استخدام برنامج ماثيماتيكا كلغة برمجة فى مجال الاحصاء...

١

Mathematica استخدام برنامج كلغة برمجة فى مجال االحصاء االستداللى

تأليف ثروت محمد عبد المنعم/ الدكتورة

أستاذ مشارك جامعة الدمام

)سابقا(قسم الرياضيات –كلية العلوم بالدمام

م٢٠١٢

٣

ى رف ف ى الش ان ل ى ك وھلى والت ال الع دكتورة من ى هللا ال ى ف ى ابنت إل

الة ة رس دكتوراة ومناقش تیر وال ة الماجس ى مرحل ا ف دریس لھ التا ة بھ دكتوراه الخاص دیر .ال رام والتق م واالحت ا االدب الج ت فیھ د لمس وق

ل راف بالجمی ى .واالعت ى اقص د ان یعط تاذ ال ب ل اس ان ك ن ب ى اؤم والننده ا عن وق م م ویتف ن العل ل م ھ لینتھ ى ل وة االول ون الخط ى تك ذة حت لتلمی

ا ر تفوق ون اكث د ان یك ل الب ل جی ان ك ن ب ى اؤم ك النن د ذل تاذه بع ى اس علم دم العل ى یتق ھ حت ذى قبل ل ال ن الجی د . م ك وق البتى ذل ت ط د تفھم وق

اث ن االبح ر م ة بكثی ادالت الخاص ك المع ا بف الل قیامھ ن خ ك م ت ذل لمسة با دى الخاص ة تمھی ى مرحل ا ف ى لھ الل تدریس زى خ ل البیی لتحلی

وراه ل .دكت ى عم دء ف ى الب ا عل ى جمعتھ روة الت ذه الث جعتنى ھ د ش ولقدم ل متق ذتى فص ة تلمی ت بعمل ا قام ون م زى تك ل البیی ى التحلی اب ف كت

ھ اء من ى االنتھ ى عل اب وهللا یعینن ذا الكت ى ھ وف .ف اب س ذا الكت وھت ى مس اب االول عل ون الكت ىیك الم العرب ب ، وى الع إن الكت م ف وللعل

ادرة رع ن ذا الف ى ھ ة ف دنیا .االجنبی ى ال ة ف حة والعافی ا الص ال هللا لھ فاس .والجنة فى االخرة

ثروت محمد عبد المنعم. د

٤

بسم هللا الرحمن الرحیم

تمھید

ى ى آ الحمد رب العالمین والصالة والسالم عل د وعل ھ أشرف المرسلین محم ل

ذي . وصحبھ أجمعین دانا هللا ال وال أن ھ دي ل ا لنھت ا كن دانا وم أما بعد، فالحمد الذي ھ .أنعم علي بكتابة ھذا الكتاب تلبیة لنداء التعریب الذي یتبناه الكثیر من العلماء والمثقفین

امج دم برن ة Mathematicaیخ ة المختلف ات العلمی ن التخصص را م ا كبی قطاع

ة ات الحسابیة العددی إجراء العملی وم ب المتعارف Numerical Calculationحیث یقة و دوال المثلثی علیھا مثل الجمع والطرح والقسمة وحساب االسس واللوغارتمات و الات إجراء العملی وم ب ذلك یق ة وك داد المركب ة او االع داد الحقیقی واء لالع ة س الزائدی

ة ل Symbolicالریاضیة الرمزی رة من الریاضیات مث روع كثی ى ف ا ف المتعارف علیھر الخطى واالحصا ادالت التفاضلیة الجب ة والمع دوال الخاص ل وال ل والتكام ء والتفاض

ة ة الخطی ددى والبرمج ل الع رة او . والتحلی واء المباش دوال س م ال وم برس ا یق كماد الث ابع دین او ث ى بع ة ف تخدام . البارامتری ن اس ا یمك امج كم Mathematicaبرن

ذا یعجز حلھا اكلغة برمجة لكتابة برامج تحل مشكالت كبیرة مر واحد وھذا ھدفنا فى ھتداللى اء االس ال االحص ى مج ن ف اب ولك رامج .الكت ذه الب ق ھ وف ترف ة (وس المكتوب

ع ) 5باالصدار ال م مع الكتاب وفى كل فصل سوف یتم شرح البرنامج الخاص بكل مثى شرح كیفیة استخدام البرنامج عن طریق شرح كیفیة استبدال المدخالت المعروضة ف

ى .لمدخالت الخاصة بمستخدم الكتابالبرنامج با ة التعرف عل ایضا سوف یتم شرح كیفیك لسھولة التعرف .المخرجات ھ وذل وسوف یاخذ كل برنامج نفس رقم المثال الخاص ب

. علیھا یصلح وم تخصص احصاء ، كم ات العل رر لطالب كلی اب یصلح كمق ھذا الكت

ا ات العلی الب الدراس لط ررا ون مق وم ألن یك ث یق اء حی ى االحص ون ف المتخصصامج ھ ببرن ى المام افة إل اء باالض ى االحص ص ف دریس متخص ة ت و ھیئ دریس عض بالت

Mathematica ، ى ة ف رامج المرفق م الب الى فھ امج وبالت ر البرن دریس اوام حیث یبدا بتر لوب اخ رامج باس ذه الب ة ھ ادة كتاب ة اع ب باللغ ام الطال ى الم اء عل ن بن اب ویمك الكت

ى وال اعده ف ى تس ة والت ن اللغ ب م ارة الطال زداد مھ ك لی ائج وذل س النت ى نف ول عل حصھ ل فی ذى یعم رع ال ال الف ى مج رامج ف ل ب ى عم دكتوراه ف تیر وال الة الماجس . رس

ة و ل الطلب امج مث ذا البرن ل المستخدمین لھ لك ألن یكون مرجعا یصلح ھذا الكتاب أیضاال واعضاء ذین یلمون المھندسین ورجال االعم دریس فى مجال االحصاء وال ة الت ھیئ

امج ، باللغة والذین لدیھم مبادئ فى علم االحصاء ة عدم االلمام بالبرن ھذا ویمكن فى حال . االستعانة بالمتخصصین فى ادخال البیانات والحصول على المخرجات

٥

عنت وفي وضع ھذا الكتاب استعنت بكثیر من المراجع العربیة واألجنبیة كما است تیر ة الماجس ي مرحل ا ف ات العلی الب الدراس رر لط ذا المق دریس ھ ي ت ي ف بخبرتتیر ة الماجس ي مرحل ائیة ف ارات اإلحص ي االستش ي ف تعنت بخبرت ا اس دكتوراه وكم وال

.والدكتوراه ا ال كم ذا المج ى ھ ى ف الم العرب توى الع ى مس ع االول عل اب المرج ذا الكت ر ھ ویعتب

اب ا ن الكت ره افضل م ى اعتب ھ ف ذى استعنت ب ذا المجال وال ى ھ ھ ف اظر ل ى والمن الجنب . تدریس مقرر حاسب الى متقدم لطلبة الدكتوراه

ا الفصل ة، أم یحتوي ھذا الكتاب على سبعة فصول، یقدم الفصل األول توزیعات المعاینرق روض، ویتط ارات الف ث باختب ل الثال تم الفص ا یھ ة ، بینم رات الثق تم بفت اني فیھ الث

ازج ا امس نم ل الخ دم الفص اط، ویق یط واالرتب دارالخطى البس ى االنح ع إل ل الراب لفصة ر خطی ة والنمازج الغی ة الثانی ن الدرج دار م ازج االنح دد ونم ، االنحدار الخطى المتع

ارات ابع االختب ل الس دم الفص را یق این، واخی ل التب دم تحلی ادس فیق ل الس ا الفص أم .الالمعلمیة

ة لقضایا البحث وأسأل هللا أن أك ود المتواضع خدم ذا المجھ ي ھ ت ف د وفق ون ق

.العلمي في وطننا العربي

ل ذا العم ر ھ ة لنش ي الفرص ت ل ي أتاح ر الت ى دار النش كر إل ھ بالش ا أتوج كم .العلمي .وإنني أرحب بكل نقد بناء یھدف إلى األفضل، وما الكمال إال وحده

وهللا ولي التوفیق

ثروت محمد عبد المنعم. د

٦

توزيعات المعاينة : الفصـل األول مقدمة )١ -١( توزیعات المعاینة الطبیعیة )٢ -١( توزیعات المعاینة للمتوسط )٣ -١( توزیعات المعاینة للفرق بین متوسطي مجتمعین )٤ -١( العینیة للنسبالتوزیعات )٥ -١( tتوزیع )٦ -١( توزیع مربع كاى )٧ -١( Fتوزیع )٨ -١(

فترات الثقة: الفصـل الثاني مقدمة) ١ -٢( فترة ثقة لمتوسط المجتمع )٢ -٢(1فترة ثقة للفرق بین متوسطى مجتمعین )٣ - ٢( 2

للنسبةفترة ثقة )٤ -٢( ن فترة ثقة للفرق بین نسبتی )٥ -٢( فترة ثقة للتباین )٦ -٢( فترة ثقة لنسبة تباینین) ٧ -٢(

اختبارات الفروض: الفصل الثالـث الفروض االحصائیة )١ -٣( اختبارات من جانب واحد او من جانبین )٢ -٣( اختبار حول متوسط المجتمع )٣ -٣( 2اختبارات حول تباین المجتمع )٤ -٣( اختبارات تخص تباینى مجتمعین )٥ -٣( اختبارات تخص المتوسطات )٦ -٣( لالزواج tاختبارات )٧ -٣( اختبارات تخص نسبة مجتمع )٨ -٣( نسبتیناختبارات تخص الفرق بین )٩ -٣( االنحدار الخطى البسيط واالرتباط: الفصل الرابع

مفاھیم اساسیة )١ -٤( مقدمة فى االنحدار الخطى البسیط )٢ -٤( شكل االنتشار )٣ -٤(

٧

نموزج االنحدار الخطى البسیط )٤ -٤( فروض نموزج االنحدار الخطى البسیط )٥ -٤( طریقة المربعات الصغرى )٦ -٤( تحلیل االنحدار )٧ - ٤( 2تقدیر )٨ - ٤( معامل التحدید البسیط )٩ - ٤( استدالالت تخص معامالت االنحدار )١٠ - ٤( 1فترة ثقة للمعلمة )١ -١٠ -٤( اختبارات فروض تخص المیل )٢ -١٠ -٤( 0فترة ثقة للمعلمة )٣ -١٠ -٤( 0اختبارات فروض تخص )٤ -١٠ -٤( التنبؤ )١١ - ٤(

مخالفات نموزج االنحدار وكیفیة اكتشافھا بالبواقى )١٢ - ٤( رسوم البواقى ) ١ -١٢ -٤(

رسوم بواقى اخرى الختبار االعتدال )٢ -١٢ -٤( اختبار نقص االعتدال )٣ -١٢ -٤( اختبار خطیة االنحدار )١٣ - ٤( تحویالت الى الخط المستقیم )١٤ - ٤( النموزج االسى )١ -١٤ -٤( نموزج القوى )٢ -١٤ -٤( نموزج یعطى معادلة االنحدار المقدرة على الشكل ) ٣ -١٤ -٤(

0 1y b b x

اكتشاف وتصحیح عدم ثبات التباین )١٥ - ٤( كوادت الكتشاف عدم ثبات التباین –طریقة جولد )١ -١٥ -٤( تصحیح عدم ثبات التباین) ٢ -١٥ -٤( طریقة لحساب االوزان ) ٣ -١٥ -٤( معامل االرتباط الخطى البسیط )١٦ - ٤( نمازج االنحدار الخطى المتعدد ونمازج االنحدار : الخامسالفصل

من الدرجة الثانية والنمازج الغير خطية المتعدد الخطى االنحدار )١ -٥( معامل التحدید المتعدد )٢ -٥( االنحدار من الدرجة الثانیة )٣ -٥( اكتشاف مخالفات فروض التحلیل فى االنحدار المتعدد )٤ -٥(

رسوم البواقى ) ١ -٤ -٥( البواقى المعیاریة وبواقى ستودنت ) ٢ -٤ -٥(

٨

استخدام مصفوفة القبعة للتعرف على مشاھدات قاصیة ) ٣ -٤ -٥( xفى قیم

استخدام بواقى ستودنت المحذوفة للتعرف على قیم قاصیة )٤ -٤ -٥( للمتغیر التابع

تحدید المشاھدات المؤثرة) ٥ -٤ -٥(

االرتباط الذاتى ) ٦ -٤ -٥( مشكلة عدم الخطیة) ٧ -٤ -٥( االرتباط الخطى المتعدد وطرق الكشف علیھ) ٨ -٤ -٥(

نمازج االنحدار الغیر خطیة )٥ -٥( تحليل التباين: الفصـل السادس

مقدمة )١ -٦( :التصنیف االحادى )٢ -٦(

اختبارات تجانس عدة تباینات ) ١-٢-٦( كلز للمدى المتعدد–اختبار نیومن ) ٢-٢-٦(

التصنیف الثنائى ، مشاھدة واحدة فى كل خلیة )٣ -٦( التصنیف الثنائى ، عدة مشاھدات فى كل خلیة )٤ -٦( بعض تصامیم التجارب البسیطة )٥ -٦(

التصمیم :تصمیم و تحلیل التجارب ذات العامل الواحد) ١ -٥ -٦( للتعشیةالتام

تجارب ذات العامل (تصمیم القطاعات الكاملة العشوائیة ) ٢ -٥ -٦( )الواحد

تجارب ذات العامل الواحد: تصمیم المربع الالتیني ) ٣ -٥ -٦( االختبارات الالمعلمية: الفصـل السابع

مقدمـة )١ -٧( اختبار مربع كاي لالستقالل )٢ -٧( اختبار مربع كاي للتجانس )٣ -٧( اختبار اإلشارة لعینة واحدة )٤ -٧( اختبار إشارة الرتب )٥ -٧( اختبارات تتعلق بمعلمة النسبة )٦ -٧( اختبار الدورات )٧ -٧( "عینة مزدوجة"اختبار اإلشارة لعینتین مرتبطتین )٨ -٧( Mann-Whitney-Wilcoxonاختبار )٩ -٧( Kruskal-Wallisاختبار )١٠ -٧( اختبار فریدمان لتحلیل التباین للرتب في اتجاھین )١١ -٧(

٩

اختبار كوكران للعینات المرتبطة )١٢ -٧( اختبارات حول االرتباط )١٣ -٧(

المراجع المالحق

١٠

فصل األولفصل األولالال المعاینةالمعاینة توزیعاتتوزیعات

١١

Introductionمقدمة ) ١-١(

یھتم فرع اإلحصاء االستداللي بالتعمیم والتنبؤ، فعلى سبیل المثال یمكن القول أن متوسط دخل

. في السنة وذلك بناء على عینة عشوائیة اختیرت من ھذا البلد $86000الفرد في بلد ما من % 80وبتوضیح آخر یمكن أن نتوقع بناء على أراء مجموعة من األشخاص في الشارع أن

كما یمكن التوقع أن عمر المصباح . أصوات الناخبین في مدینة ما سوف تعطى لمرشح معینفإننا نجد . ساعة بدرجة ثقة معینة 1250ساعة و 1150الكھربائي من إنتاج مصنع ما یتراوح بین

في كل مثال من األمثلة السابقة، تم حساب إحصاء من عینة عشوائیة تم اختیارھا من المجتمع ومن تلك اإلحصاءات أمكننا الوصول إلى جمل تخص قیم المعالم والتي قد تكون ، موضع الدراسةلمة یكون بثقة فقط إذا استطعنا أن نفھم العالقة بین التعمیم من اإلحصاء إلى المع. صحیحة أو غیر .المجتمع وعیناتھ

وبالتالي فإن نفس ، اإلحصاء متغیر عشوائي یعتمد قیمتھ فقط على العینة من المعروف ان ھذه االختالفات في قیم . الحسابات لعینات مختلفة من المجتمع تؤدي إلى قیم مختلفة لإلحصاء

جم المجتمع وحجم العینات والطریقة التي استخدمت في اختیار العینات اإلحصاء تعتمد على ح أو ال نھائي فإن التوزیع اإلحتمالي لإلحصاء في حالة . العشوائیة إذا كان حجم المجتمع كبیرا

ومن ناحیة أخرى فإن السحب . السحب بإرجاع سوف یكون نفسھ في حالة السحب بدون إرجاع عن السحب بدون إرجاع بإرجاع من مجتمع صغیر محدود لإلحصاء یختلف قلیال . یعطي توزیعا

المعاینة مع اإلرجاع من مجتمع محدود یكافئ المعاینة من مجتمع ال نھائي وذلك لعدم وجود أخیرا .حدود لحجم العینة المختارة من المجتمع

:تعریف .sampling distributionالتوزیع اإلحتمالي ألي إحصاء یسمى التوزیع العیني

:تعریف standard errorسمي الخطأ المعیاري یاالنحراف المعیاري للتوزیع العیني ألي إحصاء

.لإلحصاءكما أن الخطأ ، یسمى التوزیع العیني للمتوسط Xفعلى سبیل المثال التوزیع االحتمالي لإلحصاء

.Xالمعیاري للمتوسط ھو االنحراف المعیاري للتوزیع العیني لإلحصاء التطبیقات . في ھذا الفصل سوف ندرس بعض توزیعات المعاینة األكثر استخداما في اإلحصاء

ول نتناولھا في الفص على تلك التوزیعات العینیة تخص مشاكل االستدالل اإلحصائي التي سوف .التالیة

Normal Sampling Distributionsتوزیعات المعاینة الطبیعیة ) ٢-١(

١٢

قدر القیم2

z 1.,05.,01.,001.,0001.,00001للقیم.

لكل عینة ثم . 2σوبتباین µمن توزیع متصل لھ متوسط nإذا أخذنا عینات متكررة من الحجم Yبفرض أن . والذي نفسھ متغیر عشوائي متصل، Yإلحصاء ما yحساب القیمة یتبع توزیعا

:النظریة التالیة تنص على أن. Y وانحراف معیاري Y طبیعیا بمتوسط

: نظریة بمتوسط Yقیمة لإلحصاء yإذا كان طبیعیا ، Yوانحراف معیاري Y والذي یتبع توزیعا :فإن

Y

Y

yz

:یتبع التوزیع الطبیعي القیاسي حیث Zھي قیمة لمتغیر عشوائي Y

Y

YZ .

لإلحصاءات المحسوبة من عینات عشوائیة اختیرت من السابقةنظریة الیمكن تطبیق ، سواء محدودة أو غیر محدودة ، مجتمعات متقطعة والتي التوزیعات العینیة إلحصاءاتھا تقریبا

طبیعیا في حساب ) ١(ھذا ویمكننا استخدام جدول التوزیع الطبیعي في الملحق . تتبع توزیعا سوف نحتاج إلى حساب القیمةو االت التي یأخذھا األحصاء في فترات معینةاالحتم

2

z والتى

تكون المساحة على یمینھا تساوي التي zتمثل قیمة 2 والمستخرجھ من جدول التوزیع

حیث یتم حساب )١(الطبیعى القیاسي فى ملحق 2

P(0 Z z ) .

القیمة بحساب Mathematicaبرنامج یقوم

2

z المثال التالى كما یتضح من.

)١- ١(مثال

:الحــل

:الجاھزة بتحمیل الحزمةوذلك Mathematica سوف یتم حل ھذا المثال بإستخدام برنامجStatistics`ContinuousDistributions االمر التالى من خاللوذلك:

<<Statistics`ContinuousDistributions`

. تتحمل تلقائیا DiscriptiveStatisticsالحزمة الجاھزة وللتذكیر فإن حیثzdist=NormalDistribution[0,1] االمر

١٣

zdist ولحساب قیم عدیدة لـ توزیع الطبیعى القیاسيال یعرف2

z یستخدم االمر:

commonvalues=Map[{#,(100-#)/100,(100-#)/200,Quantile[zdist,(100+#)/200]}&,{90,95,99,99.9,99.99,9

9.999}]//N

2

{x,(100 x) /100, (100 x) / 200,z } وذلك لتقدیر القائمة

:بحیث ان X=90,95,99,99.9,99.999 : من القیم لكل

(100 x) (100 x), .100 200 2

:باستخدام االمر

التالى یتم اظھار الجدول

.وفیما یلى خطوات البرنامج والمخرجات

<<Statistics`ContinuousDistributions` zdist=NormalDistribution[0,1];

commonvalues=Map[{#,(100-#)/100,(100-#)/200,Quantile[zdist,(100+#)/200]}&,{90,95,99,99.9,99.99,99.999}]//N;

TableFormcommonvalues,TableHeadings, "Confidence Level", , 2, z2

Confidence Level 2

z2

90. 0.1 0.05 1.6448595. 0.05 0.025 1.9599699. 0.01 0.005 2.5758399.9 0.001 0.0005 3.2905399.99 0.0001 0.00005 3.89059

99.999 0.00001 5.106 4.41717

TableFormcommonvalues,TableHeadings, "Confidence Level", , 2, z2

١٤

Sampling Distributions of the Meanینة للمتوسط اتوزیعات المع) ٣-١(

إن شكل . أھم توزیع معاینة سوف نتناولھ في ھذا الفصل Xیعتبر توزیع المعاینة للمتوسط

یعتمد على شكل ) التوزیع العیني للمتوسط ( ونوع التوزیع االحتمالي لمجتمع متوسط العینات النظریة اآلتیة تعطي التوزیع العیني للمتوسط إذا كان. المجتمع األصلي الذي اختیرت منھ العینات

طبیعیا .المجتمع األصلي التي اختیرت منھ العینات یتبع توزیعا

: نظریة بمتوسط طبیعیا وانحراف µإذا أخذنا عینات متكررة من مجتمع معروف أنھ یتبع توزیعا

بمتوسط Xفإن التوزیع العیني لإلحصاء σمعیاري طبیعیا Xیتبع توزیعا وانحراف

Xمعیاري n

حیثX وX یرمزان للمتوسط واالنحراف المعیاري على التوالي

.Xللتوزیع العیني لإلحصاء

في كثیر من الحاالت یكون التوزیع االحتمالي للمجتمع األصلي غیر طبیعي ویتطلب األمر .Xمعرفة التوزیع االحتمالي للوسط الحسابي

یساوي متوسط Xلإلحصاء المتوسط الحسابي فإن دفى حالة السحب بارجاع من مجتمع محدو

بینما االنحراف المعیاري . المجتمع الذي اختیرت منھ العینات العشوائیة وال یعتمد على حجم العینةمقسوما على σیعتمد على حجم العینة ویساوي االنحراف المعیاري للمجتمع األصلي Xلإلحصاء

n . المثال التاليللتسھیل سوف نستخدم مجتمعا منفصال منتظما والموضح في:

) :٢- ١(مثال . 4 ,3 ,2 ,1مجتمع محدود یتكون من القیم

nعند سحب عینات عشوائیة من الحجم Xأوجد المدرج التكراري للتوزیع العیني لإلحصاء 4

تحقق أن و مع اإلرجاع2

2X X ,

n

.

Confidence Level 2

z2

90. 0.1 0.05 1.6448595. 0.05 0.025 1.9599699. 0.01 0.005 2.5758399.9 0.001 0.0005 3.2905399.99 0.0001 0.00005 3.89059

99.999 0.00001 5.106 4.41717

١٥

:لــالح

1 2 3 4 2.54

:وانحرافھ المعیاري2 2 2 2(1 2.5) (2 2.5) (3 2.5) (4 2.5) 1.118.

4

.الشكل التالىالمدرج التكراري لھذا المجتمع موضح في

n بفرض أنھ تم اختیار كل العینات من الحجم 2 من ھذا المجتمع بإرجاع والذي یكافئعدد (كل العینات الممكنة التي یمكن اختیارھا التالىیعطي الجدول . المعاینة من مجتمع ال نھائي

. من ھذا المجتمع مع قیمتھا) عینة Nn =42 =16العینات

رقم العینة 1 2 3 4 5 6 7 8

القیم 1,1 1,2 1,3 1,4 2,1 2,2 2,3 2,4

رقم العینة 9 10 11 12 13 14 15 16

القیم 3,1 3,2 3,3 3,4 4,1 4,2 4,3 4,4

nوالتوزیع التكراري لمجتمع متوسط العینات التي حجم كل منھا xلكل عینة تم حساب 2

:التالى شكل الوتوزیعھ التكراري في التالىجدول المعطى في

4 3.5 3 2.5 2 1.5 1 x 1 2 3 4 3 2 1 f التكرار

١٦

طبیعي التالىشكل الفي Xیالحظ أن توزیع المعاینة لإلحصاء المتوسط واإلنحراف . تقریبا : وھما على التوالي یینالسابق ینجدولالتم حسابھا من Xالمعیاري للتوزیع العیني لإلحصاء

X

2

X

f x 40 2.5f 16

f (x 2.5) 10f 16

1.1180.791 .2 n

وفیما یلى Mathematicaسوف یتم حل ھذا المثال بإستخدام برنامج مكتوب بلغة .خطوات البرنامج والمخرجات

a={1,2,3,4} {1,2,3,4} n=2 2 a1=Table[a,{i,n}] {{1,2,3,4},{1,2,3,4}} a2=Outer[List,Apply[Sequence,a1]] {{{1,1},{1,2},{1,3},{1,4}},{{2,1},{2,2},{2,3},{2,4}},{{3,1},{3,2},{3,3},{3,4}},{{4,1},{4,2},{4,3},{4,4}}} a3=Flatten[a2,n-1] {{1,1},{1,2},{1,3},{1,4},{2,1},{2,2},{2,3},{2,4},{3,1},{3,2},{3,3},{3,4},{4,1},{4,2},{4,3},{4,4}} fh=Transpose[a3]

١٧

{{1,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,4,4,4,4},{1,2,3,4,1,2,3,4,1,2,3,4,1,2,3,4}}

{1.,1.5,2.,2.5,1.5,2.,2.5,3.,2.,2.5,3.,3.5,2.5,3.,3.5,4.} <<Statistics`DataManipulation` ff=Frequencies[ax] {{1,1.},{2,1.5},{3,2.},{4,2.5},{3,3.},{2,3.5},{1,4.}} <<Graphics`Graphics` BarChart[ff]

Graphics w[x_]:=Length[x] z=Transpose[ff] {{1,2,3,4,3,2,1},{1.,1.5,2.,2.5,3.,3.5,4.}}

2.5

0.625

0.790569 =Mean[a]//N 2.5 2=Mean[(a-)^2] 1.25

1.11803 xb True

ax ApplyPlus, fhn N

1. 1.5 2. 2.5 3. 3.5 4.

1

2

3

4

xbDotz1, z2

wax

vxbDotz1, z2 xb^2

wax

sxbvxb

s2

١٨

True

:خرجات لھذا البرنامج موفیما یلى المدخالت و ال

المدخالت : اوال من االمر وحجم العینة a={1,2,3,4} قائمةال

n=2 المخرجات : ثانیا

من االمر Xالمدرج التكرارى لتوزیع

BarChart[ff] من االمر Xالمتوسط للتوزیع العیني لإلحصاء

من االمر Xللتوزیع العیني لإلحصاء االنحراف المعیارى و

ومتوسط المجتمع من االمر

=Mean[a]//N واالنحراف المعیارى للمجتمع من االمر

ویمكن اثبات ان

X من االمر xb

والمخرج ھو True


X n

من االمر

والمخرج ھو

True

sxbs

n

xbDotz1,z2

wax

sxbvxb

s2

sxbs

n

١٩

ولھ Nبإرجاع من مجتمع محدود من الحجم nإذا اختیرت كل العینات الممكنة من الحجم :نظریة بمتوسط Xفإن التوزیع العیني لإلحصاء σوانحراف معیاري µمتوسط طبیعیا یتبع توزیعا تقریبا

x وانحراف معیاريx n

وعلى ذلك:

xn

z =

نظریة السابقة صحیحة ألي مجتمع ال. یتبع التوزیع الطبیعي القیاسي Zھي قیمة لمتغیر عشوائي nمحدود عندما 30 .

یساوي Xالمتوسط الحسابي لإلحصاء مجتمع محدود فإنفى حالة السحب بدون ارجاع من

ھو Xاالنحراف المعیاري لإلحصاء والذي اختیرت منھ العینات العشوائیة متوسط المجتمع

XN nN 1n

:للتسھیل سوف نستخدم مجتمعا منفصال منتظما والموضح في المثال التالي

) :٣- ١(مثال

م ة من الحج ات الممكن حبنا كل العین ا س n بفرض أنن 2 ذى تظم وال ا المن من مجتمعندون إرجاع 4 ,3 ,2 ,1مشاھداتھ ة. ولكن ب م حساب متوسط العین ة ت یعطى . x لكل عین

یم كل التالىجدول ال ع ق كل العینات الممكنة التى یمكن اختیارھا من ھذا المجتمع بدون إرجاع م

!Nعدد العینات ( عینة 4! 12(N n)! 2!

). عینة

رقم العینة 1 2 3 4 5 6

القیم 1,2 1,3 1,4 2,1 2,3 2,4

رقم العینة 7 8 9 10 11 12

القیم 3,1 3,2 3,4 4,1 4,2 4,3

م ات من الحج ع متوسط العین ع التكراري لمجتم ي n = 2التوزی الىجدول المعطى ف . الت : التالىشكل الالمدرج التكراري لمجتمع متوسط العینات موضح في

3.5 3.0 2.5 2.0 1.5 x

2 2 4 2 2 f

٢٠

في حالة السحب بدون إرجاع Xأن التوزیع العینى لإلحصاء السابقشكل الیتضح من یمكن حساب السابقجدول المن . n = 2من مجتمع محدود بعیدا عن التوزیع الطبیعى حیث

:على التوالي Xالمتوسط واالنحراف المعیاري لإلحصاء

،X f x 30 2.5 f 12

2

X f (x 2.5) 5 0.645

f 12

.1.118 4 2 N n 0.6454 1 N 12 n

وفیما یلى خطوات Mathematicaسوف یتم حل ھذا المثال بإستخدام برنامج مكتوب بلغة .والمخرجات البرنامج

a={1,2,3,4} {1,2,3,4} n=2 2 a1=Table[a,{i,n}] {{1,2,3,4},{1,2,3,4}} a2=Outer[List,Apply[Sequence,a1]] {{{1,1},{1,2},{1,3},{1,4}},{{2,1},{2,2},{2,3},{2,4}},{{3,1},{3,2},{3,3},{3,4}},{{4,1},{4,2},{4,3},{4,4}}} a3=Flatten[a2,n-1] {{1,1},{1,2},{1,3},{1,4},{2,1},{2,2},{2,3},{2,4},{3,1},{3,2},{3,3},{3,4},{4,1},{4,2},{4,3},{4,4}} l[x_]:=Length[x] m=l[a] 4

٢١

{{1,2},{1,3},{1,4},{2,1},{2,3},{2,4},{3,1},{3,2},{3,4},{4,1},{4,2},{4,3}} q=Transpose[a4] {{1,1,1,2,2,2,3,3,3,4,4,4},{2,3,4,1,3,4,1,2,4,1,2,3}}

{1.5,2.,2.5,1.5,2.5,3.,2.,2.5,3.5,2.5,3.,3.5} <<Statistics`DataManipulation` ff=Frequencies[xa] {{2,1.5},{2,2.},{4,2.5},{2,3.},{2,3.5}} <<Graphics`Graphics` BarChart[ff]

Graphics w=Transpose[ff] {{2,2,4,2,2},{1.5,2.,2.5,3.,3.5}}

2.5

0.416667

0.645497 =Mean[a]//N 2.5 xb True 2=Mean[(a-)^2] 1.25

a4 Dropa3, 1, mn, m1

xa ApplyPlus, qn N

1.5 2. 2.5 3. 3.5

1

2

3

4

xbDotw1,w2

lxa

vxbDotw1, w2 xb^2

lxa

sxbvxb

s2

٢٢

1.11803 ssxb False

True

:وفیما یلى المدخالت و المخرجات لھذا البرنامج

المدخالت : اوال من االمر وحجم العینة a={1,2,3,4} القائمةn=2

المخرجات : ثانیا

من االمر Xالمدرج التكرارى لتوزیع BarChart[ff]

من االمر Xالمتوسط للتوزیع العیني لإلحصاء و

من االمر Xللتوزیع العیني لإلحصاء االنحراف المعیارى و

ومتوسط المجتمع من االمر

=Mean[a]//N واالنحراف المعیارى للمجتمع من االمر


X من االمر xb



xN nN 1n

من االمر

والمخرج ھو

True

sxbs

nmn

m1

xbDotz1,z2

wax

sxbvxb

s2

sxbs

nmn

m1

٢٣

بدون ارجاع من مجتمع محدود من الحجم nإذا اختیرت كل العینات الممكنة من الحجم :نظریةN ولھ متوسطµ وانحراف معیاريσ فإن التوزیع العیني لإلحصاءX طبیعیا یتبع توزیعا تقریبا

xبمتوسط وانحراف معیاريXN nN 1n

Nیسمى المقدار . n

N 1

معامل

Nإذا كان حجم العینة صغیر جدا بالنسبة لحجم النجتمع فإن .التصحیح nN 1

یمكن اسقاطھا من

nوقد جرت العادة على اھمال ھذا الحد عندما تكون .المعادلة .05N.

:تصلة او متقطعة تنص النظریة على سواء كانت م االنھائیةللمجتمعات الكبیرة او

µمتوسط ب Nمن مجتمع كبیر او النھائى nإذا اختیرت كل العینات الممكنة من الحجم :نظریة بمتوسط Xفإن التوزیع العیني لإلحصاء σوانحراف معیاري طبیعیا یتبع توزیعا xتقریبا

xوانحراف معیاري n

وعلى ذلك:

xn

z =

التقریب سوف یكون جیدا إذا كانت . یتبع التوزیع الطبیعي القیاسي Zھي قیمة لمتغیر عشوائي n 30 إذا كانت .بصرف النظر عن شكل التوزیع االصلى الذى اختیرت منھ العیناتn 30

.التقریب سوف یكون جید فقط أذا كان المجتمع ال یختلف كثیرا عن التوزیع الطبیعى العینیة للفرق بین متوسطي مجتمعینالتوزیعات ): ٤- ١(

Sampling Distribution of Different Between Two Populations Means

2وتباینھ 1بفرض أن لدینا مجتمعین األول متوسطھ 1 2والثاني متوسطھ 2وتباینھ

2 . اذا 1nتمثل متوسطات لعینات عشوائیة من الحجم 1Xبفرض أن قیم المتغیر كان السحب بارجاع و

تمثل متوسطات لعینات عشوائیة من المجتمع الثاني 2Xوقیم المتغیر ، اختیرت من المجتمع األول1التوزیع للفروق . ومستقلة عن المجتمع األول 2x x بین الفئتین من متوسطات العینتین

1المستقلتین یسمى التوزیع العیني لإلحصاء 2X X والذى متوسطھ1 2 1 2X X

.وتباینھ

1 2

2 22 1 2X X

1 2n n

) :٤- ١(مثال

٢٤

1Nنفرض أن المجتمع األول من الحجم 3 والتي متوسطھا 6 ,5 ,4ویتكون من القیم:

14 5 6 5

3

:وتباینھا2 2 2

21

(4 5) (5 5) (6 5) 23 3

:ولھما المتوسط 4 ,1المجتمع الثاني یتكون من القیمتین

21 4 2.5.

2

:والتباین2 2

22

(1 2.5) (4 2.5) 9.2 4

1nمن المجتمع األول تم اختیار كل العینات الممكنة من الحجم 2 مع اإلرجاع وحساببنفس الشكل للمجتمع الثاني تم اختیار كل العینات الممكنة من الحجم . لكل عینة 1xالمتوسط

2n 3 2وحسابx الفئتان من كل العینات ومتوسطاتھا معطاة في الجدول التالى. لكل عینة.

رقم 1 2 3 4 5 6 7 8 9 العینة

المجتمع األول

القیم 4 ,4 5 ,4 6 ,4 4 ,5 5 ,5 6 ,5 4 ,6 5 ,6 6 ,6

6 5.5 5 5.5 5 4.5 5 4.5 4 1x

رقم 1 2 3 4 5 6 7 8 العینة

المجتمع الثاني

القیم 1 ,1 ,1 4 ,1 ,1 1 ,4 ,1 1 ,1 ,4 1 ,4 ,4 4 ,4 ,1 4 ,1 ,4 4 ,4 ,4

4 3 3 3 2 2 2 1 2x

1من 72الفروق الممكنة والتي عددھا 2x x التالىجدول المعطاة في.

٢٥

1x 2x

6 5.5 5 5.5 5 4.5 5 4.5 4 5 4.5 4 4.5 4 3.5 4 3.5 3 1 4 3.5 3 3.5 3 2.5 3 2.5 2 2 4 3.5 3 3.5 3 2.5 3 2.5 2 2 4 3.5 3 3.5 3 2.5 3 2.5 2 2 3 2.5 2 2.5 2 1.5 2 1.5 1 3 3 2.5 2 2.5 2 1.5 2 1.5 1 3 3 2.5 2 2.5 2 1.5 2 1.5 1 3 2 1.5 1 1.5 1 0.5 1 0.5 0 4

1التوزیع التكراري لإلحصاء 2X X التالىشكل الومدرجھ التكراري في التالىجدول الفي . 1من الواضح أن المتغیر العشوائي 2X X تقریبا یتبع توزیعا طبیعیا وھذا التقریب یتحسن عندما

:متوسط الفروق لمجتمع العینات المستقلة ھو حیث. n1, n2یزید

1 2 1 2X X .

: حیث التالىجدول الھذه النتیجة یمكن التحقق منھا من البیانات في

1 21 2

1 2X Xf (x x ) 180 2.5 5 2.5 .

f 72

5 4.5 4 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 1 2x x

1 2 6 8 13 12 13 8 6 2 1 f

٢٦

أیضا التباین لفروق المتوسطات المستقلة ھو

1 2

2 22 1 2X X

1 2n n

2 9/ 2 /3 1.08333.3 4

من البیانات في (1.08333)ھذه النتیجة یمكن التحقق منھا بسھولة وذلك بحساب التباین .السابق جدول ال

وفیما یلى خطوات Mathematicaسوف یتم حل ھذا المثال بإستخدام برنامج مكتوب بلغة .البرنامج والمخرجات

a={4,5,6} {4,5,6} n1=2 2 b={1,4} {1,4} n2=3 3 a1=Table[a,{i,n1}] {{4,5,6},{4,5,6}} b1=Table[b,{i,n2}] {{1,4},{1,4},{1,4}} a2=Flatten[Outer[List,Apply[Sequence,a1]],n1-1] {{4,4},{4,5},{4,6},{5,4},{5,5},{5,6},{6,4},{6,5},{6,6}} b2=Flatten[Outer[List,Apply[Sequence,b1]],n2-1] {{1,1,1},{1,1,4},{1,4,1},{1,4,4},{4,1,1},{4,1,4},{4,4,1},{4,4,4}} a3=Transpose[a2]

٢٧

{{4,4,4,5,5,5,6,6,6},{4,5,6,4,5,6,4,5,6}} b3=Transpose[b2] {{1,1,1,1,4,4,4,4},{1,1,4,4,1,1,4,4},{1,4,1,4,1,4,1,4}}

{4.,4.5,5.,4.5,5.,5.5,5.,5.5,6.}

{1.,2.,2.,3.,2.,3.,3.,4.} xa=Outer[Subtract,c1,c2] {{3.,2.,2.,1.,2.,1.,1.,0.},{3.5,2.5,2.5,1.5,2.5,1.5,1.5,0.5},{4.,3.,3.,2.,3.,2.,2.,1.},{3.5,2.5,2.5,1.5,2.5,1.5,1.5,0.5},{4.,3.,3.,2.,3.,2.,2.,1.},{4.5,3.5,3.5,2.5,3.5,2.5,2.5,1.5},{4.,3.,3.,2.,3.,2.,2.,1.},{4.5,3.5,3.5,2.5,3.5,2.5,2.5,1.5},{5.,4.,4.,3.,4.,3.,3.,2.}} ss=Flatten[xa] {3.,2.,2.,1.,2.,1.,1.,0.,3.5,2.5,2.5,1.5,2.5,1.5,1.5,0.5,4.,3.,3.,2.,3.,2.,2.,1.,3.5,2.5,2.5,1.5,2.5,1.5,1.5,0.5,4.,3.,3.,2.,3.,2.,2.,1.,4.5,3.5,3.5,2.5,3.5,2.5,2.5,1.5,4.,3.,3.,2.,3.,2.,2.,1.,4.5,3.5,3.5,2.5,3.5,2.5,2.5,1.5,5.,4.,4.,3.,4.,3.,3.,2.} <<Statistics`DataManipulation` f=Frequencies[ss] {{1,0.},{2,0.5},{6,1.},{8,1.5},{13,2.},{12,2.5},{13,3.},{8,3.5},{6,4.},{2,4.5},{1,5.}} <<Graphics`Graphics` BarChart[f]

Graphics w=Transpose[f]

c1 ApplyPlus, a3n1

N

c2 ApplyPlus, b3n2

N

0. 0.5 1. 1.5 2. 2.5 3. 3.5 4. 4.5 5.

2

4

6

8

10

12

٢٨

{{1,2,6,8,13,12,13,8,6,2,1},{0.,0.5,1.,1.5,2.,2.5,3.,3.5,4.,4.5,5.}} l[x_]:=Length[x]

2.5

1.08333

1.04083 1=Mean[a] 5 2=Mean[b]//N 2.5 1-2xb True 21=Mean[(a-1)^2]//N 0.666667 22=Mean[(b-2)^2]//N 2.25

True

:وفیما یلى المدخالت و المخرجات لھذا البرنامج المدخالت : اوال

من االمر للمجتمع االولللمجتمع االول وحجم العینة a={4,5,6} القائمةn1=2 من االمر الثانىوحجم العینة للمجتمع الثانىللمجتمع b={1,4} القائمةn2=3


1المدرج التكرارى لتوزیع 2X X من االمر BarChart[f]

1المتوسط للتوزیع العیني لإلحصاء و 2X X االمر من

1للتوزیع العیني لإلحصاء االنحراف المعیارى 2X X من االمر

xbDotw1,w2

lss

vxbDotw1, w2 xb^2

lss

sxbvxb

21n1

22n2

vxb

xbDotw1,w2

lss

٢٩


1 2 1 2X X من االمر 1-2xb والمخرج ھو

True ویمكن اثبات ان

1 2

2 22 1 2X X

1 2n n

من االمر

والمخرج ھو

True توسطات المستقلة فقط إذا كان متقتصر الدراسة من االن وفى الفصول التالیة على التوزیع العینى للفروق بین ال

.حجم المجتمع الذى تختار منھ العینات كبیرا او النھائى متقطعة او متصلة )او النھائیین (إذا اختیرت عینات مستقلة من الحجم من مجتمعین كبیرین :نظریة

1بمتوسطى 2, 2وتباینى 21 2, 1على التوالى فإن التوزیع العینى لفروق المتوسطات 2X X تقریبا

بمتوسط یتب طبیعیا :معطى كالتالى تباین وع توزیعا

1 2 1 2X X ,

1 2

2 22 1 2X X

1 2n n

:وعلى ذلك

2 21 21 2

1 2 1 2

n n

(x x ) ( )

z =

كل من التقریب سوف یكون جیدا إذا كان. یتبع التوزیع الطبیعي القیاسي Zھي قیمة لمتغیر عشوائي 1 2n ,n 30 كان كل من إذا .بصرف النظر عن شكل التوزیع االصلى الذى اختیرت منھ العینات

1 2n ,n 30 1التقریب الطبیعى لتوزیع 2X X إذا كان العینتین تم اختیارھما من . یكون جید جدا :مجتمعین طبیعیین فإن

2 21 21 2

1 2 1 2

n n

(x x ) ( )z

sxbvxb

21n1

22n2

vxb

٣٠

1یتبع التوزیع الطبیعى بصرف النظر عن حجم كال من 2n ,n. التوزیعات العینیة للنسب) ٥- ١(

Sampling Distributions of Proportions

بة بفرض أن لدینا مجتمعا ما ة وأن نس وفر فیھا صفة معین ع تت ذا المجتم ردات ھ وأن بعض مفال. pھذه المفردات ھي راد المصابین بتسوس األسنان pفعلى سبیل المث بة األف ون نس د تك ق

ا خ ...في مدینة ما أو نسبة الطلبة المدخنین في كلیة ما أو نسبة الوحدات المعیبة في مصنع م الا nمن الحجم إذا أخذنا عینة عشوائیة. ا xمن ھذا المجتمع ووجدنا من بینھ وفر فیھ رده تت مف

اب م حس xpالصفة، وتn

فة ا الص وفر فیھ ى تت ة والت ي العین ردات ف بة المف ل نس ي تمث والت

م . المعنیة ات متكررة من الحج ذنا عین إن nإذا أخ ع ف ذا المجتم ى Pمن ھ ة إل ر من عین تتغیبة اآلن س. Pأخرى وتمثل قیمة لإلحصاء ي للنس ع العین تقاق التوزی ة اش ى كیفی وف نتعرف عل

:وخصائصھ سواء في حالة السحب بإرجاع أو بدون إرجاع وذلك من األمثلة التالیة

:)٥- ١(مثال ذا n = 2فإذا تم سحب كل العینات الممكنة من الحجم 4 ,3 ,2 ,1مجتمع یتكون من القیم من ھ

ى لإلحصاء ). بإرجاع(المجتمع ع العین اد التوزی وب إیج رقم Pالمطل ل نسبة ظھور ال ذي یمث 4وال :ھما على التوالي Pوإثبات أن المتوسط والتباین للتوزیع العینى لإلحصاء . في العینة

P p,

2P

pq .n

:ل ــالح .فیھا 4یحتوى على كل العینات الممكنة ونسبة ظھور الرقم التالىالجدول

نسبة 4ظھور

عدد مرات 4ظھور

نسبة رقم العینة القیم 4ظھور


رقم العینة القیم

0 0 3,1 9 0 0 1, 1 1

0 0 3, 2 10 0 0 1, 2 2

0 0 3, 3 11 0 0 1, 3 3

0.5 1 3, 4 12 0.5 1 1,4 4

٣١

0.5 1 4, 1 13 0 0 2, 1 5

0.5 1 4, 2 14 0 0 2, 2 6

0.5 1 4, 3 15 0 0 2, 3 7

1 2 4, 4 16 0.5 1 2, 4 8

رقم بة ظھور ال ع التكراري لنس م 4التوزی ات من الحج م اختیارھا من n = 2للعین ي ت الت

ھ ذى حجم ي ) بإرجاع( N = 4المجتمع ال الىجدول المعطاة ف ي الت درجھا التكراري ف وم .التالى شكل ال

P 0 0.5 1

f 9 6 1

ي ع التكراري ف الىشكل الالتوزی ك ألن الت ـین وذل ة الیم و ناحی pملت 0.5 . ت إذا كانp 0.5 فإن التوزیع سوف یكون ملتویا ناحیة الیسار.

: وھما الجدول السابقتم حسابھما من Pالمتوسط والتباین للتوزیع العیني لإلحصاء

Pˆf p 4 0.25 p,

f 16

2

2P

ˆ f (p 0.25) 0.094 f

٣٢

(0.25)(0.75) pq .

2 n

. Mathematicaسوف یتم حل ھذا المثال بإستخدام برنامج مكتوب بلغة

:خرجات لھذا البرنامج موفیما یلى المدخالت و ال

x={1,2,3,4} {1,2,3,4} n=2 2 a=4 4 x1=Table[x,{i,n}] {{1,2,3,4},{1,2,3,4}} x2=Flatten[Outer[List,Apply[Sequence,x1]],n-1] {{1,1},{1,2},{1,3},{1,4},{2,1},{2,2},{2,3},{2,4},{3,1},{3,2},{3,3},{3,4},{4,1},{4,2},{4,3},{4,4}} {{1,1},{1,2},{1,3},{1,4},{2,1},{2,2},{2,3},{2,4},{3,1},{3,2},{3,3},{3,4},{4,1},{4,2},{4,3},{4,4}} {{1,1},{1,2},{1,3},{1,4},{2,1},{2,2},{2,3},{2,4},{3,1},{3,2},{3,3},{3,4},{4,1},{4,2},{4,3},{4,4}} l[x_]:=Length[x] x3=Table[Count[x2[[i]],a],{i,l[x2]}] {0,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,1,1,1,1,2}

{0.,0.,0.,0.5,0.,0.,0.,0.5,0.,0.,0.,0.5,0.5,0.5,0.5,1.} <<Statistics`DataManipulation` ff=Frequencies[px] {{9,0.},{6,0.5},{1,1.}} <<Graphics`Graphics` BarChart[ff]

pxx3n

N

٣٣

Graphics w=Transpose[ff] {{9,6,1},{0.,0.5,1.}}

0.25

0.09375

0.306186 m=l[x] 4 xx=Count[x,a] 1

0.25 q=1-p 0.75 ppb True

True


المدخالت :اوال من االمر وحجم العینة a={1,2,3,4} القائمةn=2

الصفة موضع الدراسة من االمر

0. 0.5 1.

2

4

6

8

pbDotw1,w2

lpx

vpDotw1, w2 pb^2

lpx

spvp

pxxm

N

sppqn

٣٤

a=4 المخرجات : ثانیا

من االمر Pالمدرج التكرارى لتوزیع BarChart[ff]

من االمر Pالمتوسط للتوزیع العیني لإلحصاء و

من االمر Pللتوزیع العیني لإلحصاء االنحراف المعیارى و

من االمر نسبة الصفةو


P p من االمر ppb



Ppqn

من االمر

والمخرج ھوTrue

:)٦- ١(مثال

ال للللبیانات Pأوجد التوزیع العینى لإلحصاء ابقمث ت أن الس دون إرجاع وأثب ان السحب ب إذا ك ھما على التوالي Pمتوسط وتباین التوزیع العیني لإلحصاء

P p,

. 2P

pq N n.n N 1

pbDotw1, w2

lpx

spvp

pxxm

N

sppqn

٣٥

.فیھا 4یحتوى على كل العینات ونسبة ظھور الرقم التالى الجدول

نسبة 4ظھور


رقم القیم العینة

نسبة 4ظھور


رقم العینة القیم

0 0 3,1 9 0 0 1,2 1

0 0 3, 2 10 0 0 1, 3 2

0.5 1 3, 4 11 0.5 1 1, 4 3

0.5 1 4,1 12 0 0 2, 1 4

0.5 1 4, 2 13 0 0 2, 3 5

0.5 1 4, 3 14 0.5 1 2,4 6

م 4التوزیع التكراري لنسبة ظھور الرقم م اختیارھا من n = 2للعینات من الحج ى ت والت

ھ دون إرجاع ( N = 4المجتمع الذى حجم ي ) ب دول المعطاة ف الىج درجھا التكراري الت وم :التالى شكل الفي

P 0 0.5

f 6 6

:وھما السابقجدول التم حسابھما من Pالمتوسط والتباین للتوزیع العیني لإلحصاء

Pˆ f p 3 .25 p,

f 12

22P

ˆ f (p 0.25) 0.0625 f

.

(0.25)(0.75) 4 2 pq N n .2 4 1 n N 1

٣٦

Nیتضح من المثال السابق أن معامل التصحیح nN 1

2في صیغة

P المجتمع یستخدم إذا كان

یمكن اعتبار 0.05Nإذا كان حجم العینة أصغر من . محدود والسحب بدون إرجاع

N n 1N 1

.


x={1,2,3,4} {1,2,3,4} n=2 2 a=4 4 x1=Table[x,{i,n}] {{1,2,3,4},{1,2,3,4}} x2=Flatten[Outer[List,Apply[Sequence,x1]],n-1] {{1,1},{1,2},{1,3},{1,4},{2,1},{2,2},{2,3},{2,4},{3,1},{3,2},{3,3},{3,4},{4,1},{4,2},{4,3},{4,4}} l[x_]:=Length[x] m=l[x] 4 x3=Drop[x2,{1,l[x2],m+1}]

٣٧

{{1,2},{1,3},{1,4},{2,1},{2,3},{2,4},{3,1},{3,2},{3,4},{4,1},{4,2},{4,3}} xa=Table[Count[x3[[i]],a],{i,l[x3]}] {0,0,1,0,0,1,0,0,1,1,1,1}

{0.,0.,0.5,0.,0.,0.5,0.,0.,0.5,0.5,0.5,0.5} <<Statistics`DataManipulation` ff=Frequencies[pa] {{6,0.},{6,0.5}} <<Graphics`Graphics` BarChart[ff]

Graphics w=Transpose[ff] {{6,6},{0.,0.5}}

0.25

0.0625

0.25 m=l[x] 4 xx=Count[x,a] 1

0.25 q=1-p 0.75

paxan

N

0. 0.5

1

2

3

4

5

6

pbDotw1,w2

lpa

vpDotw1, w2 pb^2

lpa

spvp

pxxm

N

٣٨

ppb True

True

:البرنامج وفیما یلى المدخالت و المخرجات لھذا

المدخالت : اوال من االمر وحجم العینة x={1,2,3,4} القائمةn=2

الصفة موضع الدراسة من االمرa=4 المخرجات : ثانیا

من االمر Pالمدرج التكرارى لتوزیع BarChart[ff]

من االمر Pالمتوسط للتوزیع العیني لإلحصاء و

من االمر Pللتوزیع العیني لإلحصاء االنحراف المعیارى و

نسبة الصفة من االمرو


P p من االمر ppb



Ppq N nn N 1

من االمر

والمخرج ھوTrue

sppqn

mnm1

pbDotw1, w2

lpa

spvp

pxxm

N

sppqn

mnm1

٣٩

:نظریةھى نسبة صفة معینة في مجتمع ما واختیرت من ھذا المجتمع عینات كبیرة، pإذا كانت

تتبع Pیمثل نسبة وجود ھذه الصفة في العینات فإن Pوكان اإلحصاء nحجم كل منھا تقریبا متوسطة وتباینھ على التوالي طبیعیا :توزیعا

P p,

2P

pq .n

:وعلى ذلك

p pzpqn

یتبع Zھي قیمة لمتغیر عشوائى ٠التوزیع الطبیعي القیاسى تقریبا السابقة نظریةالقواعد لحجم العینة الالزم لتطبیق Cochran (1963)وضع العالم

.التالى جدول المعطاة في

یستخدم التقریب الطبیعى إذا عل األقل یساوى n كان

تساوى pإذا كانت

30

50

80

200

600

1400

0.5

.4 - .6

.3 - .7

.2 - .8

.1 - .9

0.95

ت) مجتمعات كبیرة أو النھائیة ( إذا كان لدینا مجتمعان مستقالن بة p1 وإذا كان ھي نسانى p2توفر صفة ما في المجتمع األول وكانت ع الث ي المجتم وفر الصفة نفسھا ف . ھى نسبة توفر الصفة n1إذا اخترنا عینة عشوائیة كبیرة حجمھا بة ت ا نس من المجتمع األول وحسبنا منھ

تكن ة ول ل الدراس ا . 1pمح رة حجمھ وائیة كبی ة عش ا عین انى n2وإذا اخترن ع الث ن المجتم م

٤٠

م . 2pوحسبنا منھا نسبة توفر الصفة المطلوبة ولتكن إن n2 و n1بتكرار المعاینة من الحج ف

2 التوزیع العینى لإلحصاء 1ˆ ˆP P لتالیة تحدده النظریة ا:

:نظریة1التوزیع العینى لإلحصاء 2

ˆ ˆP P بمتوسط طبیعیا یتبع توزیعا :تقریبا

1 2 1 2ˆ ˆP P p p ,

:وتباین 2 1 1 2 2P

1 2

p q p q .n n

:وعلى ذلك تكون 1 2 1 2

1 1 2 2

1 2

ˆ ˆ(p p ) (p p )z .p q p qn n

.الذى یتبع التوزیع الطبیعى القیاسى Zھي قیمة لمتغیر عشوائى ة ى النظری ابقةتعط ة الس ت النظری دة ، إذا كان جی ا د n2 , n1نتائج ا لقواع ددتان طبق مح

Cochran . t t Distribution توزیـع) ٦- ١(

للعینات . في معظم األبحاث وغالبا یكون تباین المجتمع الذى تختار منھ العینات مجھوال

:فإن n< 30إذا كانت . 2sھو 2فإن التقدیر الجید للمعلمة n<30العشوائیة من الحجم xz s

n

یتبع التوزیع الطبیعى القیاسى Zھي قیمة لمتغیر عشوائى أما إذا كان حجم العینة . تقریباx)فإن قیم ( n < 30 )صغیر ) /(s / n) في ھذه . ال تتبع التوزیع الطبیعى القیاسى

، والذى قیمھ تعطى من Tالحالة یكون اھتمامنا بتوزیع إلحصاء ما سوف نرمز لھ بالرمز : الصیغة التالیة

xt ,sn

n 2

ii 1

(x x) s ,i 1,2,...,n

n 1

٤١

قدر القیم2

t 0005.,001.,005.,01.,025.,05.للقیم ١٥الى١وذلك بدرجات حریة من

nھما المتوسط الحسابى والتباین على التوالي لعینة عشوائیة من الحجم s2و xإذا كان :غیر معروف فإن 2وتباین مأخوذة من مجتمع طبیعى لھ متوسط

xt sn

n بدرجات حریة tلھ توزیع Tھي قیمة لمتغیر عشوائى 1 .

tالتى توجد على المحور األفقي تحت منحنى توزیع tترمز لقیمة tبفرض أن :التالى شكل الكما ھو موضح في والتي المساحة على یمینھا قدرھا بدرجات حریة

نحتاج الى القیمة غالبا ما

2

t وھي قیمةt بدرجة حریة(n 1) والتي تكون المساحة على

ساوي یمینھا ت2α

ونظرا لخاصیة التماثل لتوزیع . ) ٢(فى ملحق tوتستخرج من جدول توزیع

t فإن مساحة مساویة قدرھا2α

تقع على یسار القیمة 2αt - . وفیما یلى برنامج یحسب

2

t لقیم

.من خالل المثال التالى و مختلفة من

)٧- ١(مثال

٤٢

:الحل :الحزمة الجاھزة بتحمیلوذلك Mathematica سوف یتم حل ھذا المثال بإستخدام برنامج

Statistics`ContinuousDistributions االمر التالى من خالل وذلك: <<Statistics`ContinuousDistributions`

االمرQuantile[StudentTDistribution[n],1-#]

لـ المطلوبة قیم اللحساب و tتوزیع یعرف2

t ین التالیینیستخدم االمر:

tvals[n_]:={n,Map[Quantile[StudentTDistribution[n],1-#]&,{.1,.05,.025,.01,.005,.001,.0005}]}//Flatten; commonvalues=Table[tvals[n],{n,1,15}];

: التالى باستخدام االمر

المطلوب یتم اظھار الجدول

.خطوات البرنامج والمخرجات وفیما یلى

<<Statistics`ContinuousDistributions` tvals[n_]:={n,Map[Quantile[StudentTDistribution[n],1-#]&,{.1,.05,.025,.01,.005,.001,.0005}]}//Flatten; commonvalues=Table[tvals[n],{n,1,15}];

TableFormcommonvalues,TableHeadings, "Degrees of Freedom", t.1, t.05,t.025,t.01,t.005, t.001, t.0005

TableFormcommonvalues,TableHeadings, "Degrees of Freedom", t.1, t.05,t.025,t.01,t.005, t.001, t.0005

٤٣

Square Distribution -Chiتوزیع مربع كاى ) ٧- ١(

ة 2من توزیع طبیعى تباینھ nإذا تكرر سحب عینات من الحجم s2وإذا تم حساب تباین العینى لإلحصاء . S2لكل عینة فإننا نحصل على قیم لإلحصاء ي S2التوزیع العین ة ف ات قلیل ھ تطبیق ل

:والتي تحسب قیمتھ من الصیغة اآلتیة X2اھتمامنا سوف یكون في توزیع المتغیر . اإلحصاء

.2

22

(n 1)s

وائى ر العش ع المتغی ع X2توزی مى توزی اى ( 2یس ع ك ع مرب ة ) توزی درجات حری بn 1 حیث تساوى المقام في صیغةs2 .

2بفرض أن

2ترمز لقیمة 2التي توجد على المحور األفقى تحت منحنى بدرجات حریة والتي تكون المساحة على یمینھا قدرھا التالى شكل ال كما ھو موضح في:

DegreesofFreedom t0.1 t0.05 t0.025 t0.01 t0.005 t0.001 t0.00051 3.07768 6.31375 12.7062 31.8205 63.6567 318.309 636.6192 1.88562 2.91999 4.30265 6.96456 9.92484 22.3271 31.59913 1.63774 2.35336 3.18245 4.5407 5.84091 10.2145 12.9244 1.53321 2.13185 2.77645 3.74695 4.60409 7.17318 8.61035 1.47588 2.01505 2.57058 3.36493 4.03214 5.89343 6.868836 1.43976 1.94318 2.44691 3.14267 3.70743 5.20763 5.958827 1.41492 1.89458 2.36462 2.99795 3.49948 4.78529 5.407888 1.39682 1.85955 2.306 2.89646 3.35539 4.50079 5.041319 1.38303 1.83311 2.26216 2.82144 3.24984 4.29681 4.7809110 1.37218 1.81246 2.22814 2.76377 3.16927 4.1437 4.5868911 1.36343 1.79588 2.20099 2.71808 3.10581 4.0247 4.4369812 1.35622 1.78229 2.17881 2.681 3.05454 3.92963 4.3177913 1.35017 1.77093 2.16037 2.65031 3.01228 3.85198 4.2208314 1.34503 1.76131 2.14479 2.62449 2.97684 3.78739 4.1404515 1.34061 1.75305 2.13145 2.60248 2.94671 3.73283 4.07277

٤٤

2قدر القیم

2 95.,975.,01.,99.,995.للقیم ١٥الى١وذلك بدرجات حریة من

2یعطى قیم ) ٣(الجدول في ملحق وذلك لقیم مختلفة من و حیث تأخذ القیم:

.995 , .99, .975, .95, .90, .10, .05, 0.025, .01, .005 1ودرجات حریة من 40إلى والعمود یوضح الصف الثانى من الجدول قیم .

األول من الشمال قیم درجات الحریة أما محتویات الجدول فھي لقیم المساحة على یمینھا تساوى 6 فإننا نبحث في الجدول عند تقاطع الصف الذى بھ 05. وعلى ذلك 05.مع العمود

2.05 12.592 . 2ولعدم تماثل منحنى توزیع تخدام الجدول إلیجاد فال بد من اس

2.95 1.635 6عند .

):٨- ١(مثال

: )٣(في ملحق 2أوجد النقاط التالیة من جدول توزیع

2 -أ.95 ،12=ν

2 -ب.05 ، 1=ν

:لــالح2 = 5.226 - أ

.95

2= 3.843 - ب.05

وفیما یلى برنامج یحسب

2 لقیم مختلفة من و من خالل المثال التالى.

)٩- ١(مثال

٤٥

:لحل ا

:الحزمة الجاھزة بتحمیلوذلك Mathematica سوف یتم حل ھذا المثال بإستخدام برنامجStatistics`ContinuousDistributions المر التالى ا من خاللوذلك:

<<Statistics`ContinuousDistributions`

نیلیىاالمر والدالة التا یستخدم لحساب القیم المطلوبة

m=Map[Quantile[ChiSquareDistribution[n],#]&,{0.005`,0.01`,0.025`,0.05`}]; cv[n_]=Flatten[{n,m}];

التالى من االمر المطلوب یتم اظھار الجدول

.وفیما یلى خطوات البرنامج والمخرجات <<Statistics`ContinuousDistributions` m=Map[Quantile[ChiSquareDistribution[n],#]&,{0.005`,0.01`,0.025`,0.05`}]; cv[n_]=Flatten[{n,m}];

TableForm t, TableHeadings

, "DegreesofFreedom

", .9952, .992, .9752, .952,

TableSpacing 1

TableForm t, TableHeadings

, "DegreesofFreedom

", .9952, .992, .9752, .952,

TableSpacing 1

٤٦

F F Distributionتوزیع ) ٨- ١(

. من التوزیعات االحتمالیة الھامة التى تستخدم في مجال اإلحصاء التطبیقى Fیعتبر توزیع

:نظریةت 2إذا كان 2

2 1s , s م ن الحج تقلتین م وائیتین مس ین عش ایني عینت ثالن تب 2تم 1n , n

2مأخوذتین مجتمعین من طبیعیین بتباینتى 22 1, على التوالي فإن:

2 2 2 21 1 2 12 2 2 22 2 1 2

s / sf .s / s

1بدرجات حریة Fیتبع توزیع Fھي قیمة لمتغیر عشوائي 2, 1بفرض أن ٠ 2f ( , ) 1 بدرجات حریة Fعلى المحور األفقي تحت منحنى توزیع fترمز لقیمة 1n 1 و

2 2n 1 والتي تكون المساحة على یمینھا تساوى التالى شكل الوالموضحة في:

DegreesofFreedom

0.9952 0.99

2 0.9752 0.95

2

1 0.0000392704 0.000157088 0.000982069 0.003932142 0.0100251 0.0201007 0.0506356 0.1025873 0.0717218 0.114832 0.215795 0.3518464 0.206989 0.297109 0.484419 0.7107235 0.411742 0.554298 0.831212 1.145486 0.675727 0.87209 1.23734 1.635387 0.989256 1.23904 1.68987 2.167358 1.34441 1.6465 2.17973 2.732649 1.73493 2.0879 2.70039 3.3251110 2.15586 2.55821 3.24697 3.940311 2.60322 3.05348 3.81575 4.5748112 3.07382 3.57057 4.40379 5.2260313 3.56503 4.10692 5.00875 5.8918614 4.07467 4.66043 5.62873 6.5706315 4.60092 5.22935 6.26214 7.26094

٤٧

یم در الق 1ق 2f ( , ) ث یم 1حی ذ الق یم 2و 1,2,3,4 تاخ ذ الق تاخ0.05و 15,…,1,2,3,4,5,6

1الستخراج قیم 2f ( , ) 0.05، األول عند )٥(وملحق )٤(یوجد جدوالن في ملحق 01.واآلخر عند 1وفي كل منھما یكون الصف األول لقیم 2والعمود األول لقیم أما

1محتویات الجدول فھو لقیم 2f ( , ) . على سبیل المثال من جدول توزیعF نالحظ أن:

.05f (1,4) 7.71

.05f (4,1) 224.6 1وفیما یلى برنامج یحسب 2f ( , ) 1لقیم مختلفة من 2,

وذلك 05.حیث

.من خالل المثال التالى

)١٠- ١(مثال

:وذلك بإستخدام الحزمة الجاھزة Mathematica سوف یتم حل ھذا المثال بإستخدام برنامج

Statistics`ContinuousDistributions وذلك بتحمیل االمر التالى: <<Statistics`ContinuousDistributions`

المطلوبة یستخدم الدالتین التالیىینلحساب القیم

f[n1_,n2_]:=Quantile[FRatioDistribution[n1,n2],1-.05]; v[n1_]:=Table[Flatten[{n2,f[n1,n2]}],{n2,1,15}]

من االمر التالىالمطلوب یتم اظھار الجدول

TableForm[v[n1],TableHeadings{{},{"",1,2,3,4}}]

.البرنامج والمخرجات وفیما یلى خطوات <<Statistics`ContinuousDistributions` f[n1_,n2_]:=Quantile[FRatioDistribution[n1,n2],1-.05]; v[n1_]:=Table[Flatten[{n2,f[n1,n2]}],{n2,1,15}] n1={1,2,3,4} {1,2,3,4}

TableForm[v[n1],TableHeadings{{},{"",1,2,3,4}}]

٤٨

1الستخراج قیم 2f ( , ) یكون الصف األول لقیم من الجدول السابق المستخرج من البرنامج

1 2والعمود األول لقیم 1أما محتویات الجدول فھو لقیم 2f ( , ) . على سبیل المثال :

.05f (1,4) 7.70865 .05f (4,1) 224.583

1 2 3 41 161.448 199.5 215.707 224.5832 18.5128 19. 19.1643 19.24683 10.128 9.55209 9.27663 9.117184 7.70865 6.94427 6.59138 6.388235 6.60789 5.78614 5.40945 5.192176 5.98738 5.14325 4.75706 4.533687 5.59145 4.73741 4.34683 4.120318 5.31766 4.45897 4.06618 3.837859 5.11736 4.25649 3.86255 3.6330910 4.9646 4.10282 3.70826 3.4780511 4.84434 3.9823 3.58743 3.3566912 4.74723 3.88529 3.49029 3.2591713 4.66719 3.80557 3.41053 3.1791214 4.60011 3.73889 3.34389 3.1122515 4.54308 3.68232 3.28738 3.05557

٤٩

فصل الثانىفصل الثانىالال

فترات الثقةفترات الثقة

٥٠

Introductionمقدمـة ) ١-٢(ائي تدالل اإلحص ر االس تم statistical inferenceیعتب اء یھ م اإلحص ي عل رع ف ف

ا تم الحصول علیھ ات ی ى معلوم اد عل ك باالعتم ع وذل بطرق االستدالل أو التعمیم بشان المجتمات . من عینات مختارة من المجتمع الم مجتمع ذا الفصل االستدالل عن مع ي ھ اول ف سوف نتن

.، النسبة ، االنحراف المعیاري مجھولة مثل المتوسطین رعین أساس ى ف ائي إل تدالل اإلحص رع االس م ف دیر : ینقس estimationالتق

روض ى . tests of hypothesesواختبارات الف ذا الفصل عل ي ھ تنا ف وف تقتصر دراس سل ي الفص ھ ف روض سوف نتناول ارات الف وع اختب ا موض دیر بینم وع التق الىموض ة . الت األمثل

رعین ین الف رق ب ح الف ة توض ة . التالی رت عین إذا اختی ة ، ف بانا حدیدی اج قض نع بإنت وم مص یقن ھ م وائیة مكون ط 200عش اب متوس م حس ا وت ت أطوالھ نع وقیس ذا المص اج ھ ن إنت یب م قض

ع . طول القضیب في العینة ة للمجتم ة الحقیقی μھذا المتوسط یمكن أن یستخدم لتقدیر المعلماء . ة لإلحص ع المعاین ن توزی ات ع ي Xالمعلوم ة ف ة الثق اب درج ي حس اعدنا ف وف یس س

دیرنا دیر . تق رع التق ى ف ي إل كلة تنتم ذه المش الغ . ھ ان الب م اإلنس ا أن جس ان معروف اآلن إذا كى ط إل ي المتوس ا ف اج یومی ام 800یحت ر قی ھ خی وم بوظائف ي یق یوم لك ن الكالس ات م . مللیجرام

ط ذا المتوس ق ھ تطیعون تحقی نخفض ال یس دخل الم راد ذوى ال ة أن األف اء التغذی د علم . یعتقن وائیة م ة عش رت عین ك اختی ار ذل م 50الختب نخفض وت دخل الم ین ذوى ال ن ب ا م شخصا بالغ

ن .حساب متوسط ما یتناولونھ من الكالسیوم یومیا ة ولك دیر معلم اول تق م نح ال ل ذا المث في ھة اء التغذی ذي وضعھ علم رض ال حیح عن الف رار ص رة . بدال من ذلك نحاول الوصول إلى ق م

.أخرى نعتمد على نظریة المعاینة لتمدنا بمقیاس لدرجة الثقة في القرار الذي نتخذهة دیر بنقط ا كتق ع إم ة المجتم دیر معلم تم تق رة point estimateی دیر بفت أو كتق

interval estimate . ا ع م ة مجتم ة لمعلم دیر النقط دة تق ة وحی ي قیم ردة ( ھ θ) مفن Xلإلحصاء xعلى سبیل المثال القیمة . Θلإلحصاء وائیة م ة عش ن عین وبة م ، والمحس

م ع nالحج ة المجتم ة لمعلم دیر بنقط ي تق كل ، . ، ھ نفس الش xpبn

ة دیر بنقط ي تق ھ

.والتي تمثل نسبة صفة ما في مجتمع pلمعلمة الحقیقیة لدر مى المق ة یس دیر النقط اد تق تخدم إلیج اء المس رار estimatorاإلحص ة الق أو دال

decision function . رار ة الق ال دال بیل المث ى س ة Sفعل ي العین ة ف ون دال ي تك ، والت .ؤدى إلى تقدیرات مختلفة عینات مختلفة ت. σالعشوائیة ، ھي مقدر للمعلمة b aھو فترة على الشكل أي تقدیر بفترة لمعلمة b ث ى a , bحی دان عل تعتم

ة دیر بنقط ى التق ا عل ة وأیض ع الدراس ع موض ن المجتم ارة م ة مخت وائیة خاص ة عش لعیناء ي لإلحص ع العین ات . Θالتوزی ل درج وائیة تمث ة عش رت عین ال إذا اختی بیل المث ى س عل

م الحصول التح ا وت ة م ي كلی دمین لاللتحاق ف ن المتق ا م ول لخمسین طالب ان القب صیل في امتحا 550 , 500على الفترة یل داخلھ درجات التحص ي ل ط الحقیق ان . والتي نتوقع أن المتوس القیمتع xسوف تعتمدان على متوسط العینة المحسوبة 550 و 500النھائیتان ى التوزی وأیضا عل

. Xالعیني ـ ة ل الي عینات مختلفة تؤدى إلى قیم مختلف ع وبالت ة المجتم رة لمعلم دیرات بفت ى تق إل

. ى وى عل وف تحت رات س ذه الفت ض ھ ى بع وى عل ر ال یحت بعض اآلخ ع . وال التوزیي لإلحصاء اد Θالعین ي إیج اعدنا ف بة a , bسوف یس ث أن أي نس ة بحی ات الممكن ل العین لك

٥١

ر ذه الفت ن ھ ة م ى خاص وى عل اب . ات سوف تحت تم حس ال ، ی ى سبیل المث ث a , bفعل بحیون ى 95 .0تك وي عل ة ، سوف تحت رار المعاین ع تك ة ، م رات الممكن ل الفت ن ك ى . θم وعل

ال دینا احتم ون ل وي 0.95ذلك یك رة تحت ى فت ؤدى إل ي ت ات والت ذه العین ن ھ دة م ار واح الختیى ن عین. عل وبة م رة المحس ذه الفت مي ھ وائیة ، تس ة %95ة عش رة ثق confidenceفت

interval . دینا ون ل ى آخر یك ة %95بمعن ى المعلم وى عل وبة تحت ا المحس ة أن فترتن . θثقع ا توزی اب Θعموم ي حس اعدنا ف وف یس ة a , b س بھ خاص ون ألي نس ث یك بحی

α1,1<α<0 ى المعلم ة ، من الفترات المحسوبة من كل العینات الممكنة سوف تحتوى عل

. مى وبة تس رة المحس ة )α1(100%الفت ة للمعلم رة ثق ول ، . θفت ة األط رة الثق ر فت تعتبة ة المجھول ى المعلم وي عل رة تحت ى فت ول عل ي الحص ة ف ر ثق ي األكث ن . ھ ون م الطبع یك ب

ین %95األفضل الحصول على ات ینحصر ب فترة ثقة أن متوسط العمر لنوع معین من البطاریابیع عن الحصو 5 و 8 ى أس ین %99ل عل ر ینحصر ب ط العم ة أن متوس رة ثق 2 و 11 فت

. دائما یفضل الحصول على فترة قصیرة بدرجة عالیة من الثقة . أسبوعا

μفترة ثقة لمتوسط المجتمع ) ٢-٢( μConfidence Interval for Population Mean

رة ع إلیجاد فت ط المجتم ة لمتوس ع μثق ن مجتم ارة م ة مخت رض أن العین ت ف ك تح وذل

ت رض إذا كان ذا الف ق ھ ة nطبیعي أو، عند عدم تحق ة كافی رة بدرج ك ، كبی ى ذل ار وعل نختم ن الحج وائیة م ة عش ھ nعین ذي تباین ع ال ن المجتم ة 2م ط العین وم ونحسب متوس xمعل

1)وذلك للحصول على α)100% فترة ثقة على الشكل:

2 2

x z x z ,n n

حیث 2

z تمثل قیمةz تكون المساحة على یمینھا تساوي التي2 والمستخرجھ من جدول

).١(التوزیع الطبیعى القیاسي فى ملحق ع أن درجة حیث ة ، ال نتوق ر طبیعی ات غی ارة من مجتمع للعینات العشوائیة الصغیرة المخت

ة وبصرف النظر عن شكل ال n< 30للعینات من الحجم . ثقتنا تكون مضبوطة إن نظری ع ف مجتم . المعاینة تؤمن لنا نتائج جیدة

اب ة )α1(100%لحس ة للمعلم رة ثق رض أن μفت ذا σنفت وافر ھ ا ال یت ن عموم ة ولك معلومة یمكن االستعاضة عن ذه الحال ي ھ ة σالفرض ، ف اري للعین االنحراف المعی n< بشرط أن sب

30.

٥٢

ن وائیة م ة عش رت عین اھدة 44اختی الى مش اھدات كالت ث المش :حی85,94.5,76.7,79.2,83,80.2,68.7,89.1,74.1,87.8,44.9,77.6,85.1,75.7,81.5,66.2,83.4,79.8,94,91.8,96.3,73.5,82.2,76.1,78.5,69.1,75.4,71.7,78.2,77.7,88.7,79.9,86.1,63.8,78.7,82.6,98.6,81.3

10.5 للمجتمع ھو یارينحراف معاالوكان 63.4,76.6,84.2,89.7,87.7,54.6, .فترة ثقة للمتوسط %90أوجد

)١- ٢(مثال

:لــالح


<<Statistics`ContinuousDistributions` grades={85,94.5,76.7,79.2,83,80.2,68.7,89.1,74.1,87.8,44.9,77.6,85.1,75.7,81.5,66.2,83.4,79.8,94,91.8,96.3,73.5,82.2,76.1,78.5,69.1,75.4,71.7,78.2,77.7,88.7,79.9,86.1,63.8,78.7,82.6,98.6,81.3,63.4,76.6,84.2,89.7,87.7,54.6}; =10.5 10.5 =.1 0.1 n=Length[grades] 44 m=Mean[grades] 79.3841

1.64485

76.7804

81.9878


واالنحراف المعیارى للمجتمع من االمر gradesقائمة البیانات =10.5 من االمر=0. 1

z QuantileNormalDistribution0, 1, 1

2

low mz n

up mz n

٥٣

المخرجات : ثانیا من االمرحجم العینة

n=Length[grades] من االمرومتوسط العینة

m=Mean[grades] من االمر الجدولیة z و

76.7804 والحد االدنى للثقة من االمر

low=m-z s/Sqrt[n] 81.9878 والحد االعلى للثقة

من االمر up=m+z s/Sqrt[n]

)٢- ٢(مثال وذلك بتحمیل الحزمة Mathematica سوف یتم حل المثال السابق بإستخدام برنامج

: الجاھزة Statistics`ConfidenceIntervals

:من خالل االمر التالى

<<Statistics`ConfidenceIntervals` .خطوات البرنامج والذى یكون من ضمن

. والمخرجاتوفیما یلى خطوات البرنامج

<<Statistics`ConfidenceIntervals` grades={85,94.5,76.7,79.2,83,80.2,68.7,89.1,74.1,87.8,44.9,77.6,85.1,75.7,81.5,66.2,83.4,79.8,94,91.8,96.3,73.5,82.2,76.1,78.5,69.1,75.4,71.7,78.2,77.7,88.7,79.9,86.1,63.8,78.7,82.6,98.6,81.3,63.4,76.6,84.2,89.7,87.7,54.6}; =10.5 10.5 n=Length[grades] 44 m=Mean[grades] 79.3841 NormalCI[m,/Sqrt[n],ConfidenceLevel->.90] {76.7804,81.9878}


2

٥٤

:فیما یلى المدخالت و المخرجات لھذا البرنامج

المدخالت : اوال واالنحراف المعیارى للمجتمع من االمر gradesقائمة البیانات

=10.5


من االمرحجم العینة n=Length[grades]

من االمرومتوسط العینة m=Mean[grades]

یستخدم االمر μفترة ثقة للمعلمة %90وعند الرغبة فى الحصول على NormalCI[m,/Sqrt[n],ConfidenceLevel->.90]

یتم الحصول علیھ من مخرجات االمر و 81.9878والحد االعلى للثقة 76.7804 الحد االدنى للثقة حیث

السابق على الشكل {76.7804,81.9878}

والصورة العامة لالمر السابق على الشكل التالى

NormalCI[Mean, ,( n

),ConfidenceLevel->c]

و79.3841) لھذا المثال متوسط العینة (متوسط العینة meanحیث n الخطا المعیارى

10.5لھذا المثال(للمتوسط 44

1)لھذا المثال( cو ) ) c .95 .(

,min)المخرجات لھذا االمر max) حیثmin الحد االدنى للثقة وmax لھذا .الحد االعلى للثقة,min)={76.7804,81.9878}المثال max) . یمكن الحصول على نفس النتائج باستخدام االمر:

MeanCI[list, options,ConfidenceLevel->c]

فعلى سبیل المثال یمكن .تعنى الخیارات المطلوبة options اسم القائمة و تعنى list حیث

:وضع الخیار KnownStandardDeviation->

وقد یستخدم الخیار 10.5)وھو لھذا المثال ( یوضع بعد السھم حیث االنحراف المعیارى المجتمعKnownVariance->

على ،معینة و للرغبة فى الحصول على لالمرین السابقین . یوضع بعد السھم حیث تباین المجتمع سبیل المثال

0.1 01.0أو یستخدم الخیار SignificanceLevel-> حیث یوضع c 0.9 أوc 0.99 . عند عدم استخدام ھذا الخیار یكون

cالمفترض 0.95 0.05اى .

٥٥

.فترة ثقة للمتوسط %90وجد ا غیر معلومة للمثال السابق وبفرض ان

)٣- ٢(مثال

:لــالح

االنحراف σوحیث أن حجم العینة كبیر ، فإن االنحراف المعیاري للمجتمع ھ ب یمكن االستعاضة عنs المعیاري للعینة 10.5096 من الصیغة التالیة فترة ثقة %90یتم الحصول على و:

.0.05 0.05s sx z x zn n

وفیما یلى خطوات Mathematicaسوف یتم حل ھذا المثال بإستخدام برنامج مكتوب بلغة

.البرنامج والمخرجات <<Statistics`ContinuousDistributions` grades={85,94.5,76.7,79.2,83,80.2,68.7,89.1,74.1,87.8,44.9,77.6,85.1,75.7,81.5,66.2,83.4,79.8,94,91.8,96.3,73.5,82.2,76.1,78.5,69.1,75.4,71.7,78.2,77.7,88.7,79.9,86.1,63.8,78.7,82.6,98.6,81.3,63.4,76.6,84.2,89.7,87.7,54.6}; =.1 0.1 n=Length[grades] 44 m=Mean[grades] 79.3841 s=StandardDeviation[grades] 10.5096

1.64485 low=m-z s/Sqrt[n] 76.778 up=m+z s/Sqrt[n] 81.9902

:لھذا المثال االنحراف المعیارى من االمر

s=StandardDeviation[grades]


2

٥٦

76.778 الحد االدنى للثقة من االمر

low=m-z s/Sqrt[n] 81.9902 والحد االعلى للثقة

من االمر up=m+z s/Sqrt[n]

)٤- ٢(مثال

وذلك بتحمیل الحزمة Mathematicaسوف یتم حل المثال السابق بإستخدام برنامج

: الجاھزة Statistics`ConfidenceIntervals خطوات البرنامج والمخرجات وفیما یلى.

<<Statistics`ConfidenceIntervals` grades={85,94.5,76.7,79.2,83,80.2,68.7,89.1, 74.1,87.8,44.9,77.6,85.1,75.7,81.5,66.2,83.4,79.8,94,91.8,96.3,73.5,82.2,76.1,78.5,69.1,75.4,71.7,78.2,77.7,88.7,79.9,86.1,63.8,78.7,82.6,98.6,81.3,63.4,76.6,84.2,89.7,87.7,54.6}; n=Length[grades] 44 m=Mean[grades] 79.3841 s=StandardDeviation[grades] 10.5096 sig=StandardErrorOfSampleMean[grades] 1.58439 NormalCI[m,s/Sqrt[n],ConfidenceLevel->.90] {76.778,81.9902} NormalCI[m,sig,ConfidenceLevel->.90] {76.778,81.9902}

:البرنامج وفیما یلى المدخالت و المخرجات لھذا المدخالت : اوال

gradesقائمة البیانات المخرجات : ثانیا

حجم العینة من االمر n=Length[grades]

من االمر ومتوسط العینة m=Mean[grades]

واالنحراف المعیارى للعینة من االمر s=StandardDeviation[grades]

٥٧

ن وائیة م ة عش رت عین ارھم 100اختی ط أعم ان متوس كر وك ریض بالس xم 55 sبانحراف معیاري 20 فترة ثقة للمتوسط %95أوجد.

sو n

من االمر

sig=StandardErrorOfSampleMean[grades] .من االمرین االخیرین 81.9905والحد االعلى للثقة 76.778والحد االدنى للثقة

)٥- ٢(مثال

:لــالح

nوحیث أن حجم العینة كبیر 30 فإن االنحراف المعیاري للمجتمع ،σ یمكن االستعاضة عنھ :من الصیغة التالیھ فترة ثقة %95یتم الحصول على .s=20باالنحراف المعیاري للعینة

.ns

z+x<μ<ns

zx 025.0025.0

التي على یمینھا مساحة قدرھا zفإن قیمة ) ١(باستخدام جدول التوزیع الطبیعي القیاسي في ملحق فترة ثقة %95وعلى ذلك فإن . z.025=1.96ھي 0.975وعلى یسارھا مساحة قدرھا 0.025

:سوف تكون على الشكل

.( )( ) ( )( )

100+55<μ<

1002096.1

552096.1

:والتي تختزل إلى

92.58<μ<08.51 وفیما یلى خطوات Mathematicaسوف یتم حل ھذا المثال بإستخدام برنامج مكتوب بلغة

.البرنامج والمخرجات n=100 m=55 s=20 =.05 0.05 <<Statistics`ContinuousDistributions`

1.95996

51.0801

z QuantileNormalDistribution0,1, 1

2

low mzs

n

٥٨

58.9199


من االمرحجم العینة n=100

من االمرومتوسط العینة m=55

للعینة من االمر واالنحراف المعیارىs=20

من االمر=0.05

المخرجات: ثانیا من االمر 51.0801الحد االدنى للثقة

من االمر 58.9199والحد االعلى للثقة

)٦- ٢(مثال

وذلك بتحمیل الحزمة Mathematicaسوف یتم حل المثال السابق بإستخدام برنامج : الجاھزة

Statistics`ConfidenceIntervals .یلى خطوات البرنامج والمخرجات وفیما

<<Statistics`ConfidenceIntervals` n=100 100 m=55 55 s=20 20 NormalCI[m,(s)/Sqrt[n]] {51.0801,58.9199}

من االمر 85.9199والحد االعلى للثقة 51.0801الحد االدنى للثقة NormalCI[m,(s)/Sqrt[n]]

یتم الحصول علیھ من مخرجات االمر السابق على الشكل و

up mzs

n

low mzs

n

up mzs

n

٥٩

{51.0801,58.9199}

وم ر معل این غی ون التب دما یك ع عن ط المجتم دیر متوس وب تق ون المطل ان یك م األحی ي معظ فة30 وحجم العینة أقل من ع . ، فقد تكون التكالیف عامال محددا لحجم العین ا كان شكل المجتم طالم

غیر معلومة وحجم العینة صغیر 2σنھ یمكن حساب فترات الثقة عندما تكون ناقوسى فإ) تقریبا( .

1)طریقة إیجاد )100% ة ي حال ة ف ة المتبع ة ھي نفسھا الطریق ذه الحال ي ھ ة ف رة ثق فت .بدال من التوزیع الطبیعي القیاسي tالعینات الكبیرة فیما عدا استخدام توزیع

م ة خاصة من الحج اري x، یحسب المتوسط nلعین تم الحصول sواالنحراف المعی وی1)على )100% فترة ثقة كما یأتي:

.2 2

s sx t x tn n

) ٧-٢(مثال

:لــالح

x:متوسط العینة واالنحراف المعیاري للبیانات المعطاة ھما 10.5 , s 2.881 . باستخدامn-1=6-1 5 حریةوذلك عند درجات t0.025 = 2.571فإن ) ٢(في ملحق tجدول توزیع .

:ھي μفترة ثقة للمعلمة %95وعلى ذلك

.6

)881.2)(571.2(+5.10<μ<

6)881.2)(571.2(

5.10

:التي تختزل إلى 7.476 13.524 .


x={12.,13.,11.,5,10,12}; =.05 0.05

ع ذي استغرقھ تجمی زمن ال 6في اختبار للزمن الذي یستغرقھ تجمیع ماكینة معینة وجد أن الوالي ى الت ات ھو عل دقائق ( 12 ,10 ,5 ,11 ,13 ,12: ماكین رة %95أوجد ). مقاسھ بال فت

) في ھذا المثال ( وذلك تحت فرض أن الزمن ثقة لمتوسط المجتمع طبیعیا .یتبع توزیعا

٦٠

n=Length[x] 6

10.5

2.88097 <<Statistics`ContinuousDistributions`

2.57058

7.47661

13.5234


xقائمة البیانات ومن االمر=0.05

المخرجات: ثانیا من االمرحجم العینة

n=Length[x] من االمرومتوسط العینة

من االمر المعیارىواالنحراف

t من االمر الجدولیة

من االمر 7.47661والحد االدنى للثقة

m Apply Plus, x

n N

s NApply Plus, x m2n1

t Quantile StudentTDistribution n1, 1

2

low m ts

n

up m ts

n

m Apply Plus, x

n N

s NApply Plus, x m2n1


2

٦١

من االمر 13.5234والحد االعلى للثقة

) ٨-٢(مثال

الجاھزة وذلك بتحمیل الحزمة Mathematica سوف یتم حل المثال السابق بإستخدام برنامج :

Statistics`ConfidenceIntervals . والمخرجاتوفیما یلى خطوات البرنامج

<<Statistics`ConfidenceIntervals` a={12,13,11,5,10,12} {12,13,11,5,10,12} MeanCI[a,KnownStandardDeviationNone,ConfidenceLevel->0.99] {5.75759,15.2424} MeanCI[a,KnownVarianceNone,ConfidenceLevel->0.99] {5.75759,15.2424} MeanCI[a,ConfidenceLevel->0.99] {5.75759,15.2424} MeanCI[a,KnownStandardDeviationNone] {7.47661,13.5234} MeanCI[a,KnownVarianceNone] {7.47661,13.5234} MeanCI[a] {7.47661,13.5234}

:المخرجات لھذا البرنامج وفیما یلى المدخالت و المدخالت : اوال

aقائمة البیانات المخرجات: ثانیا

االمر من μفترة ثقة للمعلمة %99یتم الحصول على MeanCI[a,KnownStandardDeviation->None,ConfidenceLevel->.99]

low mzs

n

up mzs

n

٦٢

د المخابز نفرض إن مفتشا یرغب في إجراء مراجعة سریعة على وزن الخبز الذي ینتجھ احة عشوائیة من ز 15ما فیأخذ عین اج المخب ا من إنت نفرض أن متوسط وزن الرغیف .رغیف

x 15.8 اج %95أوجد .رطل 0.3وأن االنحراف المعیاري ھو فترة ثقة لمتوسط وزن أنت .المخبز بأكملھ وذلك تحت فرض أن المجتمع تقریبا طبیعي

یعنى ان االنحراف المعیارى للمجتمع KnownStandardDeviation->Noneحیث الخیار عند الرغبة فى استخدام ConfidenceLevel->.99 الخیار كما یستخدمغیر معروف

.01 یتم الحصول علیھ من مخرج و 15.2424والحد االعلى للثقة 5.75759 الحد االدنى للثقة حیث

االمرالسابق على الشكل {5.75759,15.2424}

:ئ االمر واالمر السابق یكاف

MeanCI[a,KnownVariance->None,ConfidenceLevel->.99]

یعنى ان تباین المجتمع غیر معروف KnownVariance->Noneحیث الخیار :ویمكن الحصول على نفس النتائج باستخدام االمر

MeanCI[a,ConfidenceLevel->0.99]

یستخدم االمر μفترة ثقة للمعلمة %95وعند الرغبة فى الحصول على

MeanCI[a,KnownStandardDeviationNone]

یتم الحصول علیھا من مخرج االمر و13.5234 والحد االعلى للثقة 7.47661 الحد االدنى للثقة حیث السابق على الشكل

{7.47661,13.5234}

واالمر السابق یكافئ االمر MeanCI[a,KnownVarianceNone]

او االمرMeanCI[a]

)٩-٢(مثال

:الحــلا x:متوسط العینة واالنحراف المعیاري للبیانات المعطاة ھم 15.8 , s 0.3 . دول باستخدام ج

14وذلك عند درجات حریھ t0.025 = 2.145فإن ) ٢(في ملحق tتوزیع . ك ى ذل %95وعل :ھي فترة ثقة للمعلمة

٦٣

.( )( ) ( )( )

153.0145.2

+8.15<μ<15

3.0145.28.15

:والتي تختزل إلى.97.15<μ<63.15

العینة فى ھذا المثال ال توجد قائمة بالمشاھدات حیث یتوفر حجم . والوسط الحسابى واالنحراف المعیارى للعینة


<<Statistics`ContinuousDistributions` =.05 0.05 n=15 15 m=15.8 15.8 s=.3 0.3 =n-1 14

2.14479 low=m-t s/Sqrt[n] 15.6339 up=m+t s/Sqrt[n] 15.9661

:لھذا المثال درجات الحریة تعطى من االمر

=n-1 من االمر15.6339والحد االدنى للثقة

low=m-t s/Sqrt[n] من 15.9661والحد االعلى للثقة

up=m+t s/Sqrt[n]

)١٠-٢(مثال

الجاھزة وذلك بتحمیل الحزمة Mathematicaسوف یتم حل المثال السابق بإستخدام برنامج Statistics`ConfidenceIntervals. وفیما یلى خطوات البرنامج والمخرجات.

<<Statistics`ConfidenceIntervals` n=15

t QuantileStudentTDistribution,1

2

٦٤

m=15.8 s=.3 15 15.8 0.3 =n-1 14

{15.5694,16.0306}

{15.6339,15.9661}

:لھذا البرنامج

من االمر 16.0306الحد االعلى للثقة و 15.5694الحد االدنى للثقة

01.حیث الخیار المفترض

:واالمر التالى

05.حیث 15.6339والحد االدنى للثقة الخیار المفترض . 15.9661والحد االعلى للثقة

21فترة ثقة للفرق بین متوسطي مجتمعین ) ٣-٢( μμ Confidence Interval for the Difference Between two Populations Means

2وتباین 1μإذا كان لدینا مجتمعان ، المجتمع األول لھ متوسط 1σ ھ متوسط اني ل ع الث 2μوالمجتم

2وتباین 2 . ة دیر بنقطة للمعلم ى تق 21وعلى ذلك ، للحصول عل ة ار عین د من اختی ال ب

اني ومستقلة n2من المجتمع األول وعینة عشوائیة من الحجم n1عشوائیة من الحجم من المجتمع الثطین ین المتوس رق ب اب الف ي وحس ة األول ن العین 21ع xx .رض أن العین م بف تقلین ت ین المس ت

ان كال من ك الفرض ، إذا ك وافر ذل ة عدم ت ي حال n2و n1اختیارھما من مجتمعین طبیعیین ، أو ف1)یمكن إیجاد فإنھ 30أكبر من أو یساوي )100% فترة ثقة كاآلتي:

StudentTCIm, sn

, , ConfidenceLevel0.99

StudentTCIm, sn

,

StudentTCIm, sn

, , ConfidenceLevel0.99

StudentTCIm, sn

,

٦٥

2 2 2 21 2 1 2

1 2 1 2 1 21 2 1 22 2

(x x ) z (x x ) z .n n n n

للمجتمعات الغیر طبیعیة . درجة الثقة تكون مضبوطة عندما تختار العینات من مجتمعات طبیعیة

إذا كانت . 30تزید عن n2 , n1یمكن الحصول على فترات ثقة تقریبیة والتي تكون جیدة جدا عندما 21

22 σ,σ 2مجھولتین والعینات المختارة كبیرة بدرجة كافیة ، فإنھ یمكن استبدال

122 σ,σ بـ

21

22 s,s على التوالي بدون التأثیر على فترة الثقة.

)١١-٢(مثال

:لــالح21التقدیر بنقطة لـ μμ 21 10=70-80=ھو xx . وحیث أن كال منn1 , n2 ن ھ یمك رة فإن كبی

تخدام ن s1=7اس دال م ن s2=6و 1σب دال م تخدام . 2σب إن α=05.0باس 0.005zف 1.96 ي ). ١(وذلك من جدول التوزیع الطبیعي في ملحق ـ %95وبالتعویض ف ة ل رة ثق 21فت μμ ة التالی

: 2 2 2 21 2 1 2

1 2 1 2 1 21 2 1 22 2

(x x ) z (x x ) z .n n n n

:فترة ثقة على الشكل %95نحصل على

.506

+757

96.110<μμ<506

+757

96.11022

21

22

:أو

.297.12<μμ<703.7 21


ى ادة اإلحصاء إل ي م ار ف ة و 75أعطى اختب 50طالب ا ن . طالب اط م ان متوسط النق إذا ك فات ة الطالب 1xعین 80 اري انحراف معی 1s ب 7 . ة ة الطلب اط لعین ط النق ان متوس وك

2x 70 2بانحراف معیاريs 6 . 1فترة ثقة لـ %95أوجد 2 .

٦٦

n1=75;xb1=80;s1=7; n2=50;xb2=70;s2=6; =.05 0.05 <<Statistics`ContinuousDistributions`

1.95996 xb=xb1-xb2 10

1.17189 low=xb-z*s 7.70313 up=xb+z*s 12.2969


من االمر حجم العینة االولى n1=75

من االمر وحجم العینة الثانیةn2=50

ومتوسط العینة االولى من االمر xb1=80

من االمرومتوسط العینة الثانیة xb2=70

واالنحراف المعیارى للعینة االولى من االمر s1=7

واالنحراف المعیارى للعینة الثانیة من االمر s2=6


المخرجات : ثانیا من االمر الحد االدنى للثقة

low=xb-z*s والحد االعلى للثقة من االمر

up=xb+z*s

z Quantile NormalDistribution 0, 1, 1

2

s s12

n1s22

n2 N

٦٧

)١٢-٢(مثال

ة ات التالی د للبیان ـ %95أوج ة ل رة ثق 1فت 2 ث حی2 21 2 10.5 رض أن ت ف تح

:المفردات مأخوذة من مجتمعین طبیعیین

public={825,990,1054,921,816,818,1071,1121,926,956,867,935} private={840,600,890,780,915,915,1230,1302,922,845,923,1030,879,757,921,848,870,826,831,1005,1002,915,813,842,774}

:الحــل

وذلك بتحمیل الحزمة Mathematicaسوف یتم حل ھذا المثال بإستخدام برنامج


.وفیما یلى خطوات البرنامج والمخرجات <<Statistics`ConfidenceIntervals` public={825,990,1054,921,816,818,1071,1121,926,956,867,935}; private={840,600,890,780,915,915,1230,1302,922,845,923,1030,879,757,921,848,870,826,831,1005,1002,915,813,842,774}; MeanDifferenceCI[public,private,KnownStandardDeviation{10.5,10.5}] {35.4393,49.894}


المدخالت : اوال privateقائمة البیانات و publicقائمة البیانات

المخرجات : ثانیا من االمر 49.894والحد االعلى للثقة 35.4393 الحد االدنى للثقة

MeanDifferenceCI[public,private,KnownStandardDeviation{10.5,10.5}]

واالمر السابق یوضع بصورة عامة على الشكل التالى .MeanDifferenceCI[list1, list2, options]

اسم القائمة للمجموعة الثانیة تعنى list2 و اسم القائمة للمجموعة االولى تعنى list1 حیث تعنى الخیارات المطلوبة حیث یستخدم الخیار options و

KnownStandardDeviation{ 1 2{ , }

٦٨

ى من ان من األرانب ، األول ذاء 13اختیرت مجموعت ت الغ وأعطی ا ة من Aأرنب والثانی وأعط 15 :وكانت الزیادة في الوزن بعد فترة معینة ھي Bیت الغذاء أرنبا

A: 35, 30, 30, 23, 21, 12, 24, 23, 33, 27, 29, 25, 21. B: 20, 17, 34, 31, 29, 39, 30, 46, 7, 21, 33, 43, 21, 34, 20.

ین %95أوجد ك تحت فرض أن المجتمع ین ، وذل ین متوسطي المجتمع رق ب فترة ثقة للف یتبعان التوزیع الطبیعي حیث 2 تقریبا 2

1 2 .

:الخیار او KnownVariance{ 2 2

1 2{ , }

:فترة ثقة ولكن الى فترة ثقة اخرى یستخدم الخیار %95والخیار المفترض ھو ConfidenceLevel->c

.من االمر السابق تمثل فترة الثقة وذلك باستخدام المشاھدات من العینة االولى فى {min,max}نحصل على قائمة

list1 والمشاھدات فى العینى الثانیة فىlist2 2إذا كانت

122 σ,σ مجھولتین والعینات المختارة كبیرة بدرجة كافیة ، فإنھ یمكن استبدال

21

22 σ,σ 2بـ

122 s,s فى الخیار:

KnownVariance{ 2 21 2{ , }

1) الیجاد )100% 1فترة ثقة لـ 2 2تستخدم الطریقة السابقة إذا كان 22 1 , معلومتان

فسوف تستخدم صیغة اخرى إذا كانت أحجام العینات صغیرة ، . أو یمكن تقدیرھما من عینات كبیرة تتبع التوزیع الطبیعي .للحصول على فترات ثقة والتي تكون صحیحة عندما تكون المجتمعات تقریبا

2بفرض أن 2 21 2 2فإنھ یمكن استخدام

ps 2كتقدیر للتباین العامσ . حیث: 2 2

2 1 1 2 2p

1 2

(n 1)s (n 1)ss n n 2

یتم اختیارھما من مجتمعین طبیعیین فإن الفرق n2 , n1ألي عینتین عشوائیتین مستقلتین من الحجم 1بین متوسطي العینتین ، 2x x 2، والتباین العام للعینة

ps یتم حسابھما واستخدامھما في إیجاد(1 )100% 1فترة ثقة لـ 2 على الشكل:

1 2 p 1 2 1 2 p1 2 1 22 2

1 1 1 1(x x ) t s (x x ) t s .n n n n

) ١٣-٢(مثال

٦٩

:لــالح,05.6=s,62.25=x,13=n 111 ,58.10=s,33.28=x,15=n 222

21إلیجاد فترة ثقة لـ μμ 2.71-=28.33-25.62=سوف نستخدم التقدیر بنقطة 21 xx . التباین

2 العام ps :ھو

2 2 2 22 1 1 2 2p

1 2

(n 1)s (n 1)s (12)(6.05) (14)(10.58)s 77.1669.n n 2 13 15 2

=.025باستخدام . sp=8.784بأخذ الجذر التربیعي للتباین العام فإن 2α فإنt.025=2.056 تستخرج

13عند درجات حریة ) ٢(في ملحق tمن جدول توزیع 15 2 26 . بالتعویض في الصیغة :التالیة

1 2 p 1 21 22

1 1(x x )t sn n

1 2 p1 22

1 1(x x )t s ,n n

1فترة ثقة لـ %95فإن 2 ھي:

: إلىوالتي یمكن اختزالھا -9.553 < 21 μμ < 4.133.


a={35,30,30,23,21,12,24,23,33,27,29,25,21}; b={20,17,34,31,29,39,30,46,7,21,33,43,21,34,20}; =.05 0.05 plu[w_]:=Apply[Plus,w] l[w_]:=Length[w] n1=l[a] 13 n2=l[b]

.151

+131

)784.8)(056.2(+71.2

<μμ<151

+131

)784.8)(056.2(71.2 21

٧٠

15

25.6154

28.3333

6.04895


2.05553 xb=xb1-xb2 -2.71795

8.78462

3.32878 low=xb-t*s -9.56035 up=xb+t*s 4.12445


bقائمة البیانات و aقائمة البیانات من االمر=0.05

المخرجات : ثانیا من االمر الحد االدنى للثقة

low=xb-t*s والحد االعلى للثقة من االمر

up=xb+t*s

xb1 pluan1

N

xb2 plubn2

N

s1 pluaxb12n1 1

s2 plubxb22n2 1

t Quantile StudentTDistribution n1 n2 2,1

2

sp n1 1s12 n2 1s22n1 n2 2

s sp1n1

1n2

N

٧١

1تفترض الطریقة السابقة للحصول على فترات ثقة لـ 2 أن المجتمعین طبیعیین وأن2 21 2 . 2أیضا یمكن الحصول على نتائج جیدة إذا كانت 2

1 2 وذلك تحت شرط أن1المجتمعین طبیعیین و 2n n .

)١٤-٢(مثال

:الحــل

21فإن A : الشركة 1n 10, 13.7, s 3.16x 22 فإن B :وللشركة 2n 10, 18.4, s 3.6x

ـ %95إلیجاد 1فترة ثقة ل 2 دیر بنقطة 1 سوف نستخدم التق 2x x 13.7 18.4 4.7 2والتباین العام

ps ھو:

. 2 22 22 1 1 2 2

p1 2

9 3.16 9 3.6(n 1)s (n 1)ss 11.4921.n n 2 10 10 2

psبأخذالجذرالتربیعي للتباین العام فإن 3.39 025.0وباستخدام=2α

t=101.2فإن 025.0

10عند درجات حریة ) ٢(في ملحق tنستخرج من جدول التوزیع 10 2 18 :بالتعویض في الصیغة التالیة

1 2 p1 22

1 1(x x ) t s ,n n 1 2 p 1 2

1 22

1 1(x x ) t sn n

1 فترة ثقة لـ %95 فإن 2 ھي:

ة ائن معین ار مك ع غی ة لقط ركتین منتج ن ش أخوذة م ابالت الم ان الك ات عینت ي بیان ا یل فیمدد ع وع ب القط ق طل ي تحقی ركة ف ل ش تغرقھا ك ي تس ام الت دد األی ات ع من البیان وتتض

عشرةالكابالت في Aشركة : 19,14,18,13,10,12,14,11,16,10

B شركة : 21,20,19,13,14,18,15,19,25,20د طي %95أوج ین متوس رق ب ة للف رة ثق ین الفت رض أن المجتمع ت ف ك تح ین وذل مجتمع

2تقریبا یتبعان التوزیع الطبیعي حیث 21 2 .

٧٢

( )( ) ( )( )101

+101

39.3101.2+)7.4(<μμ<101

+101

39.3101.2)7.4( 21

:یمكن اختزالھا إلىوالتي .1 27.8852 1.5148


a={19,14,18,13,10,12,14,11,16,10}; b={21,20,19,13,14,18,15,19,25,20}; =.05 0.05 plu[w_]:=Apply[Plus,w] l[w_]:=Length[w] n1=l[a] 10 n2=l[b] 10

13.7

18.4

3.16403


2.10092 xb=xb1-xb2 -4.7

xb1 pluan1

N

xb2 plubn2

N

s1 pluaxb12n1 1

s2 plubxb22n2 1

t Quantile StudentTDistribution n1 n2 2,1

2

sp n1 1s12 n2 1s22n1 n2 2

٧٣

3.38707

1.51474 low=xb-t*s -7.88236 up=xb+t*s -1.51764

21فترة ثقة لـ )α1(100%اآلن وعند الرغبة في إیجاد μμ ات الصغیرة في حالة العینون دما تك 2عن 2

1 2 او ام متس ات ذات أحج ى عین ول عل عوبة الحص د ص ات یةوعن إن درج ف :تحسب من الصیغة التالیة الحریة

1n

)ns

(+

1n

)ns

(

ns

+ns

=ν

2

2

1

22

1

2

1

21

2

2

22

1

21

ما تكون عدد صحیح ، فإننا نقربھا νوبما أن یمكن الحصول على . أقرب رقم صحیح إلىنادرا1فترة ثقة لـ 2 كالتالي:

2 2 2 21 2 1 2

1 2 1 2 1 21 2 1 22 2

s s s s(x x ) t (x x ) tn n n n

)١٥-٢(مثال

:لــالحs,8.1=x,20=n=4.0, فإن Aلمنطقة ل 111

s,03.1=x,15=n=25.0, فإن Bللمنطقة و 222

s sp1n1

1n2

N

%100)α1(

ة 20خالل ي المنطق قوط المطر ف ا خالل شھر Aسنة ماضیة كان متوسط س ي قطر م فایر اري 1.8ین انحراف معی ة ب ة 0.4بوص ي . بوص ر ف قوط المط ط س ان متوس ا ك بینم

انحراف 1.03سنة ماضیة 15من نفس القطر خالل Bالمنطقة . بوصة 0.25بوصة ب1فترة ثقة لـ %95أوجد 2 ین ردات مأخوذة من مجتمع ك تحت فرض أن المف وذل

2طبیعیین حیث 21 2 .

٧٤

1فترة ثقة لـ %95وعلى ذلك 2 2حیث 21 2 1و 2n n ا كاآلتي یمكن الحصول علیھ

:

1n

)ns

(+

1n

)ns

(

ns

+ns

=ν

2

2

1

22

1

2

1

21

2

2

22

1

21

.32≈11.32=

141525.

+19204.

1525.

+204.

= 2222

222

ك ى ذل xx=03.18.1=77.0وعل رض أن 21 ق α=05.0وتحت ف ي ملح دول ف ومن الج :وبالتعویض في الصیغة التالیة . 32بدرجات حریة t0.025 = 2.042فإن ) ٢(

212

22

1

21

2α21 μμ<

ns

+ns

t)xx(

.ns

+ns

t+)xx(<2

22

1

21

2α21

:كالتالي ) تقریبیة ( فترة ثقة %95یمكن إیجاد

.1525.

+204.

042.2+77.0<μμ<1525.

+204.

042.277.022

21

22


0.545 < 21 μμ < 0.995 .


n1=20;xb1=1.8;s1=.4;

٧٥

n2=15;xb2=1.03;s2=0.25; =.05 0.05

0.008

0.00416667

32.1206 v=Round[vv] 32 <<Statistics`ContinuousDistributions`

2.03693 xb=xb1-xb2 0.77

0.110303 low=xb-t*ss 0.545321 up=xb+t*ss 0.994679

)١٦-٢(مثال

ة ات التالی د للبیان ـ %95أوج ة ل رة ثق 1فت 2 ن أخوذة م ردات م رض أن المف ت ف ك تح وذل2و مجتمعین طبیعیین 2

1 2 .

se={980,990,940,997,980,1054,1019,942} w={939,838,1024,903,965,1027,1000}

w1 s12

n1

w2 s22

n2

vv w1 w22w12n11 w22

n21

N

t Quantile StudentTDistribution v, 1

2

ss s12

n1s22

n2 N

٧٦

:الحــل

وذلك بتحمیل الحزمة Mathematicaسوف یتم حل ھذا المثال بإستخدام برنامج


.وفیما یلى خطوات البرنامج والمخرجات <<Statistics`ConfidenceIntervals` se={980,990,940,997,980,1054,1019,942}; w={939,838,1024,903,965,1027,1000}; MeanDifferenceCI[se,w,EqualVariances->True] {-29.7877,92.1448}


wقائمة البیانات و seقائمة البیانات المخرجات : ثانیا

من االمر 92.1448والحد االعلى للثقة 29.7877- الحد االدنى للثقة MeanDifferenceCI[se,w,EqualVariances->True]

واالمر السابق یوضع بصورة عامة على الشكل التالى .

MeanDifferenceCI[list1, list2, options]

اسم القائمة للمجموعة الثانیة تعنى list2 و اسم القائمة للمجموعة االولى تعنى list1 حیث . تعنى الخیارات المطلوبة options و

:فترة ثقة ولكن الى فترة ثقة اخرى یستخدم الخیار %95والخیار المفترض ھو

ConfidenceLevel->

بما ان 2 21 2

:یكتب الخیار

EqualVariances->True الخیار المفترض ھنا ھو

KnownVarianceNone

.الخیار ولذلك ال یكتب ھذا

)١٧-٢(مثال

٧٧

ـ %95أوجد ة ل 1فترة ثق 2 ین ین طبیعی أخوذة من مجتمع ردات م رض أن المف ك تحت ف وذل2حیث 2

1 2 للمثال السابق.


<<Statistics`ConfidenceIntervals` se={980,990,940,997,980,1054,1019,942}; w={939,838,1024,903,965,1027,1000}; MeanDifferenceCI[se,w] {-35.1969,97.554}

2بما ان 2

1 2 :ال یكتب اى خیارات حیث الخیار المفترض ھو

EqualVarianceFalse

.ولذلك ال یكتب ھذا الخیار

ایضا الخیار المفترض ھنا ھو KnownVarianceNone

.ولذلك ال یكتب ھذا الخیار :من االمر

MeanDifferenceCI[se,w] 1لـ المطلوبة فترة ثقةنحصل على 2 وھى

{-35.1969,97.554} سوف نناقش في ھذا البند طریقة تقدیر الفرق بین متوسطین عندما تكون العینتین وأخیرا

فعلى سبیل المثال عندما تأخذ عینة واحدة ونحصل على قراءات لمفرداتھا ثم نضع . غیر مستقلین ھذه العینة تحت مؤثر ونعود ونأخذ قراءات أخري لھا ، وبمقارنة مجموعتي القراءتین لنفس

لنفرض مثال أننا نرید معرفة تأثیر دواء على . المفردات یمكننا استنتاج تأثیر ھذا العامل أو المؤثر وقرأنا ضغط الدم لكل منھما ثم أعطینا 10قراءات ضغط الدم المرتفع وأخذنا لذلك عینة من شخصا

في ھذه الحالة . كل شخص دواء لھ تأثیر على ضغط الدم المرتفع وأعدنا أخذ القراءات مرة أخرىأزواج المشاھدات . paired samplesنقول أننا أمام عینتین غیر مستقلین أو عینتین مزدوجتین

)yx(),...,yx(),yx( سوف تكون nn2211 نتكوالمشاھدات سوف ألزواجالفروق )yx(=d),...,yx(=d),yx(=d nnn222111 ھذه الفروق تمثل قیم للمتغیر العشوائي D . 21التقدیر بنقطة لمتوسط المجتمعD μμ=μ یعطى منd والذي یساوى متوسط الفروق

2 كما أن التباین للفروق ھو Dتمثل قیمة لإلحصاء dوبما أن . في العینةds حیث:

٧٨

n 2in2 2 i 1

d ii 1

( d )1s dn 1 n

:من الصیغة التالیة Dلـ فترة ثقة )α1(100%لحصول على یمكن ا

من ازواج المشاھدات و nھما المتوسط واالنحراف المعیاري للفروق لعدد sdو dحیث

2αt

nبدرجات حریة tھي قیمة لتوزیع 1 والتي تكون المساحة على یمینھا تساوى 2α

. )٢(فى ملحق tوالمستخرجة من جدول توزیع

)١٨-٢( مثال 10أخذت عینة عشوائیة من تالمیذ من إحدى المدارس ودونت أوزانھم ثم أعطي كل منھم كوبا

وذلك لمدة ثالثة شھور متتالیة وآخر ظھرا كاآلتى ثم دونت أوزانھم فكانت النتائج. من اللبن صباحا:

Dفترة ثقة للفرق الحقیقى %99المطلوب إیجاد 1 2 .

ل ــالح

2التباین . d=7.1ھو Dμالتقدیر بنقطة لـ ds لفروق العینة ھو:

344.3=10

)17(59

91

=2

d dD

2 2

s sd t d tn n

n)dΣ(

d1n

1=s

2i2

i2d

∑

الوزن قبل تعاطى اللبن 129 124 126 139 133 136 139 135 137 140

الوزن بعد تعاطي اللبن 141 138 140 141 134 136 140 129 126 130

٧٩

دار ي للمق ذر التربیع ذ الج 2وبأخds إن dsف 1.829. تخدام إن α=01.0باس 005t.ف 3.25

ة ) ٢(في ملحق tوالمستخرجة من جدول توزیع ي . 1n=ν=9عند درجات حری التعویض ف وب :الصیغة التالیة

.n

st+d<μ<

ns

td d

2αD

d

2α

:فترة ثقة كالتالي %99نحصل على

.D(1.8797) (1.829)1.7 (3.25) 1.7 (3.25)

10 10

:والتي تختزل الى - 3.58 < Dμ < 0.18.

یلى خطوات وفیما Mathematicaسوف یتم حل ھذا المثال بإستخدام برنامج مكتوب بلغة .البرنامج والمخرجات

x={129,124,126,139,133,136,139,135,137,140}; y={130,126,129,140,136,134,141,140,138,141}; =.01 0.01 d=x-y {-1,-2,-3,-1,-3,2,-2,-5,-1,-1} plu[w_]:=Apply[Plus,w] n=Length[d] 10

-1.7


3.24984

-3.57942

db plud

n N

sd 1n1

plud db2 N


2

low db tsdn

up db tsdn

٨٠

0.179418 :وفیما یلى المدخالت و المخرجات لھذا البرنامج

المدخالت : اوال yوقائمة البیانات xقائمة البیانات

ومن االمر

=0.01

المخرجات: ثانیا الحد االدنى للثقة من االمر

والحد االعلى للثقة من االمر

)١٩-٢(مثال شركة تنتج مقیاسین للمقاومة الكھربائیة ورغبت الشركة في معرفة كفاءة الجھازین في القیاس

نماذج من األسالك الكھربائیة وتم قیاس مقاومتھم باالوم بالمقیاسین وتم الحصول على 10أخذت ds: النتائج التالیة 0.037 , d 0.018

Dفترة ثقة للفرق الحقیقى %95المطلوب إیجاد 1 2 .

: الحــلs=037.0 واالنحراف المعیاري لفروق العینة ھو .d=0.018ھو Dالتقدیر بنقطة لـ d

تخدام إن α= 0.05 باس ع t0.025=2.262 ف دول توزی ن ج تخرجة م ق tوالمس ي ملح د ) ٢(ف عنnدرجات حریة 1 9 . وبالتعویض في الصیغة التالیة:

.n

st+d<μ<

ns

td d

2αD

d

2α

:فترة ثقة كالتالي %95نحصل على

.10

)037.0()262.2(+0.018<μ<

10)037.0(

)262.2(0.018 D

:والتي تختزل الى -0.00847 < D < 0.04447.

low db tsdn

up db tsdn

٨١


95 =.05 0.05 n=10 10 db=.018 0.018 sd=.037 0.037 <<Statistics`ContinuousDistributions` 2.26216

-0.00846821

0.0444682


المدخالت : اوال


وحجم العینة من االمرn=10

من االمر dو db=.018

dsو من االمر sd=.037

المخرجات : ثانیا الحد االدنى للثقة من االمر


low db tsdn


2

up db tsdn

low db tsdn

٨٢

Confidence Interval for Proportion فترة ثقة للنسبة) ٤-٢(

ة . لیس دائما المطلوب في مجال اإلحصاء x التقدیرأن ام بمعرف ان یكون االھتم ي بعض األحی ففات بة النبات نان أو نس وس األس ابین بتس بة المص ل نس ا مث ع م ي مجتم ة ف فة معین ود ص بة وج نس

xpوعلى ذلك ، فإن نسبة العینة . المصابة وھكذاn

ة دیر بنقطة للمعلم تم . pسوف تستخدم كتق وی

1)الحصول على ) 100% ترة ثقة للمعلمة فp من الصیغة التالیة:

2 2

ˆ ˆ ˆ ˆpq pqˆ ˆp z p p zn n

تخدمت ة p إذا اس ة للمعلم دیر بنقط دینا pكتق ون ل ھ یك أ )α1(100%فإن ة أن الخط ثق :عندما یحسب حجم العینة من الصیغة التالیة eسوف یكون أقل من قیمة معینة

.2

2

2α

e

qpz=n

رة pوحیث أن ة كبی ة مبدئی ار عین د من اختی ذلك الب ة ، ل در من عین في الصیغة السابقة ال بد أن تق .منھا pوحساب نسبة العینة

)٢٠-٢( مثال

:لــالحة ) أ( ة للمعلم دیر بنقط و pالتق =54.0ھ

500270

=nx

=p . ي ع الطبیع دول التوزی تخدام ج باس

:وبالتعویض في الصیغة التالیة z0.025 = 1.96فإن ) ١(القیاسي في ملحق

up db tsdn

نھم 500في عینة عشوائیة من ا ، وجد م ون 270مواطن في مجتمع سكاني م یحب ا مواطن :المطلوب . أن یضاف الى میاھم قلیل من الفلور

.فترة ثقة لنسبة المجتمع الذین یحبذون إضافة الفلور %95إیجاد ) أ( .0.05من أن الخطأ ال یتجاوز %95تقدیر حجم العینة التي یمكننا التأكد منھا باحتمال ) ب(

٨٣

.nqp

z+p<p<nqp

zp2α

2α

:فترة ثقة كالتالي %95یمكن الحصول على

500)46.0)(54.0(

96.1+54.0<p<500

)46.0)(54.0(96.154.0

:والتي تختزل إلى 0.496 < p < 0.584.

0.54=یمثلون عینة عشوائیة مبدئیة حیث أن 500باعتبار األشخاص الذین عددھم ) ب( p

:فإن السابقةنظریة الوباستخدام

70.381=)05.0(

)46.0)(54.0()96.1(=n 2

2

.382≈


n=500;x=270; =.05 0.05

0.54

qh=1-ph 0.46


1.95996 low=ph-z* s 0.496314 ub=ph+z* s 0.583686 e=.05 0.05

ph xn N

s phqhn


2

٨٤

382


وحجم العینة من االمر n=500

وعدد الذین یملكون الصفة موضع الدراسة من االمر x=270

ومن االمر=0.05

المخرجات : ثانیا الحد االدنى للثقة من االمر low=ph-z* s

من االمروالحد االعلى للثقة ub=ph+z* s

وحجم العینة المفترض من االمر

.

Confidence Interval for the فترة ثقة للفرق بین نسبتین) ٥-٢( Difference Between Two Proportions

21للحصول على تقدیر بنقطة لـ pp 12سوف تختار عینتین عشوائیتین مستقلتین من الحجم n,n

ة ، ي كل عین وحساب النسبة للصفة موضع الدراسة ف2

22

1

11 n

x=p,

nx

=p ث ثالن x2 , x1، حی یم

والي ى الت ین عل ي العینت ذین یملكون الصفة موضع االھتمام ف ردات ال رق . عدد المف تم حساب الف ی21 pp ..

1)وبالتالي یمكن الحصول على ) 100% فترة ثقة للفرق بین نسبتین كالتالي :

m Round z2ph qh

e2

m Round z2ph qh

e2

)pp(<nqp

+nqp

z)pp( 212

22

1

11

2α21

٨٥

5000من الرجال و 2000في عینة من ا یومی ا تلیفزیونی ا من النساء الذین یشاھدن برنامجامج 2300من الرجال و 1100وجد أن ذا البرن اء یفضلون ھ رة %95أوجد . من النس فت

امج ذا البرن ذین یشاھدون ھ اء ال ن النس ل م بة ك ال ونس ن الرج ل م بة ك ین نس رق ب ة للف ثق . ویفضلونھ

.nqp

+nqp

z+)pp(<2

22

1

11

2α21

)٢١–٢(مثال

:ل ــالح21بفرض أن pp النسبتین الحقیقتین وعلى ذلك

.55.0=20001100

=p,46.0=50002300

=p 12

ـ دیر بنقطة ل ك التق ى ذل 21وعل pp و 21 09.=0.46 – 0.55=ھ pp. ع دول التوزی باستخدام ج :وبالتعویض في الصیغة التالیة z0.025 = 1.96فإن ) ١(الطبیعي القیاسي في ملحق

212

22

1

11

2α21 pp<

nqp

+nqp

z)pp(

.nqp

+nqp

z+)pp(<2

22

1

11

2α21

:فإن

21 pp<5000

)54.0)(46.0(+

2000)45.0)(55.0(

96.109.0

,5000

)54.0)(46.0(+

2000)45.0)(55.0(

96.1+09.0<

:والتي تختزل الى 0.0642 < 21 pp < 0.1158.


.البرنامج والمخرجات n1=2000;x1=1100;n2=5000;x2=2300; =.05 0.05

p1

x1n1

N

٨٦

0.55

0.46

q1=1-p1 0.45 q2=1-p2 0.54 p=p1-p2 0.09


1.95996 low=p-z *sp 0.0641887 up=p+z*sp 0.115811


حجم العینة للمجتمع االول من االمرn1=2000

وعدد الذین یملكون الصفة فى المجتمع االول من االمر x1=1100

وحجم العینة للمجتمع الثانى من االمرn2=5000

وعدد الذین یملكون الصفة فى المجتمع الثانى من االمرx2=2300

ومن االمر=0.05

المخرجات : ثانیا الحد االدنى للثقة من االمرlow=p-z *sp

.upوالحد االعلى للثقة من االمر up=p+z*sp

Confidence Interval for the Varianceفترة ثقة للتباین ) ٦-٢(

p2 x2n2

N

sp p1 q1n1

p2 q2n2


2

٨٧

م تسلم أحد د وت التجار كمیة كبیرة من بطاریات السیارات المنتجة بواسطة مصنع جدیا ت أعمارھ ا فكان اختیار عینة عشوائیة من البطاریات التي تسلمھا التاجر وتمت تجربتھ

:بالشھر ھي 26.9 28.5 33.6 28.0 23.9 28.7 29.3 29.1 35.9 35.2

فترة ثقة للمعلمة %99أوجد 2σ

یحسب ویمكن الحصول على s2، فإن تباین العینة nلعینة عشوائیة خاصة من الحجم %100)α1( 2فترة ثقة للمعلمةσ من الصیغة التالیة :

2 22

2 21

2 2

(n 1)s (n 1)s

2حیث

2 2و

12 ع ى 2ھما قیمتان لتوزی درجات حری nب 1 ین ي یم ى المساحة عل 2والت

2

تساوى 2 2على یمین ، والمساحة

12:

)٢٢-٢(مثال لــالح

:وھو s2أوال نحصل على تباین العینة

n

)x(x

1n1

=s

2n

1=iin

1=i

2i

2∑

∑

.53.14=10

)1.299(87.9076

91

=2

:فإن 1n=ν=9بدرجات حریة ) ٣(في ملحق 2باستخدام جدول توزیع 587.23=χ,735.1=χ 22

005.0995.0 :بالتعویض في الصیغة التالیة

2

2α

1

22

2

2α

2

χs)1n(

<σ<χ

s)1n(

٨٨

:یمكن الحصول على فترة ثقة كالتالي

735.1)53.14)(9(

<σ<587.23

)53.14)(9( 2

والتي یمكن اختزالھا الى 5.544 < 2σ < 75.372.


x={26.9,28.5,33.6,28,23.9,28.7,29.3,29.1,35.9,35.2}; =.01 0.01 n=Length[x] 10 plu[w_]:=Apply[Plus,w]


23.5894

1.73493

5.54441

75.3856

وفیما یلى المدخالت و المخرجات لھذا البرنامج المدخالت : اوال

مستوى المعنویة من االمر=0.05

xوقائمة البیانات :المخرجات : ثانیا

الحد االدنى للثقة من االمر

ss 1

n1plux2 1

nplux2

k1 Quantile ChiSquareDistribution n1,1

2

k2 Quantile ChiSquareDistribution n1,

2

low ssn1

k1

up ssn1

k2

٨٩


.

)٢٣- ٢(مثال

فترة ثقة للمعلمة %90أوجد ) ٢-٢(للمثال 2σ ة %95و فترة ثقة للمعلم

2σ 99%, ة رة ثق فت 2σللمعلمة

:لــالح : الجاھزة وذلك بتحمیل الحزمة Mathematicaسوف یتم حل ھذا المثال بإستخدام برنامج

Statistics`ConfidenceIntervals

.والمخرجات وفیما یلى خطوات البرنامج

<<Statistics`ConfidenceIntervals` grades={85,94.5,76.7,79.2,83,80.2,68.7,89.1,74.1,87.8,44.9,77.6,85.1,75.7,81.5,66.2,83.4,79.8,94,91.8,96.3,73.5,82.2,76.1,78.5,69.1,75.4,71.7,78.2,77.7,88.7,79.9,86.1,63.8,78.7,82.6,98.6,81.3,63.4,76.6,84.2,89.7,87.7,54.6}; VarianceCI[grades,ConfidenceLevel->.90] {80.0873,163.974} VarianceCI[grades] {75.3998,177.315} VarianceCI[grades,ConfidenceLevel->.99] {67.2576,207.768}


gradesقائمة البیانات المخرجات : ثانیا

فترة ثقة للمعلمة 90%2σ تم الحصول علیھا من االمر

VarianceCI[grades,ConfidenceLevel->.90] والمخرج ھو

{80.0873,163.974} فترة ثقة للمعلمة 95%

2σ تم الحصول علیھا من االمر VarianceCI[grades]

low ssn1

k1

up ssn1

k2

٩٠

ع ادة اإلحصاء یتب ي م ات بإحدى الجامعات ف إذا كانت درجات كل من الطالب والطالب طبیعیا ت . توزیعا ات فكان ین الطالب ین الطالب وأخرى من ب ة عشوائیة من ب ر عین اختی

:درجاتھم كما یلي الطالب: 81 44 69 83 88 49 73 79 59

الطالبات: 89 79 69 82 59 49 79 742فترة ثقة للنسبة %90أوجد 2

1 2/ .

والمخرج ھو{75.3998,177.315}

فترة ثقة للمعلمة 99%2σ تم الحصول علیھا من االمر

VarianceCI[grades,ConfidenceLevel->.99] والمخرج ھو

{67.2576,207.768} فترة ثقة لنسبة تباینین) ٧-٢(

Confidence Interval for the Ratio of two variances 2التقدیر بنقطة لنسبة تبایني مجتمعین ،

221 σ/σ ، ھ من النسبة 2، یمكن الحصول علی

221 s/s

حیث ، 2

1 2 1 212

f ( , ) , f ( , )

ھما قیمتان لتوزیعF ة درجات حری 21ب ν,ν والي ى الت عل

1مع العلم أن 21 1 222

1f ( , )f ( , )

12ألي عینتین عشوائیتین مستقلتین من الحجم n,n إن ین ، ف ین طبیعی مأخوذتین من مجتمع

2النسبة 2

21 s/s 100%تحسب ویتم الحصول على)α1( لـ فترة ثقة

2122

: من الصیغة التالیة

.2 1

1 2 22

2 2 21 1 1

( , )2 2 2( , )2 2 2

s 1 s ffs s

)٢٤-٢(مثال

:لــالح.07.13=s,8=n,57.15=s,9=n 2211

٩١

f.05(7,8)=3.5 , f.05(8,7) = 3.73 المستخرجتان من جدول توزیعF بدرجات ) ٤(في ملحقν,8=ν=7حریة ν,7=ν=8للعینة األولي ودرجات حریة 21 یمكن . للعینة الثانیة 21

2فترة ثقة للنسبة %90الحصول على 2

21 σ/σ وذلك بالتعویض في الصیغة التالیة.

.2 1

1 2 22

2 2 21 1 1

( , )2 2 2( , )2 2 2

s 1 s ffs s

:أي أن

.2 2 2

12 2 2

2

(15.57) (15.57 )(3.5)(13.07) (3.73) (13.07)

:والتي تختزل إلى 2122

0.3805 4.967.


.البرنامج والمخرجات x1={59,79,73,49,88,83,69,44,81};x2={74,79,49,59,82,69,79,89}; =.1 0.1 l[w_]:=Length[w] plu[w_]:=Apply[Plus,w] n1=l[x1] 9 n2=l[x2] 8

242.528


3.72573

ss1 1

n1 1plux12 1

n1plux12 N

ss2 1

n2 1plux22 1

n2plux22 N

f1 Quantile FRatioDistribution n1 1, n2 1,1

2


2

٩٢

3.50046

0.380993

4.96883

:المدخالت و المخرجات لھذا البرنامج وفیما یلى المدخالت : اوال

. x2وقائمة البیانات x1قائمة البیانات من االمر

=0.01

:المخرجات : ثانیا الحد االدنى للثقة من االمر


)٢٥-٢(مثال

:الحــل .2.194=s,10=n,9.77=s,6=n 2211

f.05(9,5) = 4.77 , f.05(5,9) = 3.48 المستخرجتان من جدول توزیعF بدرجات ) ٤(في ملحقν,5=ν=9حریة 1ودرجات حریة للعینة األولي 21 29 , 5 یمكن للعینة الثانیة

2فترة ثقة للنسبة %90الحصول على 2

21 σ/σ وذلك بالتعویض في الصیغة التالیة:

.)ν,ν(22

21

22

21

)ν,ν(22

21

122α

212α

fss

<σσ

<f

1ss

:أي أن

low ss1ss2

1f1

up ss1ss2

f2

low ss1ss2

1f1

up ss1ss2

f2

ا ة حجمھ ذت عین 1nأخ 6 اري ا المعی 1sوانحرافھ 77.9 ة ي وعین ع طبیع ن مجتم م2nاخرى مستقلةعن حجمھا 10 اري ا المعی 2sوانحرافھ 194.2 مجتمع طبیعى من

2فترة ثقة لـ %90 أوجد. ایضا 21 2/ .

٩٣

.22 21

2 2 22

(77.9) (77.9) (4.77)(194.2) (3.48) (194.2)


.2122

0.046 0.7675


=.1 0.1 n1=6 6 n2=10 10 ss1=77.9 77.9 ss2=194.2 194.2 <<Statistics`ContinuousDistributions`

3.48166

4.77247

0.0462158

0.767926


من االمر =0.01

من االمر حجم العینة االولىn1=6


2


2

low ss1ss2

2

1f1

up ss1ss2

2f2

٩٤

من االمر الثانیةحجم العینة n2=10

واالنحراف المعیارى للعینة االولى من االمر ss1=77.9

من االمرواالنحراف للمعیارى العینة الثانیة ss2=194.2

المخرجات : ثانیا الحد االدنى للثقة من االمر


)٢٦- ٢(مثال

2فترة ثقة للنسبة %90أوجد ) ١٦-٢(للمثال 21 2/ .

:لــالح

الجاھزة وذلك بإستخدام الحزمة Mathematicaسوف یتم حل ھذا المثال بإستخدام برنامج Statistics`ConfidenceIntervals

وفیما یلى خطوات البرنامج والمخرجات <<Statistics`ConfidenceIntervals` se={980,990,940,997,980,1054,1019,942}; w={939,838,1024,903,965,1027,1000}; VarianceRatioCI} [se,w,ConfidenceLevel->.90] {0.0706333,1.1487}

2فترة ثقة للنسبة 90% 21 2/ تم الحصول علیھا من االمر

VarianceRatioCI} [se,w,ConfidenceLevel->.90] والمخرج ھو

{0.0706333,1.1487}

low ss1ss2

2

1f1

up ss1ss2

2f2

٩٥

فصل الثالثفصل الثالثالال

اختبارات الفروضاختبارات الفروض

٩٦

Statistical Hypotheses لفروض اإلحصائیةا) ١-٣(

اذا ت ة م عتبر اختبارات الفروض اإلحصائیة أھم فرع في نظریة القرارات، أوال، دعنا نعرف بدق .اإلحصائينعني بالفرض

فرض اإلحصائي ھو جملة ما تخص واحد أو أكثر من المجتمعات، من الممكن أن ال : تعریف .تكون صحیحة أو غیر صحیحة

للتأكد من صحة أو عدم صحة الفرض اإلحصائي ال بد من دراسة كل مفردات المجتمع تحت ختار عینة عشوائیة من بدال من ذلك فإننا ن. الدراسة وھذا بالطبع غیر عملي في معظم الحاالت

. اإلحصائي الفرض المجتمع ونستخدم المعلومات الموجودة في العینة لنتخذ قرار بقبول أو رفضبینما . القرار الذي نتخذه سوف یكون سلیم إذا كان الفرض صحیح وتم قبولھ أو خطأ وتم رفضھ

. سلیم إذا كان الفرض صحیح وتم رفضھ أو غیر صحیح وتم قبولھغیر یكون القرار

ویرمز . null hypothesesالفروض التي نضعھا على أمل أن نرفضھا تسمى فروض العدم hypothesisرفض فرض العدم یؤدي إلى قبول فرض بدیل . 0لفرض العدم بالرمز

alternative 1ویرمز للفرض البدیل بالرمز .0فرض العدم بیل المثال إذا كان فعلى س أنقد یكون 1فإن الفرض البدیل ) مقاسھ بالسنتیمتر( 160متوسط الطول في مجتمع ما

160 160أو 160أو . .صحیحفرض العدم وھو رفضإذا االولیحدث الخطأ من النوع : تعریف

level of احتمال الوقوع في خطأ من النوع األول یسمى مستوى المعنویة : تعریف

significance لالختبار ویرمز لھ بالرمز . یقال لالختبار أنھ معنوي . 01.0أو 05.0 من القیم الشائعة لمستوى المعنویة

significant 05.0عند 05.0عند مستوى معنویة إذا رفض فرض العدم ویعتبر وھناك قیم تستخرج من .01.0 االختبار معنوي جدا إذا رفض فرض العدم عند مستوي معنویة

حیث pvalueتسمى قیم Mathematica برنامج او SPSSالبرامج الجاھزة مثل برنامج :كالتالى 0ویتم رفض او قبول تقارن ھذه القیم مباشرة بمستوى المعنویة

.اكبر من مستوى المعنویة المستخدم pإذا كانت القیمة 0نقبل ) أ( .اصغر من مستوى المعنویة المستخدم pإذا كانت القیمة 0نرفض ) ب(

:اختبارات من جانب واحد أو من جانبین )٢- ٣(

ailed TestsT –ailed and Two T –One

یسمى االختبار ، ألي فرض إحصائي ، أنھ من جانب واحد إذا كان على الصورة 00 :H

0 0H : :أو على الشكل

٩٧

00 :H 01 :H

:فرض إحصائي، أنھ من جانبین إذا كان على الصورة یسمى االختبار، ألي

00 :H 01 :H

ة بین اختبار من جانب واحد أو من جانبین سوف یتوقف على االستنتاج الذي یرغب المفاضل :في الوصول إلیھ عند رفض فرض العدم الباحث . خدامفي البنود التالیة من ھذا الفصل سوف نناقش بعض اختبارات الفروض الشائعة االست

:اختبارات حول متوسط المجتمع ) ٣- ٣(

Tests About a Population Mean

، یساوى قیمة معینة 2بتباین معلوم طبیعى اختبار الفرض أن المتوسط لمجتمع :الحالة األولى 0 0ضد الفرض البدیل ذي جانبین أن المتوسط ال یساوى یكون على الشكل:

00 :H 01 :H .

من المجتمع موضع الدراسة ونحسب nإلجراء االختبار نختار عینة عشوائیة من الحجم :القیمة منھا

n

xz 0

في المنطقة zفإذا وقعت 22

zZz 0االستنتاج سوف یكون ف0وغیر ذلك نرفضH

. 0ونقبل الفرض البدیل :بفرض اختبار من جانب واحد على الشكل

,:H 00 01 :H

ع ذیل األیسر من توزی ي ال رفض سوف تكون ف ة. Zمنطقة ال إ لمستوى معنوی Zن ف z Zتمثل منطقة الرفض و z تمثل منطقة القبول .

:بفرض اختبار من جانب واحد على الشكل ,:H 00 1 0H :

ذیل ي ال ون ف وف تك رفض س ة ال نمنطق ع االیم ن توزی ة. Zم توى معنوی إ لمس Zن ف z Zتمثل منطقة الرفض و z تمثل منطقة القبول .

من 2sإذا كان تباین المجتمع مجھول فإننا نحسب تباین العینة 2ونستخدمھ بدال تحت شرط أن 30حجم العینة أكبر من أو یساوى 30n .

٩٨

)١- ٣(مثال

:لدیك البیانات لتالیة كانإذا

464,450,450,456,452,433,446,446,450,447,442,438,452,

447,460,450,453,456,446,433,448,450 ,439,452,459,454,456,454,452,449,463,449,447,466,446,44

7,450,449,457,464,468,447,433,464,469,457,454,451,453,443

H:454اختبار فرض العدم المطلوب 0 454ضد الفرض البدیل عند مستوى معنویة05.0 . العدم وایضا اختبار فرض 7.9مع العلم أن االنحراف المعیارى للمجتمع ھو

454:H 0 454ضد الفرض البدیل 05.0عند مستوى معنویة.

:الحــل

وذلك بتحمیل الحزمة الجاھزة Mathematicaسوف یتم حل ھذا المثال بإستخدام برنامج Statistics HypothesisTests وذلك من خالل االمر التالى:

<<Statistics`HypothesisTests` ). weightsلھذا المثال تم استخدام االسم (یتم إدخال البیانات فى قائمة لھا اسم

:بفرض اختبار من جانب واحد على الشكل ,:H 00 1 0H :

:سوف یستخدام االمر التالى

MeanTest[list,muo,options]

تحت فرض )لھذا المثال454 وھو ( تعنى متوسط المجتمع muoو اسم القائمة تعنى list حیث :فعلى سبیل المثال یمكن وضع الخیار .تعنى الخیارات المطلوبة options العدم و

KnownStandardDeviation-> حیث االنحراف المعیارى للمجتمع یوضع بعد السھمحیث تباین المجتمع یوضع <-KnownVariance، وقد یستخدم الخیار ) لھذا المثال7.9 وھو (

0.1 على سبیل المثال (أیضا للرغبة فى الحصول على مستوى معنویة معین .بعد السھم أو01.0 ( یستخدم الخیارSignificanceLevel-> 0.1 حیث یوضع 01.0أو بعد

السھم وفى ھذه الحالة القرار بقبول أو رفض فرض العدم یظھر ضمن المخرجات وبدون ھذا مفصل یوضع الخیار وللحصول على تقریر.ضمن المخرجات pالخیار تظھر قیمة

FullReport->True ، وللعلم ھذا االمر ال یوضح ھل االختبار من الیمین ام من

٩٩

وبدون ھذا الخیار یكون االختبار TwoSided->Trueالختبار ذو جانبین یستخدم الخیار .الیسار .وفیما یلى خطوات البرنامج والمخرجات . من جانب واحد

<<Statistics`HypothesisTests` weights={464,450,450,456,452,433,446,446,450,447,442,438,452,447,460,450,453,456,446,433,448,450,439,452,459,454,456,454,452,449,463,449,447,466,446,447,450,449,457,464,468,447,433,464,469,457,454,451,453,443}; MeanTest[weights,454,KnownStandardDeviation->7.9] OneSidedPValue0.00641777 MeanTest[weights,454,KnownStandardDeviation->7.9,FullReport->True]

MeanTest[weights,454,KnownStandardDeviation->7.9,FullReport->True ,SignificanceLevel->0.05]

MeanTest[weights,454,KnownStandardDeviation->7.9,TwoSided->True,FullReport->True]

:بالنسبة لالمر

MeanTest[weights,454,KnownStandardDeviation->7.9] واحد اختبار من جانبوالذى یعنى أن المطلوب والمخرج ھو 7.9 ھو للمجتمع حیث االنحراف المعیارى

OneSidedPValue0.00641777 00641777.=قیمة ان والتى تعنى p 0.05وبما أن p< .فھذا یعنى رفض فرض العدم

:وبالنسبة لالمر MeanTest[weights,454,KnownStandardDeviation->7.9,FullReport->True]

والذى أضیف إلیھ الخیار

FullReportMean TestStat Distribution451.22 2.4883 NormalDistribution,

OneSidedPValue 0.00641777


OneSidedPValue 0.00641777,

Reject null hypothesis at significance level 0.05


TwoSidedPValue 0.0128355

١٠٠

FullReport->True لذلك تغیرت المخرجات حیث تم الحصول على تقریر مفصل یحتوى على متوسط العینة تحت العنوان

Mean واالحصاء المستخدم تحت العنوان TestStat وقیمة االحصاء المستخدم تحت العنوان

والذى یعنى ان االحصاء المستخدم یتبع التوزیع الطبیعى Distribution القیاسى ونستنتج من ھذا االمر قبول الرفض البدیل

1 0H : .وذلك الن قیمة االحصاء سالبة

) SignificanceLevel->0.05والذى اضیف إلیھ الخیار (مر التالى وبالنسبة لال MeanTest[weights,454,KnownStandardDeviation->7.9,FullReport->True,SignificanceLevel->0.05]

لھذا المثال ا لقرار رفض فرض العدم عند مستوى معنویة. فیؤدى الى اتخاذ قرار اى ان. 0.05

1 0H :

:االمر وبالنسبة إلى MeanTest[weights,454,KnownStandardDeviation->7.9,TwoSided->True,FullReport->True]

p والذى یؤدى الى الحصول على قیمة TwoSided->Trueوالذى أضیف إلیھ الخیار pالختبار ذو جانبین وذلك ضمن المخرجات وحیث ان .05 فھذا یعنى رفض فرض العدم ان

0H : 454 .

)٢- ٣(مثال

0Hاختبر فرض العدم ان وبفرض ان االنحراف المعیارى للمجتمع غیر معروف ) ١- ٣(للمثال : 454 0Hضد الفرض البدیل ان : 454 05.عند مستوى معنویى .

:الحــل

n وحجم العینةبما ان االنحراف المعیارى غیر معروف 30 فإن االنحراف المعیارى للعینة یحلسوف یتم حل ھذا المثال بإستخدام برنامج .محل االنحراف المعیارى المجتمع فى عملیة الحساب

.وفیما یلى خطوات البرنامج والمخرجات Mathematicaمكتوب بلغة

weights={464.,450.,450,456,452,433,446,446,450,447,442,438,452,447,460,450,453,456,446,433,448,450,439,452,459,454,456,454,452,449,463,449,447,466,446,447,450,449,457,464,468,447,433,464,469,457,454,451,453,443} {464.,450.,450,456,452,433,446,446,450,447,442,438,452,447,460,450,453,456,446,433,448,450,439,452,459,454,456,454,452,4

١٠١

49,463,449,447,466,446,447,450,449,457,464,468,447,433,464,469,457,454,451,453,443} =0.05 0.05 =454 454 n=Length[weights] 50 aa=Apply[Plus,weights] 22561.

451.22

8.39653

1.18745

-2.34116 <<Statistics`ContinuousDistributions`

1.95996


weightsقائمة البیانات مستوى المعنویة من االمر

=.05 H:454ومتوسط المجتمع تحت فرض العدم 0 من االمر

=454 المخرجات : ثانیا

zالمحسوبة من االمر

xbaan

N

c ApplyPlus,weights21.01834107

s1n1

c aa2

n N

v s

n N

zxbv

N

a QuantileNormalDistribution0,1,1

2

r IfAbsz a, Print"Reject Ho",Print"Accept Ho"

Reject Ho

١٠٢

الجدولیة من االمر z و

.والقرار الذى یتخذ من االمر

If[Abs[z]>a,Print["RjectH0"],Print["AccetH0"]] والمخرج ھو RjectH0

.اى رفض فرض العدم

)٣- ٣(مثال

0Hاختبر فرض العدم ان وبفرض ان االنحراف المعیارى للمجتمع غیر معروف ) ١- ٣(للمثال : 454

0Hضد الفرض البدیل ان : 454 05.عند مستوى معنویة . :الحــل

n وحجم العینةبما ان االنحراف المعیارى غیر معروف 30 فإن االنحراف المعیارى للعینة یحلسوف یتم حل ھذا المثال بإستخدام برنامج .محل االنحراف المعیارى المجتمع فى عملیة الحسا ب


weights={464.,450.,450,456,452,433,446,446,450,447,442,438,452,447,460,450,453,456,446,433,448,450,439,452,459,454,456,454,452,449,463,449,447,466,446,447,450,449,457,464,468,447,433,464,469,457,454,451,453,443} {464.,450.,450,456,452,433,446,446,450,447,442,438,452,447,460,450,453,456,446,433,448,450,439,452,459,454,456,454,452,449,463,449,447,466,446,447,450,449,457,464,468,447,433,464,469,457,454,451,453,443} =0.05 0.05 =454 454 n=Length[weights] 50 aa=Apply[Plus,weights] 22561.

451.22

zxb

sn

N


2

xbaan

N

١٠٣

8.39653

1.18745

-2.34116 <<Statistics`ContinuousDistributions` a=Quantile[NormalDistribution[0,1],1-] 1.64485

:لھذا البرنامج فإن z الجدولیة من االمر

a=Quantile[NormalDistribution[0,1],1-]

.والقرار الذى یتخذ من االمر

والمخرج ھو

.اى قبول فرض العدم

)٤- ٣(مثال

0Hاختبر فرض العدم ان وبفرض ان االنحراف المعیارى للمجتمع غیر معروف ) ١- ٣(للمثال : 454

0Hضد الفرض لبدیل ان : 454 05.عند مستوى معنویة . :الحــل

n وحجم العینةبما ان االنحراف المعیارى غیر معروف 30 فإن االنحراف المعیارى للعینة یحلسوف یتم حل ھذا المثال بإستخدام برنامج .محل االنحراف المعیارى المجتمع فى عملیة الحسا ب



s1n1

c aa2

n N

v s

n N

zxbv

N

r Ifz a, Print"Reject Ho", Print"Accept Ho"Accept Ho

r Ifz a, Print"Reject Ho", Print"Accept Ho"

Accept Ho

١٠٤

weights={464.,450.,450,456,452,433,446,446,450,447,442,438,452,447,460,450,453,456,446,433,448,450,439,452,459,454,456,454,452,449,463,449,447,466,446,447,450,449,457,464,468,447,433,464,469,457,454,451,453,443} {464.,450.,450,456,452,433,446,446,450,447,442,438,452,447,460,450,453,456,446,433,448,450,439,452,459,454,456,454,452,449,463,449,447,466,446,447,450,449,457,464,468,447,433,464,469,457,454,451,453,443} =0.05 0.05 =454 454 n=Length[weights] 50 aa=Apply[Plus,weights] 22561.

451.22

8.39653

1.18745

-2.34116 <<Statistics`ContinuousDistributions` a=Quantile[NormalDistribution[0,1],] -1.64485

:لھذا البرنامج فإن z الجدولیة من االمر

a=Quantile[NormalDistribution[0,1],] .والقرار الذى یتخذ من االمر

والمخرج ھو

xbaan

N


s1n1

c aa2

n N

v s

n N

zxbv

N


Reject Ho


١٠٥


)٥- ٣(مثال

ذه . ینتج مصنع لألغذیة المعلبة نوعا من المعلبات ة أوزان ھ ة بمراقب رة طویل قام المسئولین خالل فتاري انحراف معی ي ب ع الطبیع ع للتوزی ا تخض د أنھ ات ووج رام 2.6المعلب ي . ج ادة ف رت الع ج

ة عشوائیة من . جرام 300المصنع أن یكتب على العلبة الوزن الصافي وھو رت عین ة علب 20اختیة ن العین وزن م ط ال ان متوس دم . 305xوك رض الع ر ف دیل = 300أختب رض الب د الف ض

300 . = 0.01وذلك عند مستوى معنویة

:الحــل

.01.0 575.2z 005.0 منطقة الرفض ) ١(والمستخرجة من جدول التوزیع الطبیعي القیاسي في ملحق

575.2Z 575.2أوZ .6.8

206.2300305

n

xz 0

.تقع في منطقة الرفض zنرفض فرض العدم ألن مع مالحظة عدم وجود ( Mathematicaسوف یتم حل ھذا المثال بإستخدام برنامج مكتوب بلغة

.وفیما یلى خطوات البرنامج والمخرجات ) مشاھدات العینة

xb=305 305 =300 300 sgm=2.6 2.6 n=20 20 =.01 0.01 <<Statistics`ContinuousDistributions`

2.57583 b=xb-

Reject Ho


2

,300:H0 .300:H1

١٠٦

5

0.581378

8.60026

:وفیما یلى المدخالت و المخرجات لھذا البرنامج المدخالت :اوال

متوسط العینة من االمر xb=305

0Hومتوسط المجتمع تحت فرض العدم : 300 من االمر =300

واالنحراف المعیارى للمجتمع من االمر sgm=2.6


مستوى المعنویة من االمر=.01

المخرجات : ثانیا z المحسوبة من االمر

الجدولیة من االمرz و

والقرار الذى یتخذ من االمر

. والمخرج ھو


)٦ - ٣(مثال

csgmn

zbc


Reject Ho

zbc


2


Reject Ho

١٠٧

الحجم اتفق أحد مصدري البیض مع أحد التجار على أن یورد األخیر لألول عدد من البیض من بیضة فوجد أن 100الكبیر ولما أحضر التاجر البیض قام المصدر باختیار عینة عشوائیة من

H:65اختبر فرض العدم. 6.1جراما بانحراف معیاري 67 متوسط وزن البیضة 0 ضد الفرضH1:65البدیل )05.0مستوى المعنویة (

:الحــل,65:H0 .65:H1

.05.0 30nبما أن فإنھ یمكننا استخدامs من Z . 645.1zفي صیغة بدال 05.0 والمستخرجة

645.1Zمنطقة الرفض ) ١(من جدول التوزیع الطبیعي القیاسي في ملحق .5.12

1006.16567

ns

xz 0

.أي أن المورد سوف یقبل استالم البیض . تقع في منطقة الرفض zألن 0Hنرفض

مع مالحظة عدم وجود ( .Mathematicaسوف یتم حل ھذا المثال باستخدام برنامج بلغة .البرنامج والمخرجات وفیما یلى خطوات) مشاھدات العینة

xb=67 67 =65 65 sgm=1.6 1.6 n=100 100 =.05 0.05 <<Statistics`ContinuousDistributions` a=Quantile[NormalDistribution[0,1],1-] 1.64485 b=xb- 2

0.16

csgmn

zbc

١٠٨

12.5

:لھذا البرنامج االنحراف المعیارى للعینة من االمر

sgm=1.6 والقرار الذى یتخذ من االمر

والمخرج ھو


)٧- ٣(مثال

من المعروف أن أحد أدویة إزالة األلم المستخدمة یمكنھا إزالة األلم للمریض في فترة زمنیة 60ولمقارنة ھذا الدواء بدواء جدید إلزالة األلم اختیرت عینة عشوائیة من. دقیقة 7.3متوسطھا

مریضا وتم إعطاء الدواء الجدید لھم فكان المتوسط الحسابي لطول فترة إزالة األلم في ھذه العینةفھل تدل ھذه النتائج أن الدواء الجدید أفضل من الدواء . دقیقة 2.1دقیقة بانحراف معیاري 2.2

. 05.0القدیم من حیث الفترة الالزمة إلزالة المرض ؟ وذلك عند مستوى معنویة

:الحــل,7.3:H 0 .7.3:H1

.05.0 30nبما أن فإنھ یمكننا استخدامs من . Zفي صیغة بدال

645.1z 05.0 منطقة الرفض ) ١(والمستخرجة من جدول التوزیع الطبیعي القیاسي في ملحق645.1Z

.682.9

602.1

7.32.2

ns

xz 0

أي أن الدواء الجدید أفضل من الدواء القدیم من . تقع في منطقة الرفض zنرفض فرض العدم ألن .حیث الفترة الالزمة إلزالة المرض

مع مالحظة عدم وجود ( .Mathematicaسوف یتم حل ھذا المثال باستخدام برنامج بلغة

.وفیما یلى خطوات البرنامج والمخرجات ) مشاھدات العینة

r Ifz a, Print"Reject Ho", Print"Accept Ho"Reject Ho


Reject Ho

١٠٩

xb=2.2 2.2 =3.7 3.7 sgm=1.2 1.2 n=60 60 =.05 0.05 <<Statistics`ContinuousDistributions` a=Quantile[NormalDistribution[0,1],] -1.64485 b=xb- -1.5

0.154919

-9.68246


.القرار الذى یتخذ ھو رفض فرض العدم

این :ثانیة الحالة ال دما یكون تب في بعض اختبارات الفروض التي تخص متوسط مجتمع طبیعي عن30nمجھول وحجم العینة صغیر 2المجتمع .ع ى توزی د عل استنتاجنا، في ھذه الحالة، سوف یعتم

t . بفرض اختبار من جانب واحد على الشكل: ,:H 00 01 :H

30nنختار عینة عشوائیة من الحجم من المجتمع ونحسب المتوسطx اريو sاالنحراف المعی :وعلى ذلك

ns

xt 0

csgmn

zbc

r Ifz a, Print"Reject Ho", Print"Accept Ho"Reject Ho

١١٠

وائي ر عش ة لمتغی ى قیم ع Tھ ھ توزی ة tل درجات حری 1nب دما 0Hعن حیحا ة . ص منطقة لمستوى معنویة. tالرفض سوف تكون في الذیل األیسر من توزیع ى قیم یمكن الحصول عل

دة واح tt1 ث أن بحی tT رفض و ة ال ل منطق تمث tT ول ة القب ل منطق م . تمث حج

:التالى شكل المنطقة الرفض یساوى المساحة المظللة في

دیل رض الب رفض للف ة ال 00منطق :H ة توى معنوی ى بمس ، ھ tT . دیل رض الب للف

00 :H ة توى معنوی ة لمس رفض المقابل ة ال إن منطق ى ف tT/2، ھ 2أو/tT ٠ ة ة اإلحصاء ، أي قیم ة، وإذا tوعلى ذلك نحسب قیم ل فرض tوقعت قیم ول نقب ة القب ي منطق ف

.0H العدم وغیر ذلك نرفض

)٨- ٣(مثالذا ذیتھا بھ م تغ ران وت ة عشوائیة من ستة فئ رت عین لمعرفة اثر غذاء معین على زیادة الوزن اختی

: الغذاء وكانت الزیادة في أوزانھم بعد التغذیة ھى 5.2,7.1,4.1,4.1,5.2,3.2

د 2.1فھل یمكن الحكم على أن ھذه العینة من مجتمع متوسط الزیادة في الوزن فیھ ك عن أم ال ؟ وذل .وذلك تحت فرض أن العینة تم اختیارھا من مجتمع طبیعي . 05.0مستوى معنویة

:الحــل,2.1:H0 .2.1:H1

.05.0 571.2t 025. والمستخرجة من توزیعt 5عند درجات حریة) ٢(في ملحق.

١١١

571.2T منطقة الرفض 571.2أوT

,967.16

8.11n

xx

n

1ii

n

)x(x

1n1s

n

1i

2in

1i

2i

.528.06

)8.11(6.2451 2

.5582.3

6528.0

2.1967.1

ns

xt 0

.تقع في منطقة الرفض tألن 0Hنرفض . Mathematicaسوف یتم حل ھذا المثال بإستخدام برنامج مكتوب بلغة


x={2.3,2.5,1.4,1.4,1.7,2.5} {2.3,2.5,1.4,1.4,1.7,2.5} =1.2 1.2 =.05 0.05 n=Length[x] 6 a=Apply[Plus,x] 11.8

1.96667

24.6

0.527889

0.21551

xban

c ApplyPlus, x2

s1n1

c a2

n

v s

n N

١١٢


2.57058


0Hومتوسط المجتمع تحت فرض العدم xقائمة المشاھدات : 1.2 من االمر=1.2


المخرجات : ثانیا tالمحسوبة من االمر

الجدولیة من االمرt و


والمخرج ھو

.اى رقض فرض العدم

)٩- ٣(مثال

) ٨- ٣(للمثال

txbv

N

d QuantileStudentTDistributionn1,1

2

r Ift d t d, Print"Reject Ho",Print"Accept Ho"

Reject Ho

txbv

N

d QuantileStudentTDistributionn1,1

2

r Ift d t d,Print"Reject Ho",Print"Accept Ho"

Reject Ho

١١٣

H:2.1اختبار فرض العدم المطلوب 0 2.1ضد الفرض البدیل عند مستوىH:2.1العدم وایضا اختبار فرض. 05.0معنویة 0 1.2ضد الفرض البدیل عند

وذلك بإستخدام الحزمة الجاھزة 05.0مستوى معنویة Statistics`HypothesisTests

:الحــلواالختالف ) ١- ٣(وذلك باتباع نفس الخطوات التى أتبعت فى مثال سوف یتم حل ھذا المثال

:الوحید ھنا ھو فى الخیارات الخاصة باالمر MeanTest[list,muo,options]

:أو الخیار <-KnownStandardDeviationوذلك بعدم وضع الخیار KnownVariance->

.وفیما یلى خطوات البرنامج والمخرجات <<Statistics`HypothesisTests` weights={2.3,2.5,1.4,1.4,1.7,2.5} {2.3,2.5,1.4,1.4,1.7,2.5} MeanTest[weights,1.2,FullReport->True]

MeanTest[weights,1.2]//N OneSidedPValue0.00812917 MeanTest[weights,1.2,TwoSided->True,FullReport->True]

:بالنسبة إلى االمر

MeanTest[weights,1.2,FullReport->True]

ونتیجة لذلك تم الحصول على تقریر مفصل FullReport->Trueوالذى وضع فیھ الخیار TestStat)تحت العنوان (وقیمة االحصاء Meanیحتوى على متوسط العینة وذلك تحت العنوان

. Distributionتحت عنوان و ھذا ما یوضحھ المكتوب5 بدرجات حریة Tوالذى یتبع توزیع pوھنا االختبار من جانب واحد وحیث ان . على اسفل الجدول pھذا باالضافة إلى قیمة .05 فإنناH:2.1نرفض فرض الدم ان 0 1وقبول الفرض البدیل أنH : 1.2 . 1ولیسH : 1.2

.وذلك الن قیمة االحصاء موجبةMeanTest[weights,1.2] بالنسبة لالمر H:2.1الذى یعنى أن المطلوب اختبار فرض العدم أن 0 و ذلك الختبار من جانب واحد

:والمخرجات ھى

FullReportMean TestStat Distribution1.96667 3.55746 StudentTDistribution5,


FullReportMean TestStat Distribution1.96667 3.55746 StudentTDistribution5,

TwoSidedPValue 0.0162583

١١٤

OneSidedPValue0.00812917

.فھذا یعنى رفض فرض العدم p > 0.05وبما أن p= 0.00812917قیمة أن والتى تعنى :وبالنسبة لالمر

MeanTest[weights,1.2,TwoSided->True] H:2.1الذى یعنى أن المطلوب اختبار فرض العدم أن 0 ین اي انو ذلك الختبار من جانب

1H : 1.2 والمخرجات ھى: TwoSidedPValue0.0162583

.فھذا یعنى رفض فرض العدم p > 0.05وبما أن p= 0.0162583قیمة أن والتى تعنى

)١٠- ٣(مثال

ات ن درج ة م وائیة مكون ة عش رت عین ان 10اختی اء وك ادة اإلحص ي م الب ف 3s,7xط .ة یساوى 5.7أختبر الفرض القائل أن متوسط درجة الطالب في المجتمع الطبیعي المسحوب منھ العین

. 05.0وذلك عند مستوى معنویة

:الحــل,5.7:H 0 .5.7:H1


262.2T منطقة الرفض 262.2أوT ,7x

3s .527.0

103

5.77

ns

xt 0

. قبولتقع في منطقة ال tألن 0Hقبلن .Mathematicaسوف یتم حل ھذا المثال باستخدام برنامج بلغة

.وفیما یلى خطوات البرنامج والمخرجات ) مع مالحظة عدم وجود مشاھدات العینة (

xb=7 7 =7.5 7.5 sgm=3 n=10 3

١١٥

10 =.05 0.05 <<Statistics`ContinuousDistributions`

2.26216 b=xb- -0.5

-0.527046


متوسط العینة من االمرxb=7

0Hومتوسط المجتمع تحت فرض العدم : 7.8 من االمر =7.5

واالنحراف المعیارى للعینة من االمرsgm=3

وحجم العینة من االمرn=10


المخرجات : ثانیا tالجدولیة من االمر

t المحسوبة من االمر

a QuantileStudentTDistributionn1,1

2

csgmn

310

tbc

r IfAbst a, Print"Reject Ho",Print"Accept Ho"

Accept Ho

a QuantileStudentTDistributionn1,1

2

tbc

١١٦


والمخرج ھو


)١١- ٣(مثال

وائیة من ة عش ھ 20اختیرت عین ة لتعبئت ارد استخدمت آل وة من مشروب ب ان متوسط . عب إذا ك ف5.7xالعبوة دم أن . أوقیة 47.0أوقیة بانحراف معیاري ضد الفرض 8.7اختبر فرض العدیل ة 8.7الب د مستوى معنوی ة 01.0عن ھ العین رت من ذي اختی ع ال تحت فرض أن المجتم

طبیعیا .یتبع توزیعا

:حــلال,8.7:H 0 .8.7:H1


539.2T منطقة الرفض ,5.7x 47.0s

.85.2

2047.0

8.75.7

ns

xt 0

. رفضتقع في منطقة ال tألن 0Hرفضنة امج بلغ تخدام برن الى باس ال الت ل المث تم ح وف ی امج Mathematicaس وات البرن ى خط ا یل وفیم

.والمخرجات xb=7.5 =7.8 7.5 7.8 sgm=.47 n=20 0.47 20 =.01 0.01 <<Statistics`ContinuousDistributions`

r IfAbst a, Print"Reject Ho",Print"Accept Ho"

Reject Ho

١١٧

a=Quantile[StudentTDistribution[n-1],] -2.53948 b=xb- -0.3

0.105095

-2.85455

: المخرجات لھذا البرنامج ھي t االمرالجدولیة من

a=Quantile[StudentTDistribution[n-1],]

t المحسوبة من االمرو


والمخرج ھو


2اختبارات حول تباین المجتمع ) ٤- ٣(

2 Tests about the Population Variance

2عند الرغبة في اختبار الفرض أن التباین لمجتمع طبیعي یساوى قیمة معینة

0 ضد الفرض2البدیل ذي جانبیین أن التباین ال یساوى

0 . أي أننا تختبر الفرض أن: 2

02

0 :H , 2

02

1 :H : وعلى ذلك. s2من المجتمع موضع الدراسة ونحسب تباین العینة nنختار عینة عشوائیة من الحجم

csgmn

tbc

r Ift a, Print"Reject Ho", Print"Accept Ho"Reject Ho

tbc

r Ift a, Print"Reject Ho", Print"Accept Ho"

Reject Ho

١١٨

, 20

22 s)1n(

1nبدرجات حریة 2والذي لھ توزیع 2Xقیمة للمتغیر 0عندما یكونH لمستوى . صحیحا2نوجد القیمتین الحرجتین معنویة

22

21 , بحیث أن

2

22

21

2 X,X

حجم المنطقة الحرجة یساوى المساحة المظللة في . یمثالن منطقة الرفض

.في منطقة الرفض 2إذا وقعت 0Hنرفض .التالىشكل ال

رض 22عادة یكون االھتمام باختبار الف0 ع دیل من جانب واحد من التوزی د الفرض الب . ض

دیل 22للب0 ة توى معنوی ة ولمس ة حرج ى قیم ل عل 2نحص

1 2ث أنبحی1

2X ل تمث2منطقة الرفض و

12X ول دیل من جانب واحد . تمثل منطقة القب نفس الشكل لب 22ب

0 ،2فإن

22Xتمثل القیمة الحرجة بحیث رفض و 22Xتمثل منطقة ال ول ة القب ل منطق . تمث22حجم المنطقة الحرجة لبدیل من جانب واحد

0 التالىشكل الیساوى المساحة المظللة في :

١١٩

)١٢- ٣(مثال

أشخاص 10أجریت دراسة في إحدى مراكز العالج الطبیعي على عینة عشوائیة من وزن لكل شخص ي ال نقص ف دار ال م تسجیل مق د ت ممن یتبعون نظام إنقاص الوزن وقات ى البیان م الحصول عل وزن وت اص ال ع إلنق اع النظام المتب رة إتب في العینة خالل فت

:التالیة 9,4,3,7,17,12,11,5,5,14

H:10اختبر فرض الدم 20 10ضد الفرض البدیل:H 2

1 ة د مستوى معنوی عن01.0 .وذلك تحت فرض أن المجتمع الذي اختبرت منھ العینة یتبع توزیعا طبیعیا

:الحــل 10:H 2

0 , 10:H 2

1 .

665.21201. ع ة 2والمستخرجة من جدول توزی درجات حری . ب 9 رفض ة ال منطق

665.21X2 . 692.4s

.813.1910

)692.4)(9(s)1n( 2

20

22

0Hقبول نقبلتقع في منطقة ال 2بما أن . ة امج بلغ تخدام برن ال باس ذا المث ل ھ تم ح وف ی امج Mathematicaس وات البرن ى خط ا یل وفیم

.والمخرجات x={14.0,5.0,5.0,11.0,12.0,17.0,7.0,3.0,4.0,9.0} {14.,5.,5.,11.,12.,17.,7.,3.,4.,9.} var=10 10 n=Length[x] 10 =0.01 0.01 =n-1//N 9. a=Apply[Plus,x] 87.

955.

01.0

c ApplyPlus, x2

s1n1

c a2

n

١٢٠

4.6916 <<Statistics`ContinuousDistributions` =Quantile[ChiSquareDistribution[],1-] 21.666

19.81


وتباین المجتمع تحت فرض العدم من االمر xقائمة المشاھدات var=10

ومستوى المعنویة من االمر =.01

وقیمة مربع كاى المحسوبة من االمر

والقیمة الجدولیة لمربع كاى من االمر=Quantile[ChiSquareDistribution[],1-]


والمخرج ھو


)١٣- ٣(مثال

2والختبار فرض العدم ان ) ١٢- ٣(للمثال 0H : 10 2ضد الفرض البدیل ان

1H : 10 عند01.مستوى معنویة . سوف یتم حل ھذا المثال بإستخدام برنامج مكتوب بلغةMathematica


x={14.0,5.0,5.0,11.0,12.0,17.0,7.0,3.0,4.0,9.0} {14.,5.,5.,11.,12.,17.,7.,3.,4.,9.}

xn1s2

var

r Ifx , Print"Reject Ho", Print"Accept Ho"Accept Ho

xn1s2

var

r Ifx , Print"Reject Ho",Print"Accept Ho"

Accept Ho

١٢١

var=10; n=Length[x] 10 =0.01; =n-1//N 9. a=Apply[Plus,x];


23.5894

1.73493

19.81

:لھذا البرنامج .القرار ھو قبول فرض العدم

)١٤- ٣(مثال

Mathematicaبإستخدام برنامج ) ١٣-٣(المثال و) ١٢- ٣(سوف یتم حل المثال Statistics HypothesisTestsوذلك بتحمیل الحزمة الجاھزة

:حیث یستخدم االمر التالى VarianceTest[list, varo, options]

تحت فرض )لھذا المثال10 وھو ( تعنى تباین المجتمع varoو اسم القائمة تعنى list حیث تعنى الخیارات المطلوبة options العدم و

.وفیما یلى خطوات البرنامج والمخرجات <<Statistics`HypothesisTests` grades={14,5,5,11,12,17,7,3,4,9}; VarianceTest[grades,10,TwoSided->True,FullReport->True]

c ApplyPlus, x2;

s1n1

c a2

n

1 QuantileChiSquareDistribution,1

2

2 QuantileChiSquareDistribution,

2

xn1s2

var

r Ifx 1x 2, Print"Reject Ho",Print"Accept Ho"

Accept Ho

١٢٢

VarianceTest[grades,10] OneSidedPValue0.0191219 VarianceTest[grades,10,TwoSided->True,SignificanceLevel->0.01,FullReport->True]

VarianceTest[grades,10,TwoSided->True] TwoSidedPValue0.0382437 VarianceTest[grades,10,FullReport->True]

بالنسبة لالمر VarianceTest[grades,10,TwoSided->True,FullReport->True]

ونتیجة لذلك TwoSided -> Trueوالخیار FullReport->Trueوالذى وضع فیھ الخیار

والذى TestStatتحت العنوان وقیمة االحصاء Varianceنحصل على تباین العینة تحت العنوان . Distributionتحت عنوان و ھذا ما یوضحھ المكتوب9 یتبع توزیع مربع كاى بدرجات حریة

.جدول وذلك الختبار ذو جانبینعلي یمین ال pھذا باالضافة إلى قیمة .فھذا یعنى قبول فرض العدم p < 0.01وبما أن p= 0382437. قیمة أن والتى تعنى


VarianceTest[grades, 10]

H:10الذى یعنى أن المطلوب اختبار فرض العدم أن 20 و ذلك الختبار من جانب واحد

:والمخرجات ھى OneSidedPValue0.0191219

.فھذا یعنى رفض فرض العدم p > 0.01وبما أن p= 0.0191219 .0 قیمة أن والتى تعنى

:وبالنسبة لالمر

VarianceTest[grades,10,TwoSided->True,SignificanceLevel->0.01,FullReport->True]

FullReport Variance TestStat Distribution22.0111 19.81 ChiSquareDistribution9,TwoSidedPValue0.0382437

FullReport Variance TestStat Distribution22.0111 19.81 ChiSquareDistribution9,

TwoSidedPValue 0.0382437, Fail to reject null

hypothesis at significance level 0.01

FullReport Variance TestStat Distribution22.0111 19.81 ChiSquareDistribution9,OneSidedPValue0.0191219

١٢٣

H:10الذى یعنى أن المطلوب اختبار فرض العدم أن 20 و ذلك الختبار من جانبین والحصول

:والخیار . على تقریر مفصل SignificanceLevel ->.01]

01.0ادى إلى الحصول على قرار بقبول فرض العدم عند مستوي معنویة :وبالنسبة لالمروالقرار قبول فرض العدم

VarianceTest[grades,10,TwoSided->True]

H:10الذى یعنى أن المطلوب اختبار فرض العدم أن 20 و ذلك الختبار من جانبین

:والمخرجات ھى TwoSidedPValue0.0382437

.فھذا یعنى قبول فرض العدم p 01.<وبما أن وبالنسبة إلى االمر

VarianceTest[grades,10,FullReport->True] .الختبار من جانب واحد یتم الحصول على تقریر مفصل

)١٥- ٣(مثال

ة عشوائیة من الحجم رت عین 10nاختی ة این العین ان تب ن مجتمع طبیعي وك 24s2م ر اختب

دم رض الع H:23ف 20 دیل رض الب ث الف H:23حی 2

1 ة توى معنوی د مس ك عن وذل01.0.

:الحــل 23:H 2

0 , 23:H 2

1 .01.0

587.232005. ع ة 2والمستخرجة من جدول توزی درجات حری . ب 9 رفض ة ال منطق

587.23X2 735.1أوX2 .

.39.923

)24)(9(s)1n(20

22

.0Hقبول نقبلتقع في منطقة ال 2بما أن

Mathematicaسوف یتم حل المثال التالى باستخدام برنامج بلغة var=23; n=10 10 =0.01; =n-1//N 9. sd2=24

١٢٤

24 <<Statistics`ContinuousDistributions`

23.5894

1.73493

9.3913

:المدخالت و المخرجات لھذا البرنامجوفیما یلى :اوال المدخالت

H:23فرض العدم المجتمع تحت تباین 20 من االمر

var=23 وحجم العینة من االمر

n=10 مستوى المعنویة من االمر

=0.01 وتباین العینة من االمر

sd2=24 المخرجات : ثانیا

2.005 من االمر

2و

.995 من االمر

وقیمة مربع كاى المحسوبة من االمر



2


2

x N n1sd2var


Accept Ho


2


2

x N n1sd2var

١٢٥

والمخرج ھو


اختبارات تخص تبایني مجتمعین ) ٥-٣(

Tests Concerning Two Populations Variances

ین متوسطة: بفرض أن لدینا مجتمع ا طبیعی ا ع توزیع ھ 1األول یتب 2وتباین1 اني ع : والث یتب

متوسطة طبیعیا 2وتباینھ 2توزیعا2 این ؟ أي ھل والمطلوب اختبار ھل المجتمعین لھما نفس التب

22

21 2أم ال ؟ فإذا كانت

221 ین ین المجتمع اك تجانس ب ول أن ھن ا نق د من . فإنن إن التأك

رض حة الف 2ص2

21 ین طي مجتمع ین متوس رق ب ار الف روري الختب ار ( ض ذي ) tاختب وال

ة . سوف نتناولھ في البند التالي و مقارن أیضا ھناك العدید من األبحاث التي یكون ھدفھا الرئیسي ھ21 2مع

2 مثل دراسات جودة البضائع المستھلكة حیث یعتبر التباین أھم مقاییس الجودة . :الختبار فرض العدم

22

210 :H

:ضد الفرض البدیل 2

2211 :H

ا وائیة حجمھ ة عش ار عین ابي 1nنخت طھا الحس یكن متوس ع األول ول ن المجتم ا 1x م 2وتباینھ1s

2وتباینھا 2xمن المجتمع الثاني ولیكن متوسطھا 2nوتختار عینة عشوائیة أخرى حجمھا 2s٠

:بافتراض صحة فرض العدم فإن ) . ولى العینة الثانیة مستقلة عن العینة األ(

22

21

ssf ,

وائي ر العش ة للمتغی ل قیم ع Fتمث ھ توزی ذي ل ة Fوال درجات حری ب1n,1n 2211 ین حرجتین لمستوى معنویة ٠ ى قیمت f),(، سوف نحصل عل 21

2

و

),(f 212

1

إن . ك ف ى ذل fF),(وعل 21

2

أو),(fF 212

1

رفض ة ال ثالن منطق م . تم حج

ي ة ف احة المظلل رفض یساوى المس ة ال كل المنطق الىش ر. الت ة للمتغی ة الحرج رف Fالقیم ي الط ف :األیسر یمكن الحصول علیھا من العالقة التالیة

),(f1),(f

122

212

1


Accept Ho

١٢٦

.

الختبار فرض العدم 2

2210 :H

ضد الفرض البدیل 2

2211 :H

ة رفض ، بمستوى معنوی ة ال إن منطق وف ف ع ، س ن التوزی ب األیسر م ي الجان ون ف ذیل (تك الر یم ) . األیس ل ق ل ك ة تمث ذه الحال ي ھ رفض ف ة ال ث Fمنطق fF),(بحی 211 . را وأخی

:الختبار فرض العدم 2

2210 :H


2211 :H

ت رفض ، بمس ة ال إن منطق ة ف ن وى معنوی ب األیم ي الجان ون ف وف تك ع ، س ن التوزی ذیل (م الfF),(بحیث Fمنطقة الرفض في ھذه الحالة تمثل كل قیم ) . األیمن 21 .

)١٦- ٣(مثال

1.0المجتمعین وذلك عند مستوى معنویة البیانات التالیة اختبر التجانس بین

:الحــل22

210 :H ,

العینة الثانیة العینة األولي5.40 7.50 2

is 31 41

in

١٢٧

.22

211 :H

.1.0 79.130,40f 05. ع دول توزی ن ج تخرجة م ق F والمس ي ملح ات ) ٤(ف د درج عن

30,40 حریة 21 أما. 30,40f :فتحسب من العالقة التالیة 95.0

.575.074.11

)40,30(f1)30,40(f

05.095.0

79.1Fمنطقة الرفض 575.0أوF التباین األكبر

21

22

ssf = .252.1

5.407.50

رالتباین األصغ

.تقع في منطقة القبول fألن 0Hنقبل وفیما یلى خطوات Mathematicaسوف یتم حل ھذا المثال بإستخدام برنامج مكتوب بلغة

.البرنامج والمخرجات =.1 0.1 s1=40.5 40.5 s2=50.7 50.7 n1=31 31 n2=41 41


1.74443

0.558101

1.79179

0.573253 a1=If[s1>s2,ff1,f11]

fMaxs1,s2Mins1,s2

ff1 QuantileFRatioDistributionn11,n21,1

2

ff2 QuantileFRatioDistributionn11,n21,

2

f11 QuantileFRatioDistributionn21,n11,1

2

f22 QuantileFRatioDistributionn21,n11,

2

١٢٨

1.79179 a2=If[s1>s2,ff2,f22] 0.573253

:وفیما یلى المدخالت و المخرجات لھذا البرنامج :اوال المدخالت


تباین العینة االولى من االمر s1=40.5

تباین العینة الثانیة من االمر s2=50.7

حجم العینة االولى من االمر n1=31

حجم العینة الثانیة من االمر n2=41

المخرجات : ثانیا .05f من االمر 30,40

0.95fو من االمر 30,40

.05f و من االمر 40,30

0.95fو من االمر 40,30

المحسوبة من االمر Fوقیمة


c1 Iff a2f a1,Print"Reject H0",Print"Accept H0"

Accept H0


2


2


2


2

fMaxs1,s2Mins1,s2


١٢٩

والمخرج ھو

.وھو قبول فرض العدم

)١٧- ٣(مثال

:الختبار فرض العدم و )١٦-٣(للمثال 2

2210 :H


2211 :H

:سوف تكون كالتالى Mathematicaمكتوب بلغة الخطوات البرنامج والمخرجات فإن

=.1 0.1 s1=40.5 40.5 s2=50.7 50.7 n1=31 31 n2=41 41

1.25185 <<Statistics`ContinuousDistributions` ff1=Quantile[FRatioDistribution[n1-1,n2-1],1-] 1.54108 f11=Quantile[FRatioDistribution[n2-1,n1-1],1-] 1.57323 a1=If[s1>s2,ff1,f11] 1.57323

:لھذا البرنامج فإن

Accept H0

fMaxs1, s2Mins1, s2

c1 Iff a1, Print"Reject H0", Print"Accept H0"Accept H0

١٣٠

:المخرجات كالتالى .1f من االمر 30,40

ff1=Quantile[FRatioDistribution[n1-1,n2-1],1-] 0.1fو من االمر 40,30

f11=Quantile[FRatioDistribution[n2-1,n1-1],1-] 1.57323



المخرج ھو


)١٨- ٣(مثال :الختبار فرض العدم ) ١٦-٣(للمثال

22

210 :H

:الفرض البدیل ضد 2 2

1 1 2H : :سوف تكون كالتالى Mathematicaمكتوب بلغة خطوات البرنامج والمخرجات الفإن

=.1 0.1 s1=40.5 40.5 s2=50.7 50.7 n1=31 31 n2=41 41


fMaxs1,s2Mins1,s2


Accept Ho

fMaxs1, s2Mins1, s2

١٣١

ff1=Quantile[FRatioDistribution[n1-1,n2-1],] 0.635636 f11=Quantile[FRatioDistribution[n2-1,n1-1],] 0.648897 a1=If[s1>s2,ff1,f11] 0.648897


:المخرجات كالتالى .9f من االمر 30,40

ff1=Quantile[FRatioDistribution[n1-1,n2-1],] 0.9fو من االمر 40,30

f11=Quantile[FRatioDistribution[n2-1,n1-1],]



والمخرج ھو


)١٩- ٣(مثال

:لدیك البیانات التالیة كانإذا

المجموعة االولى

825,990,1054,921,816,818,1071,1121,926,956,867,935

المجموعة الثانیة


fMaxs1, s2Mins1, s2

c1 Iff a1, Print"Reject H0", Print"Accept H0"

Accept H0

١٣٢

840,600,890,780,915,915,1230,1302,922,845,923,1030,879,757,921,848, 870,826,831,1005,1002,915,813,842,774

2اختبر فرض الدم 2

0 1 2H : دیل 2ضد الفرض الب 20 1 2H : ة د مستوى معنوی عن

01.0 .وذلك تحت فرض أن المجتمع الذي اختبرت منھ العینة یتبع توزیعا طبیعیا وفیما یلى خطوات Mathematicaسوف یتم حل ھذا المثال بإستخدام برنامج مكتوب بلغة .

.البرنامج والمخرجات x1={825,990,1054,921,816,818,1071,1121,926,956,867,935}; x2={840,600,890,780,915,915,1230,1302,922,845,923,1030,879,757,921,848,870,826,831,1005,1002,915,813,842,774}; n1=Length[x1] 12 n2=Length[x2] 25 =0.01 0.01 a1=Apply[Plus,x1] 11300 c1=Apply[Plus,x1^2] 10755870

10457.9 a2=Apply[Plus,x2] 22475 c2=Apply[Plus,x2^2] 20688627

20150.1

1.92678

3.49668

0.210272

4.75575

s1 N 1n11

c1 a1^2n1

s2 N 1n21

c2 a2^2n2

fMaxs1,s2Mins1,s2


2


2


2

١٣٣

0.285986 a1=If[s1>s2,ff1,f11] 4.75575 a2=If[s1>s2,ff2,f22] 0.285986

.ر الذى یتخذ ھو قبول فرض العدملھذا البرنامج فإن القرا

)٢٠- ٣(مثال

ال دم ) ١٩-٣(للمث رض ال ر ف 2اختب 2

0 1 2H : دیل رض الب د الف 2ض 20 1 2H : د عن

ع 01.0مستوى معنویة ة یتب وذلك تحت فرض أن المجتمع الذي اختبرت منھ العین .توزیعا طبیعیا


.البرنامج والمخرجات x1={825,990,1054,921,816,818,1071,1121,926,956,867,935}; x2={840,600,890,780,915,915,1230,1302,922,845,923,1030,879,757,921,848,870,826,831,1005,1002,915,813,842,774}; n1=Length[x1] 12 n2=Length[x2] 25 =0.01 0.01 a1=Apply[Plus,x1] 11300 c1=Apply[Plus,x1^2] 10755870

10457.9 a2=Apply[Plus,x2] 22475


2


Accept H0

s1 N 1n11

c1 a1^2n1

١٣٤

c2=Apply[Plus,x2^2] 20688627

20150.1

1.92678 <<Statistics`ContinuousDistributions` ff1=Quantile[FRatioDistribution[n1-1,n2-1],1-] 3.09437 f11=Quantile[FRatioDistribution[n2-1,n1-1],1-] 4.02091 a1=If[s1>s2,ff1,f11] 4.02091

.لھذا البرنامج القرار الذى یتخذ ھو قبول فرض العدم

)٢١- ٣(مثال

ابق ال الس دم للمث رض ال ر ف 2اختب 2

0 1 2H : دیل رض الب د الف 2ض 20 1 2H : د عن

ع 01.0مستوى معنویة ة یتب وذلك تحت فرض أن المجتمع الذي اختبرت منھ العین .توزیعا طبیعیا


.البرنامج والمخرجات x1={825,990,1054,921,816,818,1071,1121,926,956,867,935}; x2={840,600,890,780,915,915,1230,1302,922,845,923,1030,879,757,921,848,870,826,831,1005,1002,915,813,842,774}; n1=Length[x1] 12 n2=Length[x2] 25 =0.01 0.01 a1=Apply[Plus,x1] 11300

s2 N 1n21

c2 a2^2n2

fMaxs1, s2Mins1, s2

c1 Iff f11, Print"Reject H0",Print"Accept H0"

Accept H0

١٣٥

c1=Apply[Plus,x1^2] 10755870

10457.9 a2=Apply[Plus,x2] 22475 c2=Apply[Plus,x2^2] 20688627

20150.1

1.92678 <<Statistics`ContinuousDistributions` ff1=Quantile[FRatioDistribution[n1-1,n2-1],] 0.2487 f11=Quantile[FRatioDistribution[n2-1,n1-1],] 0.323168 a1=If[s1>s2,ff1,f11] 0.323168


)٢٢- ٣(مثال

2اختبر فرض العدمللمثال السابق 2

210 :H 2ضد الفرض البدیل 2

0 1 2H : عند مستوى : HypotheseTestوذلك بإستخدام الحزمة الجاھزة . 01.0معنویة

وسوف یستخدم االمر التالىVariance[list1, list2, 1, options]

اسم القائمة للمجموعة الثانیة تعنى list2 و اسم القائمة للمجموعة االولى تعنى list1 حیث

12و 2

21

و options تعنى الخیارات المطلوبة

.وفیما یلى خطوات البرنامج والمخرجات <<Statistics`HypothesisTests` x1={825,990,1054,921,816,818,1071,1121,926,956,867,935};

s1 N 1n11

c1 a1^2n1

s2 N 1n21

c2 a2^2n2

fMaxs1,s2Mins1,s2


١٣٦

x2={840,600,890,780,915,915,1230,1302,922,845,923,1030,879,757,921,848,870,826,831,1005,1002,915,813,842,774}; VarianceRatioTest[x1, x2, 1,FullReport->True]

وبالنسبة لالمر

VarianceRatioTest[x1, x2, 1,FullReport->True]

واالحصاء المستخدم ھو TestStatوى على قیمة االحصاء تحت العنوان نحصل على تقریر مفصل یحتpوبما ان .وذلك الختبار من جانب واحد11,24بد رجات حریة Fتوزیع .01 فھذا یعنى قبول فرض .العدم

Tests Concerning Means اختبارات تخص المتوسطات) ٦-٣(

أي . في بعض األحیان یكون االھتمام باختبارات الفروض التي تخص مجتمعین مختلفین 21أننا نرغب في اختبار فرض العدم أن الفرق بین متوسطي مجتمعین ، یساوى صفر أي ،

21 021ضد الفرض البدیل 21 أي 021أو الفرض البدیل أي21 021أو الفرض البدیل 21أي .تخدمة في اختیار الفرق تعتمد الطریقة المس

في الجزء . بین متوسطي مجتمعین على توزیع كل مجتمع وحجم العینة المختارة من كل مجتمع .التالي سوف نتناول ثالثة حاالت

دم : ىلحالة األولا ین ، 0Hعند اختبار فرض الع ین متوسطي مجتمع رق ب 21أن الف یساوى ،

دما كل من 2صفر وذلك عن2

21 , أو ا طبیعی ا ھ توزیع ع ل ان وتحت فرض أن كل مجتم معلومت

2أما في حالة العینات الكبیرة وإذا كانت . تقریبا طبیعیا1

22 , دیرھما من ھ یمكن تق ان فإن مجھولت

اب ات بحس 2العین2

21 s,s . وائي ر العش ى المتغی ة عل ذه الحال ي ھ ا ف د قرارن اء ( یعتم ) اإلحص

21 XX .1حجم أوال نختار عینة عشوائیة من الn ا ع األول ونحسب منھ ار 1xمن المجتم ونختاني 2nعینة عشوائیة أخرى من الحجم ع الث ى (من المجتم ة األول تقلة عن العین ونحسب ) مس

21ثم نحسب الفرق ، 2xمنھا xx وبما ان ٠، لمتوسطي العینتین :

.

nn

0)xx(z

2

22

1

21

21

FullReportRatio TestStat Distribution0.518999 0.518999 FRatioDistribution11,24,OneSidedPValue0.128506

١٣٧

وعلى ذلك في اختبار من جانبیین وعند . صحیحا 0Hعندما یكون Zقیمة للمتغیر العشوائي فإن منطقة الرفض تحدد على الشكل مستوى معنویة

2

zZ أو2

zZ . أما في اختبار

21من جانب واحد حیث الفرض البدیل فإن منطقة الرفض ، لمستوى معنویة سوف ،تكون zZ .21وأخیرا في حالة الفرض البدیل من جانب واحد لرفض فإن منطقة ا

، سوف تكون لمستوى معنویة zZ .

)٢٣- ٣(مثال د ة للش ى المقاوم ار عل وعین من السلك tensile strengthأجرى اختب ي . لن ائج معطاة ف النت

:الجدول التالي

عند ( المطلوب اختبار ھل ھناك فرقا معنویا بین متوسطي المجتمعین المسحوبتین منھما العینتین ؟

0.1مستوى معنویة .(

:الحــل30n1حیث أن نتبع اآلتي و:

,:H 210 .:H 211

.0.1 0.05z 1.64485 ١(والمستخرجة من جدول التوزیع الطبیعي القیاسي في ملحق. (

Zمنطقة الرفض 1.1.64485 أوZ 1.64485 .

ns

ns

0)xx(z

2

22

1

21

21

.183.76

1292

1293.1

6.1236.10722

.0Hتقع في منطقة الرفض فإننا نرفض zوبما أن وفیما یلى خطوات Mathematicaسوف یتم حل ھذا المثال بإستخدام برنامج مكتوب بلغة

.البرنامج والمخرجات

30n2

النوع حجم العینة متوسط العینة االنحراف المعیاري للعینة

3.1s1 6.107x1 129n1 A

0.2s2 6.123x2 129n2 B

١٣٨

=.1 0.1 n1=129 129 n2=129 129 xb1=107.6 107.6 xb2=123.6 123.6 s1=1.3 1.3 s2=2 2 d=xb1-xb2 -16.

-76.1831 <<Statistics`ContinuousDistributions`

1.64485

:وفیما یلى المدخالت و المخرجات لھذا البرنامج :اوال المدخالت

=.01مستوى المعنویة من االمر1n 129 2حجم العینة االولى وn 129 حجم العینة االثانیة و متوسط العینة االولىx 107.6

xمتوسط العینة الثانیة 123.6 1واالنحراف المعیارى للعینة االولىs 1.3 واالنحراف المعیارى2sللعینة الثانیة 2 .


الجدولیة من االمر zو

z N d

s12n1

s22n2

z1 QuantileNormalDistribution0,1,1

2

r IfAbsz z1,Print"Reject Ho",Print"Accept Ho"

Reject Ho

z N d

s12n1

s22n2

١٣٩


والمخرج ھو

وھو رفض فرض العدم

)٢٤- ٣(مثال

وع 1إذا كانت ر الحقیقي إلطارات السیارات من الن ل العم ال Aتمث ال (مقاسة باألمی عدد األمیار تھلك اإلط ى یس یارة حت ا الس ي تقطعھ ن 2و ) الت یارات م ارات الس ي إلط ر الحقیق ل العم تمث

وع دم. Bالن رض الع ر ف 210اختب :H دیل رض الب د الف 211ض :H توى د مس عن :إذا كانت 01.0معنویة

1 1 1n 40 , x 36500 , s 220,

2 2 1n 40 , x 33400 , s 190.

:الحــل30n1حیث أن نتبع اآلتي و:

,:H 210

.01.0

575.2z 005.0 ١(والمستخرجة من جدول التوزیع الطبیعي القیاسي في ملحق. ( 575.2Zمنطقة الرفض 575.2أوZ

.

ns

ns

0)xx(z

2

22

1

21

21

.447.67

40190

40220

334003650022

.0Hتقع في منطقة الرفض فإننا نرفض zوبما أن


2


Reject Ho

30n2

1 1 2H : .

١٤٠


=.01 0.01 n1=40 40 n2=40 40 xb1=36500 36500 xb2=33400 33400 s1=220 220 s2=190 190 d=xb1-xb2 3100


2.57583

.لھذا البرنامج القرار الذى یتخذ ھو رفض فرض العدم

)٢٥- ٣(مثال

إذا كان لدیك البیانات التالیة

45 ,38 ,42 ,41 ,31 ,44 ,37 ,34 المجموعة االولى 42, 38 39 ,42 ,38 ,44 ,45 ,34 ,40 ,39 المجموعة الثانیة 47, 41

z N d

s12n1

s22n2


2


Reject Ho

١٤١

210اختبر فرض العدم :H 211ضد الفرض البدیل :H عند مستوى معنویة0.05 . 82تحت فرض أن

221

. Mathematicaسوف یتم حل ھذا المثال بإستخدام برنامج مكتوب بلغة

:سوف یستخدم االمر التالى MeanDifferenceTest[list1, list2, diff0, options]

اسم القائمة للمجموعة الثانیة تعنى list2 و اسم القائمة للمجموعة االولى تعنى list1 حیث 021 تعنى أنdiff0 0=و تعنى الخیارات المطلوبة options و

.وفیما یلى خطوات البرنامج والمخرجات <<Statistics`HypothesisTests` x1={34,37,44,31,41,42,38,45,42,38} {34,37,44,31,41,42,38,45,42,38} x2={39,40,34,45,44,38,42,39,47,41} {39,40,34,45,44,38,42,39,47,41} MeanDifferenceTest[x1,x2,0,KnownVariance{8,8}] OneSidedPValue0.0894794 MeanDifferenceTest[x1,x2,0,KnownVariance{8,8},FullReport->True ,SignificanceLevel->.05]

: بالنسبة لالمر

MeanDifferenceTest[x1,x2, 0, KnownVariance -> {8, 8}] OneSidedPValue0.0894794

فإننا نقبل فرض العدم 05.اكبر من pوبما أن pنحصل على اختبار من جانب واحد مع قیمة :وبالنسبة لالمر

MeanDifferenceTest[x1,x2, 0, KnownVariance -> {8, 8}, SignificanceLevel -> .05, FullReport -> True]

05.نحصل على تقریر مفصل مع اتخاذ قرار بقبول فرض العدم وذلك عند مستوى معنویة .

)٢٦- ٣(مثال


825,990,1054,921,816,818,1071,1121,926,956,867,935 المجموعة االولى

FullReportMeanDiff TestStat Distribution1.7 1.34397 NormalDistribution,


Fail to reject null hypothesis

at significance level 0.05

١٤٢

المجموعة الثانیة840,600,890,780,915,915,1230,1302,922,845,923,1030,879,757,921,848,870,826,831,1005,1002,915,813,842,774};

210اختبر فرض العدم :H 211ضد الفرض البدیل :H عند مستوى معنویة0.05 . 2تحت فرض أن 2

1 2 130.5 . وفیما یلى خطوات البرنامج والمخرجات.

x1={825,990,1054,921,816,818,1071,1121,926,956,867,935}; x2={840,600,890,780,915,915,1230,1302,922,845,923,1030,879,757,921,848,870,826,831,1005,1002,915,813,842,774}; MeanDifferenceTest[x1,x2,0,KnownVariance{130.5,130.5}]

MeanDifferenceTest[x1,x2,0,KnownVariance{130.5,130.5},FullReport->True ,SignificanceLevel->.05]


MeanDifferenceTest[x1,x2,0,KnownVariance{130.5,130.5},FullReport->True ,SignificanceLevel->.05]

. نحصل على تقریر مفصل واختبار من جانب واحد والقرار نرفض فرض العدم

2بفرض أن :الحالة الثانیة 2

21 , ین صغیر ان وحجم كال من العینت ذي . مجھولت رار ال د الق یعتم

ع ى توزی دم عل ار فرض الع ي اختب ة ف ذه الحال ك تحت فرض tنتخذه في ھ 22وذل2

21 )

انس اك تج ) ھن ا طبیعی ا ھ توزیع ع ل ل مجتم م . وأن ك ن الحج وائیة م ة عش ار عین ن 1nأوال نخت ما ب منھ ع األول وتحس 1المجتم

21 x,s وائی ة عش ار عین م ونخت ن الحج رى م ع 2nة أخ ن المجتم م

اني ي ( الث ة األول ن العین تقلة ع ا ) مس ب منھ 2ونحس21 x,s . ي این التجمیع pooledالتب

variance نحصل علیھ من الصیغة التالیة:

2nns)1n(s)1n(s

21

222

2112

p

0Hوتحت فرض أن ن فإصحیحا

.

n1

n1s

0)xx(t

21p

21


FullReportMeanDiff TestStat Distribution42.6667 10.6351 NormalDistribution,


Reject null hypothesis at significance level 0.05

١٤٣

ر عشوائي ة لمتغی ع توزی Tقیم ة t عیتب درجات حری 2nnب 21 ار ذي ٠ ة اختب ي حال ففإن منطقة الرفض سوف تكون بین وعند مستوي معنویة جان

2

tT أو2

tT . دیل من للب

د ب واح 21جان ون وف تك رفض س ة ال إن منطق ف tT . دیل را للب 21وأخی إن فمنطقة الرفض سوف تكون tT.

)٢٧- ٣(مثالة ي الوجب ت المجموعة األول ة وأعطی ت المجموعة Aاختیرت مجموعتان من الطلب ا أعطی یومی

ة ة الوجب ا Bالثانی ل . یومی ردات ك ي وزن مف ادة ف ت الزی ھر وكان دة ش ة لم تمرت التجرب د اس وق :ھى ) بالرطل ( مجموعة

0.3,4.2,6.3,0.4,6.1,0.1,4.3,9.3,7.2,6.2 المجموعة األولي 6.1,6.3,9.2,4.2,9.1,9.1,6.2,4.1,9.2 المجموعة الثانیة

ة أثیر الوجب ین ت ة ب ا معنوی اك فرق د أن ھن ل تعتق ة Aفھ وزن ؟ Bوالوجب ادة ال ى زی د ( عل عن .، وذلك تحت فرض أن العینتین تم اختبارھما من مجتمعین طبیعیین ) 1.0مستوى معنویة

:الحــل 976.0s,820.2x,10n 111 716.0s,356.2x,9n 222

2أوال یجب التأكد من أن 2

21 أي اختبار فرض العدم:

22

210 :H

:ضد الفرض البدیل .:H 2

2211

.1.0

التباین األكبر

=

التباین األصغر

39.38,9f 05. ع دول توزی ن ج تخرجة م ق Fوالمس ي ملح ة ) ٤( ف ات حری د درج عن8,9 21 أما 8,9f : فتحسب من العالقة التالیة .95

21

22

ssf .858.1

)716.0()976.0(

2

2

١٤٤

.3096.023.31

)9,8(f1)8,9(f

05.095.0

39.3Fمنطقة الرفض 3096.0أوF 2تقع في منطقة القبول فإننا نقبل فرض العدم أن fوبما أن

221 .

:اآلن نختبـر ,:H 210 .:H 211

.1.0

2nn)1n(s)1n(ss

21

2221

21

p

2910)8()716.0()9()976(. 22

86346.07455548.0 .

21p

21

n1

n1s

0)xx(t

.16955.1

91

10186346.0

356.2820.2

74.1t 05.0 والمستخرجة من جدول توزیعt 17عند درجات حریة) ٢( في ملحق. 74.1Tمنطقة الرفض 74.1أوT . وبما أنt 0تقع في منطقة القبول فإننا نقبلH وھذا

.على زیادة الوزن Bوالوجبة Aیدل على عدم وجود فرق معنوي بین تأثیر الوجبة وفیما یلى خطوات Mathematicaسوف یتم حل ھذا المثال بإستخدام برنامج مكتوب بلغة

.البرنامج والمخرجات =.1 0.1 x1={2.6,2.7,3.9,3.4,1,1.6,4,3.6,2.4,3} {2.6,2.7,3.9,3.4,1,1.6,4,3.6,2.4,3} x2={2.9,1.4,2.6,1.9,1.9,2.4,2.9,3.6,1.6} {2.9,1.4,2.6,1.9,1.9,2.4,2.9,3.6,1.6} y[x_]:=Apply[Plus,x] a[x_]:=Length[x] n1=a[x1] 10 n2=a[x2] 9 v=n1+n2-2 17

١٤٥

a1=b[x1]//N 2.82 a2=b[x2]//N 2.35556 d=a1-a2//N 0.464444

s1=c[x1]//N 0.952889 s2=c[x2]//N 0.512778


3.38813

0.309638

3.22958

0.295148 a1=If[s1>s2,ff1,f11] 3.38813 a2=If[s1>s2,ff2,f22] 0.309638

0.863584

bx_: yxax

cx_: yx2 yx2

ax ax1

fMaxs1, s2Mins1, s2


2


2


2


2


Accept H0

spn11s1n21s2v

N

١٤٦


1.73961


)٢٨- ٧(مثال


المجموعة االولى825,990,1054,921,816,818,1071,1121,926,956,867,935} المجموعة الثانیة

840,600,890,780,915,915,1230,1302,922,845,923,1030,879,757,921,848,870,826,831,1005,1002,915,813,842,774

210اختبر فرض العدم :H 211ضد الفرض البدیل :H عند مستوى معنویة 05.0 واختبر فرض العدم :

2

2210 :H

:ضد الفرض البدیل .:H 2

2211

HypotheseTestسوف یتم حل ھذا المثال بإستخدام الحزمة الجاھزة واالختالف الوحید ھنا ھو فى أختالف ) ٢٥- ٣(وذلك باتباع نفس الخطوات التى أتبعت فى مثال

:التالىبعض الخیارات الخاصة باالمر MeanDifferenceTest[list1, list2, diff0, options]

وفیما یلى خطوات البرنامج والمخرجات .{ ,} <- KnownVarianceحیث ال یوضع الخیار :

td

sp1n1

1n2

N

t1 QuantileStudentTDistributionv,1

2

r IfAbst t1,Print"Reject Ho",Print"Accept Ho"

Accept Ho

١٤٧

<<Statistics`HypothesisTests` x1={825,990,1054,921,816,818,1071,1121,926,956,867,935}; x2={840,600,890,780,915,915,1230,1302,922,845,923,1030,879,757,921,848,870,826,831,1005,1002,915,813,842,774}; VarianceRatioTest[x1,x2, 1,FullReport->True,TwoSided->True,SignificanceLevel->0.05]

MeanDifferenceTest[x1,x2,0,FullReport->True,EqualVariances->True,TwoSided->True,SignificanceLevel->0.05]


VarianceRatioTest[x1,x2, 1,FullReport->True,TwoSided->True,SignificanceLevel->0.05]

اء ة االحص ى قیم وى عل ر مفصل یحت ى تقری تم الحصول عل و fی مة 518999.وھ ن قس اتج م والنر ة االكب این العین ى تب غر عل ة االص این العین ة .تب انبین وقیم ن ج ار م ا أن االختب p=.257013 كم

وكما یتضح من التقریر قبول فرض العدم 05.والتى اكبر من 2أن

221 . وبالنسبة لالمر:

MeanDifferenceTest[x1,x2,0,EqualVariances->True,FullReport->True,TwoSided->True,SignificanceLevel->0.05]

ع TestStatفإنھ یتم الحصول على قیمة االحصاء تحت العنوان ع توزی ذى یتب ة Tوال درجات حری ب

وان 35 ت العن ح تح ا یتض ة Distributionكم انبین وقیم ن ج ون م وف یك ار س واالختبp=.359269 ن ر م ى أكب دم 05.وھ رض الع ول ف تم قب الى ی 210وبالت :H ن ح م ا یتض كم

.التقریر المفصل

ة ة الثالث دم :الحال رض الع ار ف د اختب 210عن :H دیل رض الب د الف 211ض :H ت تح : الشروط التالیة

) من المجتمعین تحت الدراسة ( كل مجتمع ) أ( طبیعیا .یتبع توزیعا2تباین المجتمعین ، ) ب(

221 مختلفین كثیرا ،.

.العینتان صغیرتان وإحجامھما مختلفان )ج( یتبع توزیع Tالقرار الذي نتخذه یعتمد على اإلحصاء بدرجات حریة تحسب من tوالذي تقریبا

:الصیغة التالیة

FullReport Ratio TestStat Distribution0.518999 0.518999 FRatioDistribution11, 24,



FullReport MeanDiff TestStat Distribution42.6667 0.928967 StudentTDistribution35,



١٤٨

1nns

1nns

ns

ns

2

2

22

1

2

1

21

2

2

22

1

21

.

ا وائیة حجمھ ة عش ار عین ار نخت راء االختب وائیة 1nإلج ة عش ار عین ا نخت ع األول كم ن المجتم ما رى حجمھ اني 2nأخ ع الث ن المجتم ي ( م ة األول ن العین تقلة ع ة مس ة الثانی ب ). العین نحس

22

2121 s,s,x,x وعلى ذلك یكون :

.

ns

ns

0)xx(t

2

22

1

21

21

ر ة للمتغی ون Tقیم دما یك 0Hعن حیحا ة . ص توى معنوی انبین ، بمس ار ذي ج ة الختب ، منطقث تعطى حی ا رفض تقریب ال

2t أو

2t ع ین الحرجتین لتوزی ة t ھما القیمت درجات حری و ب

الرفض سوف تكون منطقة2

t'T أو2

t'T د . ب واح 21لبدیل من جان ة إن منطق ، فالرفض سوف تكون t'T 21وللبدیل فإن منطقة الرفض سوف تكون t'T .

)٢٩- ٣(مثالاج nitrateأوضحت الدراسة أن زیادة النترات ة إنت في االستھالك اآلدمي لھ تأثیرات ضارة منھا قل

ادة . الثیروكسین وقلة إدرار اللبن عند البقر ة للزی اس النسبة المئوی ة لقی البیانات التالیة نتیجة تجربت ران تناول یة وفئ ة قیاس ت وجب ppm 2000في وزن فئران تجارب صغیرة العمر تناول رات من نت

.میاه الشربت النترا 2.17,0.14,6.16,8.10,0.14,5.10,5.20,3.19,7.12 ) القیاسیة( المراقبة 7.15,6.27,2.16,3.14,0.10,9.32,2.18

ل ة : تحقق من صحة الفرض القائ ة المراقب رات ومجموع ین مجموعة النت وي ب رق معن ال یوجد فة توى معنوی د مس ك عن ین . ( 1.0وذل ن مجتمع ا م م اختیارھم ین ث رض أن العینت ت ف تح

). طبیعیین

:الحــل2یجب علینا أوال التحقق من

221 .

053.8s,558.3s 21 وعلى ذلك فإن قیمةf ھى:

21

22

ssf .1228.5

)558.3()053.8(

2

2

١٤٩

58.38,6f 05. ع دول توزی ن ج تخرجة م ق Fوالمس ي ملح ة) ٦( ف ات حری د درج عن

8,6 21 . أما 8,6f : فیمكن الحصول علیھا من العالقة التالیة .95

.241.015.41

)6,8(f1)8,6(f

05.95.

58.3Fمنطقة الرفض 241.0أوF 2ونستنتج أن 0Hتقع في منطقة الرفض فإننا نرفض fوحیث أن

221

:اآلن نختبـر ,:H 210

.:H 211

.1.0 067.15x,271.19x 12

.

ns

ns

0)xx('t

2

22

1

21

21

.2869.1

7053.8

9558.3

271.19067.1522

tوعلینا أن نقارن قیمة المحسوبة بقیمةt الجدولیة عند درجات حریة:

1nns

1nns

ns

ns

2

2

22

1

2

1

21

2

2

22

1

21

.88.755.1487.113

67

053.8

89

558.3

7053.8

9558.3

2222

222

86.1t 05.0 والمستخرجة من جدول توزیعt ة ) ٢(في ملحق ك 8 عند درجات حری ى ذل وعل

رفض ة ال إن منطق 86.1Tف 86.1Tأو . ا أن ل tبم ول نقب ة القب ي منطق ع ف 0Hتق

١٥٠

ة د مستوى معنوی ة عن ة المراقب رات ومجموع ین مجموعة النت وي ب رق معن وھذا یعنى عدم وجود ف1.0 .

HypotheseTestسوف یتم حل ھذا المثال بإستخدام الحزمة الجاھزة واالختالف الوحید ھنا ھو فى أختالف ) ٢٨- ٣(وذلك باتباع نفس الخطوات التى أتبعت فى مثال

:التالى باالمربعض الخیارات الخاصة

MeanDifferenceTest[list1, list2, diff0, options] :وفیما یلى خطوات البرنامج والمخرجات . EqualVariances->Trueحیث ال یوضع الخیار

<<Statistics`HypothesisTests` X1={12.7,19.3,20.5,10.5,14,10.8,16.6,14,17.2} {12.7,19.3,20.5,10.5,14,10.8,16.6,14,17.2} X2={18.2,32.9,10,14.3,16.2,27.6,15.7} {18.2,32.9,10,14.3,16.2,27.6,15.7} VarianceRatioTest[public, private, 1,FullReport->True,TwoSided->True]

MeanDifferenceTest[x1,x2,0] OneSidedPValue0.117402 MeanDifferenceTest[x1,x2,0,FullReport->True,TwoSided->True]

:بالنسبة لالمر VarianceRatioTest[x1,x2, 1,TwoSided->True,FullReport->True]

ة االحصاء ى قیم وى عل ر مفصل یحت ة 195213.وھو fیتم الحصول على تقری وب قیم وھو مقلf=5.1128ل د ح ا عن ول علیھ م الحص ى ت ة والت این العین مة تب ى قس ك إل ع ذل دویا ویرج ال ی المث

ر ة االكب ة .االصغر على تباین العین ار من جانبین وقیم ا أن االختب ل من p=.0380965كم ى اق والت.05

دم أن رض الع ى رفض ف ذا یعن 2وھ2

21 . ار ع الخی دم وض د ع إن TwoSided->Trueوعن ف

االختبار یكون من طرف واحد كما ھو واضح من االمر MeanDifferenceTest[x1,x2,0] OneSidedPValue0.117402

:بالنسبة لالمرMeanDifferenceTest[x1,x2,0,FullReport->True,TwoSided->True]

ة ث القیم ل حی ر مفص ول تقری تم الحص ھ ی 88.7.فإن وان ت العن ة Distributionتح وقیم

وان ت العن اء تح ة TestStatاالحص انبین وقیم ن ج ون م وف یك ار س ى p=.234804واالختب وھ

FullReport Ratio TestStat Distribution0.195213 0.195213 FRatioDistribution8,6,TwoSidedPValue0.0380965

FullReportMeanDiff TestStat Distribution4.20476 1.28716 StudentTDistribution7.82501,TwoSidedPValue0.234804

١٥١

ین مجموعة 0Hوبالتالى یتم قبول فرض العدم 0.1أكبر من وي ب رق معن ى عدم وجود ف ذا یعن وھ . 1.0النترات ومجموعة المراقبة عند مستوى معنویة

)٣٠- ٣(مثال

وفیما یلى خطوات Mathematicaسوف یتم حل المثال السابق بإستخدام برنامج مكتوب بلغة

.البرنامج والمخرجات =.1 0.1 x1={12.7,19.3,20.5,10.5,14,10.8,16.6,14,17.2} {12.7,19.3,20.5,10.5,14,10.8,16.6,14,17.2} x2={18.2,32.9,10,14.3,16.2,27.6,15.7} {18.2,32.9,10,14.3,16.2,27.6,15.7} y[x_]:=Apply[Plus,x] z[x_]:=Length[x] n1=z[x1] 9 n2=z[x2] 7

a1=f[x1] 15.0667 a2=f[x2] 19.2714 b=a1-a2 -4.20476

s1=l[x1] 12.66 s2=l[x2] 64.8524

5.12262 <<Statistics`ConfidenceIntervals`

4.1468

0.279284

fx_: yxzx

lx_: yx^2 yx^2

zx zx1

fMaxs1,s2Mins1,s2


2


2

١٥٢

3.58058

0.24115 d1=If[s1>s2,ff1,f11] 3.58058 d2=If[s1>s2,ff2,f22] 0.24115

1.40667

9.26463

7.82501 Round[v] 8

1.86495

-1.28716


.العینة الثانیة x2العینة االولى و قائمة البیانات x1قائمة البیانات المخرجات : ثانیا

t المحسوبة ھى -1.28716

والقرار الذى یتخذ ھو قبول فرض العدم من االمر 1.86495الجدولیة ھى t و


2


2

c1 Iff d2 f d1,Print"Reject H0",Print"Accept H0"

Reject H0

us1n1

w s2n2

v uw^2

u2n11

w2n21

Statistics ContinuousDistributions

t QuantileStudentTDistributionv,1

2

t1b

uw

a1 IfAbst1 t, Print"Reject H0",Print"Accept H0"Accept H0

١٥٣

The Paired t Tests لألزواج tاختبارات ) ٨-٣(

د ي البن ابقف تقلة الس ات المس ا بالعین ان اھتمامن ة . ك ات المزدوج ا بالعین ون اھتمامن وف یك اآلن س

paired samples حیث ،n21 d,...,d,d ددھا ي ع تمثل الفروق ألزواج المشاھدات المرتبطة التn . اھدات ذ المش دما نأخ دث عن اھدات تح ذه المش ل ھ راءات ( مث د ) الق ل وبع ردات قب ى المف عل

أثیر بالنظر إلى ا. معالجة ى استنتاج یخص ت ي الوصول إل لفروق لكل أزواج المشاھدات فإننا نأمل فین ، Dمتوسط فروق المجتمع ، . المعالجة ین متوسطي المجتمع رق ب 21، سوف یساوى الف

دم 021أن H0، وعلى ذلك فإن مشكلة اختبار فرض الع ار افئ اختب 0Dتك . بفرض ط ا ع توزیع ین یتب ن المجتمع ع م ل مجتم أن ك ا ار . بیعی نخت اھدات nأوال ن أزواج المش م

:صحیحا فإن 0Hوعلى ذلك عندما یكون . dsو dعشوائیا ونحسب الفروق ونقدر

ns

0dtd

,

وائي ر العش ة للمتغی ى قیم ع Tھ ع توزی ذي یتب ة tال درجات حری 1nب . ذه ي ھ ا ف قرارن

ع ى توزی د عل ة یعتم ة ل tالحال رفض المقابل اطق ال ع ومن وف نتب ة وس ة المختلف روض البدیل لف .الخطوات التي أتبعت من قبل

)٣١- ٣(مثال

د 10إذا كانت أوزان دخین وبع ا 8أشخاص قبل التوقف عن الت دخین كم ابیع من التوقف عن الت أس :یلي

األشخاص 10987654321 146151175150147166115152176148 قبل

151160180154150170117169170155 بعـد ذین یمتنعون ادة وزن األشخاص ال ى زی ؤدى إل فھل تدل ھذه البیانات على أن االمتناع عن التدخین ی

. 05.0عن التدخین ؟ وذلك عند مستوى معنویة

:الحــل,0:H D0 .0:H D1

05.0 .

a1 IfAbst1 t, Print"Reject H0",Print"Accept H0"

١٥٤

262.2t 025.0 والمستخرجة من جدول توزیعt 9عند درجات حریة) ٢(في ملحق. 262.2Tمنطقة الرفض 262.2 أوT

,51050

n

xd

n

1ii

n

)d(d

1n1s

2n

1iin

1i

2id

,7735.510

)50(55091 2

ns

0dtd

.7386.210/7735.5

5

. 0Hتقع في منطقة الرفض نرفض tوبما أن


x1={148.,176,152,115,166,147,150,175,151,146} {148.,176,152,115,166,147,150,175,151,146} x2={155.,170,169,117,170,150,154,180,160,151} {155.,170,169,117,170,150,154,180,160,151} d=x1-x2 {-7.,6,-17,-2,-4,-3,-4,-5,-9,-5} y[x_]:=Apply[Plus,x] z[x_]:=Length[x]

d1=f[d] -5.

5.7735

fx_: yxzx

lx_: yx^2 yx^2

zx zx1

sd ld

١٥٥

n=z[d] 10 v=n-1 9

-2.73861 <<Statistics`ContinuousDistributions` t=Quantile[StudentTDistribution[v],0.975] 2.26216


.للعینة الثانیة x2للعینة االولى و قائمة البیانات x1قائمة البیانات المخرجات : ثانیا

t ى المحسوبة ھ -2.73861

الجدولیة ھىt و 2.26216

والقرار الذى یتخذ ھو رفض فرض العدم من االمر

اختبارات تخص نسبة مجتمع ) ٩-٣( Tests Concerning a Population Proportion

ة اوى قیم ا تس ا نسبة صفة م ي فیھ روض الت ارات الف د بمشكلة اختب ذا البن ي ھ سوف نھتم فدم . معنیة رض الع ار ف تم باختب 00 أي أننا نھ pp:H دیل ضد الفرض الب

0pp 0أوpp 0ppأو إن . ك ف ى ذل رة ، وعل ات الكبی ة العین ى حال د عل ذا البن ي ھ تنا ف ر دراس وف تقتص س

ا ھو ھ قرارن د علی ذي یعتم Pاإلحصاء المناسب ال ا ا طبیعی ع توزیع یتب ا ذي تقریب ا . ال أي أن قرارن :سوف یعتمد على

nqpppz

00

0

t1d1sdn

a1 IfAbst1 t,Print"Reject H0",Print"Accept H0"

Reject H0

a1 IfAbst1 t, Print"Reject H0",Print"Accept H0"

١٥٦

ي القیاسي Zوالذي یمثل قیمة للمتغیر ع الطبیع 00الذي یتبع التوزی p1q .ك لال ى ذل ار وعل ختبة توى معنوی رفض ، بمس ة ال إن منطق انبین ف ن ج ون م وف تك ، س

2

zZ أو2

zZ .

للبدیل من جانب واحد0pp رفض سوف تكون فإن منطقة ال zZ . دیل را للب 0ppوأخی

فإن منطقة الرفض سوف تكون zZ .

)٣٢- ٣(مثال

40شخص من مجتمع ما ووجد أن 200اختیرت عینة عشوائیة من شخص من العینة مصابون 5.0المطلوب اختبار الفرض أن نسبة اإلصابة بالمرض في ھذا المجتمع أقل من . بمرض ما

.01.0وذلك عند مستوى معنویة

:الحــل5.0p:H0 , .5.0p:H1

01.0 . 325.2z 01. ي ملحق رفض ). ١(والمستخرجة من جدول التوزیع الطبیعي القیاسي ف ة ال منطق

325.2Z .200n,40x

.5.05.01q1q,2.020040

nxp 00 .

.4852.8

200)5.0)(5.0(

5.02.0

nqpppz

00

0

.0Hرفض نرفضتقع في منطقة ال zوبما أن ة وب بلغ امج مكت تخدام برن ال بإس ذا المث ل ھ تم ح وف ی وات Mathematicaس ى خط ا یل وفیم

.البرنامج والمخرجات=.01 0.01 n=200 x=40 200 40 po=0.5 0.5

p

xn N

١٥٧

0.2 qo=1-po 0.5

-8.48528 <<Statistics`ContinuousDistributions` z1=Quantile[NormalDistribution[0,1],] -2.32635




االمروعدد الذین لدیھم الصفة موضع الدراسة من x=40

0pمن االمر po=0.5


z المحسوبة من االمر


z1=Quantile[NormalDistribution[0,1],] والقرار الذى یتخذ من االمر

. والمخرج ھو


)٣٣- ٣(مثال

zp po

poqon

r Ifz z1, Print"Reject Ho",Print"Accept Ho"Reject Ho

zp po

poqon

r Ifz z1, Print"Reject Ho",Print"Accept Ho"

Reject Ho

١٥٨

ا أن د م ي بل ات ف اج التلفزیون ي مصنع إلنت اج ف دیر اإلنت د م ون 80%یعتق ك تلفزی من األسر تمتلون ن ٠مل ة عشوائیة م رت عین رض اختی ذا الف ن ھ د أن 1000للتحقق م منھم 318أسرة ووج

یمتلكون تلیفزیونا ملونا اختبر صحة ھذا الفرض 8.0p 05.0عند مستوى معنویة .

:الحــل8.0p:H0 ,

.8.0p:H1 05.0 .

96.1z 025. ي ملحق ع الطبیعي القیاسي ف رفض ). ٣(والمستخرجة من جدول التوزی ة ال منطق96.1Z 96.1أوZ

.1000n,318x

2.08.01q1q,318.01000318

nxp 00 .

.105.38

1000)2.0)(8.0(8.0318.0

nqpppz

00

0

.0Hتقع في منطقة الرفض نرفض zوبما أن

ة وب بلغ امج مكت تخدام برن ال بإس ذا المث ل ھ تم ح وف ی وات Mathematicaس ى خط ا یل وفیم .البرنامج والمخرجات

=.05 0.05 n=1000; x=318; po=0.8;

0.318 qo=1-po 0.2

-38.1054

1.95996

pxn N

z1p po

poqon



2

a1 IfAbsz1 z, Print"Reject H0",Print"Accept H0"

١٥٩

.لھذا البرنامج القرار الذى یتخذ ھو رفض فرض العدم

اختبارات تخص الفرق بین نسبتي مجتمعین ) ١٠-١٠(

Tests Concerning a Difference Between Two Population Proportions

ت 1pبفرض أن ات وكان وفر الصفة 2pھي نسبة توفر صفة ما في إحدى المجتمع بة ت ھي نس210نفسھا في مجتمع آخر وإذا كان اھتمامنا باختبار فرض العدم pp:H إن اإلحصاء المناسب ف

21والذي یعتمد علیھ قرارنا سوف یكون المتغیر العشوائي PP . رة من ة عشوائیة كبی نختار عین

م الحج1n ع األول ن المجتم تكن م ا ول ة فیھ ل الدراس فة مح وفر الص بة ت ب نس ونحس

1

11 n

xp

ع األول 1xحیث أن ون الصفة في المجتم رة . ھي عدد الذین یمثل ة عشوائیة أخرى كبی ار عین نخت

م ن الحج تكن 2nم ا ول ة منھ فة المطلوب وفر الص بة ت ب نس اني ونحس ع الث ن المجتم م2

22 n

xp

ث ع 2xحی ي المجتم ون الصفة ف ذین یمتلك دد ال ي ع تقلین ھ ین مس ون العینت اني ، ویجب أن تك الث :فإن ) ٨-٧( تحت فرض العدم ومن نظریة

2

22

1

11

21

nqp

nqp

ppz

]n1

n1[pq

pp

21

21

.

ر عشوائي دما Zھو قیمة لمتغی ع الطبیعي القیاسي عن ع التوزی ون صحیحا و 0Hیتب , 2nیك 1n :فإننا نحسبھا من الصیغة التالیة zمجھولة في صیغة pوبما أن . كبیرتان

21

21

nnxxp~

.

:كالتالي zوعلى ذلك تصبح

]n1

n1[q~p~

ppz

21

21

.

~p~1qحیث أن یم تخدام الق ا ، باس منطقة الرفض للفروض البدیلة المختلفة یمكن الحصول علیھا ، كما سبق أن ذكرن

.الحرجة لمنحنى التوزیع الطبیعي القیاسي

)٣٤- ٣(مثال

Reject H0

١٦٠

نھم 300اختبرت عینة عشوائیة من وع 60مدخنا في مدینة ما ووجد أن من بی دخین الن یفضلون تA ة عشوائیة من نھم 200من السجائر ثم اختیرت عین ة أخرى ووجد أن من بی ي مدین دخنا ف موع 30 دخین الن لون ت جائر Aیفض ن الس دم . م رض الع ر ف 210اختب pp:H رض د الف ض

211البدیل pp:H 05.0وذلك عند مستوى معنویة .

:الحــل,pp:H 210 .pp:H 211

.05.0

15.020030

nxp,2.0

30060

nxp

2

22

1

11 ,

82.018.01p~1q~, 18.050090

2003003060

nnxxp~

21

21

.

96.1z 025. ١(والمستخرجة من جدول التوزیع الطبیعي القیاسي في ملحق.(

96.1Z منطقة الرفض 96.1أوZ .4257.1

])2001()

3001)[(82.0)(18.0(

0)15.02.0(z

. 0Hتقع في منطقة القبول فإننا نقبل zبما أن وفیما یلى خطوات Mathematicaسوف یتم حل المثال السابق بإستخدام برنامج مكتوب بلغة


=.05 0.05 n1=300.0 300. x1=60.0 60.

0.2 q1=1-p1 0.8 n2=200.0 200. x2=30.0 30.

p1x1n1

p2x2n2

١٦١

0.15 q2=1-p2 0.85 d=p1-p2 0.05

0.18 q3=1-p3 0.82

1.42566

1.95996

:وفیما یلى المدخالت و الخرجات لھذا البرنامج المدخالت :اوال


وحجم العینة االولى من االمر n1=300.0

وحجم العینة الثانیة من االمر n=200

عدد الذین لدیھم الصفة موضع الدراسة من العینة االولى من االمرx1=60.0

عدد الذین لدیھم الصفة موضع الدراسة من العینة الثانیة من االمرx2=30.0



p3x1x2n1n2

z1d

p3q3 1n1

1n2



2


Accept H0

z1d

p3q3 1n1

1n2

١٦٢

والقرار الذى یتخذ من من االمر

والمخرج ھو



2


Accept H0

١٦٣

فصل الرابعفصل الرابعالال

االنحدار الخطى البسیط واالرتباطاالنحدار الخطى البسیط واالرتباط

١٦٤

مفاھیم أساسیة ) ١-٤(ر ابع أو متغی ر الت ة، یسمى المتغی ر كمي موضع الدراس ین متغی یھتم تحلیل االنحدار بالعالقة ب

تجابة تقلة response variable اس رات مس مى متغی رى تس رات أخ ن متغی ر م د أو أكث وواحindependent variables رات مفسره را explanatory variablesأو متغی ؤ تأو متغی تنب

predictor variables . ر من غالبا ما یستخدم تحلیل االنحدار في التنبؤ بالمتغیر التابع من المعلومات عن واحد أو أكث

ل . المتغیرات المستقلة تدالل لتحلی اھیم األساسیة وطرق االس دم بعض المف ذا الفصل سوف نق ي ھ ف .االنحدار البسیط حیث یعتمد المتغیر التابع على متغیر مستقل واحد

مقدمة في االنحدار الخطي البسیط) ٢- ٤(

iبأزواج المشاھدات ممثلة nبفرض عینة عشوائیة من الحجم i{(x ,y );i 1,2,...,n} في iyوعلى ذلك قیمة . yونتوقع تغیر في قیم xلعینات متكررة فإننا سوف نأخذ بالضبط قیم

iالزوج المرتب i(x , y غیر iYأي أن النتیجة التي یأخذھا. iYتمثل قیمة لمتغیر عشوائي (لتمثل متغیر x|Yسوف نعرف . بواسطة الباحث علیھایمكن السیطرة وال uncertainمؤكدة

2وتباینھ بالرمز x|Yونعرف متوسطة بالرمز ، xیقابل قیمة ثابتة Yعشوائي x|Y . من الواضح

ixعندما ھأن x فإن الرمزiY | x یمثل المتغیر العشوائيiY بمتوسطix|Y 2وتباین

x|Y i .

: بمعادلة انحدار المجتمع التالیة xبـترتبط خطیا x|Yأن االنحدار الخطي البسیط یعني أن

Y|x 0 1x

0حیث معامالت االنحدار 1 , ، ث ة حی دیرھما من مشاھدات العین وب تق ین مطل یمثالن معلمت0b ة دیر للمعلم ة 1bو 0تق دیر للمعلم در . 1تق ا نق ـ x|Yأي أنن دار yب ن انح ةم ط العین أو خ

:المقدر التالي االنحدار

0 1y b b x .

شكل االنتشار) ٣-٤( ات ب ل البیان و تمثی دار ھ ل االنح دء تحلی د لب لوب المفی رف یااألس ا یع و م وھ ا كل بنی ش

ار اھدات scatter plotاالنتش ة المش ن فئ ك م )}n,...,2,1i);y,x{وذل ii . كل ى ش ول عل للحصي( xاالنتشار یخصص محور ا یخصص محور ) المحور األفق تقل بینم ر للمس المحور ( yللمتغی

ددھا )y,x(لكل زوج . للمتغیر التابع ) الرأسي ي ع ع نقطة nمن أزواج المشاھدات الت وم بتوقی نقامج الجاھزة والخاصة باالنحدار تتوفر كثیر من برامج الحاسب اآللي . على الرسم ل برن SPSSمث

:فیما یلي االنتشار شكل یفید .للحصول على أشكال االنتشار Minitabو Statisticaو فیما إذا كانت ھناك عالقة ظاھرة بین المتغیرین أم ال ) أ ( .یوضح عموما .عند وجود عالقة یوضح شكل االنتشار فیما إذا كانت العالقة خطیة أم ال ) ب(

١٦٥

البة ) ج ( ت س ا إذا كان ح فیم ار یوض كل االنتش إن ش ة ف ة خطی ت العالق یة(إذا كان ة) عكس أو موجب ).طردیھ(

)١-٤( مثال

: لــالح

تقیم) ١-٤(یتضح من شكل ع على خط مس یس بالضبط ، تق ا ، ل نقط عموم ا . أن ال ذا یجعلن ھ .بمعادلة خط مستقیم ) كتقریب أولي( نقترح أن العالقة بین المتغیرین یمكن وصفھا

)١- ٤(شكل


x={20,22,30,34,42,43,46,53,55,69,70}; y={0.08,0.10,0.15,0.20,0.26,0.25,0.30,0.35,0.40,0.48,0.49}; t1=Transpose[{x,y}]

ا ھي ائج كم ار وكانت النت ة األعم ي معطاةفي إحدى التجارب وزن قرون عدد من الغزالن المختلف ف . المطلوب رسم شكل االنتشار وتحدید شكل العالقة بین المتغیرین . التالىجدول ال

x العمر 20 22 30 34 42 43 46 53 55 69 70

y الوزن 0.08 0.10 0.15 0.20 0.26 0.25 0.30 0.35 0.40 0.48 0.49

١٦٦

{{20,0.08},{22,0.1},{30,0.15},{34,0.2},{42,0.26},{43,0.25},{46,0.3},{53,0.35},{55,0.4},{69,0.48},{70,0.49}} c=PlotRange{{0,70},{0,.5}} PlotRange{{0,70},{0,0.5}} c2=Prolog{PointSize[0.03]} Prolog{PointSize[0.03]} l=ListPlot[t1]

Graphics w2=ListPlot[t1,c,c2]

Graphics


xالقائمة المسمى لقیم المتغیر المستقل والقائمة) العمر( .لقیم المتغیر التابع ) الوزن( y المسمى


30 40 50 60 70

0.2

0.3

0.4

0.5

10 20 30 40 50 60 70

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

١٦٧

شكل االنتشار بدون خیارات من االمرl=ListPlot[t1]

یحدد المدى لقیم المتغیر المستقل cى شكل االنتشار حیث الخیار نحصل عل w2وبإستخدام االمر

والذى یحدد c2 والخیار 0.5 . إلى 0.0 و المدى لقیم المتغیر التابع من 70إلى 0.0 وھو من .حجم النقاط فى شكل االنتشار

)٢- ٤( مثال

:الحل

وذلك بتحمیل الحزمة الجاھزة Mathematicaسوف یتم حل ھذا المثال بإستخدام برنامج Statistics`LinearRegression`

:وذلك من خالل االمر التالى <<Statistics`LinearRegression`

یتم ادخال البیانات التى تخص المتغیر المستقل فى قائمة تسمى

oppbavg كما یتم ادخال البیانات التى تخص المتغیر التابع فى قائمة تسمى winpct وشكل االنتشار نحصل علیھ من االمر

. dots :وفیما یلى خطوات البرنامج والمخرجات

<<Statistics`LinearRegression` oppbavg={0.240,0.254,0.249,0.245,0.250,0.252,0.254,0.270,0.274,0.264,0.280,0.266,0.268,0.286}; winpct={0.625,0.512,0.488,0.524,0.588,0.475,0.513,0.463,0.512,0.405,0.450,0.480,0.456,0.506}; dpoints=Table[{oppbavg[[i]],winpct[[i]]},{i,1,Length[winpct]}] {{0.24,0.625},{0.254,0.512},{0.249,0.488},{0.245,0.524},{0.25,0.588},{0.252,0.475},{0.254,0.513},{0.27,0.463},{0.274,0.5

ة ات التالی ل البیان م تمث ربات الخص ط ض لة xمتوس رة الس ة ك ى لعب ك ف ا وذل ق م وز لفری بة الف ونس .والمطلوب رسم االنتشار وتحدید شكل االنتشار

X 0.240,0.254,0.249,0.245,0.250,0.252,0.254,0.270,0.274,0.264,0.280,0.266,0.268,0.286, Y 0.625,0.512,0.488,0.524,0.588,0.475,0.513,0.463,0.512,0.405,0.450,0.480,0.456,0.506.

١٦٨

12},{0.264,0.405},{0.28,0.45},{0.266,0.48},{0.268,0.456},{0.286,0.506}} Clear[dots] dots=ListPlot[dpoints,Prolog->{PointSize[0.02]}]

Graphics

نموذج االنحدار الخطي البسیط) ٤-٤(

ي ر ف د متغی ث یوج یط حی ي البس دار الخط ة االنح تقل حال د مس ابع xواح ر ت إن Yومتغی فأزواج ل ب ات تمث اھدا البیان )}n,...,2,1i);y,x{ت المش ii .وائي س ر عش ل متغی نعرف ك

ii x|YY بنموذج إحصائيStatistical model رض أن كل المتوسطات ك تحت ف وذلix|Y

كعو .)٢-٤( تقع على خط مستقیم كما ھو موضح في شكل ى ذل إن ل ر ف ھیمكن وصف iYكل متغی :بنموذج انحدار بسیط كالتالي

)١-٤ ( , xY ii10ix|Yi i

.النموذج ، البد أن یكون لھ متوسط یساوي صفر أ، خط iحیث المتغیر العشوائي

)٢- ٤(شكل

0.25 0.26 0.27 0.28

0.45

0.5

0.55

0.6

١٦٩

ة یر المعلم دار 1تش وذج االنح ي نم دار) (١-٤(ف ط االنح ل خ ي می ي ھ ي ) والت ر ف ى التغی إلابع ر الت الي للمتغی ادة في Yمتوسط التوزیع االحتم ة . xلكل وحدة زی ا المعلم اطع 0أم ل التق فتمث

0xوإذا احتوى مدى النموذج على القیمة . الصادي لخط االنحدار 0فان ع تعطي متوسط التوزی0xعندما Yاالحتمالي لمتغیر . ة ي نموذج 0ولیس للمعلم د منفصل ف ا كح أي تفسیر خاص بھ

0xاالنحدار إذا لم یتضمن مجالھ القیمة . ر المستقلانھ بسیط وخطي ) ١-٤(یقال عن النموذج و بسیط . في المعالم وخطي في المتغی فھ

أس أو ھ ك ر أي معلم ھ ال تظھ الم ألن ي المع ي ف ط، وخط دا فق تقال واح را مس تخدم متغی ھ یس ألنألس ر ال یظھر إال مرفوعا ل ذا المتغی تقل الن ھ ر المس ي المتغی ھ أخرى، وخطي ف مضروبة بمعلم

ذي یختلف عن النموذج بالنموذج من ا) ١-٤(أیضا یعرف النموذج . الواحد ى وال البسیط لرتبة األول : التالي

i2

10i xY ا ر مرفوع ر یظھ ذا المتغی تقل الن ھ ر المس ي المتغی ي ف ر خط الم وغی ي المع ي ف ون خط ذي یك وال

.xمن الرتبة الثانیة في في المعالم ویمثل نموذج خطي و 2لألس )y,x(كل مشاھدة ii عینة عشوائیة من الحجم فيn تحقق العالقة:

*ii10i exy

*حیث ie قیمة مفترضة للمتغیرi دما ة iYعن وذج . iyتأخذ القیم ا كنم ة السابقة ینظر إلیھ المعادل

:معادلة خط االنحدار المقدرة فإن باستخدامبنفس الشكل ، . iyلمشاھده مفرده ,exbby ii10i

ث iiiحی yye مى اقيتس ة residual الب د نقط وذج عن ق النم ي توفی أ ف ف خط ذي یص وال*و ie الفرق بین. iالمشاھدة رقم

ie در ) ٣ -٤(یوضح شكل و.)٣–٤(موضح في شكل الخط المقمى ات والمس ة البیان ن فئ xbbyم 10 ي دار الحقیق ط االنح x10x|Yوخ . الطبع اآلن ب

10 , یعتبر الخط المقدر تقدیر للخط .معلمتین غیر معلومتینx|Y. ھ أن ارة إلی در اإلش ie ومما یج*یمكن مالحظتھا، أما

ie فال یمكن مالحظتھا ألن الخطx|Y مفترض وغیر معروف.

)٣- ٤(شكل

١٧٠

فروض نموذج االنحدار الخطي البسیط) ٥-٤(

روض والمسماة iتوضع الفروض التالیة لحد الخطأ ) ١– ٤(لتقدیر معالم نموذج االنحدار ف Gauss-Markov. جاوس ـ ماركوف

, 0)(E i 0) (E ji , 22

i )(E jiحیث لكلn,...,1j,i أي أنij , غیر مرتبطتین.

:وعلى ذلك .)Y(Var ,x)Y(E 2

ii10i ین ارات فروض تخص المعلمت ة واختب رات ثق ھناك فروض أخرى نحتاج لھا عند إجراء فت

10 , وھي أنi :أي أن ،2یتبع التوزیع الطبیعي بمتوسط صفر وتباین . ),0(N~ 2

i ) . ٤– ٤(موضح في شكل iتوزیع

) ٤– ٤(شكل

squareSeast Lethod of MThe طریقة المربعات الصغرى ) ٦-٤( ین دیرات للمعلمت ى تق ن الطرق للحصول عل د م ن وجود العدی الرغم م 0ب 1 , إال أن أفضل

. ھذه الطرق ھي طریقة المربعات الصغرىدیرین ت ى التق 10تطلب طریقة المربعات الصغرى الحصول عل b,b ین ك للمعلمت ى ,10وذل عل

الن مجموع مربعات األخطاء ذین یجع والي الل واقي(الت ا یمك SSE) الب ل م ان أي ، ناق ذین یحقق الل :حیث یعرف مجموع مربعات البواقي كاآلتي، النھایة الصغرى لمجموع مربعات البواقي . xbby yye SSE

n

1i

2i10i

n

1i

n

1i

2ii

2i

:مناسبة الستخدام اآللة الحاسبة الو من الصیغة التالیة 1bحساب یمكن

١٧١

1SXYbSXX

: حیث 22 i

i

i ii i

xSXX x ,

nx ySXY x y .

n

: من الصیغة التالیة 0bحساب كما یمكن

. xbyb 10

. على التوالي Yوالمتغیر التابع xیرمزان للوسط الحسابي للعینة للمتغیر المستقل y,xحیث

)٣-٤(مثال

:لــالح

:نفترض النموذج الخطى البسیط 0بما أن 1 , مجھولتان فإننا نقدرھما من مشاھدات العینة حیث:

2i in 8 x 10.8 x 18.36

i i ix y 385.5 , x 1.35 , y 30, y 240.

i ii i

1 22 ii

x yx ySXY nbSXX ( x )x

n

ذرة ا . أجریت تجربة لدراسة العالقة بین التسمید ومحصول ال م الحصول علیھ ي ت ات الت البیان :التالىجدول المعطاة في x السماد 0.3 0.6 0.9 1.2 1.5 1.8 2.1 2.4 45 50 30 25 35 30 15 10 y المحصول

أوجد معادلة خط االنحدار المقدرة

١٧٢

2

(10.8)(240)385.58

(10.8)18.368

61.5 16.27,3.78

0 1b y b x 30 (16.27)(1.35) 8.036. :معادلة االنحدار المقدرة سوف تكون على الشكل

y 8.036 16.27 x.


x={.3,.6,.9,1.2,1.5,1.8,2.1,2.4}; y={10,15,30,35,25,30,50,45}; a[x_]:=Length[x] k[x_]:=Apply[Plus,x]

n=a[x] 8 xb=w[x] 1.35 yb=w[y] 30 sxx=l[x,x] 3.78 sxy=l[x,y] 61.5

16.2698 b0=yb-b1*xb 8.03571 t=Transpose[{x,y}] {{0.3,10},{0.6,15},{0.9,30},{1.2,35},{1.5,25},{1.8,30},{2.1,50},{2.4,45}} c=PlotRange{{0,4},{0,60}} PlotRange{{0,4},{0,60}}

wx_: kxax

lx_, y_: kxy kxkyax

b1sxysxx

١٧٣

c2=Prolog{PointSize[0.03]} Prolog{PointSize[0.03]} w=ListPlot[t,c,c2]

Graphics w2=Plot[b0+b1*x,{x,0,4}]

Graphics Show[w,w2]

Graphics

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

10

20

30

40

50

60

1 2 3 4

10

20

30

40

50

60

70

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

10

20

30

40

50

60

١٧٤


المدخالت : اوالxالقائمة المسمى لقیم المتغیر المستقل والقائمة .لقیم المتغیر التابع yالمسمى

المخرجات : ثانیا xمن االمر

xb=w[x] من االمر yو

yb=w[y] من االمر 1bالتقدیر

من االمر 0bوالتقدیر

b0=yb-b1*xb وشكل االنتشار من االمر

w=ListPlot[t,c,c2] وتمثیل معادلة االنحدار بیانیا من االمر

w2=Plot[b0+b1*x,{x,0,4}] .Show[w,w2]وشكل االنتشار مع معادلة االنحدار بیانیا من االمر

)٤-٤(مثال

.المطلوب إیجاد معادلة االنحدار المقدرة )٢-٤(للمثال

وذلك بتحمیل الحزمة الجاھزة Mathematicaسوف یتم حل ھذا المثال بإستخدام برنامج Statistics`LinearRegression` وفیما یلى خطوات البرنامج والمخرجات.

<<Statistics`LinearRegression`

oppbavg={0.240,0.254,0.249,0.245,0.250,0.252,0.254,0.270,0.274,0.264,0.280,0.266,0.268,0.286}; winpct={0.625,0.512,0.488,0.524,0.588,0.475,0.513,0.463,0.512,0.405,0.450,0.480,0.456,0.506}; dpoints=Table[{oppbavg[[i]],winpct[[i]]},{i,1,Length[winpct]}] {{0.24,0.625},{0.254,0.512},{0.249,0.488},{0.245,0.524},{0.25,0.588},{0.252,0.475},{0.254,0.513},{0.27,0.463},{0.274,0.512},{0.264,0.405},{0.28,0.45},{0.266,0.48},{0.268,0.456},{0.286,0.506}} Clear[dots] dots=ListPlot[dpoints,Prolog->{PointSize[0.02]}]

b1sxysxx

١٧٥

Graphics Regress[dpoints,{1,x},x,RegressionReport->BestFit] {BestFit1.07813 -2.2171 x} lsq[x_]=Fit[dpoints,{1,x},x] 1.07813 -2.2171 x plotline=Plot[lsq[x],{x,0.24,0.29}, DisplayFunction->Identity]; Show[dots,plotline,DisplayFunction->$DisplayFunction]

Graphics

:لھذا البرنامج :یستخدام االمر

Regress[dpoints,{1,x},x,RegressionReport->BestFit]

:للحصول على معادلة االنحدار المقدرة والمخرج ھو .{BestFit1.07813 -2.2171 x}

:ونحصل على نفس النتیجة من االمر lsq[x_]=Fit[dpoints,{1,x},x]

:وباالمرین التالیین

plotline=Plot[lsq[x],{x,0.24,0.29},

0.25 0.26 0.27 0.28

0.45

0.5

0.55

0.6

0.25 0.26 0.27 0.28 0.29

0.45

0.5

0.55

0.6

١٧٦

DisplayFunction->Identity]; Show[dots,plotline,DisplayFunction->$DisplayFunction]

.یتم الحصول على شكل االنتشار مع معادلة االنحدار المقدرة بیانیا Analysis of Variance تحلیل االنحدار ) ٧-٤(

أي اختبار فرض العدم 1الختبار معنویة معامل االنحدار 0 1H : 0

ضد الفرض البدیل 1 1H : 0

:یجب دراسة مكونات مجموع المربعات الكلى ویمكن الرمز الیھ بالمتساویة التالیةSSTO = SSR+ SSE .

ث ات حی وع المربع ىمجم دار SSTO الكل ات االنح وع مربع اوى مجم ى SSR یس اف إل مض :SSE مجموع المربعات حول االنحدار

: ھو مجموع المربعات الكلـي حیث

2

2 ii

ySSTO SYY yn

,

:النحدار ھو مجموع مربعات او2(SXY)SSR ,

SXX

:ھو مجموع مربعات الخطـأو .SSE = SSTO – SSR

ھ ، ة خاصة ب ات درجات حری دینا من الناحیة اإلحصائیة نجد أن لكل مجموع مربع ان ل إذا ك فn التالىجدول المن المشاھدات فإن توزیع درجات الحریة یكون على الشكل الموضح في:

درجات الحریة مجموع المربعات مجموع مربعات االنحدار مجموع مربعات الخطـأ مجموع المربعات الكلـي

1 n-2

n – 1 ات ط المربع مي متوس ا یس ى م ل عل ھ نحص ة ب ة الخاص درجات الحری ات ب وع المربع مة مجم بقس

mean squares ة این العین ر تب ات s2ویعتب ال لمتوسط المربع ك متوسط مجموع . مث ى ذل وعل :، ھو MSRمربعات االنحدار نرمز لھ بالرمز

SSRMSR1

.

:، ھو MSEومتوسط مربعات الخطأ ، نرمز لھ بالرمز SSEMSEn 2

.

١٧٧

این ل التب دول تحلی تقاق ج ن اش ابقة یمك ائج الس ن النت ، ANALYSIS OF VARIANCEم : التالىجدول ال، والموضح في ANOVAلالختصار جدول

مجموع متوسط مجموع المربعات

المربعاتدرجات الحریة

االختالف

1SSRMSR

2nSSEMSE

SSR

SSE

1

n-2

االنحدار

الخطـأ

SSTO n – 1 الكلي :اآلن

دم 0الختبار فرض الع 1H : 0 دیل 1ضد الفرض الب 1H : 0 دم ار أن فرض الع وباعتب :صحیح فإن

MSRfMSE

,

ة Fیتبع توزیع Fقیمة لمتغیر عشوائي .بدرجات حری 1 21, n 2 ة لمستوى معنویرفض ة ال Fمنطق f (1,n 2) ث fحی (1,n 2) ع دول توزی ق Fتستخرج من ج في ملح

1بدرجات حریة ) ٥(أو ملحق ) ٤( 21, n 2 . كما یمكن الحصول على قیمf خدام باستة fإذا وقعت .كما اوضحنا فى الفصل الخاص بالتوزیع العینى Mathematicaبرنامج ي منطق ف

.H0الرفض نرفض

)٥-٤(مثال

:لــالحi i in 12 x 55 x y 14060

iy 2613 , x 4.58333 , y 217.75, ،2 2

i ix 299 , y 661865

ة ) x(قام باحث بجمع البیانات عن عدد األقراص الممغنطة المستخدمة ن الخدم دقائق ) y(وزم بال : والبیانات معطاة في الجدول التالى 12لعمالء عددھم

.إیجاد معادلة االنحدار الخطى المقدرة ) أ: (المطلوب دم ) ب( رض الع ار ف 0اختب 1H : 0 دیل رض الب د الف 1ض 1H : 0 ة توى معنوی د مس عن

0.05 .

5 1 3 5 8 3 6 7 5 2 6 4 x 239 66 142 238 377 148 279 327 228 100 272 197 y

١٧٨

i ii i

x ySXY x yn

(55)(2613)14060 2083.75,12

2

2 ii

( x )SXX xn

255

299 46.91667,12

1SXY 2083.75b 44.41385 ,SXX 46.91667

0 1b y b x = 217.75 – (44.41385)(4.58333)

. = 14.187 : على ذلك فإن معادلة خط االنحدار المقدرة ھي و

y 14.187 44.41385. . )٥-٤(شكل والموضحة في

)٥- ٤(شكل

:اآلن نحسب

2

2 ii

( y )SSTO SYY yn

2(2613)661865 92884.25,

12 =

2 2(SXY) (2083.75)SSR

SXX 46.91667

92547.362. :نحصل على SSTOمن SSRوبطرح

١٧٩

SSE = SSTO – SSR = 92884.25 – 92547.362

= 336.888, SSR 92547.362MSR 92547.362.

1 1

SSE 336.888MSE 33.6888.n 2 10

.التالىجدول الجدول تحلیل التباین معطى في

مصدر االختالف درجات الحریة المربعاتمجموع متوسط مجموع المربعات االنحدار 1 92547.362 92547.362 الخطأ 10 336.888 33.6888

الكلي 11 92884.25

MSR 92547.362fMSE 33.6888

= 2747.126. 0.05f (1,10) 4.96 ع دول توزی ن ج تخرجة م ق Fوالمس ي ملح ة ) ٤(ف درجات حری ب

1 21, 10 .منطقة الرفض F 4.96 . وبما نf تقع في منطقة الرفض نرفضH0. 2 Estimating 2تقدیر ) ٨-٤(

ة دیر للمعلم اء 2التق ات األخط وع مربع ي مجم ة ف ون دال وذج ، أي یك ى النم د عل ، SSEیعتم :ویحسب من المعادلة اآلتیة

2 SSEs MSE,n 2

ذي یسمي 2sھو التقدیر بنقطة للمعلمة . یساوى متوسط مجموع مربعات الخطأ s2أي أن وال :فإن ) ٥-٤( للمثال . standard error of regressionالخطأ المعیاري لالنحدار

s MSE 33.6888 = 5.804.

DeterminationCoefficient of Simpleمعامل التحدید البسیط ) ٩-٤(

:كالتالي 2rیعرف معامل التحدید البسیط

2 SSR SSTO SSE SSEr 1SSTO SSTO SSTO

١٨٠

1الواحد الصحیح عندما تقع القیم 2r یأخذ 2 ny , y ,..., y على خط االنحدار المقدر.

2rعندما 0 فھذا یدل على عدم وجود عالقة خطیھ بین المتغیرین.

:لواحد الصحیح أي أن معامل التحدید دائما موجب وتتراوح قیمتھ بین الصفر وا20 r 1

)٦-٤(مثال

0ختبار فرض العدم ال) ٥- ٤(سوف یتم حل المثال 1H : 0 1ضد الفرض البدیل 1H : 0 0.05عند مستوى معنویة وذلك معامل التحدید البسیط و الخطأ المعیاري لالنحدار حساب و

.وفیما یلى خطوات البرنامج والمخرجات Mathematicaبإستخدام برنامج مكتوب بلغة p=1 1 =.05 0.05 x1={4,6.,2,5,7,6,3,8,5,3,1,5} {4,6.,2,5,7,6,3,8,5,3,1,5} y1={197.,272,100,228,327,279,148,377,238,142,66,239} {197.,272,100,228,327,279,148,377,238,142,66,239} l[x_]:=Length[x] h[x_]:=Apply[Plus,x] k[x_]:=h[x]/l[x] c[x_,y_]:=h[x*y]-((h[x]*h[y]))/l[x] xb=h[x1]/l[x1] 4.58333 yb=h[y1]/l[y1] 217.75 b1=c[x1,y1]/c[x1,x1] 44.4139 b0=yb-b1*xb 14.1865 t1=Transpose[{x1,y1}] {{4,197.},{6.,272},{2,100},{5,228},{7,327},{6,279},{3,148},{8,377},{5,238},{3,142},{1,66},{5,239}} a=PlotRange{{0,9},{0,400}} PlotRange{{0,9},{0,400}} a1=Prolog{PointSize[.03]} Prolog{PointSize[0.03]} g= ListPlot[t1,a,a1]

١٨١

Graphics d=Plot[b0+b1*x,{x,0,5}]

Graphics Show[g,d]

Graphics n=l[x1]

2 4 6 8

50

100

150

200

250

300

350

400

1 2 3 4 5

50

100

150

200

2 4 6 8

50

100

150

200

250

300

350

400

١٨٢

12 ssto=c[y1,y1] 92884.3 ssr=c[x1,y1]^2/c[x1,x1] 92547.4 sse=ssto-ssr 336.881 dto=n-1 11 msr=ssr/1 92547.4 dse=n-2 10 mse=sse/(n-2) 33.6881 f1=msr/mse 2747.18 th=TableHeadings{{source,regression,residual,total},{anova}} TableHeadings{{source,regression,residual,total},{anova}} rt1=List["df","SS","MS","F"] {df,SS,MS,F} rt2=List[p,ssr,msr,f1] {1,92547.4,92547.4,2747.18} rt3=List[dse,sse,mse,"---"] {10,336.881,33.6881,---} rt4=List[dto,ssto,"---","---"] {11,92884.3,---,---} tf=TableForm[{rt1,rt2,rt3,rt4},th]

<<Statistics`ContinuousDistributions` f=Quantile[FRatioDistribution[1,10],1-] 4.9646 If[f1f,Print["reject H0"],Print["Accept H0"]] reject H0

5.80415

0.996373

anovasource df SS MS Fregression 1 92547.4 92547.4 2747.18residual 10 336.881 33.6881

total 11 92884.3

smse

rssrssto

١٨٣


عدد المتغیرات من االمرp=1


x1القائمة المسمى لقیم المتغیر المستقل والقائمة .لقیم المتغیر التابع y1المسمى المخرجات : ثانیا

جدول تحلیل االنحدار من االمرtf=TableForm[{rt1,rt2,rt3,rt4},th]

f المحسوبة من االمر f1=msr/mse

f الجدولیة من االمر f=Quantile[FRatioDistribution[1,10],1-]

والقرار الذى یتخذ من االمر If[f1f,Print["reject H0"],Print["Accept H0"]]

والمخرج reject H0

الخطا المعیارى لالنحدار نحصل علیھ من االمر.اى رفض رفض العدم

ومعامل التحدید البسیط نحصل علیھ من االمر

استدالالت تخص معامالت االنحدار) ٠١-٤(

Inferences concerning the regression coefficients

ین ة ب ة الخطی دیر العالق ب تق راض ,x Yبجان تم ألغ ة یھ ى التجرب ائم عل إن الق ؤ ف التنبل والجزء المقطوعول إلى استدالالت تخص ـوصبال ارات فروض والحصول . المی إن إجراء اختب

ى نموذج االنحدار 1 ،0على فترات ثقة لكل من روض إضافیة عل ى وضع ف اج إل ) ١ –٤(یحت ، n , 1 ,2...=i ، حیث iحیث یفترض أن كل من طبیعیا . تتبع توزیعا

1 Confidence interval for 1فترة ثقة للمعلمة ) ١-١٠-٤( (1 )100% 1فترة ثقة للمعلمة على الشكل التالي:

2 2

1 2 1 1 2s sb t (n 2) b t (n 2) .

SXX SXX

smse

rssrssto

١٨٤

حیث 2t n 2 تستخرج من جدول توزیع t ي ) ٢(في الملحق ى المحور األفق والتي توجد عل

درھا ) n - 2(بدرجات حریة t تحت منحنى توزیع ا ق 2والتي المساحة على یمینھ ا ھو كم ) .٦-٤(شكل الموضح في

)٦- ٤(شكل

)٧-٤(مثال

2

2t

١٨٥

:الحــل

22

x yxynx

xn

=1SXYbSXX

258.3 57

299.111

58.3311.09

11

, 3 1.428572.1

0 1b y b x 5.18182 1.42857 5.3 =12.7532 .

:معادلة االنحدار المقدرة سوف تكون على الشكل y 12.7532 1.42857 x

في شكل .مع شكل اإلنتشار )٧-٤(والممثلة بیانیا

اس تج وقی ة المن م مراقب ائي، ت تج النھ ة المن تعتبر كمیة الرطوبة في منتج ما لھا تأثیر على كثاف .في شكل شفرة التالىجدول الكثافتھ و البیانات المسجلة معطاة في

x y x2 xy

58.3 57 311.09 299.1

.1فترة ثقة للمعلمھ %95قدر معالم نموذج االنحدار الخطي البسیط وأوجد

4.7 3 22.09 14.15 3 25 155.2 4 27.04 20.85.2 10 27.04 52.5.9 2 34.81 11.84.7 9 22.09 42.35.9 3 34.81 17.75.2 7 27.04 36.45.9 6 34.81 35.45.6 6 31.36 33.65. 4 25. 20.

١٨٦

)٧- ٤(شكل

:التالى جدول المعطاة في 2sالقیم الالزمة لحساب

2yy y -y y y

57 57 2.66454× 10-15 65.3506

:اآلن

22 i iˆy y 65.3506s 7.26118 .

n 2 9

ع دول توزی تخدام ج ق tوباس ي الملح إن ) ٢(ف ف 262.29t 025. . ة 95%إذا ة للمعلم رة ثق 1فت :تحسب كاآلتي

2 2

1 2 1 1 2s sb t (n 2) b t (n 2) .

SXX SXX

:أي أن

3 6.03896 - 3.03896 9.235283 5.61039 - 2.61039 6.814134 5.32468 - 1.32468 1.7547610 5.32468 4.67532 21.85872 4.32468 - 2.32468 5.404129 6.03896 2.96104 8.767753 4.32468 - 1.32468 1.754767 5.32468 1.67532 2.806716 4.32468 1.67532 2.806716 4.75325 1.24675 1.554394 5.61039 - 1.61039 2.59335

١٨٧

17.26118 7.261181.42857 2.262 1.42857 2.262 .

2.1 2.1

:وعلى ذلك 11.42857 2.262 1.85949 1.42857 2.262 1.85949 .

:والتي تختصر إلى 15.63503 2.77789 .

lopeSesting on the THypothesisاختبارات فروض تخص المیل)٢-٠١-٤(

* الختبار فرض العدم 110 :

:ضد فرض بدیل مناسب *111 :H

أو *111 :H

أو.:H *

111 2nبدرجات حریة tیمكننا استخدام توزیع ة رفض د . للحصول على منطق ا سوف یعتم قرارن

: على القیمة

.SXX

s

*11

2

bt

*فرض العدم حالة خاصة من 0 1 1: 0 :ھي 1: 0

:ضد الفرض البدیل .1 1: 0

ة تخدام قیم 1b باس 1.42857 ال ي المث دم أن ) ٧ – ٤(ف رض الع ر ف اختب

0 1H : 0 0ضد الفرض البدیل 1H : 0 .

:الحــل, 0: 10

ضد الفرض البدیل , 0: 11

, 05.0 262.29t 025. 262.2 ومنطقة الرفضT 262.2أوT

١٨٨

SXXs

0bt2

1

.768259.0

8594.142857.1

1.226118.742857.1

. 0Hالمحسوبة تقع في منطقة القبول نقبل t وبما أن قیمة

ابق دم الفرض الس رض الع ول ف د قب دار فعن ة االنح رتبط بمعنوی 0ی 1H : 0 دم ي ع ذا یعن فھین ة ب ة خطی , xوجود عالق Y . ا أن ي إم ذا یعن م أن ھ ي xویجب أن نعل غیرة ف ة ص ا قیم لھ

ي ـ yتفسیر االختالف ف دیر ل د أ yوأن أفضل تق ـ عن ة ل و xي قیم yھ y ا ھو موضح كم, xأو أن العالقة الحقیقیة بین a)٨-٤(في شكل Y ي شكل ا ھو موضح ف ة كم – ٤(لیست خطی

٨(b . دم رض الع رفض ف دما ن دیل وعن 0أو كب 1H : 0 ي أن ذا یعن إن ھ ي x، ف ة ف ا قیم لھي تالف ف یر االخ ض . yتفس 0إن رف 1H : 0 و تقیم ھ ط المس وذج الخ ا أن نم ي أم د یعن ق

ب كل األنس ي ش ح ف و موض ا ھ ائج أو أن a) ٩-٤(كم ل نت افة أفض ا بإض ول علیھ ن الحص یمك . b) ٩ -٤(كما ھو موضح في شكل x حدود من رتبة علیا من كثیرات الحدود في

)٩- ٤(شكل

)٨-٤(شكل

١٨٩

0 0 Confidence interval forفترة ثقة للمعلمة ) ٣-٠١-٤(

(1 )100% 0فترة ثقة للمعلمة تأخذ الصیغة التالیة :

.

SXX

xn1s)2n(tb

SXXx

n1s)2n(tb

22

200

22

20

اد ة 95%واآلن إلیج ة للمعلم رة ثق دار 0فت ط االنح ي خ x10xYف ى اد عل باالعتم :نتبع اآلتي ) ٧ -٤(البیانات الخاصة بالمثال

3.5x 1.2وSXX 26118.7وs2 . 7532.12b0

: تعطى على الشكل 0فترة ثقة للمعلمة %95وعلى ذلك في

.]SXX

xn1[s )2n(tb]

SXXx

n1[s)2n(tb

22

200

22

20

:وعلى ذلك

.

1.23.5

11126118.7262.27532.12

1.23.5

11126118.7262.27532.12

2

0

2

:أي أن . 88873.9262.27532.1288873.9262.27532.12 0 :والتي تختزل إلى

.1231.3561663.9 0 0 Hypothesis testing for 0اختبارات فروض تخص ) ٤-٠١-٤(

دم رض الع ار ف *الختب0 0 0: وف ري س رة أخ ا م ب فإنن دیل مناس رض ب د أي ف ض

ة t نستخدم توزیع درجات حری 2n ب ا سوف إن قرارن الي ف رفض وبالت ة ال ى منطق للحصول عل :یعتمد على القیمة

*0 0

22

bt .1 xsn SXX

ال الطریقة المتبعة الختبار فرض وي ) ٧ – ٤(العدم موضحة باستخدام بیانات المث د مستوى معن عن0.05 حیث فرض العدم:

0 0: 0 ضد الفرض البدیل

.1 0: 0

١٩٠

02

2

b 0.0t1 xsn SXX

.1.28967016 2

12.7532 12.75329.888731 5.3

11 2.1

262.2)9(t 025. رفض Tومنطقة ال 2.262 أوT 2.262 . ة ا أن قیم المحسوبة tوبم .0Hتقع في منطقة القبول نقبل

)٨-٤(مثال

اد امج الیج ل برن وب عم ة %95 المطل ة للمعلم رة ثق 1فت 0, دار ة االنح ي معادل ف

y|x 0 1x دم و )٥-٤(مثال باالعتماد على البیانات في 0أختبر فرض الع 1: 0 ضد1الفرض البدیل 1: 0 .

0ثم أختبر فرض العدم 0: 0 1ضد الفرض البدیل 0: 0 . وفیما یلى خطوات Mathematicaسوف یتم حل ھذا المثال بإستخدام برنامج مكتوب بلغة

.البرنامج والمخرجات =.05 0.05 x1={4.7,5,5.2,5.2,5.9,4.7,5.9,5.2,5.9,5.6,5.} {4.7,5,5.2,5.2,5.9,4.7,5.9,5.2,5.9,5.6,5.} y1={3.,3,4,10,2,9,3,7,6,6,4} {3.,3,4,10,2,9,3,7,6,6,4} l[x_]:=Length[x] h[x_]:=Apply[Plus,x] k[x_]:=h[x]/l[x] c[x_,y_]:=h[x*y]-((h[x]*h[y]))/l[x] n=l[x1] 11 xb=h[x1]/l[x1] 5.3 yb=h[y1]/l[y1] 5.18182 b1=c[x1,y1]/c[x1,x1] -1.42857 b0=yb-b1*xb 12.7532 sxx=c[x1,x1] 2.1

١٩١

ssto=c[y1,y1] 69.6364 ssr=c[x1,y1]^2/c[x1,x1] 4.28571 sse=ssto-ssr 65.3506 mse=sse/(n-2) 7.26118 msr=ssr/1 4.28571 mse=sse/(n-2) 7.26118 <<Statistics`ContinuousDistributions`

2.26216

1.85949 e=t1*z 4.20646 l=b1-e -5.63503 u=b1+e 2.77789

9.88873 e1=t1*z1 22.3699 l=b0-e1 -9.61663 u=b0+e1 35.1231 tt1=b1/z -0.768259

tt0=b0/z1 1.28967

t1 QuantileStudentTDistributionn2, 1

2

zmsesxx

z1mse1nxb^2sxx

a1 IfAbstt1 t1, Print"Reject H0",Print"Accept H0"

Accept H0


١٩٢



x1القائمة المسماه لقیم المتغیر المستقل والقائمة .لقیم المتغیر التابع y1 المسماه المخرجات : ثانیا

التالیین مع المخرجات نحصل علیھا من االمریین1 فترة ثقة للمعلمھ 95%l=b1-e

-5.63503 u=b1+e 2.77789

التالیین مع المخرجات نحصل علیھا من االمریین0فترة ثقة للمعلمھ 95%l=b0-e1

-9.61663 u=b0+e1 35.1231

0 :فرض العدم الختبار 1: 0 :ضد الفرض البدیل

1 1: 0 یستخدم االمر التالى

والمخرج


نحصل علیھا من االمر tحیث قیمة

0 :العدم فرض الختبار 0: 0 :ضد الفرض البدیل

.1 0: 0 یستخدم االمر التالى

والمخرج

Accept H0

Accept H0

t1 QuantileStudentTDistributionn2, 1

2



١٩٣


Prediction التنبـؤ ) ١١ -٤(

xیمكن استخدام المعادلة 0 1y b b x للتنبأ بقیمةY|x ' ث یس من x، حی أن الضرورى ل

ن دة م ون واح 1تك 2 nx ,x ,...,x م ن الحج وائیة م ة العش ي العین اھدات nف للمش1 1 2 2 n n(x , y ),(x , y ),..., (x , y xأیضا یمكن استخدام المعادلة . ( 0 1y b b x ة أ بقیم للتنب

xyواحدة ر Yللمتغی | x . ة واحدة ة قیم ي حال ى ف أ سوف یكون أعل أ التنب ع أن خط سوف نتوقراد الم الم ة للمع رة الثق ول فت ى ط ؤثر عل وف ی ذا س ط وھ أ بالمتوس ة التنب ي حال ھ ف ا عن أ بھ متنب

.تقدیرھا1)یمكن الحصول على )100% ترة ثقة للمعلمة فY|x ' من الصیغة التالیة:

2 2

2 2/ 2 Y|x ' / 2

1 (x ' x) 1 (x ' x)ˆ ˆy t s ( ) y t s ( ) .n SXX n SXX

1)یمكن الحصول علىایضا )100% xفترة لقیمة مفردة 'y من الصیغة التالیة:

2 2

/ 2 x ' / 21 (x ' x) 1 (x ' x)ˆ ˆy t (n 2) 1 y y t (n 2) 1 .n SXX n SXX

)٩-٤(مثال

؟ Y|4فترة ثقة للمعلمة %95أوجد ) ٥-٤(للمثال باستخدام البیانات

:لــالح :من معادلة االنحدار المقدرة فإن

4y 14.187 (44.41385)(4) .= 191.84

:عرفنا مما سبق أن 2SXX 46.91667 , x 4.58333 , s 33.6888,

t.025 =2.228 4فترة ثقة للمعلمة %95وعلى ذلك . 10بدرجات حریة|Y ھي:

Accept H0

١٩٤

2

Y|41 (4 4.58333)191.84 2.228 33.6888

12 46.91667

.21 (4 4.58333)191.84 2.228 33.6888

12 46.91667

:أي أن Y|4191.84 (2.228)(1.7469) 191.84 (2.228)(1.7469)

:والتي تختصر إلى Y|4187.94791 195.73209.

)١٠-٤(مثال

4y لـ فترة ثقة %95أوجد ) ٥-٤(للمثال باستخدام البیانات

:لــالح 2n) ا( 12 , s 33.6888 , x 4.58333 فترة ثقة لـ %95وعلى ذلكy4 ھي:

2

41 (4 4.58333)191.84 2.228 33.6888 1 y

12 46.91667

21 (4 4.58333)191.84 2.228 33.6888 112 46.91667

:أي أن 191.84 - 2.228(6.061) < y4 < 191.84 + 2.228 (6.06)

:والتي تختصر إلى 178.3 < y4 < 205.3

)١١-٤(مثال

ال للبیانات امج )٥-٤(الخاصة بالمث وب عمل برن اد المطل ـ %95 الیج ة ل رة ثق %95 وY|4 فت .4y فترة ثقة لـ

:لــالح

١٩٥


=.05 0.05 x1={4,6.,2,5,7,6,3,8,5,3,1,5} {4,6.,2,5,7,6,3,8,5,3,1,5} y1={197.,272,100,228,327,279,148,377,238,142,66,239} {197.,272,100,228,327,279,148,377,238,142,66,239} l[x_]:=Length[x] h[x_]:=Apply[Plus,x] k[x_]:=h[x]/l[x] c[x_,y_]:=h[x*y]-((h[x]*h[y]))/l[x] n=l[x1] 12 xb=h[x1]/l[x1] 4.58333 yb=h[y1]/l[y1] 217.75 b1=c[x1,y1]/c[x1,x1] 44.4139 b0=yb-b1*xb 14.1865 sxx=c[x1,x1] 46.9167 ssto=c[y1,y1] 92884.3 ssr=(c[x1,y1]^2)/c[x1,x1] 92547.4 sse=ssto-ssr 336.881 mse=sse/(n-2) 33.6881 <<Statistics`ContinuousDistributions`

2.22814 xxb=4 4

1.7469

t1 QuantileStudentTDistributionn2,

1

2

z1mse1nxxbxb^2

sxx

١٩٦

e1=t1*z1 3.89235 yy=b0+(b1*xxb) 191.842 ll=yy-e1 187.95 u=yy+e1 195.734

6.06133 e2=t1*z2 13.5055 l2=yy-e2 178.336 u2=yy+e2 205.347



xالقائمة المسماه لقیم المتغیر المستقل والقائمة المتغیر التابع و y المسماه x من االمر xxb=4

المخرجات : ثانیا نحصل علیھا من االمریین التالیین مع المخرج لكل امر Y|4فترة ثقة للمعلمة 95%

ll=yy-e1 187.95 u=yy+e1 195.734

نحصل علیھا من االمریین التالیین مع المخرج لكل امر4y قیمةفترة ثقة ل 95%l2=yy-e2 178.336 u2=yy+e2 205.347

) ١٢-٤(مثال

ي ات ف ى البیان اد عل ال باالعتم دم )٢-٤(مث رض الع ر ف 0أختب 1: 0 دیل رض الب د الف ض1 1: 0

0ثم أختبر فرض العدم 0: 0 1ضد الفرض البدیل 0: 0 .

:ل ــالح

z2mse1 1nxxbxb^2

sxx

١٩٧

وذلك بتحمیل الحزمة الجاھزة Mathematicaسوف یتم حل ھذا المثال بإستخدام برنامج

<<Statistics`LinearRegression` .وفیما یلى خطوات البرنامج والمخرجات

<<Statistics`LinearRegression` oppbavg={0.240,0.254,0.249,0.245,0.250,0.252,0.254,0.270,0.274,0.264,0.280,0.266,0.268,0.286}; winpct={0.625,0.512,0.488,0.524,0.588,0.475,0.513,0.463,0.512,0.405,0.450,0.480,0.456,0.506}; dpoints=Table[{oppbavg[[i]],winpct[[i]]},{i,1,Length[winpct]}] {{0.24,0.625},{0.254,0.512},{0.249,0.488},{0.245,0.524},{0.25,0.588},{0.252,0.475},{0.254,0.513},{0.27,0.463},{0.274,0.512},{0.264,0.405},{0.28,0.45},{0.266,0.48},{0.268,0.456},{0.286,0.506}} Clear[dots] dots=ListPlot[dpoints,Prolog->{PointSize[0.02]}]

Graphics Regress[dpoints,{1,x},x]

0.25 0.26 0.27 0.28

0.45

0.5

0.55

0.6

ParameterTableEstimate SE TStat PValue

1 1.07813 0.25596 4.21211 0.00120568x 2.2171 0.979963 2.26243 0.0430218

,RSquared0.299008,

AdjustedRSquared0.240592,

EstimatedVariance0.00236213,ANOVATable

DF SumOfSq MeanSq FRatio PValueModel 1 0.0120908 0.0120908 5.11859 0.0430218Error 12 0.0283456 0.00236213Total 13 0.0404364

١٩٨


وبإستخدام االمر

Regress[dpoints,{1,x},x] دیرین :یتم الحصول على جدولین ى التق 0الجدول االول یحتوى عل 1b 1.07813,b 2.2171

0الخطا المعیارى لـ SEوتحت العنوان Estimateتحت العنوان 2s( )

SXX

1الخطا المعیارى لـ . 0.25596ویساوى 2

2 1 xs ( )n SXX

.PVlueتحت العنوان pقیم . TStatالمحسوبة تحت العنوان tایضا قیم .0.979963ویساوى كما یوجد فى الجدول معامل التحدید و ایضا یوجد ما یسمى معامل التحدید المعدل

.أما الجدول الثانى فیحتوى على جدول تحلیل التباین ومن االمر

نحصل على مكونات الجدول االول ولكن بشكل اخر

) ١٣-٤(مثال

1فترة ثقة للمعلمة %95أوجد ) ٢-٤(للمثال 0, في معادلة االنحدارY|x 0 1x

وذلك بتحمیل الحزمة الجاھزة Mathematicaسوف یتم حل ھذا المثال بإستخدام برنامج Statistics`LinearRegression`


Regressdpoints, 1, x,x,RegressionReport ParameterTable,

BasisNames b0, b1

ParameterTableEstimate SE TStat PValue

b0 1.07813 0.25596 4.21211 0.00120568b1 2.2171 0.979963 2.26243 0.0430218

Regressdpoints, 1, x,x,RegressionReport ParameterTable,

BasisNames b0, b1

١٩٩

<<Statistics`LinearRegression` oppbavg={0.240,0.254,0.249,0.245,0.250,0.252,0.254,0.270,0.274,0.264,0.280,0.266,0.268,0.286}; winpct={0.625,0.512,0.488,0.524,0.588,0.475,0.513,0.463,0.512,0.405,0.450,0.480,0.456,0.506}; dpoints=Table[{oppbavg[[i]],winpct[[i]]},{i,1,Length[winpct]}] {{0.24,0.625},{0.254,0.512},{0.249,0.488},{0.245,0.524},{0.25,0.588},{0.252,0.475},{0.254,0.513},{0.27,0.463},{0.274,0.512},{0.264,0.405},{0.28,0.45},{0.266,0.48},{0.268,0.456},{0.286,0.506}} Clear[dots] Regress[dpoints,{1,x},x,RegressionReport->ParameterCITable]

Regress[dpoints,{1,x},x,RegressionReport->ParameterCITable,ConfidenceLevel->0.90]

:لھذا البرنامج :وبإستخدام االمر

Regress[dpoints,{1,x},x,RegressionReport->ParameterCITable] 1 لكل من فترة ثقة %95 سوف نحصل على جدول یحتوى 0, تحت العنوانCI.

:بإستخدام االمر Regress[dpoints,{1,x},x,RegressionReport->ParameterCITable,ConfidenceLevel->0.90]

:حیث أضیف الخیار ConfidenceLevel->0.90] ة %99 وذلك للحصول على جدول یحتوى لكل من فترة ثق

1 0, تحت العنوانCI. .كما یتضح من مخرجات االمر

)١٤-٤(مثال

ط ضربات الخصم ا ) x(یعطى الجدول التالى متوس ق م وز لفری بة الف ة كرة (y)ونس ي لعب ك ف وذل :السلة والمطلوب

.رسم شكل االنتشار مع خط االنحدار المقدر ) أ(

ParameterCITableEstimate SE CI

1 1.07813 0.25596 0.520442, 1.63582x 2.2171 0.979963 4.35225,0.0819426

ParameterCITableEstimate SE CI

1 1.07813 0.25596 0.621937, 1.53433x 2.2171 0.979963 3.96367,0.470523

٢٠٠

. ووضحھا بیانیا xلعدة قیم من xYفترة ثقة ل %95إیجاد ) ب(

x y x2 xy

3.652 6.997 .9551 1.81976

: الحــل كل ) أ ( ي ش ح ف در موض دار المق ط االنح ع خ ار م كل االنتش دار )١٠-٤(ش ة االنح ث معادل حی

:كالتالى وكانت Mathematicaالمقدرة ثم حسابھا باستخدام برنامج . x2171.207813.1y

0.24 0.625 0.0576 0.150.254 0.512 0.064516 0.1300480.249 0.488 0.062001 0.1215120.245 0.524 0.060025 0.128380.25 0.588 0.0625 0.1470.252 0.475 0.063504 0.11970.254 0.513 0.064516 0.1303020.27 0.463 0.0729 0.125010.274 0.512 0.075076 0.1402880.264 0.405 0.069696 0.106920.28 0.45 0.0784 0.1260.266 0.48 0.070756 0.127680.268 0.456 0.071824 0.1222080.286 0.506 0.081796 0.144716

٢٠١

)١٠- ٤(شكل

ـ) ب( ة ل رات ثق الى فت دول الت ي الج ن xYیعط یم م دة ق ك لع ا xوذل ول علیھ م الحص و ت

امج اھزة لبرن تخدام الحزم الج ث Mathematicaباس ز ل CIحی ـ 95%یرم ة ل رة ثق فت

xY. ١١-٤( وتلك الفترات موضحة بیانیا في شكل.(

القيم المتنبأ بها المشاهده Observed Predicted SE CI {Mean Prediction CTTable

0.625 0.512 0.488 0.524 0.588 0.475 0.513 0.463 0.512 0.405 0.45 0.48

0.456 0.506

0.546028 0.514989 0.526074 0.534943 0.523857 0.519423 0.514989 0.479515 0.470647 0.492818 0.457344 0.488383 0.483949 0.444042

0.0242175 0.0146246 0.0174281 0.0202533 0.0167906 0.0156224 0.0146246 0.0157797 0.0182922 0.0133495 0.0228174 0.0139328 0.0147553 0.0278533

{0.493263,0.598793} {0.483124,0.546853} {0.488102,0.564047} {0.490814,0.579071} {0.487273,0.560441} {0.485385,0.553461} {0.483124,0.546853} {0.445134,0.513896} {0.430791,0.510502} {0.463732,0.521904} {0.407629,0.507059} {0.458027,0.51874} {0.4518,0.516098}

{0.383354,0.504729}

٢٠٢

)١١- ٤(شكل

:سوف یتم حل ھذا المثال بإستخدام الحزمة الجاھزة

Statistics`LinearRegression


<<Statistics`LinearRegression` oppbavg={0.240,0.254,0.249,0.245,0.250,0.252,0.254,0.270,0.274,0.264,0.280,0.266,0.268,0.286}; winpct={0.625,0.512,0.488,0.524,0.588,0.475,0.513,0.463,0.512,0.405,0.450,0.480,0.456,0.506}; dpoints=Table[{oppbavg[[i]],winpct[[i]]},{i,1,Length[winpct ]}] {{0.24,0.625},{0.254,0.512},{0.249,0.488},{0.245,0.524},{0.25,0.588},{0.252,0.475},{0.254,0.513},{0.27,0.463},{0.274,0.512},{0.264,0.405},{0.28,0.45},{0.266,0.48},{0.268,0.456},{0.286,0.506}} Clear[dots] Regress[dpoints,{1,x},x,RegressionReport->MeanPredictionCITable]

0.25 0.26 0.27 0.28

0.45

0.5

0.55

0.6

٢٠٣

Regress[dpoints,{1,x},x, RegressionReport->SinglePredictionCITable]

rtable=Regress[dpoints,{1,x},x, RegressionReport->MeanPredictionCITable]; {obs,pred,se,ci}=Transpose[(MeanPredictionCITable/.rtable)[[1]]] {{0.625,0.512,0.488,0.524,0.588,0.475,0.513,0.463,0.512,0.405,0.45,0.48,0.456,0.506},{0.546028,0.514989,0.526074,0.534943,0.523857,0.519423,0.514989,0.479515,0.470647,0.492818,0.45

MeanPredictionCITable

Observed Predicted SE CI0.625 0.546028 0.0242175 0.493263,0.5987930.512 0.514989 0.0146246 0.483124,0.5468530.488 0.526074 0.0174281 0.488102,0.5640470.524 0.534943 0.0202533 0.490814,0.5790710.588 0.523857 0.0167906 0.487273,0.5604410.475 0.519423 0.0156224 0.485385,0.5534610.513 0.514989 0.0146246 0.483124,0.5468530.463 0.479515 0.0157797 0.445134,0.5138960.512 0.470647 0.0182922 0.430791,0.5105020.405 0.492818 0.0133495 0.463732,0.5219040.45 0.457344 0.0228174 0.407629,0.5070590.48 0.488383 0.0139328 0.458027,0.518740.456 0.483949 0.0147553 0.4518,0.5160980.506 0.444042 0.0278533 0.383354,0.504729

SinglePredictionCITable

Observed Predicted SE CI0.625 0.546028 0.0543012 0.427716,0.664340.512 0.514989 0.0507544 0.404404,0.6255730.488 0.526074 0.0516321 0.413578,0.6385710.524 0.534943 0.0526529 0.420222,0.6496630.588 0.523857 0.0514204 0.411822,0.6358920.475 0.519423 0.0510509 0.408193,0.6306530.513 0.514989 0.0507544 0.404404,0.6255730.463 0.479515 0.0510992 0.368179,0.5908510.512 0.470647 0.0519301 0.357501,0.5837930.405 0.492818 0.0504018 0.383002,0.6026340.45 0.457344 0.0536914 0.340361,0.5743280.48 0.488383 0.0505594 0.378224,0.5985430.456 0.483949 0.0507922 0.373283,0.5946160.506 0.444042 0.0560173 0.32199,0.566093

٢٠٤

7344,0.488383,0.483949,0.444042},{0.0242175,0.0146246,0.0174281,0.0202533,0.0167906,0.0156224,0.0146246,0.0157797,0.0182922,0.0133495,0.0228174,0.0139328,0.0147553,0.0278533},{{0.493263,0.598793},{0.483124,0.546853},{0.488102,0.564047},{0.490814,0.579071},{0.487273,0.560441},{0.485385,0.553461},{0.483124,0.546853},{0.445134,0.513896},{0.430791,0.510502},{0.463732,0.521904},{0.407629,0.507059},{0.458027,0.51874},{0.4518,0.516098},{0.383354,0.504729}}} predpts=Transpose[{oppbavg,pred}] {{0.24,0.546028},{0.254,0.514989},{0.249,0.526074},{0.245,0.534943},{0.25,0.523857},{0.252,0.519423},{0.254,0.514989},{0.27,0.479515},{0.274,0.470647},{0.264,0.492818},{0.28,0.457344},{0.266,0.488383},{0.268,0.483949},{0.286,0.444042}} lowerCI=Transpose[{oppbavg,Map[First,ci]}] {{0.24,0.493263},{0.254,0.483124},{0.249,0.488102},{0.245,0.490814},{0.25,0.487273},{0.252,0.485385},{0.254,0.483124},{0.27,0.445134},{0.274,0.430791},{0.264,0.463732},{0.28,0.407629},{0.266,0.458027},{0.268,0.4518},{0.286,0.383354}} upperCI=Transpose[{oppbavg,Map[Last,ci]}] {{0.24,0.598793},{0.254,0.546853},{0.249,0.564047},{0.245,0.579071},{0.25,0.560441},{0.252,0.553461},{0.254,0.546853},{0.27,0.513896},{0.274,0.510502},{0.264,0.521904},{0.28,0.507059},{0.266,0.51874},{0.268,0.516098},{0.286,0.504729}} <<Graphics`MultipleListPlot` MultipleListPlot[dpoints,predpts,lowerCI,upperCI,SymbolShap e->{PlotSymbol[Diamond],None,None,None},PlotJoined->{False,True,True,True},PlotStyle->{Automatic,GrayLevel[0.5],Dashing[Dot],Dashing[Dot]}] Graphics

٢٠٥

یتم الحصول علیھ من االمر xوذلك لعدة قیم من xYترات ثقة لـفجدول Regress[dpoints,{1,x},x,RegressionReport->MeanPredictionCITable]

من االمرتم الحصول علیھا )١١-٤( موضحة بیانیا في شكلالوتلك الفترات

MultipleListPlot[dpoints,predpts,lowerCI,upperCI,SymbolShap e->{PlotSymbol[Diamond],None,None,None},PlotJoined->{False,True,True,True},PlotStyle->{Automatic,GrayLevel[0.5],Dashing[Dot],Dashing[Dot]}]

علیھ من االمریتم الحصول xوذلك لعدة قیم من xyترات ثقة لـفجدول

Regress[dpoints,{1,x},x, RegressionReport->SinglePredictionCITable]

البواقى مخالفات نموزج االتحدار وكیفیة اكتشافھا ب) ١٢-٤(

ث )iy,ix(یعتبر شكل االنتشار الزواج المشاھدات ى i=1,2,…,n حی الخطوة االولین ة ب ي للعالق كل الریاض ان الش رار بش اذ ق ي اتخ روریة ف ق x,Y٠الض ي التطبی ف

وبمجرد توفیق الدالة ذات الشكل المختار یكون من الضروري فحص صالحیة النموذج ائي ٠ ة االختیارالنھ تم عملی ل ان ت اذج انحدار قب ى فحص عدة نم ٠في الحقیقة نحتاج ال

0.25 0.26 0.27 0.28

0.45

0.5

0.55

0.6

٢٠٦

ات في ھذا البند سوف نتنا دة لتشخیص ومعالجة االنحراف ات(ول عدة طرق مفی ) المخالف ).١-٤(التالیة عن نموذج االنحدار الخطي البسیط

٠لیست خطیة x,y العالقة بین .١

٠حدود الخطا لیست طبیعیة .٢ ٠لیس ثابت التباین لحد الخطأ .٣ ٠حدود الخطأ لیست مرتبطھ .٤ .ال یساوي صفر التوقع لحد الخطأ .٥

ي دار الخط وذج االنح ى نم ر عل وف تقتص د س ذا البن ي ھ تنا ف ن إن دراس الرغم م وبرات دة متغی ى ع وي عل ي تحت اذج الت ھ للنم ن تعمیم لوب یمك س االس یط اال ان نف البس

مستقلة یة رق التشخیص رق الط ن الط ة م واقى لفئ ل الب یر تحلی diagnostic methodsتش

)residuals )yyتخدام البواقي لفحص صالحیة نموذج االنحدار وذلك باس ii حیث i=1,2,…,n . واقي سوف تعكس إن الب ات ف عندما یكون نموذج االنحدار مناسب للبیان

٠الخواص المفروضة لحدود الخطا في النموذج

:في بعض االحیان یكون من المفید التعامل مع البواقي المعیاریة

n.,1,2,i, MSEe

d ii

: ثحی

. 2n

eMSE

2i

: ھناك صیغة اخرى للبواقي وھي بواقي ستیودنت والتي تعرف كالتالي

٢٠٧

.n ,1,2,i

.

)SXX

)xx(n1(1MSE

er

2i

ii

وذج االنحدار ات عن نم دة في تشخیص االنحراف واقي ستیودنت مفی ر ب ا ، ٠وتعتب غالب في البیانات ذات الحجم الصغیر فان بواقي ستیودنت تكون اكثر كفاءة من البواقي

٠كبیرة سوف یكون ھناك اختالف صغیر بین الطریقتین nعندما تكون ٠المعیاریة

)١٥-٤(مثال

رین ین متغی ة ب ة لدراسة العالق ت تجرب ة صناعیة اجری ي عملی ات x,Y ف والبیان :التالى جدول المعطاة في

xy 2x y x

100. 150. 10000. 15000.125 140 15625 17500125 180 15625 22500150 210 22500 31500150 190 22500 28500200 320 40000 64000200 280 40000 56000250 400 62500 100000250 430 62500 107500300 440 90000 132000300 390 90000 117000350 600 122500 210000400 610 160000 244000400 670 160000 268000

٢٠٨

:و المطلوب .حساب البواقي و البواقي المعیاریة وبواقي ستیودنت : لــالح

, 714.23514

3300nxx, 14n

, 857.35714

5010nyy

2

14)3300(913750

14)5010)(3300(1413500

n

2)x(2x

nyxxy

SXXSXY

1b

, 71143.1135893232571

.5519.45)714.235(71143.1857.357xbyb 10

:معادلة االنحدار المقدرة ھي

. x71143.15519.45y ). ١٢-٤(االنتشار في شكل والممثلة بیانیا مع شكل

100 200 300 400 500 600x

100

200

300

400

500

600

700Y

٢٠٩

)١٢-٤(شكل .irوبواقي ستیودنت idوالبواقي المعیاریة ieالبواقي التالى جدولالیعطي

ir id ie iy iy ix


p=1 1 x1={100,125.,125,150,150,200,200,250,250,300,300,350,400,400} {100,125.,125,150,150,200,200,250,250,300,300,350,400,400} y1={150,140.,180,210,190,320,280,400,430,440,390,600,610,670} {150,140.,180,210,190,320,280,400,430,440,390,600,610,670} l[x_]:=Length[x] h[x_]:=Apply[Plus,x] k[x_]:=h[x]/l[x] c[x_,y_]:=h[x*y]-((h[x]*h[y]))/l[x] sxx=c[x1,x1] 135893. xb=h[x1]/l[x1]

100. 150. 125.591 24.4087 0.664208 0.745861125 140 168.377 -28.3771 - 0.772198 -0.843355125 180 168.377 11.6229 0.316281 0.345426150 210 211.163 -1.16294 - 0.031646 -0.0338405150 190 211.163 -21.1629 - 0.575885 -0.615821200 320 296.735 23.2654 0.633099 0.660343200 280 296.735 -16.7346 - 0.45538 -0.474977250 400 382.306 17.6938 0.481484 0.500064250 430 382.306 47.6938 1.29784 1.34793300 440 467.878 -27.8778 - 0.75861 -0.800463300 390 467.878 -77.8778 - 2.11921 -2.23613350 600 553.449 46.5506 1.26673 1.38837400 610 639.021 -29.021 - 0.789719 -0.924322400 670 639.021 30.979 0.842999 0.986682

٢١٠

235.714 yb=h[y1]/l[y1] 357.857 b1=c[x1,y1]/c[x1,x1] 1.71143 b0=yb-b1*xb -45.5519 t1=Transpose[{x1,y1}] {{100,150},{125.,140.},{125,180},{150,210},{150,190},{200,320},{200,280},{250,400},{250,430},{300,440},{300,390},{350,600},{400,610},{400,670}} a=PlotRange{{0,600},{0,700}} PlotRange{{0,600},{0,700}} PlotRange{{0,600},{0,700}} PlotRange{{0,600},{0,700}} a1=Prolog{PointSize[.02]} Prolog{PointSize[0.02]} g= ListPlot[t1,a,a1]

Graphics d=Plot[b0+b1*x,{x,0,600}]

100 200 300 400 500 600

100

200

300

400

500

600

700

100 200 300 400 500 600

200

400

600

800

1000

٢١١

Graphics Show[g,d]

Graphics n=l[x1] 14 ssto=c[y1,y1] 414236. ssr=c[x1,y1]^2/c[x1,x1] 398030. sse=ssto-ssr 16205.5 mse=sse/(n-2) 1350.45 yy=b0+(b1*x1) {125.591,168.377,168.377,211.163,211.163,296.735,296.735,382.306,382.306,467.878,467.878,553.449,639.021,639.021} e=y1-yy {24.4087,-28.3771,11.6229,-1.16294,-21.1629,23.2654,-16.7346,17.6938,47.6938,-27.8778,-77.8778,46.5506,-29.021,30.979}

{0.664208,-0.772198,0.316281,-0.031646,-0.575885,0.633099,-0.45538,0.481484,1.29784,-0.75861,-2.11921,1.26673,-0.789719,0.842999}

{0.745861,-0.843355,0.345426,-0.0338405,-0.615821,0.660343,-0.474977,0.500064,1.34793,-0.800463,-2.23613,1.38837,-0.924322,0.986682} def=t1=Transpose[{x1,y1,yy,e,di,ri}] {{100,150,125.591,24.4087,0.664208,0.745861},{125.,140.,168.

100 200 300 400 500 600

100

200

300

400

500

600

700

di e mse

ri e mse1 1nx1xb^2

sxx N

٢١٢

377,-28.3771,-0.772198,-0.843355},{125,180,168.377,11.6229,0.316281,0.345426},{150,210,211.163,-1.16294,-0.031646,-0.0338405},{150,190,211.163,-21.1629,-0.575885,-0.615821},{200,320,296.735,23.2654,0.633099,0.660343},{200,280,296.735,-16.7346,-0.45538,-0.474977},{250,400,382.306,17.6938,0.481484,0.500064},{250,430,382.306,47.6938,1.29784,1.34793},{300,440,467.878,-27.8778,-0.75861,-0.800463},{300,390,467.878,-77.8778,-2.11921,-2.23613},{350,600,553.449,46.5506,1.26673,1.38837},{400,610,639.021,-29.021,-0.789719,-0.924322},{400,670,639.021,30.979,0.842999,0.986682}} TableForm[def]



x1القائمة المسمى لقیم المتغیر المستقل والقائمة y1 المسمى .لقیم المتغیر التابع


كل المخرجات التى تكلمنا علیھا سابقا والجدید ھو البواقى نحصل علیھا من االمر e=y1-yy

والمخرج ھو {24.4087,-28.3771,11.6229,-1.16294,-21.1629,23.2654,-16.7346,17.6938,47.6938,-27.8778,-77.8778,46.5506,-29.021,30.979}

100 150 125.591 24.4087 0.664208 0.745861125. 140. 168.377 28.3771 0.772198 0.843355125 180 168.377 11.6229 0.316281 0.345426150 210 211.163 1.16294 0.031646 0.0338405150 190 211.163 21.1629 0.575885 0.615821200 320 296.735 23.2654 0.633099 0.660343200 280 296.735 16.7346 0.45538 0.474977250 400 382.306 17.6938 0.481484 0.500064250 430 382.306 47.6938 1.29784 1.34793300 440 467.878 27.8778 0.75861 0.800463300 390 467.878 77.8778 2.11921 2.23613350 600 553.449 46.5506 1.26673 1.38837400 610 639.021 29.021 0.789719 0.924322400 670 639.021 30.979 0.842999 0.986682

٢١٣

البواقى المعیاریة نحصل علیھا من االمر

والمخرج ھو

{0.664208,-0.772198,0.316281,-0.031646,-0.575885,0.633099,-0.45538,0.481484,1.29784,-0.75861,-2.11921,1.26673,-0.789719,0.842999}

بواقى ستودینت نحصل علیھا من االمر

والمخرج ھو

{0.745861,-0.843355,0.345426,-0.0338405,-0.615821,0.660343,-0.474977,0.500064,1.34793,-0.800463,-2.23613,1.38837,-0.924322,0.986682}

نحصل علیھ من االمر الجدول السابقTableForm[def]

زاء ي األج اول ف وف نتن حیح س اف وتص ھ الكتش ھ والتحلیلی رق البیانی ض الط ھ بع التالی .البواقيوذلك بإستخدام ) ١-٤(االنحرافات عن نموذج االنحدار الخطي

رسوم البواقى ) ١-١٢-٤( واقي وم الب ن رس واع م ض االن زء بع ذا الج ي ھ اول ف وف نتن واقى (س وم الب أو رس

وذج ) المعیاریة أو رسوم ستیودنت ات عن نم ي الكشف عن االنحراف ي تستخدم ف والتتج ). ١-٤(االنحدار ي الجاھزه والتى تخص االنحدار تن رامج الحاسب اآلل كثیر من ب

ي تشخیص االنحراف تلك الرسوم حسب الطلب وفي ھذه الحالة نح ل ف تاج إلى جھد قلی .عن النموذج

:م البواقى مقابل القیم التقدیریھرس -ا

di e mse

ri e mse1 1nx1xb^2

sxx N

٢١٤

واقى سیتودنت( ieان رسم البواقي دره ) أو البواقي المعیاریھ أو ب یم المق ل الق مقابiy وفرة أو ال ل مت روض التحلی ت ف ا إذا كان ة م ورة عام ا بص ر لن ان . یفس إذا ك

ي شكل ) ١٣-٤(النموذج المقدر مالئما فإن شكل إنتشار البواقي یأخذ الشكل الموضح فال حول الصفر داخل حزام) ١٥-٤(والخاص بالمث اط تنتشر عشوائیا ى حیث النق افق

ان تص ین ك اه مع وءات أو اتج د نت اوال توج تخدام . اعدیا أو تنازلی د اس ئ عن س الش نفكل ي ش ح ف و موض ا ھ تیودنت كم واقى س ة أو ب واقى المعیاری ) ١٥-٤(، ) ١٤-٤(الب

.علي التوالى)) ١٥-٤(والخاص بالمثال (

)١٣- ٤(شكل

)١٤- ٤(شكل

٢١٥

)١٥- ٤(شكل

كل ا یتضح من ش ي شكل منحنى كم وزع عل واقى تت م الب ي رس اط ف ت النق إذا كانھ) ١٦-٤( ي عدم الخطی دل عل ذا ی تقلھ . فھ رات مس ى إضافة متغی ھ ال ى الحاج ذا یعن وھ

. أخرى في النموذج د یكون ضروریا ع ق ال حد التربی ي سبیل المث ي . عل التحویالت عل .ابع قد تكون مطلوبھالمتغیر الت) أو(المتغیر المستقل و

) ١٦ – ٤( شكل

كل ي ش حھ ف ق موض ر متحق این غی رض التب ا ف ون فیھ ى یك ھ الت ) ١٧-٤(الحالادة ع زی واقى م ار الرأسى للب زداد االنتش ث ی ي iyحی كل القمع ة الش ذه الحال مى ھ وتس

ادة iYوھذا یعنى أن توزیعات . المفتوح من األمام ع زی زداد م این ی لھا تبixY . ا أم

ادة ) ١٨-٤(في شكل ع زی ل م واقى یق ھ iyفنجد االنتشار الرأسي للب ذه الحال وتسمى ھات . الشكل القمعي المفتوح من الخلف ادة iYوھذا یعنى أن توزیع ع زی ل م این یق ا تب لھ

ixY . كل را ش وس ) ١٩-٤(واخی كل الق ابقین اى ش كلین الس ال الش ح ك ذى یوض والی ون ق دما تك ذا یحدث عن ین iyم المزدوج وھ ع ب این نسبة ذى 0 , 1نسب تق ث تب حی

50 100 150 200 250 300

-60

-40

-20

20

40

60

e

٢١٦

ن ھ م دین القریب د 0.5الح فر او الواح ن الص ھ م رى قریب ن اخ ر م ون اكب یك بفضل استخدام البواقي المعیاریة أو بواقى سیتودنت في رسم البواقى.الصحیح .عموما

)١٧- ٤(شكل

)١٨- ٤(شكل

75 80 85 90 95 100

-15

-10

-5

5

10

15

20

e

e

٢١٧

) ١٩- ٤(شكل

ا عن المشاھدات الشاذه iyمقابل ieایضا رسم البواقى ى ) الخوارج(قد یكشف لن والتؤدى . تمثل مجموعة قلیلھ من المشاھدات في العینھ د ی ة ق ي العین أن وجود بیانات شاذه ف

اط . الى التوصل الى نتائج خاطئة دة نق اك نقطة أو ع إذا بدأ لنا من شكل االنتشار أن ھنات شاذة یستدعى تبعد بصورة واضحة عن بقیة القیم فإن ھذه النقطة ل بیان أو النقاط تمث

.دراستھاد ون مفی تیودنت تك واقي س ة أو ب واقي المعیاری وم الب ا رس اف هأیض ي اكتش ف

دال ن االعت راف ع ا . االنح إن تقریب ي ف اء طبیع ع األخط ون توزی دما یك ن %68عن مین %95وتقریبا 1+ ,1-البواقي المعیاریة سوف تقع بین د 2+,2-منھم یقع ب ا یزی وم

). outliersالخوارج (یعتبر أخطاء شاذه أو یقل عن ذلك :رسم البواقى مقابل متغیر مستقل -ب

واقى م الب د رس ل ieعن ي ixمقاب اط عل إن النق با ف وذج مناس ون النم دما یك وعنھ ر اتجاھات منتظم ي حول الصفر دون ان تظھ ر عشوائیا داخل حزام افق م تتبعث الرس

واقى . سالبھألن تكون موجبھ او یم ieان رسم الب ل ق واقى ixمقاب م الب افئ رس ieیكة یم التقدیری ل الق ھ iyمقاب یم التقدیری ك الن الق یم iyوذل ي الق ھ ف ل دوال خطی ixتمث

ور دریج مح و ت ط ھ أثر فق ذى یت تقل وال ر المس اط xللمتغی ى للنق ق األساس یس النس ول .المرسومة

:رسم البواقى مقابل زمن -جة ا طبیع تقلھ لھ بعض التطبیقات في االنحدار تشتمل علي متغیر تابع ومتغیرات مس

زمن ع ال ھ م ون متتابع ھ. ان تك مى السالسل الزمنی ھ تس ذه الحال ي ھ ات ف اذج . البیان نماد ال االقتص ي مج ر ف ھ تنتش ل الزمنی تخدم السالس ى تس دار الت دم . االنح رض ع إن ف

ق االرتباط أو االستقالل لالخطاء لبی ر متحق ا غی ھ یكون غالب عادة .انات السالسل الزمنیة ،أي أن ون مرتبط ھ تك ل الزمنی ي السالس اء ف االخط 0E ji وji . ال یق

ا ا مرتبطھ ذاتی ة انھ ذه الحال ي ھ أ ف دود الخط واقى . لح م الب إن رس ة ف ذه الحال ي ھ ieف

٢١٨

ود وج) ٢٠-٤(یتضح من شكل . مقابل الزمن یكشف عن وجود االرتباط الذاتي للبواقى .ارتباط ذاتي موجب حیث تكون ھناك عدة نقاط موجبھ تلیھا عدة نقاط سالبھ

)٢٠- ٤(شكل كل ا ش واقى ) ٢١-٤(أم اط الب ث نق الب حی ي س اط ذات ود ارتب ح وج فیوض

البھ ھ س ھ والرابع ھ موجب البھ والثالث ھ س ثال والثانی ھ م االولى موجب ارة ف ب باألش تتعاق .وھكذا

الزمن

)٢١- ٤(شكل

)١٦-٤(مثال

اء د النس ة عن ذه العالق یتوقع أن تقل كتلھ عضالت الشخص مع العمر ، ولتقصي ھن . ھ م دا تسنوات 10اختار باحث تغذیة أربعھ نساء عشوائیا من كل شریحة عمری ب

الىیعطي جدول . 79وتنتھي بالعمر 40بالعمر ر و xالنتیجة ، الت ة yالعم اس كتل قی ) .١ – ٤( الخطى البسیط بافتراض نموذج االنحدار. العضلة

5 10 15 20

-10

-5

5

10

15

20

5 10 15 20

-10

-5

5

10

15

20

٢١٩

. أوجد معادلة االنحدار المقدرة ) أ ( احسب البواقي والبواقي المعیاریة وبواقي ستیودنت) ب ( ا ا بیانی دو .ومثلھ ھ ھل تب دال

. ر الخطیة توفیقا جیداالنحدا78 49 53 45 58 45 65 76 56 68 73 56 67 43 64 71 x

77 105 100 97 76 116 84 65 80 78 73 87 68 100 91 82 y

لــالحذه ) ٢٢-٤(یتضح من شكل االنتشار ) أ( ل ھ ة لتمثی أن الخط المستقیم ھو أفضل طریق

:البیانات

.أي أننا نفترض النموذج الخطى البسیط

)٢٢-٤(شكل االنتشار

10بما أن β,β مجھولتان فإننا نقدرھما من مشاھدات العینة حیث:

,60409x967x16n 2ii

20 40 60 80 100x

20

40

60

80

100

120y

x

٢٢٠

.1379y, 1875.86y,4375.60x,81331yx iii

n)x(x

nyxyx

SXXSXYb 2

i2i

iiii

1

16)967(60409

16)1379)(967(81331

2

, 02359.19375.19653125.2012

. 051.148)4375.60)(02359.1(1875.86xbyb 10

:معادلة االنحدار المقدرة سوف تكون على الشكل

.x02359.1051.148y مع شكل االنتشار في شكل .) ٢٣ – ٤(والموضحة بیانیا

)٢٣ - ٤( شكل

:التالى جدول الالبواقي والبواقي المعیاریة وبواقي ستیودنت معطاة في ) ب(

ir id 2)iyiy( iyiy iy iy

20 40 60 80 100x

20

40

60

80

100

120y

٢٢١

.)٢٤-٤(موضح في شكل iyمقابل ieرسم البواقي

)٢٤- ٤(شكل

) .٢٥-٤(موضح في شكل iyمقابل idرسم البواقي المعیاریة

82 75.3758 6.6241 43.8795 0.7939 0.822391 82.5409 8.4590 71.5553 1.0138 1.0480100 104.0363 - 4.0363 16.2920 -0.4837 - 0.497268 79.4701 - 11.4701 131.5653 -1.3747 - 1.422387 90.7296 - 3.7296 13.9104 -0.4470 - 0.461173 73.3286 - 0.3286 0.1080 -0.0393 - 0.040878 78.4466 - 0.4466 0.1994 -0.0535 - 0.055380 90.7296 - 10.7296 115.1259 -1.2859 - 1.326565 70.2578 - 5.2578 27.6454 -0.6301 - 0.653584 81.5173 2.4826 6.1634 0.2975 0.3076116 101.9891 14.0108 196.3036 1.6792 1.727076 88.6824 - 12.6824 160.8457 -1.5199 - 1.568897 101.9891 - 4.9891 24.8917 -0.5979 - 0.6149100 93.8004 6.1995 38.4344 0.7430 0.7658105 97.8948 7.1051 50.4838 0.8515 0.876777 68.2107 8.7892 77.2515 1.0533 1.0931

60 70 80 90 100 110 120y

-15

-10

-5

5

10

15e

٢٢٢

)٢٥- ٤(شكل

) . ٢٦-٤(موضح في شكل iyمقابل irرسم بواقي ستیودنت

)٢٦- ٤(شكل كل االنتشار ن ش دو ) ٢٢-٤(یتضح م دره تب ة المق واقي أن المعادل وم الب ن رس وم

.توفیقا جیدوفیما یلى خطوات Mathematicaسوف یتم حل ھذا المثال بإستخدام برنامج مكتوب بلغة

.البرنامج والمخرجات p=1

60 70 80 90 100 110 120y

-3

-2

-1

1

2

3d

d

٢٢٣

1 x1={71.,64,43,67,56,73,68,56,76,65,45,58,45,53,49,78} {71.,64,43,67,56,73,68,56,76,65,45,58,45,53,49,78} y1={82.,91,100,68,87,73,78,80,65,84,116,76,97,100,105,77} {82.,91,100,68,87,73,78,80,65,84,116,76,97,100,105,77} l[x_]:=Length[x] h[x_]:=Apply[Plus,x] k[x_]:=h[x]/l[x] c[x_,y_]:=h[x*y]-((h[x]*h[y]))/l[x] sxx=c[x1,x1] 1965.94 xb=h[x1]/l[x1] 60.4375 yb=h[y1]/l[y1] 86.1875 b1=c[x1,y1]/c[x1,x1] -1.02359 b0=yb-b1*xb 148.051 yy=b0+(b1*x1) {75.3758,82.541,104.036,79.4702,90.7297,73.3287,78.4466,90.7297,70.2579,81.5174,101.989,88.6825,101.989,93.8004,97.8948,68.2107} e=y1-yy {6.62416,8.45904,-4.03634,-11.4702,-3.72968,-0.32866,-0.446606,-10.7297,-5.25789,2.48263,14.0108,-12.6825,-4.98916,6.19955,7.1052,8.78929} t1=Transpose[{x1,y1}] {{71.,82.},{64,91},{43,100},{67,68},{56,87},{73,73},{68,78},{56,80},{76,65},{65,84},{45,116},{58,76},{45,97},{53,100},{49,105},{78,77}} a=PlotRange{{0,100},{0,120}} PlotRange{{0,100},{0,120}} a1=Prolog{PointSize[.02]} Prolog{PointSize[0.02]} g= ListPlot[t1,a,a1,AxesLabel{"x","y"}]

٢٢٤

Graphics dd=Plot[b0+(b1*x),{x,0,100},AxesLabel{"x","y"}]

Graphics Show[g,dd]

Graphics n=l[x1] 16 ssto=c[y1,y1]

20 40 60 80 100x

20

40

60

80

100

120y

20 40 60 80 100x

80

100

120

140

y

20 40 60 80 100x

20

40

60

80

100

120y

٢٢٥

3034.44 ssr=c[x1,y1]^2/c[x1,x1] 2059.78 sse=ssto-ssr 974.656 mse=sse/(n-2) 69.6183

{0.793906,1.01382,-0.483755,-1.3747,-0.447002,-0.0393899,-0.0535258,-1.28595,-0.630159,0.297543,1.6792,-1.52,-0.597951,0.743017,0.851559,1.0534}

{0.845946,1.05069,-0.546753,-1.43667,-0.464148,-0.042544,-0.0561594,-1.33528,-0.698323,0.309051,1.85859,-1.57238,-0.661831,0.779167,0.912464,1.19227} pp1=Transpose[{yy,e}] {{75.3758,6.62416},{82.541,8.45904},{104.036,-4.03634},{79.4702,-11.4702},{90.7297,-3.72968},{73.3287,-0.32866},{78.4466,-0.446606},{90.7297,-10.7297},{70.2579,-5.25789},{81.5174,2.48263},{101.989,14.0108},{88.6825,-12.6825},{101.989,-4.98916},{93.8004,6.19955},{97.8948,7.1052},{68.2107,8.78929}} aa=PlotRange{{50,120},{-15,15}} PlotRange{{50,120},{-15,15}} a2=Prolog{PointSize[.02]} Prolog{PointSize[0.02]}

Graphics pp2=Transpose[{yy,di}]

di e mse

ri e mse1 1nx1xb^2

sxx N

g ListPlotpp1,aa, a2, AxesLabel "y","e"

60 70 80 90 100 110 120y

-15

-10

-5

5

10

15e

٢٢٦

{{75.3758,0.793906},{82.541,1.01382},{104.036,-0.483755},{79.4702,-1.3747},{90.7297,-0.447002},{73.3287,-0.0393899},{78.4466,-0.0535258},{90.7297,-1.28595},{70.2579,-0.630159},{81.5174,0.297543},{101.989,1.6792},{88.6825,-1.52},{101.989,-0.597951},{93.8004,0.743017},{97.8948,0.851559},{68.2107,1.0534}} aa=PlotRange{{50,120},{-3,3}} PlotRange{{50,120},{-3,3}} a2=Prolog{PointSize[.02]} Prolog{PointSize[0.02]}

Graphics pp3=Transpose[{yy,ri}] {{75.3758,0.845946},{82.541,1.05069},{104.036,-0.546753},{79.4702,-1.43667},{90.7297,-0.464148},{73.3287,-0.042544},{78.4466,-0.0561594},{90.7297,-1.33528},{70.2579,-0.698323},{81.5174,0.309051},{101.989,1.85859},{88.6825,-1.57238},{101.989,-0.661831},{93.8004,0.779167},{97.8948,0.912464},{68.2107,1.19227}} aa=PlotRange{{50,120},{-3,3}} PlotRange{{50,120},{-3,3}} a2=Prolog{PointSize[.02]} Prolog{PointSize[0.02]}

g ListPlotpp2,aa, a2, AxesLabel "y", "d"

60 70 80 90 100 110 120y

-3

-2

-1

1

2

3d

g ListPlotpp3,aa, a2, AxesLabel "y","r"

٢٢٧

Graphics def=Transpose[{x1,y1,yy,e,di,ri}] {{71.,82.,75.3758,6.62416,0.793906,0.845946},{64,91,82.541,8.45904,1.01382,1.05069},{43,100,104.036,-4.03634,-0.483755,-0.546753},{67,68,79.4702,-11.4702,-1.3747,-1.43667},{56,87,90.7297,-3.72968,-0.447002,-0.464148},{73,73,73.3287,-0.32866,-0.0393899,-0.042544},{68,78,78.4466,-0.446606,-0.0535258,-0.0561594},{56,80,90.7297,-10.7297,-1.28595,-1.33528},{76,65,70.2579,-5.25789,-0.630159,-0.698323},{65,84,81.5174,2.48263,0.297543,0.309051},{45,116,101.989,14.0108,1.6792,1.85859},{58,76,88.6825,-12.6825,-1.52,-1.57238},{45,97,101.989,-4.98916,-0.597951,-0.661831},{53,100,93.8004,6.19955,0.743017,0.779167},{49,105,97.8948,7.1052,0.851559,0.912464},{78,77,68.2107,8.78929,1.0534,1.19227}} TableForm[def]

60 70 80 90 100 110 120y

-3

-2

-1

1

2

3r

٢٢٨


:المدخالت اوال

x1القائمة المسمى لقیم المتغیر المستقل والقائمة y1 المسمى .لقیم المتغیر التابع


و د ھ ابقا والجدی ا س ا علیھ ى تكلمن ات الت ل المخرج درة ك یم المق ل الق واقى مقاب م الب رس

نحصل علیھا من االمر

والمخرج ھو

71. 82. 75.3758 6.62416 0.793906 0.84594664 91 82.541 8.45904 1.01382 1.0506943 100 104.036 4.03634 0.483755 0.54675367 68 79.4702 11.4702 1.3747 1.4366756 87 90.7297 3.72968 0.447002 0.46414873 73 73.3287 0.32866 0.0393899 0.04254468 78 78.4466 0.446606 0.0535258 0.056159456 80 90.7297 10.7297 1.28595 1.3352876 65 70.2579 5.25789 0.630159 0.69832365 84 81.5174 2.48263 0.297543 0.30905145 116 101.989 14.0108 1.6792 1.8585958 76 88.6825 12.6825 1.52 1.5723845 97 101.989 4.98916 0.597951 0.66183153 100 93.8004 6.19955 0.743017 0.77916749 105 97.8948 7.1052 0.851559 0.91246478 77 68.2107 8.78929 1.0534 1.19227


٢٢٩

Graphics

رسم البواقى المعیاریة مقابل القیم المقدرة نحصل علیھا من االمر

والمخرج ھو

Graphics

رسم بواقى ستودنت مقابل القیم المقدرة نحصل علیھا من االمر

60 70 80 90 100 110 120y

-15

-10

-5

5

10

15e


60 70 80 90 100 110 120y

-3

-2

-1

1

2

3d

٢٣٠

والمخرج ھو

Graphics

)١٧-٤(مثال

:الحزمة الجاھزةوذلك باستخدام ) ٢- ٤(سوف یطبق على مثال ) ١٦-٤(المطلوب فى المثال

:وذلك بكتابة االمر التالى

Statistics`LinearRegression` .وفیما یلى خطوات البرنامج والمخرجات

<<Statistics`LinearRegression` oppbavg={0.240,0.254,0.249,0.245,0.250,0.252,0.254,0.270,0.274,0.264,0.280,0.266,0.268,0.286}; winpct={0.625,0.512,0.488,0.524,0.588,0.475,0.513,0.463,0.512,0.405,0.450,0.480,0.456,0.506}; dpoints=Table[{oppbavg[[i]],winpct[[i]]},{i,1,Length[winpct]}]; res=Regress[dpoints,{1,x},x,RegressionReport->FitResiduals] {FitResiduals{0.0789719,-0.00298867,-0.0380742,-0.0109426,0.0641429,-0.0444229,-0.00198867,-0.0165151,0.0413533,-0.0878177,-0.00734412,-0.00838349,-0.0279493,0.0619585}} pr=Regress[dpoints,{1,x},x,RegressionReport->PredictedResponse]


60 70 80 90 100 110 120y

-3

-2

-1

1

2

3r

٢٣١

{PredictedResponse{0.546028,0.514989,0.526074,0.534943,0.523857,0.519423,0.514989,0.479515,0.470647,0.492818,0.457344,0.488383,0.483949,0.444042}} lsq[x_]=Fit[dpoints,{1,x},x] 1.07813 -2.2171 x Map[lsq,oppbavg] {0.546028,0.514989,0.526074,0.534943,0.523857,0.519423,0.514989,0.479515,0.470647,0.492818,0.457344,0.488383,0.483949,0.444042} winpct-Map[lsq,oppbavg] {0.0789719,-0.00298867,-0.0380742,-0.0109426,0.0641429,-0.0444229,-0.00198867,-0.0165151,0.0413533,-0.0878177,-0.00734412,-0.00838349,-0.0279493,0.0619585} Regress[dpoints,{1,x},x,RegressionReport->{StandardizedResiduals,StudentizedResiduals}] {StandardizedResiduals{1.87411,-0.0644816,-0.839202,-0.247677,1.40636,-0.965242,-0.0429063,-0.359268,0.91839,-1.87916,-0.171141,-0.180051,-0.603555,1.55562},StudentizedResiduals{2.13351,-0.0617472,-0.828143,-0.237742,1.47337,-0.962259,-0.0410828,-0.345837,0.911923,-2.14166,-0.164055,-0.172619,-0.586836,1.66693}} predvals=pr[[1,2]] {0.546028,0.514989,0.526074,0.534943,0.523857,0.519423,0.514989,0.479515,0.470647,0.492818,0.457344,0.488383,0.483949,0.444042} errvals=res[[1,2]] {0.0789719,-0.00298867,-0.0380742,-0.0109426,0.0641429,-0.0444229,-0.00198867,-0.0165151,0.0413533,-0.0878177,-0.00734412,-0.00838349,-0.0279493,0.0619585} eps=(Max[oppbavg]-Min[oppbavg])/Length[oppbavg]; ListPlot[Transpose[{oppbavg,errvals}],Prolog->{PointSize[0.025]},AxesOrigin->{Min[oppbavg]-eps,0},PlotRange->{{Min[oppbavg]-eps,Max[oppbavg]+eps},{Min[errvals]-eps,Max[errvals]+eps}}]

٢٣٢

Graphics eps=(Max[predvals]-Min[predvals])/Length[predvals]; ListPlot[Transpose[{predvals,errvals}],Prolog->{PointSize[0.03]},AxesOrigin->{Min[predvals]-eps,0},PlotRange->{{Min[predvals]-eps,Max[predvals]+eps},{Min[errvals]-eps,Max[errvals]+eps}}]

Graphics errSTvals=Regress[dpoints,{1,x},x,RegressionReport->StandardizedResiduals][[1,2]] {1.87411,-0.0644816,-0.839202,-0.247677,1.40636,-0.965242,-0.0429063,-0.359268,0.91839,-1.87916,-0.171141,-0.180051,-0.603555,1.55562} eps=(Max[predvals]-Min[predvals])/Length[predvals]; ListPlot[Transpose[{predvals,errSTvals}],Prolog->{PointSize[0.02]},AxesOrigin->{Min[predvals]-eps,0},PlotRange->{{Min[predvals]-eps,Max[predvals]+eps},{Min[errSTvals]-eps,Max[errSTvals]+eps}}]

0.24 0.25 0.26 0.27 0.28

-0.075

-0.05

-0.025

0.025

0.05

0.075

0.44 0.46 0.48 0.5 0.52 0.54

-0.075

-0.05

-0.025

0.025

0.05

0.075

٢٣٣

Graphics


البواقى نحصل علیھا من االمرres=Regress[dpoints,{1,x},x,RegressionReport->FitResiduals]

والمخرج ھو {FitResiduals{0.0789719,-0.00298867,-0.0380742,-0.0109426,0.0641429,-0.0444229,-0.00198867,-0.0165151,0.0413533,-0.0878177,-0.00734412,-0.00838349,-0.0279493,0.0619585}}

القیم المقدرة نحصل علیھا من االمر pr=Regress[dpoints,{1,x},x,RegressionReport->PredictedResponse]

والمخرج ھو {PredictedResponse{0.546028,0.514989,0.526074,0.534943,0.523857,0.519423,0.514989,0.479515,0.470647,0.492818,0.457344,0488383,0.483949,0.444042}}

معادلة االنحدار المقدرة معطاه من االمر

lsq[x_]=Fit[dpoints,{1,x},x]

والمخرج ھو 1.07813 -2.2171 x

نحصل علیھا من االمر وبواقى ستودنت البواقى المعیاریة Regress[dpoints,{1,x},x,RegressionReport->{StandardizedResiduals,StudentizedResiduals}]

والمخرج ھو

0.44 0.46 0.48 0.5 0.52 0.54

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

٢٣٤

{StandardizedResiduals{1.87411,-0.0644816,-0.839202,-0.247677,1.40636,-0.965242,-0.0429063,-0.359268,0.91839,-

1.87916,-0.171141,-0.180051,-0.603555,1.55562},StudentizedResiduals{2.13351,-

0.0617472,-0.828143,-0.237742,1.47337,-0.962259,-0.0410828,-0.345837,0.911923,-2.14166,-0.164055,-0.172619,-

0.586836,1.66693}} من االمرنحصل علیھا ixمقابل ieرسم البواقي

eps=(Max[oppbavg]-Min[oppbavg])/Length[oppbavg];

ListPlot[Transpose[{oppbavg,errvals}],Prolog->{PointSize[0.025]},AxesOrigin->{Min[oppbavg]-

eps,0},PlotRange->{{Min[oppbavg]-eps,Max[oppbavg]+eps},{Min[errvals]-eps,Max[errvals]+eps}}]

معیاریة مقابل القیم المقدرة نحصل علیھا من االمر رسم البواقى الeps=(Max[predvals]-Min[predvals])/Length[predvals]; ListPlot[Transpose[{predvals,errvals}],Prolog->{PointSize[0.03]},AxesOrigin->{Min[predvals]-eps,0},PlotRange->{{Min[predvals]-eps,Max[predvals]+eps},{Min[errvals]-eps,Max[errvals]+eps}}]

رسم بواقى ستودنت مقابل القیم المقدرة نحصل علیھا من االمر eps=(Max[predvals]-Min[predvals])/Length[predvals]; ListPlot[Transpose[{predvals,errSTvals}],Prolog->{PointSize[0.02]},AxesOrigin->{Min[predvals],0}]

رسوم بواقى اخرى الختبار االعتدال ) ٢-٢١-٤( را رأن االنحراف عن االعتدال ال یؤث ؤثر كثی دال ی دم االعت إن ع وذج ف ى النم را عل كثی

ى F ،tفي إحصاءات د عل ي تعتم ارات الفروض و الت ة واختب رات الثق ي فت الي عل وبالتسع او اضیق أكثر من ذلك فإن األخطاء التي تأتي من توزیع لھ ذیل أو. فرض االعتدال

ات ن البیان ات الصغیرة م . من الطبیعي یكون توفیق المربعات الصغرى لھا حساس للفئیم شاذة الخوارج (أن توزیعات األخطاء التي لھا ذیل أوسع من الطبیعي غالبا تنتج من ق

outliers .( ارسوف نقدم القسم في ھذا ك الختب ت رسوم بواقي أخرى و ذل ما إذا كانة حدود الخطأ ت دما یكونتبع توزیعات طبیعی وذج االنحدار عن ي نم وب ف -٤( ھو مطل

١.(

٢٣٥

المدرج التكراري -أدال ون . یمكن استخدام المدرج التكراري للبواقي للتحقق من فرض االعت دما یك عن

ع كل التوزی ى ش ھولة عل ري بس التعرف البص مح ب ھ ال یس دا فإن غیر ج واقي ص دد الب عا یوضح شكل (a))٢٧-٤(یتضح من شكل . الطبیعي ق بینم دال متحق أن فرض االعت

)٢٧-٤ ((b) أن توزیع األخطاء ملتوي ناحیة الیمین.

(a) (b)

)٢٧- ٤(شكل

)١٨-٤(مثال

امج جاھز م السابق بإستخدام برن ى سوف یتم الوصول الى الرس ع الطبیع ع التوزی ات تتب د بیان م تولی ث ت علـى حی وذلك باستخدام االمر اعتبار انها تمثل البواقى

data1=RandomArray[NormalDistribution[0,1],50]

مع تمثيل هذه البواقى بيانيا بإستخدام االمر p1=normalHistogram[data1,10,DisplayFunction->Identity];

اى ايضـا .فى نهاية االمر ;مع عدم تنفيذه وذلك بوضع ع ك ع مرب ع توزی ات تتب د بیان تم تولی علـى اعتبـار ی وذلك باستخدام االمر انها تمثل البواقى

data2=RandomArray[ChiSquareDistribution[2],50]

مع تمثيل هذه البواقى بيانيا بإستخدام االمر p2=normalHistogram[data2,10,DisplayFunction->Identity];

لتمثیل البواقى فى الحالتین السابقتین باستخدام المدرج . فى نھایة االمر مع عدم تنفیذه وذلك بوضع الرمز التكرارى یستخدم االمر

-2 -1 1 2

0.10.20.30.40.5

2 4 6 8 10

0.050.10.150.20.250.3

٢٣٦

Show[GraphicsArray[{p1,p2}]]

:وفیما یلى المدخالت و المخرجات لھذا البرنامج <<Graphics`Graphics` <<Statistics`ContinuousDistributions` Clear[normalHistogram] normalHistogram[data_,bars_:10,opts___]:=Module[{p1,p2min,max,stepsize,counts,heights,midpts,tograph}, min=Min[data]; max=Max[data]; mean=Mean[data]; sd=StandardDeviation[data]; stepsize=(max-min)/(bars-1); counts=BinCounts[data,{min-stepsize/2,max+stepsize/2,stepsize}]; heights=counts/(stepsize Length[data])//N; midpts=Table[i,{i,min,max,stepsize}]; tograph=Table[{N[midpts[[i]],3],heights[[i]],stepsize},{i,1,bars}]; p1=GeneralizedBarChart[tograph,PlotRange->All,DisplayFunction->Identity]; p2=Plot[PDF[NormalDistribution[mean,sd],x],{x,min,max},PlotStyle->{{GrayLevel[0.4],Thickness[0.01]}},DisplayFunction->Identity]; Show[p1,p2,opts,DisplayFunction->$DisplayFunction] ] data1=RandomArray[NormalDistribution[0,1],50] {0.584876,0.164822,0.449716,1.28953,0.520173,-1.69339,-0.225564,0.462183,-0.446375,0.226037,0.570508,0.735886,2.59758,0.231171,1.0225,-1.31356,2.60839,1.31471,0.893,2.17977,0.184372,-0.661991,-0.066023,0.140468,-0.000891814,-0.291963,0.728657,0.713564,0.724345,-0.224926,0.256552,-0.771846,-0.525295,-0.0889038,-1.28344,-1.91511,-0.599998,-0.0474356,0.197584,-0.598371,-0.582649,0.238121,-0.566242,-0.484493,-1.61822,-2.08677,-0.191946,0.697967,1.81547,-1.39897} p1=normalHistogram[data1,10,DisplayFunction->Identity]; data2=RandomArray[ChiSquareDistribution[2],50] {3.48566,3.55124,2.26459,0.116474,1.56762,1.99768,1.57667,1.75057,1.90107,0.678585,0.955201,0.20144,1.13616,0.185295,0.4

٢٣٧

4635,1.52742,0.423731,2.41548,0.524364,0.394676,6.45974,10.1795,0.721821,0.155046,0.291119,0.356386,1.963,0.0363703,1.79359,1.51655,0.166446,1.14102,7.69427,0.558897,2.40877,0.827852,1.5761,0.33758,1.38669,3.26832,0.874976,1.21096,0.627969,1.96591,1.00144,1.23365,6.79307,1.60237,0.598011,0.705157} p2=normalHistogram[data2,10,DisplayFunction->Identity]; Show[GraphicsArray[{p1,p2}]]

GraphicsArray

رسم االحتمال الطبیعى -ب

ر یم ف ي تقی الي الطبیعي ف ورق االحتم ع عموما یستخدم ال ات للتوزی ة البیان ض تبعیي ا الطبیع ول علیھ ع الحص یم المتوق ع الق ا م وب اختبارھ اھدات المطل ع المش ث توق حی

إن . عندما یكون التوزیع طبیعي ا ف تقیم تقریب فإذا وقعت أزواج القیم الناتجة على خط مستقیم . ھذا یدل على أن البیانات تتبع التوزیع الطبیعي اط عن خط مس أما إذا انحرفت النق

ي . االعتدال یصبح مشكوكا في صحتھ بصورة واضحة فإن فرض ة الت ا أن الطریق كمع ة للتوزی بعض المعلومات عن أسباب عدم التبعی دنا ب د تم تحدث بھا ھذه االنحرافات ق

ي راءات .الطبیع ض اإلج اذ بع ن اتخ ن الممك ھ م باب فإن ذه األس ة ھ رد معرف وبمج .التصحیحیةیكن n21ل e,...,e,e ددھا ي ع واقي الت ل الب رض أن nتمث و بف

)n()2()1( e,...,ee اعدیا ا تص د ترتیبھ واقي بع ل الب غر e)1(أي أن . تمث أص

واقي و ي الب ة ف ة n(e(قیم ر قیم دار سوف.أكب یستخدم المقn

)21i(

p )i(

ب كتقری

)في العینة(لنسبة البواقي ni ى یسار د أو عل دار . i(e(التي تقع عن i(p(بفرض أن المق

:معرف من التوزیع الطبیعي القیاسى من العالقة التالیة

-2 -1 1 2

0.10.20.30.40.5

2 4 6 8 10

0.050.10.150.20.250.3

٢٣٨

).i(pdz2

2z)i(

e21))i(Z(P))i((

إن ا ف و احتم i(p(وھن اويھ ن أو یس ل م ة أق ى القیم ول عل ك i(( ال الحص وذل)e,(وبرسم أزواج القیم . الطبیعي القیاسي التوزیع باستخدام )i()i( ة وإذا كانت العالق

دال لحدود األخطاء .خطیة تقریبا بین أزواج القیم فإن ھذا یدل على تحقق فرض االعتذلك الغرض . ة ویمكن إجراء الحسا .وھناك ورق احتمال طبیعي مصمم ل بات الالزم

ة ال الطبیعي باستخدام الحاسبات اآللی ى شكل رسم االحتم كما یتضح من للحصول عل .المثال التالى

)١٩-٤(مثال

ي دول الیعط الىج ة الت یم المرتب ال i(e(الق ھ بالمث واقي الخاص ك ) ٥-٤(للب وذلامج ي بإستخدام برن ي الحاسب اآلل ذ عل یم Mathematicaبإستخدام برنامج منف ع الق م

)i(p ع الطبیعي القیاسي ثال من i(( وقیم التوزی ال فم ذا االحتم الىجدول اللھ نجد الت :أن

.958333.0dz2z

e73166.1

21)73166.1Z(P

2

)i( )i(p )i(e ie

٢٣٩

i((مع قیم التوزیع الطبیعي القیاسي e)i(توقیع البواقى المرتبة ) ٢٨- ٤(یوضح شكل أن ازواج ) ٢٨- ٤(نالحظ من شكل . لنحصل في النھایة على رسم االحتمال الطبیعي

)e,(القیم )i()i( تقع تقریبا علي خط مستقیم وبالتالي فإننا نقبل فرضیھ تبعیھ حدود .الخطأ للتوزیع الطبیعي

)٢٨- ٤(شكل

5.15808 -8.66963 0.0416667 -1.73166-8.66963 -8.25577 0.125 -1.15035-3.01421 -5.42806 0.208333 -0.812218-8.25577 -3.01421 0.291667 -0.5485221.91652 -1.66963 0.375 -0.318639-1.66963 0.571936 0.458333 -0.1046330.571936 1.74423 0.541667 0.1046337.50266 1.91652 0.625 0.3186391.74423 2.74423 0.708333 0.548522-5.42806 5.15808 0.791667 0.8122187.39964 7.39964 0.875 1.150352.74423 7.50266 0.958333 1.73166

٢٤٠


x1={4,6.,2,5,7,6,3,8,5,3,1,5} {4,6.,2,5,7,6,3,8,5,3,1,5} y1={197.,272,100,228,327,279,148,377,238,142,66,239} {197.,272,100,228,327,279,148,377,238,142,66,239} p=1 1 l[x_]:=Length[x] h[x_]:=Apply[Plus,x] k[x_]:=h[x]/l[x] c[x_,y_]:=h[x*y]-((h[x]*h[y]))/l[x] n =l[x1] 12 sxx=c[x1,x1] 46.9167 xb=h[x1]/l[x1] 4.58333 yb=h[y1]/l[y1] 217.75 b1=c[x1,y1]/c[x1,x1] 44.4139 b0=yb-b1*xb 14.1865 yy=b0+(b1*x1) {191.842,280.67,103.014,236.256,325.083,280.67,147.428,369.497,236.256,147.428,58.6004,236.256} e=y1-yy {5.15808,-8.66963,-3.01421,-8.25577,1.91652,-1.66963,0.571936,7.50266,1.74423,-5.42806,7.39964,2.74423} ssgg=Sort[e] {-8.66963,-8.25577,-5.42806,-3.01421,-1.66963,0.571936,1.74423,1.91652,2.74423,5.15808,7.39964,7.50266} era=Table[(i-.5)/n,{i,1,n}] {0.0416667,0.125,0.208333,0.291667,0.375,0.458333,0.541667,0.625,0.708333,0.791667,0.875,0.958333} <<Statistics`ContinuousDistributions` qq[x_]:=Quantile[NormalDistribution[0,1],x] ffg=Map[qq,era] {-1.73166,-1.15035,-0.812218,-0.548522,-0.318639,-0.104633,0.104633,0.318639,0.548522,0.812218,1.15035,1.73166}

٢٤١

wwwel=Transpose[{e,ssgg,era,ffg}] {{5.15808,-8.66963,0.0416667,-1.73166},{-8.66963,-8.25577,0.125,-1.15035},{-3.01421,-5.42806,0.208333,-0.812218},{-8.25577,-3.01421,0.291667,-0.548522},{1.91652,-1.66963,0.375,-0.318639},{-1.66963,0.571936,0.458333,-0.104633},{0.571936,1.74423,0.541667,0.104633},{7.50266,1.91652,0.625,0.318639},{1.74423,2.74423,0.708333,0.548522},{-5.42806,5.15808,0.791667,0.812218},{7.39964,7.39964,0.875,1.15035},{2.74423,7.50266,0.958333,1.73166}} TableForm[wwwel]

ssal=Transpose[{ssgg,ffg}] {{-8.66963,-1.73166},{-8.25577,-1.15035},{-5.42806,-0.812218},{-3.01421,-0.548522},{-1.66963,-0.318639},{0.571936,-0.104633},{1.74423,0.104633},{1.91652,0.318639},{2.74423,0.548522},{5.15808,0.812218},{7.39964,1.15035},{7.50266,1.73166}} ggo=ListPlot[ssal,Prolog{PointSize[.02]},PlotRange{{-9,8},{-2,9}}]

5.15808 8.66963 0.0416667 1.731668.66963 8.25577 0.125 1.150353.01421 5.42806 0.208333 0.8122188.25577 3.01421 0.291667 0.5485221.91652 1.66963 0.375 0.3186391.66963 0.571936 0.458333 0.1046330.571936 1.74423 0.541667 0.1046337.50266 1.91652 0.625 0.3186391.74423 2.74423 0.708333 0.5485225.42806 5.15808 0.791667 0.8122187.39964 7.39964 0.875 1.150352.74423 7.50266 0.958333 1.73166

٢٤٢

Graphics

:لھذا البرنامج )1((2)(n)البواقى المرتبة e, ... , e, e نحصل علیھا من االمر

ssgg=Sort[e]

والمخرج ھو {-8.66963,-8.25577,-5.42806,-3.01421,-1.66963,0.571936,1.74423,1.91652,2.74423,5.15808,7.39964,7.50266}

:i(p(االحتماالت التجریبیة التجمیعیة

.n/)21-(n , ... , n/)

21-(2 , n/)

211(

:نحصل علیھا من االمر التالى era=Table[(i-.5)/n,{i,1,n}]

:والمخرج ھو {0.0416667,0.125,0.208333,0.291667,0.375,0.458333,0.541667,0.625,0.708333,0.791667,0.875,0.958333}

-7.5 -5 -2.5 2.5 5 7.5

-2

2

4

6

8

٢٤٣

یم )1((2)(n)ق , ... , , تخدام ابھا باس تم حس ي ی ي القیاس ع الطبیع ر التوزی ن االم م :التالى

ffg=Map[qq,era]

:والمخرج ھو {-1.73166,-1.15035,-0.812218,-0.548522,-0.318639,-0.104633,0.104633,0.318639,0.548522,0.812218,1.15035,1.73166}

دول ال ى ج وى عل ذى یحت ة ال یم المرتب یم i(e(الق ع الق واقي م ع i(p(للب یم التوزی وق :معطاه من االمر التالى i(( الطبیعي القیاسي

TableForm[wwwe1]

ة ع الطبیعي القیاسي i(e(توقیع البواقى المرتب یم التوزی ع ق ى رسم وحصلل i((م ل عل -:یعطى من االمر التالى )٢٨-٤(شكل الموضح فى االحتمال الطبیعي

ggo=ListPlot[ssal,Prolog{PointSize[.02]},PlotRange{{-9,8},{-2,9}}]

فإننا نحصل على a)٢٩- ٤(عندما یكون توزیع حدود الخطأ طبیعي كما في شكل حیث تلتف النقاط حول b)٣٠- ٤(كما ھو موضح في شكل رسم احتمال طبیعي مثالي

فإن رسم c)٢٩- ٤(عندما یكون التوزیع ملتوي ناحیة الیمین كما في شكل . خط مستقیم. c)٣٠- ٤(كما في شكل downwardاالحتمال الطبیعي سوف یكون مقعرا من اسفل

أما إذا كان التوزیع ملتوي ناحیة الیسار فان رسم االحتمال الطبیعي یكون مقعرا من وإذا كان التوزیع لھ احتمال اعلي في الذیلین من التوزیع الطبیعي . upwardاعلي

او التوزیع المفلطح فإن الرسم علي الورق b )٢٩- ٤(في شكل كمامثل التوزیع المنتظم االحتمالي الطبیعي یكون مقعرا من أسفل ناحیة الركن األیسر السفلي ومقعرا من اعلي

معطاه كما الحالة العكسیة . a)٣٠- ٤(ناحیة الركن األیمن العلوي كما في شكل توزیعات التي لھا احتمال أقل في مالحظتھا في الوالتي یمكن d)٢٩- ٤(في شكل

d)٣٠- ٤(والموضحھ في شكل الذیلین من التوزیع الطبیعي او المدببھ

٢٤٤

)b( )(a

)d) (c(

)٢٩- ٤(شكل

4

)a) (b (

)d) (c(

)٣٠- ٤(شكل

٢٤٥

)٢٠-٤(مثال

: نستخدم البرنامج التالى) ٣٠- ٤(وشكل )٢٩- ٤(للحصول على شكل

<<Statistics`ContinuousDistributions` plot1=Plot[PDF[NormalDistribution[0,1],x],{x,-2,2},DisplayFunction->Identity]; plot2=Plot[PDF[UniformDistribution[0,1],x],{x,0,1},DisplayFunction->Identity]; plot3=Plot[PDF[ChiSquareDistribution[4],x],{x,0,15},DisplayFunction->Identity]; plot4=Plot[PDF[StudentTDistribution[1],x],{x,-10,10},DisplayFunction->Identity]; Show[GraphicsArray[{{plot1,plot2},{plot3,plot4}}]]

GraphicsArray normal=RandomArray[NormalDistribution[0,1],50] {-0.119447,0.566809,0.280831,0.22715,0.658255,1.56798,0.180001,0.187362,0.596641,0.430159,-0.0966329,-0.284134,0.358295,-1.26955,-0.27671,-0.0248395,-0.910254,-0.264412,-0.305139,1.64856,0.703,1.65633,-0.615424,1.11452,1.18427,-0.826099,0.203374,1.14628,-0.435058,-2.02507,0.921211,0.616495,-1.06946,-0.965814,-0.822306,0.629285,0.162396,-0.328231,0.716756,-0.658059,-

2 4 6 8 101214

0.0250.050.0750.1

0.1250.150.175

-10 -5 5 10

0.050.10.150.20.250.3

-2 -1 1 2

0.1

0.2

0.3

0.4

0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.5

1

1.5

2

٢٤٦

0.273968,1.53388,-1.11519,-0.839082,1.80152,1.17551,-0.0521744,0.368834,0.286288,0.709404} n1=normalProbability[normal,DisplayFunction->Identity]; Pearson'sCorrelationCoefficient0.99369 uniform=RandomArray[UniformDistribution[0,1],50]; Short[uniform] {0.425167,48,0.924985} n2=normalProbability[uniform,DisplayFunction->Identity]; Pearson'sCorrelationCoefficient0.97522 chi=RandomArray[ChiSquareDistribution[4],50]; Short[chi] {3.46277,48,7.38896} n3=normalProbability[chi,DisplayFunction->Identity]; Pearson'sCorrelationCoefficient0.944491 student=RandomArray[StudentTDistribution[1],50]; Short[student] {0.742873,48,0.0998677} n4=normalProbability[student,DisplayFunction->Identity]; Pearson'sCorrelationCoefficient0.691211 Show[GraphicsArray[{{n1,n2},{n3,n4}}]]

GraphicsArray

: لھذا البرنامج یتبع االتى ) ٢٩- ٤(للحصول على شكل

االمرplot1=Plot[PDF[NormalDistribution[0,1],x],{x,-2,2},DisplayFunction->Identity];

2 4 6 8 10 12

-2

-1

1

2

3Normal Probability Plot

-30 -20 -10

-3-2-1

12

Normal Probability Plot

-2 -1 1

-2

-1

1


0.2 0.4 0.6 0.8

-2

-1

1


٢٤٧

رسم التوزیع طبیعى واالمر یؤدى إلى الحصول على plot2=Plot[PDF[UniformDistribution[0,1],x],{x,0,1},DisplayFunction->Identity];

واالمر .توزیع منتظم رسم یؤدى إلى الحصول على

plot3=Plot[PDF[ChiSquareDistribution[4],x],{x,0,15},DisplayFunction->Identity];

واالمر. توزیع مربع كاى بدرجة حریة اربعة یؤدى إلى الحصول على رسم

plot4=Plot[PDF[StudentTDistribution[1],x],{x,-10,10},DisplayFunction->Identity];

.توزیع ت بدرجة حریة واحدة یؤدى إلى الحصول رسم

:االوامر السابقة ال تنفذ اال بعد االمر التالى Show[GraphicsArray[{{plot1,plot2},{plot3,plot4}}]]

) .٢٩- ٤(حیث تؤدى الى شكل

يقوم االمر ) ٣٠-٤(للحصول على شكل normal=RandomArray[NormalDistribution[0,1],50]

واالمر .بتوليد بيانات تتبع التوزيع الطبيعى uniform=RandomArray[UniformDistribution[0,1],50];

بتوليد بيانات تتبع التوزيع املنتظم واالمر chi=RandomArray[ChiSquareDistribution[4],50];

تتبع توزيع مربع كاى واالمر بتوليد بيانات student=RandomArray[StudentTDistribution[1],50];

كمــا (بــدون تنفيــذ )٢٩-٤(شكل االوامــر التاليــة تـؤدى اىل احلصــول علــى . بتوليـد بيانــات تتبــع توزيـع مربــع ت ):تؤدى اىل احلصول على معامل سبريمان والذى سوف نتناوله فيما بعد

n1=normalProbability[normal,DisplayFunction->Identity]; Pearson'sCorrelationCoefficient0.99369 n2=normalProbability[uniform,DisplayFunction->Identity]; Pearson'sCorrelationCoefficient0.97522 n3=normalProbability[chi,DisplayFunction->Identity]; Pearson'sCorrelationCoefficient0.944491 n4=normalProbability[student,DisplayFunction->Identity];

٢٤٨

Pearson'sCorrelationCoefficient0.691211

:نستخدم االمر التالى )٣٠-٤(للحصول على شكل Show[GraphicsArray[{{n1,n2},{n3,n4}}]]

نقص االعتدالىاختبار ) ٣-١٢-٤(

ة ر i(d(في ھذا االختبار یتم ترتیب البواقي المعیاری ى االكب ا (من االصغر ال ترتیباعدیا ث ) تص )n()2()1(حی d...dd یم اب الق تم حس م ی ث

)n()2()1( z...zz ي ملحق والمستخرجھ من جدول التوزیع الطبیعي القیاسي فاحھ قب) ١( ى المس اوى لوالت ا تس ھ )25.0n/()75.0i(p )i( ث حی

n,...,2,1i ي بأستخدام امج ویمكن استخدام الحاسب اآلل ي Mathematica برن ف :الزواج القیم . i(z( حساب قیم

)z,d(),...,z,d(,z,d )n()n()2()2()1()1(

:بفرض أن فرض العدم. )معامل بیرسون( rیتم حساب معامل االرتباط البسیط

0H: طبیعي) ١-٤(توزیع حدود الخطأ في توزیع االنحدار الخطى البسیط

:ضد الفرض البدیل

1H: غیر طبیعي) ١-٤(توزیع حدود الخطأ في نموذج االنحدار الخطى البسیط

ون دما یك إن 0Hعن ر عشوائي rصحیح ف ة لمتغی ا rRقیم ع احتم ھ توزی یم . لىل القھ ن Cالحرج ق rRم ي ملح دول ف ي الج اه ف دیث ) ١٠(معط دخل ح اب م ى كت ف

ة لالحصاء واالحتماالت للدكتورة ثروت محمد عبد المنعم وذلك عند مستویات معنویمنطقة الرفض . مختلفة CR r إذا وقعتr 0في منطقة الرفض نرفضH .

)٢١-٤(مثال

ھ التالىعطى جدول ی ة المرتب ال i(d(البواقى المعیاری یم ) ٥-٤(الخاصھ بالمث ع ق م

)i()i( p,z حیث استخدم برنامجMathematica في حساب قیمz(i) .

٢٤٩

)i(Z )i(p )i(d -1.63504 -1.11394 -0.791639 -0.536176 -0.311919 -0.102491 0.102491 0.311919 0.536176 0.791639 1.11394 1.63504

0.0510204 0.132653 0.214286 0.295918 0.377551 0.459184 0.540816 0.622449 0.704082 0.785714 0.867347 0.94898

-1.4937 -1.42239

-0.935205 -0.51932

-0.287661 0.0985392 0.300514 0.330198 0.472805 0.888689 1.27489 1.29264

:اختبار فرض العدم والمطلوب

0H: توزیع حدود الخطأ طبیعیھ :ضد الفرض البدیل

1H: توزیع حدود الخطأ غیر طبیعیھ

: التالیھ rصیغة من البیانات فى الجدول السابق نحصل على

nz

zn

dd

nzd

zdr

2)i(2

)i(

2)i(2

)i(

)i()i()i()i(

.981243.0)87237.9)(10(

74961.9r

918.0Cفإن .05لمستوى معنویھ 05.0 جدول الوالمستخرجھ من الموجود فى كتاب مدخل حدیث لالحصاء ( )١٠(في ملحق

٢٥٠

نعم د الم د عب د )واالحتماالت للدكتورة ثروت محم 10nعن دم ك لع وذلد C.05وجود قیمة لـ 12nعن . رفض ة ال 918.0Rمنطق r .ا أن وبم

r ول ة القب ي منطق ع ف ل نتق ع . 0Hقب ع التوزی أ تتب دود الخط أى أن ح .الطبیعي

وفیما یلى Mathematicaمكتوب بلغة سوف یتم حل ھذا المثال بإستخدام برنامج .خطوات البرنامج والمخرجات

x1={4,6.,2,5,7,6,3,8,5,3,1,5} {4,6.,2,5,7,6,3,8,5,3,1,5} y1={197.,272,100,228,327,279,148,377,238,142,66,239} {197.,272,100,228,327,279,148,377,238,142,66,239} p=1 1 l[x_]:=Length[x] h[x_]:=Apply[Plus,x] k[x_]:=h[x]/l[x] c[x_,y_]:=h[x*y]-((h[x]*h[y]))/l[x] n =l[x1] 12 sxx=c[x1,x1] 46.9167 xb=h[x1]/l[x1] 4.58333 yb=h[y1]/l[y1] 217.75 b1=c[x1,y1]/c[x1,x1] 44.4139 b0=yb-b1*xb 14.1865 yy=b0+(b1*x1) {191.842,280.67,103.014,236.256,325.083,280.67,147.428,369.497,236.256,147.428,58.6004,236.256} e=y1-yy {5.15808,-8.66963,-3.01421,-8.25577,1.91652,-1.66963,0.571936,7.50266,1.74423,-5.42806,7.39964,2.74423} n=l[x1] 12 ssto=c[y1,y1] 92884.3 ssr=c[x1,y1]^2/c[x1,x1] 92547.4

٢٥١

sse=ssto-ssr 336.881 mse=sse/(n-2) 33.6881

{0.888689,-1.4937,-0.51932,-1.42239,0.330198,-0.287661,0.0985392,1.29264,0.300514,-0.935205,1.27489,0.472805} dii=Sort[di] {-1.4937,-1.42239,-0.935205,-0.51932,-0.287661,0.0985392,0.300514,0.330198,0.472805,0.888689,1.27489,1.29264} nndd=Table[(i-.75)/(n+.25),{i,1,n}] {0.0204082,0.102041,0.183673,0.265306,0.346939,0.428571,0.510204,0.591837,0.673469,0.755102,0.836735,0.918367} <<Statistics`ContinuousDistributions` qq[x_]:=Quantile[NormalDistribution[0,1],x] ffg=Map[qq,nndd] {-2.04539,-1.27001,-0.901454,-0.627072,-0.393598,-0.180012,0.0255806,0.232272,0.449514,0.690633,0.981126,1.39417} ffgi=Sort[ffg] {-2.04539,-1.27001,-0.901454,-0.627072,-0.393598,-0.180012,0.0255806,0.232272,0.449514,0.690633,0.981126,1.39417} sss1=c[dii,dii] 10. sss2=c[dii,ffgi] 10.0895 sss3=c[ffgi,ffgi] 10.6044

0.979775


علیھ من االمر معامل ارتباط بیرسون یتم الحصول

) . ٢٠- ٤(وللعلم یمكن الحصول على معامل سبیرمان من البرنامج الخاص بمثال

di e mse

sss2sss1sss3

bxynxynk2

٢٥٢

اختبار خطیة االنحدار) ١٣-٤( Test for Linearity of Regression

یط دار الخطي البس وذج االنح ق لنم نقص التوفی ائي ل ار إحص دم اختب وف نق . اآلن سي اك شك ف ط ھن این وفق ات التب تفترض الطریقة تحقق كل من االعتدال واالستقالل وثب

. Y,xوجود عالقة خط مستقیم بین

ى االستجابة ررة عل ى وجود مشاھدات متك ق إل ار نقص التوفی اج اختب ك yیحت وذلن د م توى واح ل لمس ى األق ن . xعل وائیة م ة عش ذنا عین ا أخ رض إنن ن nبف م

ة من mالمشاھدات وذلك باستخدام یم المختلف یكن ، xمن الق m21ل x,...,x,x ث بحیر العشوائي 1nأن العینة تحتوي ل ل 1Yقیمة مشاھدة من المتغی 12المقاب x و n ة قیم

وائي ر العش ن المتغی اھدة م ل ل 2Yمش ة مش nmو 2x ـالمقاب نقیم ر اھدة م المتغی

وائي ل ل mY العش روري أن . mx ـالمقاب ن الض م

k

1iinn. رف وف نع ijyس

م ة رق ل القیم وائي jلیمث ر العش ن المتغی د iYم ث ixعن حی

k,...,2,1i و n,...,2,1j i و

in

1jiji yy وn/yy ii . دما ك عن ى ذل وعل

3n4 إ ى ف ات عل ل 4Yن القیاس 4xxتقاب اھدات ذه المش رف ھ وف نع وس434241بالرموز y,y,y 4342414وعلى ذلك yyyy . ى ار عل یعتمد االختب

:إلى جزئین كالتالي البواقيع مربعات تجزئة مجمو, SSLFSSPESSE

pure) الصافي ( ھو مجموع المربعات الذي یرجع إلى الخطأ الخالص SSPEحیث error یم ین ق ن yأي االختالف ب ھ معطاة م ل قیم ا . xداخ وع SSLFأم و مجم فھ

.یعكس االختالف العشوائي أو خطا التجربة SSPEمربعات نقص التوفیق إي أن :مربعات الخطأ الخالص ھوحیث مجموع

j

2ij2

ijin

1j

m

1i

2iij

in

1j

m

1i ny

y(yySSPE

٢٥٣

ل د ك ات المصحح للمشاھدات المتكرره عن والذى نحصل علیھ بحساب مجموع المربعة . xمن mثم الجمع علي كل المستویات xمستوى من ى من درجات الحری العدد الكل

:المرتبطة بمجموع مربعات الخطأ الخالص ھو

.mn)1n( im

1i

ھل ععادة یتم الحصوفمجموع مربعات نقص التوفیق اما . SSEمن SSPEبطرح لید 2mیوج رتبط ب ة ی ات الحری ن درج ھ . SSLF ـم د علی ذي یعتم اء ال اإلحص

:االختبار ھو

.

MSPEMSLF

mn/SSPE2m/SSLFF

ى ررة عل ات متك دار بقیاس كلة االنح ي مش رض ف ار الف ة الختب ابات المطلوب الحس

:الجدول التالىاالستجابة یمكن تلخیصھا كما ھو موضح في

F Ms SS df V.O.S

MSESSR

MSPEMSLF

SSR )2n/(SSEMSE

2mSSPESSEMSLF

mn

SSPEMSPE

SSR SSE

SSPESSE SSPE

1 2n

2m

mn

االنحدار الخطأ

نقص التوفیق

الخالصالخطأ

1n الكلي

i10ix|Yصحیح عندما یكون فرض العدم x إن اإلحصاء ع Fف ع توزی Fیتبة درجات حری ة . m-2و n-mب ت قیم ة Fإذا كان ن قیم ل م وبة اق ة Fالمحس الجدولی

یة ر الفرض ذ نختب ق وعندئ ص التوفی دم نق ي ع رة ف ة كبی اك ثق ى أن ھن دل عل ذا ی فھ0:H 10 باستخدام اإلحصاء:

٢٥٤

ت دم Fوإذا كان رض الع رفض ف ا ن ة فإنن ن الجدولی ر م وبة اكب H:0المحس 10 .

ار كل االنتش كل لش ي ش ى ف دم أن ) ٣١-٤(المعط رض الع ول ف د قب وعنi10ix|Y x دم رض الع ض ف H:0ورف 10 دار ة االنح إن معادل ف

:المقدرة سوف تكون

.xbby 10

)٣١- ٤(شكل

كل ي ش ى ف ار المعط كل االنتش و ) ٣٢-٤(لش وذج ھ دم أن النم رض الع ول ف د قب وعنi10ix|Y x 0وقبول فرض العدم:H 10 درة ة االنحدار المق فإن معادل

:سوف تكون . yy

. MSEMSRF

٢٥٥

)٣٢- ٤(شكل

كل ي ش ى ف ار المعط كل االنتش و ) ٣٣-٤(لش وذج ھ دم أن النم رض الع د رفض ف وعن

i10ix|Y x دم رض الع ض ف H:0ورف 10 وذج ع النم اول م ا نح فإنن

i2

ix2ix10iY . د من ال ب أما إذا كان شكل االنتشار غیر ذلك فیم(أو كالھما yأو قیم xعمل تحویالت على قیم ل لق ر یستخدم التحوی yوعلى األكث

.بعد ذلكھذا وھناك عدة طرق لتحویل البیانات سوف نتناولھا ) .

)٣٣- ٤(شكل

ي شكل دم أن النموذج ھو ) ٣٤-٤(لشكل االنتشار والمعطى ف د رفض فرض الع وعن

i10ix|Y x دم رض الع ول ف H:0قب 10 وذج ع النم اول م نح

٢٥٦

i2

ix2ix10iY ى أ إل ا نلج ك فإنن ر ذل ار غی ان االنتش ا إذا ك أم .التحویالت

)٣٤-٤(شكل

)٢٢-٤(مثال

دم الالزواج القیاسات في ر فرض الع دیل : H0جدول التالى اختب د الفرض الب النموذج خطي ضH0 : 0.05النموذج غیر خطي عند مستوى معنویة

: الحــل 0H : النموذج الخطى:

:النموذج غیر خطى : . 0.05

:المربعات الخالص ثم مجموع مربعات قصور التوفیق كالتالي سوف نوجد مجموع

1H

y x المشاھداتy x المشاھدات y x المشاھدات

1 1.3 2.3 9 3.7 1.7 17 5.3 3.5 2 1.3 1.8 10 4.0 2.8 18 5.3 2.8 3 2.0 2.8 11 4.0 2.8 19 5.3 2.1 4 2.0 1.5 12 4.0 2.2 20 5.7 3.4 5 2.7 2.2 13 4.7 5.4 21 6.0 3.2 6 3.3 3.8 14 4.7 3.2 22 6.0 3.0 7 3.3 1.8 15 4.7 1.9 23 6.3 3.0 8 3.7 3.7 16 5.0 1.8 24 6.7 5.9

٢٥٧

xمجموع مربعات الخطأ الخالص عند 1.3 ھو:

2 2 2(2.3) (1.8) (2.3) (1.8) / 2 0.125.

بدرجة حریة واحدة 1n 2.1 1 . xمجموع مربعات الخطأ الخالص عند 2.0 ھو:

2 2 2(2.8) (1.5) (2.8) (1.5) / 2 0.845.

بدرجة حریة واحدة 2n 2 1 1 . بنفس الطریقة یتم حساب مجموع مربعات الخطأ الخالص . التالىل جدوالكما في xللقیم الباقیة من

xمستوى درجات حریة

1 1 1 1 2 2 2 1

0.125 0.845 2.000 2.000 0.240 6.260 0.980 0.020

1.3 2.0 3.3 3.7 4.0 4.7 5.3 6.0

المجموع 12.470 11

:التالى جدول الجدول تحلیل التباین معطى في F MS SS df S.O.V

963.0326.6f

= 6.569 عند مستوى

=0.05معنویة

6.326

0.963=s2

6.326

21.192

1 22

االنحدار

الخطأ

134.1793.0f

=0.699

0.793=MSL 1.134= 2

es 8.722 12.470

11 11

قصور التوفیق الخطأ الخالص

ن دول الم ابق ج ا ان الس f وبم 0.699 د ن الواح ل م ا أق ة ألنھ ر معنوی ى ان غی ذا یعن فھا ان ى وبم وزج خط f النم 6.569 ة ن الجدولی ر م دم ) 4.5(اكب رض الع رفض ف ا ن فإنن

0:H 10


2iu i(y y )

٢٥٨

x={1.3,1.3,2,2,2.7,3.3,3.3,3.7,3.7,4,4,4,4.7,4.7,4.7,5,5.3,5.3,5.3,5.7,6,6,6.3,6.7}; y={2.3,1.8,2.8,1.5,2.2,3.8,1.8,3.7,1.7,2.8,2.8,2.2,5.4,3.2,1.9,1.8,3.5,2.8,2.1,3.4,3.2,3.0,3.0,5.9}; yy={{2.3,1.8},{2.8,1.5},{2.2},{3.8,1.8},{3.7,1.7},{2.8,2.8,2.2},{5.4,3.2,1.9},{1.8},{3.5,2.8,2.1},{3.4},{3.2,3.0},{3.0},{5.9}}; a[x_]:=Length[x] z[x_]:=Apply[Plus,x]

h=Map[c,yy] {0.125,0.845,0.,2.,2.,0.24,6.26,0.,0.98,0.,0.02,0.,0.} ssp=z[h] 12.47 q=Map[a,yy] {2,2,1,2,2,3,3,1,3,1,2,1,1} qq=q-1 {1,1,0,1,1,2,2,0,2,0,1,0,0} ne=z[qq] 11

1.13364 tx=Table[{1,x[[i]]},{i,1,a[x]}] {{1,1.3},{1,1.3},{1,2},{1,2},{1,2.7},{1,3.3},{1,3.3},{1,3.7},{1,3.7},{1,4},{1,4},{1,4},{1,4.7},{1,4.7},{1,4.7},{1,5},{1,5.3},{1,5.3},{1,5.3},{1,5.7},{1,6},{1,6},{1,6.3},{1,6.7}} a[tx] 24 u=Transpose[tx] {{1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1},{1.3,1.3,2,2,2.7,3.3,3.3,3.7,3.7,4,4,4,4.7,4.7,4.7,5,5.3,5.3,5.3,5.7,6,6,6.3,6.7}} t1=u.y {68.6,307.41} t2=Inverse[u.tx] {{0.361353,-0.075965},{-0.075965,0.0180511}} b=t1.t2 {1.4364,0.337886} b0=b[[1]]

cx_: zx^2 zx2ax

s2esspne

٢٥٩

1.4364 b1=b[[2]] 0.337886 yb=b0+b1*x {1.87565,1.87565,2.11217,2.11217,2.34869,2.55142,2.55142,2.68657,2.68657,2.78794,2.78794,2.78794,3.02446,3.02446,3.02446,3.12583,3.22719,3.22719,3.22719,3.36235,3.46371,3.46371,3.56508,3.70023} e=y-yb {0.424352,-0.0756476,0.687832,-0.612168,-0.148688,1.24858,-0.75142,1.01343,-0.986575,0.0120596,0.0120596,-0.58794,2.37554,0.175539,-1.12446,-1.32583,0.272808,-0.427192,-1.12719,0.0376531,-0.263713,-0.463713,-0.565079,2.19977} sse=e.e 21.1937 ssto=c[y] 27.5183 ssl=sse-ssp 8.72367 ssr=ssto-sse 6.32467 dsr=1 1 n=a[x] 24 dse=n-2 22 dst=n-1 23 nl=dse-ne 11

6.32467

0.963348

6.56529

0.793061

msrssrdsr

msessedse

fmsrmse

mslsslnl

٢٦٠

0.699572 ww=Transpose[{x,y}] {{1.3,2.3},{1.3,1.8},{2,2.8},{2,1.5},{2.7,2.2},{3.3,3.8},{3.3,1.8},{3.7,3.7},{3.7,1.7},{4,2.8},{4,2.8},{4,2.2},{4.7,5.4},{4.7,3.2},{4.7,1.9},{5,1.8},{5.3,3.5},{5.3,2.8},{5.3,2.1},{5.7,3.4},{6,3.2},{6,3.},{6.3,3.},{6.7,5.9}} ww1=PlotRange{{0,8},{0,7}} PlotRange{{0,8},{0,7}} ww2=Prolog{PointSize[0.03]} Prolog{PointSize[0.03]} ww3=ListPlot[ww,ww1,ww2]

Graphics ww5=Plot[b0+b1*x,{x,0,8}]

Graphics Show[ww3,ww5]

ffmsls2e

1 2 3 4 5 6 7 8

1

2

3

4

5

6

7

2 4 6 8

1.5

2.5

3

3.5

4

٢٦١

Graphics th=TableHeadings{{soruce,regression,residual,lake,pure },{anova}} TableHeadings{{soruce,regression,residual,lake,pure},{anova}} tr1={"df","ss","ms","f"} {df,ss,ms,f} tr2={dsr,ssr,msr,f} {1,6.32467,6.32467,6.56529} tr3={dse,sse,mse,"---"} {22,21.1937,0.963348,---} tr4={nl,ssl,msl,ff} {11,8.72367,0.793061,0.699572} tr5={ne,ssp,s2e,"---"} {11,12.47,1.13364,---} TableForm[{tr1,tr2,tr3,tr4,tr5},th]

<<Statistics`ContinuousDistributions` =0.05; ff1=Quantile[FRatioDistribution[nl,ne],1-] 2.81793 If[ff>ff1,Print["RjectHo"],Print["AccpetHo"]] AccpetHo ff2=Quantile[FRatioDistribution[dsr,dse],1-] 4.30095 If[f>ff2,Print["RjectHo"],Print["AccpetHo"]] RjectHo

1 2 3 4 5 6 7 8

1

2

3

4

5

6

7

anovasoruce df ss ms fregression 1 6.32467 6.32467 6.56529residual 22 21.1937 0.963348

lake 11 8.72367 0.793061 0.699572pure 11 12.47 1.13364

٢٦٢


xالقائمة المسمى لقیم المتغیر المستقل والقائمة .لقیم المتغیر التابع y المسمى المخرجات : ثانیا

جدول تحلیل التباین یتم الحصول علیھ من االمر

TableForm[{tr1,tr2,tr3,tr4,tr5},th]

f و 0.699 نحصل علیھا من االمر

f الجدولیة من االمر

ff1=Quantile[FRatioDistribution[nl,ne],1-]

حیث المخرج 2.81793

القرار المتخذ نحصل علیھ من االمر If[ff>ff1,Print["RjectHo"],Print["AccpetHo"]]

والمخرج فى ھذه الحالة ھو AccpetHo.

. وھذا یعنى ان النموزج خطىfایضا 6.569 نحصل علیھا من االمر


ff2=Quantile[FRatioDistribution[dsr,dse],1-]


القرار المتخذ نحصل علیھ من االمر If[f>ff2,Print["RjectHo"],Print["AccpetHo"]]

والمخرج فى ھذه الحالة ھو

RjectHo H:0اى رفض فرض العدم 10

.وھذا یعنى انا لنموزج خطى

ffmsls2e

fmsrmse

٢٦٣

)٢٣-٤(مثال

یض استھالك الجازولین في ) جیر(درست فعالیة ي تخف د ف ة 12تجریبي جدی محاولث ر حی ذا الجی ي xاستخدمت فیھا عربة نقل خفیفة مجھزة بھ دول الف الىج للسرعة .الت

.األمیال المقطوعة لكل جالون yلعربة االختبار و) بالمیل في الساعة(الثابتة

y x

؟ السابقجدول الفھل معادلة الخط المستقیم تالئم البیانات المعطاة في

لــالح )٣٥-٤(معطاة في شكل السابقجدول الشكل االنتشار للبیانات في

)٣٥- ٤(شكل

:نوجد أوال معادلة الخط المستقیم المقدرة على افتراض أنھا تالئم البیانات حیث

35 2235 2040 2840 3145 3745 3850 4150 3955 3455 3760 2760 3 0

٢٦٤

5.4712570

nxx , 32

12384

nyy

nxx

nyxxy

SXXSXYb 2

21

,331429.0875290

1257027950

1238457018530

2

. 2571.61

5.47331429.032xbyb 10

:معادلة االنحدار المقدرة سوف تكون على الشكل . x331429.02571.16y

)٣٦-٤(یا مع شكل االنتشار في شكل والممثلة بیان

)٣٦- ٤(شكل

٢٦٥

:التالى جدول الجدول تحلیل التباین معطى في

S.O.V df SS MS F

االنحدار الخطأ

1 10

96.1143 413.886

96.1143 41.3886

2.32224 --

-- -- 510 11 الكلي

ة ا أن قیم وبة Fبم المحس 32224.2 ة ة الجدولی ن القیم ل م أق 96.410,1F05. ا فإنندم رض الع ل ف H:0نقب 10 . ن واقي م م الب تخدام رس واقي باس ر الب واآلن نختب

:معادلة الخط المستقیم المقدرة

. x331429.02571.16y

iiiنوجد r,d,e لكل قیمix التالى جدول الكما ھو معطى في:

٢٦٦

ri id iyiye iy yi xi

ieرسم ) ٣٧- ٤(یوضح شكل ) ٢٢-٤(والخاصة بالمثال السابقجدول الللبیانات في

iyمقابل

) ٣٧- ٤(شكل ال السابقجدول الللبیانات في idرسم ) ٣٨-٤( یوضح شكل ) ٢٣-٤(والخاصة بالمث

iyمقابل

22 27.8571 5.85714 0.910428 1.0597220 27.8571 7.85714 1.22131 1.4215728 29.5143 1.51429 0.235379 0.25494731 29.5143 1.48571 0.230938 0.25013737. 31.1714 5.82857 0.905987 0.94998138 31.1714 6.82857 1.06143 1.1129741 32.8286 8.17143 1.27016 1.3318439 32.8286 6.17143 0.95928 1.0058634 34.4857 0.485714 0.0754989 0.081775637 34.4857 2.51429 0.390818 0.42330927 36.1429 9.14286 1.42116 1.6541930 36.1429 6.14286 0.954839 1.11141

٢٦٧

)٣٨- ٤(شكل

اس ي مقی ع اختالف ف ى نفس الرسم ولكن م تیودنت نحصل عل واقي س وعند استخدام ب

) ٣٩-٤( الرسم كما یتضح من شكل

)٣٩- ٥( شكل ة من درجة ومن مالحظة الرسم البیاني نرى بأنھ یشبھ اك معادل مما یدل على أن ھن

ات مال یالئ) ١-٤(أي أن النموذج الخطي . ثانیة سوف تكون اكثر مالئمة للبیانات البیان . )٣٥-٥(شكل االنتشار في شكل ھوالذي یوضحiiiسوف یتم ایجاد r,d,e لكل قیمix بإستخدام برنامج مكتوب بلغةMathematica وفیما

.والمخرجات یلى خطوات البرنامج p=1 1

25 30 35 40 45y

-4

-2

2

4

d

25 30 35 40 45y

-3

-2

-1

1

2

3r

٢٦٨

x1={35,35,40.,40,45,45,50,50,55,55,60,60} {35,35,40.,40,45,45,50,50,55,55,60,60} y1={22,20,28,31,37.,38,41,39,34,37,27,30} {22,20,28,31,37.,38,41,39,34,37,27,30} l[x_]:=Length[x] h[x_]:=Apply[Plus,x] k[x_]:=h[x]/l[x] c[x_,y_]:=h[x*y]-((h[x]*h[y]))/l[x] sxx=c[x1,x1] 875. xb=h[x1]/l[x1] 47.5 yb=h[y1]/l[y1] 32. b1=c[x1,y1]/c[x1,x1] 0.331429 b0=yb-b1*xb 16.2571 yy=b0+(b1*x1) {27.8571,27.8571,29.5143,29.5143,31.1714,31.1714,32.8286,32.8286,34.4857,34.4857,36.1429,36.1429} e=y1-yy {-5.85714,-7.85714,-1.51429,1.48571,5.82857,6.82857,8.17143,6.17143,-0.485714,2.51429,-9.14286,-6.14286} t1=Transpose[{x1,y1}] {{35,22},{35,20},{40.,28},{40,31},{45,37.},{45,38},{50,41},{50,39},{55,34},{55,37},{60,27},{60,30}} a=PlotRange{{30,65},{10,45}} PlotRange{{30,65},{10,45}} a1=Prolog{PointSize[.02]} Prolog{PointSize[0.02]} g= ListPlot[t1,a,a1,AxesLabel{"x","y"}]

٢٦٩


Graphics Show[g,dd]

Graphics n=l[x1] 12 ssto=c[y1,y1]

35 40 45 50 55 60 65x

15

20

25

30

35

40

45y

35 40 45 50 55 60 65x

28

30

32

34

36

38y

35 40 45 50 55 60 65x

15

20

25

30

35

40

45y

٢٧٠

510. ssr=c[x1,y1]^2/c[x1,x1] 96.1143 sse=ssto-ssr 413.886 mse=sse/(n-2) 41.3886

{-0.910428,-1.22131,-0.235379,0.230938,0.905987,1.06143,1.27016,0.95928,-0.0754989,0.390818,-1.42116,-0.954839}

{-1.05972,-1.42157,-0.254947,0.250137,0.949981,1.11297,1.33184,1.00586,-0.0817756,0.423309,-1.65419,-1.11141} pp1=Transpose[{yy,e}] {{27.8571,-5.85714},{27.8571,-7.85714},{29.5143,-1.51429},{29.5143,1.48571},{31.1714,5.82857},{31.1714,6.82857},{32.8286,8.17143},{32.8286,6.17143},{34.4857,-0.485714},{34.4857,2.51429},{36.1429,-9.14286},{36.1429,-6.14286}} aa=PlotRange{{20,40},{-15,15}} PlotRange{{20,40},{-15,15}} a2=Prolog{PointSize[.02]} Prolog{PointSize[0.02]}

Graphics pp2=Transpose[{yy,di}] {{27.8571,-0.910428},{27.8571,-1.22131},{29.5143,-0.235379},{29.5143,0.230938},{31.1714,0.905987},{31.1714,1.06143},{32.8286,1.27016},{32.8286,0.95928},{34.4857,-

di e mse

ri e mse1 1nx1xb^2

sxx N


22.5 25 27.5 30 32.5 35 37.5 40y

-15

-10

-5

5

10

15e

٢٧١

0.0754989},{34.4857,0.390818},{36.1429,-1.42116},{36.1429,-0.954839}} aa=PlotRange{{20,45},{-5,5}} PlotRange{{20,45},{-5,5}} a2=Prolog{PointSize[.02]} Prolog{PointSize[0.02]}

Graphics pp3=Transpose[{yy,ri}] {{27.8571,-1.05972},{27.8571,-1.42157},{29.5143,-0.254947},{29.5143,0.250137},{31.1714,0.949981},{31.1714,1.11297},{32.8286,1.33184},{32.8286,1.00586},{34.4857,-0.0817756},{34.4857,0.423309},{36.1429,-1.65419},{36.1429,-1.11141}} aa=PlotRange{{20,45},{-3,3}} PlotRange{{20,45},{-3,3}} a2=Prolog{PointSize[.02]} Prolog{PointSize[0.02]}

Graphics


25 30 35 40 45y

-4

-2

2

4

d


25 30 35 40 45y

-3

-2

-1

1

2

3r

٢٧٢

def=Transpose[{x1,y1,yy,e,di,ri}] {{35,22,27.8571,-5.85714,-0.910428,-1.05972},{35,20,27.8571,-7.85714,-1.22131,-1.42157},{40.,28,29.5143,-1.51429,-0.235379,-0.254947},{40,31,29.5143,1.48571,0.230938,0.250137},{45,37.,31.1714,5.82857,0.905987,0.949981},{45,38,31.1714,6.82857,1.06143,1.11297},{50,41,32.8286,8.17143,1.27016,1.33184},{50,39,32.8286,6.17143,0.95928,1.00586},{55,34,34.4857,-0.485714,-0.0754989,-0.0817756},{55,37,34.4857,2.51429,0.390818,0.423309},{60,27,36.1429,-9.14286,-1.42116,-1.65419},{60,30,36.1429,-6.14286,-0.954839,-1.11141}} TableForm[def]


المدخالت : اوالx1القائمة المسمى لقیم المتغیر المستقل والقائمة .لقیم المتغیر التابع y1 المسمى


x331429.02571.16y .معادلة االنحدار المقدرة ) 0حیثb 16.2571 نحصل علیھا من االمر

b0=yb-b1*xb

1bو 0.331429 نحصل علیھا من االمر

b1=sxy/sxx( یا مع شكل االنتشار من االمروالممثلة بیان

Show[g,dd]

35 22 27.8571 5.85714 0.910428 1.0597235 20 27.8571 7.85714 1.22131 1.4215740. 28 29.5143 1.51429 0.235379 0.25494740 31 29.5143 1.48571 0.230938 0.25013745 37. 31.1714 5.82857 0.905987 0.94998145 38 31.1714 6.82857 1.06143 1.1129750 41 32.8286 8.17143 1.27016 1.3318450 39 32.8286 6.17143 0.95928 1.0058655 34 34.4857 0.485714 0.0754989 0.081775655 37 34.4857 2.51429 0.390818 0.42330960 27 36.1429 9.14286 1.42116 1.6541960 30 36.1429 6.14286 0.954839 1.11141

٢٧٣

الجدول السابق نحصل علیھ من االمر

TableForm[def]

نحصل علیھ من االمر iyمقابل ieرسم

نحصل علیھ من االمر iyمقابل idرسم

نحصل علیھ من االمر iyمقابل irرسم

:من المثال التالى للتأكید ویمكن عمل اختبار لنقص التوفیق

)٢٤- ٤(مثال

: الختبار نقص التوفیق أي اختبار فرض العدم للمثال السابق اآلن

ix10ix|Y:0H

:ضد الفرض البدیل

ix10ix|Y:1H

:نتبع الخطوات التالیة :ھو =x 35مجموع مربعات الخطا الخالص عند

2

}2/2022{2022 222

بدرجات حریة 112n1

:ھو x=40مجموع مربعات الخطا الخالص عند

5.4 }2/3128{3128 222




٢٧٤

بدرجات حریة 112n2 ة من یم الباقی ا xبنفس الطریقة یمكن حساب مجموع مربعات الخطا الخالص للق كم

:التالى جدول الھو موضح في درجات

الحریة

in

1j

2iij yy

x

:التالى جدول الجدول تحلیل التباین معطى في S.O.V df SS MS F االنحدار الخطأ

1 10

96.1143 413.886

96.1143 41.3886

2.32224 --

قصور التوفیق الخطأ الخالص

4 6

395.886 18

98.0714 3

32.9905 --

ة ا أن قیم ق Fبم ور التوفی وبة لقص المحس 9905.32 ة ة الجدولی ن القیم د ع تزی 53.46,4F05. تقیم وفإننا نرفض فرض العدم ة الخط المس إن معادل ك ف بناء على ذل

ة الن یمكن استخفغیر مالئمة للبیانات fدام معادلة من الدرجة الثانی 2.32224 ل من اق .05F 1,10 4.9646.


p=1 1 x={35.,35,40.,40,45,45,50,50,55,55,60,60} {35.,35,40.,40,45,45,50,50,55,55,60,60} y={22.,20.,28,31,37.,38,41,39,34,37,27,30} {22.,20.,28,31,37.,38,41,39,34,37,27,30} {22.`,20.`,28,31,37.`,38.,41,39,34,37,27,30} {22.,20.,28,31,37.,38.,41,39,34,37,27,30} yy={{22,20},{28,31},{37,38},{41,39},{34,37},{27,30}} {{22,20},{28,31},{37,38},{41,39},{34,37},{27,30}}

3 5 2 14 0 4 . 5 14 5 0 . 5 15 0 2 15 5 4 . 5 16 0 4 . 5 1

٢٧٥

a[x_]:=Length[x] z[x_]:=Apply[Plus,x]

h=Map[c,yy]

ssp=z[h] 18 q=Map[a,yy] {2,2,2,2,2,2} qq=q-1 {1,1,1,1,1,1} ne=z[qq] 6

3 tx=Table[{1,x[[i]]},{i,1,a[x]}] {{1,35.},{1,35},{1,40.},{1,40},{1,45},{1,45},{1,50},{1,50},{1,55},{1,55},{1,60},{1,60}} a[tx] 12 u=Transpose[tx] {{1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1},{35.,35,40.,40,45,45,50,50,55,55,60,60}} t1=u.y {384.,18530.} t2=Inverse[u.tx] {{2.6619,-0.0542857},{-0.0542857,0.00114286}} b=t1.t2 {16.2571,0.331429} b0=b[[1]] 16.2571 b1=b[[2]] 0.331429 yb=b0+b1*x {27.8571,27.8571,29.5143,29.5143,31.1714,31.1714,32.8286,32.8286,34.4857,34.4857,36.1429,36.1429} e=y-yb {-5.85714,-7.85714,-1.51429,1.48571,5.82857,6.82857,8.17143,6.17143,-0.485714,2.51429,-9.14286,-6.14286}

cx_: zx^2 zx2ax

2, 9

2,1

2, 2,

9

2,9

2

s2esspne

٢٧٦

sse=e.e 413.886 ssto=c[y] 510. ssl=sse-ssp 395.886 ssr=ssto-sse 96.1143 dsr=1 1 n=a[x] 12 dse=n-2 10 dst=n-1 11 nl=dse-ne 4

96.1143

41.3886

2.32224

98.9714

32.9905 th=TableHeadings{{soruse,redession,residual,ftt,pure},{anova}} TableHeadings{{soruse,redession,residual,ftt,pure},{anova}} tr1={"df","ss","ms","f"} {df,ss,ms,f} tr2={dsr,ssr,msr,f} {1,96.1143,96.1143,2.32224} tr3={dse,sse,mse,"---"} {10,413.886,41.3886,---} tr4={nl,ssl,msl,ff}

msrssrdsr

msessedse

fmsrmse

mslsslnl

ffmsls2e

٢٧٧

{4,395.886,98.9714,32.9905} tr5={ne,ssp,s2e,"---"} {6,18,3,---} TableForm[{tr1,tr2,tr3,tr4,tr5},th]

<<Statistics`ContinuousDistributions` =0.05; ff1=Quantile[FRatioDistribution[nl,ne],1-] 4.53368 If[ff>ff1,Print["RjectHo"],Print["AccpetHo"]] RjectHo ff2=Quantile[FRatioDistribution[dsr,dse],1-] 4.9646 If[f>ff2,Print["RjectHo"],Print["AccpetHo"]] AccpetHo

المدخالت : اوالxالقائمة المسمى لقیم المتغیر المستقل والقائمة .لقیم المتغیر التابع y المسمى

المخرجات : ثانیا جدول تحلیل التباین یتم الحصول علیھ من االمر

TableForm[{tr1,tr2,tr3,tr4,tr5},th]

f و 32.9005 نحصل علیھا من االمر


ff1=Quantile[FRatioDistribution[nl,ne],1-]


القرار المتخذ نحصل علیھ من االمر If[ff>ff1,Print["RjectHo"],Print["AccpetHo"]]

والمخرج فى ھذه الحالة ھو RjectHo

. وھذا یعنى ان النموزج غیر خطىfایضا 2.3224 نحصل علیھا من االمر

anovasoruse df ss ms fredession 1 96.1143 96.1143 2.32224residual 10 413.886 41.3886

ftt 4 395.886 98.9714 32.9905pure 6 18 3

ffmsls2e

٢٧٨


ff2=Quantile[FRatioDistribution[dsr,dse],1-]


القرار المتخذ نحصل علیھ من االمر If[f>ff2,Print["RjectHo"],Print["AccpetHo"]]

والمخرج فى ھذه الحالة ھو

AccpetHo

H:0اى قبول فرض العدم 10

تحویالت الى الخط المستقیم) ١٤-٤( Transformations to a Straight Line

ي دار الخط وذج االنح دیل لنم وذج ب راح نم رورة اقت إن ض

iix10iY رة السابقة أو من ن الخب ة أو م یرجع إما إلى اعتبارات نظریق ودة التوفی ص ج ار نق ن اختب واقي أو م وم الب ار رس ن .اختب ون م ة یك ل حال ي ك فھولة دیرھا بس ن تق ھ یمك وذج معالم ع نم روري وض ك .الض ن تل ة م ة خاص مجموع

ة النماذج یمكن ل إلى خطی ة للتحوی تعریفھا عن طریق ما یعرف بالدوال القابلintrinsically linear أو transformably linear .

ربط : تعریف ي ت ع xتسمى الدالة الت ة إذا أمكن yم ى خطی ل إل ة للتحوی ة القابل بالدالى ى ) أو (وxإجراء تحویلة عل ة عل yتحویل ة ر عن الدال ن التعبی ث یمك بحی

األتي xyك 10 ث ول وx حی تقل المح ر المس ر yالمتغی المتغی . التابع المحول

اذج إنحدارؤالدالة القابلة للتحویل إلى خطیة ت ى نم ھ دي مباشرة إل ا یمكن خطی ومعالمھ . تقدیرھا بسھولھ باستخدام طریقة المربعات الصغرى العادیة

fmsrmse

٢٧٩

یة زة األساس ین المی و أن المعلمت ي ھ ى خط ل إل ل للتحوی دار القاب وذج االنح لنم10 , غرى ات الص ة المربع تخدام طریق دیرھما باس ن تق ول یمك وذج المح ي النم ف

y , xالعادیة وذلك بالتعویض عن 10في صیغة كل من b , b كالتالي:

. nx

bny

b

,

n)x(

)x(

nyx

yxb

i1

i0

2i2

i

iiii

1

دیرھا االنحدار نموذج المعالم في ر خطي األصلي یمكن تق ي ألنالغی ھ ف ا تكون دال ھ10 b , b وذلك عند الضرورة .

.وفیما یلى بعض النمازج لتوضیح ذلك The Exponential Model النموذج األسى) ١-١٤-٤(

:معادلة النموذج األسى تكون على الصورة التالیة x

x|Y والي c , dثابتان والمطلوب تقدیرھما من البیانات بالتقدیرین ,حیث ى الت دیر . عل x|Yیمكن تق

:من منحنى االنحدار المقدر التالي xyبالقیمة .dcy x

x رفین ات الط ذ لوغاریتم ن ) eلألساس ( بأخ در یمك دار المق ى االنح إن منحن ابقة ف ة الس ي المعادل ف

:كتابتھ على الشكل ,x)d(lnclnyln x

:وكل زوج من المشاھدات في العینة یحقق العالقة

,exbbex )d(lnclnyln ii10iii clnb),d(lnbحیث أن 01 10وعلى ذلك یمكن إیجاد. : b,b لنموذج بالصیغ المستخدمة

بأخذ القیم c , dثم إیجاد (xi , ln yi)االنحدار الخطى ، التي سبق أن تناولناھا ، باستخدام النقاط 10المقابلة للوغاریتمات لـ b,b على التوالي، أي أن:

.)bexp(c),bexp(d 01 .طریقة المربعات الصغرى لتوفیق منحنى أسى لفئة من المشاھدات موضحھ في المثال التالي

٢٨٠

)٢٥-٤(مثال

: الحــل iiبوضع ylny 243148.43yi: فإن

140x,28x,7nو 2ii

1775926.6

ny , 4x,85134.177yx i

ii

7)28(140

7)243148.43)(28(85134.177

b 21

= 0.174241 .

b0= 6.1775926 – ( 0.174241) (4) = 5.4806286 .

: معادلة االنحدار المقدرة ھي .x174241.04806286.5y

: وعلى ذلك ,4806286.5bcln,174241.0bdln 01

.99752.239)bexp(c, 1903424.1)bexp(d 01

: وبالتالي فإن منحنى االنحدار المقدر بالمربعات الصغرى ھو

xdcy x)1903424.1)(99752.239(

. )٤٠-٤(والتمثیل البیاني لھا موضح في شكل

وذج األسى التالىجدول الالزواج القیاسات في أوجد معادلة االنحدار المقدرة تحت فرض النم .

7 6 5 4 3 2 1 x 882 670 548 457 393 341 304 y

٢٨١

)٤٠-٤(شكل


x1={1,2,3,4,5,6,7} {1,2,3,4,5,6,7} yy3={304.0,341.0,393.0,457.0,548.0,670.0,882.0} {304.,341.,393.,457.,548.,670.,882.} y1=Log[yy3] {5.71703,5.83188,5.97381,6.12468,6.30628,6.50728,6.78219} l[x_]:=Length[x] h[x_]:=Apply[Plus,x] c[x_,y_]:=h[x*y]-((h[x]*h[y]))/l[x] k[x_]:=h[x]/l[x] xb=k[x1] 4 yb=k[y1] 6.17759 b1=c[x1,y1]/c[x1,x1] 0.174241 d=Exp[b1] 1.19034 b0=yb-b1*xb 5.48063 c=Exp[b0] 239.997

٢٨٢

t1=Transpose[{x1,yy3}] {{1,304.},{2,341.},{3,393.},{4,457.},{5,548.},{6,670.},{7,882.}} a=PlotRange{{0,10},{100,1100}} PlotRange{{0,10},{100,1100}} a1=Prolog{PointSize[.03]} Prolog{PointSize[0.03]} g= ListPlot[t1,a,a1]

Graphics d=Plot[c*d^x,{x,0,10}]

Graphics Show[g,d]

2 4 6 8 10

400

600

800

1000

2 4 6 8 10

600

800

1000

1200

٢٨٣

Graphics



المخرجات : ثانیا : معادلة االنحدار المقدرة ھي

.x174241.04806286.5y 0bحیث 5.4806286 تم الحصول علیھا من االمر

b0=yb-b1*xb

1bو 0.174241 نحصل علیھا من االمر

b1=c[x1,y1]/c[x1,x1]

: منحنى االنحدار المقدر بالمربعات الصغرى ھو xdcy

x)1903424.1)(99752.239( حیث

,4806286.5bcln,174241.0bdln 01

.99752.239)bexp(c, 1903424.1)bexp(d 01

حیث 0c exp(b ) 239.99752 نحصل علیھا من االمر

c=Exp[b0]

2 4 6 8 10

400

600

800

1000

٢٨٤

نحصل علیھا من االمر 1d exp(b ) 1.1903424 و

d=Exp[b1]

والتمثیل البیانى للمعادلة مع شكل االنتشار نحصل علیھ من االمر

Show[g,d] Power Model نموذج القوى)٢- ١٤- ٤(

: معادلة نموذج القوى تكون على الصورة التالیة 0a

Y|x 0a x 0حیث 0a , a ثابتان والمطلوب تقدیرھما من البیانات بالتقدیرینco , do والي دیر . على الت یمكن تق

x|Y بالقیمةxy من منحنى االنحدار المقدر التالي: od

x oy c x . : شكل فإن منحنى االنحدار یمكن كتابتھ على ال) eلألساس ( بأخذ لوغاریتمات الطرفین

x o oˆln y ln c d (ln x) :كل زوج من المشاھدات في العینة یحقق العالقة

i o o i iln y ln c d (ln x ) e

o 1 i ib b (ln x ) e ث 1حی o o ob d ,b ln c . اد ن إیج ك یمك ى ذل وذج b0 , b1وعل تخدمة لنم یغ المس بالص

اط ا ، باستخدام النق ي سبق أن تناولتاھ iاالنحدار الخطى، الت i(ln x ,ln y م إیجاد ( co , doث1حیث o o ob d ,ln c b .

)٢٦-٤(مثال

: الحــل

i in 12 , ln x 74.412 , ln y 26.22601 , 2i i iln x 461.75874 , (ln x )(ln y ) 160.84601 ,

.أوجد معادلة االنحدار المقدرة تحت فرض نموذج القوى التالىجدول الالزواج القیاسات في

400 400 400 400 500 500 500 500 600 600 600 600 x 33.0 26.0 24.5 21.5 16.5 9.8 7.8 6.4 3.6 3.0 2.65 2.35 y

٢٨٥

2iln y 67.74609.

1 2

(74.412)(26.22601)160.8460112b

(74.412)461.7587412

= - 5.3996,

026.22061 ( 5.3996)(74.412)b

12

= 35.6684. :معادلة االنحدار المقدرة ھي

xy 35.6684 5.3996x. :وعلى ذلك

o 0ln c b 35.6684 : أي أن

15

0 0c exp(b ) 3.094491530.10 0 1d b 5.3996 : والمعادلة األساسیة المقدرة ھي

015d 5.3996

x 0y c x (3.094491530 10) x . ) .٤١-٤(والتمثیل البیاني لھا موضح في شكل

)٤١- ٤(شكل


xx3={600.0,600.0,600.,600.,500.,500.,500.,500.,400.,400.,400.,400.}

٢٨٦

{600.,600.,600.,600.,500.,500.,500.,500.,400.,400.,400.,400.} x1=Log[xx3] {6.39693,6.39693,6.39693,6.39693,6.21461,6.21461,6.21461,6.21461,5.99146,5.99146,5.99146,5.99146} yy3={2.35,2.65,3.,3.6,6.4,7.8,9.8,16.5,21.5,24.5,26.,33.} {2.35,2.65,3.,3.6,6.4,7.8,9.8,16.5,21.5,24.5,26.,33.} y1=Log[yy3] {0.854415,0.97456,1.09861,1.28093,1.8563,2.05412,2.28238,2.80336,3.06805,3.19867,3.2581,3.49651} l[x_]:=Length[x] h[x_]:=Apply[Plus,x] c[x_,y_]:=h[x*y]-((h[x]*h[y]))/l[x] k[x_]:=h[x]/l[x] xb=k[x1] 6.201 yb=k[y1] 2.1855 b1=c[x1,y1]/c[x1,x1] -5.39974 b0=yb-b1*xb 35.6693 c=Exp[b0]

t1=Transpose[{xx3,yy3}] {{600.,2.35},{600.,2.65},{600.,3.},{600.,3.6},{500.,6.4},{500.,7.8},{500.,9.8},{500.,16.5},{400.,21.5},{400.,24.5},{400.,26.},{400.,33.}} a=PlotRange{{300,700},{0,40}} PlotRange{{300,700},{0,40}} a1=Prolog{PointSize[.03]} Prolog{PointSize[0.03]} g= ListPlot[t1,a,a1]

3.097321015

٢٨٧

Graphics d=Plot[c*x^b1,{x,300,700}]

Graphics Show[g,d]

Graphics

350 400 450 500 550 600 650 700

5

10

15

20

25

30

35

40

400 500 600 700

20

40

60

80

100

120

350 400 450 500 550 600 650 700

5

10

15

20

25

30

35

40

٢٨٨


xx3القائمة المسمى بقیم المتغیر المستقل والقائمة .بقیم المتغیر التابع yy3 المسمى المخرجات : ثانیا

: معادلة االنحدار المقدرة ھي xy 35.6684 5.3996x.

0bحیث 35.6684 تم الحصول علیھا من االمر

b0=yb-b1*xb

:وبما ان o 0ln c b 35.6684

: أي أن

15

0 0c exp(b ) 3.094491530.10

ونحصل علیھا من االمر c=Exp[b0]

وایضا

0 1d b 5.3996

من االمرونحصل علیھا b1=c[x1,y1]/c[x1,x1]

: والمعادلة األساسیة المقدرة ھي

015d 5.3996

x 0y c x (3.094491530 10) x .

والتمثیل البیانى للمعادلة مع شكل االنتشار نحصل علیھ من االمر

Show[g,d]

xbbyنموذج یعطي معادلة االنحدار المقدرة على الشكل ) ٣-١٤-٤( 10

٢٨٩

٢٧-٤(مثال

طالب في الدراسة خارج 30 عدد الساعات التي یقضیھا التالىجدول الیعطي حیث ) y(والدرجات التي حصلوا علیھا في مادة اإلحصاء ) x(المدرج في األسبوع

ھل یمكن تمثیل البیانات بمعادلة خط مستقیم ؟ . 200 الدرجة النھائیة

xy 2x y x

0.5 40 0.25 200 .5 50 0.25 251 75 1 751 80 1 801.5 80 2.25 1201.5 95 2.25 142.52 100 4 2002 90 4 1802.5 114 6.25 2852.5 103 6.25 257.52.5 101 6.25 252.53 116 9 3483 120 9 3603.5 123 12.25 430.54 138 16 5524 133 16 5324.5 146 20.25 6575 152 25 7605 147 25 7355.5 157 30.25 863.55.5 164 30.25 9026 167 36 10026 162 36 9726.5 164 42.25 10667 173 49 12117 179 49 12538 186 64 14888 193 64 15449 190 81 17109 180 81 1620

19643.57293918127

٢٩٠

: الحــل

)٤٢- ٤(شكل االنتشار موضح في شكل

)٤٢- ٤(شكل

:فإن السابقجدول ل ایمثل البیانات فی) ١- ٤( فرض أن نموذج االنحدار الخطي البسیطب

6.13030

3918nyy , 23333.4

30127

nxx , 30n

30)127(729

30)3918)(127(5.19643

n)x(x

nyxxy

SXXSXYb 22

21

,9761.15191.3673057.3

. 9677.62)23333.4)(9761.15(6.130xbyb 10

: معادلة خط االنحدار المقدرة سوف تكون على الشكل . x9761.159677.62y

:ولمعرفة مدى توفر شروط فروض التحلیل نتبع ما یلي والنتائج معطاة في irوبواقي ستيودنت idو البواقي المعيارية ieنحسب قيم البواقي - ١

: ل التالى جدو ال

٢٩١

ir id ie iy yi xi

)٤٣- ٤(في شكل معطاةوالنتائج iyمقابل ieنرسم البواقي - ٢

0.5 40 70.9557 - 30.9557 - 2.7463 - 2.90480 .5 50 70.9557 - 20.9557 - 1.8591 - 1.96641 75 78.9438 - 3.9438 - 0.3498 - 0.36631 80 78.9438 1.0561 0.0937 0.09811.5 80 86.9318 - 6.9318 - 0.6149 - 0.63851.5 95 86.9318 8.0681 0.7157 0.74312 100 94.9199 5.0800 0.4506 0.46472 90 94.91996 - 4.9199 - 0.4364 - 0.45002.5 114 102.9080 11.0919 0.9840 1.00912.5 103 102.9080 0.0919 0.0081 0.00832.5 101 102.9080 - 1.9080 - 0.1692 - 0.17353 116 110.8960 5.1039 0.4528 0.46243 120 110.8960 9.1039 0.8076 0.82483.5 123 118.8841 4.1158 0.3651 0.37194 138 126.8722 11.1277 0.9872 1.00424 133 126.8722 6.1277 0.5436 0.55304.5 146 134.8603 11.1396 0.9882 1.00535 152 142.8483 9.1516 0.8119 0.82715 147 142.8483 4.1516 0.3683 0.37525.5 157 150.8364 6.1635 0.5468 0.55855.5 164 150.8364 13.1635 1.1678 1.19306 167 158.8245 8.1754 0.7253 0.74406 162 158.8245 3.1754 0.2817 0.28896.5 164 166.8125 - 2.8125 - 0.2495 - 0.25737 173 174.8006 - 1.8006 - 0.1597 - 0.16597 179 174.8006 4.1993 0.3725 0.38708 186 190.7767 - 4.7767 - 0.4237 - 0.44858 193 190.7767 2.2232 0.1972 0.20879 190 206.7529 - 16.7529 - 1.4862 - 1.61409 180 206.7529 - 26.7529 - 2.3734 - 2.5775

٢٩٢

)٤٣- ٤(شكل

مما یدل نرى بأنھ على شكل منحنى ) ٤٣- ٤(من مالحظة رسم البواقي في شكل

عند رسم ) ٤٤- ٤(نفس الشيء في شكل. على أن النموذج الخطي ال یالئم البیاناتعند رسم بواقي فنحصل علیھ )٤٥- ٤(شكل أما . iyمقابل idالبواقي المعیاریة

. iyستیودنت مقابل رسم

)٤٤- ٤(شكل

٢٩٣

)٤٥- ٤(شكل



p=1 1 x1={.5,.5,1.,1,1.5,1.5,2,2,2.5,2.5,2.5,3,3,3.5,4,4,4.5,5,5,5.5,5.5,6,6,6.5,7,7,8,8,9,9} {0.5,0.5,1.,1,1.5,1.5,2,2,2.5,2.5,2.5,3,3,3.5,4,4,4.5,5,5,5.5,5.5,6,6,6.5,7,7,8,8,9,9} y1={40,50,75,80,80,95.,100,90,114,103,101,116,120,123,138,133,146.,152,147,157,164,167,162,164,173,179,186,193,190,180} {40,50,75,80,80,95.,100,90,114,103,101,116,120,123,138,133,146.,152,147,157,164,167,162,164,173,179,186,193,190,180} l[x_]:=Length[x] h[x_]:=Apply[Plus,x] k[x_]:=h[x]/l[x] c[x_,y_]:=h[x*y]-((h[x]*h[y]))/l[x] sxx=c[x1,x1] 191.367 xb=h[x1]/l[x1] 4.23333 yb=h[y1]/l[y1] 130.6 b1=c[x1,y1]/c[x1,x1] 15.9761 b0=yb-b1*xb 62.9677 yy=b0+(b1*x1)

٢٩٤

{70.9558,70.9558,78.9438,78.9438,86.9319,86.9319,94.92,94.92,102.908,102.908,102.908,110.896,110.896,118.884,126.872,126.872,134.86,142.848,142.848,150.836,150.836,158.825,158.825,166.813,174.801,174.801,190.777,190.777,206.753,206.753} e=y1-yy {-30.9558,-20.9558,-3.94383,1.05617,-6.93189,8.06811,5.08004,-4.91996,11.092,0.09197,-1.90803,5.1039,9.1039,4.11583,11.1278,6.12777,11.1397,9.15163,4.15163,6.16356,13.1636,8.17549,3.17549,-2.81258,-1.80064,4.19936,-4.77678,2.22322,-16.7529,-26.7529} t1=Transpose[{x1,y1}] {{0.5,40},{0.5,50},{1.,75},{1,80},{1.5,80},{1.5,95.},{2,100},{2,90},{2.5,114},{2.5,103},{2.5,101},{3,116},{3,120},{3.5,123},{4,138},{4,133},{4.5,146.},{5,152},{5,147},{5.5,157},{5.5,164},{6,167},{6,162},{6.5,164},{7,173},{7,179},{8,186},{8,193},{9,190},{9,180}} a=PlotRange{{0,10},{30,200}} PlotRange{{0,10},{30,200}} a1=Prolog{PointSize[.02]} Prolog{PointSize[0.02]} g= ListPlot[t1,a,a1,AxesLabel{"x","y"}]


2 4 6 8 10x

75

100

125

150

175

200y

٢٩٥

Graphics Graphics n=l[x1] 30 ssto=c[y1,y1] 52401.2 ssr=c[x1,y1]^2/c[x1,x1] 48843.8 sse=ssto-ssr 3557.36 mse=sse/(n-2) 127.048

{-2.74636,-1.85917,-0.349891,0.0937025,-0.614989,0.715792,0.450694,-0.436493,0.984065,0.00815946,-0.169278,0.452812,0.807686,0.365151,0.987241,0.543647,0.9883,0.811921,0.368327,0.546823,1.16785,0.725319,0.281726,-0.249528,-0.159751,0.372561,-0.42379,0.197241,-1.4863,-2.37348}

{-2.90488,-1.96648,-0.366376,0.0981172,-0.638529,0.743191,0.464707,-0.450064,1.00912,0.00836718,-0.173587,0.462458,0.824893,0.371935,1.00427,0.553023,1.00539,0.827116,0.37522,0.558599,1.193,0.744022,0.28899,-0.257393,-0.165951,0.387022,-0.44858,0.208779,-1.61408,-2.57754} pp1=Transpose[{yy,e}] {{70.9558,-30.9558},{70.9558,-20.9558},{78.9438,-3.94383},{78.9438,1.05617},{86.9319,-6.93189},{86.9319,8.06811},{94.92,5.08004},{94.92,-4.91996},{102.908,11.092},{102.908,0.09197},{102.908,-1.90803},{110.896,5.1039},{110.896,9.1039},{118.884,4.11583}

35 40 45 50 55 60 65x

700

800

900

1000

1100

y

di e mse

ri e mse1 1nx1xb^2

sxx N

٢٩٦

,{126.872,11.1278},{126.872,6.12777},{134.86,11.1397},{142.848,9.15163},{142.848,4.15163},{150.836,6.16356},{150.836,13.1636},{158.825,8.17549},{158.825,3.17549},{166.813,-2.81258},{174.801,-1.80064},{174.801,4.19936},{190.777,-4.77678},{190.777,2.22322},{206.753,-16.7529},{206.753,-26.7529}} aa=PlotRange{{30,250},{-50,15}} PlotRange{{30,250},{-50,15}} a2=Prolog{PointSize[.02]} Prolog{PointSize[0.02]}

Graphics pp2=Transpose[{yy,di}] {{70.9558,-2.74636},{70.9558,-1.85917},{78.9438,-0.349891},{78.9438,0.0937025},{86.9319,-0.614989},{86.9319,0.715792},{94.92,0.450694},{94.92,-0.436493},{102.908,0.984065},{102.908,0.00815946},{102.908,-0.169278},{110.896,0.452812},{110.896,0.807686},{118.884,0.365151},{126.872,0.987241},{126.872,0.543647},{134.86,0.9883},{142.848,0.811921},{142.848,0.368327},{150.836,0.546823},{150.836,1.16785},{158.825,0.725319},{158.825,0.281726},{166.813,-0.249528},{174.801,-0.159751},{174.801,0.372561},{190.777,-0.42379},{190.777,0.197241},{206.753,-1.4863},{206.753,-2.37348}} aa=PlotRange{{30,250},{-5,5}} PlotRange{{30,250},{-5,5}} a2=Prolog{PointSize[.02]} Prolog{PointSize[0.02]}


100 150 200 250y

-50

-40

-30

-20

-10

10

e


٢٩٧

Graphics pp3=Transpose[{yy,ri}] {{70.9558,-2.90488},{70.9558,-1.96648},{78.9438,-0.366376},{78.9438,0.0981172},{86.9319,-0.638529},{86.9319,0.743191},{94.92,0.464707},{94.92,-0.450064},{102.908,1.00912},{102.908,0.00836718},{102.908,-0.173587},{110.896,0.462458},{110.896,0.824893},{118.884,0.371935},{126.872,1.00427},{126.872,0.553023},{134.86,1.00539},{142.848,0.827116},{142.848,0.37522},{150.836,0.558599},{150.836,1.193},{158.825,0.744022},{158.825,0.28899},{166.813,-0.257393},{174.801,-0.165951},{174.801,0.387022},{190.777,-0.44858},{190.777,0.208779},{206.753,-1.61408},{206.753,-2.57754}} aa=PlotRange{{30,250},{-3,3}} PlotRange{{30,250},{-3,3}} a2=Prolog{PointSize[.02]} Prolog{PointSize[0.02]}

Graphics def=Transpose[{x1,y1,yy,e,di,ri}]

100 150 200 250y

-4

-2

2

4

d


100 150 200 250y

-3

-2

-1

1

2

3r

٢٩٨

{{0.5,40,70.9558,-30.9558,-2.74636,-2.90488},{0.5,50,70.9558,-20.9558,-1.85917,-1.96648},{1.,75,78.9438,-3.94383,-0.349891,-0.366376},{1,80,78.9438,1.05617,0.0937025,0.0981172},{1.5,80,86.9319,-6.93189,-0.614989,-0.638529},{1.5,95.,86.9319,8.06811,0.715792,0.743191},{2,100,94.92,5.08004,0.450694,0.464707},{2,90,94.92,-4.91996,-0.436493,-0.450064},{2.5,114,102.908,11.092,0.984065,1.00912},{2.5,103,102.908,0.09197,0.00815946,0.00836718},{2.5,101,102.908,-1.90803,-0.169278,-0.173587},{3,116,110.896,5.1039,0.452812,0.462458},{3,120,110.896,9.1039,0.807686,0.824893},{3.5,123,118.884,4.11583,0.365151,0.371935},{4,138,126.872,11.1278,0.987241,1.00427},{4,133,126.872,6.12777,0.543647,0.553023},{4.5,146.,134.86,11.1397,0.9883,1.00539},{5,152,142.848,9.15163,0.811921,0.827116},{5,147,142.848,4.15163,0.368327,0.37522},{5.5,157,150.836,6.16356,0.546823,0.558599},{5.5,164,150.836,13.1636,1.16785,1.193},{6,167,158.825,8.17549,0.725319,0.744022},{6,162,158.825,3.17549,0.281726,0.28899},{6.5,164,166.813,-2.81258,-0.249528,-0.257393},{7,173,174.801,-1.80064,-0.159751,-0.165951},{7,179,174.801,4.19936,0.372561,0.387022},{8,186,190.777,-4.77678,-0.42379,-0.44858},{8,193,190.777,2.22322,0.197241,0.208779},{9,190,206.753,-16.7529,-1.4863,-1.61408},{9,180,206.753,-26.7529,-2.37348,-2.57754}} TableForm[def]

٢٩٩




معطى من االمر )٤٢- ٤(موضح في شكلالشكل االنتشار g= ListPlot[t1,a,a1,AxesLabel{"x","y"}]

0.5 40 70.9558 30.9558 2.74636 2.904880.5 50 70.9558 20.9558 1.85917 1.966481. 75 78.9438 3.94383 0.349891 0.3663761 80 78.9438 1.05617 0.0937025 0.09811721.5 80 86.9319 6.93189 0.614989 0.6385291.5 95. 86.9319 8.06811 0.715792 0.7431912 100 94.92 5.08004 0.450694 0.4647072 90 94.92 4.91996 0.436493 0.4500642.5 114 102.908 11.092 0.984065 1.009122.5 103 102.908 0.09197 0.00815946 0.008367182.5 101 102.908 1.90803 0.169278 0.1735873 116 110.896 5.1039 0.452812 0.4624583 120 110.896 9.1039 0.807686 0.8248933.5 123 118.884 4.11583 0.365151 0.3719354 138 126.872 11.1278 0.987241 1.004274 133 126.872 6.12777 0.543647 0.5530234.5 146. 134.86 11.1397 0.9883 1.005395 152 142.848 9.15163 0.811921 0.8271165 147 142.848 4.15163 0.368327 0.375225.5 157 150.836 6.16356 0.546823 0.5585995.5 164 150.836 13.1636 1.16785 1.1936 167 158.825 8.17549 0.725319 0.7440226 162 158.825 3.17549 0.281726 0.288996.5 164 166.813 2.81258 0.249528 0.2573937 173 174.801 1.80064 0.159751 0.1659517 179 174.801 4.19936 0.372561 0.3870228 186 190.777 4.77678 0.42379 0.448588 193 190.777 2.22322 0.197241 0.2087799 190 206.753 16.7529 1.4863 1.614089 180 206.753 26.7529 2.37348 2.57754

٣٠٠

معادلة خط االنحدار المقدرة y 62.9677 15.9761x 0حیثb 62.9677 نحصل علیھا من االمر

b0=yb-b1*xb

xو 1b 15.9761 نحصل علیھا من االمر b1=c[x1,y1]/c[x1,x1]

الجدول السابق نحصل علیھ من االمر

TableForm[def]

نحصل علیھ من االمر iyمقابل ieرسم

نحصل علیھ من االمر iyمقابل idرسم

نحصل علیھ من االمر iyمقابل irرسم

)٢٨-٤(مثال فإنھ یمكن عمل اختبار لنقص التوفیق كما xبما أن ھناك تكرار لقیم للمثال السابق و

. التالى جدولال الخالص من الخطأیتم حساب مجموع مربعات : یلي




٣٠١

مجموع مربعات درجات الحریة x الخطأ الخالص

1 1 1 1 2 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1

50 12.5 112.5

50 98 8 0

12.5 0

12.5 24.5 12.5

0 18

24.5 50

0.5 1

1.5 2

2.5 3

3.5 4

4.5 5

5.5 6

6.5 7 8 9

14 485.5 :ل التالى جدوالجدول تحلیل التباین معطى في

F MS SS df S.O.V.

االنحدار 1 48843.8 48843.8 384.45

الخطأ 28 3557.36 127.048 --

قصور التوفیق 14 3071.86 219.418 6.327

الخطأ الخالص 14 485.5 34.6786

الجدولیة Fأكبر من القیمة (6.327) المحسوبة لنقص المطابقة Fوبما أن قیمه 53.2]14,14[F05. 05.0عند مستوى معنویة لذا فإن النموذج الخطي ال یالئم

٣٠٢

من خالل شكل الذى یتضحالبیانات و البیانات بل أن هناك معادلة أخرى قد تالئم .) ٤٢-٤(االنتشار


x={.5,.5,1.,1,1.5,1.5,2,2,2.5,2.5,2.5,3,3,3.5,4,4,4.5,5,5,5.5,5.5,6,6,6.5,7,7,8,8,9,9} {0.5,0.5,1.,1,1.5,1.5,2,2,2.5,2.5,2.5,3,3,3.5,4,4,4.5,5,5,5.5,5.5,6,6,6.5,7,7,8,8,9,9} y={40.,50.,75,80,80,95.,100,90,114,103,101,116,120,123,138,133,146.,152,147,157,164,167,162,164,173,179,186,193,190,180} {40.,50.,75,80,80,95.,100,90,114,103,101,116,120,123,138,133,146.,152,147,157,164,167,162,164,173,179,186,193,190,180} yy={{40.,50},{75.,80},{80,95},{100,90},{114,103,101},{116,120},{123},{138,133},{146},{152,147},{157,164},{167,162},{164},{173,179},{186,193},{190,180}} {{40.,50},{75.,80},{80,95},{100,90},{114,103,101},{116,120},{123},{138,133},{146},{152,147},{157,164},{167,162},{164},{173,179},{186,193},{190,180}} a[x_]:=Length[x] z[x_]:=Apply[Plus,x]

h=Map[c,yy]

ssp=z[h] 485.5 q=Map[a,yy]

cx_: zx^2 zx2ax

50., 12.5, 2252

, 50, 98, 8, 0,

25

2, 0,

25

2,49

2,25

2, 0, 18,

49

2, 50

٣٠٣

{2,2,2,2,3,2,1,2,1,2,2,2,1,2,2,2} qq=q-1 {1,1,1,1,2,1,0,1,0,1,1,1,0,1,1,1} ne=z[qq] 14

34.6786 tx=Table[{1,x[[i]]},{i,1,a[x]}] {{1,0.5},{1,0.5},{1,1.},{1,1},{1,1.5},{1,1.5},{1,2},{1,2},{1,2.5},{1,2.5},{1,2.5},{1,3},{1,3},{1,3.5},{1,4},{1,4},{1,4.5},{1,5},{1,5},{1,5.5},{1,5.5},{1,6},{1,6},{1,6.5},{1,7},{1,7},{1,8},{1,8},{1,9},{1,9}} a[tx] 30 u=Transpose[tx] {{1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1},{0.5,0.5,1.,1,1.5,1.5,2,2,2.5,2.5,2.5,3,3,3.5,4,4,4.5,5,5,5.5,5.5,6,6,6.5,7,7,8,8,9,9}} t1=u.y {3918.,19643.5} t2=Inverse[u.tx] {{0.126981,-0.0221216},{-0.0221216,0.00522557}} b=t1.t2 {62.9677,15.9761} b0=b[[1]] 62.9677 b1=b[[2]] 15.9761 yb=b0+b1*x {70.9558,70.9558,78.9438,78.9438,86.9319,86.9319,94.92,94.92,102.908,102.908,102.908,110.896,110.896,118.884,126.872,126.872,134.86,142.848,142.848,150.836,150.836,158.825,158.825,166.813,174.801,174.801,190.777,190.777,206.753,206.753} e=y-yb {-30.9558,-20.9558,-3.94383,1.05617,-6.93189,8.06811,5.08004,-4.91996,11.092,0.09197,-1.90803,5.1039,9.1039,4.11583,11.1278,6.12777,11.1397,9.15163,4.15163,6.16356,13.1636,8.17549,3.17549,-2.81258,-1.80064,4.19936,-4.77678,2.22322,-16.7529,-26.7529} sse=e.e 3557.36 ssto=c[y] 52401.2

s2esspne

٣٠٤

ssl=sse-ssp 3071.86 ssr=ssto-sse 48843.8 dsr=1 1 n=a[x] 30 dse=n-2 28 dst=n-1 29 nl=dse-ne 14

48843.8

127.048

384.45

219.418

6.3272 ww=Transpose[{x,y}] {{0.5,40.},{0.5,50.},{1.,75},{1,80},{1.5,80},{1.5,95.},{2,100},{2,90},{2.5,114},{2.5,103},{2.5,101},{3,116},{3,120},{3.5,123},{4,138},{4,133},{4.5,146.},{5,152},{5,147},{5.5,157},{5.5,164},{6,167},{6,162},{6.5,164},{7,173},{7,179},{8,186},{8,193},{9,190},{9,180}} ww1=PlotRange{{0,10},{30,200}} PlotRange{{0,10},{30,200}} ww2=Prolog{PointSize[0.03]} Prolog{PointSize[0.03]} ww3=ListPlot[ww,ww1,ww2]

msrssrdsr

msessedse

fmsrmse

mslsslnl

ffmsls2e

٣٠٥

Graphics th=TableHeadings{{soruse,redession,residual,ftt,total},{anova}} TableHeadings{{soruse,redession,residual,ftt,total},{anova}} tr1={"df","ss","ms","f"} {df,ss,ms,f} tr2={dsr,ssr,msr,f} {1,48843.8,48843.8,384.45} tr3={dse,sse,mse,"---"} {28,3557.36,127.048,---} tr4={nl,ssl,msl,ff} {14,3071.86,219.418,6.3272} tr5={ne,ssp,s2e,"---"} {14,485.5,34.6786,---} TableForm[{tr1,tr2,tr3,tr4,tr5},th]

<<Statistics`ContinuousDistributions` =0.05; ff1=Quantile[FRatioDistribution[nl,ne],1-] 2.48373

2 4 6 8 10

75

100

125

150

175

200

anovasoruse df ss ms fredession 1 48843.8 48843.8 384.45residual 28 3557.36 127.048

ftt 14 3071.86 219.418 6.3272total 14 485.5 34.6786

٣٠٦

If[ff>ff1,Print["RjectHo"],Print["AccpetHo"]] RjectHo ff2=Quantile[FRatioDistribution[dsr,dse],1-] 4.19597 If[f>ff2,Print["RjectHo"],Print["AccpetHo"]] RjectHo

)٢٩-٤(مثال

xxحیث xیمكن المحاولة مع تحویلة على االن : : صبحتس معادلة االنحدار المقدرة

0 1b by x

:كل من یتم حساب التالىجدول الومن

yx,x,y,x 2

٣٠٧

yx 2x x y x

)y,x(الزواج القیم ٤٦- ٤( شكل االنتشار موضح في شكل فإن(.

0.5 40 0.7071 0.5000 28.28420.5 50 0.7071 0.5000 35.35531 75 1 1 751 80 1 1 801.5 80 1.2247 1.4999 97.97951.5 95 1.2247 1.4999 116.35072 100 1.4142 2.0000 141.42132 90 1.4142 2.0000 127.27922.5 114 1.5811 2.5000 180.24982.5 103 1.5811 2.5000 162.85722.5 101 1.5811 2.5000 159.69503 116 1.7320 2.9999 200.91783 120 1.7320 2.9999 207.84603.5 123 1.8708 3.5 230.11194 138 2 4 2764 133 2 4 2664.5 146 2.1213 4.4999 309.71275 152 2.2360 5.0000 339.88235 147 2.2360 5.0000 328.70195.5 157 2.3452 5.5 368.19765.5 164 2.3452 5.5 384.61406 167 2.4494 5.9999 409.06476 162 2.4494 5.9999 396.81736.5 164 2.5495 6.4999 418.11967 173 2.6457 7.0000 457.71497 179 2.6457 7.0000 473.58948 186 2.8284 8.0000 526.08748 193 2.8284 8.0000 545.88649 190 3 9 5709 180 3 9 540

٣٠٨

)٤٦- ٤(شكل

:معادلة االنحدار المقدرة إلیجادیتم حساب القیم التالیة والالزمة اآلن

, 011.820SXY

, 1153.13SXX

, 5235.621153.13

011.820SXXSXYb1

. 78096.81.94837)(62.5235)(130.6x1byb0

:معادلة الخط المستقیم المقدرة ھي x5235.6278096.8y

.للبیانات األصلیھ مع شكل االنتشار) ٤٧-٤(والممثلھ بیانیا في شكل :والتي تصبح على الشكل

x5235.6278096.8y

٣٠٩

)٤٧- ٤(شكل :ل التالىجدوالجدول تحلیل التباین للبیانات المحولة معطى في

F MS SS df S.O.V

االنحدار 1 51270 51270 1269 الخطأ 28 1131.25 40.4017 -- الكلي 29 52401.2 -- --

.F05)28,1(2.4الجدولیھ Fالمحسوبھ تزید عن قیمة Fبما أن قیمة فإننا نرفضH:0فرض العدم 10 . البواقيie والبواقي المعیاریةid وبواقي ستیودنتir

:التالى جدول المعطاة في

٣١٠

ir id ie iy iy

ix

)٤٨-٤(معطاة في شكل iyمقابل ieرسم البواقي

0.707107 40. 52.9917 12.9917 2.04393 2.218010.707107 50 52.9917 2.99173 0.470676 0.5107631. 75 71.3044 3.69558 0.581409 0.6135111. 80 71.3044 8.69558 1.36804 1.443571.22474 80 85.3563 5.35625 0.842677 0.875351.22474 95 85.3563 9.64375 1.51721 1.576041.41421 100 97.2025 2.79751 0.44012 0.4527681.41421 90 97.2025 7.20249 1.13314 1.16571.58114 114 107.639 6.36076 1.00071 1.023281.58114 103 107.639 4.63924 0.729872 0.7463291.58114 101 107.639 6.63924 1.04452 1.068081.73205 116 117.075 1.07478 0.16909 0.1722991.73205 120 117.075 2.92522 0.460213 0.4689471.87083 123 125.752 2.75165 0.432906 0.4404112. 138 133.828 4.17211 0.656381 0.6676722. 133 133.828 0.827888 0.130248 0.1324892.12132 146 141.413 4.58674 0.721613 0.7348172.23607 152 148.588 3.41233 0.536847 0.5478152.23607 147 148.588 1.58767 0.249782 0.2548862.34521 157 155.411 1.58852 0.249915 0.2557812.34521 164 155.411 8.58852 1.3512 1.382912.44949 167 161.932 5.06846 0.797399 0.8191842.44949 162 161.932 0.0684572 0.0107701 0.01106432.54951 164 168.185 4.18514 0.658431 0.679442.64575 173 174.202 1.2025 0.189184 0.1962182.64575 179 174.202 4.7975 0.754771 0.7828362.82843 186 185.624 0.37598 0.0591513 0.06208892.82843 193 185.624 7.37598 1.16043 1.218063. 190 196.351 6.35135 0.999231 1.063773. 180 196.351 16.3514 2.57249 2.73864

٣١١

)٤٨- ٤(شكل

) .٤٩- ٤(معطى في شكل iyمقابل idأیضا رسم البواقي المعیاریة

)٤٩- ٤(شكل

)٥٠- ٤(معطى في شكل iyمقابل irرسم بواقي ستیودنت وأخیرا

)٥٠- ٤(شكل

٣١٢

النقاط أن ) ٥٠- ٤(وشكل ) ٤٩-٤(شكل ) ٤٨- ٤٥(یتضح من شكل تتوزع توزعا

حول الصفر مما یدل على أن النموذج المحول أكثر مالءمة من النموذج عشوائیاللنموذج الثاني 2Rومما یؤكد ذلك أیضا أن . األول

979.

2.52401 2Rأكبر من 51270

للنموذج األول

932.0

16.52401للنموذج الثاني أصغر من قیمتھ MSEوان 8.48843

xxفي النموذج األول وعلیھ فإن التحویلة مناسبة. وفیما یلى خطوات Mathematicaسوف یتم حل ھذا المثال بإستخدام برنامج مكتوب بلغة

.البرنامج والمخرجات p=1 1 xx={.5,.5,1.,1,1.5,1.5,2,2,2.5,2.5,2.5,3,3,3.5,4,4,4.5,5,5,5.5,5.5,6,6,6.5,7,7,8,8,9,9} {0.5,0.5,1.,1,1.5,1.5,2,2,2.5,2.5,2.5,3,3,3.5,4,4,4.5,5,5,5.5,5.5,6,6,6.5,7,7,8,8,9,9} y1={40,50,75,80,80,95.,100,90,114,103,101,116,120,123,138,133,146.,152,147,157,164,167,162,164,173,179,186,193,190,180} {40,50,75,80,80,95.,100,90,114,103,101,116,120,123,138,133,146.,152,147,157,164,167,162,164,173,179,186,193,190,180}

{0.707107,0.707107,1.,1.,1.22474,1.22474,1.41421,1.41421,1.58114,1.58114,1.58114,1.73205,1.73205,1.87083,2.,2.,2.12132,2.23607,2.23607,2.34521,2.34521,2.44949,2.44949,2.54951,2.64575,2.64575,2.82843,2.82843,3.,3.} l[x_]:=Length[x] h[x_]:=Apply[Plus,x] k[x_]:=h[x]/l[x] c[x_,y_]:=h[x*y]-((h[x]*h[y]))/l[x] sxx=c[x1,x1] 13.1153 xb=h[x1]/l[x1] 1.94837 yb=h[y1]/l[y1] 130.6 b1=c[x1,y1]/c[x1,x1]

x1 Nxx N

٣١٣

62.5235 b0=yb-b1*xb 8.78096 yy=b0+(b1*x1) {52.9917,52.9917,71.3044,71.3044,85.3563,85.3563,97.2025,97.2025,107.639,107.639,107.639,117.075,117.075,125.752,133.828,133.828,141.413,148.588,148.588,155.411,155.411,161.932,161.932,168.185,174.202,174.202,185.624,185.624,196.351,196.351} e=y1-yy {-12.9917,-2.99173,3.69558,8.69558,-5.35625,9.64375,2.79751,-7.20249,6.36076,-4.63924,-6.63924,-1.07478,2.92522,-2.75165,4.17211,-0.827888,4.58674,3.41233,-1.58767,1.58852,8.58852,5.06846,0.0684572,-4.18514,-1.2025,4.7975,0.37598,7.37598,-6.35135,-16.3514} t1=Transpose[{x1,y1}] {{0.707107,40},{0.707107,50},{1.,75},{1.,80},{1.22474,80},{1.22474,95.},{1.41421,100},{1.41421,90},{1.58114,114},{1.58114,103},{1.58114,101},{1.73205,116},{1.73205,120},{1.87083,123},{2.,138},{2.,133},{2.12132,146.},{2.23607,152},{2.23607,147},{2.34521,157},{2.34521,164},{2.44949,167},{2.44949,162},{2.54951,164},{2.64575,173},{2.64575,179},{2.82843,186},{2.82843,193},{3.,190},{3.,180}} a=PlotRange{{0,4},{0,200}} PlotRange{{0,4},{0,200}} a1=Prolog{PointSize[.02]} Prolog{PointSize[0.02]} g= ListPlot[t1,a,a1,AxesLabel{"x","y"}]


0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4x

25

50

75

100

125

150

175

200y

٣١٤

Graphics n=l[x1] 30 ssto=c[y1,y1] 52401.2 ssr=c[x1,y1]^2/c[x1,x1] 51270. sse=ssto-ssr 1131.25 mse=sse/(n-2) 40.4017

{-2.04393,-0.470676,0.581409,1.36804,-0.842677,1.51721,0.44012,-1.13314,1.00071,-0.729872,-1.04452,-0.16909,0.460213,-0.432906,0.656381,-0.130248,0.721613,0.536847,-0.249782,0.249915,1.3512,0.797399,0.0107701,-0.658431,-0.189184,0.754771,0.0591513,1.16043,-0.999231,-2.57249}

{-2.21801,-0.510763,0.613511,1.44357,-0.87535,1.57604,0.452768,-1.1657,1.02328,-0.746329,-1.06808,-0.172299,0.468947,-0.440411,0.667672,-0.132489,0.734817,0.547815,-0.254886,0.255781,1.38291,0.819184,0.0110643,-0.67944,-0.196218,0.782836,0.0620889,1.21806,-1.06377,-2.73864} pp1=Transpose[{yy,e}] {{52.9917,-12.9917},{52.9917,-2.99173},{71.3044,3.69558},{71.3044,8.69558},{85.3563,-5.35625},{85.3563,9.64375},{97.2025,2.79751},{97.2025,-7.20249},{107.639,6.36076},{107.639,-4.63924},{107.639,-6.63924},{117.075,-1.07478},{117.075,2.92522},{125.752,-2.75165},{133.828,4.17211},{133.828,-

2 4 6 8x

100

200

300

400

500

y

di e mse

ri e mse1 1nx1xb^2

sxx N

٣١٥

0.827888},{141.413,4.58674},{148.588,3.41233},{148.588,-1.58767},{155.411,1.58852},{155.411,8.58852},{161.932,5.06846},{161.932,0.0684572},{168.185,-4.18514},{174.202,-1.2025},{174.202,4.7975},{185.624,0.37598},{185.624,7.37598},{196.351,-6.35135},{196.351,-16.3514}} aa=PlotRange{{30,250},{-50,15}} PlotRange{{30,250},{-50,15}} a2=Prolog{PointSize[.02]} Prolog{PointSize[0.02]}

Graphics pp2=Transpose[{yy,di}] {{52.9917,-2.04393},{52.9917,-0.470676},{71.3044,0.581409},{71.3044,1.36804},{85.3563,-0.842677},{85.3563,1.51721},{97.2025,0.44012},{97.2025,-1.13314},{107.639,1.00071},{107.639,-0.729872},{107.639,-1.04452},{117.075,-0.16909},{117.075,0.460213},{125.752,-0.432906},{133.828,0.656381},{133.828,-0.130248},{141.413,0.721613},{148.588,0.536847},{148.588,-0.249782},{155.411,0.249915},{155.411,1.3512},{161.932,0.797399},{161.932,0.0107701},{168.185,-0.658431},{174.202,-0.189184},{174.202,0.754771},{185.624,0.0591513},{185.624,1.16043},{196.351,-0.999231},{196.351,-2.57249}} aa=PlotRange{{30,250},{-5,5}} PlotRange{{30,250},{-5,5}} a2=Prolog{PointSize[.02]} Prolog{PointSize[0.02]}


100 150 200 250y

-50

-40

-30

-20

-10

10

e


٣١٦

Graphics pp3=Transpose[{yy,ri}] {{52.9917,-2.21801},{52.9917,-0.510763},{71.3044,0.613511},{71.3044,1.44357},{85.3563,-0.87535},{85.3563,1.57604},{97.2025,0.452768},{97.2025,-1.1657},{107.639,1.02328},{107.639,-0.746329},{107.639,-1.06808},{117.075,-0.172299},{117.075,0.468947},{125.752,-0.440411},{133.828,0.667672},{133.828,-0.132489},{141.413,0.734817},{148.588,0.547815},{148.588,-0.254886},{155.411,0.255781},{155.411,1.38291},{161.932,0.819184},{161.932,0.0110643},{168.185,-0.67944},{174.202,-0.196218},{174.202,0.782836},{185.624,0.0620889},{185.624,1.21806},{196.351,-1.06377},{196.351,-2.73864}} aa=PlotRange{{30,250},{-3,3}} PlotRange{{30,250},{-3,3}} a2=Prolog{PointSize[.02]} Prolog{PointSize[0.02]}

Graphics def=Transpose[{x1,y1,yy,e,di,ri}]

100 150 200 250y

-4

-2

2

4

d


100 150 200 250y

-3

-2

-1

1

2

3r

٣١٧

{{0.707107,40,52.9917,-12.9917,-2.04393,-2.21801},{0.707107,50,52.9917,-2.99173,-0.470676,-0.510763},{1.,75,71.3044,3.69558,0.581409,0.613511},{1.,80,71.3044,8.69558,1.36804,1.44357},{1.22474,80,85.3563,-5.35625,-0.842677,-0.87535},{1.22474,95.,85.3563,9.64375,1.51721,1.57604},{1.41421,100,97.2025,2.79751,0.44012,0.452768},{1.41421,90,97.2025,-7.20249,-1.13314,-1.1657},{1.58114,114,107.639,6.36076,1.00071,1.02328},{1.58114,103,107.639,-4.63924,-0.729872,-0.746329},{1.58114,101,107.639,-6.63924,-1.04452,-1.06808},{1.73205,116,117.075,-1.07478,-0.16909,-0.172299},{1.73205,120,117.075,2.92522,0.460213,0.468947},{1.87083,123,125.752,-2.75165,-0.432906,-0.440411},{2.,138,133.828,4.17211,0.656381,0.667672},{2.,133,133.828,-0.827888,-0.130248,-0.132489},{2.12132,146.,141.413,4.58674,0.721613,0.734817},{2.23607,152,148.588,3.41233,0.536847,0.547815},{2.23607,147,148.588,-1.58767,-0.249782,-0.254886},{2.34521,157,155.411,1.58852,0.249915,0.255781},{2.34521,164,155.411,8.58852,1.3512,1.38291},{2.44949,167,161.932,5.06846,0.797399,0.819184},{2.44949,162,161.932,0.0684572,0.0107701,0.0110643},{2.54951,164,168.185,-4.18514,-0.658431,-0.67944},{2.64575,173,174.202,-1.2025,-0.189184,-0.196218},{2.64575,179,174.202,4.7975,0.754771,0.782836},{2.82843,186,185.624,0.37598,0.0591513,0.0620889},{2.82843,193,185.624,7.37598,1.16043,1.21806},{3.,190,196.351,-6.35135,-0.999231,-1.06377},{3.,180,196.351,-16.3514,-2.57249,-2.73864}} TableForm[def]

٣١٨

وقد تم حل ھذا المثال بنفس طریقة حل المثال السابق فقط تم اخذ الجذر التربیعى . للمتغیر المستقل

0.707107 40 52.9917 12.9917 2.04393 2.218010.707107 50 52.9917 2.99173 0.470676 0.5107631. 75 71.3044 3.69558 0.581409 0.6135111. 80 71.3044 8.69558 1.36804 1.443571.22474 80 85.3563 5.35625 0.842677 0.875351.22474 95. 85.3563 9.64375 1.51721 1.576041.41421 100 97.2025 2.79751 0.44012 0.4527681.41421 90 97.2025 7.20249 1.13314 1.16571.58114 114 107.639 6.36076 1.00071 1.023281.58114 103 107.639 4.63924 0.729872 0.7463291.58114 101 107.639 6.63924 1.04452 1.068081.73205 116 117.075 1.07478 0.16909 0.1722991.73205 120 117.075 2.92522 0.460213 0.4689471.87083 123 125.752 2.75165 0.432906 0.4404112. 138 133.828 4.17211 0.656381 0.6676722. 133 133.828 0.827888 0.130248 0.1324892.12132 146. 141.413 4.58674 0.721613 0.7348172.23607 152 148.588 3.41233 0.536847 0.5478152.23607 147 148.588 1.58767 0.249782 0.2548862.34521 157 155.411 1.58852 0.249915 0.2557812.34521 164 155.411 8.58852 1.3512 1.382912.44949 167 161.932 5.06846 0.797399 0.8191842.44949 162 161.932 0.0684572 0.0107701 0.01106432.54951 164 168.185 4.18514 0.658431 0.679442.64575 173 174.202 1.2025 0.189184 0.1962182.64575 179 174.202 4.7975 0.754771 0.7828362.82843 186 185.624 0.37598 0.0591513 0.06208892.82843 193 185.624 7.37598 1.16043 1.218063. 190 196.351 6.35135 0.999231 1.063773. 180 196.351 16.3514 2.57249 2.73864

٣١٩

اكتشاف و تصحیح عدم ثبات التباین ) ١٤-٤(

رض ق الف ى تحق ق عل 2یطلii )Y(Var)(Var دود این لح ات التب ثب

اء ، أو این اخاالخط ات التب ارا ثب این ، -تص انس التب ا homoscedasticityتج بینماین . heteroscedasticity مخالفة ھذا الفرض یسمى عدم ثبات التباین ات التب یعتبر ثب

.المطلب األساسي لتحلیل األنحدار دم في .یوجد طرق عدیدة الختبار عدم تجانس التباین الي اسوف نق ة لجزء الت الطریق

:التالیة این كوادت الكتشاف عدم ثبات التب -طریقة جولد) ١-١٤-٤(

:حیث )أو أكثر (یمكن أستخدام ھذه الطریقة في حالة وجود متغیر مستقل ازلي رات المستقلة ترتیب تصاعدي أو تن د المتغی ألح ا م ی ترتب المشاھدات وفق حذف ث

ز السلس% 20 ن مرك اھدات م ن المش یكن لم ر (c)ة ول ار أكث ل االختب ك یجع وذل

یة اھدات ی .حساس ن المش زء األول م تخدم الج س2

)cn( دار ة االنح اد معادل ي ایج ف

أ ات الخط وع مربع ى مجم ول عل ة والحص این 1SSEالمطلوب ل التب دول تحلی ن ج .م ا ددھا أیض رة وع اھدات األخی تخدام المش ن باس ة ولك وة التالی ي الخط بق ف ا س رر م تك

2)cn( أ ات الخط وع مربع ى مجم ول عل دار والحص راء انح تخدم . 2SSEواج یس

:كواندت للكشف عن نوعین من عدم ثبات التباین وھما –تبار جولد فیلد اخحیث فرض xخطأ دالة تناقصیة في المتغیر المستقلالعندما یكون تباین حد ) أ(

:1Hتباین حد الخطأ متجانس ضد الفرض البدیل : 0Hالعدم سوف یكون دم وفي ھذا االختبار یستخ. xتباین حد الخطأ دالة تناقصیة في المتغیر

:الذي یأخذ الصیغة التالیة Fاألحصاء

.2

1

2

1MSEMSE

2)cn(SSE2)cn(SSE

F

ود F ومقارنة قیمة ة الخطأ للعم درجات حری المحسوبة بنظیرتھا الجدولیة ب .أكبر من نظیرتھا الجدولیة نرفض فرض العدم Fذا كانت قیمةوإوالصف

تقل ) ب( ر المس ھ للمتغی دم إف xعندما یكون تباین حد الخطأ دالھ تزایدی ن فرض العون دیل : 0Hیك رض الب د الف انس ض أ متج د الخط این ح د 1H: تب این ح تب

٣٢٠

ي ھ ف ھ تزایدی أ دال اء و x الخط تخدم االحص ار یس ذا االختب ي ھ ى Fف عل : الصورة التالیة

.2)cn(SSE2)cn(SSE

F1

2

ة ة قیم ود Fوبمقارن ة الخطأ للعم درجات حری ة ب ا الجدولی المحسوبة بنظیرتھ .أكبر من نظیراتھا الجدولیة نرفض فرض العدم Fكانت قیمةذا وإوالصف

)٣٠- ٤(مثال

ي اة ف ات المعط دول الالبیان الىج ار الت ات اختب ول ودرج ار القب ات اختب ل درج تمث

ون ھ ل أن یك ع أم ة ، م ة الجامع ن طلب رة م ل لعش ة ؤالتفاضل والتكام رة عین الء العش . عشوائیة من مجتمع الطلبة في الجامعة والمطلوب اختبار تجانس التباین

الدرجة في امتحان الطالب xالقبول

الدرجة في امتحان yالتفاضل

1 39 65 2 43 74 3 21 52 4 64 82 5 57 92 6 47 74 7 28 73 8 75 98 9 34 56 10 52 75

: الحــل اھدات دد أزواج المش ث أن ع ن n=10وحی ى م ة أزواج االول ذ االربع ا نأخ فإنن

المتغیر المشاھدات ونستخدمھا في أیجاد جدول تحلیل التباین xالمرتبھ وفقاى ى 1SSEوذلك للحصول عل ة نحصل عل نفس الطریق الزواج المشاھدات 2SSEوب

المتغیر االربعة االخیرة دولالوضح في كما ھو م xالمرتبھ وفقا الیین ینج م نحسب الت ث .Fقیمة

٣٢١

F MS SS df Source

0.242351 - -

28.6409 118.18

-

28.6409 236.359

265

1 2 3

Regression Residual

Total : فإن السابقجدول ال ومن

359.236SSE1

F MS SS df Source

2.486 - -

174.443 70.1535

-

174.443 140.307 314.75

1 2 3

Regression Residual

Total

: فإن السابقجدول ال ومن307.140SSE2

: تكون) ٣٠-٤(للمثال Fوعلیة فقیمة ) ٣-٤(بالتعویض في المعادلة

.6845.12/307.1402/359.236F

الجدولیة القیمة من أقلالمحسوبھ Fوبما أن قیمة 19)2,2(F 05.0 ل فرض فإننا نقب .العدم وھو ثبات التباین


p=1 1 =.05 0.05 x1={21.,28,34,39} {21.,28,34,39} y1={52.,73,56,65} {52.,73,56,65} l[x_]:=Length[x] h[x_]:=Apply[Plus,x] k[x_]:=h[x]/l[x] c[x_,y_]:=h[x*y]-((h[x]*h[y]))/l[x] xb=h[x1]/l[x1] 30.5

٣٢٢

yb=h[y1]/l[y1] 61.5 b1=c[x1,y1]/c[x1,x1] 0.39779 b0=yb-b1*xb 49.3674 n=l[x1] 4 ssto=c[y1,y1] 265. ssr=c[x1,y1]^2/c[x1,x1] 28.6409 sse=ssto-ssr 236.359 dto=n-1 3 msr=ssr/1 28.6409 dse=n-2 2 mse=sse/(n-2) 118.18 f1=msr/mse 0.242351 th=TableHeadings{{source,regression,residual,total},{anova}} TableHeadings{{source,regression,residual,total},{anova}} rt1=List["df","SS","MS","F"] {df,SS,MS,F} rt2=List[p,ssr,msr,f1] {1,28.6409,28.6409,0.242351} rt3=List[dse,sse,mse,"---"] {2,236.359,118.18,---} rt4=List[dto,ssto,"---","---"] {3,265.,---,---} tf=TableForm[{rt1,rt2,rt3,rt4},th]

p=1 1 =.05


total 3 265.

٣٢٣

0.05 x11={52.,57,64,75} {52.,57,64,75} y11={75.,92,82,98} {75.,92,82,98} l[x_]:=Length[x] h[x_]:=Apply[Plus,x] k[x_]:=h[x]/l[x] c[x_,y_]:=h[x*y]-((h[x]*h[y]))/l[x] xb=h[x11]/l[x11] 62. yb=h[y11]/l[y11] 86.75 b1=c[x11,y11]/c[x11,x11] 0.765101 b0=yb-b1*xb 39.3138 n=l[x11] 4 ssto=c[y11,y11] 314.75 ssr=c[x11,y11]^2/c[x11,x11] 174.443 sse=ssto-ssr 140.307 dto=n-1 3 msr=ssr/1 174.443 dse=n-2 2 mse1=sse/(n-2) 70.1535 f1=msr/mse1 2.48659 th=TableHeadings{{source,regression,residual,total},{anova}} TableHeadings{{source,regression,residual,total},{anova}} rt1=List["df","SS","MS","F"] {df,SS,MS,F} rt2=List[p,ssr,msr,f1] {1,174.443,174.443,2.48659} rt3=List[dse,sse,mse1,"---"] {2,140.307,70.1535,---} rt4=List[dto,ssto,"---","---"] {3,314.75,---,---}

٣٢٤

tf1=TableForm[{rt1,rt2,rt3,rt4},th]

1.68458 <<Statistics`ContinuousDistributions` ffee=Quantile[FRatioDistribution[n-2,n-2],1-] 19. If[ff>=ffee,Print["Reject Ho"],Print["Accept Ho"]] Accept Ho

:لھذا المثال اھدات ن المش ى م ة أزواج االول ر االربع المتغی ا ھ وفق ان xالمرتب ن القائمت ,x1 م y1و

نحصل علیھ من االمر جدول تحلیل التباین tf=TableForm[{rt1,rt2,rt3,rt4},th]

ى ك للحصول عل ى 1SSEوذل ة نحصل عل نفس الطریق الزواج المشاھدات 2SSEوبرة ر االربعة االخی المتغی ا ھ وفق ان xالمرتب ن القائمت ,x11 م y11این و ل التب جدول تحلی

نحصل علیھ من االمر tf1=TableForm[{rt1,rt2,rt3,rt4},th]

f المحسوبة من االمر


ffee=Quantile[FRatioDistribution[n-2,n-2],1-] القرار الذى یتخذ من االمر

If[ff>=ffee,Print["Reject Ho"],Print["Accept Ho"]]

وھو قبول فرض العدم من المخرجAccept Ho

تصحیح عدم ثبات التباین ) ٢-١٥-٤(


total 3 314.75

ffMaxmse, mse1Minmse, mse1


٣٢٥

فالبد من اتخاذ اجراء و ) ١-٤(فى نموذج االنحدار الخطى البسیط iعندما ال یتحقق ثبات التباین لحدود الخطأ : یتم تصحیح عدم ثبات التباین بطریقتین . تقریبا متساویة) iYأو ( iذلك لجعل تباینات

. yعمل تحویل لقیم :الطریقة االولى -اة -ب ة الثانی تخدام : الطریق ن اس م دال ة ب غرى المرجح ات الص ة المربع تخدام طریق اس

ین ك بإستخدام وزن مع ة وذل ات الصغرى العادی این iwطریقة المربع ل التب لجع :سوف نتناول الطریقتین في الجزء التالي . لالخطاء متجانسة

طریقة تحویل قیم المتغیر التابع -ایم ل ق ات ا yبفرض إننا نرغب في تحوی دال أو عدم ثب این أو لتصحیح عدم االعت لتب

ة االنحدار ھ دال وى .عدم خطی ة الق ن التحویالت ھي تحویل دة م ة المفی power العائلtransformation y حیث ا دیر لھ اد تق وب إیج ھ مطل ال ،معلم ى سبیل المث فعل

21

تعني استخدام تحویلة الجذر التربیعي حیثyy 0و ي استخدام تعن

yln(y(التحویلة اللوغاریتمیة حیث . ة د قیم ى تحدی ار ف ل المعی المناسبة لتحوییم ة yق اد قیم واقى ھى ایج ات الب ى تجعل مجموع مربع النحدار خطى SSEو الت

Box كوكس –طریقة بوكس نستخدم سوف و ما یمكن لى ذلك التحویل اصغریستند إand Cox ذا لھذا الغرض وبدون الدخول فى التفاصیل سوف نستخدم برنامج جاھز لھ

:الغرض وذلك من خالل المثال التالى )٣١- ٤(مثال

یم ,xالزواج ق y ة ى القائم اه ف ماه المعط الى gradedata المس امج الت ى البرن اھز ف الجوكس نستخدم سوف Mathematicaمكتوب بلغة ال Box and Cox كوكس –طریقة ب

مع فترة ثقة ل yالمناسبة لتحویل قیم قیمة لحساب .وفیما یلى خطوات البرنامج والمخرجات

Off[General::spell1] <<Statistics`LinearRegression` <<Statistics`ContinuousDistributions` <<Statistics`DescriptiveStatistics` Clear[yp] yp[yij_,ytwiddle_,lambda_]:=(yij^lambda-1)/(lambda ytwiddle^(lambda-1)) /;lambda !=0; yp[yij_,ytwiddle_,lambda_]:=ytwiddle Log[yij] /; lambda ==0; Clear[sse] sse[data_,predictors_,indepvars_,ytwiddle_,lambda_,p_]:=Module[{resvals,withwvals},

٣٢٦

withwvals=Table[MapAt[yp[#,ytwiddle,lambda]&,data[[j]],p],{j,1,Length[data]}]; resvals=Regress[withwvals,predictors,indepvars,RegressionReport->FitResiduals][[1,2]]; Sum[resvals[[i]]^2,{i,1,Length[resvals]}]] Options[boxCoxRegression]={limits->{-2,2},gridsize->20,confidence->0.95}; Clear[boxCoxRegression] boxCoxRegression[data_,pred_,indepvars_,opts___]:=Module[{lambdaminmax,grid,lambdavals,n,p,depvars,ytwiddle,table2,minval,lambdaposition,lambdahat,nu,ci,dist,chi2,var,table3,table4,table5,min,max,lambda1,lambda2}, lambdaminmax=limits /. {opts} /. Options[boxCoxRegression]; grid=gridsize/. {opts} /. Options[boxCoxRegression]; lambdavals=Table[lambdaminmax[[1]]+i(lambdaminmax[[2]]-lambdaminmax[[1]])/(grid-1),{i,0,grid-1}]; n=Length[data]; p=Length[data[[1]]]; depvars=Table[data[[i,p]],{i,1,Length[data]}]; ytwiddle=GeometricMean[depvars]//N; table2=Table[sse[data,pred,indepvars,ytwiddle,lambdavals[[i]],p],{i,1,Length[lambdavals]}]; minval=Min[table2]; lambdaposition=(Position[table2,minval]//Flatten)[[1]]; lambdahat=lambdavals[[lambdaposition]]; nu=n-p; ci=confidence /. {opts} /. Options[boxCoxRegression]; dist=ChiSquareDistribution[1]; chi2=Quantile[dist,ci]; var=-nu/2 Log[table2[[lambdaposition]]/nu]-1/2 chi2; table3=Map[-nu/2 Log[#/nu]&,table2]; table4=Map[#>var&,table3]; table5=Position[table4,True]//Flatten; min=Min[table5]; max=Max[table5]; lambda1=lambdavals[[min]]; lambda2=lambdavals[[max]]; Print["Box-Cox Transformation"]; {BoxCox->lambdahat//N,Confidence->100*ci"%" ,ConfidenceInterval->{lambda1//N,lambda2//N}}

٣٢٧

] gradedata={{0.5,40},{0.5,50},{1,75},{1,80},{1.5,80},{1.5,95},{2,100},{2,90},{2.5,114},{2.5,103},{2.5,101},{3,116},{3,120},{3.5,123},{4,138},{4,133},{4.5,146},{5,152},{5,147},{5.5,157},{5.5,164},{6,167},{6,162},{6.5,164},{7,173},{7,179},{8,186},{8,193},{9,190},{9,180}}; boxCoxRegression[gradedata,{1,x},x] Box-Cox Transformation

{BoxCox2.,Confidence95. %,ConfidenceInterval{1.78947,2.}}

2ھى yالمناسبة لتحویل قیم قیمة مع فترة ثقة ل من االمر boxCoxRegression[gradedata,{1,x},x]

و المخرج {BoxCox2.,Confidence95.

%,ConfidenceInterval{1.78947,2.}} طریقة المربعات الصغرى المرجحة -ب

Weighted least squares: iبفرض أن

22ii w)(Var حیثiw ى و أوزان معروفة للحصول عل

10تقدیرات للمعالم , یمكن استخدام طریقة المربعات الصغرى المرجحةWeight Least Squares (WLS) حیث:

,

i

2ii

i2i

i

iiiiiii

1

w)wx(wx

wwywxwyx

b

.

i

ii

wwx

1i

ii0 b

wwyb

ھولة دیرھا بس ن تق إن األوزان یمك اكل ف ن المش ر م ي كثی ال إذا . ف بیل المث ى س علا iyكانت ة حجمھ د inمشاھدة في الحقیقة تمثل متوسط مشاھدات مأخوذة من عین عن

ix ت این ثاب ا تب لیة لھ اھدات األص ل المش ت ك این 2وإذا كان إن تب و iYف ھ i

2ii n/σεVarYVar و وزن ھ ون ال ذلك یك این. inول ان تب ض األحی ي بع ف

iY تقل ر المس ي المتغی ة ف ون دال ال xیك بیل المث ى س ، فعل

i2

ii x)(Var)Y(Var تخدام ا اس ا یمكنن ة فإنن ذه الحال ي ھ فi

i x1w

٣٢٨

وزن ون . ك د یك ق ا أیض 2i

2i xYVar ك ى ذل وعل

2i

ix1w ر ى تظھ والت

ي ا ف را ات كثی كل البیان ذ ش ائیة تأخ ات إحص ى بیان د عل ي تعتم اث الت ات األبح لدراسة ة cross-section dataالمقطعی ة الخاص ات المقطعی اھدات البیان تت مش ث تش حی

ر تویات المتغی ن مس ر م ى أخ توى ال ن مس را م كبی ا ف اختالف د تختل ابع ق بالمتغیر التتقل ة ب. المس ي دراسة العالق ال ف ى سبیل المث ف فعل ى مختل اق األسر عل ین دخل وأنف

اق ، رة في األنف السلع والخدمات نجد أن األسر ذات الدخول المرتفعة تتمتع بمرونة كبیھ ع عادة ضمن حدود ضیقة وعلی دخول المنخفضة یق اق األسر ذات ال في حین أن أنف

ذا فإن التباین عند الدخول الكبیر ، یكون أكبر من التباین عند قیم الدخول الصغیرة وھكالي االت وبالت ذة الح ل ھ ي مث دوى ف ة الج بح عدیم این تص ات التب یة ثب د أن فرض نج

یواجھ الباحث مشكلة عدم ثبات التباین والتى سوف نصححھا في المثال التالي

)٣٢- ٤(مثال

ي دول الیعط الى ج ن الت ة م ة مكون ھري لعین اق الش دخل واإلنف ن ال ات ع 20بیان

ا خمس مشاھدات امیع وكل مجموعة بھ ة مج ل . مشاھدة مقسمة إلى أربع ة في ك العینھري اق الش دیر اإلنف ا بتق ول علیھ م الحص ة ت س 1000$مجموع د نف ر عن س أس لخم

دخل رض أن . ال ت ف ي تح دار الخط وذج االنح الم نم دیرات مع د تق أوج 2

i2

i xVar .

الدخل$1000

المجموعة $ 1000االنفاق الشھري

5.0 2.1 2.0 2.0 2.0 1.8 1 10.0 3.6 3.5 3.5 3.2 3.0 2 15.0 5.0 4.8 4.5 4.2 4.2 3 20.0 6.2 6.0 5.7 5.0 4.8 4

.أن العالقة بین اإلنفاق والدخل الشھري عالقة خطیة) ٥١-٤(یوضح شكل

٣٢٩

)٥١- ٤(شكل

:التالىجدول الالبیانات الالزمة لحساب معادلة االنحدار المقدرة معطاة في

2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5 20

2

4

6

8

10

٣٣٠

:حیث

5.1220250

nxx

،855.320

1.77nyy

n

yxyxSXY iiii

20

1.772501112

,25.148

nxxSXX

2i2

xy 2x y x

250 77.1 3750 1112

5 1.8 25 95 2 25 105 2 25 105 2 25 105 2.1 25 10.510 3 100 3010 3.2 100 3210 3.5 100 3510 3.5 100 3510 3.6 100 3615 4.2 225 6315 4.2 225 6315 4.5 225 67.515 4.8 225 7215 5 225 7520 4.8 400 9620 5 400 10020 5.7 400 11420 6 400 12020 6.2 400 124

٣٣١

,62520

25037502

,2372.0625

25.148SXXSXYb1

5.122372.0855.3xbyb 10 89.0

:وعلى ذلك معادلة االنحدار المقدرة ھي

y 0.89 0.2372x

في شكل مع شكل االنتشار) ٥٢-٤(والممثلة بیانیا

)٥٢- ٤(شكل

. irوالبواقي المعیاریة idوالبواقي القیاسیة ieالبواقي التالىجدول الیعطي

2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5 20

2

4

6

8

10

٣٣٢

ir id ie iy

y x -0.79786

-0.219701 -0.219701 -0.219701 0.0693792 -0.724443 -0.171433 0.658082 0.658082 0.934587 -0.685733 -0.685733 0.143783 0.973298 1.52631 -2.41093 -1.83277 0.190793 1.05803 1.63619

-0.739905 -0.203742 -0.203742 -0.203742 0.0643396 -0.702374 -0.166211 0.638034 0.638034 0.906116 -0.664842 -0.664842 0.139402 0.943647 1.47981 -2.2358 -1.69964 0.176934 0.981179 1.51734

-0.276 -0.076 -0.076 -0.076 0.024 -0.262 -0.062 0.238 0.238 0.338 -0.248 -0.248 0.052 0.352 0.552 -0.834 -0.634 0.066 0.366 0.566

2.076 2.076 2.076 2.076 2.076 3.262 3.262 3.262 3.262 3.262 4.448 4.448 4.448 4.448 4.448 5.634 5.634 5.634 5.634 5.634

1.8 2 2 2

2.1 3

3.2 3.5 3.5 3.6 4.2 4.2 4.5 4.8 5

4.8 5

5.7 6

6.2

5 5 5 5 5 10 10 10 10 10 15 15 15 15 15 20 20 20 20 20

.على التوالي) ٥٥-٤(وشكل ) ٥٤-٤(وشكل ) ٥٣-٤(والموضحة بیانیا في شكل

2 4 6 8 10

-1

-0.75

-0.5

-0.25

0.25

0.5

0.75

1

٣٣٣

)٥٣- ٤(شكل

)٥٤- ٤(شكل

)٥٥- ٤(شكل

كل ي ش واقي ف م الب ن رس ح م كل ) ٥٣-٤(یتض كل ) ٥٤-٤(وش أن ) ٥٥-٤(وش

.من أعلي تباین البواقي غیر ثابت وذلك لظھور الشكل القمعي المفتوح :.سوف نستخدم برنامج جاھز لھذا الغرض وذلك من خالل المثال التالى

)٣٢- ٤(مثال

وفیما یلى خطوات Mathematicaبإستخدام برنامج مكتوب بلغة السابق سوف یتم حل المثال البرنامج والمخرجات

2 4 6 8 10

-3

-2

-1

1

2

3

2 4 6 8 10

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

٣٣٤

p=1 1 y1={1.8,2,2,2,2.1,3,3.2,3.5,3.5,3.6,4.2,4.2,4.5,4.8,5,4.8,5,5.7,6,6.2} {1.8,2,2,2,2.1,3,3.2,3.5,3.5,3.6,4.2,4.2,4.5,4.8,5,4.8,5,5.7,6,6.2} {1.8,2,2,2,2.1,3,3.2,3.5,3.5,3.6,4.2,4.2,4.5,4.8,5,4.8,5,5.7,6,6.2} {1.8,2,2,2,2.1,3,3.2,3.5,3.5,3.6,4.2,4.2,4.5,4.8,5,4.8,5,5.7,6,6.2} x1={5.,5,5,5,5,10,10.,10,10,10.,15,15,15,15,15,20,20,20,20,20} {5.,5,5,5,5,10,10.,10,10,10.,15,15,15,15,15,20,20,20,20,20} {5.,5,5,5,5,10,10.,10,10,10.,15,15,15,15,15,20,20,20,20,20} {5.,5,5,5,5,10,10.,10,10,10.,15,15,15,15,15,20,20,20,20,20} l[x_]:=Length[x] h[x_]:=Apply[Plus,x] k[x_]:=h[x]/l[x] c[x_,y_]:=h[x*y]-((h[x]*h[y]))/l[x] sxx=c[x1,x1] 625. xb=h[x1]/l[x1] 12.5 yb=h[y1]/l[y1] 3.855 b1=c[x1,y1]/c[x1,x1] 0.2372 b0=yb-b1*xb 0.89 yy=b0+(b1*x1) {2.076,2.076,2.076,2.076,2.076,3.262,3.262,3.262,3.262,3.262,4.448,4.448,4.448,4.448,4.448,5.634,5.634,5.634,5.634,5.634} e=y1-yy {-0.276,-0.076,-0.076,-0.076,0.024,-0.262,-0.062,0.238,0.238,0.338,-0.248,-0.248,0.052,0.352,0.552,-0.834,-0.634,0.066,0.366,0.566} t1=Transpose[{x1,y1}] {{5.,1.8},{5,2},{5,2},{5,2},{5,2.1},{10,3},{10.,3.2},{10,3.5

٣٣٥

},{10,3.5},{10.,3.6},{15,4.2},{15,4.2},{15,4.5},{15,4.8},{15,5},{20,4.8},{20,5},{20,5.7},{20,6},{20,6.2}} a=PlotRange{{0,20},{0,10}} PlotRange{{0,20},{0,10}} a1=Prolog{PointSize[.02]} Prolog{PointSize[0.02]} g= ListPlot[t1,a,a1,AxesLabel{"x","y"}]


Graphics Show[g,dd]

2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5 20x

2

4

6

8

10y

5 10 15 20x

1

2

3

4

5

y

٣٣٦

Graphics n=l[x1] 20 ssto=c[y1,y1] 37.6695 ssr=c[x1,y1]^2/c[x1,x1] 35.1649 sse=ssto-ssr 2.5046 mse=sse/(n-2) 0.139144

{-0.739905,-0.203742,-0.203742,-0.203742,0.0643396,-0.702374,-0.166211,0.638034,0.638034,0.906116,-0.664842,-0.664842,0.139402,0.943647,1.47981,-2.2358,-1.69964,0.176934,0.981179,1.51734}

{-0.79786,-0.219701,-0.219701,-0.219701,0.0693792,-0.724443,-0.171433,0.658082,0.658082,0.934587,-0.685733,-0.685733,0.143783,0.973298,1.52631,-2.41093,-1.83277,0.190793,1.05803,1.63619} pp1=Transpose[{yy,e}] {{2.076,-0.276},{2.076,-0.076},{2.076,-0.076},{2.076,-0.076},{2.076,0.024},{3.262,-0.262},{3.262,-0.062},{3.262,0.238},{3.262,0.238},{3.262,0.338},{4.448,-0.248},{4.448,-0.248},{4.448,0.052},{4.448,0.352},{4.448,0.552},{5.634,-0.834},{5.634,-0.634},{5.634,0.066},{5.634,0.366},{5.634,0.566}} aa=PlotRange{{0,8},{-1,1}} PlotRange{{0,8},{-1,1}}

2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5 20x

2

4

6

8

10y

di e mse

ri e mse1 1nx1xb^2

sxx N

٣٣٧

a2=Prolog{PointSize[.02]} Prolog{PointSize[0.02]}

Graphics pp2=Transpose[{yy,di}]; aa=PlotRange{{0,8},{-3,3}} PlotRange{{0,8},{-3,3}} a2=Prolog{PointSize[.02]} Prolog{PointSize[0.02]}

Graphics pp3=Transpose[{yy,ri}]; aa=PlotRange{{0,10},{-2,2}} PlotRange{{0,10},{-2,2}} a2=Prolog{PointSize[.02]} Prolog{PointSize[0.02]}


1 2 3 4 5 6 7 8y

-1

-0.75

-0.5

-0.25

0.25

0.5

0.75

1e

g ListPlotpp2, aa,a2, AxesLabel "y", "d"

1 2 3 4 5 6 7 8y

-3

-2

-1

1

2

3d


٣٣٨

Graphics def=Transpose[{x1,y1,yy,e,di,ri}];

TableForm[def];

)٣٣- ٤(مثال

د للمثال السابق ول د فیل ار جول إجراء اختب وم ب این نق ات التب لتحقق أكثر من وجود عدم ثبدت – مین. كوان ى قس اھدات إل یم المش وم بتقس ار نق ذا االختب راء ھ م األول . وإلج القس

ھ 10.000$إلي 5.000$یشمل الدخول في دخول العالی 15.000$والقسم الثاني یشمل الي ا مشاھدات من 20.000$إل تبعد ھن ة والیس دیر معادل وم بتق ك تق د ذل الوسط ومن بع

ن غیرة م یم الص دار للق ن ixاالنح رة م یم الكبی رى للق دار ixوأخ ة االنح ث معادل حی :المقدرة للقیم الصغیرة من الدخل ھي

y .6 0.276x 1SSE .3

:ومعادلة االنحدار المقدرة للقیم الكبیرة من الدخل ھي

y 1.54 0.20x 2SSE 2.024

ة (6.7)المحسوبة Fوبمقارنة قیمة بالقیمة الجدولی 03.68,8F 01.0 ة د أن قیم Fنجدیل ول الفرض الب دم وقب المحسوبة أكبرمن القیمة الجدولیة وھذا یعني رفض فرض الع

.بعدم تجانس التباین

2 4 6 8 10y

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2r

٣٣٩

وفیما یلى خطوات Mathematicaبإستخدام برنامج مكتوب بلغة المثالھذا سوف یتم حل البرنامج والمخرجات

p=1 1 =.01 0.01 y1={1.8,2,2,2,2.1,3,3.2,3.5,3.5,3.6} {1.8,2,2,2,2.1,3,3.2,3.5,3.5,3.6} x1={5.,5,5,5,5,10,10.,10,10,10.} {5.,5,5,5,5,10,10.,10,10,10.} l[x_]:=Length[x] h[x_]:=Apply[Plus,x] k[x_]:=h[x]/l[x] c[x_,y_]:=h[x*y]-((h[x]*h[y]))/l[x] xb=h[x1]/l[x1] 7.5 yb=h[y1]/l[y1] 2.67 b1=c[x1,y1]/c[x1,x1] 0.276 b0=yb-b1*xb 0.6 n=l[x1] 10 ssto=c[y1,y1] 5.061 ssr=c[x1,y1]^2/c[x1,x1] 4.761 sse=ssto-ssr 0.3 dto=n-1 9 msr=ssr/1 4.761 dse=n-2 8 mse=sse/(n-2) 0.0375 f1=msr/mse 126.96 th=TableHeadings{{source,regression,residual,total},{anova}} TableHeadings{{source,regression,residual,total},{anova}}

٣٤٠

rt1=List["df","SS","MS","F"] {df,SS,MS,F} rt2=List[p,ssr,msr,f1] {1,4.761,4.761,126.96} rt3=List[dse,sse,mse,"---"] {8,0.3,0.0375,---} rt4=List[dto,ssto,"---","---"] {9,5.061,---,---} tf=TableForm[{rt1,rt2,rt3,rt4},th]

y11={4.2,4.2,4.5,4.8,5,4.8,5,5.7,6,6.2} {4.2,4.2,4.5,4.8,5,4.8,5,5.7,6,6.2} x11={15,15,15,15,15,20,20,20,20,20} {15,15,15,15,15,20,20,20,20,20} l[x_]:=Length[x] h[x_]:=Apply[Plus,x] k[x_]:=h[x]/l[x] c[x_,y_]:=h[x*y]-((h[x]*h[y]))/l[x] xb=h[x11]/l[x11]

yb=h[y11]/l[y11] 5.04 b1=c[x11,y11]/c[x11,x11] 0.2 b0=yb-b1*xb 1.54 n=l[x11] 10 ssto=c[y11,y11] 4.524 ssr=c[x11,y11]^2/c[x11,x11] 2.5 sse=ssto-ssr 2.024 dto=n-1 9 msr=ssr/1 2.5


total 9 5.061

35

2

٣٤١

dse=n-2 8 mse1=sse/(n-2) 0.253 f1=msr/mse1 9.88142 th=TableHeadings{{source,regression,residual,total},{anova}} TableHeadings{{source,regression,residual,total},{anova}} rt1=List["df","SS","MS","F"] {df,SS,MS,F} rt2=List[p,ssr,msr,f1] {1,2.5,2.5,9.88142} rt3=List[dse,sse,mse1,"---"] {8,2.024,0.253,---} rt4=List[dto,ssto,"---","---"] {9,4.524,---,---} tf1=TableForm[{rt1,rt2,rt3,rt4},th]

6.74667 <<Statistics`ContinuousDistributions` ffee=Quantile[FRatioDistribution[n-2,n-2],1-] 6.02887 If[ff>=ffee,Print["Reject Ho"],Print["Accept Ho"]]

Reject Ho

)٣٤- ٤(مثال

ابق ال الس ة و للمث ات الالزم إن البیان ة ف غرى المرجح ات الص ة المربع تخدام طریق بإس .التالىجدول المعطاة في ,01لحساب تقدیرات المعالم


total 9 4.524


٣٤٢

yw xyw xw 2x1w y x

5 1.8 0.04 0.2 0.36 0.0725 2 1

2515

25

225

5 2 125

15

25

225

5 2 125

15

25

225

5 2.1 125

15

0.42 0.084

10 3 1100

110

310

3100

10 3.2 0.01 0.1 0.32 0.03210 3.5 1

100110

0.35 0.035

10 3.5 1100

110

0.35 0.035

10 3.6 0.01 0.1 0.36 0.03615 4.2 1

225115

0.28 0.0186667

15 4.2 1225

115

0.28 0.018667

15 4.5 1225

115

0.3 0.02

15 4.8 1225

115

0.32 0.0213333

15 5 1225

115

13

145

20 4.8 1400

120

0.24 0.012

20 5 1400

120

14

180

20 5.7 1400

120

0.285 0.01425

20 6 1400

120

310

3200

20 6.2 1400

120

0.31 0.0155

٣٤٣

:وعلى ذلك

i

2ii2

ii

i

iiiiiii

1

wxwxw

wywxwyxw

b

,249487.0

i

ii1ii0 w

xwbywb

=0.752923 :وعلى ذلك معادلة االنحدار المقدرة سوف تكون

x249487.0752923.0y

.التالىجدول الیتم حساب مجموع مربعات البواقى من البیانات في

٣٤٤

w y y yy 2)yy( 2)yy(w

:حیث مجموع المربعات البواقي سوف تكون

2ii yywSSE :مجموع المربعات الكلي سوف یكون

0.04 1.8 2.00036 - 0.200359 0.0401437 0.00160575125

2 2.00036 - 0.000358974 1.28863´ 10-7 5.1545 ´ 10-9

125

2 2.00036 - 0.000358974 1.28863´ 10-7 5.1545 ´ 10-9

125

2 2.00036 - 0.000358974 1.28863´ 10-7 5.1545 ´ 10-9

125

2.1 2.00036 0.099641 0.00992833 0.000397133

1100

3 3.24779 - 0.247795 0.0614023 0.000614023

0.01 3.2 3.24779 - 0.0477949 0.00228435 0.00002284351100

3.5 3.24779 0.252205 0.0636074 0.000636074

1100

3.5 3.24779 0.252205 0.0636074 0.000636074

0.01 3.6 3.24779 0.352205 0.124048 0.001240481225

4.2 4.49523 - 0.295231 0.0871612 0.000387383

1225

4.2 4.49523 - 0.295231 0.0871612 0.000387383

1225

4.5 4.49523 0.00476923 0.0000227456 1.01091 ´ 10-7

1225

4.8 4.49523 0.304769 0.0928843 0.000412819

1225

5 4.49523 0.504769 0.254792 0.00113241

1400

4.8 5.74267 - 0.942667 0.88862 0.00222155

1400

5 5.74267 - 0.742667 0.551554 0.00137888

1400

5.7 5.74267 - 0.0426667 0.00182044 4.55111 ´ 10-6

1400

6 5.74267 0.257333 0.0662204 0.000165551

1400

6.2 5.74267 0.457333 0.209154 0.000522884

٣٤٥

i

2ii

i2

i wywwySSTO

307804.0 .التالىجدول الجدول تحلیل التباین معطى في

ن دول الم ابقج ة الس ا أن قیم ة Fوبم ة الجدولی ن القیم د ع وبة تزی المحس 413.418,1F 05.0 0فإننا نقبل الفرض البدیل أن:H 11 .

كل ي ش واقي ) ٥٦-٤(یعط م الب رس yyw ل iiمقاب yw ي ا یعط ، كمكل واقي ) ٥٧-٤(ش م الب رس ii yyw ل iiمقاب xw . كل ن ش ح م -٤(یتض

.أن البواقي تنتشر حول الصفر وھذا یعني تجانس التباین) ٥٧-٤(وشكل ) ٥٦

)٥٦- ٤(شكل

0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5

-0.1

-0.05

0.05

0.1

٣٤٦

)٥٧- ٤(شكل یلى خطوات وفیما Mathematicaبإستخدام برنامج مكتوب بلغة السابق سوف یتم حل المثال


ww={5.,5,5,5,5,10,10.,10,10,10.,15,15,15,15,15,20,20,20,20,20} {5.,5,5,5,5,10,10.,10,10,10.,15,15,15,15,15,20,20,20,20,20} w=N[1/ww^2] {0.04,0.04,0.04,0.04,0.04,0.01,0.01,0.01,0.01,0.01,0.00444444,0.00444444,0.00444444,0.00444444,0.00444444,0.0025,0.0025,0.0025,0.0025,0.0025} p=1; y1={1.8,2,2,2,2.1,3,3.2,3.5,3.5,3.6,4.2,4.2,4.5,4.8,5,4.8,5,5.7,6,6.2}; x1={5.,5,5,5,5,10,10.,10,10,10.,15,15,15,15,15,20,20,20,20,20}; l[x_]:=Length[x] ff[x_]:=Apply[Plus,x] g[x_]:=((ff[x])^2)/l[x] h[x_]:=ff[x^2] rr[x_]:=h[x]-g[x]

1 2 3 4 5

-0.1

-0.05

0.05

0.1

٣٤٧

n=l[x1] 20

0.249487

0.752923 yy=b0+b1*x1; err=ff[w*((y1-yy)^2)]; 0.0117659 0.0117659

; ss=Transpose[{x1,y1,w,x1*w,x1*y1*w,y1*w}]; TableForm[ss]; yy=b0+b1*x1; sss=Transpose[{w,y1,yy,y1-yy,(y1-yy)^2,w*(y1-yy)^2}]; TableForm[sss]; ssr=ssto-err; 0.296038 mssrr=ssr/p; 0.296038 dfr=(n-p-1); 18 s2=err/dfr; 0.000653662 f=mssrr/s2; 452.891 th=TableHeadings->{{source,regression,residual, Total},{anova}} TableHeadings{{source,regression,residual,Total},{anova}}; rt1=List["df","SS","MS","F"]; {df,SS,MS,F} rt2=List[p,ssr,mssrr,f]; rt3=List[dfr,err,s2,"--"]; rt4=List[n-1,ssto,"--","--"]; tf=TableForm[{rt1,rt2,rt3,rt4},th]

b1ffx1y1w

ffx1wffy1wffw

ffx1^2w ffwx1^2

ffw

b0ffy1wffw

b1 ffx1w

ffw

٣٤٨

<<Statistics` ContinuousDistributions` ffee=Quantile[FRatioDistribution[p,n-p-1],.95] 4.41387 If[f>=ffee,Print["Reject Ho"],Print["Accept Ho"]] Reject Ho

eefk=ListPlot[eede,Prolog{PointSize[.02]},PlotRange->{{.2,.5},{-.1,.1}}]

Graphics

eefk=ListPlot[ee1,Prolog{PointSize[.02]},PlotRange->{{0,5},{-.1,.1}}]


Total 19 0.307804

0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5

-0.1

-0.05

0.05

0.1

٣٤٩

Graphics طریقة لحساب االوزان )٣-١٥-٤(

دیرھا ى تق اج إل ھ ونحت ي البدای ھ ف ون معروف إن االوزان التك ن المشاكل ف ر م ي كثی فالي سوف نشرح طریق ھ في الجزء الت ةباالعتماد على نتائج المربعات الصغرى العادی

:iwإلیجاد االوزان

:نتبع الخطوات التالیة wiإلیجاد األوزان

م .١ ة وترس ات العادی ة المربع تخدام طریق درة باس دار المق ة االنح ب معادل نحسع ixأو iyالبواقي مقابل ي شكل قم واقي عل اط في رسم الب إذا كان انتشار النق

انس دم تج ي ع دل عل ذا ی ین فھ كل قوس ي ش فل عل ن أس ى أو م ن أعل وح م مفت .التباین

ب معاد .٢ ة نحس غرى العادی ات الص ة المربع تخدام طریق درة باس دار المق ة االنح ل .iyأو قیم ixمقابل قیم ieباستخدام القیم المطلقة

دیر ي تق ة ف وة الثانی ن الخط وبة م درة المحس دار المق ة االنح تخدم معادل نس .الالزمة لطریقة المربعات الصغرى المرجحة wiاألوزان

)٣٥- ٤(مثال

اء د النس ر عن دم االنبساطي والعم ین ضغط ال ة ب تھتم باحثة صحیة بدراسة العالقین ارھم ب راوح أعم دة وتت حة جی تعن بص واتي یتم ات الل د 60و 20البالغ ، وق ا عام

ات إحصائیة عن ي 54جمعت بیان ات معطاه ف رأة والبیان الىجدول الأم یوضح . الت .عالقھ خطیھ x , Yعالقة بین ان ال )٥٨-٤(المعطي في شكل شكل االنتشار

1 2 3 4 5

-0.1

-0.05

0.05

0.1

٣٥٠

xy 2x y x

2 1 . 6 6 . 4 4 1 . 1 3 8 6 .2 2 . 6 3 4 8 4 . 1 3 8 6 .2 4 7 5 5 7 6 1 8 0 02 3 7 0 5 2 9 1 6 1 02 0 6 5 4 0 0 1 3 0 02 0 7 0 4 0 0 1 4 0 02 4 7 2 5 7 6 1 7 2 82 7 7 3 7 2 9 1 9 7 12 5 7 1 6 2 5 1 7 7 52 9 7 9 8 4 1 2 2 9 12 5 6 8 6 2 5 1 7 0 02 8 6 7 7 8 4 1 8 7 62 6 7 9 6 7 6 2 0 5 43 2 7 6 1 0 2 4 2 4 3 23 3 6 9 1 0 8 9 2 2 7 73 1 6 6 9 6 1 2 0 4 63 4 7 3 1 1 5 6 2 4 8 23 3 7 6 1 0 8 9 2 5 0 83 0 7 3 9 0 0 2 1 9 03 1 8 0 9 6 1 2 4 8 03 8 9 1 1 4 4 4 3 4 5 83 7 7 8 1 3 6 9 2 8 8 63 8 8 7 1 4 4 4 3 3 0 63 5 7 9 1 2 2 5 2 7 6 53 7 6 8 1 3 6 9 2 5 1 63 9 7 5 1 5 2 1 2 9 2 54 0 7 0 1 6 0 0 2 8 0 04 2 7 2 1 7 6 4 3 0 2 44 3 8 0 1 8 4 9 3 4 4 04 3 7 5 1 8 4 9 3 2 2 54 4 7 1 1 9 3 6 3 1 2 44 0 9 0 1 6 0 0 3 6 0 04 2 8 5 1 7 6 4 3 5 7 04 6 8 9 2 1 1 6 4 0 9 44 9 1 0 1 2 4 0 1 4 9 4 94 6 8 3 2 1 1 6 3 8 1 84 6 8 0 2 1 1 6 3 6 8 04 7 9 6 2 2 0 9 4 5 1 24 5 9 2 . 2 0 2 5 4 1 4 0 .4 9 8 0 2 4 0 1 3 9 2 04 8 7 0 2 3 0 4 3 3 6 05 4 7 1 2 9 1 6 3 8 3 45 2 8 6 2 7 0 4 4 4 7 25 3 7 9 2 8 0 9 4 1 8 75 2 8 5 2 7 0 4 4 4 2 05 0 7 1 2 5 0 0 3 5 5 05 0 9 1 2 5 0 0 4 5 5 05 2 1 0 0 2 7 0 4 5 2 0 05 5 7 6 3 0 2 5 4 1 8 05 7 9 9 3 2 4 9 5 6 4 35 6 9 2 3 1 3 6 5 1 5 25 9 9 0 3 4 8 1 5 3 1 05 8 8 0 3 3 6 4 4 6 4 05 7 1 0 9 3 2 4 9 6 2 1 3

٣٥١

)٥٨- ٤(شكل

:اآلن نحسب معادلة االنحدار المقدرة كالتالي

nxx

nyxxy

b 22

1

2.705956.4094

54213791629

5442722137173155

2

,580031.0

10 20 30 40 50 60 70

20

40

60

80

100

120

٣٥٢

xbyb 10

. 1569.565741.39)580031.0(1111.79

:االنحدار المقدرة سوف تكونمعادلة

x580031.01569.56y

iyiyieالبواقي التالىجدول المعطاة في .

e y y x

٣٥٣

21 66 68.3376 - 2.3375822 63 68.9176 - 5.9176124 75 70.0777 4.9223323 70 69.4976 0.50236220 65 67.7575 - 2.7575520 70 67.7575 2.2424524 72 70.0777 1.9223327 73 71.8178 1.1822425 71 70.6577 0.34230129 79 72.9778 6.0221825 68 70.6577 - 2.657728 67 72.3978 - 5.3977926 79 71.2377 7.7622732 76 74.7179 1.2820933 69 75.2979 - 6.2979531 66 74.1379 - 8.1378834 73 75.878 - 2.8779833 76 75.2979 0.70205430 73 73.5579 - 0.55785331 80 74.1379 5.8621238 91 78.1981 12.801937 78 77.6181 0.38193138 87 78.1981 8.801935 79 76.458 2.5419937 68 77.6181 - 9.6180739 75 78.7781 - 3.7781340 70 79.3582 - 9.3581642 72 80.5182 - 8.5182243 80 81.0983 - 1.0982543 75 81.0983 - 6.0982544 71 81.6783 - 10.678340 90 79.3582 10.641842 85 80.5182 4.4817846 89 82.8383 6.1616549 101 84.5784 16.421646 83 82.8383 0.16165446 80 82.8383 - 2.8383547 96 83.4184 12.581645 92 82.2583 9.7416849 80 84.5784 - 4.5784448 70 83.9984 - 13.998454 71 87.4786 - 16.478652 86 86.3185 - 0.31853153 79 86.8986 - 7.8985652 85 86.3185 - 1.3185350 71 85.1585 - 14.158550 91 85.1585 5.8415352 100 86.3185 13.681555 76 88.0586 - 12.058657 99 89.2187 9.7813256 92 88.6387 3.3613559 90 90.3787 - 0.37874658 80 89.7987 - 9.7987257 109 89.2187 19.7813

٣٥٤

واقي ل ieیوضح رسم الب ي شكل ixمقاب ر ) ٥٩-٤(والموضح ف واقي غی این الب أن تب .األمامثابت حیث شكل االنتشار یأخذ شكل القمع المفتوح من

)٥٩- ٤(شكل

ات المعطاة ixو ieقیماآلن نستخدم ك من البیان درة وذل ألیجاد معادلة االنحدار المق :التالىجدول الفي

65 70 75 80 85 90 95

-30

-20

-10

10

20

30

٣٥٥

xe 2x e x

2 1 2 . 3 3 7 5 8 4 4 1 . ` 4 9 . 0 8 9 12 2 5 . 9 1 7 6 1 4 8 4 . ` 1 3 0 . 1 8 7 `2 4 4 . 9 2 2 3 3 5 7 6 1 1 8 . 1 3 62 3 0 . 5 0 2 3 6 2 5 2 9 1 1 . 5 5 4 32 0 2 . 7 5 7 5 5 4 0 0 5 5 . 1 5 0 92 0 2 . 2 4 2 4 5 4 0 0 4 4 . 8 4 9 12 4 1 . 9 2 2 3 3 5 7 6 4 6 . 1 3 62 7 1 . 1 8 2 2 4 7 2 9 3 1 . 9 2 0 52 5 0 . 3 4 2 3 0 1 6 2 5 8 . 5 5 7 5 22 9 6 . 0 2 2 1 7 8 8 4 1 1 7 4 . 6 4 32 5 2 . 6 5 7 6 9 9 6 2 5 6 6 . 4 4 2 52 8 5 . 3 9 7 7 9 2 7 8 4 1 5 1 . 1 3 82 6 7 . 7 6 2 2 7 6 7 6 2 0 1 . 8 1 93 2 1 . 2 8 2 0 9 1 0 2 4 4 1 . 0 2 6 73 3 6 . 2 9 7 9 5 1 0 8 9 2 0 7 . 8 3 23 1 8 . 1 3 7 8 8 9 6 1 2 5 2 . 2 7 43 4 2 . 8 7 7 9 8 1 1 5 6 9 7 . 8 5 1 23 3 0 . 7 0 2 0 5 4 1 0 8 9 2 3 . 1 6 7 83 0 0 . 5 5 7 8 5 3 9 0 0 1 6 . 7 3 5 63 1 5 . 8 6 2 1 2 9 6 1 1 8 1 . 7 2 63 8 1 2 . 8 0 1 9 1 4 4 4 4 8 6 . 4 7 23 7 0 . 3 8 1 9 3 1 1 3 6 9 1 4 . 1 3 1 53 8 8 . 8 0 1 9 1 4 4 4 3 3 4 . 4 7 23 5 2 . 5 4 1 9 9 1 2 2 5 8 8 . 9 6 9 73 7 9 . 6 1 8 0 7 1 3 6 9 3 5 5 . 8 6 93 9 3 . 7 7 8 1 3 1 5 2 1 1 4 7 . 3 4 74 0 9 . 3 5 8 1 6 1 6 0 0 3 7 4 . 3 2 64 2 8 . 5 1 8 2 2 2 1 7 6 4 3 5 7 . 7 6 54 3 1 . 0 9 8 2 5 1 8 4 9 4 7 . 2 2 4 94 3 6 . 0 9 8 2 5 1 8 4 9 2 6 2 . 2 2 54 4 1 0 . 6 7 8 2 8 1 9 3 6 4 6 9 . 8 4 54 0 1 0 . 6 4 1 8 3 1 6 0 0 4 2 5 . 6 7 44 2 4 . 4 8 1 7 8 1 7 6 4 1 8 8 . 2 3 54 6 6 . 1 6 1 6 5 2 1 1 6 2 8 3 . 4 3 64 9 1 6 . 4 2 1 6 2 4 0 1 8 0 4 . 6 5 74 6 0 . 1 6 1 6 5 2 1 1 6 7 . 4 3 6 0 84 6 2 . 8 3 8 3 5 2 1 1 6 1 3 0 . 5 6 44 7 1 2 . 5 8 1 6 2 2 0 9 5 9 1 . 3 3 64 5 9 . 7 4 1 6 8 2 0 2 5 4 3 8 . 3 7 64 9 4 . 5 7 8 4 4 2 4 0 1 2 2 4 . 3 4 34 8 1 3 . 9 9 8 4 2 3 0 4 6 7 1 . 9 2 45 4 1 6 . 4 7 8 6 2 9 1 6 8 8 9 . 8 4 45 2 0 . 3 1 8 5 3 1 2 7 0 4 1 6 . 5 6 3 65 3 7 . 8 9 8 5 6 1 2 8 0 9 4 1 8 . 6 2 45 2 1 . 3 1 8 5 3 2 7 0 4 6 8 . 5 6 3 65 0 1 4 . 1 5 8 5 2 5 0 0 7 0 7 . 9 2 35 0 5 . 8 4 1 5 3 2 5 0 0 2 9 2 . 0 7 75 2 1 3 . 6 8 1 5 2 7 0 4 7 1 1 . 4 3 65 5 1 2 . 0 5 8 6 3 0 2 5 6 6 3 . 2 2 45 7 9 . 7 8 1 3 2 3 2 4 9 5 5 7 . 5 3 55 6 3 . 3 6 1 3 5 3 1 3 6 1 8 8 . 2 3 55 9 0 . 3 7 8 7 4 6 3 4 8 1 2 2 . 3 4 65 8 9 . 7 9 8 7 2 3 3 6 4 5 6 8 . 3 2 65 7 1 9 . 7 8 1 3 3 2 4 9 1 1 2 7 . 5 3

٣٥٦

14847.1 91629 339.822 2137

14847ex , 916292x

822.339e , 2137x

:حیث

nxx

nex

exb 2

21

54

213791629

54822.33921371.14847

2

,198172.02.7059

94.1398

nx

bn

|e|b i

1i

0

5741.39198172.029301.6 .54998.1

:وعلى ذلك معادلة االنحدار المقدرة سوف تكونx198172.054948.1s

.تمثل االنحرافات المعیاریةs حیث ھ السابقھ xiنعوض بقیمة yiواألن ألیجاد األنحراف المعیاري لكل مشاھده ي المعادل . ف

وزن اھده wiال ل مش ن yiلك وب م اري والمحس راف المعی ع األنح وس مرب و معك ھ . التالىجدول الالمعادلھ المقدره السابقھ والمعطى في

٣٥٧

ws1 2 s

0.14657 0.126617 0.0972512 0.110485 0.171608 0.171608 0.0972512 0.0692093 0.0862599 0.0567564 0.0862599 0.0625204 0.077032 0.0435472 0.040157 0.0473853 0.0371481 0.0401571 0.0517542 0.0473853 0.0279539 0.0299026 0.0279539 0.034465 0.0299026 0.0261896 0.0245873 0.0217942 0.0205728 0.0205728 0.0194513 0.0245837 0.0217942 0.0174669 0.015047 0.0174669 0.0174669 0.0165867 0.0165867 0.0184191 0.0150147

2.61214 2.81031 3.20666 3.00849 2.41397 2.41397 3.20666 3.80117 3.40483 4.19752 3.40483 3.99935 3.603

4.79204 4.99021 4.59386 5.18838 4.99021 4.39569 4.59386 5.98107 5.38655 5.7829 5.98107 5.38655 5.7829 6.17924 6.37741 6.77376 6.97193 6.97193 7.1701 6.37741 6.77376 7.56645 8.16097 7.56645 7.56645 7.76462 7.36828 8.16097

٣٥٨

0.0157714 0.0119395 0.0130449 0.0124738 0.0130449 0.0143112 0.0143112 0.0130449 0.0114387 0.0105273 0.0109688

0.00972062 0.0101119 0.0105273

7.96279 9.151839 8.75548 8.95365 8.75548 8.35914 8.35914 8.75548

9.35 9.74634 9.54817 10.1427 9.94452 9.74634

10اآلن نوجد تقدیرات للمعالم , كالتالي:

i

2ii

i2

i

i

iiiiiii

1

wwxwx

wwywxwyx

b

,596342.0

nwxb

nwyb ii

1ii

0

.5658.55

دم . رض الع ار ف H:0الختب 10 دیل رض الب د الف H:0ض 11 ب نحس

:حیثالتالى مجموع مربعات البواقي المرجحة من جدول تحلیل التباین 2

iii )yy(wSSE

= 76.5135,

٣٥٩

:مجموع المربعات الكلیة سوف تكون

iw

2iwiy

iw2iySYY

=159.854.

F MS SS df Source

56.64 - -

83.3408 1.47141

-

83.3408 76.5135 159.854

1 52 53

Regression Residual Total

ة ا أن قیم وبة Fبم ة (56.64)المحس ن قیم د ع ھ Fتزی الجدولی08.4]52,1[05.0F فإننا نرفض فرض العدمH0.

:الحزمة الجاھزةسوف یتم حل ھذا المثال وذلك باستخدام

Statistics LinearRegression


<<Statistics`LinearRegression` bpdata={{21,66},{22,63},{24,75},{23,70},{20,65},{20,70},{24,72},{27,73},{25,71},{29,79},{25,68},{28,67},{26,79},{32,76},{33,69},{31,80},{34,73},{33,76},{30,73},{31,66},{38,87},{37,78},{38,91},{35,79},{37,68},{39,75},{40,70},{42,72},{43,80},{43,75},{44,71},{40,90},{42,85},{46,89},{49,101},{46,83},{46,80},{47,96},{45,92},{49,80},{48,70},{54,71},{52,86},{53,79},{52,85},{50,71},{50,91},{52,100},{55,76},{57,99},{56,92},{59,90},{58,80},{57,109}}; ListPlot[bpdata,PlotRange->{{0,70},{0,120}}]

٣٦٠

Graphics rgbp=Regress[bpdata,{1,x},x,RegressionReport->BestFit] {BestFit56.1569 +0.580031 x} rs=Regress[bpdata,{1,x},x,RegressionReport->FitResiduals][[1,2]] {-2.33758,-5.91761,4.92233,0.502362,-2.75755,2.24245,1.92233,1.18224,0.342301,6.02218,-2.6577,-5.39779,7.76227,1.28209,-6.29795,5.86212,-2.87798,0.702054,-0.557853,-8.13788,8.8019,0.381931,12.8019,2.54199,-9.61807,-3.77813,-9.35816,-8.51822,-1.09825,-6.09825,-10.6783,10.6418,4.48178,6.16165,16.4216,0.161654,-2.83835,12.5816,9.74168,-4.57844,-13.9984,-16.4786,-0.318531,-7.89856,-1.31853,-14.1585,5.84153,13.6815,-12.0586,9.78132,3.36135,-0.378746,-9.79872,19.7813} ages=Transpose[bpdata][[1]]; respoints2=Table[{ages[[j]],rs[[j]]},{j,1,Length[ages]}] {{21,-2.33758},{22,-5.91761},{24,4.92233},{23,0.502362},{20,-2.75755},{20,2.24245},{24,1.92233},{27,1.18224},{25,0.342301},{29,6.02218},{25,-2.6577},{28,-5.39779},{26,7.76227},{32,1.28209},{33,-6.29795},{31,5.86212},{34,-2.87798},{33,0.702054},{30,-0.557853},{31,-8.13788},{38,8.8019},{37,0.381931},{38,12.8019},{35,2.54199},{37,-9.61807},{39,-3.77813},{40,-9.35816},{42,-8.51822},{43,-1.09825},{43,-6.09825},{44,-10.6783},{40,10.6418},{42,4.48178},{46,6.16165},{49,16.4216},{46,0.161654},{46,-2.83835},{47,12.5816},{45,9.74168},{49,-4.57844},{48,-13.9984},{54,-16.4786},{52,-0.318531},{53,-7.89856},{52,-1.31853},{50,-14.1585},{50,5.84153},{52,13.6815},{55,-12.0586},{57,9.78132},{56,3.36135},{59,-0.378746},{58,-9.79872},{57,19.7813}} ListPlot[respoints2,PlotRange->{{0,100},{-30,30}}]

10 20 30 40 50 60 70

20

40

60

80

100

120

٣٦١

Graphics sqres=Table[rs[[j]]^2,{j,1,Length[rs]}] {5.46426,35.0181,24.2293,0.252368,7.60406,5.0286,3.69536,1.39769,0.11717,36.2666,7.06337,29.1362,60.2528,1.64374,39.6641,34.3644,8.28275,0.49288,0.3112,66.2252,77.4734,0.145871,163.889,6.46173,92.5072,14.2743,87.5752,72.5601,1.20616,37.1887,114.026,113.249,20.0863,37.966,269.668,0.026132,8.05621,158.297,94.9004,20.9621,195.955,271.544,0.101462,62.3873,1.73852,200.462,34.1235,187.183,145.41,95.6741,11.2986,0.143449,96.0148,391.3} absres=Table[Abs[rs[[j]]],{j,1,Length[rs]}]; absrespoints=Table[{ages[[j]],absres[[j]]},{j,1,Length[ages]}]; absregress=Regress[absrespoints,{1,x},x,RegressionReport->BestFit] {BestFit-1.54948+0.198172 x} pred=absregress=Regress[absrespoints,{1,x},x,RegressionReport->PredictedResponse] {PredictedResponse{2.61214,2.81031,3.20666,3.00849,2.41397,2.41397,3.20666,3.80117,3.40483,4.19752,3.40483,3.99935,3.603,4.79204,4.99021,4.59386,5.18838,4.99021,4.39569,4.59386,5.98107,5.7829,5.98107,5.38655,5.7829,6.17924,6.37741,6.77376,6.97193,6.97193,7.1701,6.37741,6.77376,7.56645,8.16097,7.56645,7.56645,7.76462,7.36828,8.16097,7.96279,9.15183,8.75548,8.95365,8.75548,8.35914,8.35914,8.75548,9.35,9.74634,9.54817,10.1427,9.94452,9.74634}} f[x_]:=1/x^2 wghts1=Map[f,pred[[1,2]]] {0.146557,0.126617,0.0972512,0.110485,0.171608,0.171608,0.09

20 40 60 80 100

-30

-20

-10

10

20

30

٣٦٢

72512,0.0692093,0.0862599,0.0567564,0.0862599,0.0625204,0.077032,0.0435472,0.0401571,0.0473853,0.0371481,0.0401571,0.0517542,0.0473853,0.0279539,0.0299026,0.0279539,0.034465,0.0299026,0.0261896,0.0245873,0.0217942,0.0205728,0.0205728,0.0194513,0.0245873,0.0217942,0.0174669,0.0150147,0.0174669,0.0174669,0.0165867,0.0184191,0.0150147,0.0157714,0.0119395,0.0130449,0.0124738,0.0130449,0.0143112,0.0143112,0.0130449,0.0114387,0.0105273,0.0109688,0.00972062,0.0101119,0.0105273} rg1=Regress[bpdata,{1,x},x,Weights->wghts1,RegressionReport->{BestFit,ANOVATable}]


المدخالت : اوال bpdataالقائمة .الزواج قیم المتغیر المستقل والمتغیر التابع


معطى من االمر شكل االنتشارListPlot[bpdata,PlotRange->{{0,70},{0,120}}]

معادلة االنحدار المقدرة من االمر rgbp=Regress[bpdata,{1,x},x,RegressionReport->BestFit]

البواقى من االمر rs=Regress[bpdata,{1,x},x,RegressionReport-

>FitResiduals][[1,2]]

من االمر ixمقابل ieیوضح رسم البواقي [respoints2,PlotRange->{{0,100},{-30,30}}]

:معادلة االنحدار المقدرة x198172.054948.1s

من االمر absregress=Regress[absrespoints,{1,x},x,RegressionReport->BestFit]

نحصل علیھا من االمر تمثل االنحرافات المعیاریةوالتى s

BestFit55.56580.596342x,ANOVATable

DF SumOfSq MeanSq FRatio PValueModel 1 83.3408 83.3408 56.64 7.186811010

Error 52 76.5135 1.47141Total 53 159.854

٣٦٣

pred=absregress=Regress[absrespoints,{1,x},x,RegressionReport->PredictedResponse]

معطى من االمر yiلكل مشاھده wiالوزن wghts1=Map[f,pred[[1,2]]]

جدول تحلیل التباین من االمرrg1=Regress[bpdata,{1,x},x,Weights->wghts1,RegressionReport-

>{BestFit,ANOVATable}]

ستخدام طریقة المربعات الصغرى المرجحةحیث یحتوى الجدول على معادلة االنحدار القدرة با حیث تم استخدام الخیار Weights->wghts1 فى االمر السابق.

معامـل االرتبـاط الخطى البسیـط ) ١٦-٤(

The Simple Linear Correlation Coefficient

ك من المعلومات عن المتغیرات المستقلة ، في مشكلة االنحدار كان اھتمامنا بالتنبأ بمتغیر وذلر رین أو أكث ین متغی ة ب اس العالق ون في قی ا سوف یك إن اھتمامن اط ف كلة االرتب ي مش ا ف رة . بینم م

دار كلة االنح ي مش ة ف ت ثابت تقلة كان رات المس یم المتغی إن ق رى ف وف یختل.أخ عاآلن س . ف الوضوائیین رین عش ین متغی ة ب اس للعالق ھ مقی ى بأن اط الخط ل االرتب وسوف . X,Yسوف نعرف معام

. لھما توزیع احتمالي ثنائي X,Yسوف نفترض أن المتغیران . r نرمز لھ بالرمزة عشوائیة من أزواج المشاھدات ار عین اط الخطى نخت ل االرتب إذا ) . x , y( لحساب معام

اط كانت ى ارتب دل عل ذا ی ل موجب ، فھ ھ می وق وحول خط انحدار ل نقاط شكل االنتشار تتركز فرین ین المتغی وى ب ب ق ردي ( موج اط ط كل ) ارتب ي ش ح ف و موض ا ھ ن ) . a) (٦٠-٤( كم وم

دل ذا ی ل سالب فھ ھ می ناحیة أخرى ، إذا كانت نقاط شكل االنتشار تتركز فوق وحول خط انحدار لاط عكسي ( سالب بین المتغیرین على ارتباط قوى ي شكل ) ارتب ا ھو موضح ف ) b) (٦٠-٤( كم

ین ددیا ب ل ع اط یق إن االرتب دار ف ط االنح وق خ ول وف ار ح كل االنتش اط ش ار نق ا زاد انتش كلمي شكل ا ف ة عشوائیة كم ) c) ( ٦٠-٤( المتغیرین ، إذا كانت نقاط شكل االنتشار تنتشر بطریق

rفھذا یعنى أن 0 تنتج عدم وجود عالقة بین ونسX,Y . رین ین متغی ولما كان معامل االرتباط بrیعتبر مقیاس للعالقة الخطیھ بینھما وعلى ذلك فإن 0 ة ولیست قصور ي الخطی ى قصور ف تعن

ھ . في االرتباط ر خطی ال . على سبیل المثال قد تكون ھناك عالقة ولكنھا عالقة غی ى سبیل المث فعلرین إذا وجدت عالقة قویة م ین المتغی ة ب ي شكل X,Yن الدرجة الثانی ا ھوموضح ف ) ٦٠-٤(كم

)d ( فھذا یعنى أنr 0 .

٣٦٤

)٦٠- ٤(شكل

أو اختصارا معامل االرتباط أكثر ) معامل بیرسون لالرتباط ( یعتبر معامل االرتباط الخطى

.مقاییس االرتباط الخطى انتشارا :یتم حساب معامل االرتباط من المعادلة التالیة

SXY

SXX.SYY

.العینة في المجتمع rحیث

)٣٦-٤(مثال

: الحــل i in 16 , x 1.656 , y 170.6 ,

ز األوزون ین تركی ة ب ة العالق اس ( Ozone (X) لدراس ون ) PPMمق ز الكرب (Y)وتركیمقاس ( g / m3 ( تم الحصول على البیانات المعطاة في الجدول التالى:

0.100 0.057 0.186 0.162 0.050 0.120 0.088 0.066 x 11.8 2.5 15.4 13.8 6.3 9.5 11.6 4.6 y 0.110 0.071 0.140 0.111 0.074 0.154 0.055 0.112 x 13.0 2.8 17.9 9.2 16.6 20.6 7.0 8.0 y

.أوجد معامل االرتباط البسیط

i ii i

2 22 2i ii i

x yx ynr

( x ) ( y )x yn n

٣٦٥

2i i ix 0.196912 , x y 20.0397 ,

2iy 2253.56.

i ii i

x ySXY x yn

(1.656)(170.6)20.039716

= 2.3826, 2

2 ii

( x )SXX xn

2(1.656)0.196912 0.025516,16

2 22 ii

( y ) (170.6)SYY y 2253.56n 16

= 434.5375. :وعلى ذلك

SXY 2.3826r 0.716.SXX.SYY (0.025516)(434.5375)

ك ة وذل ھ العین رت من ذي اختب ع ال ع المجتم ى توزی ة عل م نضع فروض قوی ابقة ل في المناقشة الس

ة ة للمعلم دیر بنقط ى تق ول عل ع للحص اط المجتم ل ارتب ى معام ز إل ي ترم ى . والت ول عل للحص(1 )100% ة ة للمعلم رة ثق ص فت روض تخ ارات ف ة أو اختب رض أن العین ا نفت فإنن

ائي ي الثن ع الطبیع أي the bivarate normal distributionمأخوذة من مجتمع یتبع التوزیع الطبیعي Y , Xمتغیرین عشوائیین حیث دالة التوزیع الھامشیة لكل من X , Y أن ع التوزی تتب .

اختبارات فروض وفترات ثقة تخص

Tests Hypotheses and Confidence Intervals Concerning

دم رض الع ار ف 0Hالختب : 0 دیل رض الب د الف 1Hض : 0 دیل رض الب أو الف

1H : 0 1أو الفرض البدیلH : 0 وبافتراض صحة فرض العدم فإن:

2

r n 2t1 r

ة tلھ توزیع Tھي قیمة لمتغیر عشوائي 2nبدرجات حری . ة ك لمستوى معنوی ى ذل وعلدیل رض الب 1Hوللف : 0 ) انبین ار ذي ج ون ) اختب وف تك رفض س ة ال إن منطق ف

2/2/ tTortT ث ة t/2حی ي قیم ع tھ دول توزی ن ج تخرجة م ة tالمس درجات حری ب

٣٦٦

2n . 0للبدیل:H1 فإن منطقة الرفض tT دیل H1:0وللب رفض ة ال إن منطق ف tT .

)٧٣-٤(مثال

ائي الطبیعي ع الثن ع التوزی ع یتب أخوذة من مجتم ال السابق م ي المث ات ف وب . بفرض أن البیان المطلدم رض الع ار ف 0H: اختب : 0 دیل رض الب د الف 1Hض : 0 ة توى معنوی د مس ك عن وذل

0.01 .

: الحــل

2 2

r n 2 0.716 14t 3.84.1 r 1 (0.716)

t0.01= 2.624 ع دول توزی ن ج تخرجة م ق tوالمس ي ملح ة ) ٢(ف درجات حری nب 2 16 2 14 .

. H0تقع في منطقة الرفض ، نرفض tوبما أن . T > 2.624منطقة الرفض دم X,Yیقیس قوة االرتباط الخطى بین متغیرین وبما أن إن فرض الع في المجتمع ف

0H : 0 ي الم رین ف ین المتغی اط ب ود ارتب دم وج ى ع دل عل ع ی ات أن . جتم ن إثب یمك2 2

1t r n 2 / 1 r b / s /SXX افئین ارین متك ى أن االختب ذا یعن ك . وھ ى ذل وعلة االنحدار X , Yإذا كان االھتمام فقط بقیاس قوة العالقة بین متغیرین ى معادل ولیس الحصول عل

0Hالخطى فإن اختبار : 0 یكون اسھل من اختبارt ألنھ یتطلب كمیة قلیلة من الحسابات.

0 األسلوب المستخدم الختبار 0H : 0عندما 0 ل ي تحلی ال یكافئ أي طریقة مستخدمة ف

ة xn , yn),…,( x2 , y2) ,(x1 , y1)( بفرض أن أزواج المشاھدات . االنحدار ل عین تمثت ي وإذا كان ائي الطبیع ع الثن ع التوزی ع یتب ن مجتم أخوذة م وائیة م حة nعش افتراض ص رة وب كبی

:فرض العدم فإن 1 1 rv ln2 1 r

یتبع التوزیع الطبیعي بمتوسط Vھي قیمة لمتغیر عشوائي 0تقریباV

0

11 ln2 1

٣٦٧

2وتباین V

1n 3

:، وعلى ذلك فإن ، حیث التباین ال یعتمد على

0

0

11v ln2 1

z1/ n 3

.

یتبع التوزیع الطبیعي القیاسي Zھي قیمة لمتغیر عشوائي الجدول التالى یعطى الفروض . تقریبا

.ى معنویة البدیلة ومنطقة الرفض لكل فرض بدیل عند مستو

الفروض البدیلة منطقة الرفض

/ 2 / 2Z z or Z z . Z > z

Z < - z

01 :H 01 :H 01 :H

)٨٣-٤(مثال

:إذا كان لدیك البیانات التالیة

2i in 20 , y 690.30 , y 29040.29 ,

2i i i ix y 10818.56 , x 285.90 x 4409.55,

0.5 أختبر الفرض p 0.8 عند مستوى معنویة = 0.05 ؟

: الحــل :أي أننا نرغب في اختبار

0 1H : 0.5 , H : 0.5 , =0.05. rوحیث أن .733 فإن :

1 1 .733v ln .935,2 1 .733

V1 1 .5ln .549.2 1 .5

: وعلى ذلك فإن

0 01v ln (1 ) /(1 )2z

1/ n 3

(.935 .549) 17 1.59.

٣٦٨

z0.05= 1.645 ي ملحق ع الطبیعي القیاسي ف رفض ) . ١(والمستخرجة من جدول التوزی ة ال منطقZ > 1.645 . وبما أنz تقع في منطقة القبول نقبلH0 .

: من الصیغة التالیة فترة ثقة للمعلمة 100%(-1)یمكن الحصول على

1e1e

1e1e

2

2

1

1

c2

c2

c2

c2

/حیث أن 2 / 22 1

z zc v , c vn 3 n 3

: للبیانات في المثال السابق فإن r 0.733 , v 0.935 , n 20,

1c .935 1.96 / 17 .460,

2c .935 1.96 / 17 1.410 :كالتالي فترة ثقة للمعلمة %95تعویض في الصیغة التالیة یمكن الحصول على بال

2(.460) 2(1.410)

2(.460) 2(1.410)e 1 e 1e 1 e 1

:والتي تختزل إلى 0.43 < < 0.89

)٩٣-٤(مثال

: المطلوب

. فترة ثقة للمعلمة %90و 95% )١(

:للبیانات التالیة 0.240,0.254,0.249,0.245,0.250,0.252,0.254,0.270,0.274,0.264,0.280,0.266,0.268,0.286, Y 0.625,0.512,0.488,0.524,0.588,0.475,0.513,0.463,0.512,0.405,0.450,0.480,0.456,0.506.

٣٦٩

0H: اختبار فرض العدم) ٢( : 0 1ضد الفرض البدیلH : 0 ة وذلك عند مستوى معنوی

0.05 .

0H: اختبار فرض العدم) ٣( : 0 1ضد الفرض البدیلH : 0 ة وذلك عند مستوى معنوی0.05 .

دم) ٤( رض الع ار ف 0H: اختب : .5 دیل رض الب د الف 1Hض : .5 توى د مس ك عن وذل0.05معنویة .

وفیما یلى خطوات Mathematicaمكتوب بلغة جاھز سوف یتم حل ھذا المثال بإستخدام برنامج

.البرنامج والمخرجات Off[General::spell1] <<Statistics`MultiDescriptiveStatistics` <<Statistics`NormalDistribution` z[r_]:=0.5 Log[(1+r)/(1-r)] Options[singleCorrelationCI]={confidence->0.95}; singleCorrelationCI[data1_,data2_,opts___]:=Module[{c,alpha,r,n,zalpha,upperz,lowerz,upperr,lowerr}, c=confidence/. {opts} /. Options[singleCorrelationCI]; alpha=1-c; r=Correlation[data1,data2]; n=Length[data1]; zalpha=Quantile[NormalDistribution[0,1],1-alpha/2]; upperz=z[r]+zalpha/Sqrt[n-3]; lowerz=z[r]-zalpha/Sqrt[n-3]; upperr=Tanh[upperz]; lowerr=Tanh[lowerz]; {lowerr,upperr}] Off[General::spell1] <<Statistics`MultiDescriptiveStatistics` <<Statistics`NormalDistribution` z[r_]:=0.5 Log[(1+r)/(1-r)] equalZero[r_,p0_,n_,tail_]:=Module[{p,teststat}, teststat=r*Sqrt[(n-2)/(1-r^2)]; If[tail==1,p=1-CDF[StudentTDistribution[n-2],Abs[teststat]],p=2*(1-CDF[StudentTDistribution[n-2],Abs[teststat]])];

٣٧٠

Print["{Sample Correlation Coefficient -> ",r,","]; Print["Test Statistic -> ",teststat,","]; Print["Distribution -> StudentTDistribution[",n-2,"],"]; Print[tail,"-sided p-value -> ",p,"}"]] notEqualZero[r_,p0_,n_,tail_]:=Module[{p,teststat}, teststat=(z[r]-z[p0])Sqrt[n-3]//N; If[tail==1,p=1-CDF[NormalDistribution[0,1],Abs[teststat]],p=2*(1-CDF[NormalDistribution[0,1],Abs[teststat]])]; Print["{Sample Correlation Coefficient -> ",r,","]; Print["Test Statistic -> ",teststat,","]; Print["Distribution -> NormalDistribution[0,1],"]; Print[tail,"-sided p-value -> ",p,"}"]] Options[singleCorrelationTest]={rhoZero->0,sided->2}; singleCorrelationTest[data1_,data2_,opts___]:=Module[{n,p0,r,tail}, n=Length[data1]; r=Correlation[data1,data2]; p0=rhoZero/. {opts} /. Options[singleCorrelationTest]; tail=sided/. {opts} /. Options[singleCorrelationTest]; If[p0==0,equalZero[r,p0,n,tail],notEqualZero[r,p0,n,tail]]]; oppbavg={0.240,0.254,0.249,0.245,0.250,0.252,0.254,0.270,0.274,0.264,0.280,0.266,0.268,0.286}; winpct={0.625,0.512,0.488,0.524,0.588,0.475,0.513,0.463,0.512,0.405,0.450,0.480,0.456,0.506}; singleCorrelationCI[oppbavg,winpct] {-0.835107,-0.0228726} singleCorrelationCI[oppbavg,winpct,confidence->0.90] {-0.803981,-0.117343} singleCorrelationTest[oppbavg,winpct] {Sample Correlation Coefficient -> -0.546816 , Test Statistic -> -2.26243 , Distribution -> StudentTDistribution[ 12 ], 2 -sided p-value -> 0.0430218 } singleCorrelationTest[oppbavg,winpct,sided->1] {Sample Correlation Coefficient -> -0.546816 , Test Statistic -> -2.26243 , Distribution -> StudentTDistribution[ 12 ], 1 -sided p-value -> 0.0215109 }

٣٧١

singleCorrelationTest[oppbavg,winpct,rhoZero->-0.5] {Sample Correlation Coefficient -> -0.546816 , Test Statistic -> -0.213995 , Distribution -> NormalDistribution[0,1],

2 -sided p-value -> 0.830551 }


المدخالت : اوال oppbavgالقائمة لقیم المتغیر المستقل و winpct .لقیم المتغیر التابع

المخرجات : ثانیا االمریین التالیین مع المخرج لكل امر من) ١(المطلوب

singleCorrelationCI[oppbavg,winpct] {-0.835107,-0.0228726} singleCorrelationCI[oppbavg,winpct,confidence->0.90] {-0.803981,-0.117343}

مع المخرج التالىمن االمر ) ٢(والمطلوب singleCorrelationTest[oppbavg,winpct] {Sample Correlation Coefficient -> -0.546816 , Test Statistic -> -2.26243 ,

Distribution -> StudentTDistribution[ 12 ], 2 -sided p-value -> 0.0430218 }

وبما ان p-value -> 0.0430218 }

1Hفھذا یعنى قبول فرض البدیل : 0

المخرجمن االمر التالى مع ) ٣(والمطلوب singleCorrelationTest[oppbavg,winpct,sided->1]

{Sample Correlation Coefficient -> -0.546816 , Test Statistic -> -2.26243 ,

Distribution -> StudentTDistribution[ 12 ], 1 -sided p-value -> 0.0215109 }


1Hقبول فرض البدیل فھذا یعنى : 0 1ولیسH : 0 الن قیمة االحصاء سالبة.

من االمر التالى مع المخرج) ٤(والمطلوب

singleCorrelationTest[oppbavg,winpct,rhoZero->-0.5] {Sample Correlation Coefficient -> -0.546816 , Test Statistic -> -0.213995 ,

٣٧٢

Distribution -> NormalDistribution[0,1], 2 -sided p-value -> 0.830551 }


1Hفھذا یعنى قبول فرض : .5

)٤٠-٤(مثال

بإستخدام برنامج مكتوب بلغة السابق مثاللل ایجاد معامل االرتباط الخطى البسیطسوف یتم Mathematica والمخرجات وفیما یلى خطوات البرنامج.

oppbavg={0.240,0.254,0.249,0.245,0.250,0.252,0.254,0.270,0.274,0.264,0.280,0.266,0.268,0.286}; winpct={0.625,0.512,0.488,0.524,0.588,0.475,0.513,0.463,0.512,0.405,0.450,0.480,0.456,0.506}; l[x_]:=Length[x] h[x_]:=Apply[Plus,x] c[x_,y_]:=h[x*y]-((h[x]*h[y]))/l[x] ss1=c[oppbavg,winpct] -0.00545343 ss2=c[oppbavg,oppbavg] 0.00245971 ss3=c[winpct,winpct] 0.0404364

-0.546816

نحصل علیھ من االمر معامل االرتباط البسیطلھذا المثال فإن

rss1

ss2ss3

rss1

ss2ss3

٣٧٣

فصل الخامسفصل الخامسالال

نمازج االنحدار الخطى المتعدد و نمازج االنحدار نمازج االنحدار الخطى المتعدد و نمازج االنحدار من الدرجة الثانیة من الدرجة الثانیة والنمازج الغیر خطیةوالنمازج الغیر خطیة

٣٧٤

Linear Multiple Regression االنحدار الخطى المتعدد ) ١-٥(

ا ل فیھ دة یمث یة معق في الغالب تكون العالقات الفعلیة سواء االقتصادیة أو االجتماعیة أو السیاسي مجال ك ف ى ذل دة عل ة العدی یة المستقلة ومن األمثل متغیر واحد تابع وعدد من المتغیرات األساس

ا عالوة ع لعة ذاتھ أثر بسعر الس ا تت لعة م لع االقتصاد نجد أن الكمیة المستھلكة من س ى أسعار الس لتھلك ى ذوق المس افة إل ا باإلض ة وأیض ال . البدیل ي الم ل ورأس أثر بالعم اج تت ة اإلنت ذلك كمی ك

أمیني . والموارد الوسیطیة وغیرھا من عناصر العملیة اإلنتاجیة وفي مجال التأمین یتوقف القسط الت .على عمر المؤمن ودخلھ وقیمة الوثیقة وطول فترات التأمین

Least Square Method المربعات الصغرىطریقة ة من المشاھدات ى فئ اد عل ابع باالعتم ر ت ة متغی أ بقیم اآلن سوف نتناول مشكلة التقدیر والتنب

تقلة رات مس دة متغی أخوذة من ع یط ، . X1, X2, …,Xpالم دار الخطي البس ة االنح ي حال ا ف كمة عشوائیة . سطة الباحث سوف تظل ثابتة القیمة لكل متغیر مستقل والمختارة بوا ار عین إذا تم اختی

: من المجتمع فإن بیانات العینة سوف تكون على الشكل nمن الحجم 1i 2i pi i{x ,x ,...,x ;y );i 1,2,...,n

ة رى القیم رة أخ وائي yiم ر عش ة لمتغی ل قیم دد . Yiتمث ي المتع دار الخط وذج االنح نم :النظري سوف یكون على الشكل

1 2 p 0 1 1 2 2 p pY|x ,x ,...,x x x ... x ,

ث أن 0حی 1 p, ,..., دیرھا وب تق الم المطل ل المع در . تمث دد المق ي المتع دار الخط وذج االنح نم :سوف یكون على الشكل

0 1 1 p py b b x ... b x ,

ث أن الم b0, b1, ….bpحی ا للمع ول علیھ وب الحص دیرات المطل 0التق 1 p, ,..., . ى ة ف حال . X1 , X2 (p=2)وجود متغیرین مستقلین

:ونموذج االنحدار الخطي المقدر سوف یكون على الشكل

0 1 1 2 2y b b x b x ,

ات الصغرى الحصول على معرفتنا لنظریة المصفوفات سوف یساعدنا في ,b0, b1تقدیرات المربع

b2. النتائج یمكن تعمیمھا إلى عدة متغیرات مستقلة. : ویمكن حل المثال بإستخدام المصفوفات كما ھو موضح في المثال التالي

٣٧٥

)١-٥(مثال

: الحــل إلیجاد معادلة اإلنحدار المقدرة

.0 1 1 2 2y b b x b x ,

:یكونان على الشكل التالي yوالمتجھ Xفإن المصفوفة السابقجدول الوبإستخدام البیانات في

إستخدم البیانات في . 2xوكمیة السماد المستخدم 1xیتأثر محصول الفراولة بكمیة األمطارلتوفیق معادلة إنحدار خطي متعدد بإستخدام كمیة األمطار وكمیة السماد التالىجدول ال

.كمتغیرات مستقلة 2x y 1x

16 510 100022 450 45023 500 120013 425 70017 450 80025 475 110018 515 105020 500 115021 490 100019 510 95022. 525 1300.

٣٧٦

1 16 510 10001 22 450 4501 23 500 12001 13 425 7001 17 450 800

X 1 25 475 , y 11001 18 515 10501 20 500 11501 21 490 10001 19 510 9501 22 525 1300

:ستكون على الشكل التالي XXالمصفوفة

6

1 16 5101 1 1 10700

1 22 450X X 16 22 22 , X 'y 213250

510 450 525 5.26525 101 22 525

:تقدیرات المربعات الصغرى سوف نحصل علیھا كالتالي. 1b X X X y

:أي1

0

16 6

2

b 11 216 5350 10700b 216 4362 105410 213250b 5350 105410 2.6124 10 5.26525 10

6

23.0157 0.0271387 0.0460394 10700 1928.240.0271387 0.00922992 0.000316848 213250 9.612210.0460394 0.000316848 0.000107453 5.576535026525 10

:معادلة اإلنحدار المتعدد المقدرة سوف تكون على الشكلوعلى ذلك

٣٧٧

.1 2y 1928.24 9.61221x 5.57653x :eوالبواقى yوالقیم المقدرة yیعطى الجدول التالى المشاھدات

yye y y


p=2 2 y={1000,450,1200,700,800,1100,1050,1150,1000,950,1300.} {1000,450,1200,700,800,1100,1050,1150,1000,950,1300.} x1={16,22,23,13,17,25,18,20,21,19,22.} {16,22,23,13,17,25,18,20,21,19,22.} x2={510,450,500,425,450,475,515,500,490,510,525} {510,450,500,425,450,475,515,500,490,510,525} ss=Transpose[{x1,x2,y}] {{16,510,1000},{22,450,450},{23,500,1200},{13,425,700},{17,450,800},{25,475,1100},{18,515,1050},{20,500,1150},{21,490,1000},{19,510,950},{22.,525,1300.}} TableForm[ss]

1000 1069.58 69.5826450 792.664 342.6641200 1081.1 118.897700 566.741 133.259800 744.603 55.39671100 960.914 139.0861050 1116.69 66.68961150 1052.27 97.73381000 1006.11 6.1131950 1098.42 148.4191300. 1210.9 89.0963

٣٧٨

l[x_]:=Length[x] xx=Table[{1,x1[[i]],x2[[i]]},{i,1,l[x1]}] {{1,16,510},{1,22,450},{1,23,500},{1,13,425},{1,17,450},{1,25,475},{1,18,515},{1,20,500},{1,21,490},{1,19,510},{1,22.,525}} xpr=Transpose[xx] {{1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1},{16,22,23,13,17,25,18,20,21,19,22.},{510,450,500,425,450,475,515,500,490,510,525}} w=xpr.xx

v=Inverse[w] {{23.0157,-0.0271387,-0.0460394},{-0.0271387,0.00922992,-0.000316848},{-0.0460394,-0.000316848,0.000107453}} xpy=xpr.y

bb=v.xpy {-1928.24,9.61221,5.57653} yy =bb[[1]]+bb[[2]]*x1+bb[[3]]*x2 {1069.58,792.664,1081.1,566.741,744.603,960.914,1116.69,1052.27,1006.11,1098.42,1210.9} e=y-yy {-69.5826,-342.664,118.897,133.259,55.3967,139.086,-66.6896,97.7338,-6.1131,-148.419,89.0963} ss22=Transpose[{y,yy,e}] {{1000,1069.58,-69.5826},{450,792.664,-342.664},{1200,1081.1,118.897},{700,566.741,133.259},{800,744.603,55.3967},{1100,960.914,139.086},{1050,1116.69,-66.6896},{1150,1052.27,97.7338},{1000,1006.11,-6.1131},{950,1098.42,-148.419},{1300.,1210.9,89.0963}} TableForm[ss22]

16 510 100022 450 45023 500 120013 425 70017 450 80025 475 110018 515 105020 500 115021 490 100019 510 95022. 525 1300.

11., 216., 5350., 216., 4362., 105410., 5350., 105410., 2.6124106

10700., 213250., 5.26525106

٣٧٩


المدخالت : اوال عدد المتغیرات من االمر

p=2 x1والقائمة المسماه القائمة المسماه لقیم المتغیر المستقل االول و x2 لقیم المتغیر المستقل الثانى والقائمة y المسمى

.لقیم المتغیر التابع المخرجات : ثانیا

:معادلة اإلنحدار المتعدد المقدرة

.1 2y 1928.24 9.61221x 5.57653x

والمخرج ھو bbنحصل علیھا من االمر {-1928.24,9.61221,5.57653}

: والجدول السابق نحصل علیھ من االمر

TableForm[ss22] Determinationoefficient of Multipleمعامل التحدید المتعدد) ٢-٥(

:ھو R2معامل التحدید المتعدد ، یرمز لھ بالرمز 2 SSR SSER 1

SSTO SSTO .

إن د البسیط R2في حالة وجود متغیر مستقل واحد ف ة . r2یصبح معامل التحدی راوح قیم من R2یت :الصفر إلى الواحد الصحیح ، أي أن

0 < R2 < 1 دما b1 = b2 = 0فھذا یعنى أن R2 = 0عندما یم المشاھدة R2 = 1وعن ع الق ى أن جمی ذا یعن yiفھ

.تقع على المستوى المقدر : ویمكن حل المثال بإستخدام المصفوفات كما ھو موضح في المثال التالي

1000 1069.58 69.5826450 792.664 342.6641200 1081.1 118.897700 566.741 133.259800 744.603 55.39671100 960.914 139.0861050 1116.69 66.68961150 1052.27 97.73381000 1006.11 6.1131950 1098.42 148.4191300. 1210.9 89.0963

٣٨٠

)٢-٥(مثال

)١-٥(للمثال : فإن معامل قیمة معامل التحدید تحسب كالتالي

2j( y )

SYY y yn

2(10700)1100000011

591818 , 2

j( y )SSR b X'y

n

10779427.8 10408181.8 371246 ,

SSE y y b X'y SYY SSR

591818 371246 220572 .

:التالى جدول الجدول تحلیل التباین معطى في

F MS SS df S.O.V 6.73243

- -

185623 27571.5

-

371246 220572 591818

2 8 10

اإلنحدار الخطأ الكلي

2 SSR 371246R .627.

SYY 591818

وایضا 2Rالیجاد قیمة Mathematicaسوف یتم حل ھذا المثال بإستخدام برنامج مكتوب بلغة

i 0,iالجراء اختبارات تخص 0,1,2 وفیما یلى خطوا البرنامج والمخرجات .

=.05 0.05 p=2 2 y={1000.,450,1200,700,800,1100,1050,1150,1000,950,1300.} {1000.,450,1200,700,800,1100,1050,1150,1000,950,1300.}

٣٨١

x1={16,22.,23,13,17,25,18,20,21,19,22.} {16,22.,23,13,17,25,18,20,21,19,22.} x2={510,450,500,425,450,475,515,500,490,510,525} {510,450,500,425,450,475,515,500,490,510,525} ss=Transpose[{x1,x2,y}] {{16,510,1000.},{22.,450,450},{23,500,1200},{13,425,700},{17,450,800},{25,475,1100},{18,515,1050},{20,500,1150},{21,490,1000},{19,510,950},{22.,525,1300.}} TableForm[ss]

l[x_]:=Length[x] xx=Table[{1,x1[[i]],x2[[i]]},{i,1,l[x1]}] {{1,16,510},{1,22.,450},{1,23,500},{1,13,425},{1,17,450},{1,25,475},{1,18,515},{1,20,500},{1,21,490},{1,19,510},{1,22.,525}} xpr=Transpose[xx] {{1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1},{16,22.,23,13,17,25,18,20,21,19,22.},{510,450,500,425,450,475,515,500,490,510,525}} w=xpr.xx

v=Inverse[w] {{23.0157,-0.0271387,-0.0460394},{-0.0271387,0.00922992,-0.000316848},{-0.0460394,-0.000316848,0.000107453}} xpy=xpr.y

bb=v.xpy {-1928.24,9.61221,5.57653} yy =bb[[1]]+bb[[2]]*x1+bb[[3]]*x2

16 510 1000.22. 450 45023 500 120013 425 70017 450 80025 475 110018 515 105020 500 115021 490 100019 510 95022. 525 1300.

11., 216., 5350., 216., 4362., 105410.,5350., 105410., 2.6124106

10700., 213250., 5.26525106

٣٨٢

{1069.58,792.664,1081.1,566.741,744.603,960.914,1116.69,1052.27,1006.11,1098.42,1210.9} e=y-yy {-69.5826,-342.664,118.897,133.259,55.3967,139.086,-66.6896,97.7338,-6.1131,-148.419,89.0963} ss22=Transpose[{y,yy,e}] {{1000.,1069.58,-69.5826},{450,792.664,-342.664},{1200,1081.1,118.897},{700,566.741,133.259},{800,744.603,55.3967},{1100,960.914,139.086},{1050,1116.69,-66.6896},{1150,1052.27,97.7338},{1000,1006.11,-6.1131},{950,1098.42,-148.419},{1300.,1210.9,89.0963}} TableForm[ss22]

err=e.e 220572. h[x_]:=Apply[Plus,x] c[x_]:=h[x^2]-(h[x]^2)/l[x] ssto=c[y] 591818. ssr=ssto-err 371246. mssr=ssr/p 185623. dfr=(l[x1]-p-1) 8 mmerr=err/dfr 27571.5 f=mssr/mmerr 6.73243 th=TableHeadings->{{source,regression,residual, Total},{anova}} TableHeadings{{source,regression,residual,Total},{anova}} rt1=List["df","SS","MS","F"] {df,SS,MS,F}

1000. 1069.58 69.5826450 792.664 342.6641200 1081.1 118.897700 566.741 133.259800 744.603 55.39671100 960.914 139.0861050 1116.69 66.68961150 1052.27 97.73381000 1006.11 6.1131950 1098.42 148.4191300. 1210.9 89.0963

٣٨٣

rt2=List[p,ssr,mssr,f] rt3=List[dfr,err,mmerr,"--"] rt4=List[l[x1]-1,ssto,"--","--"] tf=TableForm[{rt1,rt2,rt3,rt4},th] {2,371246.,185623.,6.73243} {8,220572.,27571.5,--} {10,591818.,--,--}

R2=ssr/ssto 0.627298 errorm=mmerr*v {{634577.,-748.255,-1269.37},{-748.255,254.483,-8.73597},{-1269.37,-8.73597,2.96263}} ggg[x_]:=Sqrt[x] nn=Map[ggg,errorm] {{796.604,0. +27.3542 ,0. +35.6283 },{0. +27.3542 ,15.9525,0. +2.95567 },{0. +35.6283 ,0. +2.95567 ,1.72123}} standbo=nn[[1,1]] 796.604 standb1=nn[[2,2]] 15.9525 standb3=nn[[3,3]] 1.72123 t11=bb[[1]]/standbo -2.42058 t22=bb[[2]]/standb1 0.602551 t33=bb[[3]]/standb3 3.23985 <<Statistics`ContinuousDistributions` TT=Quantile[StudentTDistribution[l[x1]-p-1],1-(/2)] 2.306 ww=bb[[1]]+TT*standbo -91.2698 uu=bb[[1]]-TT*standbo -3765.21 jj=bb[[2]]+TT*standb1 46.3988 qq=bb[[2]]-TT*standb1 -27.1744 aa=bb[[3]]+TT*standb3

anovasource df SS MS Fregression 2 371246. 185623. 6.73243residual 8 220572. 27571.5

Total 10 591818.

٣٨٤

9.54569 pp=bb[[3]]-TT*standb3 1.60736 ffee=Quantile[FRatioDistribution[p,l[x1]-p-1],1-] 4.45897 If[f>=ffee,Print["Reject Ho"],Print["Accept Ho"]] Reject Ho If[Abs[t11]>=TT,Print["Reject Ho"],Print["Accept Ho"]] Reject Ho If[Abs[t22]>=TT,Print["Reject Ho"],Print["Accept Ho"]] Accept Ho If[Abs[t33]>=TT,Print["Reject Ho"],Print["Accept Ho"]] Reject Ho

ر ة من االم 05.مستوى المعنوی المصفوفة و 1X X ا من االمر 2Rایضا. vنحصل علیھ نحصل علیھا من االمر

R2=ssr/ssto والمخرج ھو 0.627298

مصفوفة التغایر والتباین 12s X X نحصل علیھا من االمر errorm=mmerr*v

0أي اختبار فرض العدم االنحدار تالختبار معنویة معامال 1 2H : 0 دیل رض الب د الف ن ض ل م ى االق د عل i 0,iان واح 1,2 . ل دول تحلی ى ج ل عل نحص

التباین من االمر tf=TableForm[{rt1,rt2,rt3,rt4},th]

f المحسوبة من االمر f=mssr/mmerr

f الجدولیة من االمر ffee=Quantile[FRatioDistribution[p,l[x1]-p-1],1-]

القرار الذي یتخذ من االمر If[f>=ffee,Print["Reject Ho"],Print["Accept Ho"]]

والمخرج ھو Reject Ho

ختبار فرض العدمال .اى رفض فرض العدم

0 0H : 0 ضد الفرض البدیل

1 0H : 0

القرار الذي یتخذ من االمر If[Abs[t11]>=TT,Print["Reject Ho"],Print["Accept Ho"]]

والمخرج ھو

٣٨٥

Reject Ho ختبار فرض العدمال .اى رفض فرض العدم


1 1H : 0


والمخرج ھو Accept Ho

ختبار فرض العدمال .اى قبول فرض العدم0 2H : 0

ضد الفرض البدیل

1 2H : 0



.اى رفض فرض العدم من االمریین التالیین 0فترة ثقة ل 95%

ww=bb[[1]]+TT*standbo uu=bb[[1]]-TT*standbo

من االمریین التالیین 1فترة ثقة ل 95%jj=bb[[2]]+TT*standb1 qq=bb[[2]]-TT*standb1

من االمریین التالیین 2فترة ثقة ل 95%aa=bb[[3]]+TT*standb3 pp=bb[[3]]-TT*standb3

)٣-٥(مثال

٣٨٦

:الحل وذلك باستخدام الحزمة Mathematicaسوف یتم حل ھذا المثال بإستخدام برنامج مكتوب بلغة

الجاھزةStatistics`LinearRegression`

.وفیما یلى خطوات البرنامج والمخرجات <<Statistics`LinearRegression` teamera={3.33,3.51,3.55,3.65,3.80,4.20,4.22,4.27,4.31,4.48,4.53,4.55,4.62,5.86}; ownbavg={0.276,0.249,0.249,0.260,0.271,0.241,0.269,0.264,0.270,0.240,0.259,0.252,0.258,0.293}; oppbavg={0.240,0.254,0.249,0.245,0.250,0.252,0.254,0.270,0.274,0.264,0.280,0.266,0.268,0.286}; winpct={0.625,0.512,0.488,0.524,0.588,0.475,0.513,0.463,0.512,0.405,0.450,0.480,0.456,0.506}; Clear[dpoints] dpoints=Table[{teamera[[i]],ownbavg[[i]],oppbavg[[i]],winpct[[i]]},{i,1,Length[winpct]}] {{3.33,0.276,0.24,0.625},{3.51,0.249,0.254,0.512},{3.55,0.249,0.249,0.488},{3.65,0.26,0.245,0.524},{3.8,0.271,0.25,0.588},{4.2,0.241,0.252,0.475},{4.22,0.269,0.254,0.513},{4.27,0.264,0.27,0.463},{4.31,0.27,0.274,0.512},{4.48,0.24,0.264,0.405},{4.53,0.259,0.28,0.45},{4.55,0.252,0.266,0.48},{4.62,0.258,0.268,0.456},{5.86,0.293,0.286,0.506}} ListPlot[Transpose[{teamera,winpct}],Prolog->{PointSize[0.02]},AxesOrigin->{Min[teamera],Min[winpct]},PlotLabel->"Team ERA vs. Winning Percentage"]

لتوفیق معادلة إنحدار خطي متعدد التالیةإستخدم البیانات X1={3.33,3.51,3.55,3.65,3.80,4.20,4.22,4.27,4.31,4.48,4.53,4.55,4.62,5.86}; X2={0.276,0.249,0.249,0.260,0.271,0.241,0.269,0.264,0.270,0.240,0.259,0.252,0.258,0.293}; X3={0.240,0.254,0.249,0.245,0.250,0.252,0.254,0.270,0.274,0.264,0.280,0.266,0.268,0.286}; y={0.625,0.512,0.488,0.524,0.588,0.475,0.513,0.463,0.512,0.405,0.450,0.480,0.456,0.506};

٣٨٧

Graphics ListPlot[Transpose[{ownbavg,winpct}],Prolog->{PointSize[0.02]},AxesOrigin->{Min[ownbavg],Min[winpct]},PlotLabel->"Own Batting Average vs. Winning Percentage"]

Graphics ListPlot[Transpose[{oppbavg,winpct}],Prolog->{PointSize[0.02]},AxesOrigin->{Min[oppbavg],Min[winpct]},PlotLabel->"Opponent Batting Average vs. Winning Percentage"]

3.5 4 4.5 5 5.50.4

0.45

0.5

0.55

0.6

Team ERA vs. Winning Percentage

0.25 0.26 0.27 0.28 0.290.4

0.45

0.5

0.55

0.6

Own Batting Average vs. Winning Percentage

٣٨٨

Graphics Regress[dpoints,{1,x1,x2,x3},{x1,x2,x3},RegressionReport->BestFit] {BestFit0.302668 -0.0303858 x1+3.16123 x2-1.91482 x3} Fit[dpoints,{1,x1,x2,x3},{x1,x2,x3}] 0.302668 -0.0303858 x1+3.16123 x2-1.91482 x3 Regress[dpoints,{1,x1,x2,x3},{x1,x2,x3}]

Regress[dpoints,{1,x1,x2,x3,x1 x2,x2 x3,x1 x3},{x1,x2,x3}]

0.25 0.26 0.27 0.280.4

0.45

0.5

0.55

0.6

Opponent Batting Average vs. Winning Percentage

ParameterTable

Estimate SE TStat PValue1 0.302668 0.196793 1.538 0.155066x1 0.0303858 0.0190012 1.59915 0.14087x2 3.16123 0.442659 7.14147 0.0000313646x3 1.91482 0.864137 2.21587 0.0510505

, RSquared 0.885111,

AdjustedRSquared 0.850644,

EstimatedVariance 0.00046457, ANOVATable


٣٨٩

cov=Regress[dpoints,{1,x1,x2,x3,x1 x2,x2 x3,x1 x3},{x1,x2,x3},RegressionReport->CovarianceMatrix]

corr=Regress[dpoints,{1,x1,x2,x3,x1 x2,x2 x3,x1 x3},{x1,x2,x3},RegressionReport->CorrelationMatrix]; corr[[1,2]]

corrmat=corr[[1,2,1]] {{1.,0.772577,-0.976785,-0.992006,-0.911457,0.985224,0.436877},{0.772577,1.,-0.84623,-0.806985,-0.806625,0.867621,-0.0482087},{-0.976785,-0.84623,1.,0.961426,0.855696,-0.987375,-0.235956},{-0.992006,-0.806985,0.961426,1.,0.955271,-0.988351,-0.466086},{-0.911457,-0.806625,0.855696,0.955271,1.,-0.926149,-0.550177},{0.985224,0.867621,-0.987375,-0.988351,-0.926149,1.,0.328687},{0.436877,-0.0482087,-0.235956,-0.466086,-0.550177,0.328687,1.}} corrmat[[1,3]] -0.976785

ParameterTable

Estimate SE TStat PValue1 4.3393 6.70683 0.646997 0.538264x1 0.146461 0.528633 0.277055 0.789741x2 8.45276 23.6866 0.356858 0.731713x3 24.2133 35.3193 0.685554 0.515049x1x2 1.64926 2.42043 0.68139 0.517525x2x3 70.7988 126.636 0.559074 0.593538x1x3 0.959189 1.41262 0.679013 0.518942

,RSquared 0.894145,


EstimatedVariance 0.000611483,ANOVATable


CovarianceMatrix

44.9816 2.73914 155.174 234.987 14.7961 836.777 4.139072.73914 0.279453 10.5961 15.0672 1.03209 58.082 0.0360002155.174 10.5961 561.055 804.323 49.0586 2961.71 7.89514234.987 15.0672 804.323 1247.45 81.6642 4420.59 23.254314.7961 1.03209 49.0586 81.6642 5.8585 283.878 1.88114836.777 58.082 2961.71 4420.59 283.878 16036.7 58.79844.13907 0.0360002 7.89514 23.2543 1.88114 58.7984 1.9955

1. 0.772577 0.976785 0.992006 0.911457 0.985224 0.4368770.772577 1. 0.84623 0.806985 0.806625 0.867621 0.04820870.976785 0.84623 1. 0.961426 0.855696 0.987375 0.2359560.992006 0.806985 0.961426 1. 0.955271 0.988351 0.4660860.911457 0.806625 0.855696 0.955271 1. 0.926149 0.5501770.985224 0.867621 0.987375 0.988351 0.926149 1. 0.3286870.436877 0.0482087 0.235956 0.466086 0.550177 0.328687 1.

٣٩٠


teameraالقائمة المسماه القائمة المسماه لقیم المتغیر المستقل االول و ownbavg ستقل الثانى ولقیم المتغیر الم oppbavgالقائمة المسماه لقیم المتغیر المستقل الثالث والقائمة .لقیم المتغیر التابع winpct المسماه

المخرجات: ثانیا شكل االنتشار بین المتغیر المستقل االول والمتغیر التابع تعطى من االمر

ListPlot[Transpose[{teamera,winpct}],Prolog->{PointSize[0.02]},AxesOrigin->{Min[teamera],Min[winpct]},PlotLabel->"Team ERA vs. Winning Percentage"]

شكل االنتشار بین المتغیر المستقل الثانى والمتغیر التابع تعطى من االمر ListPlot[Transpose[{ownbavg,winpct}],Prolog->{PointSize[0.02]},AxesOrigin->{Min[ownbavg],Min[winpct]},PlotLabel->"Own Batting Average vs. Winning Percentage"]

شكل االنتشار بین المتغیر المستقل الثالث والمتغیر التابع تعطى من االمر

ListPlot[Transpose[{oppbavg,winpct}],Prolog->{PointSize[0.02]},AxesOrigin->{Min[oppbavg],Min[winpct]},PlotLabel->"Opponent Batting Average vs. Winning Percentage"]

:معادلة اإلنحدار المتعدد المقدرة سوف تكون على الشكل .

1 2 3y .302668 .0303858x 3.16123x 1.91482x ونحصل علیھا من االمر

Regress[dpoints,{1,x1,x2,x3},{x1,x2,x3},RegressionReport->BestFit]

والمخرج ھو{BestFit0.302668 -0.0303858 x1+3.16123 x2-1.91482 x3}

او من االمر Fit[dpoints,{1,x1,x2,x3},{x1,x2,x3}]

:والمخرج ھو 0.302668 -0.0303858 x1+3.16123 x2-1.91482 x3

من االمر

Regress[dpoints,{1,x1,x2,x3},{x1,x2,x3}]

:التالىنحصل على الجدول

٣٩١

0أي اختبار فرض العدم االنحدار تالختبار معنویة معامال 1 2 3H : 0

دیل رض الب د الف ن ض ل م ى االق د عل i 0,iان واح 1,2,3 ل دول تحلی ى ج ل عل نحصابق این الس ث التب ة حی وبةال fقیم ى محس ة 25.6801 ھ ا ا ن قیم نp وبم ل م 01.اق ا فإنن

دل .نرفض فرض العدم ى ان ) 850644.(قیمة معامل التحدید المع ى تعن ى %85والت ر ف من التغیرات المستقلةالتابع المتغیر ة .یعود الى المتغی ة نجد ان قیم 0000313646ایضا من جدول المعلم

=p للمتغیرx2 والتى تعنى معنویة ھذا المتغیر. 1تحت فرض متغیرات جدیدة مثل 2 1 3 2 3x x ,x x ,x x وباستخدام االمر

Regress[dpoints,{1,x1,x2,x3,x1 x2,x2 x3,x1 x3},{x1,x2,x3}] :نحصل على الجدول التالى

ى االقل من ضد الفرض البدیل الختبار فرض العدم ,i 0ان واحد عل i 1,2,...7 نحصل

دول ابقعلى ج این الس ل التب ث تحلی ة حی ة fقیم ة .9.85473ھى الجدولی ا ان قیم ل منp وبم اق.01 دم رض الع رفض ف ا ن دل .فإنن د المع ل التحدی ة معام ى ان ) 803413.(قیم ى تعن والت

رات المستقلة التابعمن التغیر فى المتغیر 80.3% ى المتغی د ان .یعود ال الم نج ایضا من جدول المع . غیر معنویة لجمیع المتغیرات pقیمة

مصفوفة التغایر والتباین نحصل علیھا من االمر cov=Regress[dpoints,{1,x1,x2,x3,x1 x2,x2 x3,x1 x3},{x1,x2,x3},RegressionReport->CovarianceMatrix]

:والمخرج ھو

ParameterTable

Estimate SE TStat PValue1 0.302668 0.196793 1.538 0.155066x1 0.0303858 0.0190012 1.59915 0.14087x2 3.16123 0.442659 7.14147 0.0000313646x3 1.91482 0.864137 2.21587 0.0510505



EstimatedVariance 0.00046457,ANOVATable


ParameterTable

Estimate SE TStat PValue1 4.3393 6.70683 0.646997 0.538264x1 0.146461 0.528633 0.277055 0.789741x2 8.45276 23.6866 0.356858 0.731713x3 24.2133 35.3193 0.685554 0.515049x1x2 1.64926 2.42043 0.68139 0.517525x2x3 70.7988 126.636 0.559074 0.593538x1x3 0.959189 1.41262 0.679013 0.518942

,RSquared0.894145,

AdjustedRSquared0.803413,



٣٩٢

مصفوفة االرتباط نحصل علیھا من االمر corr=Regress[dpoints,{1,x1,x2,x3,x1 x2,x2 x3,x1 x3},{x1,x2,x3},RegressionReport->CorrelationMatrix]; corr[[1,2]]

والمخرج ھو

مصفوفة االرتباط نحصل علیھا على شكل قائمة من االمر

corrmat=corr[[1,2,1]] والمخرج ھو

{{1.,0.772577,-0.976785,-0.992006,-

0.911457,0.985224,0.436877},{0.772577,1.,-0.84623,-0.806985,-0.806625,0.867621,-0.0482087},{-0.976785,-0.84623,1.,0.961426,0.855696,-0.987375,-0.235956},{-0.992006,-0.806985,0.961426,1.,0.955271,-0.988351,-

0.466086},{-0.911457,-0.806625,0.855696,0.955271,1.,-0.926149,-0.550177},{0.985224,0.867621,-0.987375,-0.988351,-

0.926149,1.,0.328687},{0.436877,-0.0482087,-

0.235956,-0.466086,-0.550177,0.328687,1.}}

نستخدم االمر ) المثال على سبیل(للحصول عل معامل االرتباط بین المتغیر االول والمتغیر الثالث

corrmat[[1,3]] Quadratic Regression االنحدار من الدرجة الثانیة) ٣-٥(

بیل ى س ة فعل ة الثانی ن الدرج ى م ى شكل منحن رین عل ین متغی ة ب ون العالق ان تك ي بعض األحی ف

:المثال بفرض أننا نرغب في تقدیر معالم النموذج 2

Y|x 0 1 2x x

CovarianceMatrix

44.9816 2.73914 155.174 234.987 14.7961 836.777 4.139072.73914 0.279453 10.5961 15.0672 1.03209 58.082 0.0360002155.174 10.5961 561.055 804.323 49.0586 2961.71 7.89514234.987 15.0672 804.323 1247.45 81.6642 4420.59 23.254314.7961 1.03209 49.0586 81.6642 5.8585 283.878 1.88114836.777 58.082 2961.71 4420.59 283.878 16036.7 58.79844.13907 0.0360002 7.89514 23.2543 1.88114 58.7984 1.9955

1. 0.772577 0.976785 0.992006 0.911457 0.985224 0.4368770.772577 1. 0.84623 0.806985 0.806625 0.867621 0.04820870.976785 0.84623 1. 0.961426 0.855696 0.987375 0.2359560.992006 0.806985 0.961426 1. 0.955271 0.988351 0.4660860.911457 0.806625 0.855696 0.955271 1. 0.926149 0.5501770.985224 0.867621 0.987375 0.988351 0.926149 1. 0.3286870.436877 0.0482087 0.235956 0.466086 0.550177 0.328687 1.

٣٩٣

:في الحقیقة نرغب في تقدیر معالم النموذج انحدار خطى متعدد على الشكل Y|x 0 1 1 2 2b b x b x

.في المعادلة السابقة x2 = x2 , x1 = xوذلك بوضع

)٤-٥(مثال

: الحــل

:معادلة االنحدار المقدرة ھي 2

xy 1.48083 3.792313x 0.223674x .

.)١-٥(والتمثیل البیاني لھا موضح في شكل )١- ٥(شكل

وفیما یلى خطوات . Mathematicaسوف یتم حل ھذا المثال بإستخدام برنامج مكتوب بلغة

. البرنامج والمخرجات

p=2

الىجدول الالقیاسات المعطاة في ألزواج ة الت دار من الدرج درة لنموذج انح دار المق أوجد االنح .الثانیة

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 x 62.00 53.80 46.00 38.50 32.20 25.95 20.50 15.35 10.20 5.0 y

٣٩٤

2 x1={1.,2,3,4,5,6,7,8,9,10} {1.,2,3,4,5,6,7,8,9,10} y={5.,10.2,15.35,20.5,25.95,32.2,38.5,46,53.8,62} {5.,10.2,15.35,20.5,25.95,32.2,38.5,46,53.8,62} x2=x1^2 {1.,4,9,16,25,36,49,64,81,100} ss=Transpose[{x1,x2,y}] {{1.,1.,5.},{2,4,10.2},{3,9,15.35},{4,16,20.5},{5,25,25.95},{6,36,32.2},{7,49,38.5},{8,64,46},{9,81,53.8},{10,100,62}} l[x_]:=Length[x] xx=Table[{1,x1[[i]],x2[[i]]},{i,1,l[x1]}] {{1,1.,1.},{1,2,4},{1,3,9},{1,4,16},{1,5,25},{1,6,36},{1,7,49},{1,8,64},{1,9,81},{1,10,100}} xpr=Transpose[xx] {{1,1,1,1,1,1,1,1,1,1},{1.,2,3,4,5,6,7,8,9,10},{1.,4,9,16,25,36,49,64,81,100}} w=xpr.xx {{10.,55.,385.},{55.,385.,3025.},{385.,3025.,25333.}} v=Inverse[w] {{1.38333,-0.525,0.0416667},{-0.525,0.241288,-0.0208333},{0.0416667,-0.0208333,0.00189394}} xpy=xpr.y {309.5,2218.1,17708.2} bb=v.xpy {1.48083,3.79231,0.223674} yy =bb[[1]]+bb[[2]]*x1+bb[[3]]*x2 {5.49682,9.96015,14.8708,20.2289,26.0342,32.287,38.987,46.1345,53.7292,61.7714} t1=Transpose[{x1,y}] {{1.,5.},{2,10.2},{3,15.35},{4,20.5},{5,25.95},{6,32.2},{7,38.5},{8,46},{9,53.8},{10,62}} a=PlotRange{{0,15},{0,70}} PlotRange{{0,15},{0,70}} a1=Prolog{PointSize[.02]} Prolog{PointSize[0.02]} g= ListPlot[t1,a,a1,AxesLabel{"x","y"}]

٣٩٥

Graphics dd=Plot[bb[[1]]+bb[[2]]*x+bb[[3]]*x^2,{x,0,15},AxesLabel{"x","y"}]

Graphics Show[g,dd]

Graphics

2 4 6 8 10 12 14x

10

20

30

40

50

60

70y

2 4 6 8 10 12 14x

20

40

60

80

100

y

2 4 6 8 10 12 14x

10

20

30

40

50

60

70y

٣٩٦

)٥-٥(مثال

:الحل

وذلك باستخدام الحزمة Mathematicaسوف یتم حل ھذا المثال بإستخدام برنامج مكتوب بلغة الجاھزة


<<Statistics`LinearRegression` oppbavg={0.240,0.254,0.249,0.245,0.250,0.252,0.254,0.270,0.274,0.264,0.280,0.266,0.268,0.286}; winpct={0.625,0.512,0.488,0.524,0.588,0.475,0.513,0.463,0.512,0.405,0.450,0.480,0.456,0.506}; dpoints=Table[{oppbavg[[i]],winpct[[i]]},{i,1,Length[winpct]}]; Regress[dpoints,{1,x,x^2},x]

Regress[dpoints,{1,x,x^2,x^3},x]

ParameterTable

Estimate SE TStat PValue1 12.9504 4.17042 3.10529 0.0100092x 92.8343 31.8034 2.91901 0.0139622x2 172.464 60.5108 2.85014 0.0157927

, RSquared 0.59678,




.االنحدار المقدرة لنموذج انحدار من الدرجة الثانیةمعادلة أوجد للبیانات التالیة X 0.240,0.254,0.249,0.245,0.250,0.252,0.254,0.270,0.274,0.264,0.280,0.266,0.268,0.286, Y 0.625,0.512,0.488,0.524,0.588,0.475,0.513,0.463,0.512,0.405,0.450,0.480,0.456,0.506.

٣٩٧

من االمر Regress[dpoints,{1,x,x^2},x]

المخرج لھذا .نحصل على الجدول التالى والذى نتعامل معھ كما فى الجداول المخرجة فى حالة االنحدار المتعدد:االمر ھو

:الثالثة نستخدم االمر التالى للحصول على معادلة من الدرجة

Regress[dpoints,{1,x,x^2,x^3},x]

: حیث نحصل على الجدول التالى

.والذى نتعامل معھ كما فى الجداول المخرجة فى حالة االنحدار المتعدد

ParameterTable

Estimate SE TStat PValue1 48.0489 82.9408 0.579316 0.575193x 494.226 947.803 0.521444 0.613409

x2 1700.06 3605.45 0.471525 0.647385

x3 1934.66 4565.52 0.423755 0.680715





ParameterTable

Estimate SE TStat PValue1 12.9504 4.17042 3.10529 0.0100092x 92.8343 31.8034 2.91901 0.0139622x2 172.464 60.5108 2.85014 0.0157927

, RSquared 0.59678,




ParameterTable

Estimate SE TStat PValue1 48.0489 82.9408 0.579316 0.575193x 494.226 947.803 0.521444 0.613409

x2 1700.06 3605.45 0.471525 0.647385x3 1934.66 4565.52 0.423755 0.680715





٣٩٨

)٦-٥(مثال

: الحــل ).٢- ٥(شكل االنتشار موضح في شكل

)٢- ٥(شكل

:نموذج اإلنحدار المقدر ھو. والذي یوضح عالقة من الدرجة الثانیة2y 1070.4 293.48x 4 5358x .

.شكل االنتشار مع) ٣- ٥(شكل والموضح بیانیا في

)٣- ٥(شكل

ار و xحیث التالىجدول الألزواج المشاھدات المعطاة في د اإلزھ ام بع y (Kg/ha)تمثل عدد األیر ة واختب ة الثانی دره من الدرج دار المق ة االنح د، أوجد معادل ي الھن ا ف ات م المحصول الناتج من نب

:فرض العدم.0 1 2H : 0

30 28 26 24 22 20 18 16 x

3883 3500 3190 3057 3423 3304 2518 2508 y

46 44 42 40 38 36 34 32 x

2776 3103 3241 3517 3333 3708 3646 3823 y

٣٩٩

.التالىجدول الجدول تحلیل التباین معطى في

S.O.V df SS MS F 1 2 0, 2 2084779.4 1042389.691 25.077 41568.336 540388.37 13 الخطأ 2625167.8 15 الكلي

عند ةالجد ولی F قیمة نتزید ع) 077.25(تساوي السابق جدولا لالمحسوبة من F بما أن قیمةو (13 ,2)درجتي حریة 0.05F (2,13) 3.81), 0.05 فإننا نرفض فرض العدم.



p=2 2 y={2508.,2518,3304,3423,3057,3190,3500,3883,3823,3646,3708, 3333,3517,3241,3103,2776} {2508.,2518,3304,3423,3057,3190,3500,3883,3823,3646,3708,3333,3517,3241,3103,2776} x1={16,18,20.,22,24,26,28,30,32,34,36,38,40,42,44,46} {16,18,20.,22,24,26,28,30,32,34,36,38,40,42,44,46} x2=x1^2 {256,324,400.,484,576,676,784,900,1024,1156,1296,1444,1600,1764,1936,2116} ss=Transpose[{x1,x2,y}] {{16,256,2508.},{18,324,2518},{20.,400.,3304},{22,484,3423},{24,576,3057},{26,676,3190},{28,784,3500},{30,900,3883},{32,

٤٠٠

1024,3823},{34,1156,3646},{36,1296,3708},{38,1444,3333},{40,1600,3517},{42,1764,3241},{44,1936,3103},{46,2116,2776}} TableForm[ss]

l[x_]:=Length[x] xx=Table[{1,x1[[i]],x2[[i]]},{i,1,l[x1]}] {{1,16,256},{1,18,324},{1,20.,400.},{1,22,484},{1,24,576},{1,26,676},{1,28,784},{1,30,900},{1,32,1024},{1,34,1156},{1,36,1296},{1,38,1444},{1,40,1600},{1,42,1764},{1,44,1936},{1,46,2116}} xpr=Transpose[xx] {{1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1},{16,18,20.,22,24,26,28,30,32,34,36,38,40,42,44,46},{256,324,400.,484,576,676,784,900,1024,1156,1296,1444,1600,1764,1936,2116}} w=xpr.xx

v=Inverse[w] {{9.16565,-0.617069,0.00958508},{-0.617069,0.0427959,-0.000678396},{0.00958508,-0.000678396,0.0000109419}} xpy=xpr.y

bb=v.xpy {-1070.4,293.483,-4.5358} yy =bb[[1]]+bb[[2]]*x1+bb[[3]]*x2 {2464.16,2742.7,2984.94,3190.9,3360.57,3493.96,3591.06,3651.

16 256 2508.18 324 251820. 400. 330422 484 342324 576 305726 676 319028 784 350030 900 388332 1024 382334 1156 364636 1296 370838 1444 333340 1600 351742 1764 324144 1936 310346 2116 2776

16., 496., 16736., 496., 16736., 603136., 16736., 603136., 2.28251107

52530., 1.64511106, 5.55659107

٤٠١

87,3676.4,3664.64,3616.59,3532.26,3411.64,3254.73,3061.54,2832.06} e=y-yy {43.8358,-224.696,319.059,232.101,-303.571,-303.957,-91.0562,231.131,146.604,-18.6356,91.4107,-199.257,105.363,-13.7317,41.4603,-56.0613} ss22=Transpose[{y,yy,e}] {{2508.,2464.16,43.8358},{2518,2742.7,-224.696},{3304,2984.94,319.059},{3423,3190.9,232.101},{3057,3360.57,-303.571},{3190,3493.96,-303.957},{3500,3591.06,-91.0562},{3883,3651.87,231.131},{3823,3676.4,146.604},{3646,3664.64,-18.6356},{3708,3616.59,91.4107},{3333,3532.26,-199.257},{3517,3411.64,105.363},{3241,3254.73,-13.7317},{3103,3061.54,41.4603},{2776,2832.06,-56.0613}} TableForm[ss22]

err=e.e 540388. h[x_]:=Apply[Plus,x] c[x_]:=h[x^2]-(h[x]^2)/l[x] ssto=c[y]

ssr=ssto-err

mssr=ssr/p

dfr=(l[x1]-p-1) 13 mmerr=err/dfr

2508. 2464.16 43.83582518 2742.7 224.6963304 2984.94 319.0593423 3190.9 232.1013057 3360.57 303.5713190 3493.96 303.9573500 3591.06 91.05623883 3651.87 231.1313823 3676.4 146.6043646 3664.64 18.63563708 3616.59 91.41073333 3532.26 199.2573517 3411.64 105.3633241 3254.73 13.73173103 3061.54 41.46032776 2832.06 56.0613

2.62517106

2.08478106

1.04239106

٤٠٢

41568.3 f=mssr/mmerr 25.0765 th=TableHeadings->{{source,regression,residual, Total},{anova}} TableHeadings{{source,regression,residual,Total},{anova}} rt1=List["df","SS","MS","F"] {df,SS,MS,F} rt2=List[p,ssr,mssr,f] rt3=List[dfr,err,mmerr,"--"] rt4=List[l[x1]-1,ssto,"--","--"] tf=TableForm[{rt1,rt2,rt3,rt4},th]

{13,540388.,41568.3,--}

errorm=v*mmerr {{381001.,-25650.5,398.436},{-25650.5,1778.95,-28.1998},{398.436,-28.1998,0.454836}} g[x_]:=Sqrt[x] nn=Map[g,errorm] {{617.253,0. +160.158 ,19.9609},{0. +160.158 ,42.1776,0. +5.31035 },{19.9609,0. +5.31035 ,0.674415}} standbo=nn[[1,1]] 617.253 standb1=nn[[2,2]] 42.1776 standb3=nn[[3,3]] 0.674415 t11=bb[[1]]/standbo -1.73413 t22=bb[[2]]/standb1 6.95826 t33=bb[[3]]/standb3 -6.72554 <<Statistics`ContinuousDistributions` TT=Quantile[StudentTDistribution[l[x1]-p-1],.975] 2.16037 ww=bb[[1]]+TT*standbo 263.096

2, 2.08478106, 1.04239106, 25.0765

15, 2.62517106, ,

anovasource df SS MS F

regression 2 2.08478106 1.04239106 25.0765residual 13 540388. 41568.3

Total 15 2.62517106

٤٠٣

uu=bb[[1]]-TT*standbo -2403.89 jj=bb[[2]]+TT*standb1 384.602 qq=bb[[2]]-TT*standb1 202.364 aa=bb[[3]]+TT*standb3 -3.07882 pp=bb[[3]]-TT*standb3 -5.99279 TTa=N[%,5] -5.99279 ffee=Quantile[FRatioDistribution[p,l[x1]-p-1],.95] 3.80557 If[f>=ffee,Print["Reject Ho"],Print["Accept Ho"]] Reject Ho If[Abs[t11]>=TT,Print["Reject Ho"],Print["Accept Ho"]] Accept Ho If[Abs[t22]>=TT,Print["Reject Ho"],Print["Accept Ho"]] Reject Ho If[Abs[t33]>=TT,Print["Reject Ho"],Print["Accept Ho"]] Reject Ho


المدخالت : اوالx1القائمة المسمى لقیم المتغیر المستقل والقائمة .لقیم المتغیر التابع y المسمى

المخرجات : ثانیا :معادلة اإلنحدار المتعدد المقدرة

.2y 1070.4 293.483x 4.5358x

حیث المخرج ھو bbنحصل علیھا من االمر

{-1070.4,293.483,-4.5358} 0أي اختبار فرض العدم االنحدار تالختبار معنویة معامال 1 2H : 0

دیل رض الب د الف ن ض ل م ى االق د عل i 0,iان واح 1,2 . ل دول تحلی ى ج ل عل نحص التباین من االمر

(tf=TableForm[{rt1,rt2,rt3,rt4},th] f المحسوبة من االمر

f=mssr/mmerr f الجدولیة من االمر

ffee=Quantile[FRatioDistribution[p,l[x1]-p-1],.95] القرار الذي یتخذ من االمر

If[f>=ffee,Print["Reject Ho"],Print["Accept Ho"]]

٤٠٤


ختبار فرض العدمال .اى رفض فرض العدم


1 0H : 0


والمخرج ھو Accept Ho

ختبار فرض العدمال .اى قبول فرض العدم0 1H : 0


1 1H : 0



ختبار فرض العدمال .اى رفض فرض العدم0 2H : 0


1 2H : 0



.رفض فرض العدماى

٤٠٥

من االمریین التالیین 0فترة ثقة ل 95%

ww=bb[[1]]+TT*standbo uu=bb[[1]]-TT*standbo

من االمریین التالیین 1فترة ثقة ل 95%jj=bb[[2]]+TT*standb1 qq=bb[[2]]-TT*standb1

من االمریین التالیین 2فترة ثقة ل 95%aa=bb[[3]]+TT*standb3 pp=bb[[3]]-TT*standb3

التحلیل فى االنحدارالمتعدد اكتشاف مخالفات فروض) ٤-٥( ا ات ذكرن ن المستحسن الكشف عن مخالف ھ م دار البسیط أن وذج االنح ا لنم د تناولن عن

ة ائیة معین ارات إحص واقي أو أختب ل الب تخدام تحلی ك بإس وذج وذل روض النم . ف ا ایضات ذه المخالف حیح ھ ھ لتص رق العالجی نا الط ة .ناقش ي حال ھ ف ن تطبیق يء یمك س الش نف

.ت صغیرهاالنحدار الخطى المتعدد مع إجراء تعدیالمل دد تش ي المتع دار الخط وذج االنح روض نم ات لف ن المخالف ف ع رق الكش ان ط

: الكشف عن المخالفات التالیة ٠دالة االنحدار لیست خطیة .١ ٠حدود الخطأ لیست مرتبطھ .٢ل من المشاھدات .٣ النموذج مالئم لجمیع المشاھدات باستثناء مشاھدة واحدة او قلی

٠القاصیة ٠لیست طبیعیة حدود الخطأ .٤ ٠حدود الخطأ لیس لھا تباین ثابت .٥

٤٠٦

ن .٦ ذفت م د ح ة ق تقلة المھم رات المس ن المتغی د او عدد م م واح تقل مھ ر مس متغی ٠النموذج

رسوم البواقى) ١-٤-٥(

واقي الحیة jeالب ى ص م عل ي الحك م ف ب دور مھ دد تلع دار المتع وذج االنح ن نم میط دار الخطي البس وذج االنح ي نم و الحال ف ا ھ وذج كم ة ٠النم ي حال واقي ف وم الب رس

دد ي االنحدار المتع ا مباشرة ف اك عدة ٠االنحدار الخطي البسیط یمكن تطبیقھ ذا وھن ھ : وھي رسوم مھمة للبواقي في تحلیل االنحدار المتعدد

ت - ١ ا اذا كان د في الكشف عم ذي یفی رسم البواقي على ورق االحتمال الطبیعي وال ٠حدود الخطأ تتوزع بصورة طبیعیة وفق التوزیع الطبیعي

درة لإل - ٢ n,,2,1jحیث jyستجابة رسم البواقي مقابل القیم المق د ذي یفی والة اال یم صالحیة دال ي تقی دیم ف ى تق افة ال دود الخطأ باالض این ح ات تب دار وثب نح

.) الخوارج(معلومات عن المشاھدات القاصیة ول - ٣ ات ح دم معلوم ن ان یق ذي یمك د وال ي ان وج ابع الزمن ي التت واقي ف م الب رس

.ارتباطات ممكنة بین حدود الخطأ ر مستقل -٤ ل متغی ث ixرسم البواقي مقابل ك k,,2,1jحی ذي یمكن ان وال

ر ذلك المتغی بة ل دار بالنس وذج االنح الحیة نم ول ص افیة ح ات اض دم معلوم یقر ( المستقل ك المتغی أثیر ذل ى لت ل منحن رات ) مثال قد نحتاج الى تمثی وحول تغی

٠ممكنة في مقدار تباین الخطأ فیما یتعلق بذلك المتغیر المستقلان رسم البواقي مقابل -٥ ا اذا ك ة م وذج لرؤی ن النم متغیرات مستقلة مھمة حذفت م

د ا بع م نتعرف علیھ لھذه المتغیرات المحذوفة تاثیرات مھمة على المتغیر التابع لوذج االنحدار ر ٠من خالل نم ل المتغی واقي مقاب م الب د رس إن شكل االنتشار عن

ذوف د المح د أن یحتق دد الب دار المتع وذج االنح ى أن نم یر إل ذا یش ى ھ وي عل .المتغیر

ل -٦ و 31xxو 21xxرسم البواقي مقابل حدود التفاعل التي لم یشملھا النموذج مث32xx ذه بعض حدود التفاعل ھ ي النموذج ، ل وذلك لرؤیة ما اذا كنا نحتاج ، ف

٠او لھا جمیعا تقل -٧ ر المس م المتغی تقل ixرس ر المس ل المتغی ixمقاب و)ii ( م ذا الرس ھ

ات رات المستقلة وتشتت البیان ین المتغی ة ب ي دراسة العالق دما یكون ٠مفید ف عنین وي ب iiھناك ارتباط ق x,x دم ضرورة وجو ي ع ذا یعن ان ھ ى الرسم ف د عل

٤٠٧

iiالمتغیرین x,x ة ٠معا في النموذج عندما یوجد متغیرین مستقلین بینھما عالقة ي multicollinearity قویة فاننا نقول ان ھناك مشكلة تعدد العالقات الخطی ف

ا لیست ذات البیانات ھذه المشكلة تؤثر على تقدیرات المربعات الصغرى وتجعلھixمقابل ixرسم ٠فائدة اط ة النق دة عن بقی مفید ایضا في اكتشاف النقاط البعی

٠والتي تؤثر على خواص النموذج ھا وف نناقش واقى س رى للب وم أخ اك رس ابقھ ھن وم الس ي الرس افة إل وباإلض

.بإختصار

)٧-٥(مثال

ة واص المختلف ح و الخ ق القم ي دقی اء ف اص الم ین امتص ة ب ن العالق ة ع ي دراس ف

ي ات ف ى البیان ول عل م الحص دد ت ي متع دار خط وذج انح رض نم ت ف دقیق وتح للاء و Y)(%حیث التالىجدول ال روتین و x1(%)تمثل كمیة امتصاص الم ة الب كمی

(%)x د 2 رض للفق ذي یتع ا ال ة النش دات (كمی اس بوح تحطم مق ) Farrandال :ورسم ،والمطلوب إیجاد معادلة االنحدار المقدرة

iyمقابل ieرسم البواقي ) ب( 2xمقابل 1xرسم ) أ( 2xو 1xمقابل ieرسم البواقي ) ج(

٤٠٨

:الحــل

:ھما yو Xالمصفوفتان

49.2

32.730.9

y

282.131

39.8125.81

X

X Xالمصفوفة ھي:

y 2x 1x

8 . 5 2 3 0 . 98 . 9 3 3 2 . 71 0 . 6 3 3 6 . 71 0 . 2 2 0 4 1 . 99 . 8 2 2 4 0 . 91 0 . 8 2 0 4 2 . 91 1 . 6 3 1 4 6 . 31 2 3 2 4 7 . 21 2 . 5 3 1 4 41 0 . 4 2 8 4 7 . 71 . 2 3 6 4 3 . 91 1 . 9 2 8 4 6 . 81 1 . 3 3 0 4 6 . 21 3 2 7 4 71 2 . 9 2 4 4 6 . 81 2 2 5 4 5 . 91 2 . 9 2 8 4 8 . 81 3 . 1 2 8 4 6 . 21 1 . 4 3 2 4 7 . 81 3 . 2 2 8 . 4 9 . 2

٤٠٩

. 133228.5271478

8.527188.25152.2184782.21820

2813.21

38.9128.51

. 2832

13.28.98.5111

X X

: ھو y Xوالمتجھ

. 21894.89710.06879.8

49.2

32.730.9

. 2832

2.139.85.8111

y X

: تعطى من العالقة التالیة bقیم y X X) X(b 1-

:حیث

٤١٠

. 0.438

0.6396426.5433

21894.89710.06879.8

50.0005336330.00022407-0.0103092-30.00022407-0.007484090.0762961-

0.0103092-0.0762961-1.12878

21894.89710.06879.8

133228.5271478

8.527188.25152.2184782.21820

bbb 1

2

1

0

:إذن معادلة االنحدار المقدرة ھي 21 x438.0x63964.05433.26y

واقي ي jeالب اة ف دول المعط الى ج ثالت ة jeحی ة التالی ن العالق ب م : تحس

jjj yye .

je jy jy

3 0 . 9 3 2 . 8 5 6 3 - 1 . 9 5 6 2 83 2 . 7 3 3 . 5 5 0 1 - 0 . 8 5 0 1 3 13 6 . 7 3 4 . 6 3 7 5 2 . 0 6 2 4 84 1 . 9 4 1 . 8 2 7 7 0 . 0 7 2 3 4 3 14 0 . 9 4 2 . 4 4 7 8 - 1 . 5 4 7 84 2 . 9 4 2 . 2 1 1 4 0 . 6 8 8 5 5 94 6 . 3 4 7 . 5 4 1 1 - 1 . 2 4 1 1 54 7 . 2 4 8 . 2 3 5 - 1 . 0 3 54 4 4 8 . 1 1 6 8 - 4 . 1 1 6 8 34 7 . 7 4 5 . 4 5 9 6 2 . 2 4 0 4 24 3 . 9 4 3 . 0 7 8 9 0 . 8 2 1 1 1 34 6 . 8 4 6 . 4 1 9 0 . 3 8 0 9 5 84 6 . 2 4 6 . 9 1 1 3 - 0 . 7 1 1 2 5 74 7 4 6 . 6 8 4 6 0 . 3 1 5 3 5 34 6 . 8 4 5 . 3 0 6 7 1 . 4 9 3 3 24 5 . 9 4 5 . 1 6 9 0 . 7 3 0 9 9 24 8 . 8 4 7 . 0 5 8 7 1 . 7 4 1 3 24 6 . 2 4 7 . 1 8 6 6 - 0 . 9 8 6 6 1 14 7 . 8 4 7 . 8 5 1 2 - 0 . 0 5 1 2 2 0 54 9 . 2 4 7 . 2 5 0 6 1 . 9 4 9 4 3

٤١١

) :٤-٥(موضح في شكل 1xمقابل 2xرسم) أ( 2x

1x

)٤- ٥(شكل

.وجود بعض المشاھدات القاصیة) ٤-٥( یتضح من شكل ) :٥-٥(موضح في شكل iyمقابل ieرسم البواقي ) ب(

ie

)٥- ٥(شكل

) :٦-٥(موضح في شكل 1xمقابل ieرسم البواقي) ج(

10 20 30 40 50y

-3

-2

-1

1

2

3e

2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5 20

10

20

30

40

50

٤١٢

e

1x

)٦- ٥(شكل ) :٧-٥(موضح في شكل 2xمقابل ieرسم البواقي

)٧- ٥(شكل

5 10 15 20 25 30 35 40x2

-3

-2

-1

1

2

3e

2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5 20

-3

-2

-1

1

2

3

٤١٣

البواقى المعیاریة وبواقى ستیودنت ) ٢-٤-٥(

ل ي الفص ابقف واقي الس ة وب واقي المعیاری ا الب واقي ھم ن الب وعین م ا ن تناولني یة ف اھدات قاص ن مش ف ع ك للكش تیودنت وذل ة Y٠س واقي المعیاری رف الب تع

. كالتالي

n,1,2,j , MSE

ed j

j

ال م ) ٧-٥(للمث ان رس ةف واقي المعیاری ل jdالب كل yمقاب ي ش اة ف ) ٨-٥(معط ٠ التالىجدول الوذلك من البیانات المعطاة في

jd jy

3 2 . 8 5 6 3 - 1 . 1 2 6 4 63 3 . 5 5 0 1 - 0 . 4 8 9 5 2 23 4 . 6 3 7 5 1 . 1 8 7 6 24 1 . 8 2 7 7 0 . 0 4 1 6 5 6 64 2 . 4 4 7 8 - 0 . 8 9 1 2 5 44 2 . 2 1 1 4 0 . 3 9 6 4 8 64 7 . 5 4 1 1 - 0 . 7 1 4 6 7 84 8 . 2 3 5 - 0 . 5 9 5 9 7 64 8 . 1 1 6 8 - 2 . 3 7 0 5 54 5 . 4 5 9 6 1 . 2 9 0 0 84 3 . 0 7 8 9 0 . 4 7 2 8 1 34 6 . 4 1 9 0 . 2 1 9 3 6 34 6 . 9 1 1 3 - 0 . 4 0 9 5 5 64 6 . 6 8 4 6 0 . 1 8 1 5 8 64 5 . 3 0 6 7 0 . 8 5 9 8 8 14 5 . 1 6 9 0 . 4 2 0 9 24 7 . 0 5 8 7 1 . 0 0 2 6 84 7 . 1 8 6 6 - 0 . 5 6 8 1 14 7 . 8 5 1 2 - 0 . 0 2 9 4 9 3 84 7 . 2 5 0 6 1 . 1 2 2 5 2

٤١٤

)٨- ٥(شكل

:یمكن تعریف بواقي ستیودنت كالتالي

n,1,2,j , )h1(MSE

er

jj

jj

ى القطر الرئیسي jjhیث ح و العنصر عل X)XX(XHمصفوفة للھ 1 والمسماه

1h0و القبعةبمصفوفة jj .

٠التالىجدول المعطاة في jrالبواقي و jjhقیم كل من ) ٧-٥(للمثال

32.5 35 37.5 40 42.5 45 47.5 50y

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2d

٤١٥

jr jjh e

.)٩-٥(معطاة في شكل jyمقابل jrرسم البواقي

)٩- ٥(شكل

- 1.95628 0.325752 - 1.37185- 0.850131 0.294507 - 0.5828092.06248 0.280913 1.400510.0723431 0.0606484 0.0429803- 1.5478 0.0602024 - 0.9193570.688559 0.0580149 0.408513- 1.24115 0.0782682 - 0.744403- 1.035 0.0899469 - 0.624735- 4.11683 0.0907619 - 2.486052.24042 0.0618541 1.331930.821113 0.886413 1.40290.380958 0.0644865 0.226797- 0.711257 0.0699287 - 0.4246740.315353 0.0849159 0.1898251.49332 0.0795539 0.896270.730992 0.0590002 0.4339151.74132 0.0849517 1.0482- 0.986611 0.0908409 - 0.595816- 0.0512205 0.08503 - 0.03083381.94943 0.0940101 1.17932

32.5 35 37.5 40 42.5 45 47.5 50y

-3

-2

-1

1

2

3r

٤١٦

xاستخدم مصفوفة القبعة للتعرف على مشاھدات قاصیة فى قیم) ٣-٤-٥(ري ر القط ة jjhالعنص فوفة القبع ي مص ر Hف د شمؤ یعتب ت ر مفی ا إذا كان لم

رات x المشاھدة قاصیة أم ال بالنسبة لقیم ى . وذلك في دراسة متعددة المتغی وھو یشیر إلیم jjhقاصیة أم ال وذلك ألن jللمشاھدة xما إذا كانت القیم ین ق xیشیر إلى المسافة ب

ى jjhبر قیمة العزموھكذا یشیر ك .جمیعا nللمشاھدات xومتوسط القیم jللمشاھدة إلا jأن المشاھدة اھدات جمیع ز المش ن مرك دة ع ة .بعی ر قیم ادة تعتب رة إذا jjhوع كبی

:حیث hونرمز لھ بالرمز [ jjhتجاوزت ضعف متوسط قیم jjh p 1h

n n

یم وع ق ك ألن مجم ة یساوىوذل ر القطری دد العناص ي ع در الخط وذج االنح الم نم .مع

یم إن ق الي ف د عن jjhوبالت ي تزی p)2الت 1)2 ود را لوج دة مؤش ذه القاع ا لھ ر وفق تعتب

انى ایضا .لھذه المشاھدات xمؤشرات قاصیة من حیث قیم راح ث اك اقت ھ ھن أن الرافعھ عن د قیمت تھا 0.5التى تزی ة شاذه وتستدعي دراس ى أن الحال ره وتشیر إل ھ . كبی وألن

راح في العینات الصغیرة یتوقع ترشیح عدد كبیر من الحاالت الشاذة لفحصھا اك اقت فھنھ أضعاف متوس) jjh(دراسة كل الحاالت التى تزید قیم رافعتھا ثالث ب ة عن ثالث ط قیم

ات jjالرافع3(p 1)h

n

ا یم رافعتھ د ق ى تزی االت الت ة الح ن دراس دال م ن jjhب ع

jjضعف متوسط قیم الرافعات 2(p 1)h

n

.

یم رافمن ح تضی) ٧-٥(للمثال د ق التین تزی اك ح ة ان ھن یم الرافع ا عن عجدول ق تھp)2 الرافعاتضعف متوسط قیم 1) 2(3) 0.3

2 20

د بلغت ). 11(و ) 1(وھي ذا وق ھ

والي ي الت ذه الحاالت عل اظرة لھ یم الرافعات المن وإذا . 0.325752 , 0.886413قم ة رق د أن الحال انى فنج االقتراح الث ذنا ب ة ) 11(اخ د قیم ى تزی دة الت ة الوحی ى الحال ھ

یم ا ة اضعاف متوسط ق ا عن ثالث ث . (0.45)لرافعات رافعتھ االقتراح الثال واذا اخذنا ب .0.5والتى تزید عن ) 11(نالحظ وجود حالة قاصیھ واحدة وھي الحالة رقم

استخدم بواقى ستیودنت المحذوفة للتعرف على قیم قاصیة للمتغیر التابع) ٤-٤-٥(

٤١٧

: یعرف كالتالى باقي یسمى باقي ستیودنت المحذوف

. jj 2

( j) jj

et ,j 1,2, ,n

s (1 h )

:حیث

2

j jj2( j)

(n p 1)MSE [e (1 h )]s

n p 2

ان یھ ف روض القیاس ت الف ھ تح ع jtفإن ع توزی ھ tیتب درجات حری nب p 2 ر ٠ تعتبیھ یم القاص اف الق بة ألكتش ة مناس ة طریق تیودنت المحذوف واقي س تیودنت ٠ب واقي س ب

٠التالىجدول الالمحذوفھ معطاة في

ة تم مقارن یم وی ة jtق ة الجدولی بالقیم1

2

t (n p 2) ة ات حری د درج nعن p 2 و

ك ابع الذل ر الت اھدات المتغی د مش یھلتحدی ال قاص ا ان . )٧-٥(للمث 0.05tوبم (16) 1.746 1.حیث ویمكن الحصول على ھذه القیمة من برنامجMathematica

اھدة ا أن المش 9yوبم 44 اقي ا ب ذوف لھ تودنت المح 9tس 2.56256 ا أن وبم9t 2.56256 1.746 9فإننا نعتبر أن المشاھدةy قاصیھمشاھدة.

٤١٨

jt jjh

٠) ١٠-٥(معطاة في شكل jyرسم بواقي ستیودنت المحذوفة مقابل

1.95628 0.325752 1.414070.850131 0.294507 0.6007462.06248 0.280913 1.443610.0723431 0.0606484 0.04430311.5478 0.0602024 0.9476520.688559 0.0580149 0.4210851.24115 0.0782682 0.7673131.035 0.0899469 0.6439624.11683 0.0907619 2.562562.24042 0.0618541 1.372920.821113 0.886413 1.446070.380958 0.0644865 0.2337770.711257 0.0699287 0.4377430.315353 0.0849159 0.1956671.49332 0.0795539 0.9238540.730992 0.0590002 0.4472691.74132 0.0849517 1.080460.986611 0.0908409 0.6141540.0512205 0.08503 0.03178281.94943 0.0940101 1.21561

32.5 35 37.5 40 42.5 45 47.5 50y

-3

-2

-1

1

2

3t

٤١٩

)١٠- ٥(شكل

)٨-٥(مثال

وفیما یلى Mathematicaبإستخدام برنامج مكتوب بلغة ) ٧- ٥(سوف یتم حل ھذا المثال

.خطوات البرنامج والمخرجات

p=2 2 y={30.9,32.7,36.7,41.9,40.9,42.9,46.3,47.2,44,47.7,43.9, 46.8,46.2,47,46.8,45.9,48.8,46.2,47.8,49.2}; x1={8.5,8.9,10.6,10.2,9.8,10.8,11.6,12,12.5,10.4,1.2,11.9,11.3,13,12.9,12,12.9,13.1,11.4,13.2}; x2={2,3,3,20,22,20,31,32,31,28,36,28,30,27,24,25,28,28,32,28} {2,3,3,20,22,20,31,32,31,28,36,28,30,27,24,25,28,28,32,28} ss=Transpose[{x1,x2,y}]; TableForm[ss]; l[x_]:=Length[x] xx=Table[{1,x1[[i]],x2[[i]]},{i,1,l[x1]}]; xpr=Transpose[xx]; w=xpr.xx; v=Inverse[w]; xpy=xpr.y {879.8,9710.06,21894.8} {879.8`,9710.06`,21894.8`}; bb=v.xpy {26.5433,0.63964,0.438} yy =bb[[1]]+bb[[2]]*x1+bb[[3]]*x2 ; e=y-yy; ss22=Transpose[{y,yy,e}]; TableForm[ss22]; t=Transpose[{x1,x2}]; c=PlotRange{{0,20},{0,50}} PlotRange{{0,20},{0,50}} c2=Prolog{PointSize[0.03]} Prolog{PointSize[0.03]} g= ListPlot[t,c,c2,AxesLabel{"x1","x2"}]

٤٢٠

Graphics t=Transpose[{y,e}]; c=PlotRange{{0,50},{-3,3}} PlotRange{{0,50},{-3,3}} c2=Prolog{PointSize[0.03]} Prolog{PointSize[0.03]} g1= ListPlot[t,c,c2,AxesLabel{"y","e"}]

Graphics t=Transpose[{x1,e}]; c=PlotRange{{0,20},{-3,3}} PlotRange{{0,20},{-3,3}} c2=Prolog{PointSize[0.03]} Prolog{PointSize[0.03]} g2= ListPlot[t,c,c2,AxesLabel{"x1","e"}]

2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5 20x1

10

20

30

40

50x2

10 20 30 40 50y

-3

-2

-1

1

2

3e

٤٢١

Graphics t=Transpose[{x2,e}]; c=PlotRange{{0,40},{-3,3}} PlotRange{{0,40},{-3,3}} c2=Prolog{PointSize[0.03]} Prolog{PointSize[0.03]} g2= ListPlot[t,c,c2,AxesLabel{"x2","e"}]

Graphics

2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5 20x1

-3

-2

-1

1

2

3e

5 10 15 20 25 30 35 40x2

-3

-2

-1

1

2

3e

٤٢٢

n=l[x1] 20 k[x_]:=Apply[Plus,x] mse=k[e^2]/(n-p-1) 2.83856

{-1.16113,-0.504588,1.22417,0.0429386,-0.918683,0.408688,-0.736673,-0.614318,-2.44351,1.32978,0.487365,0.226114,-0.422161,0.187175,0.886345,0.433874,1.03354,-0.585594,-0.0304015,1.15706} pp3=Transpose[{yy,di}]; TableForm[pp3]; aa=PlotRange{{30,50},{-2,2}} PlotRange{{30,50},{-2,2}} a2=Prolog{PointSize[.02]} Prolog{PointSize[0.02]}

Graphics hjj=xx.v.xpr;

di e mse

g ListPlotpp3,aa,a2, AxesLabel"y","d"

32.5 35 37.5 40 42.5 45 47.5 50y

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2d

٤٢٣

hii={hjj[[1,1]],hjj[[2,2]],hjj[[3,3]],hjj[[4,4]],hjj[[5,5]],hjj[[6,6]],hjj[[7,7]],hjj[[8,8]],hjj[[9,9]],hjj[[10,10]],hjj[[11,11]],hjj[[12,12]],hjj[[13,13]],hjj[[14,14]],hjj[[15,15]],hjj[[16,16]],hjj[[17,17]],hjj[[18,18]],hjj[[19,19]],hjj[[20,20]]} {0.325752,0.294507,0.280913,0.0606484,0.0602024,0.0580149,0.0782682,0.0899469,0.0907619,0.0618541,0.886413,0.0644865,0.0699287,0.0849159,0.0795539,0.0590002,0.0849517,0.0908409,0.08503,0.0940101}

{-1.41407,-0.600746,1.44361,0.0443031,-0.947652,0.421085,-0.767313,-0.643962,-2.56256,1.37292,1.44607,0.233777,-0.437743,0.195667,0.923854,0.447269,1.08046,-0.614154,-0.0317828,1.21561} pp4=Transpose[{e,hii,ri}]; TableForm[pp4]; pp5=Transpose[{yy,ri}]; aa=PlotRange{{30,50},{-3,3}} PlotRange{{30,50},{-3,3}} a2=Prolog{PointSize[.02]} Prolog{PointSize[0.02]}

Graphics kk=3 3

{2.66122,2.95194,2.64624,3.01562,2.85665,2.98451,2.91152,2. 9424,1.85097,2.68157,2.64498,3.00627,2.98197,3.00918,2.86455,2.98048,2.80886,2.94905,3.01579,2.75381}

rie

mse1hii N

g ListPlotpp5,aa,a2, AxesLabel "y","r"

32.5 35 37.5 40 42.5 45 47.5 50y

-3

-2

-1

1

2

3r

s2jnkkmsee21hii

nkk1

٤٢٤

{-1.46043,-0.589096,1.49515,0.0429828,-0.944647,0.41066,-0.757639,-0.632497,-3.1734,1.41254,1.49805,0.227163,-0.427087,0.190039,0.919654,0.436491,1.08615,-0.602538,-0.0308347,1.23418} pp7=Transpose[{e,hii,tj}]; TableForm[pp7]; pp9=Transpose[{yy,tj}]; aa=PlotRange{{30,50},{-3,3}} PlotRange{{30,50},{-3,3}} a2=Prolog{PointSize[.02]} Prolog{PointSize[0.02]}

Graphics <<Statistics`ContinuousDistributions` =.1 0.1 TT=Quantile[StudentTDistribution[n-kk-1],1-(/2)] 1.74588

المدخالت : اوالx1القائمة المسماه القائمة المسماه لقیم المتغیر المستقل االول و x2 لقیم المتغیر المستقل الثانى والقائمة y المسمى .لقیم المتغیر التابع


:معادلة االنحدار المقدرة ھي 21 x438.0x63964.05433.26y

ونحصل علیھا من االمر

bb=v.xpy

tje

s2j1hii N

g33 ListPlotpp9,aa,a2, AxesLabel "y","t"

32.5 35 37.5 40 42.5 45 47.5 50y

-3

-2

-1

1

2

3t

٤٢٥

والمخرج ھو

{26.5433,0.63964,0.438} نحصل علیھا من االمر jeالبواقي

e=y-yy

jجدول j jˆy , y ,e نحصل علیھ من االمر

TableForm[ss22]

نحصل علیھ من االمر) ٤-٥(موضح في شكل ال 1xمقابل 2xرسم g= ListPlot[t,c,c2,AxesLabel{"x1","x2"}]

نحصل علیھ من االمر )٥-٥(موضح في شكل ال yمقابل eرسم البواقي g1= ListPlot[t,c,c2,AxesLabel{"y","e"}]

نحصل علیھ من االمر )٦-٥(موضح في شكل ال 1xمقابل eرسم البواقي

g2= ListPlot[t,c,c2,AxesLabel{"x1","e"}]

نحصل علیھ من االمر) ٧-٥(موضح في شكل ال 2xمقابل eرسم البواقي

g2= ListPlot[t,c,c2,AxesLabel{"x2","e"}]

jالمعیاریة جدول البواقى jy , d نحصل علیھ من االمر

TableForm[pp3] ة واقي المعیاری م الب ل d رس كل ال yمقاب ي ش اة ف ن ) ٨-٥(معط ا م ل علیھ نحص

االمر

jجدول j jh , e , r البواقي وr نحصل علیھا من االمر

TableForm[pp4]

g ListPlotpp3,aa,a2, AxesLabel "y","d"

٤٢٦

نحصل علیھ من االمر ) ٩-٥(معطاة في شكل ال yمقابل irرسم البواقي

,hقیم كل من جدول e البواقي وjt نحصل علیھا من االمر TableForm[pp7]

نحصل علیھ من االمر ) ١٠-٥(معطاة في شكل ال yمقابل jtرسم البواقي

)٩-٥(مثال

:الحل



<<Statistics`LinearRegression` teamera={3.33,3.51,3.55,3.65,3.80,4.20,4.22,4.27,4.31,4.48,4.53,4.55,4.62,5.86};

g ListPlotpp5,aa,a2, AxesLabel "y","r"

g33 ListPlotpp9,aa,a2, AxesLabel"y","t"

:للتعرف على مشاھدات قاصیة للمتغیر التابع التالیةإستخدم البیانات X1={3.33,3.51,3.55,3.65,3.80,4.20,4.22,4.27,4.31,4.48,4.53,4.55,4.62,5.86}; X2={0.276,0.249,0.249,0.260,0.271,0.241,0.269,0.264,0.270,0.240,0.259,0.252,0.258,0.293}; X3={0.240,0.254,0.249,0.245,0.250,0.252,0.254,0.270,0.274,0.264,0.280,0.266,0.268,0.286}; y={0.625,0.512,0.488,0.524,0.588,0.475,0.513,0.463,0.512,0.405,0.450,0.480,0.456,0.506};

٤٢٧

ownbavg={0.276,0.249,0.249,0.260,0.271,0.241,0.269,0.264,0.270,0.240,0.259,0.252,0.258,0.293}; oppbavg={0.240,0.254,0.249,0.245,0.250,0.252,0.254,0.270,0.274,0.264,0.280,0.266,0.268,0.286}; winpct={0.625,0.512,0.488,0.524,0.588,0.475,0.513,0.463,0.512,0.405,0.450,0.480,0.456,0.506}; Clear[dpoints] dpoints=Table[{teamera[[i]],ownbavg[[i]],oppbavg[[i]],winpct[[i]]},{i,1,Length[winpct]}]; Regress[dpoints,{1,x1,x2,x3},{x1,x2,x3},RegressionReport->StudentizedResiduals] {StudentizedResiduals{0.639771,0.789271,-0.862064,-1.06129,1.20324,1.24538,-1.35245,-1.49127,0.620229,-0.813636,0.131561,1.51698,-0.412657,0.25586}} <<Statistics`NormalDistribution` n=14; kk=4; =0.05; Quantile[StudentTDistribution[n-kk-1],1-(/2)] 2.26216

المدخالت : اوال teameraالقائمة المسماه القائمة المسماه لقیم المتغیر المستقل االول و ownbavg لقیم المتغیر المستقل الثانى و oppbavgالقائمة المسماه لقیم المتغیر المستقل الثالث والقائمة ایضا .لقیم المتغیر التابع winpct المسمى حجم العینة من االمر

n=14 وعدد المعالم من االمر kk=4


من االمر jtقیم البواقي Regress[dpoints,{1,x1,x2,x3},{x1,x2,x3},RegressionReport->StudentizedResiduals]

ة تم مقارن یم وی ة jtق ة الجدولی بالقیم1

2

t (n p 2) ة ات حری د درج nعن p 2 و

ابع ال ر الت د مشاھدات المتغی ك لتحدی یھذل ال قاص ا ان ) ٩-٥(للمث 0.05tوبم (9) 2.26216 05.حیث ویمكن الحصول على ھذه القیمة من البرنامج التالى وباستخدام االمر

Quantile[StudentTDistribution[n-kk-1],1-(/2)]

.یالحظ عدم وجود اى مشاھدات قاصیة

تحدید المشاھدات المؤثرة ) ٥-٤-٥(

٤٢٨

ي ا ف بة لقیمھ یھ بالنس اھدات القاص د المش د تحدی ي ) او(و xبع ا ف ون yقیمتھ تك ام ال؟ (in fluential)لخطوه التالیھ ھو تحدید ما إذا كانت ھي المشاھدات مؤثرة

وذج یم نم ي ق ا ف را ملحوظ دث تغی تبعادھا یح ان اس ؤثرة إذا ك اھدة م ر المش وتعتبا ة بھ اءات المرتبط دار واإلحص اییس . االنح أثیر وھي مق اس للت ا مقی اقش ھن وسوف نن

اییس علي حذف مشاھدة مستخدمة على نطاق واسع في التط ل مق د ك ي ویعتم ق العمل بی .واحدة لقیاس تأثیرھا

التاثیر على القیم المقدرة) ا( :علي القیمة المقدرة سوف تستخدم المقیاس التالي jلقیاس تأثیر المشاھدة

j ( j)j 2

( j) jj

ˆ ˆy yDFFITS , j 1,2,...,n.

s h

ان ز الحرف دره DFویرم ة المق ین القیم رق ب اھدة jyللف تخدام jyللمش د اس عنع المشاھدات درة nجمی ة المق ین القیم درة وب دار المق ة االنح ي إیجاد معادل ي j(y(ف الت

ك . في عملیة تقدیر معادلة االنحدار المقدرة jنحصل علیھا عند حذف المشاھدة وعلي ذلjDFFITS دره یمث یم المق ا الق ى تتغیرھ ة والت ات المعیاری د حذف jyل عدد االنحراف عن

دیر مجموع jDFFITSویمكن حساب . jالمشاھدة ن تق وفره م مستخدمین فقط النتائج المت للعالقة التالیة :البیانات بكاملھا وذلك تبعا

1 12 2

jj jjj j

jj jj

h hDFFITS t

1 h 1 h

ث تیودنت المحذوف jtحی اقي س ل ب . تمث ا اھدة عموم رة أى مش ات الكبی ى العین ف

jتكون لھا p 1DFFITS 2

n

ات الصغیرة والمتوسطة. تعتبر مؤثرة ى العین إن اما ف ف

jDFFITSأى مشاھدة تكون لھا 1 تعتبر مؤثرة .

معامالت االنحدارالتاثیر على ) ب(

)مقیاس كوك(مقیاس االثر علي كل معامالت االنحدار

٤٢٩

دیر المربعات ) مسافة كوك(مقیاس (cook 1979)لقد اقترح ین تق لمربع المسافة ب)والتقدیر nالصغرى المبنى على كل المشاھدات التى عددھا j)b د ھ بع الذى نحصل علی

. jحذف المشاھدة رقم اس مسافة كوك ل jDویمكن حساب مقی د في ك وذج انحدار جدی دیر نم دون تق ب

:مرة تحذف فیھا مشاھدة مختلفة والصیغة المكافئھ جبریا ھي2j jj

jjj

e hD

(p 1) MSE 1 h

j Dعلي معامالت االنحدار تقارن قیمة jولتحدید أثر المشاھدة رقم المئین العشرین ب

م (p+1, n-p-2)بدرجات حریة Fلتوزیع ة jو المشاھدة رق ؤثرة إذا كانت قیم ر م تعتبj D م .اكبر من المئین العشرین ة jو المشاھدة رق ؤثرة جدا إذا كانت قیم ر م تعتبj D .اكبر من المئین الخمسین

مقیاس االثر علي معامالت االنحدار

ل دره بإستخدام ك یم معامالت االنحدار المق ین ق رق ب اس الف لقد اقترح إحصاء لقیم nالمشاھدات التى عددھا د حذف المشاھده رق دره بع امالت االنحدار المق یم مع (j)وق

:من المشاھدات ھذا اإلحصاء یأخذ الشكل التالي (n-1)أي بإستخدام

ii2

)j(

)j(iij,i

cs

bbDFBETAS

-1للمصفوفة iھو العنصر رقم iicحیث )j(i X)(X' , b م ل االنحدار رق iھي معام

ر . jالمحسوبة بدون استخدام المشاھدة رقم ؤثرة اي تعتب العینات الصغیرةتعتبر الحالة م :مؤثرة إذا تحقق الشرط التالي jالحالة رقم

1DFBETAS j,i

في حالة العینات الكبیرة تكون

n/2DFBETAS j,i

٤٣٠

.نموذج انحدار (n)تحتاج لتقدیر j,iDFBETASویالحظ أنھ لحساب

)١٠-٥(مثال

ة عشوائیة ذات حجم ل ) n = 14(البیانات في الجدول التالى تمثل عین مشاھدات لك321والمتغیرات المستقلھ Yمن المتغیر التابع x,x,x .

x3 x2 x1 y

0.625 0.512 0.488 0.524 0.588 0.475 0.513 0.463 0.512 0.405 0.45 0.48 0.456 0.506

0.24 0.254 0.249 0.245 0.25 0.252 0.254 0.27 0.274 0.264 0.28 0.266 0.268 0.268

0.276 0.249 0.249 0.26 0.271 0.241 0.269 0.264 0.27 0.24 0.259 0.252 0.258 0.293

3.33 3.51 3.55 3.65 3.8 4.2 4.22 4.27 4.31 4.48 4.53 4.55 4.62 5.86

یم ك DFBETASi,jو jDFFITSأوجد ق ن تل تنتج م اذا تس اھدات وم وك للمش افة ك ومس

القیم؟

:الحــل یم ة بق الى قائم دول الت ى الج jjjیعط h , D , DFFITS ـ بة ل ین jDبالنس المئ

ع ة Fالعشرین لتوزی درجات حری ة (10 ,4)ب مأخوذ من الحزم الجاھزة (درجات حری

٤٣١

یم مسافھ 0.406574یساوى ) Mathematicالخاصة باإلحصاء لبرنامج ل ق یالحظ أن كة ذه القیم ن ھ ل م وك أق ین . ك إن المئ ة ف ي الحقیق ؤثرة ف ة م د اى حال ك الیوج ي ذل وعل

و ین ھ ـ 0.898817الخمس ة ل د أي قیم ك ال توج ي ذل توى jDوعل ن المس رب م تقت .الضرورى لوجود حالة مؤثرة على نموذج االنحدار

hj jD DFFITSj

0.446993 0.231595 0.169291 0.182651 0.192002 0.3769 0.174635 0.179229 0.315062 0.318829 0.3171122 0.153562 0.119834 0.768295

0.0879027 0.0487779 0.0388601 0.0621402 0.0823222 0.222289 0.0893455 0.18167 0.0471378 0.0801743 0.00283181 0.0923556 0.00632049 0.059614

0.575188 0.433307 -0.389163 -0.501698 0.586544 0.96858 -0.622104 -0.696866 0.420653 -0.556649 0.101065 0.646137 -0.152264 0.465906

ـ jDFFITSاآلن بالنسبة لقیم یم ل دم وجود أى ق ك لع jDFFITالیوجد أي قیم مؤثره وذلن د ع ن . 1تزی ة م ة القریب ي 1القیم ابق ھ دول الس ي الج اھدة 96858ف ة للمش والمقابل

.السادسة

یم ة بق الى قائم دول الت ى الج ث DFBETASi,jیعط حی0.1.2.3i , 14,...,2,1j . ن اھدات م ى 1للمش ح 14ال الى یتض دول الت ى الج ف

ـ د الصحیح DFBETASi,jعدم وجود قیم مطلقھ ل د عن الواح ك الیوجد . تزی ي ذل وعل .أي حاالت لھا تاثیر معنوي علي نموذج االنحدار

٤٣٢

0b 1b 2b 3b

-0.0143844 -0.0559135 -0.123586 -0.235483 -0.0000106592 0.835436 -0.226309 0.486631 -0.355183 -0.309542 -0.0680988 0.25121 -0.0263566 -0.0907156

-0.115759 -0.289016 0.108709 -0.0653034 -0.0497338 0.62326 -0.307155 0.446869 -0.301588 -0.233555 -0.059592 0.2822 -0.0593643 -0.234257

0.382709 -0.101049 0.126155 -0.0718679 0.358846 -0.674636 -0.220736 -0.124454 0.150272 0.470109 -0.00941033 -0.396119 0.0557525 0.199504

-0.136519 0.209172 -0.00171137 0.257519 -0.156987 -0.59404 0.409338 -0.530767 0.345162 0.105511 0.0865301 -0.105235 0.0124995 -0.10239

ة المطلوب ) ١٠-٥(للمثال ي مشاھدات Hاستخدام مصفوفة القبع رف عل للتع . وتحدید المشاھدات المؤثرة xقاصیة في قیم

ة امج مكتوب بلغ ة Mathematicaسوف یتم حل ھذا المثال بإستخدام برن ك باستخدام الحزم وذل الجاھزة


<<Statistics`LinearRegression` teamera={3.33,3.51,3.55,3.65,3.80,4.20,4.22,4.27,4.31,4.48,4.53,4.55,4.62,5.86}; ownbavg={0.276,0.249,0.249,0.260,0.271,0.241,0.269,0.264,0.270,0.240,0.259,0.252,0.258,0.293}; oppbavg={0.240,0.254,0.249,0.245,0.250,0.252,0.254,0.270,0.274,0.264,0.280,0.266,0.268,0.286}; winpct={0.625,0.512,0.488,0.524,0.588,0.475,0.513,0.463,0.512,0.405,0.450,0.480,0.456,0.506};

٤٣٣

Clear[dpoints] dpoints=Table[{teamera[[i]],ownbavg[[i]],oppbavg[[i]],winpct[[i]]},{i,1,Length[winpct]}]; hd=Regress[dpoints,{1,x1,x2,x3},{x1,x2,x3},RegressionReport->HatDiagonal] {HatDiagonal{0.446993,0.231595,0.169291,0.182651,0.192002,0.3769,0.174635,0.179229,0.315062,0.318829,0.371122,0.153562,0.119834,0.768295}} hdlist=hd[[1,2]] {0.446993,0.231595,0.169291,0.182651,0.192002,0.3769,0.174635,0.179229,0.315062,0.318829,0.371122,0.153562,0.119834,0.768295} hdlist[[1]] 0.446993 Sum[hdlist[[i]],{i,1,Length[hdlist]}] 4. kk=4; n=14; 2kk/n//N 0.571429 Regress[dpoints,{1,x1,x2,x3},{x1,x2,x3},RegressionReport->CookD] {CookD{0.0879027,0.0487779,0.0388601,0.0621402,0.0823222,0.222289,0.0893455,0.108167,0.0471378,0.0801743,0.00283181,0.0923556,0.00632049,0.0598614}} <<Statistics`NormalDistribution` n=14; kk=4; Quantile[FRatioDistribution[p,n-kk],0.2] 0.406574 Quantile[FRatioDistribution[p,n-kk],0.50] 0.898817 Regress[dpoints,{1,x1,x2,x3},{x1,x2,x3},RegressionReport->PredictedResponseDelta] {PredictedResponseDelta{0.575188,0.433307,-0.389163,-0.501698,0.586544,0.96858,-0.622104,-0.696866,0.420653,-0.556649,0.101065,0.646137,-0.152264,0.465906}} Regress[dpoints,{1,x1,x2,x3},{x1,x2,x3},RegressionReport->BestFitParametersDelta] {BestFitParametersDelta{{-0.0143844,-0.115759,0.382709,-

0.136519},{-0.0559135,-0.289016,-0.101049,0.209172},{-0.123586,0.108709,0.126155,-0.00171137},{-0.235483,-

0.0653034,-0.0718679,0.257519},{-0.0000106592,-

٤٣٤

0.0497338,0.358846,-0.156987},{0.835436,0.62326,-0.674636,-0.59404},{-0.226309,-0.307155,-

0.220736,0.409338},{0.486631,0.446869,-0.124454,-0.530767},{-0.355183,-0.301588,0.150272,0.345162},{-

0.309542,-0.233555,0.47019,0.105511},{-0.0680988,-0.059592,-0.00941033,0.0865301},{0.25121,0.2822,-0.396119,-

0.105235},{-0.0263566,-0.0593643,0.0557525,0.0124995},{-0.0907156,0.234257,0.199504,-0.10239}}}

:وفیما یلى المدخالت والمخرجات لھذا البرنامج المدخالت : اوال

teameraالقائمة المسماه القائمة المسماه لمتغیر المستقل االول ولقیم ا ownbavg لقیم المتغیر المستقل الثانى و oppbavgالقائمة المسماه لقیم المتغیر المستقل الثالث والقائمة ایضا .لقیم المتغیر التابع winpct المسمى حجم العینة من االمر

n=14 وعدد المعالم من االمر kk=4

المخرجات : ثانیا رلمصفوفة القبعة یمكن الحصول علیھا من االم عناصر القطر

hdlist=hd[[1,2]]

من االمر jj2 h 2(p 1) .571429n n

نحصل على 2kk/n//N

.فتعتبر مشاھدة قاصیةوبما ان المشاهدة االخيرة هى الوحيدة التى اكبر من القيمة السابقة

یعطى االمر Regress[dpoints,{1,x1,x2,x3},{x1,x2,x3},RegressionReport->CookD]

jDقائمة بقیم

0.406574درجات حریة یساوى (10 ,4)بدرجات حریة Fالمئین العشرین لتوزیع یتم الحصول علیھ من االمر

Quantile[FRatioDistribution[kk,n-kk],0.2]

ةیالحظ أن كل ق ذه القیم ل من ھ ؤثرة. یم مسافھ كوك أق ة م ك الیوجد اى حال ي ذل .وعل 0.898817المئین الخمسین ھو في الحقیقة فإن

یتم الحصول علیھ من االمر

Quantile[FRatioDistribution[kk,n-kk],0.50]

٤٣٥

ة مؤثرة jDوعلي ذلك ال توجد أي قیمة لـ تقترب من المستوى الضرورى لوجود حال .على نموذج االنحدار

و یعطى االمر Regress[dpoints,{1,x1,x2,x3},{x1,x2,x3},RegressionReport->PredictedResponseDelta]

jحیث jDFFITSقائمة بقیم 1,2,...,14

ـ ھ ل یم مطلق ود ق دم وج ابق ع ر الس رج االم ن مخ د jDFFITSیالحظ م ن الواح د ع تزی .وعلي ذلك الیوجد أي حاالت لھا تاثیر معنوي علي نموذج االنحدار. الصحیح

یعطى االمر Regress[dpoints,{1,x1,x2,x3},{x1,x2,x3},RegressionReport->BestFitParametersDelta]

ث DFFITSi,jائمة بقیم الـ ق 0.1.2.3i , 14,...,2,1jحی ى 1للمشاھدات من 14الـ . ھ ل یم مطلق د عن الواحد DFFITSi,jیالحظ من مخرجات ھذا االمر عدم وجود ق تزی

.وعلي ذلك الیوجد أي حاالت لھا تاثیر معنوي علي نموذج االنحدار. الصحیح

Autocorrelationاالرتباط الذاتى) ٦-٤-٥(

روض ق الف وذج اإلنحدار الخطي فیجب تحق الم نم علمنا فیما سبق أنھ لتقدیر مع

:التالیة لحدود الخطأ

ji , 0 )E( )Var( 0)(E ji2

ii

دال إي لغرض إختبارات الفروض والحصول على فترات ثقة عادة یضاف فرض اإلعت~ ,NID(0( :أن 2

i . تقلة رات مس ى متغی تمل عل دار تش ات اإلنح ض تطبیق بعمى ة تس ذه الحال ي ھ ات ف زمن و البیان ع ال ابع م ة التت ھ طبیع ون ل تجابة یك ر إس ومتغی

ؤدي . السالسل الزمنیة ا ی ة مم معظم المسائل اإلقتصادیة تكون على شكل سالسل زمنیع الخطأ یكون iإلى أن الخطأ في فترة زمنیة ة أخرى jمرتبطا م رة زمنی ي فت j(ف

i( ة اط قیم دم إرتب ي وھذا یخالف إحدى فروض نموذج اإلنحدار الخطي وھو ع فین ، فترة زمنیة ما عن قیمتھا في فترة زمنیة سابقة اط ب jiإي أن اإلرتب , ال یساوي

٤٣٦

فر )E)(0(الص ji . لي اط التسلس ذاتي أو اإلرتب اط ال ود اإلرتب ك وج ى ذل . ومعنة یم المتتالی ین الق اط ب واإلرتباط الذاتي حالة خاصة من اإلرتباط إذ یقیس لنا درجة اإلرتب

رین أو ر لنفس المتغیر خالل فترة زمنیة محددة ولیس بین متغی تنا . أكث وستقتصر دراسیم الیتین من ق ین متت ین إي قیمت ة ب ة الخطی ھنا فقط على الحالة البسیطة وھي حالة العالق

واقي رت إشارة ، وتتحدد إشارة معامل اإلرتباط الذاتي حسب تغیر إشارة قیم الب إذا تغی ف

اریخ ى الت ذ المنحن تمرار فیأخ ة بإس یم المتتالی البا الق اط س ان اإلرتب نان ك كل األس ، ي شان یم السالبة ك ن الق والعكس إذا حدث التغیر بأن یتلو عددا من القیم الموجبة عددا أخر م

.اإلرتباط موجبا ي موجب اط ذات دار مرتبطة إرتب وذج اإلنح ي نم أ ف إن ، إذا كانت حدود الخط ف

:قب المھمة وھي إستخدام طریقة المربعات الصغرى یترتب علیھ عدد من العوا .ال تزال معامالت اإلنحدار المقدرة غیر متحیزة إال أنھا ال تمتلك خاصیة أقل تباین -١ .متوسط مربعات الخطأ یمكن أن یشكل تقدیرا بالنقصان لتباین حدود الخطأ -٢ ،تعطى التقدیرات لألخطاء المعیاریة لمقدرات معامالت اإلنحدار -٣k0,1,2,...,i , )B( es i ، دیرا غرى تق ات الص ة المربع وبة بطریق والمحس

.iBبالنقصان لإلنحراف المعیاري الحقیقي للمقدر .قابلة للتطبیق Fأو tلم تعد فترات الثقة واإلختبارات التي تستخدم توزیعات -٤

ار ى اختب توجد طرق كثیرة الكتشاف عدم استقالل األخطاء وسوف تقتصر دراستنا عل .واتسون -دربن

واتسون -اختبار دربن في وجود ارتباط ذاتي من الرتبھ األولى ) ١-٤(إن النموذج الخطى :ھو

:حیث

i1ii u

ث ث حی ذاتى بحی اط ال ل االرتب ع iuو 1معام ع التوزی وائي یتب ر عش متغی2الطبیعي بمتوسط یساوي صفر وتباین ثابت

u وji,0)uu(E ji .

i 0 1 i iY x

٤٣٧

:واتسون الختبار ثالثة فروض وھي -یستخدم اختبار دربن :وجود ارتباط ذاتي موجب - ١

H0:0فرض العدم

:ضد الفرض البدیل 0:H0 .

:وجود ارتباط ذاتي سالب - ٢H0:0فرض العدم


) :اختبار ذو جانبین (وجود ارتباط ذاتي سالب أو موجب - ٣H0:0فرض العدم


:وینحصر االختبار بالخطوات التالیة لوب - أ تخدام أس دار باس الم االنح دیر مع ى تق ول عل غرى للحص ات الص المربع

.معامالت االنحدار :طرح قیم المتغیر التابع من القیم المشاھدة للحصول على البواقي - ب

.yye iii :على النحو التالي DWحساب قیمة إحصائیة مقدرة نرمز لھا بالرمز -ج

.e

)ee(DW

2i

n

1i

21ii

n

2i

:مع مالحظة أن

٤٣٨

.4DW0 دكتورة () ٨(واتسون في الملحق -استخدام جداول دربن - د اب االنحدار لل ى كت ف

روت ن )ث داول درب ظ أن ج ن المالح ار وم راء االختب ي -إلج ذ ف ون تأخ واتساھدات دد المش ن ع ل م ار ك تقلة nاالعتب رات المس دد المتغی توى ) k(وع ومس

ار ذو جانبین 2في حالة اختبار من جانب واحد و المعنویة ة اختب ي حال . فدیل رض الب و الف یوعا ھ ر ش رض األكث ذكر أن الف دیر بال و ج ا ھ :ومم

0:H1 ویحتوي الجدول على قیمتین إحداھماdL ة الصغرى و وھي القیمUd التالىجدول الالعلیا ثم تتم المقارنة على النحو التالي الموضح في.

الحالة المقدره DWقیمة القرار dL < DW < 4 1-4 ارتباط ذاتي سالب

dU<DW<4-dL 2-4 قرار غیر محدد

DW < 4-dU 3 > 2 الیوجد ارتباط ذاتي

dU < DW < 2 4 الیوجد ارتباط ذاتي

Ld قرار غیر محدد < DW < dU 5

DW < dL 6 > 0 ارتباط ذاتي موجب

:مما تقدم نجد أن ھناك ثالث نتائج لالختبار . 3 4,ال یوجد ارتباط ذاتي في الحالتین .١ك .٢ ي وذل اط ذات ود ارتب دم وج ود أو ع زم بوج ن الج دد أي الیمك ر مح رار غی ق

.2,5یستلزم إضافة بیانات إلى السلسلة الزمنیة إن أمكن كما في الحالتین اط ذاتي موجب .٣ ى أو وجود ارتب ة االول ي الحال ا ف وجود ارتباط ذاتي سالب كم

.كما في الحالة السادسة

)١١-٥(مثال ات ین البیان ي تب دول الف الىج رین الت یم لمتغی وائیة x, Yق ة عش ن عین ھ م . ناتج

ة توي معنوی مس تخدما ذاتي مس اط ال ار لالرتب راء اختب وب إج ر 05.0المطل وأذك .الفرضیات البدیلة وقاعدة القرار والنتیجة

٤٣٩

x 18 14 10 15 7 12 13 8 9 17 15 12

y 20 11 14 16 10 10 17 11 12 20 18 12

:الحــل دم :أوال ارفرض الع H0:0إلختب دیل رض الب د الف H1:0:ض اد تم إیج ی

:تقدیرات معالم نموذج االنحدار البسیط بطریقة المربعات الصغرى حیث

5.12

12150

nx

x

25.1412171

ny

y

i

i

12)171(2010

12)150)(171(2255

n)x(

x

nyx

yxb 22

i2i

iiii

1

37037.3xbyb

, 87037.0135

5.117

10

:وبالتالي فإن معادلة اإلنحدار المقدرة سوف تكون

.x87037.037037.3y

ن التالىجدول الیعطي ة لحساب قیمة الحصاء درب یم الالزم یم . واتسون -الق ومن الق :على النحو التالي DWالواردة بالجدول یتم حساب

69363.29815.55794.150

e

)ee(DW

2i

n

1i

21ii

n

2i

٤٤٠

LUقیمتي d,d دكتورة () ٨(واتسون في ملحق -من جدول دربن فى كتاب االنحدار للروت ة )ث توي معنوی د مس 15n, 1kو 05.0عن ) د ة عن ود قیم دم وج لعn=12(36.1: ھيd , 08.1d UL

ة ظ أن قیم ین DWنالح ـع ب Ld4تق وUd4 ین 08.14أي ب , 36.14 أيین ة 2.64و 2.92ب ى قیم م عل ن الحك ھ ال یمك دد أي أن ر مح رار غی ة ق ي منطق فDW . اج ا نحت ة فإنن د من المشاھداتفي ھذه الحال ى مزی ات سالسل . ال ة بیان ى حال وف

ات او من الممكن ن البیان زمنیة قد یكون من المستحیل، بالطبع ، الحصول على مزید مد االنتظار ر عن اخیر كبی ى ت ؤدي إل ا ی ي المستقبل مم ة ف وافر المشاھدات المطلوب أن تت

.للحصول علیھا

iy ix iy ie 1ie 21ii )ee( 2

ie

20 18 19.0376 0.9624 - - 0.9273

11 14 15.556 -4.556 0.9624 30.4527 20.757

14 10 12.0744 1.9256 -4.556 42.0111 3.7079

16 15 16.426 -0.4264 1.9256 5.5319 0.1818

10 7 9.4632 0.5360 -0.4264 0.9278 0.2882

10 12 13.8152 -3.8152 0.5368 18.7379 14.5558

17 13 14.6856 2.3144 -3.8152 37.5770 5.3564

11 8 10.336 0.664 2.3144 2.7238 0.4409

12 9 11.204 0.796 0.664 0.0174 0.6336

20 17 18.1672 1.8328 0.796 1.0750 3.3592

18 15 16.4264 1.5736 1.832 0.0672 2.4762

12 12 13.8152 -1.8252 1.5736 11.4840 3.2950

)١٢-٥(مثال

٤٤١

:الحل


Statistics`LinearRegression`

وفیما یلى خطوات البرنامج والمخرجات <<Statistics`LinearRegression` teamera={3.33,3.51,3.55,3.65,3.80,4.20,4.22,4.27,4.31,4.48,4.53,4.55,4.62,5.86}; ownbavg={0.276,0.249,0.249,0.260,0.271,0.241,0.269,0.264,0.270,0.240,0.259,0.252,0.258,0.293}; oppbavg={0.240,0.254,0.249,0.245,0.250,0.252,0.254,0.270,0.274,0.264,0.280,0.266,0.268,0.286}; winpct={0.625,0.512,0.488,0.524,0.588,0.475,0.513,0.463,0.512,0.405,0.450,0.480,0.456,0.506}; Clear[dpoints] dpoints=Table[{teamera[[i]],ownbavg[[i]],oppbavg[[i]],winpct[[i]]},{i,1,Length[winpct]}]; Regress[dpoints,{1,x1,x2,x3},{x1,x2,x3},RegressionReport->DurbinWatsonD]

{DurbinWatsonD2.09999}

من ھذا المثال نحصل علیھا من االمر واتسون - قیمة داربن dpoints=Table[{teamera[[i]],ownbavg[[i]],oppbavg[[i]],winpct[[i]]},{i,1,Length[winpct]}]; Regress[dpoints,{1,x1,x2,x3},{x1,x2,x3},RegressionReport->DurbinWatsonD]

ھو والمخرج

{DurbinWatsonD2.09999}

) ٣-٥مثال (واتسون لالرتباط الذاتى للبواقى -الختبار دربن التالیةإستخدم البیانات X1={3.33,3.51,3.55,3.65,3.80,4.20,4.22,4.27,4.31,4.48,4.53,4.55,4.62,5.86}; X2={0.276,0.249,0.249,0.260,0.271,0.241,0.269,0.264,0.270,0.240,0.259,0.252,0.258,0.293}; X3={0.240,0.254,0.249,0.245,0.250,0.252,0.254,0.270,0.274,0.264,0.280,0.266,0.268,0.286}; y={0.625,0.512,0.488,0.524,0.588,0.475,0.513,0.463,0.512,0.405,0.450,0.480,0.456,0.506};

٤٤٢

إلختبارفرض العدم :كما ذكرنا سابقا الختبار واتسون - داربن والمطلوب استخدام لجداول0:H0 0:ضد الفرض البدیل:H1

مشكلة عدم الخطیة ) ٧-٤-٥(

k,,2,1jحیث ixرسم البواقي مقابل كل متغیر مستقل دم ذي یمكن ان یق والر المستقل ( معلومات اضافیة حول صالحیة نموذج االنحدار بالنسبة لذلك المتغی

ر ك المتغی أثیر ذل ي ) مثال قد نحتاج الى تمثیل منحنى لت ة ف رات ممكن وحول تغی ٠ن الخطأ فیما یتعلق بذلك المتغیر المستقلمقدار تبای

)١٣-٥(مثال

) ١٢-٥(لھذا االختبار سوف نستخدم المثال ة امج مكتوب بلغ ال بإستخدام برن ذا المث ة Mathematicaسوف یتم حل ھ ك باستخدام الحزم وذل


.وفیما یلى خطوات البرنامج والمخرجات <<Statistics`LinearRegression` teamera={3.33,3.51,3.55,3.65,3.80,4.20,4.22,4.27,4.31,4.48,4.53,4.55,4.62,5.86}; ownbavg={0.276,0.249,0.249,0.260,0.271,0.241,0.269,0.264,0.270,0.240,0.259,0.252,0.258,0.293}; oppbavg={0.240,0.254,0.249,0.245,0.250,0.252,0.254,0.270,0.274,0.264,0.280,0.266,0.268,0.286}; winpct={0.625,0.512,0.488,0.524,0.588,0.475,0.513,0.463,0.512,0.405,0.450,0.480,0.456,0.506}; Clear[dpoints] dpoints=Table[{teamera[[i]],ownbavg[[i]],oppbavg[[i]],winpct[[i]]},{i,1,Length[winpct]}]; multiSTerr=Regress[dpoints,{1,x1,x2,x3},{x1,x2,x3}, RegressionReport->StandardizedResiduals][[1,2]] {0.659547,0.804585,-0.873353,-1.05465,1.17717,1.21243,-1.29964,-1.40762,0.64024,-0.827745,0.138544,1.42698,-0.430921,0.268724} eps=(Max[teamera]-Min[teamera])/Length[teamera];ListPlot[Transpose[{teamera,multiSTerr}],Prolog->{PointSize[0.02]},AxesOrigin->{Min[teamera]-eps,0},PlotRange->{{Min[teamera]-eps,Max[teamera]+eps},{Min[multiSTerr]-eps,Max[multiSTerr]+eps}}]

٤٤٣

Graphics eps=(Max[ownbavg]-Min[ownbavg])/Length[ownbavg]; ListPlot[Transpose[{ownbavg,multiSTerr}],Prolog->{PointSize[0.02]},AxesOrigin->{Min[ownbavg]-eps,0},PlotRange->{{Min[ownbavg]-eps,Max[ownbavg]+eps},{Min[multiSTerr]-eps,Max[multiSTerr]+eps}}]

Graphics eps=(Max[oppbavg]-Min[oppbavg])/Length[oppbavg]; ListPlot[Transpose[{oppbavg,multiSTerr}],Prolog->{PointSize[0.02]},AxesOrigin->{Min[oppbavg]-eps,0},PlotRange->{{Min[oppbavg]-eps,Max[oppbavg]+eps},{Min[multiSTerr]-eps,Max[multiSTerr]+eps}}]

3.5 4 4.5 5 5.5 6

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

0.24 0.25 0.26 0.27 0.28 0.29

-1

-0.5

0.5

1

٤٤٤

Graphics

نحصل علیھ من االمر rمقابل 1xرسمeps=(Max[teamera]-Min[teamera])/Length[teamera];ListPlot[Transpose[{teamera,multiSTerr} ],Prolog->{PointSize[0.02]},AxesOrigin->{Min[teamera]-eps,0},PlotRange->{{Min[teamera]-eps,Max[teamera]+eps},{Min[multiSTerr]-eps,Max[multiSTerr]+eps}}]

نحصل علیھ من االمر rمقابل 2xرسمeps=(Max[ownbavg]-Min[ownbavg])/Length[ownbavg]; ListPlot[Transpose[{ownbavg,multiSTerr}],Prolog->{PointSize[0.02]},AxesOrigin->{Min[ownbavg]-eps,0},PlotRange->{{Min[ownbavg]-eps,Max[ownbavg]+eps},{Min[multiSTerr]-eps,Max[multiSTerr]+eps}}]

نحصل علیھ من االمر rمقابل 3xرسمeps=(Max[oppbavg]-Min[oppbavg])/Length[oppbavg]; ListPlot[Transpose[{oppbavg,multiSTerr}],Prolog->{PointSize[0.02]},AxesOrigin->{Min[oppbavg]-eps,0},PlotRange->{{Min[oppbavg]-eps,Max[oppbavg]+eps},{Min[multiSTerr]-eps,Max[multiSTerr]+eps}}]

0.24 0.25 0.26 0.27 0.28

-1

-0.5

0.5

1

٤٤٥

ك الن شكل االنتشار من الرسوم السا اط وذل بقة یتضح عدم وجود مشكلة االرتب .عشوائى فى جمیع الرسوم

االرتباط الخطى المتعدد وطرق الكشف علیھ ) ٨-٤-٥(

ال ، االقتصاد ، تمیل المتغیرات المستقلة في العدید من الدراسات في مجال االعمع ة م ا ومرتبط ا بینھ ة فیم ون مرتبط ي ان تك ة ، ال ة والبیولوجی وم االجتماعی والعل

ال . متغیرات اخرى ذات صلة بالمتغیر التابع وغیر موجوده في النموذج ي سبیل المث علا ات الطع دار نفق ي إنح تقلھ، ف رات المس ي المتغی ره عل وفیرات : م لالس ره ، ت ل االس دخ

ر من . االسره ، وعمر رب األسره ، ستكون المتغیرات المستقلھ مرتبطھ فیما بینھا وأكثة رات اجتماعی ا بمتغی ھ ایض تقلھ مرتبط رات المس تكون المتغی ك س ر –ذل ادیة غی اقتص

دما . سره ، مثل حجم االسرهموجوده في النموذج ولھا تاثیرھا علي نفقات طعام اال وعنا دد فیم اط خطي متع د ارتب ھ یوج ال ان ا یق ا بینھ تقلھ مرتبطة فیم رات المس تكون المتغی

.بینھا عوامل التضخم )ا(

فوفة ي المص ة ف ر القطری مي العناص فوفة ( X'X-1تس كل مص ي ش ي عل والتاین ) االرتباط ارھم مق (VIFi)عوامل تضخم التب ث یمكن اعتب ام للكشف عن حی اس ھ ی

ي القطر للمصفوفة iرقم cii وعلى ذلك العنصر. االرتباط الخطي ھ Cعل یمكن كتابتكل ي الش 12عل

iii )R1(c ث 2، حیiR ھ ل علی ذي نحص د ال ل التحدی و معام ھ

م تقل رق ر المس دار المتغی وذج انح ددھا iلنم تقلھ وع رات المس ة المتغی ي بقی . k-1عل :یمكن تعریف معامل تضخم التباین كالتالي

12iiii )R1(cVIF

ن ر م د أو اكث ر واح اط الخطي VIFكب ود االرتب ي وج دل عل ة . ی ره التجریبی دل الخب تن د م ي أن أي واح ن VIFعل د ع امالت 10یزی ي أن مع ر عل ون مؤش دار یك االنح

اط الخطي البھ . تقدیرھا غیر دقیق بسبب وجود االرتب ر س ا غی ل التضخم قیم ذ عام یأخ0VIFأى ان

تحلیل القیم الممیزة )ب(زه للمصفوفة یم الممی تخدام الق ن اس ,,..., , 'XXیمك k21 ود اس لوج ، كمقی

ات ي البیان اط الخطي ف اط . االرتب ا ارتب رات بینھم ن المتغی ر م ود واحد أو اكث د وج عنزة سوف تكون صغیرة یم الممی ر من الق ین . خطي قوي فإن واحد أو اكث بعض المحلل

:والمعرف كالتالي X'Xللمصفوفة condition numberیفضلون اختبار رقم الحالة

٤٤٦

minmaxw

زة و max حیث ة ممی ر قیم زة min اكب ة ممی غر قیم م .اص ان رق ا إذا ك عموماط الخطي 100الحالة اقل من ي عدم وجود مشكلة االرتب دل عل ذا ی ة . فھ ام الحال ارق

د 100 , 1000بین دما تزی وى وعن اط خطي ق ي ارتب دل عل دل 1000عن wت ذا ی فھ :وقد یستخدم جذر الرقم السابق اى ،علي وجود ارتباط خطي قوي جدا

max

min

:والذى یتم حسابھ كمایلى condition indexوھناك مقیاس آخر یسمى مؤشر الحالة

i

*i

maxw

:وقد یستخدم جذر الرقم السابق اى

i

max

.ارتباط خطيیدل على وجود 30واى رقم یزید على

)١٤-٥(مثال

لھذا االختبار سوف نستخدم المثال السابق وذلك باستخدام الحزمة Mathematicaسوف یتم حل ھذا المثال بإستخدام برنامج مكتوب بلغة


والمخرجاتوفیما یلى خطوات البرنامج <<Statistics`LinearRegression` teamera={3.33,3.51,3.55,3.65,3.80,4.20,4.22,4.27,4.31,4.48,4.53,4.55,4.62,5.86}; ownbavg={0.276,0.249,0.249,0.260,0.271,0.241,0.269,0.264,0.270,0.240,0.259,0.252,0.258,0.293}; oppbavg={0.240,0.254,0.249,0.245,0.250,0.252,0.254,0.270,0.274,0.264,0.280,0.266,0.268,0.286}; winpct={0.625,0.512,0.488,0.524,0.588,0.475,0.513,0.463,0.512,0.405,0.450,0.480,0.456,0.506}; Clear[dpoints] dpoints=Table[{teamera[[i]],ownbavg[[i]],oppbavg[[i]],winpct[[i]]},{i,1,Length[winpct]}];

٤٤٧

Regress[dpoints,{1,x1,x2,x3},{x1,x2,x3},RegressionReport->VarianceInflation] {VarianceInflation{0.,4.17858,1.14993,3.95366}} Regress[dpoints,{1,x1,x2,x3},{x1,x2,x3},RegressionReport->EigenstructureTable]

نحصل علیھا من االمر VIFقیم Regress[dpoints,{1,x1,x2,x3},{x1,x2,x3},RegressionReport-

>VarianceInflation]

ین 10ال تزید عن VIFوبما ان كل قیم اط خطى ب ى عدم وجود مشكلة ارتب فھذا یعن

.المتغیرات المستقلة

االمر Regress[dpoints,{1,x1,x2,x3},{x1,x2,x3},RegressionReport->EigenstructureTable]

1یؤدى إلى الحصول على جدول یحتوى العمود االول لھ على القیم الممیزة 2 3, ,

1حیث 2 32.05464, .813183, .132175 و قیمi

max

ود ى العم ا ف ة لھ المقابل

وبما ان اكبر قیمة ل 1,1.58955,3.9427الثانى i

max

ى 30 30ال تزید عن فھذا یعن

.عدم وجود مشكلة ارتباط خطى بین المتغیرات المستقلة

EigenstructureTable

EigenV Index x1 x2 x32.05464 1. 0.0505137 0.0649444 0.05082540.813183 1.58955 0.0147281 0.899539 0.03383970.132175 3.9427 0.934758 0.035517 0.915335

٤٤٨

نمازج االنحدار الغیر خطیة ) ٥-٥(ھ ر خطی اذج الغی دیر للنم ھ مختصره عن مشاكل التق ذا الفصل مقدم ي .یتناول ھ ف

ان ابق ك ل الس ات الفص ة المربع تخدام طریق دار ، بإس اذج االنح ق نم ا بتوفی اھتمامن :الصغري ، والتى تكون خطیھ في المعالم وعلي الشكل

0 0 1 2 2 p pY X X ... X .

اك حاالت یكون إن ھن ات ف وبالرغم من أن النموذج السابق یمثل أنواع عدیده من العالقوفره عن علي سبیل المثال . فیھا ھذا النموذج غیر مناسب ، إذا كانت ھناك معلومات مت

.شكل العالقة بین المتغیر التابع والمتغیرات المستقلھ ال تمثل بھذا النموذج :یكتب نموذج االنحدار الغیر خطي علي الصورة التالیھ

n.,2,...,j , ),x(fY jjj

ھ وائي ل أ العش د الخط ث ح E( , )(Var(0حی j2

j . رض أن ادة یفت jعي ع الطبیع ع التوزی ھ . یتب ث fالدال ع حی دار المجتم وذج انح ع او نم ھ التوق ي دال jxھ

ھ) (k x 1متجھ من الدرجة قیمة من متغیرات االنحدار و ر معلوم الم الغی ن المع . مد ال ي ایضا یالحظ أن ح ذا . additiveخطأ تجمیع ین ھ ر ب اك تشابھ كبی یالحظ أن ھن

jE(Yالنموذج والنموذج الخطي فیما عدا أن . دالھ غیر خطیھ في المعالم (

ع ھ التوق تقات دال ل من مش ي األق اآلن في نماذج االنحدار الغیر خطي فإن واحد عل

ھ اذج االنحدار الخطی ى نم ا ف الم ام ل من المع بالنسبة للمعالم تعتمد علي واحد علي االق .s'فإن المشتقات ال تكون دوال في

ات الصغرى ة المربع دیر ان استخدام طریق ى لتق اج ال ر خطى تحت الم النموزج الغی معوب ا بعض العی ي . عملیات كثیرة ولھ رامج الجاھزه عل ي الب ر انتشارا ف ة االكث الطریق

ـ جاوس ة التكرارات ل ر خطي ھي طریق الحاسب اآللي والمتخصصھ في االنحدار الغیوتن – ة . Gauss-Newlonین ذه الطریق ینات لھ ض التحس اك بع دخول .وھن ودون ال

ى اھز ف امج ج ى ببرن ر خط وزج الغی الم النم دیر مع ة تق ح كیفی وف نوض یل س التفاصتخدام الیین Mathematicaباس الیین الت ن خالل المث ر .م ى تفاصیل اكث ول عل وللحص

.یمكن الرجوع الى كتاب االنحدار للدكتورة ثروت )١٥-٥(مثال

٤٤٩

اي ن الش وب م راره ك ة ح اس درج ھ لقی ى تجرب ھ (y)ف ھ مختلف د ازم م (x)عن ت .الحصول علي البیانات المعطاه في الجدول التالى

x y x y x y x y

0 70.86 1 68.71 2 66.67 3 64.73 4 63.25 5 61.57 6 60.25 7 58.74 8 57.6 9 56.17 10 54.94 11 53.82

12 52.64 13 51.7 14 50.64 15 49.81 16 48.85 17 48.04 18 47.24 19 46.45 20 45.8 21 45.03 22 44.27 23 43.64 24 43.01 25 42.27 26 41.78 27 41.05 28 40.57 29 39.97 30 39.37 31 38.9 32 38.31 33 37.84 34 37.37 35 36.71 36 36.33 37 35.79 38 35.41 39 34.98 40 34.53 41 34.18 42 33.81 43 33.39 44 33.05 45 32.72 46 32.38 47 32.04 48 31.82 49 31.48 50 31.15 51 30.92 52 30.59 53 30.63 54 30.03 55 29.81 56 29.59 57 29.36 58 29.14 59 28.81 60 28.59 57 29.36 58 29.14 59 28.81 60 28.59 61 28.09 62 28.25 63 28.03 64 27.81 65 27.7 66 27.48 67 27.37 68 27.15 69 27.04 70 26.82 71 26.7 72 26.69 73 26.37 74 26.26 75 26.15 76 26.04 77 25.82 78 25.71 79 25.71 80 25.49 81 25.38 82 25.27 83 25.16 84 24.59 85 24.95 86 24.94 87 24.73 88 24.62 89 24.51 90 24.39 91 24.28

٤٥٠

92 24.17 93 24.17 94 24.06 95 23.95 96 23.84 97 23.73 98 23.73

:والمطلوب توفیق النموذج

3 jxj 1 2 jy e

:الحــل كل ي ش اه ف ابق معط دول الس ي الج اه ف ات معط ار للبیان كل االنتش ). ١١-٥(ش

:معادلة االنحدار المقدره ھي0.033242e 0884.47978.21y

دره ). ١٢-٥(والممثلھ بیانیا في شكل ھ االنحدار المق ع معادل ات م شكل االنتشار للبیان ).١٣-٥(معطي في شكل

)١١- ٥(شكل

20 40 60 80 100

10

20

30

40

50

60

70

٤٥١

)١٢- ٥(شكل

)١٣- ٥(شكل وذلك باستخدام الحزمة Mathematicaسوف یتم حل ھذا المثال بإستخدام برنامج مكتوب بلغة

الجاھزةStatistics`NonlinearFit`

. وفیما یلى خطوات البرنامج و المخرجات <<Statistics`NonlinearFit` temps={{0,70.86},{1,68.71},{2,66.67}, {3,64.73},{4,63.25},{5,61.57},{6,60.25}, {7,58.74},{8,57.6},{9,56.17},{10,54.94}, {11,53.82},{12,52.64},{13,51.7},{14,50.64}, {15,49.81},{16,48.85},{17,48.04},{18,47.24}, {19,46.45},{20,45.8},{21,45.03},{22,44.27}, {23,43.64},{24,43.01},{25,42.27},{26,41.78},

20 40 60 80 100

10

20

30

40

50

60

70

20 40 60 80 100

10

20

30

40

50

60

70

٤٥٢

{27,41.05},{28,40.57},{29,39.97},{30,39.37}, {31,38.9},{32,38.31},{33,37.84},{34,37.37}, {35,36.71},{36,36.33},{37,35.79},{38,35.41}, {39,34.98},{40,34.53},{41,34.18},{42,33.81}, {43,33.39},{44,33.05},{45,32.72},{46,32.38}, {47,32.04},{48,31.82},{49,31.48},{50,31.15}, {51,30.92},{52,30.59},{53,30.63},{54,30.03}, {55,29.81},{56,29.59},{57,29.36},{58,29.14}, {59,28.81},{60,28.59},{61,28.09},{62,28.25}, {63,28.03},{64,27.81},{65,27.7},{66,27.48}, {67,27.37},{68,27.15},{69,27.04},{70,26.82}, {71,26.7},{72,26.69},{73,26.37},{74,26.26}, {75,26.15},{76,26.04},{77,25.82},{78,25.71}, {79,25.71},{80,25.49},{81,25.38},{82,25.27}, {83,25.16},{84,24.95},{85,24.95},{86,24.94}, {87,24.73},{88,24.62},{89,24.51},{90,24.39}, {91,24.28},{92,24.17},{93,24.17},{94,24.06}, {95,23.95},{96,23.84},{97,23.73},{98,23.73}}; everyOtherTemps=Table[temps[[j]],{j,1,99,2}]; dots=ListPlot[everyOtherTemps,PlotRange->{0,70},PlotStylePointSize[0.015]]

Graphics NonlinearFit[temps,beta0 Exp[beta1*t]+eps,t,{beta0,beta1,eps}] NonlinearFit::lmpnocon: Warning: The sum of squares has achieved a minimum, but at least one parameter estimate fails to satisfy either an accuracy goal of 1 digit(s) or a precision goal of 1 digit(s). These goals are less strict than those for the sum of squares, specified by AccuracyGoal->6 and PrecisionGoal->6. NonlinearFit::lmcv: NonlinearFit failed to converge to the requested accuracy or precision for the sum of squares within 30 iterations.

20 40 60 80 100

10

20

30

40

50

60

70

1. 9.553941023 E1.t

٤٥٣

NonlinearFit[temps,beta0 Exp[beta1*t]+eps,t,{beta0,beta1,eps},MaxIterations->40] NonlinearFit::lmpnocon: Warning: The sum of squares has achieved a minimum, but at least one parameter estimate fails to satisfy either an accuracy goal of 1 digit(s) or a precision goal of 1 digit(s). These goals are less strict than those for the sum of squares, specified by AccuracyGoal->6 and PrecisionGoal->6. NonlinearFit::lmcv: NonlinearFit failed to converge to the requested accuracy or precision for the sum of squares within 40 iterations.

NonlinearFit[temps,beta0 Exp[beta1*t]+eps,t,{beta0,beta1,eps},Method->FindMinimum] FindMinimum::fmmp: Machine precision is insufficient to achieve the requested accuracy or precision.

approx=Plot[T[t],{t,0,100},PlotRange->{0,70}]

Graphics Show[approx,dots]

1. 9.330021026 E1.t

21.978 47.0884E0.0332431t

Tt_: 21.9779835282673641

47.0883658406797778 E0.0332431321361424636 t

20 40 60 80 100

10

20

30

40

50

60

70

٤٥٤

Graphics

المدخالت : اوالtempsالقائمة المسماه .الزواج قیم المتغیر المستقل و المتغیر التابع

المخرجات : ثانیا نحصل علیھ من االمر ) ١١-٥(شكل

everyOtherTemps=Table[temps[[j]],{j,1,99,2}]; dots=ListPlot[everyOtherTemps,PlotRange->{0,70},PlotStylePointSize[0.015]]

.معادلة االنحدار المقدرة وقد فشل االمر التالى فى الحصول علىNonlinearFit[temps,beta0 Exp[beta1*t]+eps,t,{beta0,beta1,eps}]

1حيث 3 2beta0 ,beta1 ,eps . االن المحاولة الثانیة مع االمر التالى

NonlinearFit[temps,beta0 Exp[beta1*t]+eps,t,{beta0,beta1,eps},MaxIterations->40]

حیث اضیف إلیھ الخیار التالىMaxIterations->40

.وقد فشل ایضا ھذا االمر اى ان عدد التكرارات اربعین

االن المحاولة الثالثة مع االمر التالى

NonlinearFit[temps,beta0 Exp[beta1*t]+eps,t,{beta0,beta1,eps},Method->FindMinimum] FindMinimum::fmmp: Machine precision is insufficient to achieve the requested accuracy or precision.

حیث اضیف إلیھ الخیار التالى

20 40 60 80 100

10

20

30

40

50

60

70

٤٥٥

Method->FindMinimum معادلة االنحدار المقدرة من المخرج

نحصل علیھ من االمر) ١٢- ٥(شكل

approx=Plot[T[t],{t,0,100},PlotRange->{0,70}]

نحصل علیھ من االمر) ١٣- ٥(شكل

Show[approx,dots] .والذى یتضح منھ تطابق البیانات مغ معادلة االنحدار المقدرة

)١٥-٥(مثال

:بفرض النموزج الغیر خطى التالى

jj2

1j x

y

ة مى معادل ة Michaelis-Menten (1913)والمس ف العالق تخدمت لوص ي اس والت .ینرالعالقة بین متغی

21والمطلوب ایجاد تقدیر لكل من x, yیعطي الجدول التالى بیانات لقیم ,.

21.978 47.0884E0.0332431t

٤٥٦

y x

).١٤-٥(معطاه في شكل شكل االنتشار للبیانات المعطاه في الجدول السابق

)١٤- ٥(شكل

مي دار والمس اص باالنح اھز خ امج ج تخدام برن م اس ال ت ذا المث LevenbergلھMarquardt والذي یربط بین طریقةSteepest ماركوف –و طریقة جاوس.

ھ یم مبدئی ى ق یتطلب توفیق نماذج االنحدار الغیر خطي بھذه الطریقة الحصول علة. لمعالم النموذج ة القیم الجیدة ، أي ان القیم المبدئی الم الحقیقی یم المع رب من ق ي تقت والت

ارب ى تصغیر صعوبات التق ھ یكون . سوف تؤدي ال یم المبدئی د للق ار الجی دائما االختیذا في نم. مفید ائي وھ ي فیزی ا معن ا یكون لھ الم غالب إن المع ھ ف ر خطی اذج االنحدار الغی

.یساعد في اختیار القیم المبدئیھ للمعالم

الم النموزج سوف ھ لمع یم المبدئی ة الق في ھذا المثال سوف نوضح كیف أن معرفا أن مجموع مرب الم كم دیر المع ة لتق واقي تساعدنا في الوصول الى القیمة النھائی ات الب ع

0.417 0.07738950.417 0.06887140.417 0.08193510.833 0.07370340.833 0.07387530.833 0.07123961.67 0.0650421.67 0.05476673.75 0.04971283.75 0.06427276.25 0.06130056.25 0.06435766.25 0.0393892

1 2 3 4 5 6

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

٤٥٧

ھ یم المبدئی ة الق ة عدم معرف ي حال ك ف واقي وذل سوف یكون أقل من مجموع مربعات الب .لمعالم النموزج

1 , 1بإستخدام 12 كقیم مبدئیھ فإن معادلة االنحدار المقدره ھي:

440374.4421171.0y

).١٥-٥(والممثلھ بیانیا مع شكل االنتشار في شكل

)١٥- ٥(شكل

ھ . 0.00212771مجموع مربعات البواقي كانت اك معلومات مبدئی اآلن بفرض أن ھن21عن , 17,5.0حیث 21 فإن معادلة االنحدار المقدره ھي:

x838.10875918.0y

1 2 3 4 5 6 7

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

٤٥٨

).١٦-٥(والممثلھ بیانیا مع شكل االنتشار موضحھ في شكل

)١٦- ٥(شكل واقي 000910677.مجموع مربعات البواقي كانت ات الب والتى أقل من مجموع مربع

ھ یم المبدئی ة الق دم معرف ة ع ي حال ھ . ف یم المبدئی تخدام الق ل باس ي أن الح ذا یعن وھ17,5.0 21 ھ ر دق ت أكث ائي . كان ل النھ ى الح ول ال رارات للوص دد التك ع

.معطاه في الجدول التالى

1 الخطوه 2 1 2

0.5 0.997294 0.924735

0.9117 0.90256 0.885534 0.877484 0.876086

17 7.1388 8.25897 9.47141 10.3259 10.6872 10.8141 10.8354

1 2 3 4 5 6 7

0.05

0.06

0.07

0.08

٤٥٩

0.875935 0.87592 0.785918

10.8377 108379 10.838

:سوف تكون فإن مصفوفھ التغایر للمتجھ s2= 0.00008279وبما أن

0.0632335 0.8864520.886452 12.6386

وعلي ذلك خطا معیاري مقرب للمعالم سوف یكون0.0632335 0.251463,

12.6386 3.55508.

:االرتباط ھيمصفوفة معامالت

1991589.0

991589.01

.جدول تحلیل التباین معطي في الجدول التالى

S.O.V df SS MS F

336.9 0.02789 0.0557833 2 االنحدار

0.00008279 0.0009107 11 الخطأ

0.056694 13 الكلي

وذلك باستخدام الحزمة Mathematicaسوف یتم حل ھذا المثال بإستخدام برنامج مكتوب بلغة

الجاھزةStatistics`NonlinearFit`

. وفیما یلى خطوات البرنامج و المخرجات <<Statistics`NonlinearFit` ecology={{0.417,0.0773895},{0.417,0.0688714},{0.417,0.0819351},{0.833,0.0737034},{0.833,0.0738753},{0.833,0.0712396},{1.670,0.0650420},{1.670,0.0547667},{3.750,0.0497128},{3.750,0.

٤٦٠

0642727},{6.250,0.0613005},{6.250,0.0643576},{6.250,0.0393892}}; NonlinearFit[ecology,v/(k+x),x,{v,k}]

NonlinearFit[ecology,v/(k+x),x,{{v,0.5},{k,17}}]

ecoplot=ListPlot[ecology,DisplayFunction->Identity];

aplot=Plot[app[x],{x,0,7},DisplayFunction->Identity]; Show[ecoplot,aplot,DisplayFunction->$DisplayFunction]

Graphics

aplot2=Plot[app2[x],{x,0,7},DisplayFunction->Identity]; Show[ecoplot,aplot2,DisplayFunction->$DisplayFunction]

Graphics

0.421171

4.40374 x

0.875918

10.838 x

appx_: 0.87591798080941636310.8379705459261256 x

1 2 3 4 5 6 7

0.05

0.06

0.07

0.08

app2x_ : 0.4211710442089164454.4037426263852204 x

1 2 3 4 5 6 7

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

٤٦١

nrg1=NonlinearRegress[ecology,v/(k+x),x,{v,k},RegressionReport->FitResiduals] {FitResiduals{-0.00997692,-0.018495,-0.00543132,-0.00672275,-0.00655085,-0.00918655,-0.00430092,-0.0145762,-0.00194091,0.012619,0.0217678,0.0248249,-0.000143484}} err1=nrg1[[1,2]]; sumsq1=Sum[err1[[j]]^2,{j,1,Length[err1]}] 0.00212771 nrg1=NonlinearRegress[ecology,v/(k+x),x,{v,k},RegressionReport->StartingParameters] {StartingParameters{v1,k1}} nrg2=NonlinearRegress[ecology,v/(k+x),x,{{v,0.5},{k,17}},RegressionReport->FitResiduals] {FitResiduals{-0.000435491,-0.00895359,0.00411011,-0.0013476,-0.0011757,-0.0038114,-0.00498679,-0.0152621,-0.0103311,0.00422885,0.0100412,0.0130983,-0.0118701}} err2=nrg2[[1,2]]; sumsq2=Sum[err2[[j]]^2,{j,1,Length[err2]}] 0.000910677 NonlinearRegress[ecology,v/(k+x),x,{{v,0.5},{k,17}},ShowProgress->True] Iteration:1 ChiSquared:0.0211263 Parameters:{0.5,17.} Iteration:2 ChiSquared:0.0273833 Parameters:{0.997294,7.1388} Iteration:3 ChiSquared:0.00913711 Parameters:{0.924735,8.25897} Iteration:4 ChiSquared:0.00340141 Parameters:{0.9117,9.47141} Iteration:5 ChiSquared:0.0015738 Parameters:{0.90256,10.3259} Iteration:6 ChiSquared:0.00104566 Parameters:{0.885534,10.6872} Iteration:7 ChiSquared:0.000927715 Parameters:{0.877484,10.8141} Iteration:8 ChiSquared:0.000912423 Parameters:{0.876086,10.8354} Iteration:9 ChiSquared:0.000910851 Parameters:{0.875935,10.8377} Iteration:10 ChiSquared:0.000910693 Parameters:{0.87592,10.8379}

٤٦٢

Iteration:11 ChiSquared:0.000910677 Parameters:{0.875918,10.838} NonlinearRegress[ecology,v/(k+x),x,{{v,0.5},{k,17}}]

NonlinearRegress[ecology,v/(k+x),x,{{v,0.5},{k,17}},RegressionReport->AsymptoticCovarianceMatrix]

NonlinearRegress[ecology,v/(k+x),x,{{v,0.5},{k,17}},RegressionReport->HatDiagonal] {HatDiagonal{0.172201,0.172201,0.172201,0.120973,0.120973,0.120973,0.0817874,0.0817874,0.133218,0.133218,0.230156,0.230156,0.230156}} p=2; n=Length[ecology]; 2 p/n//N 0.307692 NonlinearRegress[ecology,v/(k+x),x,{{v,0.5},{k,17}},RegressionReport->StandardizedResiduals] {StandardizedResiduals{-0.0526054,-1.08156,0.496484,-0.157969,-0.137819,-0.446784,-0.571957,-1.75048,-1.21956,0.499207,1.25776,1.64069,-1.48685}}

. لى خطوات البرنامج و المخرجاتوفیما ی

BestFitParametersv0.875918,k10.838,

ParameterCITableEstimate AsymptoticSE CI

v 0.875918 0.251463 0.322452,1.42938k 10.838 3.55508 3.01329,18.6627

,


DF SumOfSq MeanSqModel 2 0.0557833 0.0278916Error 11 0.00091068 0.000082789UncorrectedTotal 13 0.056694CorrectedTotal 12 0.00165764

,

AsymptoticCorrelationMatrix 1. 0.9915890.991589 1.

,

FitCurvatureTable

CurvatureMaxIntrinsic 0.0771249MaxParameterEffects 0.73479495.%ConfidenceRegion 0.50111

AsymptoticCovarianceMatrix 0.0632335 0.8864520.886452 12.6386

٤٦٣

المدخالت : اوال ecologyالقائمة المسماه .الزواج قیم المتغیر المستقل و المتغیر التابع


1 , 1بإستخدام 12 كقیم مبدئیھ فإن معادلة االنحدار المقدره ھي:

440374.4421171.0y

:التالى نحصل علیھا من االمر

NonlinearFit[ecology,v/(k+x),x,{v,k}] حیث 1 2v , k

ة ھ )) ١٥-٥(شكل (شكل االنتشار مع معادلة االنحدار المقدرة في ھذه الحال نحصل علی :من االمر التالى

Show[ecoplot,aplot2,DisplayFunction->$DisplayFunction]

من االمر 0.00212771مجموع مربعات البواقي كانت

sumsq1=Sum[err1[[j]]^2,{j,1,Length[err1]}]

ھ عن 17,5.0حیث ,21بفرض أن ھناك معلومات مبدئی 21 ة إن معادل ف :االنحدار المقدره ھي

x838.10875918.0y

:نحصل علیھا من االمر التالى NonlinearFit[ecology,v/(k+x),x,{{v,0.5},{k,17}}]

من االمر0.000910677 مجموع مربعات البواقي كانتsumsq2=Sum[err2[[j]]^2,{j,1,Length[err2]}]

ة ذه الحال ي ھ درة ف دار المق ة االنح ع معادل ار م كل االنتش كل (ش ل )) ١٦-٥(ش نحص

:علیھ من االمر التالىShow[ecoplot,aplot,DisplayFunction->$DisplayFunction]

عدد التكرارات للوصول الى الحل النھائي نحصل علیھا من االمر

٤٦٤

NonlinearRegress[ecology,v/(k+x),x,{{v,0.5},{k,17}},ShowProgress->True]

s2= 0.00008279 و خطا معیاري مقرب للمعالم: 0.0632335 0.251463,

12.6386 3.55508.

:ومصفوفة معامالت االرتباط

1991589.0

991589.01

:,21فترة ثقة لـ %95وجدول تحلیل التباین وى (18.6628 , 3.01329) , (142938 , 322452) یھم ف علي التوالي نحصل عل

الجدول من االمر التالى NonlinearRegress[ecology,v/(k+x),x,{{v,0.5},{k,17}}]

و مصفوفھ التغایر للتقدیرات0.0632335 0.8864520.886452 12.6386

نحصل علیھا من االمرNonlinearRegress[ecology,v/(k+x),x,{{v,0.5},{k,17}},RegressionReport->AsymptoticCovarianceMatrix]

استخدام برنامج ماثيماتيكا كلغة برمجة فى مجال الاحصاء...

Documents