ערכים עצמיים בשיטות נומריות
DESCRIPTION
ערכים עצמיים בשיטות נומריות. משוואה אופינית. X מציין וקטור עצמי מציינת ערך עצמי תואם לוקטור. דוגמא:. המשך. הדטרמיננטה של המטריצה צריכה להיות שווה לאפס. חישוב משוואה אופינית על פי הדטרמיננטה. חישוב הוקטורים העצמיים. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
ערכים עצמיים בשיטות ערכים עצמיים בשיטות נומריותנומריות
משוואה אופיניתמשוואה אופיניתXמציין וקטור עצמי
מציינת ערך עצמי תואם לוקטור A x xA x I x x[A I] 0A I 0 or | I A] 0
::דוגמאדוגמא
221
121
22
xxxxxx
2
1
2
1
00
1221
xx
xx
00
00
1221
2
1
2
1
xx
xx
המשךהמשך
00
1221
2
1
xx
012
21
הדטרמיננטה של המטריצה צריכה להיות שווה לאפס
חישוב משוואה אופינית על פי הדטרמיננטה
04112
21 2
0421 2 0322
13
חישוב הוקטורים העצמייםחישוב הוקטורים העצמיים
כאשר המטריצה לא רגולרית יש אין סוף אפשרויות וצריך לבחור את אחד הבסיסים למרחב הפתרונות
00
1221
2
1
xx
00
2222
2
1
xx
מציבים במטריצה האופינית = 3על מנת למצוא את הוקטור המתאים ל את הערך העצמי ובודקים איך יראה הוקטור שמכפלתו במטריצה תהיה שווה
לאפס
......המשךהמשך
ונמצא את t=1אז נציב
ולכן כל וקטור מהצורה שבו שני הרכיבים זהים 3יהווה וקטור עצמי לערך עצמי
2 12
2 2 1 0 1x t x t x t2 2 x 0 1
המשך...המשך...
-1אותו תהליך מתבצע לערך עצמי השני
1
2
2 2 x 0 1x t2 2 x 0 1
PPower Methodower Methodכדי למצוא את הערך העצמי המקסימאלי
אנחנו יכולים להציג כל וקטור כבסיס הנפרש על ידי הוקטורים העצמיים
nn332211 x
נבצע הכפלה בשני הצדדים במטריצה
Power MethodPower Method
Aובגלל ש
nnn333222111 xA
ונכפיל עוד פעם 32
nn32332
2221
211
2 xA
3knn3
k332
k221
k11
k xA
ועוד פעם
Power MethodPower Method
נניח שהערך העצמי הראשון הוא הגדול ביותר ונוציא אותו מחוץ לסוגריים
שואף לאינסוף נקבל את הביטוי הבאkכאשר
3
k
1
nn2
k
1
2211
k1
k
xA
k as 11k1
k xA
Power MethodPower Method
כאשר ננרמל את שני צידי המשוואה בנורמה אין סוף )בחירת האיבר המקסימאלי בערך מוחלט בווקטור(
אזי
k as 1
1
1k
1k
1k
1k
0k
0k
k
xAxAu
Power MethodPower Method שנבחר כאשר נעשה את האיטרציה אין סוף uמכאן נובע שעבור כל וקטור
פעמים תוך כדי נרמול בנורמה אין סוף אנחנו נשאף לווקטור העצמי שמייצג את הערך העצמי המקסימאלי
lim and 1kk1-k
1-kk
uAuAuu
1-k
1-k11-k11-k u
AuuAu
Power Method Power Method אלגוריתםאלגוריתם
k k 1x x
התחלתיxבחר וקטור •
כל עוד•
• k
k 1
x' A xx'x x'
back tostep2
דוגמאדוגמאConsider the follow matrix A
100120014
A
Assume an arbitrary vector x0 = { 1 1 1}T
Example of Power MethodExample of Power Method
Multiply the matrix by the matrix [A] by {x}
4 1 0 1 50 2 1 1 30 0 1 1 1
Normalize the result of the product
5 13 5 0.61 0.2
Example of Power MethodExample of Power Method
0435.04783.02174.4
0435.0217.01
100120014
0435.0217.01
6.4 2.0
16.44 1 0 1 4.6
0 2 1 0.6 10 0 1 0.2 0.2
0183.01134.01
2174.4 0435.0
4783.02174.4
Example of Power MethodExample of Power Method
0103.02165.01134.4
0183.01134.01
100120014
0025.00526.01
1134.40103.02165.01134.4
As you continue to multiple each successive vector = 4 and the vector uk={1 0 0}T
Power MethodPower Method
יתרונות: תמיד מתכנס
חסרונות: מתכנס רק לערך עצמי אחד )המקסימאלי(
ישנם שיטות לגלות עוד ערכים עצמיים מצריכות הבנה במבנה של המטריצה
Shift MethodShift Method ניתן לגלות Aאם ידוע אחד הערכים העצמיים של
לפחות עוד ערך עצמי אחד על ידי טכניקת הזזה
xsxIsxA
Shift MethodShift Method לאחר Bננסה למצוא את הערך העצמי של
את הערך העצמי הידוע Aשהורדנו מממטריצה מהאלכסון
IAB max
כדי למצוא power methodעכשיו נפעיל את שיטת Bאת הערך העצמי המקסימאלי של
::לדוגמאלדוגמא4 אותה מטריצה מקודם והערך העצמי שמצאנו Aתהי
500120010
100010001
4100
120014
B
x=[1 1 1]ניקח את אותו ניחוש של וקטור
Example of Power MethodExample of Power Method
וננרמלAxנכפיל את
51
1
111
500120010 1 0.2
1 5 0.65 1
Example of Power MethodExample of Power Method
112.004.0
5 56.02.0
56.02.0
12.02.0
500120010
- נוסיף את מה 5לאחר כמה איטרציות נמצא שהערך העצמי הוא A של מטריצה 1-שהחסרנו ונקבל את הערך העצמי
145max
Inverse Power MethodInverse Power Methodכדי לגלות את הערך העצמי המינימאלי מחשבים את הערך העצמי
וההופכי של הערך הנמצא הינו הערך Aהמקסימאלי של ההופכית של Aהעצמי המינימאלי של
xxA xAxAA 11
xAx 11
xBx