下．两场足球比赛中，赢队净胜球是多少？

[师生共同完成，结果为： (+3)+(-2) ＝ +1] 师：大家看这样一个问题：某人从公路上的一点 A开始在东西方向上连续进行两次步行，第一次步行 5米，接着再步行 3米，问有几种步行方案？终点与 A点的位置有几种不同的情况？

[让学生先独立思考，然后互相讨论，由学生说出可能的步行方案，每种情况下终点与 A点的位置。结合数轴直观表示，得到如下结果： (+5)+(+3) ＝ +8 ； (- 5) + (-3) ＝ -8 ； (+5)+(-3) ＝ +2；（ -5 ） +(+3) ＝ -2]

师：若这人在 A点向东（西）步行 5米，再向东步行 0米，这时该如何表示？

生： (-5)+0 ＝ -5 ； (+5)+O ＝ +5 。 师：结合上述算式，你能将有理数加法分为几种情况？ 生：同号两数相加、异号两数相加、一个数与 0相加三种

情况。 师：你能否根据上述的学习尝试，说说有理数加法的运算

法则应该是怎样的？ （在学生尝试的基础上，最后师生共同归纳总结出有理数加法的运算法则）

案例 2 这样的教学真没劲——“有理数的加法”教学片段

（播放多媒体，大屏幕展示：小明在一条东西方向的马路上不断走动）

师：小明从某一点开始，假设先向东走了 2米，紧接着又向东走了 3米，问两次运动后的位置与原出发点的关系如何？

生：向东 5米。 师：对！我们若把东西方向的马路看做一条数轴（边说边

画图），设起点为 0点，规定向东为正方向，则向西为负方向。向东走 2米就可以记作 (+2) ，向东走 3米可以记作 (+3) ，那么，两次运动后就达到 (+5)处，则有： (+2)+(+3)=+5 。

师：（学生思考）若这道题目改为：小明从某一点开始，在东西方向的路上，先走了 2米。紧接着又走了 3米，问两次运动后的位置与原出发点的关系如何？同学们先独立思考，然后相互交流。

师：下面同学们体会一下，看是否能理解。

学生根据不同的步行方式，得到如下算式：(+2)+(-3) ＝ -1 ； (-2)+(-3) ＝ -5； (-2)+(+3) ＝ +1；教师有举出 (+5)+ （ -5 ）＝ 0 ；(+5)+0 ＝ +5 ； (- 5) +0 ＝ -5 等例子，在共同分析的基础上，得到有理数的加法法则。（过程此处略）

6. 如何理解“四基”中的“基本思想”？ 《标准》在“课程基本理念”部分指出，

“（数学课程内容）不仅包括数学的结果，也包括数学结果的形成过程和蕴涵的数学思想方法”；《标准》在总目标部分指出，“通过义务教育阶段的数学学习，学生能获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验”。

数学思想的价值主要体现在以下三个方面。 (1) 促进学生更好地学习数学知识。 (2) 培养学生的创造能力。 (3) 为学生的未来发展奠定基础。

如何有效开展数学思想教学呢？ 1 ．立足数学本源，挖掘并渗透数学思想 2 ．在知识的发生过程中，体验数学思想 3 ．在问题解决的过程中，凸显数学思想 4 ．在知识的总结过程中，归纳数学思想 5 ．引导学生养成反思习惯，增强数学思想

意识

案例 1 掀起你的盖头来——“绝对值概念”教学片段 教师引导学生得出绝对值概念后，要求学生各选 4 个数字给同桌，由他

（她）写出该数的绝对值，看谁做得又对又快。 （学生兴奋地合作起来，课堂气氛热烈） 师：结合你前面求绝对值的方法，发现有何规律？ 生：有的数的绝对值等于它本身，有的不等于它本身。 师：好的！谁能说得更具体些？ 生：正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数。 师：全面吗？除了正数、负数，还有别的数吗？ 生：还有 O 。 师： 0 的绝对值呢？ 生： O 的绝对值是 O 。 师：哪位同学能综合上述结果，把这一问题完整地表述出来？ 生：正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数， 0 的绝对值

是 0 。 师：非常好！由上述过程可以看出，在思考某一问题时，若需分为几种不同

的情况进行思考，可采取“分类”的方式，逐一分析。但要注意，分类要按照一定的标准，做到不重不漏。

案例 2. 拾了芝麻，丢了西瓜——“多边形内角和公式的推导”（教学片段） 师：我们学习了三角形、四边形，下面请同学说一下三角形与四边形

的内角和各是多少度。 生：三角形的内角和为 180 度，四边形的内角和为 360 度。 师：那么，对于五边形、六边形等多边形来说，其内角和是多少度呢？

为便于研究，我们假设多边形为 n边形（如图 1 所示），如何求得其内角和呢？

（学生反应冷淡） 师：（提示）我们已经知道了三角形的内角和，能否利用它解决这个

问题呢？ 生：把多边形分成多个三角形。 师：很好，大家讨论一下可以通过什么途径把这一问题转化为三角形

问题。 （学生讨论，教师巡回指导）

师：下面请同学介绍一下讨论结果。生 1 ：如图 2 所示，我们从点 A1 ，分别向其他顶点作对角线，连接A1A3 ， A1A4 ，， A1A5 ，…，此多边形可分为△ A1A2A3 ，△ A1A3 A4 ，△ A1A4A5 ，…，共（ n- 2 ）个三角形。每个三角形的内角和为 180 度。所以，n边形的内角和为（ n-2 ） 180 度。生 2 ：在多边形内取一点 P ，分别连接 PA1 ， PA2 ， PA3 ， PA4 ， PA5 ．…， PAn ，共 n 个三角形，每个三角形的内角和为 180 度，以 P 为顶点的周角是 360 度，所以 n边形的内角和为：180×n－ 360 度＝（ n 一 2 ） ×180 度．……师：看来，同学们都进行了认真的思考，由此可得到 n边形的内角和为： (n-2 ） ×180 度．

7. 如何发展学生的合情推理与演绎推理？ 《标准》的“课程基本理念”明确要求

“学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程”，“在数学教学中，注重发展学生的推理能力”。

推理一般包括合情推理和演绎推理。合情推理是从已有的事实出发，凭借经验

和直觉，主要通过归纳和类比等推断某些结果的思维方法。

演绎推理是从已有的一般事实（如定义、公理、定理）和确定的规则（如运算的定义、法则、顺序）出发，按照逻辑推理推出个别结论的思维方法。

推理的价值主要体现以下两点 :

(1) 有助于激起学生学习数学的热情和塑造其科学研究的精神。

(2) 有助于学生形成科学的数学观念，促进其数学学习方式和行为的改变，进而促进数学知识的逻辑结构向其个体认知结构的内化。

实现“推理能力”目标，课堂教学中至少要做到以下几点。

第一，应进一步重视学生的主体地位。 第二，教师应重视综合实践的教育作用。 第三，教师应注意平衡合情推理和演绎推

理的教学。

案例 1 柳暗花明——归纳演绎让问题趋于明朗

师：同学们，我们已经知道，在直角三角形中，已知一边和另外两边关系可以求出直角三角形的三边。下面我们来探讨一下如何利用这一方法来解决“等腰勾股扇”问题。

例：已知 Rt ABC△ 的腰长为 1 的等腰三角形。以Rt ABC△ 的斜边 AC 为直角边画第 2 个等腰Rt ACD△ ，再以 Rt ACD△ 的斜边 AD 为直角边画第 3 个等腰 Rt ADE△ ，以此类推……

下面请同学们运用勾股定理，思考并回答如下问题： (1) 第 1 个等腰三角形的斜边边长为 ____ (2) 第 2 个等腰三角形的斜边边长为 ____ (3) 第 3 个等腰三角形的斜边边长为 ____ (4) 第 10 个等腰三角形的斜边边长为 ____ 生： (1) 第 1 个等腰三角形的斜边边长为 (2) 第 2 个等腰三角形的斜边边长为 2； (3) 第 3 个等腰三角形的斜边边长为 2 (4) 第 10 个等腰三角形的斜边边长为 ____ 。

2

2

师：同学们再接着思考这样两个问题：第 2 个三角形的斜边与第 1 个三角形的斜边有怎样的倍数关系？第 3 个三角形的斜边与第 2 个三角形的斜边有同样的倍数关系吗？

生：第 2 个三角形的斜边长是第 1 个三角形的斜边的 倍，第 3 个三角形的斜边是第 2 个三角形的斜边的 倍。

生：后一个是前一个的 倍。 师：很好，那哪位同学能按照这个思路推出第 10 个等腰三角形的斜边边长为　　　　　　；第 n 个三角形的斜边长与 n 的关系呢？

2

2

2

生：可能也是 的倍数…… 师：同学们看这些数字的规律：

…… 生：第 10 个三角形的斜边长是 ，第 n 个三角形的斜边长是

1)2(2

2)2(222 3)2(22222

510 2)2(

2

n)2(

案例２　疑云密布——如何添加辅助线 已知：四边形 ABCD 中， E ， F 分别为 AD 、 BC 的中点，求证：

EF<(AB+CD ) ／ 2 师：读题，从已知条件中，我们知道 E ， F 分别为 AD 、 BC 的中点，

出现两个中点猜想会用什么解决问题？ 生：三角形中位线。 师： EF 是哪个三角形的中位线？图中有三角形吗？ 生：没有。 师：怎么才能出现三角形？ 生：连接 AC 、 BD 。 师：连接 AC 、 BD ，能保证 EF 是所作三角形的中位线吗？ 生：（疑惑）不能。 师：那应该怎么添加辅助线才能保证 EF 是所作三角形的中位线？ 生：（疑惑）

师：今天我们要用到四边形，或者是今后要学习的梯形中一种重要的添加辅助线方法。连接 AF并延长，使得 AF ＝ FG ，再分

别连接 GD 、 GC ，观察△ ABF 和△ GDF是什么关系？

生：全等。师：为什么？ ……

8. 教学中如何实现情感态度目标？

数学教育的终极目标是培养具有完整人格的人。完整人格的人除了有丰富的数学知识外，还需要有丰富的数学情感、态度，以及由此获得丰富的人生情感和态度。

从以下三个方面来进一步理解《标准》的内涵。 第一，《标准》强调学生情感体验来源的多元化。 第二，《标准》强调使学生“体会数学的特点”。 第三，《标准》增加了“认真勤奋”、“合作交流”的学习习惯要求。

实现情感目标的教学策略： 第一，不但重视从数学学习中引导学生进行积极

的情感体验，也要关注从数学学习之外的活动中寻找体验的源泉。

第二，重视数学学习中的探索、猜测及实验过程，引导学生形成较为科学的数学态度和观念，促进数学学习观念和行为的转变，从而丰富学生数学学习的体验。

第三，既重视培养学生独立思考的态度，也重视培养师生、生生之间的合作交流的学习态度。

案例 1 从勾股定理窥视数学的魅力——勾股定理的证明

师：目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”，为此向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各种图形等。我国数学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定理的图形，如果宇宙人是“文明人”，那么他们一定会识别这种语言的。勾股定理又称毕达哥拉斯定理或毕氏定理，什么是勾股定理？它究竟有什么魅力让古今中外无数数学家对之进行探索？今天就让我们一起揭 开它的神秘面纱。

（画一个直角边为 3cm 和 4cm 的 Rt ABC△ ，用刻度足量出 AB 的长）

师：我国古代 3000 多年前有一个叫商高的人发现把一根直尺折成直角，两段连接得一直角三角形。“勾广三，股修四，弦隅五”。这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是 3 ，长的直角边（股）的长是 4 ，那么斜边（弦）的长是 5 。

（画一个两直角边分别为 5 和 12 的Rt ABC△ ，用刻度尺量 AB 的长）

（画一个两直角边分别为 8 和 15 的Rt ABC△ ，用刻度尺量 AB 的长）

师：观察三角形三边之间有什么关系。 生：（讨论） 师： 与 的关系， 和 的关系。 生： ， 师：猜测直角三角形三边有什么关系。 生： 。 师： ，对于任意的直角三角形也有这个性质 吗？观察右图， 2002年国际数学家大会会标。

2522 43 22 125 213222 543 222 13125

222 ABBCAC

222 ABBCAC

已知：在△ ABC 中，∠ C ＝ ， ∠A 、∠ B 、∠ C 的对边为 a 、 b 、 c 。 求证： 证明方法： (1)让学生准备多个三角形模型，最好是有颜色的吹塑纸，让学生拼摆不同的形状，利用面积相等进行证明。

222 cba

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(2) 拼成如上图所示，其等量关系为：

化简可证。 (3) 挥学生的想象能力拼出不同的图形，进行证明。 (4) 勾股定理的证明方法，达 300 余种。这个古老

的精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手。

大正小正△ SS4 S

22)(2

14 cabab

案例 2迷失在知识浅滩里的美丽 关于黄金分割的教学 师：若点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC ，如

果 ，点 C叫做线段 AB 的黄金分割点，

.AB还有其他的黄金分割点吗？ 生：有，那边（用手比画） 师：用 D 表示该点，说一下关系式。 生： 师：好，这正说明 D 为 AB 的黄金分割点。因此，一条线段有两个黄金分割点。它们是什么位置关系呢’

生：关于线段中点对称。

AC

BC

AB

AC

BD

AD

AB

BD

618.02

15

AB

AC

师：了解黄金分割的定义及相关知识，目的是为了解决一些问题。接下来大家看这组习题，都是小题，检验一下你掌握得怎么样。

（学生逐一回答教师提出的问题） 师：不错。大部分同学都做出来了，没做出来的

下课再问问同学。那下面我们看一道证明题，怎么证明某个点是线段的黄金分割点呢？看例 1 。

师：好。还有 3 分钟，大家把书翻开．我们了解一下，黄金分割在生活中的应用，读 一读。

（一名学生朗读，其余同学看书．刚读完铃响） 师：好了，咱们就是多了解一点，有兴趣可以回

家再找点资料看看。下课！

谢谢大家！