1

第十章 网络图论及网络方程

网络分析主要问题：

1 ）选择独立变量2 ）列写网络方程3 ）网络方程求解

—— 拓扑学理论

—— 矩阵代数方程

—— 计算机应用

2

10-1 基本定义和概念一、网络拓扑图 1 、支路

(Branch) ：每个元件代表一条支路，用线段表示。

2 、节点 (Node) ：每一条支路的端点。

3 、图（ Graph) ：支路与节点的集合。

连 通 图 非连通图

有 向 图 无 向 图

平 面 图 非平面图

孤立节点 自 环

子 图 母 图

3

4 、标准支路

二、树、回路、割集 1 、树（ Tree): 连通图 G 的一个子图，满足： 1 ）连通图

kU

kI

+ -

树支：构成树的所有支路 树支数 n-1 n: 节点数 连支：不属于树的支路（树余） 连支数 b-(n-1) b:支路数

2 ）含有 G 全部节点

3 ）无回路

4

2 、回路（ Loop)

基本回路：单连支回路，连支方向为回路方向。

回路是连通图 G 的一个子图，满足：

1 ）连通图

2 ）每个节点仅关联两条支路

3 ）移去任一支路，则无闭合路径

3 、割集（ Cut)割集是连通图 G 的一些支路的集合，满足：

1 ）移去该支路集合，则图恰好分成两部分；

2 ）少移一条支路，则图连通。基本割集：单树支割集，树支方向为割集方向。

5

10-2 关联矩阵

一、节点关联矩阵 A

④

①

②

③1 、增广关联矩阵Aa

行：代表节点序号

列：代表支路序号矩阵元素取值 :

0

1

1

ija

—— 同向关联：支路 j 与节点 i 关联 ,支路 j方向离开节点 i。—— 反向关联：支路 j 与节点 i 关联 ,支路 j方向指向节点 i。—— 无关联：支路 j 与节点 i 没有关联。

2、降阶关联矩阵 A

011010

110100

000111

101001

][ aA

6

二、回路关联矩阵 B

3

1 2 1 、回路关联矩阵 B

行：代表回路序号

列：代表支路序号

矩阵元素取值 :

0

1

1

ijb —— 反向关联：支路 j 与回路 i 关联 ,支路 j方向与回路 i 方向相反。—— 无关联：支路 j 与回路 i 没有关联。

2、基本回路关联矩阵 Bf

—— 同向关联：支路 j 与回路 i 关联 ,支路 j方向与回路 i 方向一致。

7

三、割集关联矩阵 C

1 、割集关联矩阵 C

行：代表割集序号

列：代表支路序号

矩阵元素取值 :

0

1

1

ijc —— 反向关联：支路 j 与割集 i 关联 ,支路 j方向与割集 i 方向相反。—— 无关联：支路 j 与割集 i 没有关联。

2 、基本割集关联矩阵 Cf

—— 同向关联：支路 j 与割集 i 关联 ,支路 j方向与割集 i 方向一致。

8

对于一个有向图，选一棵树，支路编号先树支后连支。则有：

或

lt AAA

lt BBB

lt CCC

1tB

lC1

Ttl BC

Tlt CB

Ttl BC

ltTt AAB 1

lt AA 1

故有：

110100

001110

011001

][A

100110

010111

001011

][ fB

110100

111010

011001

][ fC

四、 A、Bf、Cf 关系

9

习题： 10-7 求 Bf、 Cf

][ fB

树支： 1 、 2 、 3 、 5、 9

1110876495321

1 –1 –1 0 0 1 0 0 0 0 0

0 1 0 -1 0 0 1 0 0 0 0

0 1 1 -1 0 0 0 1 0 0 0

-1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0

0 1 0 0 -1 0 0 0 0 1 0

0 -1 -1 0 1 0 0 0 0 0 1

1tB

lf CC 1][ T

tl BC

][ fC

1 0 0 0 0 -1 0 0 1 0 0

0 1 0 0 0 1 -1 -1 0 -1 1

0 0 1 0 0 1 0 -1 0 0 1

0 0 0 1 0 0 1 1 -1 0 0

0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 -1

10

10-3 节点法一、标准支路伏安关系

二、矩阵形式支路伏安关系 :

或

skskkkkk UIZIZU

skskkkkk IUYUYI

ssbbbb UIZIZU ss

IUYUYI bbbb或

其中： 支路阻抗矩阵:bZ 支路导纳矩阵:bY

列向量分别为支路电流、电压、

bb UI

压源列向量分别为支路电流源、电、

ss UI

11

110100

000111

101001

][A

u1 = un2 – un1

u2 = un2

u3 = un2 – un3

u4 = un1

u5 = un3

u6 = un3 – un1

三、支路电压与节点电压关系 :

其中：

四、支路电流关系：

nnn

IUY

0IA b

nT

b UAU

（矩阵形式的KCL）

五、 节点电压方程

（矩阵形式的 KVL）(bx1) (nx1)(bxn)

(bx1)(nxb)

(nx1) (nx1)(nxn)

-i1 + i4 –i6 = 0

i1 + i2+ i3 = 0

-i3 + i5 + i6 = 0

（节点导纳矩阵）

（节点电流源列向量）

)( ssbb

IUYUYI bb

Tbn AAYY

ssn

UAYIAI b

12

六、节点法基本步骤：

1 、画出拓扑图，选参考点，其余节点编号；2 、支路编号，规定支路方向；3 、写出矩阵： ；、、、

ssb UIYA

4 、求： Tbn AAYY

5 、解：

sbsn UAYIAI

nnn IUY

6 、求：

nT

b UAU

ssbbbb IUYUYI

13

10010

00111

01001

][A

例： 利用节点法求图示电路各支路电流、支路电压和各支路消耗功率。

① ② ③

1 2

34 5

解：

0

1

0

0

0

]U[ s

1

0

0

0

0

]I[ s

10000

02000

00300

00010

00001

]Y[ b

Tbn AAYY

sbsn UAYIAI

nnn IUY

210

151

013

1

0

2

14

七、含互感电路分析例：利用节点法求图示电路各支路电压。

① ②

1 2 3 4

sUIRU 111

3222 IMjILjU

2333 IMjILjU

44

4

1I

CjU

]U[I]Z[]U[ sbbb

4

3

2

1

b

Cj

1000

0LjMj0

0MjLj0

000R

]Z[

1bb Z]Y[

4

2

3

1

b

Cj000

0/L/M0

0/M/L0

000R/1

]Y[

Tbn AAYY

sbsn UAYIAI

nnn IUY

)MLL(j 232 其中

15

八、含受控电流源电路分析

2 、利用节点法求图示电路各支路电流。

① ② ③

1

2

3

4

5

1 、含有受控源的标准支路

ssbbbb IUYUYI

54

4

3

2

1

b

R/1C2j000

0Cj000

00Lj

100

000R/10

0005R/1

]Y[

]UAYIA[U]AAY[ sbsnT

b

16

含受控电流源一般处理方法：

2 、考虑受控源修正 [Yb]o为 [Yb]:

1 、暂不考虑受控源建立 [Yb]o;

54

4

3

2

1

b

R/1C2j000

0Cj000

00Lj

100

000R/10

0005R/1

]Y[

5

4

3

2

1

ob

R/10000

0Cj000

00Lj

100

000R/10

0000R/1

]Y[

1) 控制量用支路电压表示；

2 ）参考标准支路规定进行修正： 受控源所在行、控制量所在列：填写控制系数

17

九、改进节点法（恒压源处理）

2 、整理、化简方程、求解

① ②

③1

2

34

5

1 、设恒压源电流，列写电路方程

6

I6

I4

18

10-4 基本回路法

一、标准支路伏安关系

二、矩阵形式支路伏安关系 :

skskkkkk UIZIZU

ssbbbb UIZIZU

其中： 支路阻抗矩阵:bZ

三、支路电压关系 :

0UB bf

（矩阵形式的 KVL）

u4 - u2 + u1 = 0

u5 - u2+ u3 = 0

u6 - u1 + u3 = 0

100101

010110

001011

]B[ f

19

四、支路电流与基本回路电流关系：

其中：（回路阻抗矩阵）

Tfbfl BZBZ

slll UIZ

]IZBUB[I]BZB[ sbfsflT

fbf

lT

fb IBI

（回路电压源列向量）

（矩阵形式的KCL）五、 基本回路电流方程

i1 =iL1 - iL3

i2 = -iL1 - iL3

i3 = iL2 + iL3

i4 = iL1

i5 = iL2

i6 = iL3

100101

010110

001011

]B[ f

0UB bf

ssbbbb UIZIZU

lT

fb IBI

sbfsfsl IZBUBU

20

六、基本回路法基本步骤：

1 、画出拓扑图，选一棵树；2 、支路编号 ( 先树支后连支或反之 ) ，规定支路方向；3 、写出矩阵：

；、、、

ssbf UIZB

4 、求：5 、解：

6 、求：

Tfbfl BZBZ

sbfsfsl IZBUBU

slll UIZ

lT

fb IBI ssbbbb UIZIZU

21

例： 利用基本回路法求图示电路各支路电流、支路电压和各支路消耗功率。

1 2

34 5

解：

10110

01101]B[ f

10000

02/1000

003/100

00010

00001

]Z[ b

0

1

0

0

0

]U[ s

1

0

0

0

0

]I[ s

Tfbfl BZBZ

3/123/1

3/12/13/11

sbfsfsl IZBUBU

1

1

slll UIZ

25/13

25/16]I[ l

lT

fb IBI

22

10-5 基本割集法一、标准支路伏安关系

二、矩阵形式支路伏安关系 :

其中：

三、支路电流关系 :

skskkkkk IUYUYI

ssbbbb IUYUYI

支路导纳矩阵:bY

0IC bf

（矩阵形式的KCL）

110100

011010

101001

]C[ f

i1 - i4 + i6 = 0

i2 + i4 + i5 = 0

i3 - i5 - i6 = 0

23

四、支路电压与基本割集电压关系：

其中：（割集导纳矩阵）

Tfbft CYCY

sttt IUY

sbfsfst UYCICI

tT

fb UCU

（割集电流源列向量）

五、 基本割集电压方程

（矩阵形式的 KVL）

110100

011010

101001

]C[ f

u1 = uC1

u2 = uC2

u3 = uC3

u4 = uC2 – uC1

u5 = uC2 – uC3

u6 = uC1 – uC3

ssbbbb IUYUYI

0IC bf

tT

fb UCU

]UYCIC[U]CYC[ sbfsftT

fbf

24

六、基本割集法基本步骤：

1 、画出拓扑图，选一棵树；2 、支路编号 ( 先树支后连支或反之 ) ，规定支路方向；3 、写出矩阵：

；、、、

ssbf UIYC4 、求：

5 、解：

6 、求：

Tfbft CYCY sbfsfst UYCICI

sttt IUY

tT

fb UCU ssbbbb IUYUYI

25

例： 利用基本割集法求图示电路各支路电流、支路电压和各支路消耗功率。

1 2

34 5

解：

11100

10010

01001

]C[ f

10000

02000

00300

00010

00001

]Y[ b

0

1

0

0

0

]U[ s

1

0

0

0

0

]I[ s

Tfbft CYCY

612

120

203

sbfsfst UYCICI

1

1

2

sttt IUY

1

13

16

25

1U t

26

几种分析方法小结：

节点电位法 基本回路法 基本割集法基本变量

关联矩阵

支路伏安关系

矩阵形式 KVL

矩阵形式 KCL

网络方程

其中相关矩阵：

0IC bf

0IA b

0UB bf

ss

IUYUYI bbbb ss

IUYUYI bbbb

ssbbbb UIZIZU

nb

UAU T

lfb

IBI T

tfb

UCU T

n

U l

I t

U

sttt IUY

nnn IUY

T

fbft CYCY

sbfsfst UYCICI

Tbn AAYY

sbsn UAYIAI

slll UIZ

T

fbfl BZBZ

sbfsfsl IZBUBU

][A ][ fB ][ fC

27

10-6 特勒根定理 (Tellegen’s Theorem)

一、特勒根定理 :

1 、定理一： 设网络有 n 个节点、 b 条支路。支路电压为 u1 、 u2 …… 、 ub；

支路电流为 i1 、 i2 …… 、 ib。

则有：

定理证明 意义 : 功率守恒定理

02211 bbiuiuiu

0:1

k

b

kkiu或 0iuT

28

2 、定理 二 :

设网络 N 有 n 个节点、 b 条支路 :

定理证明 意义 : 似功率守恒

0ˆˆˆ 2211 bbiuiuiu

bb iiiuuu 、、支路电流、、支路电压 2121 :;:

bb iiiuuu

、、支路电流、、支路电压 2121 :;ˆˆˆ:

设网络 Ñ 有 n 个节点、 b 条支路 :

且网络 N 与网络 Ñ 拓扑图完全相同，则

02211

bb iuiuiu

29

二、应用1 、复功率守恒定理的证明 0

1

b

k

kS

证明 :

0IU *kk

正弦激励下两个网络 N和 Ñ 具有相同的拓扑结构：

;UUU: b21

、、支路电压

;III: b21

、、支路电流

网络 N ： b 条支路 : 网络 Ñ ： b 条支路 :;UUU: *

b*

2*

1

、、支路电压

;III: *b

*2

*1

、、支路电流

（各网络中支路电流与支路电压方向关联）由特勒根定理，有

0IU k*

k

0S *k 0)jQP( kk

0Pk 0Qk （无物理意义）

30

2 、互易定理证明

证明： ooss IUIU

则在数值上若在数值上 ,

注： P 为无任何电源的网络。

İ1 İ2

*1U

*2U

1U

2U

由于两个网络 N和 Ñ 具有相同的拓扑结构，由特勒根定理，有

代入上式，有

0)IU(IUIU *kk

*22

*11

0)IU(IUIU k*

k2*

21*

1

kkk IZU

又因*

kk*

k IZU

0)IIZ(IUIU *kkk

*22

*11

0)IIZ(IUIU k*

kk2*

21*

1

2*

21*

1*

22*

11 IUIUIUIU

二式相减，有

osso IU)I(U

（得证）

İ1* İ2

*

31

3 、举例例 1 、图示网络中， 5 电阻消耗功率为 125W ，求 Is2 。

1u

2u

1u

2u

解： 由特勒根定理，有

0)iiR(iuiu kkk2211

0)iiR(iuiu kkk2211

二式相减，有

2211 iuiu

2211 iuiu

u1 = 10V, u2 =5V

i1 = -2A, i2 = 0

11 i5u

A5

R

Pi1

A20iI 22s

32

例 2 、 图示网络中，已知：R2=2: U1 =4V,I1=2A, U2

=2V;

R2=1: U1 =6V,I1=3.6A,

求U2 =?解： 由特勒根定理，有

0)IIR(IU)I(U kkk2211

0)IIR(IU)I(U kkk2211

2211 IU)I(U

2211 IU)I(U

U1 = 4V, U2 =2V

I1 = 2A, I2 = 1A

V6U1

A6.3I2

22 I1U

A4.2I2

V4.2U2

二式相减，有